Bài giảng bài ứng dụng tích phân trong hình học giải tích 12 (5)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.46 MB, 16 trang )
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG
HÌNH HỌC – TOÁN LỚP 12
KIỂM TRA BÀI CŨ
Tính diện tích hình
phẳng B giới hạn bởi
đồ thị hàm số
x2
y 1
6
trục
hoành,
các
đường thẳng x = 1 và
x=4
Đáp số:
13
2
6
4
B
2
D
A
-10
a
-5
-2
-4
-6
-8
b
5
10
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ
1. TÍNH THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ
b
V S x dx
z
(1)
a
S(x)
S(x)
y
x
O
a
x
b
b
V S ( x)dx (1)
z
y
B4
a
Ví dụ 1:
Cho khối chóp có chiều
cao h, diện tích đáy là S.
Chứng minh rằng thể tích
V của nó là:
1
V Sh
3
Gọi S(x) là diện tích
thiết diện vuông góc với
trục Ox tại x 0 x h
A4
x
O
B1
A3
B3
B2
S(x)
A1
h
x
A2
S
S ( x) x 2
S 2
2 S ( x) 2 x
S
h
h
h
S 2
S x3 h
V 2 x dx 2
h
h 3 0
0
3
S
Sh
2 h3 0 2
3h
3h
1
Vậy
V Sh
3
2. Thể tích khối tròn xoay
a. Hình phẳng quay quanh trục hoành
Cho hàm số y = f(x) liên
tục và không âm trên a; b
Hình phẳngb giới hạn bởi đồ
x)dx trục Ox,
thị hàm V
sốy S
= (f(x),
a
hai đường thẳng
x = a, x = b
quay quanh trục hoành tạo
nên một khối tròn xoay .
Thiết diện của khối tròn xoay
cắt bởi mp vuông góc với trục
Ox tại điểm x (a x b) là hình
tròn bán kính f(x)
2
S ( x) f ( x)
x
S(x)
Thể tích V của nó:
b
V f 2 ( x)dx (2)
a
2
x
Ví dụ 2:
y 6 1
x2
Xét hình
phẳng B giới hạn bởi đồ thị hàm số y 6 1
( B) : y 0
trục hoành
x 1và các đường thẳng x = 1, x = 2. Tính
khối tròn xoay tạo thành khi quay hình
thể tích
x quanh
2
đó
phẳng
trục hoành.
Giải :
2
x
V 1 dx
6
1
2
4
2
x
x
2
1 5 1 3
1 dx
x x x
36 3
9
180
1
1
2
2
1 3
1
5
2 1 2 1 1
9
180
39
20
Ví dụ 3 :
Cho một khối chỏm cầu bán kính R và chiều cao h.
Chứng minh rằng thể tích V của khối chỏm cầu là
h
V h R
3
y
2
Trong mp Oxy, xét hình phẳng
B giới hạn bởi cung tròn tâm O
bán kính R có pt y R 2 x 2
trục hoành và đt x R h(0 h R)
Quay hình phẳng B quanh trục
hoành ta thu được khối chỏm cầu
bán kính R chiều cao h
y R2 x2
O
R-h
R
x
h
V h R
3
CMR:
2
y
Thể tích khối chỏm cầu là
V
R
R
R h
2
x dx
2
y R2 x2
O
R-h
R
x
3
2
x R
R x
3 Rh
3
3 R3
R h
h
2
2
R
R R h
h R
3
3
3 3
2 R
Thể tích khối bán cầu bán kính R là V
3 3
4 R
Thể tích khối cầu bán kính R là V
3
b. Hình phẳng quay quanh trục tung
y
Cho hàm số x = g(y)
liên tục và không âm
trên đoạn c; d
Hình phẳng giới hạn
bởi đồ thị hsố x = g(y),
trục tung, hai đường
thẳng y = c, y = d, quay
quanh trục tung tạo nên
một khối tròn xoay .
d
x=g(y)
c
O
d
Thể tích V của nó là:
V g 2 ( y )dy (3)
c
x
Ví dụ 4:
Cho hình phẳng B giới
hạn bởi các đường x 2 y
trục Oy, y = 1 và y = 8.
Tính thể tích của khối tròn
xoay tạo thành khi quay
hình B quanh trục tung.
Giải :
8
V
1
8
dy
2
2y
y
2
8
1
(8 1 )
2
Vậy
2
y 8
2 ydy 2
2 1
1
V 63
2
CỦNG CỐ BÀI HỌC
1. Cho hình phẳng (B) giới hạn bởi các đường y
= (1 – x)2, y = 0, x = 0 và x = 2 . Thể tích của khối
tròn xoay khi cho hình phẳng (B) quay quanh trục
Ox là:
5
C .
2
8 2
A.
3
2
B .
5
Đáp án
D .2
B
CỦNG CỐ BÀI HỌC
2. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường x 5 y 2
x = 0, y = -1 và y = 1. Thể tích của khối tròn xoay
khi cho hình phẳng quay quanh trục Oy là:
Đáp án
A.
C .2
B . 2
D . 5
C
BÀI TẬP VỀ NHÀ
Xét hình phẳng B giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x2
(x>0), các đường thẳng y = 1, x = 2 và B nằm
ngoài parabole y = x2. Tính thể tích V của khối tròn
xoay tạo thành khi quay hình phẳng B quanh trục
hoành.
y
4
y=x2
Giải :
Gọi
Pt hoành
B1 làđộ
hình
giaophẳng
điểm giới
hạn
của bởi
parabole
đồ thị yhs= yx2=(x>0)
x2, trục
Ox,
và đường
các đường
thẳngthẳng
y=1 x=1
và x = 2.
3
2
y=1
1
L
-4
1
-2
2
2
-1
-2
-3
x 1
2
x 1
B2 là hình xphẳng
giới
hạn bởi các đường
1
(loại)
thẳng y = 1, x = 1, x = 2 và trục Ox
-4
4
6
x
y x 2 ( x 0)
( B) : y 1
x 2
Gọi V1, V2 lần lượt là thể
tích các khối tròn xoay khi
các hình phẳng B1, B2
quay xung quanh trục Ox
Ta có
V = V1 – V2
y=x2
y=1
1
2
x5 2 31
5
2 5 1
2
V2 1 dx ( x)
1
1
2
2
2 2
V1 x dx x 4 dx Vậy V 26
5
1
1
2
