Bài giảng bài quy tắc tính đạo hàm giải tích 11 (3)

CÂU HỎI

KIỂM TRA BÀI CỦ

Cho hàm số f(x)= x2+2x+1. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. f(2) = 9
C. f(a+1)= (a+2)2.
B. f(-m) = (m-1)2
D. f(3) = 5

Cho hàm số f(x) = x5 - + 1. Khi đó f ’(1) bằng:
A. 5

B. 1

C. 6

D. 7


§ 2. C¸c qui t¾c tÝnh ®¹o hµm
4. Đạo hàm của hàm số hợp:

a. Khái niệm hàm số hợp:
Cho hai hàm số y=f(u) và u=u(x). Thay thế biến u trong biểu thức f(u) bởi biểu thức
u(x), ta được biểu thức f[u(x)] với biến x. Khi đó, hàm số y= g(x) với g(x) = f[u(x)]
được gọi là hàm số hợp của hai hàm số f và u; hàm số u gọi là hàm số trung gian.

Cho f(u) =
nó.

và u(x) = x-3 . Hãy tìm hàm số hợp y= f[u(x)] và tập xác định của

Giải: Hàm số y= f[u(x)] =
Cho f(u) =
định của nó.

và u(x) =

Giải: Hàm số y= f[u(x)] =

, xác định trên nửa khoảng [3; +

).

. Hãy tìm hàm số hợp y= f[u(x)] và tập xác
, xác định trên khoảng (1; +

).


b. Cách tính đạo hàm của hàm số hợp

Định lý 4:
a. Nếu hàm số u =u(x) có đạo hàm tại điểm x0 và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại
u0=u(x0) thì hàm số hợp g(x) = f[u(x)] có đạo hàm tại điểm x0, và
g’(x0) = f’(u0).u’(x0) .
b. Nếu trong giả thiết phần a) được thỏa mãn đối với mọi điểm x thuộc J thì hàm số
hợp y = g(x) có đạo hàm trên J , và g’(x) = f ’[u(x)].u’(x).

Công thức thứ hai được viết gọn lại là

g’x = f’u.u’x

Chứng minh:
Ví dụ: Cho hàm số f(x) = x2-3x và hàm số g(x) = 2x+1. Tìm hàm số hợp y = g[f(x)] và
tính đạo hàm của nó.


áp dụng công thức tính đạo hàm ở định lý 4 . Hãy tính đạo hàm của hàm số sau:

g(x) = f[u(x)] = (x3+4x+5)4 .
Giải: Ta có f’(u) = (u4)’=4u3 . Do u(x) = x3+4x+5 nên u’(x)= 3x2 +4.

Vậy g’(x) = f ’[u(x)].u’(x) = 4(x3 +4x+5)3(3x2 +4).
( với n

Từ ví dụ trên hãy tổng quát hóa cho trường hợp đạo hàm của hàm số y = (u(x)n)
N và n 2).


Hệ quả 1:

Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm trên J thì hàm số y = un(x) ( với n tự nhiên và
n>1) có đạo hàm trên J, và
[ un(x)]’= n.un-1(x).u’(x).
Tìm hàm số f sao cho hàm số
gian u = u(x)
Giải :

là hàm số hợp của hàm số f và hàm số trung

là hàm số hợp của hàm số

và hàm số trung gian u= u(x)

Chứng minh rằng nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm trên J và u(x)>0 với mọi x thuộc
J thì hàm số
cũng có đạo hàm trên J và
Hệ quả 2:
Nếu hàm u = u(x) có đạo hàm trên J và u(x)>0 với mọi x
thuộc J thì hàm số
Có đạo hàm trên J, và


Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số sau:
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số sau:
Bài tập : Tính đạo hàm các hàm số sau: y = (x7+x)2


GHI NHỚ
a) Đạo hàm của một số hàm số thường gặp ( ở đây u = u(x) ).

b) Các qui tắc tính đạo hàm ( ở đây u = u(x), v = v(x) )

c) Đạo hàm của hàm hợp ( ở đây g(x) = f[u(x)] )


Cho hàm số

khẳng định nào sau đây là đúng

(A) Vì 2 là hằng số nên f ’(2) = 0

(B) Với x 2 thì f ’(x) = (x2-3x)’= 2x-3 nên f ’( 2) = 2.2 - 3 = 1
(C) Với x> 2 thì f ’(x) =( x+1)’=1 nên f ’( 2) =1

(D) Hàm số không có đạo hàm tại điểm x0= 2
Cho hàm số
(A) Vì f’(0)=0 nên f ’(0) = 0
(B) Vì hàm số f(x) không xác định khi x<0 nên không tồn tại f ’(0)

(C) Vì
(D) Vì

nên f ’(0) = +
nên f ’(0)= +


Củng cố bài học
Qua bài học hôm nay các em cần nắm vững:
+) Nắm được định nghĩa của hàm số hợp (
chỉ xét hàm số hợp của các hàm số cho bởi
công thức).
+) Quy tắc tính đạo hàm của hàm số hợp,
đặc biệt là hai công thức tính đạo hàm của hàm
số hợp y= un(x) và


Cách 1: (Sử dụng phương pháp xấp xỉ tiếp tuyến)

Giả sử cho hai hàm số f(u) và u= g(x) . Cần tính (f[g(x)])’. Xét một giá trị x 0 tùy ý (
thuộc miền xác định của g), u0= g(x0). Tiếp tuyến tại điểm (u0;f(u0)) của f có phương
trình

y1= f’(u0)(u-u0)+f(u0)
Tiếp tuyến tại điểm (x0;g(x0)) của g có phương trình
y2= g’(x0)(x-x0)+ g(x0)
Tiếp tuyến tại điểm ( x0; f[g(x0)] )của f[g(x)] có phương trình
y= (f[g(x)] )’(x0)(x-x0)+ f[g(x0)]

Suy ra y1 = f’(g(x0))[g’(x0) (x-x0)+ g(x0)-g(x0)] +f(g(x0)
= f’(g(x0)) g’(x0) (x-x0) +f(g(x0)
Do y1=y nên (f[g(x)])’= f’[g(x0)].g’(x0) . Điều này xảy ra với mọi giá trị của x0 nên ta có
quy tắc (f(g))’= f’g.g’x
Cách 2: Dùng định nghĩa ( SGK Đại số & giải tích 12 - Chỉnh lý 200 )
Revew


Chân thành cảm ơn sự chú ý
theo dõi của các thầy cô giáo và
các em học sinh !
Chúc sức khoẻ các thầy cô
giáo và các em !
Thao Giang GVG dot 2