Bài giảng bài cung và góc lượng giác đại số 10 (3)

ĐẠI SỐ 10
CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC


CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC

Bài 1:

I – KHÁI NIỆM CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC

1. Đường tròn định hướng và cung lượng giác
Cho
O, đường
- Nếuđường
cuốn tròn
trục tâm
số theo
n vòngkính
thì
AA’.
Đính một
dây vào
tròn
mỗi điểm
trên sợi
đường
trònhình
sẽ ứng
tại
nhưtrên

một
trục
với A.
baoXem
nhiêudây
điểm
trục
số?số t’t,
gốc tại A, đơn vị trên trục bằng bán
kính OA.
R=1

- Mỗi điểm trên trục số sẽ ứng với bao
nhiêu điểm trên đường tròn?


Nhận xét:
1. Với cách đặt tương ứng này hai điểm khác
nhau trên trục số có thể ứng với cùng một điểm
trên đường tròn.
2. Nếu ta cuốn tia At theo đường tròn thì mỗi số
thực dương t ứng với một điểm M trên đường
tròn. Khi t tăng dần thì điểm M chuyển động theo
chiều ngược kim đồng hồ. Tương tự, nếu ta cuốn
tia At’ theo đường tròn thì mỗi số thực âm t ứng
với một điểm M trên đường tròn và khi t giảm
dần thì điểm M chuyển động theo chiều ngược
kim đồng hồ.

1. Đường tròn định hướng và cung lượng giác
a. Đường tròn định hướng
Đường tròn định hướng
là một đường tròn trên
đó ta đã chọn một chiều
chuyển động gọi là chiều
dương, chiều ngược lại là
chiều âm.
Ta quy ước chọn chiều
ngược với chiều quay
của kim đồng hồ làm
chiều dương.


b. Cung lượng giác
Trên đường tròn định hướng cho hai điểm A và B. Một điểm M di
động trên đường tròn theo một chiều (âm hoặc dương) từ A đến B
tạo nên một cung lượng giác có điểm đầu A điểm cuối B.
B
B

O

A

O

a)
b)

A

B

B

O

c)

A

O

d)

A


xét:điểm A,B đã cho trên đường tròn định
-Nhận
Với hai
hướng
có điểm
bao nhiêu
giác điểm
đầu
- Với hai
A,B đãcung
cho lượng

trên đường
tròn định
A,
điểmtacuối
B?số cung lượng giác điểm đầu A,
hướng
có vô
điểm cuối B.
Kí hiệu:
CHÚ Ý:
Kí hiệu AB chỉ một cung hình học AB.
Kí hiệu

chỉ một cung lượng giác điểm
đầu A, điểm cuối B.


2. Góc lượng giác

D

.

O

C

- Với
Điểm
mỗiMgóc

chuyển
lượng động
giác
trêncóđường
thì
bao cung
trònlượng
từ C tới
D tạo
giác
và ngược
nên cung
lại? lượng
giác ta . chỉ cần xét một
Vậy:
trong
- Khi hai
đó hoặc
ta nóicung
rằng:lượng
tia
giác
hoặc xung
góc quang
lượng gốc
giác
OM quay
trong
việc
cáctạo

tính
O từ tia
OCxác
tớiđịnh
tia OD
chất
góc hoặc
ra mộtcủa
góc lượng
giác ,cung
có
lượng
tia đầugiác.
là OC, tia cuối là
OD.
Kí hiệu: (OC,OD).


3. Đường tròn lượng giác
- Trong mặt phẳng tọa
độ Oxy cho đường
B(0;1)
tròn định hướng tâm
+
O bán kính R=1.
- Đường tròn này cắt
A’(-1;0)
R=1 A(1;0) hai trục tọa độ tại bốn
x điểm A(1;0), A’(-1;0),
O

Đường
tròn lượng
giác:Lấy
B(0;1),
B’(0;-1).
+ Đường
trònlàm
địnhgốc
hướng.
A(1;0)
của
+ Tâm
là gốc
tọađó.
độ O(0;0),
đường
tròn
B’(0;-1)
bán kính R=1.
+ Điểm A(1;0) là gốc.
Đường tròn xác định như trên gọi là đường tròn lượng giác.

y


II. SỐ ĐO CỦA CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC
1. Độ và rađian
a. Đơn vị rađian
- Trên đường tròn tùy ý, cung
có độ dài bằng bán kính được

gọi là cung có số đo 1rađian.
Viết tắt: rad
- Cả đường tròn có số đo là 2 (rad ).

b. Quan hệ giữa độ và rađian
0

 180  với
0
1 
rad và 1rad  
  3,14

  
180
Chú ý: Khi viết số đo của một góc (hay cung) theo đơn vị
rađian, người ta thường không viết chữ rad sau số đó.



0
1 
rad
180

 180 
1rad  

  

0

1. Đổi các số đo của các
góc sau đây sang rađian

2. Đổi các số đo của các
cung sau đây sang độ,
phút, giây.
a ) 150 ;
c) 1530 45';

3
a
)
;
b)
;
b)  27 0 ; d )  1620 21'18".
15
8
3
d )  3;
c) ;
2
Bảng chuyển đổi thông dụng
Độ
Rađian

300 450 600 900 1200 1350 1500 1800




2
3 5


6
6
3
3
2
4
4


c. Độ dài của một cung tròn
2  rad   2 R 
2 R
  R
 l 
2
  rad   l  ? 
Độ dài cung có số đo  (rad ) là:

l  R
Tính độ dài của các cung trên đường tròn có bán
kính R=4cm, biết số đo của cung:


a ) l  .4    3,14  cm .

a) ;
4
4
b) l  1,5.4  6  cm  .
b) 1,5;
 

0
c) l   27.
c) 27 .
 .3,14  1, 48  cm  .
 180 


2. Số đo của
một cung lượng giác
y
+ 
Ví dụ: B
BM

y

2



M
A x

O

M

O

A

2

x

b)

a)

y

B

y

+
O

O

c)


+ 
2
2 5

A

9
 2  2 
2
2

A

x

x

C

d)

-


25
  2  2  2  
4
4

Số đo của một cung lượng giác AM ( A  M )
là một số thực, âm hay dương.
Kí hiệu: Số đo của cung AM là sđ AM
sđ AD = ?
y

y

D

+

3
2
4

D

O

A

x

O

A

3
11

 2 
Vậy sđ AD =
4
4

x


Ghi nhớ:
Số đo của các cung lượng giác có cùng điểm đầu
và điểm cuối sai khác nhau một bội của 2 .
Ta viết: sđ AM  

 k .2 , k 

Trong đó:  là số đo của một cung lượng giác
Người ta còn viết số đo bằng độ:
tùy ý có điểm đầu là A và điểm cuối là M.
0

0 B

y

 a  k .360 , k 
sđ M
AMtrùng
Khi điểm cuối
với
điểm

A tađược
có: viết
Chú
ý: đầu
không
sđ AM  ksđ
.2AM
, ka 0  kA’.2 , k O
Khi k = 0 thì sđ AA  0
0
sđ AM    k .360 , k 
B’

M
A x


3. Số đo của một góc lượng giác
Định nghĩa: Số đo của góc lượng giác (OA,OC)
là số đo của cung lượng giác AC tương ứng.
Kí hiệu: số đo của góc lượng giác (OA,OC) là
sđ(OA,OC).
Ví dụ: sđ(OA,OD)=?

3
sđ AD 
4

3
Vậy sđ(OA,OD)

.
4

y
D

O

A

x


HĐ: Tìm số đo của các góc lượng giác (OA,OE) và
(OA,OP) được cho ở hình sau :
1
với E là điểm chính giữa của cung A ' B '; AP  AB
3
y
B

B

y

P
O

A’
E

A

x

O

A’

+

P

-

A

x

E
B’

B’

11
5
13
 2 
; sđ (OA,OP)= 
sđ (OA,OE)=

6
4
4


4. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn
lượng giác
- Chọn điểm gốc A(1;0) làm điểm đầu của tất
cả các cung lượng giác.
- Do đó để biểu diễn cung lượng giác có số đo 
trên đường tròn lượng giác ta cần xác định điểm
cuối M.
+ Điểm cuối M được xác định dựa vào hệ thức:
sđ AM



Ví dụ: Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các
cung lượng giác có số đo lần lượt là:

25
a)
4

0

b)  765

10
c)

3


Giải:

25 0  0
0
ba)  765  45
(2).360
 3.2
4
4
Vậy điểm cuối của cung đã
cho là điểm chính
chính giữa
giữa M
N
AB.'.
của cung nhỏ AB

B y
M

N
B’

10 
c)
  3
3

3
Vậy điểm cuối của cung đã
cho là điểm P.
2
với A ' P  A ' B '
3

A x

O

A’

B y

O

A’

P

B’

A x


Củng cố
- Hiểu được khái niệm đường tròn định hướng,
cung lượng giác, được góc lượng giác, đường
tròn lượng giác.

- Biết được đơn vị rađian và mối liên hệ giữa
đơn vị rađian và độ.
- Biết đổi đơn vị từ độ ra rađian và ngược lại.
- Nắm được khái niệm số đo của cung lượng giác
và số đo của góc lượng giác và các kí hiệu.
- Biết cách biểu diễn cung lượng giác trên đường
tròn lượng giác.


Bài tập về nhà
- Xem lại bài đã học.
- Làm các bài tập sách giáo khoa.