Đánh giá hiệu năng các hệ thống hàng đợi với các phương thức lập lịch trình khác nhau

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

VIỆN ĐÀO TẠO SAU ĐẠI HỌC

BÁO CÁO MẠNG BĂNG RỘNG
Đề tài: Đánh giá hiệu năng các hệ thống hàng đợi với các
phương thức lập lịch trình khác nhau
Giảng viên hướng dẫn

: TS. Nguyễn Tài Hưng

Học viên cao học

: Chu Thế Huy
Bùi Xuân Linh
Nguyễn Văn Quân

Lớp

[Type text]Page 1

: 11BKTTT1


MỤC LỤC

I.

Tổng quan về hàng đợi ................................................................................... 2
1. Mô hình hàng đợi ....................................................................................... 2
2. Ký hiệu Kendall ......................................................................................... 3

3. Các tham số quan trọng đánh giá hiệu năng 1 hệ thống hàng đợi ................ 4
4. Định lý Little .............................................................................................. 4

II. Đánh giá hiệu năng các hệ thống hàng đợi .................................................... 7
1. Mô hình hàng đợi M/M/1/1 ........................................................................ 7
2. Hàng đợi M/M/1/  .................................................................................. 10
3. Hàng đợi M/M/1/K ................................................................................... 15
4. Hàng đợi M/G/1/  .................................................................................. 19
5. Hàng đợi M/D/1/  .................................................................................. 20
6. Hàng đợi M/M/C ...................................................................................... 21
III. Kết luận ......................................................................................................... 26

Trang 1


I.

Tổng quan về hàng đợi

Hàng đợi là thành phần không thể thiếu khi mô hình hóa để đánh giá hiệu
năng hệ thống phục vụ nói chung và hệ thống viễn thông nói riêng.
Ví dụ:
-Các hệ thống điện thoại: khi số lượng lớn khách hàng quay số để kết nối đến một
trong những đường ra hữu hạn của tổng đài.
-Trong mạng máy tính: khi gói tin được chuyển từ nguồn tới đích và đi qua một số
lượng lớn các nút trung gian. Hệ thống hàng đợi xuất hiện tại mỗi nút ở quá trình
lưu tạm thông tin tại bộ đệm.
-Hệ thống máy tính: khi các công việc tính toán và tuyến làm việc của hệ thống yêu
cầu dịch vụ từ bộ xử lý trung tâm và từ các nguồn khác.
1.

Mô hình hàng đợi

Một hệ thống phục vụ bao giờ cũng có thể được mô tả bằng 1 hệ thống hàng
đợi bao gồm các thành phần:

Trang 2


Tiến trình tới
-Được đặc trưng bởi tốc độ trung bình  đi tới hệ thống: số yêu cầu / đơn vị thời
gian.
-Phân bố ngẫu nhiên của tiến trình tới: Poisson…
Hàng đợi: đặc trưng bởi khả năng chứa yêu cầu (N)
Số trạm phục vụ: C (Server)
Tiến trình phục vụ tại từng trạn phục vụ:
-Tốc độ trung bình:  i (số yêu cầu trong 1 đơn vị thời gian)
-Phân bố xác suất của thời gian phục vụ: Poisson…
Quy tắc phục vụ:
-FIFO
-LIFO
-RR (Round Robin)
2.

Ký hiệu Kendall

Là hệ thống ký hiệu để mô tả hệ thống hàng đợi
Gồm 6 ký hiệu: A / S / C / [K] / [P] / [D]
-A: mô tả tiến trình tới
 M (Markov): tiến trình tới tuân theo phân bố Poisson.

 D (Deterministry): tốc độ các yêu cầu đến hệ thống là hằng số.
 G (General): phân bố ngẫu nhiên bất kỳ.
-S: mô tả tiến trình phục vụ (M, D, G…).
-C: số trạm phục vụ.
Trang 3


-K: tổng số yêu cầu hệ thống chứa được.
-P: số nguồn phát ra yêu cầu, mặc định  .
-D: thứ tự phục vụ các yêu cầu.
3.

Các tham số quan trọng đánh giá hiệu năng 1 hệ thống hàng đợi

Số yêu cầu trung bình nằm trong hệ thống: N
Số yêu cầu trung bình nằm trong hàng đợi: N q
Số yêu cầu trung bình đang được phục vụ bởi Server: N S
N  Nq  NS

Thời gian trung bình 1 yêu cầu lưu lại trong hệ thống: TW
Thời gian trung bình 1 yêu cầu nằm trong hàng đợi: Tq
Thời gian trung bình 1 yêu cầu được phục phụ ở Server: TS
TW  Tq  TS

Xác suất để 1 yêu cầu nằm đợi trong hàng đợi với thời gian nhỏ hơn t cho
trước: P Tq  t
Xác suất để 1 yêu cầu nằm đợi trong hệ thống vơi thời gian nhỏ hơn t cho
trước: P TW  t
Xác suất có i yêu cầu trong hệ thống: p  i 
Xác suất để 1 yêu cầu bị từ chối (xác suất tràn hàng đợi): e

4.

Định lý Little

-Hệ thống hàng đợi có ranh giới đóng: 1 hệ thống không tự tạo ra các yêu cầu,
không hủy các yêu cầu, không thay đổi tính chất các yêu cầu.

Trang 4


-Xét 1 hệ thống đóng: Gọi N (t ) là số yêu cầu nằm trong hệ thống tại thời điểm t

N t 

3
2
1

t
t0

t1

t2

t3

t4

-Xét khoảng thời gian t0 ; t f  trong đó N  t   0

- T : tổng thời gian đợi của tất cả các yêu cầu trong hệ thống:
tf

T   N  t  . dt
t0

-Số yêu cầu trung bình nằm trong hệ thống trong khoảng t0 ; t f  :

NT 

T
T
 
T f  T0 T
tf

1
 NT   N  t . dt
T t0
- a T  : tổng số yêu cầu trung bình đi vào hệ thống trong t0 ; t f 

Trang 5


 thời gian lưu lại trong hệ thống trung bình của 1 yêu cầu:
t

f
T
1

TW 

N  t  . dt
a  t  a (t ) t0

a T 

tf

1
Suy ra: NT 
.
. N  t  . dt
T a T  t0
a T 
T
a T 
T

: tốc độ trung bình các yêu cầu đi vào hệ thống trong t0 ; t f 

 T

 NT  T .TW
-Nếu hệ thống hoạt động ở chế độ ổn định:
lim N T  lim T .lim TW

T 

T 

T 

 N   .T  Định lý Little
 N q   .Tq
Tương tự: 
 N S   .TS
Mà: N  N q  N S



N Nq NS






NS
1
: thời gian trung bình hệ thống phục vụ 1 yêu cầu


c. 



N Nq
1




 c. 

Trang 6


N


 Nq
c. 

NS   


c. 

 N  Nq  

-Nhận xét: để tính được các tham số đặc trưng cho hiệu năng hoạt động của hệ
thống định lý Little chưa đủ  cần biết tiến trình tới, phục vụ.

II.

Đánh giá hiệu năng các hệ thống hàng đợi
1.

Mô hình hàng đợi M/M/1/1

-Tiến trình tới là tiến trình Poisson.
-Tiến trình phục vụ là tiến trình Poisson.
-Hệ thống có 1 Server.
-Số yêu cầu tối đa là 1(hệ thống không có hàng đợi).



 Số yêu cầu nằm trong hệ thống: i  [0;1]
-Tính xác suất để hệ thống có i yêu cầu tại thời điểm t bất kỳ: Pi (t ) ,

i  [0;1] .

-Xét 2 khoảng thời gian:  0; t  ; t ; t  dt 

Trang 7


 Trường hợp i = 0

-Gọi xác suất để có i yêu cầu đi vào hệ thống trong khoảng t1 ; t2  là: Pi in (t1 ; t2 )
-Gọi xác suất để có i yêu cầu được phục vụ xong (đi ra khỏi hệ thống) trong t1 ; t2 
là: Pi out (t1 ; t2 ) .
-Phải tính: P0 (t  dt )

P0 (t  dt )  P0 (t ) . P0in (t ; t  dt )  P1 (t ) . P1out (t; t  dt )
 P0 (t  dt )  P0 (t ) . P0in (dt )  P1 (t ) . P1out (dt )
Theo định nghĩa tiến trình Poisson:

P0in ( dt )  1   dt
P1out ( dt )   dt

Suy ra:

P0 (t  dt )  P0 (t ) . (1   dt )  P1 (t ) .  dt


P0 (t  dt )  P0 (t )
  P0 (t )   P1 (t ) 
dt



d P0 (t )
  P0 (t )   P1 (t )
dt

Mặt khác: P0 (t )  P1 (t )  1

Trang 8


-Nhận xét: khi hệ thống hoạt động ổn định, ở trạng thái dừng (không phụ thuộc thời
gian):
d P0 (t )
0
dt

Gọi P0  lim P0 (t )
t 

P1  lim P1 (t )

t 

Ta có hệ phương trình:
 P0   P1 

 P0  P1  1



P

0



P  
 1   
-Gọi PB là xác suất để 1 yêu cầu bị từ chối:

PB  P1 




-Số yêu cầu trung bình trong hệ thống:

N  1. P1  0. P0  P1 




-Thời gian trung bình 1 yêu cầu lưu lại trong hệ thống:

T  TS 

1


Trang 9


Hàng đợi M/M/1/ 

2.

-Tiến trình tới: Poisson, 
-Tiến trình phục vụ: Poisson, 
-1 Server.
-Chiều dài hàng đợi: 




 Tính toán các tham số hiệu năng
-Tính xác suất để tại thời điểm t, hệ thống có n yêu cầu

Pn (t )  phải xác định Pn (t  dt )
n=0

P0 (t  dt )  Po (t ). P0in (t ; t  dt )  P1 (t ). P1out (t; t  dt )  ...  Pi (t ). Pi out (t ; t  dt )

 P0 (t  dt )  P0 (t ). P0in (dt )  P1 (t ). P1out (dt )  ...  Pi (t ). Pi out ( dt )
 Po (t  dt )  P0 (t ).(1   dt )  P1 (t ).  dt  ...  Pi (t ).  dt


d P0 (t )
  P1 (t )   P0 (t )
dt

Do chỉ xét hệ thống ở trạng thái ổn định, không phụ thuộc thời gian:
d Po (t )
0
dt

Trang 10


Suy ra:

P1 


P
 0

n=1

P1 (t  dt )  P0 (t ). P1in (t ; t  dt ). P0out (t ; t  dt )  P1 (t ). P0in (t ; t  dt ). P0out (t ; t  dt )  ....
n bất kì:

Pn (t  dt )  Pn (t ). P0out (t; t  dt ). P0in (t ; t  dt )  Pn 1 (t ). P1in (t ; t  dt ). P0out (t ; t  dt ) 

 Pn 1 (t ). P1out (t ; t  dt ). P0in (t ; t  dt )


Pn1 (t  dt )  Pn1 (t )
  Pn1 (t )  (   ) Pn (t )   Pn 1 (t )
dt



d Pn1 (t  dt )
  Pn1 (t )  (   ) Pn (t )   Pn 1 (t )  0 (hệ ổn định)
dt

(   ) Pn   Pn 1   Pn 1



P

P0
1



Xét n=1:

(   )P1   P0   P2




(   )P0   P0   P2

2


 P2    . P0


Trang 11


Tương tự có:
n


Pn    . P0

-Phải tính P0 , P1 ..., Pn theo  và  .


Có

P 1
i

i0





  ( )i P0  1
i0 




Lại có:

 : mật độ lưu lượng của hệ thống (   1 )
Suy ra:

P0 

1






i 0

i

1
 1 
1
1 

 P0  1  


______
n
 Pn   (1   ) , n  0, 

-Số yêu cầu trung bình nằm trong hệ thống






N   n. Pn   n.  n .(1   )  (1   ).  .  n.  n1 
n 0

n 0

n 0

d n
d  n
 (1   ).  .

d  n 0
n 0 d 


 (1   ).  . 

Trang 12

-Số yêu cầu trung bình nằm trong hàng đợi


N q   Pn .( n  1)
n 1

( (n-1) yêu cầu nằm trong hàng đợi, một yêu cầu đã được phục vụ)


 N q   (1   ).  n .( n  1)
n 1



 N q  N   (1   ).  n
n 1

 Nq 

2
1 

-Xác suất để một yêu cầu i phải đợi trong hàng đợi một khoảng thời gian tq  t cho
trước khi đến lượt nó được phục vụ: P (tq  t )
Gọi thời gian một yêu cầu j được phục vụ bởi Server là S j ( j  1, 2, ..., i  1) , S j
tuân theo Poisson.
i 1

 tq   S j
j 0

i 1

P (t q  t )  P (  S j  t )
j 0

 P (tq  t )  P (tq  0)  P (t q  t N  0)
N: Số yêu cầu trong hệ thống.


 P (tq  t )  P ( N  0)   P (tq  t N  j )
j 1

Trang 13


j



 P (tq  t )  P0   P ( S k  t N  j )
j 1

k 1

j

Phải tính P ( Sk  t N  j )

k 1

t

P (t q  t N  j )   
0

(  x) j 1   x
e dx
( j  1)!

 t

(  x ) j 1   x
 P (tq  t )  P0    
e dx
( j  1)!
j 1 0

 P (tq  t )  1   . e  (   )t
-Xác suất để thời gian yêu cầu thứ i nằm trong hệ thống một khoảng thời gian

tn  t cho trước

P (tn  t )  1  e  (   )t
( tw  t q  ts )

-Thời gian trung bình một yêu cầu cần phải đợi trong hàng đợi:


Tq   t.
0

d
[ P (tq  t )] dt
dt

-Nhận xét hệ M/M/1/  là hệ thống đóng  theo định lí little:

Tq 

Nq





2 1 1 
.  .
1    1 

-Thời gian trung bình một yêu cầu nằm trong hệ thống:

T

N
 1 1 1

.  .
 1    1 

Trang 14


 N , N q  
Nhận xét:   1  
T , Tq  

Khi tải chiếm 100 %  Hệ thống hoạt động ở trạng thái ổn định.
3.

Hàng đợi M/M/1/K

-Tiến trình tới: Poisson, tham số 
-Tiến trình phục vụ: Poisson, 
-1 Server
-Kích thước hàng đợi K-1
Trong hệ thống này, yêu cầu bị từ chối khi hàng đợi đầy.





 Tính toán các tham số hiệu năng:
-Tiến trình sinh tử:









Trang 15


. P0   . P1

  . Pk   . Pk 1
(   ) P  .P   .P (0  i  k )

i
i 1
i 1
 Pi   i . P0

 k
 Pi  1
 i 1
K

   i . P0  1
i0

1

 P0 



k



i

1 
1   k 1

i 0

Pi   i .

1 
1   k 1

-Xác suất 1 yêu cầu bị từ chối:

PB  PK   k .

1 
1   k 1

-Số yêu cầu trung bình trong hệ thống:
1 

 k 1
N   i. Pi   i.  .


 (k  1).
1   k 1 1  
1   k 1
i 0
i0
k

k

i

-Nhận xét:
lim N 
 1

k
2

( Do lim Pi  lim P0 
 1

 1

1
)
k 1

Trang 16

Khi tải  = 100% (    ) thì kích thước yêu cầu trung bình bằng

1
dung lượng
2

của hệ thống.
-Số yêu cầu trung bình trong hàng đợi:
k

N q   (i  1). Pi  N  (1  P0 ) 
i 1

1
  ( k  1).  k 1

1 
1   k 1

-Phân bố xác suất của thời gian t q một yêu cầu nằm trong hàng đợi: P (tq  t )
t : thời gian cho trước.



-Gọi qn  P N  n n  k  1 : xác suất để hệ thống có n yêu cầu; n  k  1

qn  P( N  n) P (n  k  1) 

qn 

Pn
(n  k  1)
1  Pk

(1   ).  n
1 k

-Gọi xác suất để 1 yêu cầu phải đợi trong hàng đợi 1 thời gian tq  t và điều kiện hệ
thống đang có n yêu cầu ( 0  n  k  1 ): P (tq  t ; N  n)

P (tq  t ; N  n)  P (tq  t N  n ). P ( N  n n  k  1)
 P  t q  t N  n  . qn
Tương tự M/M/1/  ta có:
k 1

P tq  t  P (tq  0)   P (t q  t N  n). qn
n 1

k 1

t

 .(  x )n 1   x
e . dx
(
n

1)!
0

 q0   q n . 
n 1

Trang 17


t

1   k 1 n
x n1  x
P tq  t 
.

.
  (n  1)! e dx
1   k n 0
0

-Thời gian đợi ( Tq ) trung bình của 1 yêu cầu trong hàng đợi :


Tq   t.

d P tq  t
dt

0

. dt



Do

1
n!
n
x
x
.
e
.
dx

n
( n  1)! 0
( n  1)!

Suy ra :
Tq 

1 k 1
1 1
.  i. qi  .
( N  k .Pk )
 i 0
 1  Pk

 Tq 

1 1
.
.N q
 1  Pk

-Hệ thống M/M/1/k không phải hệ thống đóng. Để áp dụng Little phải quy về hệ
thống đóng:

a





B
B   . PB   . Pk
a  .(1  PB )  .(1  Pk )

Trang 18


Tq 

Nq

a



Nq

 .(1  Pk )

-Tương tự theo Little :
T

N
N

a (1  Pk ). 

4.

Hàng đợi M/G/1/ 

-Tiến trình tới là tiến trình Poisson với tốc độ trung bình: 
-Tiến trình phục vụ: tuân theo phân bố ngẫu nhiên bất kỳ
Tốc độ phục vụ trung bình: 
Phương sai của thời gian phục vụ trung bình:  Y
Y : thời gian phục vụ trung bình; Y 

1


-Chiều dài hàng đợi 
-1 Server.

2    2   2 . Y
N
2 (1   )






T

N 1   .  .  Y2
 
  2.  (1   )

-Phương sai của thời gian phục vụ trong các hệ thống chuyển mạch gói phụ thuộc
chiều dài gói

Trang 19


Thời gian phục vụ: Y 

L
C

L : chiều dài gói trung bình

C : dung lượng kênh truyền
-Nếu L =const   Y2  0

 hệ thống đạt được N , T cực tiểu với cùng 1 tải như nhau.

5.

Hàng đợi M/D/1/ 

-Tương tự M/G/1/  . Tuy nhiên: Y =const

 Y2  0
2  2
N
2(1   )
T

1


 2  (1   )

Trang 20


6.

Hàng đợi M/M/C

1



2

c

-Tiến trình tới: Poisson, với tốc độ trung bình 
-Hệ thống có C Server
-Mỗi Server i có thời gian phục vụ tuân theo tiến trình Poisson, thời gian phục vụ
trung bình  i ; i  1,...c
-Phân loại:
M/M/C/  : hàng đợi có chiều dài 
M/M/C/C: hệ thống không có hàng đợi
6.1. Hàng đợi M/M/C/ 




1

1  2





i


k 1

i 1
k

 k
k 1



c

 k
k 1



c



k

k 1

Trang 21


-Giả thiết nếu hệ thống ở trạng thái 0: yêu cầu đầu tiên đi vào  được phục vụ bởi
Server thứ nhất.
i

-Gọi



k

 i

k 1

P0 .   P1 . 1
Pi 1 . i 1  . Pi 1  Pi . ( i   ); i  c
Pi 1 .   Pi 1 . c  (  c ). Pi ; i  c
Suy ra:


i
P

. P0
 i
i

k


k 1

 Pi  1
 i 0

 


2
i
 P0 1  
 ... 
 ...  1
1 2 ...i
 1 1 2

-Để đơn giản hóa, giả thiết 1  
P0 

Gọi

1
i

 

c
c 1
1 
 .... 
 ... 

 22
i! i
c !  c  c 1 . c ! c
2




a;


c
1

P0 

a
a c 1
ac 
 ... 
  i
2!
(c  1)! c ! i  0
2

1 a 

Trang 22


 P0 

1
c 1 n
a
ac
1


.

c! 1  
n 0 n !

ai
Pi  . P0 ; 0  i  c
i!
Pi 

a i n c
.  . P0 ; i  c
i!

-Công thức Erlang C: Xác suất 1 yêu cầu phải đợi trong hệ thống trước khi đến lượt
nó được phục vụ
c 1

P tq  0  P n  c  1   Pn
n 0

ac
c ! (1   )
C  c, a   c 1 n
a
ac
1
 .


c! 1  
n 0 n !
-Tương tự tính được:

P tq  0  1  C  c, a 
-Số yêu cầu trung bình trong hàng đợi:


Nq 



 P . (i  c)  1   . C  c, a 
i

i c 1

-Số yêu cầu trung bình được phục vụ bởi Server:
C

N S   i. Pi 
i0





 c. P    a
i

i  c 1

Trang 23


-Số yêu cầu trung bình nằm trong hệ thống:

N  Nq  NS 


. C  c, a   a
1 

-Thời gian trung bình 1 yêu cầu nằm trong hàng đợi:

Tq 

Nq





1
1
.
. C  c, a 
c.  1  

-Phân bố thời gian đợi trong hàng đợi:

P tq  t  P tq  0  P 0  tq  t


 P t q  t  P n  c   P tq  t N  n. Pn
n c

 P t q  t  1  C  c, a  . e   (c  a ) .t
6.2. Hàng đợi M/M/C/C







Trang 24