Bài giảng bài hệ thống những bài giảng về đạo hàm cấp hai giải tích 11



5. ĐẠO HÀM CẤP HAI

I. ĐỊNH NGHĨA
Hoạt động 1
Tính y’ và đạo hàm của y’, biết:

a. y  x  5 x
b. y  sin x
3

2

Ta có:

a. y '  ( x3  5 x 2  4 x) '  3x 2  10 x  4

 ( yy')''' 
 (3
(3xx22 
10
10xx 
 4)
4)'' 


 4x

 6 x 2  10

b. y '  (sin x)'  cos x

Định nghĩa:

(cosx
sin
 sin
 (yy''')'
 (cosx
)' )'

xx

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm tại
mọi điểm x thuộc khoảng (a;b). Khi đó hệ
thức y’ = f ’(x) xác định một hàm số mới
trên khoảng (a;b). Nếu hàm số y’ = f ’(x)
lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm
của y’ là đạo hàm cấp hai của hàm số y
= f(x) và ký hiệu là y’’ hoặc f ’’(x).

Đồng hồ


Chú ý:+, Đạo hàm cấp 3 của hàm số
f(x) được định nghĩa tương tự và ký
hiệu là y’’’ hoặc f ’’’(x) hoặc

f (3) ( x)

f ( n 1) ( x)(n  N , n  4)

+, Cho hàm số f(x) có đạo hàm cấp

n – 1, kí hiệu là
Nếu
có đạo hàm thì đạo
hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n
của f(x), kí hiệu là

f ( n 1) ( x)
y ( n ) hay f ( n ) ( x)


Ví dụ:

y  x5
 y '  5x4
 y ''  20 x 3
 y '''  60 x 2
 y (4)  120 x




5. ĐẠO HÀM CẤP HAI

MỘT SỐ VÍ DỤ
Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số
sau:

a. Ta có:

1
a. y 
b. y  cos 2 x
1 x

1
1
y'  (
)' 
1 x
(1  x)2

1
2(1  x)
2
 y ''  (
)' 

2
4
(1  x)
(1  x) (1  x)3
b. Ta có:

y '  (cos 2 x) '  2cos x(cos x) '

 2cos x.sin x   sin 2x

 y ''  (sin 2x)'
Đồng hồ

 2cos2x




5. ĐẠO HÀM CẤP HAI

II. Ý NGHĨA CƠ HỌC CỦA ĐẠO HÀM CẤP HAI:

Ta đã biết, ý nghĩa vật lý của đạo
(t ) là
Gọi
thời của
hàm hàm
sốgia
s =tốc
s(t)tức
(phương
trình
chuyển
độngđộng
tại thời
điểmtạit, tta
có:
của chuyển
thẳng)

o là vận
tốc
 (ttức
) = thời
f ’’(t) của chuyển động tại thời
điểm to :
v(to) = s’(to)
Như vậy: đạo hàm cấp hai f ’’(t) là
gia tốc tức thời của chuyển động
s = f(t) tại thời điểm t

VD:

Gia tốc tức thời của sự rơi tự do:

s

1 2
gt là:
2

s ''  g

CỦNG CỐ

Giải các bài tập SGK: 1, 2(b, c), trang
147


DẶN DÒ

1. HỌC BÀI CỦ
2. LÀM BÀI TẬP TRONG SGK
3. CHUẨN BỊ BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG V