Bài giảng bài phương pháp quy nạp toán học đại số 11 (3)

HÃY XÁC ĐỊNH TÍNH ĐÚNG, SAI CỦA MỆNH
? ĐỀ:
P(n) :"3n  n  100"VÀ Q (n) :"2n  VỚI
n"
n  1, 2,3, 4,5
Trả lời:

•n = 1: P(1): “ 31 < 1+100” (Đ) và Q(1): “ 21> 1” (Đ)
•n = 2: P(2): “ 32 < 2+100” (Đ) và Q(2): “ 22> 2” (Đ)
•n = 3: P(3): “ 33 < 3+100” (Đ) và Q(3): “ 23> 3” (Đ)
•n = 4: P(4): “ 34 < 4+100” (Đ) và Q(4): “ 24> 4” (Đ)
•n = 5: P(1): “ 35 < 5+100” (S) và Q(5): “ 25> 5” (Đ)

?

Với mọi

n  N * thì P(n), Q(n) đúng hay sai?


PHƢƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
I. PHƢƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
CM: P(n) đúng với

n N

*

Phƣơng pháp qui nạp
• Bƣớc 1: Kiểm tra P(n) đúng với n = 1

• Bƣớc 2: Giả sử P(n) đúng với
(P(k) gọi là giả thuyết quy nạp)
CM: P(n) đúng với n  k  1

n  k 1


PHƢƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
I. PHƢƠNG PHÁP QUY
NẠP TOÁN HỌC:
CM: P(n) đúng với n  N *
Phƣơng pháp qui nạp
Bƣớc 1: Kiểm tra P(n)
đúng với n = 1

Bƣớc 2: Giả sử P(n) đúng
n  k 1
với
(P(k) gọi là giả thuyết quy
nạp)
CM: P(n) đúng với

n  k 1

II. VÍ DỤ:
Vd1:CMR với n  N * thì
1 + 3 + 5 + ….+ (2n-1) = n2 (1)

Hoạt
2

n = 1:động
1 = 1nhóm
2
n
=
2:
1+3
=
2
CMR: với mọi n  N *thì
n = 3: 1+3 +5 = 32 n(n  1) (1)
1………………………………….
 2  3  ....  n 
Nhóm 1,2: Bƣớc 1

2

n = k: 1+3+5+…+(2k-1) = k2
Nhóm
3, 4: Bƣớc
2 ( đến gt qui nạp)
n = k+1:
1+3+5+…+(2k-1)
2
+[2(k+1)-1]=
(k+1)
Nhóm 5, 6: Bƣớc 2 (nêu ta phải CM?)


PHƢƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

I. PHƢƠNG PHÁP QUY
NẠP TOÁN HỌC:
CM: P(n) đúng với n  N *
Phƣơng pháp qui nạp

II. VÍ DỤ:
Hoạt động nhóm

*
CMR: với mọi n  N thì

n(n  1)
1  2  3  ....  n 
2
Giải: Đặt Sn  VT

(1)

Bƣớc 1: Kiểm tra P(n) đúng
với n = 1
Bƣớc 2: Giả sử P(n) đúng với

Bƣớc 1: Với n = 1 thì: 1=1 nên (1) Đ

(P(k) gọi là giả thuyết quy
nạp)
CM: P(n) đúng với n  k  1

k (k  1)
(gt qui nạp)

2
Ta phải CM: (1) đúng với n  k  1

n  k 1

Bƣớc 2: G/s (1) đúng với

n  k  1 .Nghĩa là:

Sk  1  2  3  ...  k 

(k  1)(k  2)
Tức là: Sk 1  1  2  3  ...  k  (k  1) 
2
k (k  1)
 (k  1)
Thật vậy: Sk 1  Sk  (k  1) 
2
 k   k  1 k  2 
  k  1   1 
2
2 
Vậy: (1) đúng với n  N *


PHƢƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

II. VÍ DỤ:
Vd1: CMR với n  N *thì
2 (1)

1
+
3
+
5
+
….+
(2n-1)
=
n
*
CM: P(n) đúng với n  N
*
3
Vd2:
CMR
với
thì
n

N
n
n
Phƣơng pháp qui nạp
chia hết cho 3
Bƣớc 1: Kiểm tra P(n)
3
Giải:
Đặt
A


n
n
n
đúng với n = 1
Bƣớc 1: Với n = 1 ta có A1  0 3
Bƣớc 2: Giả sử P(n) đúng
Bƣớc 2: G/s với n = k ta có:
n

k

1
với
Ak  k 3  k 3 (gt qui nạp)
(P(k) gọi là giả thuyết quy
Ta phải CM Ak 1 3
nạp)
3
n  k  1 Thậy vậy: Ak 1   k  1   k  1
CM: P(n) đúng với
3
2
I. PHƢƠNG PHÁP QUY
NẠP TOÁN HỌC:





 k  3k  3k  1  k 1
 (k 3  k )  3(k 2  k )  Ak 1 3
3

3

Vậy: n3  nchia hết cho 3 với

n  N*


PHƢƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
CM: P(n) đúng với n  N *
Phƣơng pháp qui nạp
Bƣớc 1: Kiểm tra P(n) đúng
với n = 1
Bƣớc 2: Giả sử P(n) đúng với
n  k 1
(P(k) gọi là giả thuyết quy
nạp)
CM: P(n) đúng với

n  k 1

* Chú ý:
CM: P(n) đúng với n  p
( p là một số tự nhiên)
Phƣơng pháp qui nạp
• Bƣớc 1: Kiểm tra P(n) đúng
n=p

với
• Bƣớc 2: Giả sử P(n) đúng
với
nn  kk  pp
(P(k) gọi là giả thuyết quy
nạp)
CM: P(n) đúng với n  k  1


PHƢƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
* Chú ý:
CM: P(n) đúng với n  p
( p là một số tự nhiên)
Phƣơng pháp qui nạp
• Bƣớc 1: Kiểm tra P(n) đúng
n=p
với
• Bƣớc 2: Giả sử P(n) đúng
với
nk  p
(P(k) gọi là giả thuyết quy
nạp)
CM: P(n) đúng với n  k  1

Hoạt động nhóm
Cho hai số 3n và 8n với
n N
a) So sánh 3n với 8n khi n = 1, 2, 3, 4, 5
b) Dự đoán kết quả tổng quát và chứng
minh bằng phƣơng pháp quy nạp

Giải: a)
n
3n
?
8n
8
1
3
<
*

2

9

<

16

3

27

>

24

4

81

>

32

5

243

>

40

b) Kết quả: 3n > 8n với mọi

n3


PHƢƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
Hoạt động nhóm
* Chú ý:
CM: P(n) đúng với n  p
( p là một số tự nhiên)
Phƣơng pháp qui nạp
• Bƣớc 1: Kiểm tra P(n) đúng
n=p
với
• Bƣớc 2: Giả sử P(n) đúng
với
nk  p

(P(k) gọi là giả thuyết quy
nạp)
CM: P(n) đúng với n  k  1

Cho hai số 3n và 8n với
a) So sánh 3n với 8n khi n = 1, 2, 3, 4, 5
b) Dự đoán kết quả tổng quát và chứng
minh bằng phƣơng pháp quy nạp

Giải: b) Kết quả: 3n > 8n với mọi n  3
Đặt P(n): “ 3n > 8n” với mọi n  3
Bƣớc 1: Với n = 3 thì 33 > 8.3
nên P(1) đúng
nk 
Bƣớc 2: G/s mđề đúng với
. 3
Nghĩa là: 3k > 8k (gt qui nạp)
Ta phải CM mđề đúng với n = k+1.
Tức là 3k+1 > 8(k+1)
Thậy vậy: 3k 1  8(k  1)  3k .3  8k  8

 (3k  8k )  2.3k  8  0
0

Vậy: 3n > 8n với mọi

0

n3