Bài giảng Giải tích 11 chương 5 bài 5 Hệ thống những bài giảng về đạo hàm cấp hai

ĐẠO HÀM CẤP HAI
ĐẠO HÀM CẤP HAI
Toán lớp 11
Toán lớp 11
Hãy tính và đạo hàm
của trong các trường
hợp sau:
3 2
) 5 4
) sin 3
a y x x x
b y x
= − +
=
y
′
y
′
a)
3 2
5 4y x x x= − +
2
3 10 4y x x
′
= − +
( )
6 10y x
′
′

= −
b)
sin 3y x=
3cos3y x
′
=
( ) 9sin 3y x
′ ′
= −
I –Định nghĩa:
•
Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại
và hàm số y’ = f’(x) có đạo hàm tại x thì
y” = f”(x) = (y’)’: đạo hàm cấp hai
của hàm số y = f(x).
( )
;x a b∈
Tương tự như đạo hàm cấp
hai hãy nêu định nghĩa đạo
hàm cấp ba và các đạo hàm
cấp n của hàm số y = f(x)
Đạo hàm cấp ba của hàm số y = f(x)
là đạo hàm của đạo hàm cấp hai của
hàm số y = f(x)
Đạo hàm cấp n của hàm số y = f(x)
là đạo hàm của đạo hàm cấp n -1 của
hàm số y = f(x)
Chú ý:
+ Nếu hàm số y” = f”(x) có đạo hàm tại x thì
+ Nếu hàm số có đạo hàm tại x thì

(3)
( ) ( ) .y f x y
′′′ ′′ ′
= =
( 1)
( )
n
f x
−
( ) ( 1)
( ) ( ( ))
n n
f x f x
−
′
=
( , 4).n n∈ ≥¥
Ví dụ: Tính đạo hàm cấp n của hàm số
y = x
5
với
3
20y x
′′
=
2
60y x
′′′
=
(5)

120y =
*
.n∈¥
4
5y x
′
=
(4)
120y x=
( )
0, 5
n
y n= >
Một vật rơi tự do theo phương thẳng
đứng có phương trình
Hãy tính vận tốc tức thời v(t)
tại các thời điểm t
0
= 4s; t
1
= 4,1s.
Tính tỉ số trong khoảng
2
1
2
s gt=
v
t
∆
∆

1 0
t t t∆ = −
Ta có : v(t) = s’ = gt
(4) 4 39,2 m/s; (4,1) 40,18 m/s.v g v⇒ = = =
2 2
1 0
1 0
1 0 1 0
1 0
1
( )
( ) ( )
2
1
( ) 39,69.
2
g t t
v t v t
v
t t t t t
g t t
−
−
∆
= =
∆ − −
= + ≈
II -Ý nghĩa cơ học của đạo
hàm cấp hai
Xét chuyển động có phương trình s = f(t),

là một hàm số có đạo hàm đến cấp hai
+) Vận tốc tức thời: v(t) = f’(t).
+ Số gia và
+ Tỉ số : gia tốc trung bình của chuyển
động trong thời gian t .
Là gia tốc tức thời của chuyển động.
v∆
t∆
v
t
∆
∆
0
( ) lim ( )
t
v
v t t
t
γ
∆ →
∆
′
= =
∆
1. Ý nghĩa cơ học:sgk/173
2. Ví dụ:
Xét chuyển động có phương trình
Tìm gia tốc tức thời tại thời điểm t
của chuyển động ?
( ) sin( )s t A t

ω ϕ
= +
Để giải
bài toán ta
cần làm
gì?
Cần tính vận tốc tức thời tại
thời điểm t, sau đó tính gia
tốc tức thời tại thời điểm t
Giải: Gọi v(t) là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời
điểm t, ta có:
Hãy xác
định
phương
trình của
v(t) ?
[ ]
( ) ( ) sin( ) cos( ).v t s t A t A t
ω ϕ ω ω ϕ
′
′
= = + = +
Vậy gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là:
Hãy xác định gia
tốc tức thời của
chuyển động ?
2
( ) ( ) ( ) sin( ).t s t v t A t
γ ω ω ϕ
′′ ′

= = = − +
Nhiệm vụ về nhà:
•
Xem lại định nghĩa và cách tính đạo hàm
cấp hai; đạo hàm cấp n > 2;
•
Làm bài tập1 và 2 sgk/174;
•
Tính đạo hàm cấp cao của một số hàm số
thường gặp.