Bài giảng bài ứng dụng tích phân trong hình học giải tích 12 (2)

Company
LOGO

CHÀO MỪNG CÁC EM
ĐÃ ĐẾN VỚI BÀI HỌC MỚI !
CHÚC CÁC EM THÀNH
CÔNG TRONG HỌC TẬP !

www.company.com


ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN

Thể tích vật thể hình học

2


● Diện tích hình phẳng

y
A

M

B

N
x b

a

Khi x chạy từ a đến b thì MN = f(x) “quét”
nên diện tích S của hình phẳng aABb và
b

S   f ( x)dx

x

( f(x)≥0, x[a,b] )

a

1/ Thể tích vật thể hình học
y

Khi x chạy từ a đến b thì diện tích S(x)
“quét” nên thể tích V của vật thể và

b

x

O

a

x

V   S ( x)dx

( S(x) liên tục trên [a,b] )

a

b

S(x)

3


2/ Thể tích khối chóp, khối nón
Xét khối chóp (khối nón) đỉnh O, diện tích đáy là S, chiều cao OI = h.

Chọn trục Ox hướng theo chiều từ O đến I

S ( x) x 2
 2 (0  x  h)
S
h

O

O

Do đó
M

H

N

h

S
V 2
h

h

2
x
 dx
0

3 h

S x
 2
h 3

D
C

0

1
 Sh
3

I

I

M

A

B

4


3/ Thể tích khối chóp cụt, khối nón
Xét khối chóp cụt (khối nón cụt) có diện tích hai đáy là S và S’,
chiều cao II’=h.
Chọn trục Ox theo hướng từ O đến I. Đặt OI=a, OI’=b. b-a=h.

S ( x) x 2
 2 (a  x  b). Do đó
S
b
O

b

O

V

M

H

N


h

D
C
I

I

M

A

B

3 b

S x
S
2

x
dx
b2 3

b 2 a



a

S 3 3
b a 
2 
3b

S
2
2
(
b

a
)(
b

ab

a
)
2
3b

hS 
a a2   \


1   2   vi
3 
b b  



h

S  S .S /  S /
3



S/ a 
 
S b 
5


4/ Thể tích của vật thể tròn xoay
Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường
y=f(x), y=0, x=a, x=b quay quanh trục Ox
taọ thành một vật thể tròn xoay (T)

y

Tính thể tích của (T)

f ( x)

x

O

x

a

b

y

Thiết diện của (T) và mặt phẳng vuông góc
với Ox là hình tròn có bán kính R=f(x) nên
diện tích thiết diện là S(x) = [f(x)]2.
Do đó thể tích của khối tròn xoay (T) là:

y  f ( x)

b

V    [ f ( x)]2 dx

f ( x)

a
x
O

a

x

b

b

V    y 2 dx
a

6


5/ Thể tích của khối cầu
y

Khối cầu bán kính R là khối tròn xoay
tạo thành khi quay hình tròn giới hạn
bởi đường tròn
x

-R

O

R

(C ) : x 2  y 2  R2 quanh trục Ox
Do đó có thể tích là:
R

R

R

R

V    y 2 dx    ( R 2  x 2 )dx
R

 2 x 
 3 2 R3 
   R x      2R  
3  R 
3 

3

4
  R3
3
M

R

H

S

7

6/ Ví dụ:
Tính thể tích của hình tròn xoay sinh ra khi quay hình giới hạn bởi:

a)

y  e , y  0, x  1, x  2
x

y

b)

quanh trục Ox.

1 2
x , y  2, y  4, x  0
2

quanh trục Oy.
y

Quay quanh Ox:
b

V    y 2 dx
a

x

Quay quanh Oy:

O

b

2

V    (e ) dx
x 2

1

 2x
  4 1
 e
  e   (dvtt )
2
2
e
1
2

V    x 2 dy
a

4

V    2 ydy   y

2 4
2

2

 12 (dvtt )
8


b

b

V   S ( x)dx
a

V    [ f ( x)] dx
2

a

9


Xin trân thành cảm !