Về linh hóa tử của môđun đối đồng điều địa phương

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ ÁNH HẰNG

VỀ LINH HÓA TỬ CỦA
MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ ÁNH HẰNG

VỀ LINH HÓA TỬ CỦA
MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG
Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 60.46.01.04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học
TS. PHẠM HÙNG QUÝ

THÁI NGUYÊN - 2015

Mục lục
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất

3

1.1. Môđun đối đồng điều địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2. Chiều đối đồng điều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3. Linh hóa tử. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

Chương 2. Môđun đối đồng điều địa phương giá cực đại

18

2.1. Vành catenary và catenary phổ dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.2. Tính bão hòa nguyên tố và tập giả giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.3. Linh hóa tử. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.4. Linh hóa tử qua địa phương hóa và đầy đủ hóa . . . . . . . . . . .

29

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

i


MỞ ĐẦU
Lý thuyết đối đồng điều địa phương được giới thiệu đầu tiên bởi A.
Grothendieck vào những năm 1960, sau đó được quan tâm nghiên cứu bởi
rất nhiều nhà toán học trên thế giới như R. Hartshorne, M. Brodmann, J.
Rotman, C. Huneke... Lý thuyết đối đồng điều địa phương đã có những
ứng dụng to lớn trong nhiều lĩnh vực của toán học. Ngày nay nó trở
thành công cụ không thể thiếu trong Đại số giao hoán, Hình học Giải
tích, Hình học Đại số ...Trong nhiều ứng dụng của môđun đối đồng điều

địa phương, các kết quả về linh hóa tử của các môđun này là chìa khóa
cho việc chứng minh (xem [1], [3], [8], ...).
Năm 2014 trong một bài báo đăng trên tạp chí Arch Math (xem
[1]) các tác giả A. Atazadeh, M. Sedghi và R. Naghipour đã trình bày
một kết quả nghiên cứu về linh hóa tử của môđun đối đồng điều địa
phương cấp cao nhất với giá bất kì trên một vành giao hoán Noether.
Kết quả này là mở rộng của kết quả của L.R. Lynch năm 2012 (xem
[12]). Mục đích chính thứ nhất của luận văn là trình bày lại kết quả trên
một cách chi tiết.
Đối với các môđun đối đồng điều địa phương cấp bất kì, năm 2012
trong bài báo đăng trên tạp chí J. Algebra (xem [3]), các tác giả K.
Bahmanpour, J. A’zami and G. Ghasemi đã đưa ra một công thức tính
căn của linh hóa tử của môđun đối đồng điều địa phương cấp bất kì với
giá cực đại trên vành đầy đủ. Mục đích chính thứ hai của luận văn là mở
rộng kết quả trên đồng thời nghiên cứu dưới giả thiết yếu hơn của vành.
Một số ví dụ được đưa ra để chứng tỏ giả thiết của vành trong định lý
chính là không thể bỏ đi được. Nghiên cứu linh hóa tử của môđun đối
đồng điều địa phương chuyển qua địa phương hóa và đầy đủ hóa là mục
đích chính tiếp theo của luận văn. Chúng tôi đã đạt được một số kết
1


quả trong trường hợp vành đặc biệt. Các kết quả mới này được chúng
tôi trình bày trong bài báo (xem [16]).
Luận văn được bố cục làm 2 chương. Chương 1, trước khi trình
bày kết quả chính về linh hóa tử của môđun đối đồng điều địa phương
cấp cao nhất với giá bất kỳ và trên một vành giao hoán, Noether theo
bài báo [1] của các tác giả A. Atazadeh, M. Sedghi và R. Naghipour
chúng tôi trình bày một số kết quả về môđun đối đồng điều địa phương,
chiều đối đồng điều. Mục thứ nhất và thứ hai của Chương 2 là các kiến

thức chuẩn bị về vành catenary, catenary phổ dụng, vành có các thớ
hình thức là Cohen-Macaulay, tập giả giá và tính bão hòa nguyên tố của
môđun đối đồng điều địa phương. Mục thứ ba và thứ tư là kết quả mới
trình bày về linh hóa tử của môđun đối đồng điều địa phương liên hệ
với tập giả giá và linh hóa tử của môđun đối đồng điều địa phương khi
chuyển qua địa phương hóa và đầy đủ hóa.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của TS.
Phạm Hùng Quý. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo của tôi PGS. TS.
Lê Thị Thanh Nhàn. Cô đã truyền cảm hứng từ những bài học, những
buổi seminar chuyên môn, cô cũng đã đặt ra nhiều vấn đề nghiên cứu
cho luận văn và luôn giúp tôi tiếp thu thêm nhiều kiến thức bổ ích.
Cuối cùng tôi xin cảm ơn người thân, bạn bè đã cổ vũ và động
viên tôi để tôi có thể hoàn thành luận văn cũng như khóa học của mình.

2


Chương 1

Môđun đối đồng điều địa phương
cấp cao nhất
Trong chương này ta luôn quy ước R là một vành giao hoán có
đơn vị, M là R-môđun và a là một iđêan của R.
1.1. Môđun đối đồng điều địa phương
Mục đích của tiết này là nhắc lại khái niệm môđun đối đồng điều
địa phương và một số kết quả về tính triệt tiêu, tính Artin của các môđun
này. Các thuật ngữ ở đây được tham khảo trong cuốn sách [7] của M.
Brodman và R.Y. Sharp.
Định nghĩa 1.1.1. Cho a là iđêan của R và M, N là các R-môđun. Đặt

Γa (M ) =

(0 :M an ). Vì (0 :M a) ⊆ (0 :M a2 ) ⊆ ... là dãy tăng các
n≥0

môđun con của M nên Γa (M ) là môđun con của M . Cho f : M −→ N
là một đồng cấu giữa các R-môđun. Lấy x ∈ Γa (M ), khi đó tồn tại t ∈ N
sao cho x ∈ (0 :M at ), tức là at x = 0. Vì vậy 0 = f (at x) = at f (x). Suy
ra f (x) ∈ Γa (N ). Vậy ta có đồng cấu f ∗ : Γa (M ) −→ Γa (N ) cho bởi
f ∗ (x) = f (x). Đặt Γa (f ) = f ∗ . Khi đó Γa (−) là một hàm tử hiệp biến,
khớp trái từ phạm trù các R-môđun đến chính nó. Γa (−) được gọi là
hàm tử a-xoắn.
Môđun dẫn xuất phải thứ i của hàm tử a-xoắn Γa (−) ứng với M
được gọi là môđun đối đồng điều thứ i của M với giá a, kí hiệu là Hai (M ).

3


Cụ thể, nếu
d

α

d

0
1
0→M →
− E0 −
→

E1 −
→
E2 → ....

là giải nội xạ của M , tác động hàm tử Γa (−) ta có đối phức
d∗

d∗

0
1
0 → Γa (E0 ) −
→
Γa (E1 ) −
→
Γa (E2 ) → ....

Khi đó Hai (M ) = Ker d∗i / Im d∗i−1 với i ≥ 0, môđun này không phụ thuộc
vào việc chọn giải nội xạ của M .
Sau đây là một số tính chất cơ sở của môđun đối đồng điều địa
phương.
Mệnh đề 1.1.2. Các phát biểu sau là đúng.
(i) H 0 (M ) ∼
= Γa (M ).
a

(ii)Nếu M là nội xạ thì Hai (M ) = 0 với mọi i ≥ 1.
(iii) Hai (M ) là môđun a-xoắn với mọi i.
(iv) M là a-xoắn thì Hai (M ) = 0 với mọi i > 0. Đặc biệt với mỗi
R-môđun M , ta có Haj (Hai (M )) = 0 với mọi i ≥ 0 và với mọi j ≥ 1.

(v) Cho 0 → M → M → M → 0 là dãy khớp ngắn các R-môđun.
Khi đó với mỗi i ∈ N, tồn tại một đồng cấu δi : Hai (M ) → Hai+1 (M )
sao cho ta có dãy khớp dài
δ

0
0 → Γa (M ) → Γa (M ) → Γa (M ) −
→
Ha1 (M )

δ

1
→ Ha1 (M ) → Ha1 (M ) −
→
Ha2 (M ) → ...

Đồng cấu δi ở trên gọi là đồng cấu nối thứ i.
(vi) Cho r ∈ R. Khi đó nếu r ∈ AnnR M thì r ∈ AnnR Hai (M ) với
mọi i.
Ví dụ 1.1.3. Cho R là một vành, a là một iđêan của R. Với mỗi iđêan
nguyên tố p của R. Ta có Haj (ER (R/p)) = 0 với mọi j ≥ 1 và
Ha0 (ER (R/p)) =

ER (R/p), nếu a ⊆ p,
0,
nếu a ⊆ p.
4

Định lý sau được gọi là Định lí chuyển phẳng.
Định lý 1.1.4 ([7],4.3.2). Cho R, R là những vành Noether, ánh xạ
f : R −→ R là một đồng cấu phẳng, gọi aR là iđêan mở rộng của a
trong R . Khi đó, với mọi i ∈ N0 tồn tại duy nhất đẳng cấu tự nhiên
Hai (M ) ⊗R R ∼
= HaiR (M ⊗R R ),
những R -môđun.
Nhận xét 1.1.5. (i) Xét S là một tập đóng nhân trong R, do đồng cấu
tự nhiên R −→ RS là phẳng nên có đẳng cấu RS -môđun
(Hai (M ))S ∼
= HaiRS (MS ).
(nói ngắn gọn là: đối đồng điều địa phương giao hoán với địa phương
hóa). Đặc biệt, với p ∈ Spec(R), ta có đẳng cấu Rp -môđun
(Hai (M ))p ∼
= HaiRp (Mp ).
(ii) Xét (R, m) là vành Noether địa phương, gọi R và M lần lượt là
đầy đủ theo tôpô m-adic của R và M . Vì f : (R, m) −→ (R, m) là hoàn
toàn phẳng nên ta có đẳng cấu những R-môđun
(Hai (M )) ⊗R R ∼
= Hai (M ).
Hơn nữa, do f còn là hoàn toàn phẳng nên còn có Hai (M ) = 0 khi và
chỉ khi Hai (M ) = 0 và Hai (M ) là R-môđun hữu hạn sinh khi và chỉ khi
Hai (M ) là R−môđun hữu hạn sinh.
Tính Artin của môđun đối đồng điều địa phương được thể hiện
trong mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.1.6 ([7], 7.1.3, 7.1.6). Cho (R, m) là vành Noether địa
phương, M là hữu hạn sinh chiều d. Khi đó
(i) Hmi (M ) là Artin với mọi số nguyên i ≥ 0.
(ii) Had (M ) là Artin với mọi iđêan a của R.
5

Để biết được thông tin nhiều hơn về môđun đối đồng điều địa
phương ta cần biết khái niệm tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun
đối đồng điều địa phương cấp cao nhất. Trước hết ta nhắc lại một số
khái niệm và kết quả về biểu diễn thứ cấp của môđun.
Định nghĩa 1.1.7. (i) Một R-môđun N được gọi là thứ cấp nếu N = 0
và với mọi x ∈ R, phép nhân bởi x trên N là toàn cấu hoặc lũy linh.
Trong trường hợp này, Rad(AnnR N ) là iđêan nguyên tố, chẳng hạn là
p, và ta gọi N là p-thứ cấp.

(ii) Cho N là R-môđun. Một biểu diễn thứ cấp của N là một phân
tích N = N1 + . . . + Nn thành tổng hữu hạn các môđun con pi -thứ cấp
Ni . Nếu N = 0 hoặc N có một biểu diễn thứ cấp thì ta nói N là biểu
diễn được. Biểu diễn thứ cấp này được gọi là tối thiểu nếu các iđêan
nguyên tố pi là đôi một khác nhau và không có hạng tử Ni nào là thừa,
với mọi i = 1, . . . , n.
Dễ thấy rằng nếu N1 , N2 là các môđun con p-thứ cấp của N thì
N1 + N2 cũng là môđun con p-thứ cấp của N . Vì thế mọi biểu diễn thứ
cấp của N đều có thể đưa được về dạng tối thiểu bằng cách ghép chung
những thành phần thứ cấp ứng với cùng một iđêan nguyên tố và bỏ đi
những thành phần thừa. Tập hợp {p1 , . . . , pn } là độc lập với việc chọn
biểu diễn thứ cấp tối thiểu của N và được gọi là tập các iđêan nguyên tố
gắn kết của N , kí hiệu là AttR N . Các hạng tử Ni , i = 1, . . . , n, được gọi
là các thành phần thứ cấp của N. Nếu pi là tối thiểu trong tập AttR N
thì pi được gọi là iđêan nguyên tố gắn kết cô lập của N và Ni được gọi
là thành phần thứ cấp cô lập của N .
Ví dụ 1.1.8. (i) Cho R là miền nguyên. Khi đó trường các thương của
R là R-môđun 0-thứ cấp.
(ii) Q và Q/Z là các Z-môđun 0-thứ cấp.

(ii) Cho p là một số nguyên tố, n là một số tự nhiên. Ta có Z/pn Z
là Z-môđun pZ-thứ cấp.
6


Mệnh đề 1.1.9. Cho R là vành Noether, N là một R-môđun biểu diễn
được. Khi đó các khẳng định sau là đúng.
(i) Tập các iđêan nguyên tố tối thiểu của R chứa AnnR N chính là
tập các phần tử tối thiểu của AttR N .
(ii) AttR N = ∅ khi và chỉ khi N = 0.
Định lý sau đây cho ta một lớp các môđun biểu diễn được.
Định lý 1.1.10. Mọi môđun Artin đều biểu diễn được.
Cho (R, m) là vành Noether địa phương, A là R-môđun Artin. Khi
đó A có cấu trúc tự nhiên như R-môđun. Với cấu trúc này, một môđun
con của A xét như R-môđun khi và chỉ khi nó là môđun con của A xét
như R-môđun. Do đó A là R-môđun Artin và ta có mối liên hệ giữa các
tập iđêan nguyên tố gắn kết như sau.
Bổ đề 1.1.11 ( [7], 11.3.7). Cho (R, m) là vành Noether địa phương, A
là R-môđun Artin. Khi đó
AttR (A) = {p ∩ R | p ∈ AttR (A)}.
Kết quả sau đây, gọi là tính chất dịch chuyển địa phương yếu.
Định lý 1.1.12 ( [7], 11.3.2). Cho (R, m) là vành Noether địa phương.
Giả sử M = 0 và p ∈ SuppR (M ) sao cho dim R/p = t. Giả sử i

0

là một số nguyên và q là một iđêan nguyên tố của R sao cho q ⊆ p và
qRp ∈ AttRp (HpiRp (Mp )). Khi đó q ∈ AttR (Hmi+t (M )).

Từ Định lý 1.1.12 ta có hệ quả sau.

Hệ quả 1.1.13. Cho (R, m) là vành Noether địa phương. Giả sử M = 0
và p ∈ AssR M với dim R/p = t. Khi đó Hmt (M ) = 0 và p ∈ AttR Hmt (M ).
Theo Mệnh đề 1.1.6, môđun đối đồng điều địa phương cấp cao
nhất với giá cực đại là Artin, do đó nó có biểu diễn thứ cấp. Tập iđêan
nguyên tố gắn kết của Hmd (M ) được cho bởi công thức sau.
7


Định lý 1.1.14 ([7], 7.3.2). Cho (R, m) là vành Noether địa phương Giả
sử M hữu hạn sinh và M = 0 và dim M = d. Khi đó Hmd (M ) = 0 và
AttR (Hmd (M )) = {p ∈ AssR M | dim(R/p) = d}.
Các định lý sau được đưa ra bởi Grothendieck có tên lần lượt là
Định lý triệt tiêu và Định lý không triệt tiêu của Grothendieck.
Định lý 1.1.15 ([7], 6.1.2). Cho R là Noether và M là hữu hạn sinh.
Khi đó Hai (M ) = 0 với mọi i > dimR (M ).
Định lý 1.1.16 ([7], 6.1.4). Cho (R, m) là vành Noether địa phương, M
khác 0 là hữu hạn sinh chiều d. Khi đó Hmd (M ) = 0.
Ký hiệu DR (−) là hàm tử đối ngẫu Matlis trên phạm trù các Rmôđun. Định lý Đối ngẫu địa phương [7, Định lý 11.2.6] cho ta mối liên
hệ giữa đối đồng điều địa phương và hàm tử Ext.
Định lý 1.1.17 (Định lý đối ngẫu địa phương). Giả sử (R, m) là ảnh
đồng cấu của một vành địa phương Gorenstein (R , m ) chiều n và ánh
xạ f : R −→ R là toàn cấu vành. Giả sử M là một R-môđun hữu hạn
sinh. Khi đó ExtjR (M, R ) là R-môđun hữu hạn sinh và ta có đẳng cấu:
Hmi (M ) ∼
= DR (ExtnR −i (M, R )).
1.2. Chiều đối đồng điều
Từ đây đến hết chương ta giả thiết thêm R là vành Noether và M
là hữu hạn sinh.
Định nghĩa 1.2.1. Chiều đối đồng điều của M tương ứng với a, kí hiệu
là cd(a, M ), được định nghĩa như sau

cd(a, M ) := sup{i ∈ N| Hai (M ) = 0}.
Nhận xét 1.2.2. Từ định nghĩa trên và Định lý 1.1.16 ta có nếu (R, m) là
vành Noether địa phương thì cd(m, M ) = dim M và cd(a, M ) ≤ dim M.
8


Ví dụ 1.2.3. Theo Ví dụ 1.1.3 ta có cd(a, ER (R/p)) = 0 với mọi a ⊆ p.
Để chứng minh một kết quả cần thiết về chiều đối đồng điều ta
cần kết quả sau, kết quả này được gọi là Định lý Gruson.
Bổ đề 1.2.4 ([19], Định lý 4.1). Cho M và N là hai R-môđun hữu hạn
sinh. Khi đó, nếu SuppR N ⊆ SuppR M thì tồn tại xích hữu hạn các
môđun con của N
0 = N0 ⊂ N1 ⊂ N2 ⊂ · · · ⊂ Nk = N
sao cho với mỗi j ∈ {1, 2, . . . , k} ta có Nj /Nj−1 là ảnh đồng cấu của
tổng trực tiếp của các bản sao của M.
Bổ đề 1.2.5. Cho M và N là hai R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó nếu
Supp(N ) ⊆ Supp(M ) thì cd(a, N ) ≤ cd(a, M ). Hơn nữa, nếu ta có
Supp(N ) = Supp(M ) thì cd(a, N ) = cd(a, M ).
Chứng minh. Vì dim N ≤ dim M nên ta chỉ cần chứng minh Hai (N ) = 0
với mọi i thỏa mãn
cd(a, (M )) < i ≤ dim(M ) + 1.
Ta chứng minh bằng quy nạp lùi theo i. Với i = dim(M ) + 1 khẳng định
là đúng theo Định lý 1.1.15. Giả sử i ≤ dim(M ) và khẳng định đúng với
i + 1 ta chứng minh khẳng định đúng với i. Vì Supp(N ) ⊆ Supp(M ) nên
theo Bổ đề 1.2.4 tồn tại xích các môđun con của N
0 = N0 ⊂ N1 ⊂ N2 ⊂ · · · ⊂ Nk = N
sao cho Nj /Nj−1 là ảnh đồng cấu của tổng trực tiếp của hữu hạn các
bản sao của M . Tức là với mỗi j ∈ {1, 2, . . . , k} luôn tồn tại nj ∈ N và
toàn cấu R-môđun M nj −→ Nj /Nj−1 . Ta chứng minh Hai (Nk ) = 0. Với
k = 1 ta có xích 0 ⊆ N và dãy khớp ngắn

0 −→ L1 −→ M n1 −→ N −→ 0
9


với n1 ∈ N và L1 là R-môđun hữu hạn sinh. Dãy khớp này cảm sinh dãy
khớp dài các môđun đối đồng điều địa phương
. . . −→ Hai (L1 ) −→ Hai (M n1 ) −→ Hai (N ) −→ Hai+1 (L1 ) −→ . . .
Vì Supp L1 ⊆ Supp M nên theo giả thiết quy nạp Hai+1 (L1 ) = 0. Lại vì
i > cd(a, M ) nên Hai (M n1 ) = (Hai (M ))n1 = 0 do đó Hai (N ) = 0.
Giả sử k ≥ 1 ta có 0 = N0 ⊂ N1 ⊂ N2 ⊂ · · · ⊂ Nk = N. Từ giả
thiết quy nạp ta có Hai (Nk−1 ) = 0, với Lk là R-môđun hữu hạn sinh xét
dãy khớp ngắn
0 −→ Lk −→ M nk −→ Nk /Nk−1 −→ 0,
tương tự như trên ta có Hai (Nk /Nk−1 ) = 0. Xét dãy khớp
0 −→ Nk−1 −→ Nk −→ Nk /Nk−1 −→ 0,
từ dãy khớp dài các môđun đối đồng điều địa phương cảm sinh bởi dãy
khớp này ta có Hai (Nk ) = 0 hay Hai (N ) = 0.
Hơn nữa nếu Supp(N ) = Supp(M ) thì vì Supp(N ) ⊆ Supp(M )
nên cd(a, N ) ≤ cd(a, M ). Tương tự ta có cd(a, N ) ≥ cd(a, M ), do đó
cd(a, N ) = cd(a, M ). Bổ đề được chứng minh.
Hệ quả 1.2.6. Giả sử 0 −→ L −→ M −→ N −→ 0 là một dãy khớp
ngắn các R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó
cd(a, M ) = max{cd(a, L), cd(a, N )}.
Chứng minh. Từ dãy khớp ngắn đã cho ta có
SuppR M = SuppR L ∪ SuppR N
do đó theo Bổ đề 1.2.5 ta có
cd(a, M ) ≥ max{cd(a, L), cd(a, N )}.
Mặt khác xét dãy khớp dài các môđun đối đồng điều địa phương cảm
sinh từ dãy khớp ngắn đã cho
. . . −→ Hai (L) −→ Hai (M ) −→ Hai (N ) −→ Hai+1 (L) −→ . . .

10


ta có với i > max{cd(a, L), cd(a, N )} thì Hai (M ) = 0 do đó
cd(a, M ) ≤ max{cd(a, L), cd(a, N )}.
Vậy cd(a, M ) = max{cd(a, L), cd(a, N )}.
Hệ quả 1.2.7. Cho a là iđêan của R. Khi đó
cd(a, M ) = cd(a, R/ AnnR M ) = max{cd(a, R/p) | p ∈ min Var(AnnR M )}.
Chứng minh. Đẳng thức thứ nhất được suy ra từ
Var(AnnR M ) = SuppR (M )
và Bổ đề 1.2.5. Để chứng minh đẳng thức thứ hai đặt
N=

R/p.
p∈min Var(AnnR M )

Ta có Supp(M ) = Supp(N ). Do đó theo Bổ đề 1.2.5 và Hệ quả 1.2.6 ta
có
cd(a, M ) = max{cd(a, R/p) | p ∈ min Var(AnnR M )}.
Hệ quả được chứng minh.
1.3. Linh hóa tử
Mục này tìm hiểu về linh hóa tử của môđun đối đồng điều địa
phương cấp cao nhất. Trước hết ta cần một số kiến thức bổ trợ. Bổ đề
sau tương tự như Mệnh đề 7.3.1 trong [7].
Bổ đề 1.3.1. Cho M khác 0 có chiều đồng điều cd(a, M ) = t. Đặt Ω là
tập các môđun con N của M thỏa mãn cd(a, N ) < cd(a, M ). Khi đó
(i) Trong Ω có phần tử lớn nhất, kí hiệu TR (a, M ).
(ii) cd(a, G) = t, trong đó G = M/TR (a, M ).
(iii) G không có môđun con khác 0 nào có chiều đối đồng điều
tương ứng với a nhỏ hơn t.

(iv) H t (G) ∼
= H t (M ).
a

a

11


Chứng minh. (i) Ta có Ω = ∅ vì 0 ∈ Ω. Vì R là vành Noether nên trong
Ω có phần tử cực đại (theo quan hệ bao hàm) giả sử là N. Lấy N ∈ Ω
ta có
SuppR (N + N ) ⊆ SuppR (N ) ∪ SuppR (N ) ⊆ SuppR (M ).
Với mọi iđêan p ∈ min Var(AnnR (N + N )) ta có p ∈ Var(AnnR N ) hoặc
p ∈ Var(AnnR N ). Kéo theo cd(a, R/p) < cd(a, M ). Do đó theo Hệ quả

1.2.7 ta có cd(a, N +N ) < cd(a, M ). Vậy N +N ∈ Ω. Ta có N ⊆ N +N
mà N là phần tử tối đại trong Ω nên N ⊆ N. Vậy trong Ω có phần tử
lớn nhất, kí hiệu TR (a, M ). Khi đó
TR (a, M ) = ∪ N | N là môđun con của M và cd(a, N ) < cd(a, M ) .
Đặt G = M/TR (a, M ).
(ii) Xét dãy khớp 0 −→ TR (a, M ) −→ M −→ G −→ 0 ta có
t = cd(a, M ) = max{cd(a, TR (a, M )), cd(a, G)}
mà cd(a, TR (a, M )) < t nên cd(a, G) = t.
(iii) Giả sử G có môđun con L/TR (a, M ) thỏa mãn
cd(a, L/TR (a, M )) < t,
trong đó L là môđun con của M chứa TR (a, M ). Khi đó ta có dãy khớp
ngắn
0 −→ TR (a, M ) −→ L −→ L/TR (a, M ) −→ 0,
và theo Hệ quả 1.2.6 suy ra cd(a, L) < t. Điều này kéo theo L ∈ Ω. Vậy

L ⊆ TR (a, M ) hay L/TR (a, M ) = 0.
(iv) Xét dãy khớp ngắn 0 −→ TR (a, M ) −→ M −→ G −→ 0, dãy
khớp này cảm sinh dãy khớp dài các môđun đối đồng điều
· · · → Hat (TR (a, M )) → Hat (M ) → Hat (G) → Hat+1 (TR (a, M )) → . . . .
Mà Hat (TR (a, M )) = Hat+1 (TR (a, M )) = 0 nên Hat (G) ∼
= Hat (M ).
12


Bổ đề 1.3.2. Với a là một iđêan của R, đặt A = {p ∈ Ass(M ) | p ⊇ a}.
Giả sử 0 = ∩Nj là phân tích nguyên sơ của 0 trong M trong đó Nj là
j

pj -nguyên sơ. Khi đó Ha0 (M ) =

Nj .
pj ∈A

Chứng minh. Ta có
(0 : ak ) = (0 : an ) = (

Ha0 (M ) =

k∈N

M

M

Nj : an ) =

M

j

(Nj : an ),
j

M

với n đủ lớn. Vì Nj là pj -nguyên sơ nên pj = Rad(Ann M/Nj ). Do đó
n

tồn tại nj ∈ N sao cho pj j M ⊆ Nj . Khi đó nếu pj ∈ A thì pj ⊇ a do
đó anj M ⊆ Nj kéo theo an M ⊆ Nj hay (Nj : an ) = M. Mặt khác nếu
M

pj ∈ A thì a ⊆ pj . Do đó tồn tại x ∈ a là M/Nj -chính quy. Điều này kéo

theo (Nj : an ) = Nj . Vậy Ha0 (M ) =
M

Nj .
pj ∈A

Bổ đề 1.3.3. Cho M khác 0 thỏa mãn cd(a, M ) = c và giả sử dãy
M0 ⊆ M1 ⊆ M2 ⊆ · · · ⊆ Mc là một dãy các môđun con của M sao cho
với mỗi 0 ≤ i ≤ c ta có Mi là môđun con lớn nhất của M thỏa mãn
cd(a, Mi ) ≤ i. Khi đó
Mi = Ha0i (M ) =

Nj ,
cd(a,R/pj )>i

n
j=1 Nj

trong đó 0 =

là phân tích nguyên sơ tối tiểu của môđun con 0

của M và Nj là môđun con pj −nguyên sơ của M với mọi 1 ≤ j ≤ n và
ai =

pj .
cd(a,R/pj )≤i

Chứng minh. Đặt
A = {p ∈ Ass(M ) | p ⊇ ai }
= {p ∈ Ass(M ) | p ⊇ pj , cd(a, R/pj ) ≤ i}
Theo Bổ đề 1.3.2 ta có Ha0i (M ) = ∩ Nj =
pj ∈A

∩

Nj . Ta chứng minh

cd(a,R/pj )>i

Mi = Ha0i (M ). Lấy x ∈ Mi vì Rx ⊆ Mi nên theo Bổ đề 1.2.5 ta có
cd(a, Rx) ≤ i. Với mọi p ∈ min Var(AnnR Rx) theo Bổ đề 1.2.5 ta có

13


cd(a, R/p) ≤ cd(a, Rx) . Mặt khác vì p ∈ AssR (Rx) ⊆ AssR M nên tồn
tại 1 ≤ j ≤ n sao cho pj = p. Do đó ta có
ai ⊆

∩

pj ⊆

cd(a,R/pj )≤i

∩

p∈min Var(AnnR (Rx))

p = Rad(AnnR (Rx)).

Do đó tồn tại ni ≥ 1 thỏa mãn ani i ⊆ AnnR (Rx). Điều này kéo theo
ani x = 0. Suy ra x ∈ Ha0i (M ). Vì vậy Mi ⊆ Ha0i (M ). Mặt khác vì

Supp Ha0i (M ) ⊆ Var(ai ) nên với mọi p ∈ Supp Ha0i (M ) tồn tại j ≥ 1 thỏa
mãn pj ⊆ p và cd(a, R/pj ) ≤ i. Vì Supp R/p ⊆ Supp R/pj nên theo Bổ
đề 1.2.5 ta có cd(a, R/p) ≤ cd(a, R/pj ) ≤ i. Theo Hệ quả 1.2.7 ta có
cd(a, Ha0i (M )) ≤ i. Theo tính tối đại của Mi nên Mi = Ha0 (M ).
Nhận xét 1.3.4. Với những kí hiệu như trên ta có TR (a, M ) = Mc−1 và
TR (a, M ) = Hb0 (M ) =

Nj ,

cd(a,R/pj )=c

pj .

với b =
cd(a,R/pj )=c

Nếu (R, m) là vành địa phương thì TR (m, M ) chính là môđun con
lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn dimR M và được kí hiệu là UM (0).
Bổ đề 1.3.5. Cho (R, m) là vành địa phương, x ∈ R và M khác 0
có chiều d sao cho Had (M ) = 0. Khi đó Had (xM ) = 0 nếu và chỉ nếu
xHad (M ) = 0.
Chứng minh. ([2], Hệ quả 3.11)
Định lý dưới đây là kết quả chính của chương, trình bày lại chứng
minh của Định lý 2.3 trong [1]. Định lý đưa ra công thức tính linh hóa
tử của môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất với giá bất kì.
Định lý 1.3.6. Cho M chiều d thỏa mãn cd(a, M ) = d. Khi đó
AnnR (Had (M )) = AnnR (M/TR (a, M )).
Chứng minh. Từ dãy khớp
0 −→ TR (a, M ) −→ M −→ M/TR (a, M ) −→ 0
14


ta có cd(a, M/TR (a, M )) = d và Had (M ) ∼
= Had (M/TR (a, M )). Suy ra để
chứng minh định lí ta chứng minh
AnnR (Had (M/TR (a, M ))) = AnnR (M/TR (a, M )).
Đặt G = M/TR (a, M ) ta có TR (a, G) = 0. Do vậy không mất tính tổng
quát giả sử TR (a, M ) = 0 và chứng minh AnnR (Had (M )) = AnnR (M ).
Dễ thấy AnnR (M ) ⊆ AnnR (Had (M )). Để chứng minh bao hàm thức

ngược lại ta chứng minh AnnR/ AnnR (M ) (Had (M )) = 0. Tức là chứng minh
AnnR/ AnnR (M ) (Had(R/ AnnR (M )) (M )) = 0. Vì M, R/ AnnR (M ) là các môđun
hữu hạn sinh nên SuppR (R/ AnnR (M )) = Var(AnnR (M )) = SuppR (M )
theo Bổ đề 1.2.5 ta có
cd(a, R/ AnnR (M )) = cd(a, M ) = dim M = dim R/ AnnR (M ) = d.
Do đó ta có thể giả sử cd(a, R) = d = dim R và AnnR (M ) = 0 và chứng
minh AnnR (Had (M )) = 0. Trước hết ta chứng minh với mọi phần tử
x ∈ AnnR (Had (M )) thì Had (xM ) = 0. Theo Định lý 1.1.4 ta có
Had (xM ) ⊗R Rp = HadRp (xMp ), với mọi p ∈ Spec(R).
Do đó ta cần chứng minh HadRp (xMp ) = 0. Thật vậy, nếu dimRp (xMp ) < d
theo Định lý 1.1.15 ta có HadRp (xMp ) = 0. Nếu dimRp (xMp ) = d ta có
d = dimRp (xMp ) ≤ dimRp (Mp ) ≤ dimR (M ) = d.
Suy ra dimRp (Mp ) = d. Nếu HadRp (Mp ) = 0 thì cd(aRp , Mp ) < d kéo theo
cd(aRp , xMp ) < d tức HadRp (xMp ) = 0, do đó ta giả sử HadRp (Mp ) = 0,
theo Bổ đề 1.3.5 ta có xHadRp (Mp ) = 0 khi và chỉ khi HadRp (xMp ) = 0 với
mọi p ∈ Spec(R). Khẳng định được chứng minh. Từ đó cd(a, xM ) < d
lại vì TR (a, M ) = 0 nên xM = 0 kéo theo x ∈ AnnR (M ) = 0. Vậy
x = 0.
Hệ quả 1.3.7. (i) Giả sử M khác 0 thỏa mãn cd(a, M ) = d = dim M.
Khi đó
AnnR (Had (M )) = AnnR (M/Hb0 (M )) = AnnR (M/
15

∩
cd(a,R/pj )=d

Nj )


n

j=1 Nj

trong đó 0 =

là phân tích nguyên sơ tối tiểu của môđun con 0

của M, Nj là môđun con pj − nguyên sơ của M với mọi 1 ≤ j ≤ n và
b=

pj .
cd(a,R/pj )=d

(ii) Giả sử (R, m) là vành địa phương và dim M = d. Khi đó
AnnR (Hmd (M )) = AnnR M/UM (0).
Chứng minh. (i) Theo Bổ đề 1.3.3 và Định lý 1.3.6 ta có điều phải chứng
minh.
(ii)Vì (R, m) là vành địa phương nên cd(m, M ) = dim M. Áp dụng
Định lý 1.3.6 ta có điều phải chứng minh.
Hệ quả 1.3.8. Giả sử dim R = d và cd(a, R) = d. Khi đó
AnnR (Had (R)) = TR (a, R).
Chứng minh. Theo Định lý 1.3.6 ta có AnnR (Had (R)) = AnnR (R/TR (a, R))
mà AnnR (R/TR (a, R)) = TR (a, R). Vậy AnnR (Had (R)) = TR (a, R).
Hệ quả 1.3.9. Giả sử dim R = d và cd(a, R) = d. Khi đó các khẳng
định sau là tương đương
(i) AnnR (Had (R)) = 0;
(ii) AssR (R) = {p ∈ Spec R | cd(a, R/p) = d}.
Chứng minh. (i) ⇒ (ii) Áp dụng Hệ quả 1.3.7,(i) với R-môđun R ta có
AnnR (Had (R)) =
trong đó 0 =

n
j=1 qj

∩
cd(a,R/pj )=d

qj

là phân tích nguyên sơ tối tiểu của iđêan 0 của

R, qj là iđêan pj -nguyên sơ của R với mọi 1 ≤ j ≤ n.Theo giả thiết
∩
cd(a,R/pj )=d

qj = 0 mà 0 =

n
j=1 qj

là phân tích nguyên sơ tối tiểu của

iđêan 0. Do đó
AssR (R) = {p ∈ Spec R | cd(a, R/p) = d}.

16


(ii) ⇒ (i) Ta có
AssR (R) = {pj | 1 ≤ j ≤ n} = {p ∈ Spec R | cd(a, R/p) = d}.
Áp dụng Hệ quả 1.3.7, (i) suy ra

AnnR (Had (R)) =

∩

qj = ∩nj=1 qj = 0.

cd(a,R/pj )=d

Hệ quả được chứng minh.
Hệ quả 1.3.10. Giả sử dim M = d và cd(a, M ) = d. Khi đó
(i) AnnR (Had (M )) = AnnR (M ) nếu ta có
AssR M ⊆ {p ∈ SuppR M | cd(a, R/p) = d}.
(ii) Var(AnnR (Had (M ))) = SuppR (M/TR (a, M )).
Chứng minh. (i) Theo giả thiết và Nhận xét 1.3.4 ta có TR (a, M ) = 0.
Do đó theo Định lý 1.3.6 ta có điều phải chứng minh.
(ii) Theo Định lý 1.3.6 ta có
Var(AnnR (Had (M ))) = Var(AnnR M/TR (a, M )) = SuppR (M/TR (a, M )).
Hệ quả được chứng minh.

17


Chương 2

Môđun đối đồng điều địa phương
giá cực đại
2.1. Vành catenary và catenary phổ dụng
Trong tiết này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và một số
kết quả về tính catenary của vành sẽ được dùng trong luận văn. Ở đây
ta quy ước R là vành giao hoán có đơn vị và M là một R-môđun.

Định nghĩa 2.1.1. Cho q ⊆ p là các iđêan nguyên tố của R. Một dãy
các iđêan nguyên tố q = p0 ⊆ p1 ⊆ . . . ⊆ pn = p sao cho pi = pi+1 , với
mọi i = 0, . . . , n − 1, được gọi là một dãy các iđêan nguyên tố bão hòa
giữa q và p nếu với mọi 0 ≤ i ≤ n − 1 không tồn tại iđêan nguyên tố
a nào thỏa mãn pi ⊆ a ⊆ pi+1 và pi = a = pi+1 . Khi đó n được gọi là

độ dài của dãy iđêan nguyên tố bão hòa giữa q và p . Ta nói vành R là
catenary nếu với mọi cặp iđêan nguyên tố q ⊆ p của R luôn tồn tại một
dãy iđêan nguyên tố bão hòa giữa q và p và mọi dãy iđêan nguyên tố
bão hòa giữa q và p đều có chung độ dài.
Chú ý rằng nếu R là vành địa phương Noether thì dim R < ∞.
Do đó với mọi cặp iđêan nguyên tố q ⊆ p của R luôn tồn tại một dãy
iđêan nguyên tố bão hòa giữa q và p. Trong trường hợp này vành R là
catenary khi và chỉ khi mọi dãy iđêan nguyên tố bão hòa giữa q và p đều
có chung độ dài.
Một loại đặc biệt của vành catenary là vành catenary phổ dụng
18


được định nghĩa như sau:
Định nghĩa 2.1.2 ([13]). Vành R được gọi là vành catenary phổ dụng
nếu mỗi R-đại số hữu hạn sinh là catenary.
Giả sử S là R-đại số hữu hạn sinh. Khi đó tồn tại a1 , . . . , at ∈ S
sao cho S = R[a1 , . . . , at ]. Do đó S đẳng cấu với một vành thương của
vành đa thức R[x1 , . . . , xt ]. Vì vành thương của vành catenary là vành
catenary nên vành R là catenary phổ dụng khi và chỉ khi mọi vành đa
thức hữu hạn biến trên R là catenary.
Tiếp theo đưa ra khái niệm thớ hình thức của một vành.
Định nghĩa 2.1.3. Giả sử (R, m) là một vành địa phương, với mọi
p ∈ Spec R và P ∈ Spec R sao cho p = P ∩ R. Ta gọi vành Rp /pRp ⊗ RP

là vành thớ hình thức của vành R ứng với p và P.
Định nghĩa 2.1.4. Cho (R, m) là vành Noether địa phương, M là Rmôđun hữu hạn sinh, M được gọi là môđun Cohen-Macaulay nếu M = 0
hoặc depth M = dim M . Nếu R là R-môđun Cohen-Macaulay thì ta nói
R là một vành Cohen-Macaulay.
2.2. Tính bão hòa nguyên tố và tập giả giá
Từ đây đến hết chương ta luôn giả thiết (R, m) là vành địa phương
Noether với m là iđêan tối đại duy nhất, A là R-môđun Artin và M là
R-môđun hữu hạn sinh. Trước hết ta xét một tính chất cơ sở của các Rmôđun hữu hạn sinh M như sau: Giả sử p ∈ Spec(R) và p chứa AnnR M
suy ra p ∈ SuppR M . Khi đó Mp = 0. Theo Bổ đề Nakayama ta suy ra
(M/pM )p ∼
= Mp /pRp Mp = 0.
Vì thế p ∈ SuppR (M/pM ), tức là p ⊇ AnnR (M/pM ). Hiển nhiên ta có
p ⊆ AnnR (M/pM ), vì vậy

AnnR (M/pM ) = p với mọi iđêan nguyên tố p ⊇ AnnR M.
19


Rất tự nhiên, theo suy nghĩ đối ngẫu, N. T. Cường và L. T. Nhàn ( xem
[10]) đã xét tính chất sau đối với các môđun Artin A:
AnnR (0 :A p) = p với mọi iđêan nguyên tố p ⊇ AnnR A.

(∗)

Nhận xét 2.2.1. Giả sử R là đầy đủ theo tôpô m-adic. Khi đó đối ngẫu
Matlis D(A) là R-môđun hữu hạn sinh. Mà AnnR A = AnnR D(A). Vì
thế áp dụng tính chất linh hóa tử cho môđun D(A) ta có
AnnR (0 :A p) = AnnR (D(0 :A p)) = AnnR (D(A)/p D(A)) = p
với mọi iđêan nguyên tố p ⊇ AnnR A = AnnR D(A). Do vậy tính chất

(*) luôn đúng cho mọi môđun Artin trên vành địa phương đầy đủ.
Tuy nhiên, tính chất (*) không còn đúng khi vành R không đầy
đủ. Ví dụ sau chỉ ra điều đó.
Ví dụ 2.2.2 (xem [10], Ví dụ 4.4). Tồn tại một môđun Artin trên vành
Noether địa phương không thỏa mãn tính chất (*).
Chứng minh. Gọi (R, m) là miền Noether địa phương chiều 2 được xây
dựng bởi D. Ferrand và M. Raynaud (xem [11]) thỏa mãn tính chất
tồn tại một iđêan nguyên tố nhúng Q ∈ Ass R với dim R/Q = 1. Khi đó
H 1 (R) là môđun Artin và ta có đẳng cấu các R-môđun H 1 (R) ∼
= H 1 (R).
m

m

Theo Hệ quả 1.1.13 ta suy ra Q ∈

AttR Hm1 (R)

m

. Suy ra Q ∩ R ∈

AttR Hm1 (R) . Chú ý rằng Ass R = {P ∩ R : P ∈ Ass R}. Vì thế ta
có Q ∩ R ∈ Ass R. Do R là miền nguyên nên Ass R = {0}. Do đó
0 = Q ∩ R ∈ AttR (Hm1 (R)). Vì thế
Rad(AnnR (Hm1 (R))) =

p ⊆ Q ∩ R = 0.
1 (R))
p∈AttR (Hm

Mặt khác vì 0 ∈ AttR (Hm1 (R)) và min AttR (Hm1 (R)) = min AnnR (Hm1 (R))
nên 0 ⊇ AnnR (Hm1 (R)). Vậy AnnR (Hm1 (R)) = 0. Chọn A = Hm1 (R). Khi
đó A là R-môđun Artin. Lấy tùy ý một iđêan nguyên tố p của R sao
cho p = 0 và p = m. Ta đã chứng minh ở trên rằng AnnR A = 0, do đó
20


p ⊃ AnnR A. Lấy 0 = x ∈ p, xét dãy khớp
x

0 → R → R → R/xR → 0.
Dãy này cảm sinh dãy khớp các môđun đối đồng điều địa phương
x

0 → Hm0 (R/xR) → Hm1 (R) → Hm1 (R).
Suy ra Hm0 (R/xR) ∼
= (0 :Hm1 (R) x) = (0 :A x). Vì Hm0 (R/xR) là Rmôđun có độ dài hữu hạn nên (0 :A x) có độ dài hữu hạn. Do x ∈ p
nên (0 :A p) ⊆ (0 :A x) và do đó (0 :A p) có độ dài hữu hạn. Vì thế
AnnR 0 :A p là iđêan m-nguyên sơ, điều này chứng tỏ Ann(0 :A p) = p.
Vậy A không thỏa mãn tính chất (*).
Định nghĩa 2.2.3. Ta nói R-môđun Artin A là bão hòa nguyên tố nếu
AnnR (0 :A p) = p với mọi iđêan nguyên tố p ⊇ AnnR A.
Mục đích chính của tiết này là đặc trưng tính bão hòa nguyên tố
của môđun Artin Hmi (M ). Trước hết chúng ta tìm hiểu tính bão hòa
nguyên tố của môđun Artin. Ta có
SuppR M = {P ∩ R : P ∈ SuppR M }.
Vì M là hữu hạn sinh nên SuppR M = Var(AnnR M ). Tương tự,
vì M là R-môđun hữu hạn sinh nên SuppR M = Var(AnnR M ). Do đó
theo bổ đề trên ta có

Var(AnnR M ) = {P ∩ R : P ∈ Var(AnnR M )}.
Hơn nữa, mỗi R-môđun Artin đều có cấu trúc tự nhiên là R-môđun
Artin. Vì thế rất tự nhiên chúng ta hỏi rằng liệu đẳng thức
Var(AnnR A) = {P ∩ R : P ∈ Var(AnnR A)}
có xảy ra cho môđun Artin A. Dưới đây chúng ta chỉ ra rằng đẳng thức
này xảy ra khi và chỉ khi A bão hòa nguyên tố.
21


Mệnh đề 2.2.4. Các điều kiện sau là tương đương:
(i) A bão hòa nguyên tố.
(ii) Var(AnnR A) = {P ∩ R : P ∈ Var(AnnR A)}.
Chứng minh. (i) ⇒ (ii). Cho P ∈ Var(AnnR A). Khi đó tồn tại một
iđêan nguyên tố Q ∈ min Var(AnnR A) sao cho P ⊇ Q. Theo Bổ đề
1.1.9, mỗi iđêan nguyên tố tối thiểu chứa AnnR A đều là một iđêan
nguyên tố gắn kết của R-môđun Artin A, do đó Q ∈ AttR A. Theo Bổ
đề 1.1.11,
AttR A = {P ∩ R : P ∈ AttR A}.
Vì thế Q ∩ R ∈ AttR A. Suy ra Q ∩ R ∈ Var(AnnR A) và vì thế ta suy
ra P ∩ R ∈ Var(AnnR A). Do đó
Var(AnnR A) ⊇ {P ∩ R : P ∈ Var(AnnR A)}.
Ngược lại, cho p ∈ Var(AnnR A). Theo giả thiết (i), A bão hòa nguyên tố
nên AnnR (0 :A p) = p. Rõ ràng mọi iđêan nguyên tố chứa AnnR (0 :A p)
đều phải chứa p, do đó p là iđêan bé nhất chứa AnnR (0 :A p). Theo Bổ
đề 1.1.9 ta suy ra p ∈ AttR (0 :A p). Lại vì
AttR (0 :A p) = {P ∩ R : P ∈ AttR (0 :A p)}
nên tồn tại iđêan nguyên tố P ∈ AttR (0 :A p) sao cho P ∩ R = p. Vì
P ∈ AttR (0 :A p) nên P ⊇ AnnR (0 :A p). Vì thế P ∈ Var(AnnR A) và
P ∩ R = p, tức là
Var(AnnR A) ⊆ {P ∩ R : P ∈ Var(AnnR A)}.

(ii) ⇒ (i). Cho p ∈ Var(AnnR A). Theo giả thiết (ii), tồn tại iđêan
nguyên tố P ∈ Var(AnnR A) sao cho P ∩ R = p. Do tính bão hòa nguyên
tố luôn thỏa mãn đối với mọi môđun Artin trên vành đầy đủ R nên ta
có AnnR (0 :A P ) = P . Lại do pR ⊆ P nên ta có
p ⊆ AnnR (0 :A p) = AnnR (0 :A pR) ⊆ AnnR (0 :A P ) ∩ R = P ∩ R = p

Suy ra AnnR (0 :A p) = p.
22