CHƯƠNG 1: HÀM GIẢI TÍCH

Định lí: Nếu hàm w = f(z) = u(x, y) + jv(x, y) có đạo hàm tại z, thì phần thực u(x, y)
và phần ảo v(x, y) của nó có đạo hàm riêng tại (x, y) và các đạo hàm riêng đó thoả
mãn hệ thức:
x
v
y
u
;
y
v
x
u
∂
∂
−=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
(5)
(5) là điều kiện Cauchy - Riemann. Đây là điều kiện cần.
Ngược lại nếu các hàm số u(x, y) và v(x, y) có các đạo hàm riêng liên tục, thoả mãn
điều kiện C - R thì hàm w = f(z) có đạo hàm tại z = x + jy và được tính theo công
thức:


xx
vju)z(f

′
+
′
=
′
Đây là điều kiện đủ.
Ta chứng minh điều kiện cần: Giả sử f’(z) tồn tại, nghĩa là giới hạn của tỉ số:
[][]
yjx
vju
yjx
)y,x(v)yy,xx(vj)y,x(u)yy,xx(u
yjx
)y,x(v)y,x(u)yy,xx(jv)yy,xx(u
z
w
∆+∆
∆+∆
=
∆+∆
−∆+∆++−∆+∆+
=
∆+∆
−−∆+∆++∆+∆+
=
∆
∆

bằng f’(z) khi
∆

z
→
0 theo mọi cách. Đặc biệt khi
∆
z =
∆
x thì:
x
v
j
x
u
z
w
xx
∆
∆
+
∆
∆
=
∆
∆

Trong đó
∆
u =
∆
x
u là số gia riêng của u đối với x.

Cho
∆
x
→
0, theo giả thiết thì vế trái dần tới f’(z). Do đó vế phải cũng có giới hạn là
f’(z). Từ đó suy ra:
x
u
x
∆
∆
có giới hạn là
x
u
∂
∂

x
v
x
∆
∆
có giới hạn là
x
v
∂
∂

và:
x

v
j
x
u
)z(f
∂
∂
+
∂
∂
=
′
(6)
Tương tự, khi ∆z = ∆y thì:

y
u
j
y
v
yj
vju
z
w
yyyy
∆
∆
−
∆
∆

=
∆
∆+∆
=
∆
∆

Cho ∆z → 0 ta có:
y
u
j
y
v
)z(f
∂
∂
−
∂
∂
=
′
(7)
So sánh (6) và (7) ta có:
y
u
j
y
v
x
v

j
x
u
∂
∂
−
∂
∂
≡
∂
∂
+
∂
∂

Từ đây ta rút ra điều kiện C - R:

y
u
x
v
;
y
v
x
u
∂
∂
−=
∂

∂
∂
∂
=
∂
∂


15
Tiếp theo ta chứng minh điều kiện đủ: Giả sử các hàm u(x, y) và v(x, y) có các đạo
hàm riêng liên tục tại (x, y) và các đạo hàm đó thoả mãn điều kiện C - R. Ta cần
chứng minh
z
w
∆
∆
có giới hạn duy nhất khi ∆z → 0 theo mọi cách.
Ta viết:
yjx
vju
z
w
∆+∆
∆+∆
=
∆
∆
(8)
Từ giả thiết ta suy ra u(x, y) và v(x, y) khả vi, nghĩa là:
yxy

y
u
x
x
u
u
21
∆α+∆α+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
=∆

yxy
y
v
x
x
v
v
21
∆β+∆β+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
=∆

Trong đó α
1
, α
2
, β
1
, β
2
→ 0 khi ∆x → 0, ∆y → 0(tức là ∆z → 0). Thay vào (8) các kết
quả này ta có:
yjx
yxy
y
v
x
x
v
jyxy
y
u
x
x
u
z
w
2121
∆+∆
⎟
⎟

⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∆β+∆β+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
+∆α+∆α+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
=
∆
∆

()( )
yjx
yjxj
yjx
y
y
v
jx

x
v
jy
y
u
x
x
u
2211
∆+∆
∆β+α+∆β+α
+
∆+∆
∆
∂
∂
+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
=

Do điều kiện C - R, ta có thể lấy ∆x + j∆y làm thừa số chung trong tử số của số hạng
thứ nhất bên vế phải:
()() ()

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
∆+∆=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−∆+∆+
∂
∂
∆+∆=
∆
∂

∂
+∆
∂
∂
−∆
∂
∂
+∆
∂
∂
=∆
∂
∂
+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
y
u
j
x
u
yjx
y
u

jyjx
x
u
yjx
y
x
u
jx
y
u
jy
y
u
x
x
u
y
y
v
jx
x
v
jy
y
u
x
x
u

Vậy:

()( )
yjx
yjxj
y
u
j
x
u
z
w
2211
∆+∆
∆β+α+∆β+α
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=
∆
∆

(9)
Chú ý là khi ∆x → 0, ∆y → 0 thì số hạng thứ 2 bên vế phải dần tới 0. Thật vậy:
1
yx
x
yjx
x
yjx
x
22
≤
∆+∆
∆
=
∆+∆
∆
=
∆+∆
∆

()
1111
j
yjx
x
j β+α≤
∆+∆
∆
β+α

Khi ∆x → 0, ∆y → 0 thì α
1
→ 0 và β
1
→ 0, Vậy
()
0
yjx
x
j
11
→
∆+∆
∆
β+α

Tương tự ta chứng minh được rằng
()
0
yjx
y
j
22
→
∆+∆
∆
β+α


16

Cho nên nếu cho ∆z → 0 theo mọi cách thì vế phải của (9) sẽ có giới hạn là
y
u
j
x
u
∂
∂
−
∂
∂
.
Vậy vế trái cũng dần tới giới hạn đó, nghĩa là ta đã chứng minh rằng tồn tại
y
u
j
x
u
)z(f
∂
∂
−
∂
∂
=
′
.
Do điều kiện C - R nên ta có thể tính đạo hàm bằng nhiều biểu thức khác nhau:
x
v

j
y
v
y
u
j
x
u
y
u
j
y
v
x
v
j
x
u
)z(f
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
−
∂
∂

=
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
′

Ví dụ 1
: Tìm đạo hàm của hàm số w = e
x
cosy + je
x
siny.
Hàm có đạo hàm tại mọi điểm vì điều kiện C - R luôn luôn thoả mãn.
Thật vậy: u = e
x
cosy, v = e
x
siny


y

x
x
vycoseu
′
==
′

x
x
y
vysineu
′
−=−=
′

wysinjeycose
dz
dw
xx
=+=

Ví dụ 2
: Tìm đạo hàm của hàm w = x + 2y + j(2x + y)
u = x + 2y
v = 2x + y
2v2u,v1u
xyyx
−=
′
−≠=

′′
==
′


Ví dụ 3
: Xét sự khả vi của hàm

w = z
2
= (x
2
- y
2
) + 2jxy.
Vì
x
v
y2
y
u
;
y
v
x2
x
u
∂
∂
=−=

∂
∂
∂
∂
==
∂
∂
tại mọi điểm hữu hạn. w = z
2
khả vi tại mọi điểm
z ≠ ∞ và z’ = 2z.

Ví dụ 4
: Xét sự khả vi của hàm

w = z.Rez = x
2
+ jxy.
Do hệ phương trình:
x
v
y0
y
u
y
v
xx2
x
u
∂

∂
=−==
∂
∂
∂
∂
===
∂
∂

chỉ thoả mãn tại điểm (0, 0) nên w chỉ khả vi tại z = 0
4. Các quy tắc tính đạo hàm
: Vì định nghĩa đạo hàm của hàm biến phức giống định
đạo hàm của hàm biến thực, nên các phép tính đạo hàm của tổng, tích, thương hàm
hợp hoàn toàn tương tự như đối với hàm thực.
Giả sử các hàm f(z) và g(z) có đạo hàm tại z. Khi đó:
[ f(z) + g(z) ]’ = f’(z) + g’(z)

17
[ f(z).g(z) ]’ = f’(z).g(z) + g’(z).f(z)

)z(g
)z('g).z(f)z(g).z('f
)z(g
)z(f
2
−
=
′
⎥

⎦
⎤
⎢
⎣
⎡

Nếu w = f(z) , z = ϕ(ζ) đều là các hàm có đạo hàm, thì đạo hàm của hàm hợp w =
f[ϕ(ζ)] là:
ζ
=
ζ d
dz
.
dz
dw
d
dw

Nếu f(z) là hàm đơn diệp có hàm ngược là h(w), thì:
0)w('h,
)w('h
1
)z('f ≠=


5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
: Giả thiết hàm w = f(z) có đạo hàm tại mọi điểm
trong lân cận điểm z
o
và f’(z

o
) ≠ 0.
a. Ý nghĩa hình học của Arg f’(z
o
)
: Phép biến hình w = f(z) biến điểm z
o
thành
điểm w
o
= f(z
o
). Gọi M
o
là toạ vị của z
o
và P
o
là toạ vị của w
o
. Cho một đường cong
bất kì đi qua M
o và
có phương trình là z(t) = x(t) + jy(t). Giả sử:
z’(t
o
) = x’(t
o
) + jy’(t
o

) ≠ 0
nghĩa là haí số x’(t
o
) và y’(t
o
) không đồng thời triệt tiêu khi t = t
o
. Vậy đường cong L
có tiếp tuyến tại M
o
mà ta gọi là M
o
T.
Γ
P
P
o
v
u
O

L
M
o
T
M
y
x
O

τ






Gọi Γ là ảnh của đường cong L qua phép biến hình. Hiển nhiên đường cong đi
qua điểm P
o
và có phương trình w = w(t) = f[z(t)]. Theo công thức đạo hàm hàm hợp
ta có w’(t
o
) = f’(z
o
).z’(t
o
). Theo giả thiết thì f’(z
o
) ≠ 0, z’(t
o
) ≠ 0 nên w’(t
o
) ≠ 0. Như
vậy tại P
0
, đường cong Γ có tiếp tuyến P

o
τ. Bây giờ ta lấy z là điểm khác thuộc L. Nó
có ảnh là w ∈ Γ. Theo định nghĩa đạo hàm:
)z(f
zz
ww
lim
o
0
0
o
zz
′
=
−
−
→
(12)
Vậy
[]
)zz(Arg)ww(Arglim
zz
ww
Arglim)z(fArg
oo
o
zz
o
o
o

zz
o
−−−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
′
→→

Gọi M, P lần lượt là toạ vị của z và w thì đẳng thức trên được viết là:

18
( ) ( )
MM,OxlimPP,Oulim)z(fArg
o
LP
o
MM
o
P
o
PP
o
∈

→
Γ∈
→
−=
′

Vì khi P → P
o
, cát tuyến P
o
P dần tới tiếp tuyến P
o
τ với Γ; khi M → M
o
, cát tuyến
M
o
M dần tới tiếp tuyến M
o
T với L nên:
( ) ( )
TM,OxP,Ou)z(fArg
ooo
−τ=
′
(13)
hay:
( ) ( )
TM,Ox)z(fArgP,Ou
ooo

+
′
=τ

Từ đó suy ra Argf’(z
o
) là góc mà ta cần quay tiếp tuyến M
o
T với đường cong L tại M
o

để được hướng của tiếp tuyến P
o
τ với đường cong Γ tại P
o
.
Bây giờ ta xét hai đường cong bất kì L và L’ đi qua M
o
, lần lượt có tiếp tuyến
tại M
o
là M
o
T và M
o
T’. Gọi Γ và Γ’ là ảnh của L và L’qua phép biến hình w = f(z). Γ
và Γ’ lần lượt có tiếp tuyến tại P
o
là P
o

τ và P
o
τ’. Theo kết quả trên:
( ) ( )
TM,OxP,Ou)z(fArg
ooo
−τ=
′

Do (13) được thiết ập với L và Γ bất kì nên: l
( ) ( )
'TM,Ox'P,Ou)z(fArg
ooo
−τ=
′

Từ đó suy ra:
( ) ( ) ( ) ( )
TM,OxTM,OxP,OuP,Ou
oooo
+
′
=τ−τ
′

Vậy góc giữa hai đường cong L và L’ bằng góc giữa hai ảnh Γ và Γ’ cả về độ lớn và
hướng. Ta nói phép biến hình w = f(z) bảo toàn góc giữa hai đường cong hay phép
biến hình w = f(z) là bảo giác.

b. Ý nghĩa của

|
f’(z
o
)
|: Do (12) ta có:
MMlim
PPlim
zz
ww
lim
zz
ww
lim)z(f
o
o
MM
o
o
PP
o
o
o
zz
o
o
o
zz
0
→
→

→→
=
−
−
=
−
−
=
′

Với ∆z = z - z
o
khá nhỏ thì ∆w cũng khá nhỏ và ta có:
MM
PP
)z(f
o
o
0
≈
′

hay:
MM.)z(fPP
o0o
′
≈
(15)
Nếu
1)z(f

o
>
′
thì P
o
P > M
o
M và ta có một phép biến hình dãn. Nếu
1)z(f
o
<
′
thì
P
o
P < M
o
M và ta có một phép biến hình co.
Công thức (15) đúng với mọi cặp M và P nên ta nói
)z(f
o
′
là hệ số co dãn của phép
biến hình tại z
o
.
Trên đây ta đã giả thiết f’(z
o
) ≠ 0. Nếu f’(z
o

) = 0 thì kết quả trên không đúng
nữa.
Ví dụ
: Xét hàm w = z
2
.
Qua phép biến hình này, nửa trục dương Ox (argz = 0), có ảnh là nửa trục dương
Ou(argw = 0). Nửa trục Oy dương
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
=
2
zarg
có ảnh là nửa trục Ou âm (argw = π).

19