ôn thi chương 1 phần giải tích 12

*******************************************************************************************************************************
Trường THPT Long Kiến Tổ Toán –Tin Học
*******************************************************************************************************************************
Tuần 2 Tiết 5-6
Chủ đề 3: Phương pháp khảo sát hàm số y=ax
3
+bx
2
+cx+d.
Mục tiêu :
Học sinh nắm được các bước khảo sát hàm số bậc ba ,làm các bài toán tổng hợp,cực
trò,điểm uốn,viết phương trình tiếp tuyến của hàm số.Biện luận số nghiệm của phương
trình dựa vào đồ thò
Kiểm tra kiến thức củ:
Nêu các bước khảo sát hàm số bậc 3
Qui tắc tìm điểm cực trò của hàm số
Dấu hiệu nhận biết hàm số đồng biến,nghòch biến.
Nôi dung ôn tập
Hoạt động thầy trò Nội dung bài học
I Phương pháp
khảo sát hàm số
y=ax
3
+bx
2
+cx+d.
Hàm số đồng biến khi
nào?
Hàm số có cực đại-
cực tiểu khi nào?
+TXĐ D=R

+Tính y
/
+Lập bảng xét dấu y
/

( kết luận cực trò+tính
đơn điệu).
+Tính y
//
(kết luận
điểm uốn và lồi lõm).
+Tìm giới hạn
+Vẽ đồ thò
Bài 1:Cho hàm số y=x
3
-3x
2
+3(2m-1)x+2 (m la øtham số).
a/ Xác đònh m để hàm số đồng biến trên TXĐ.
b/ Xác đònh m để hàm số có cực đại – cực tiểu.
c/ Khảo sát hàm số khi m=
1
2
.
Giải: a/ TXĐ D=R.
y
/
=3x
2
-6x+3(2m-1).

Hàm số đồng biến trên TXĐ khi và chỉ khi
,
/
0
0 9 9(2 1) 0 1
3 0
y
y x R m m
a
∆ ≤


≥ ∀ ∈ ⇔ ⇔ − − ≤ ⇔ ≥

= >


.
b/ TXĐ D=R. y
/
=3x
2
-6x+3(2m-1).
Hàm số có cực đại –cực tiểu khi và chỉ khi phương trình y
/
=0 có
2 nghiệm phân biệt
9 9(2 1) 0 1m m⇔ ∆ = − − > ⇔ <
.
c/ m=

1
2
.thì y=x
3
-3x
2
+2
y
/
=3x
2
-6x ta có
/
2 2
0
0 2
x y
y
x y
= ⇒ = −

= ⇔

= ⇒ =

3 2
lim ( 3 2)
x
x x
→±∞

− + = ±∞
Bảng biến thiên
*********************************************************************************************************************Gi
áo n n Thi Tốt Nghiệp Giải Tích 12 Trang 8
*********************************************************************************************************************
*******************************************************************************************************************************
Trường THPT Long Kiến Tổ Toán –Tin Học
*******************************************************************************************************************************
Một học sinh lên bảng
khảo sát hàm số.
Để dựa vào đồ thò
biện luận số nghiệm
của phương trình thì ta
phải biến đổi phương
trình như thế nào?
Tiếp tiếp song song
với đường thẳng y=-
9x+1nên ta biết được
điều gì?
Phương trình tiếp
tuyến ra sao?
Ta có y
//
=6x-6 với
//
0 1 0y x y= ⇔ = ⇒ =
Bảng xét dấu.
x -∞ 1 +∞
y
//

- 0 +
Đồ thò lồi ĐU lõm

Bài

2 Cho hàm số y=-x
3
+3x+1.(C)
a.Khảo sát hàm số đã cho
b.Dựa vào (C).Biện luận sôù nghiệm của phương trình x
3
-3x-
1+m=0
c.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song
với đường thẳng y=-9x+1.
a.khảo sát hàm số:
+ TXĐ D=R
y
/
=-3x
2
+3 ta có
/
1 1
0
1 3
x y
y
x y
= ⇒ = −


= ⇔

= − ⇒ =

3 2
lim ( 3 2)
x
x x
→±∞
− + = ∞m
x -∞ 0 2 +∞
y
/
0 0
y +∞ 3
CT
-1 -∞
Y
//
=6x-6 ta có
//
0 1 0y x y= ⇔ = ⇒ =
x -∞ 1 +∞
y
//
- 0 +
Đồ thò lồi 0 lõm

b.Từ phương trình ta có x

3
-3x-1+m=0(1)
3
3 1x x m⇔ − + + =
Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của các đồ thò
hàm số
*********************************************************************************************************************Gi
áo n n Thi Tốt Nghiệp Giải Tích 12 Trang 9
*********************************************************************************************************************
ĐU
CĐ
(1;0)
x -∞ 0 2 +∞
y
/
0 0
y 2 +∞
CT
-∞ -2
CĐ
*******************************************************************************************************************************
Trường THPT Long Kiến Tổ Toán –Tin Học
*******************************************************************************************************************************
Để đường thẳng d tiếp
xúc với (C) thì tương
đương với điều gi?
Một học sinh lên bảng
khảo sát hàm số.
Điểm uốn có toạ độ là
bao nhiêu?

Hai M.N đối xứng
nhau qua điểm uốn
thì toạ độ chúng phải
thoả mản điều gì?
Hai tiếp tuyến song
song thì ta suy ra điều
gì?
Nhắc lại phương trình
tiếp tuyến tại điểm
y=-x
3
+3x+1.(C) và y=m (d).
Ta có các trường hợp sau:
+Nếu m<-1 Phươmg trình (1) có 1 nghiệm
+Nếu m=-1 Phươmg trình (1) có 2 nghiệm
+Nếu -1<m<3 Phươmg trình (1) có 3 nghiệm
+Nếu m=3 Phươmg trình (1) có 2 nghiệm
+Nếu m>3 Phươmg trình (1) có 1 nghiệm.
c.Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y=-9x+1nên hệ số
góc của tiếp tuyến k=-9.
Ta có y
/
=-3x
2
+3
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm phương trình -3x
2
+3 =-9
2x
⇔ = ±

Với x=2 ⇒y=-1 ⇒phương trình tiếp tuyến là:y+1=-9(x-2)
9 17y x⇔ = − +
Với x=-2 ⇒y=3 ⇒phương trình tiếp tuyến là:y-3=-9(x-2
9 15y x⇔ = − −
Bài 3 Cho hàm số y=x
3
+mx+m+1(C
m
).
a.Khảo sát với m=-3.(C) với trục hoành.
b.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C).
c.Tìm m để(C
m
) tiếp xúc với đường thẳng y=x+1.
Giải :a.Học sinh tự khảo sát.
b.Phương trình hoành độ giao điểm của (C)
với trục hoành x
3
-3x
2
-2=0.
2
1
x
x
=

⇔

= −



2 2
3 3
1 1
27
3 2 (2 3 )
4
S x x dx x x dx
− −
= − − = + − =
∫ ∫
c.Để (C
m
) tiếp xúc với đường thẳng y=x+1 khi và chỉ khi hệ sau
có nghiệm
2
3
3 1 (1)
1 1 (2)
x m
x mx m x

+ =


+ + + = +


Từ (1) ta có m=1-3x

2
thay vào (2) ta tìm được
1
1;
2
m m= − =
Bài 4 Cho hàm sôù y=x
3
-3x
2
+5x-1
a.Khảo sát hàm số đã cho.
b.Chứng minh rằng tại 2 tiếp tuyến của (C) đối xứng nhau qua
điểm uốn sẻ song song với nhau.
Giải
*********************************************************************************************************************Gi
áo n n Thi Tốt Nghiệp Giải Tích 12 Trang 10
*********************************************************************************************************************
*******************************************************************************************************************************
Trường THPT Long Kiến Tổ Toán –Tin Học
*******************************************************************************************************************************
thuộc đồ thò.
Giao điểm của trục
tung với đồ thò có toạ
độ là bao nhiêu.
Nhắc lại công thức
tính diện tích hình
phẳng
a.Khảo sát hàm số
+ TXĐ D=R

y
/
=3x
2
-6x+5 >0
x R∀ ∈
3 2
lim ( 3 2)
x
x x
→±∞
− + = ±∞
Bảng biến thiên
x -∞ +∞
y
/
+
y +∞
-∞
y
//
=6x-6 ta có
//
0 1 2y x y= ⇔ = ⇒ =

x -∞ 1 +∞
y
//
- 0 +
Đồ thò lồi ĐU lõm

Gọi M(x
1
;y
1
);N(x
2
;y
2
) là 2 điểm của (C) đối xứng của (C) qua
điểm uốn.
Suy ra điểm uốn I(1;2) là trung điểm của MN
Nên x
1
+x
2
=2x
I
=2⇒x
2
=2-x
1
Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là
/ 2
1 1 1
( ) 3 6 5(1)f x x x= − +
Hệ số góc của tiếp tuyến tại N là
/ 2 2
2 2 2 1 1
2

1 1
( ) 3 6 5 3(2 ) 6(2 ) 5
3 6 5
f x x x x x
x x
= − + = − − − +
= − +
suy ra điều phải chứng minh.
Bài 5 Cho hàm số
3 2
3 3 1y x x x= − + − +
a.Khảo sát hàm số đã cho.
b.Gọi A là giao điểm của (C) và trục tung.Viết phương trình tiếp
tuyến của (C) tại A.
c.Tính diện tích hình phẳng của (C) và d.
a.Khảo sát hàm số: TXĐ D=R
y
/
=-3x
2
+6x-3
0 x R≤ ∀ ∈

3 2
lim ( 3 3 1)
x
x x x
→±∞
− + − + = ∞m
x -∞ 1 +∞

y
/
- 0 -
*********************************************************************************************************************Gi
áo n n Thi Tốt Nghiệp Giải Tích 12 Trang 11
*********************************************************************************************************************
(1;2)
*******************************************************************************************************************************
Trường THPT Long Kiến Tổ Toán –Tin Học
*******************************************************************************************************************************
Nhắc lại Điều kiện để
phương trình có
nghiệm trên khoảng
(a,b)
y +∞
-∞
y
//
=-6x+6 ta có
//
0 1 0y x y= ⇔ = ⇒ =
x -∞ 1 +∞
y
//
+ 0 -
Đồ thò lõm ĐU lồi

b)Gọi A là giao điểm của (C) với Oy suy ra A(0;1)
y
/

(0)=-3.Phương trình tiếp tuyến tại A là y=-3x+1(d).
c)Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C)
3 2
3
3 3 1 3 1
0
x
x x x x
x
=

− + − + = − + ⇔

=

Do đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và d là:
3
3 2
0
( 3 3 1) ( 3 1)S x x x x dx= − + − + − − +
∫
=
27
4
.
Bài

6 Cho hàm số y=-2x
3
+3x

2
-1.(C)
a.Khảo sát hàm số đã cho
b.Tìm m để phương trình 2x
3
-3x
2
+m=0 có 3 nghiệm phân biệt và
khi phương trình có 3 nghiệm phân biệt chứng minh rằng 3
nghiệm đó thuộc đoạn
1 3
;
2 2
 
−
 
 
.
a.Khảo sát hàm số: + TXĐ D=R
y
/
= -6x
2
+6x ta có
/
1 0
0
0 1
x y
y

x y
= ⇒ =

= ⇔

= ⇒ = −

3 2
lim ( 3 2)
x
x x
→±∞
− + = ∞m
x -∞ 0 1 +∞
y
/
- 0 + 0 -
y +∞ 0
CT
-1 -∞
y
//
=6x-6 ta có
//
1 1
0
2 2
y x y
−
= ⇔ = ⇒ =

x -∞ 1/2 +∞
y
//
+ 0 +
Đồ thò lõm -1/2 lồi

*********************************************************************************************************************Gi
áo n n Thi Tốt Nghiệp Giải Tích 12 Trang 12
*********************************************************************************************************************
CĐ
ĐU
(1;0)