Bài giảng bài phương pháp quy nạp toán học đại số 11

BÀI GIẢNG ĐẠI SỐ LỚP 11:

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP
TOÁN HỌC

GV: PHAN HỒNG HUỆ


Xét hai mệnh đề chứa biến : P(n): “3n < n +100” và
Q(n): “2n >n” với n
3n

So
P(n)
n + 100
sánh
Đ/S ?
n = 1 31=3 < 1+100=101 Đ
n=2
n=3
n=4

n=5

9
27
81
243

<
<

<
>

102
103
104
105

Đ
Đ
Đ
S

2n
n = 1 21=2

n=2
n=3

n=4
n=5

So
sánh

>
4 >
8 >
16 >
32 >

n

1
2
3
4
5

*

Q(n)
Đ/S ?

Đ
Đ
Đ
Đ
Đ


I. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC:

Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n
đúng với mọi n mà không thử trực tiếp được ta tiến hành như
sau:
- B1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1.
-B2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ
n = k ≥1 ( gọi là giả thiết qui nạp).
- B3:Ta cần chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

*


PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC:
Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên đúng n *mà không thử
trực tiếp được ta tiến hành như sau:
- B1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1.
- B2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ
n = k ≥1 ( gọi là giả thiết qui nạp).
- B3: Ta cần chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.
II. VÍ DỤ ÁP DỤNG:

Giải:

1. Ví dụ 1:
Chứng minh rằng với n

*

n  n  1
1  2  3  ...  n 
1
2

Đặt Sn= 1+2+3+…+n
B1: n=1 VT= 1, VP = 1. Khi đó mệnh đề (1) đúng.
B2: Giả sử mệnh đề (1) đúng với n= k ≥ 1 , nghĩa là:

Sk  1  2  3  ...  k 

k  k  1
2

B3: Ta cần chứng minh mệnh đề (1) đúng với n= k+1, tức là
chứng minh :
 k  1 k  2

Sk 1  1  2  ...  k   k  1 

Thật vậy: Sk+1 = Sk + (k+1) 


Vậy (1) đúng với mọi n

*

k  k  1
  k  1
2
 k  1 k  2

2

2


PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC:
Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên đúng với mọi n mà không thử
trực tiếp được ta tiến hành như sau:

- B1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1.
- B2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ
n = k ≥1 ( gọi là giả thiết qui nạp).
- B3: Ta cần chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

II. VÍ DỤ ÁP DỤNG:

2. Ví dụ 2:
Chứng minh với n  N * thì
n3  n chia hết cho 3.

Giải:
Đặt An = n3  n
B1: Với n = 1, ta có A1= 0 3
B2:Giả sử với n = k ≥ 1 ta có : Ak = (k3 – k) 3 (GT quy nạp)
B3: Ta cần chứng minh Ak+1 3
Thật vậy, ta có : Ak+1= (k+1)3 – (k+1)

 k 3  3k 2  3k  1  k 1

  k 3  k   3  k 2  k   Ak  3  k 2  k 

Theo giả thiết quy nạp ta có Ak

3

Mặt khác:3( k2 + k) 3
Do đó: Ak+1 3

Vậy n  N * thì n3  n chia hết cho 3.

Chú ý:

Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự
nhiên n ≥ p (p là một số tự nhiên) thì:
 Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p;
 Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với một số tự
nhiên bất kì n = k ≥ p

 Ở bước 3, ta phải chứng minh nó đúng với n = k+1


Cho hai số 3n và 8n với n là số tự nhiên khác 0
a) So sánh 3n với 8n khi n = 1, 2, 3, 4, 5
b) Dự đoán kết quả tổng quát ?

n

3n

1

3

<

8

2

9

<

16

3

27

>

24

4

81

>

32

5

243

>

40

?

8n

b) Kết quả: 3n > 8n với mọi

n3


Hướng dẫn:

Đặt P(n): “ 3n > 8n” với mọi

n3

B1: Với n = 3 thì 33 > 8.3 nên P(1) đúng
B2: Giả sử mệnh đề đúng vớin  k  3
.
Nghĩa là: 3k > 8k (giả thiết quy nạp)
B3:Ta phải chứng minh mệnh đề đúng với n = k +1
Tức là chứng minh 3k+1 > 8(k+1)
Thật vậy: 3k 1  8(k  1)  3k.3  8k  8

 (3k  8k )  2.3k  8  0
0

Vậy: 3n > 8n với mọi

n3

0