một số bài toán về cực trị thể tích p2

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

Facebook: LyHung95

BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN – P2
Thầy Đặng Việt Hùng
LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 2. CỰC TRỊ THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ

Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho lăng trụ

đứng ABC. A ' B ' C ' có ∆ABC vuông tại A, d ( AA ';( ABC ) ) = a;

d ( C ; ABC ') = b; ( ABC '; ABC ) = φ
a) Tính thể tích lăng tru đã cho theo a, b và φ
b) Khi a = b, tìm φ để thể tích khối lăng trụ nhỏ nhất
Đ/s: a) V =

ab3
sin 2φ b 2 − a 2 sin 2 φ

b) Vmin =

3 3a 3
6
⇔ cos φ =
4
3

Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' có ( AC '; ABC ) = 300 ; AC ' = a; AC ' B = φ . Tính
thể tích khối hộp đã cho và tìm φ để thể tích khối hộp lớn nhất

Đ/s: Vmax =

9a 3
10
⇔ cos φ =
32
4

Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' có AC ' = a; ( AC '; ABCd ) = α; ( AC '; BCC ' B ') = β .
Tìm hệ thức liên hệ giữa α, β để A ' D ' CB là hình vuông và tìm thể tích khối hộp max khi đó.
1
a3 2
Đ/s: cos 2 α − sin 2 β = ;Vmax =
⇔ α = β = 300
2
8

Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có AB ' = AC ' = a 2; A ' B ' = A ' C ' = a, khoảng cách từ A '
đến mặt phẳng ( AB ' C ') bằng

a 3
. Tính góc giữa hai mặt phẳng ( AB ' C ') và ( A ' B ' C ') , biết thể tích của
3

khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' bằng

a 3 15
.
9

Lời giải:

Pro – S năm 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

Facebook: LyHung95

+) Đặt A ' I = x ⇒ B ' I 2 = 2a 2 − AI 2 = a 2 − x 2 ⇒ AI = a 2 + x 2
+) A ' H = A ' I sin φ = x sin φ ⇒ x sin φ =

a 3
3

+) Ta có AK = AI sin φ = a 2 + x 2 sin φ
⇒ V = AK .S A ' B 'C ' ⇔

⇔ a4 − x4 .

a 3 15
1
a 3 15
= a 2 + x 2 sin φ. x.2 a 2 − x 2 ⇔ a 4 − x 4 .( x sin φ) =
9
2
9

a 3 a 3 15
5

a
3
2
=
⇒ a4 − x4 = a4 ⇒ =
⇒ sin φ =
⇒ φ = 450.
3
9
9
x
2
2

Ví dụ 5: [ĐVH]. Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' , biết A '. ABC là hình chóp đều có cạnh đáy bằng a. Góc giữa
hai mặt phẳng ( A ' BC ) và ( BCC ' B ') bằng 900. Tính thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' và khoảng cách
giữa hai đường thẳng AA ' và B ' C theo a.

Lời giải:
Gọi M , N , E lần lượt là trung điểm của AB, BC và B’C’; H = CM ∩ AN . Có H là tâm đường tròn ngoại
tiếp tam giác đều ABC. Từ A '. ABC là hình chóp đều ⇒ A ' H ⊥ ( ABC )

Góc giữa hai mặt phẳng ( A ' BC ) và ( BCC ' B ') bằng 900 ⇒ ( A ' BC ) ⊥ ( BCC ' B ') .

Ta có A ' N ⊥ BC ⇒ A ' N ⊥ ( BCC ' B ') ⇔ A ' N ⊥ NE .
• Đặt A 'A = A 'B = A 'C = x( x > 0) .
a 2  NE = BB '  NE = AA '
A ' N 2 = A ' B 2 − BN 2 = x 2 − ; 
⇒
⇒ Tứ giác ANEA ' là hình bình

4  NE / / BB '  NE / / AA '

 NE = x

hành ⇒ 
a 3
A' E =

2
2

a 3
a2
a 2
2
2
• Trong tam giác vuông A ' NE có A ' N + NE = A ' E ⇔ x − + x 2 = 
 ⇔ 2 x = a ⇔ x =
4
2
 2 
P = −3c3 + 96c 2 − 384c + 512 − 3ab (8 − 2c)
2

2

2

2

≤ −3c3 + 96c 2 − 384c + 512 − 3(7 − 2c)(8 − 2c ) ⇒ P ≤ −3c3 + 84c 2 − 294c + 344
Pro – S năm 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

Facebook: LyHung95

a 6 a2 3 a3 2
Thể tích khối lăng trụ ABC. A' B ' C ' là V = A ' H .S ∆ABC =
.
=
6
4
8
A ' A / / B ' B ⇒ A ' A / /( BCC ' B ') ⇒ d ( A ' A, B ' C ) = d ( A ' A, ( BCC ' B ') ) = d ( A, ( BCC ' B ') )

 BC ⊥ AN
• 
⇒ BC ⊥ ( A ' AN ) ⇒ BC ⊥ AA ' ⇒ BC ⊥ BB ' ⇒ Tứ giác BCC ' B ' là hình chữ nhật
 BC ⊥ A ' N
1
1a 2
a2 2
⇒ S ∆B ' BC = B ' B.BC =
.a =
2
2 2
4
3

3V
1
a 2 1
• VB '. ABC = V =
= d ( A, ( BCB ') ) .S ∆B ' BC ⇒ d ( A, ( BCB ') ) = B '. ABC
3
24
3
S ∆B ' BC
a3 2
a
⇒ d ( A, ( BCB ') ) = 28 =
a 2 2
4
Ví dụ 6: [ĐVH]. Cho khối lăng trụ tam giác ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm A ' cách đều
ba điểm A, B, C. Góc giữa AA ' và mặt phẳng (ABC) bằng 600 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' và
khoảng cách giữa hai đường thẳng AB , CC’ theo a .

Lời giải:

A'

C'
B'

K
C

A
H

G

G là trọng tâm ∆ ABC . Ta có A ' G ⊥ ( ABC ) và

( AA ';( ABC ) ) = A ' AG = 600
a 3
. Xét ∆A ' AG có A ' G = AG.tan 600 = a
3
a2 3
và S ABC =
4
a2 3
a3 3
.a =
Thể tích VABC . A ' B 'C ' = S ABC . A ' G =
4
4
AG =

B
Kẻ CK ⊥ A ' H ⇒ CC '// AA ' ⇒ d ( CC ', AA ') = d ( CC ', ( AA ' B ' B ) ) = CK
Ta có CK =

A ' G.CH
=
A' H

a 3
a2 3

a.
a 13
2
= 2 =
13
A ' G 2 + HG 2 a 39
6

Ví dụ 7: [ĐVH]. Cho hình hộp đứng ABCD. A ' B ' C ' D ' có các cạnh AB = AD = a, AA ' =

a 3
, BAD = 600 .
2

Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh A ' D ' và A ' B '. Chứng minh rằng AC ' vuông góc với mặt
phẳng (BDMN). Tính thể tích khối chóp A.BDMN theo a.

Lời giải:

Pro – S năm 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!