Bài giảng bài ứng dụng tích phân trong hình học giải tích 12 (3)

BÀI 3:
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
TRONG HÌNH HỌC
(PPCT: 58 )

I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong va trục hoành.
2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong.

1


BÀI 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành

Bài toán: Tính diện tích hp
b

 S =  f(x) dx
a

y
y = f(x)

 y = f(x) liên t u' c /[a;b]

 y = 0 ( Ox )
 x = a; x = b


S
a

o

A’

- Nếu f(x) ≥ 0 trên [a;b] thì S =  f(x).dx =  f(x) dx
a

- Nếu f(x) ≤ 0 trên [a;b] thì S = S' =

b

 -f(x).dx =  f(x) dx
a

-Nếu trên [a;b] pt f(x) = 0 có hai nghiệm x = c, x = d , với
a < c < d < b và f(x) ≥ 0 trên [a;c] và [d;b], f(x) ≤ 0 trên [c;d]
thì

S = S1 + S2 + S3
a

d

b

c -f(x).dx + d f(x).dx

c

d

b

b

a

c

d

a

=  f(x) dx +  f(x) dx +  f(x) dx   f(x) .dx

y = - f(x)

B’

S’

a

b

o

a

S

A

y = f(x)

a

=  f(x).dx +

x

y
b

b

c

b

b x
B


BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành
 y = f(x) lt u' c /[a;b]

Bài toán: Tính diện tích hp  y = 0 ( Ox )
 x = a; x = b


Ví dụ 1: Tính diện tích hp giới hạn bởi

y = x3

 y = 0 ( Ox )
 x = -2; x = 1


y

y = f(x)

S

b

 S =  f(x) dx
a

o

a

b

x


BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành
2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
Bài toán: Tính diện tích hình
phẳng giới hạn bởi

y =


y =

x=



f (x) liên t u' c /[a;b]
b
f (x) liên t u' c /[a;b]  S =  f1(x) - f 2 (x).dx
a
a; x = b
1

2


BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành
2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
y =

Bài toán: Tính diện tích hình phẳng  y =

x=



f (x) lt u' c/[a;b]
f (x) lt u' c/[a;b]  S =
a; x = b
1

2

b

a f1(x) - f 2 (x).dx

Chú ý: Nếu

x  c

- Giải pt f1(x) = f2(x)  
[a;b]
x

d

(f1(x) - f2(x) = 0)

Với ; a < c < d < b
- Thì tách tích phân thành
b

S=

c

d

b

a f1(x) - f 2 (x).dx = a f1(x) - f 2 (x)dx + c f1(x) - f 2 (x) dx + d f1(x) - f 2 (x) dx
c

d

b

a

c

d

= [f1(x) - f 2 (x)]dx + [f1(x) - f 2 (x)]dx + [f1 (x) - f 2 (x)]dx


BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
Ví dụ 2.

Tính diện tích hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị hs y =
cosx , y = sinx và 2 đt x = 0
,x=π

Ví dụ 3.

Tính diện tích hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị hs

1
y  x, y  x
2


Ví dụ 3. Giải cách 2.
Ta có:
1
y  x  x  2y
2

y

x  x  y2

Giải pt : 2y – y2 = 0 ta được nghiệm y = 0 và y = 2
Khi đó:
2

S   2 y  y 2 dy
0





2

0

(2 y  y )dy
2

2

 2 y 
4
 y   
3 0 3

3

Tính diện tích của hình tròn và Elíp
y

Với hình tròn, ta có:
R

Ta có: S  4S1  4 R  x dx
 
0
Đặt x = Rsint t  0; 
2



 /2

 S  4R2



2

R
S1

2

R

O

x

cos 2tdt

0

 /2

 2R2

 1  cos2t  dt
0

 sin 2t 
 2R2  t 

2



 /2
0

  R2

8

Tóm lại
I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
y
1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành

 y = f(x) lt u' c/[a;b]

Bài toán: Tính dt S  y = 0
 x = a; x = b


y = f(x)

S

b

 S =  f(x) dx
a

o

a

2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

Bài toán: Tính dt S

y =



y =

x=



f (x) lt u' c/[a;b]
f (x) lt u' c/[a;b]  S =
a; x = b
1

2

b

a f1(x) - f 2 (x).dx

b

x


BÀI TẬP VỀ NHÀ
BÀI TẬP: 1, 2, 3 SGK

Bài toán: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường elip:

x2 y 2
 2  1 , a > 0, b > 0

2
a
b


BÀI TẬP ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC

b
S = |f1(x)- f2(x)|.dx
a



Ví dụ :

(2)

1/ Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi y = x3 -3x

va y = x

Giải :
Xét phương trình:

x3 -3x = x
 x3 - 4x = 0
x= 2

 x= 0
x= -2

Diện tích hình phẳng cần tìm là:
2

0

2

S=  |x3- 4x|.dx= | (x3- 4x)dx|+| (x3- 4x)dx|


-2

x4
= ( -2x2)
4

|

-2

0
-2

|

x4
+ ( -2x2)
4

| |

0

2
0

|

|

= |- 4+8 | + | 4-8 | = 8 (đ.v.d.t)


2/ Tính diện tích hình tron x2 + y2 = R2
Giải
 y  f ( x )  R2  x 2 (c )
1
1
(1)  
 R  x  R 
2
2
 y  f ( x )   R  x (c )

2
2
 x  R
f1 ( x )  f2 ( x )  0  
x  R

S


R

2

2

2



R

2



R  x  R  x dx

R
R

2

2

2

R  x dx

  
t   , 
 2 2

Đặt x = R sint; Với

dx = R cost dt

Ta cĩ

x   R  sin t  1  t  
x  R  sin t  1  t 


S2

2








2

2



R 2 1  sin 2 t R cos tdt

 2




1  cos 2t
 2 R  cos tdt  2 R 
dt
2


2

2

2

2

2

2

2



 sin 2t 
2
 R2  t 


R
dvdt

2  

2
2


BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành
2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
 y = f1 (x) lt u c/[a;b]
'
Bài toán: Tính dt hình phẳng S

Ví dụ: Tính diện tích hp:

Giải:



y =

x=



 y = ex

y = 1
 x = 1;


f (x) lt u' c/[a;b]
a; x = b
2

x=2

- Ta có pt ex = 1
 x = 0  [1;2]
2

2

- Ta có S =  e - 1dx =  (ex - 1)dx
x

1

1

2

= (ex - x) 1 = e2 - e - 1 (đvdt)

b

 S =  f1 (x) - f 2 (x).dx
a


II.Thể tích của caùc vật thể:


II.THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ
b

CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH
y

V   S  x  dx
a







S(x)
S(X)

O

a

x

b

x
15


THỂ TÍCH CỦA khối nón, chóp, nón cụt và chóp cụt
Cho khối chóp (nón) có
diện tích đáy là S, đường y
cao là h. Tính thể tích khối
chóp (nón) đó.



Ta có:



b

V   S  x  dx

S

a

Xét phép:
x
h
O

x2
V : S  S  x  S  x  2 S
h
h
S
Sh
 V  2  x 2 dx 
h 0
3

O

S(x)

x

x

h

16


THỂ TÍCH CỦA khối nón cụt
và chóp cụt
• Từ công thức và cách tính thể tích khối nón, chóp, hãy xác
định công thức tính thể tích khối nón cụt và chóp cụt?
y

Ta có:



h

S
S
2
V  2  x dx  2  h3  h '3 
h h'
3h

S

2
2
h  h '  h  hh ' h ' 

S

.

S’

2

3
h
H
V 
S  SS '  S '
3





O

h’

h

x
17


THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRÒN XOAY
a) Vật thể tròn xoay được sinh ra khi cho y = f(x) ltục
trên [a;b], x = a, x = b quay quanh Ox có thể tích:

y

S(x)

O

x

a
b

x

b

V   S  x  dx    y dx
2

Ta có:

a

b

Vậy:

b

a

V    y dx
2

a

18


Ví dụ:
1/ Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng
giới hạn bởi đđồ thị hàm số y = sin2x , trục hoành và
x = -π/6; x = /2 quay quanh Ox

2


V    sin 2 x.dx 
2

2



6


2


2

 1  cos 4 x  .dx




6

  sin 4 x 
  2 3 
 x
      (dvtt)
2
4  2 3 8 
6


2/ Tính thể tích giữa y = x2 - 4x quay quanh Ox, với 1  x  4

Giải:
4

V= π

∫ (x
1

4
2

2

- 4 x ) dx = π (x 4 - 8x 3 + 16 x 2 ) dx

∫
1

1 5
16 3
4
= π ( x - 2x + x )
5
3

4

153
(đđ.v.t.t)

5
1


3/ Tính thể tích của hình cầu bán kính R ?
Giải: Nửa đường tròn tâm O bán kính R phía trên trục hoành là
đường có pt

y  R2  x2

Khi cho nửïa đường tròn quanh xung quanh

trục Ox ta được hình cầu bán kính R

V 

R

2
2
R

x
dx


R

R

 2
x 
 R x 
3  R

4
  R3
3
3


x

b) Vật thể tròn xoay được
sinh ra khi cho x = g(y) liên
tục trên [a;b], y = a, y= b
quay quanh Oy có thể tích:

y

Tương tự trên ta có:
b

V    x dy
2

a
O

x
22


BÀI TẬP (SGK)

1.a

1.c

S=9

S = 9/2

1.b

2

S = 1/e + e - 2

S = 8/3


Bài 3

Bài 4.b

Bài 4.a

Bài 4.c