Bài giảng bài số phức giải tích 12 (2)

LOGO

BÀI GIẢNG TOÁN 12
CHƢƠNG 4 – BÀI 1


NỘI DUNG
1.KHÁI NIỆM SỐ PHỨC
2.BIỂU DIỄN HÌNH HỌC SỐ PHỨC
3.PHÉP CỘNG PHÉP TRỪ SỐ PHỨC
4.PHÉP NHÂN SỐ PHỨC
5.SỐ PHỨC LIÊN HỢP VÀ MÔ ĐUN SỐ PHỨC

6.PHÉP CHIA CHO SỐ PHỨC KHÁC 0


1.KHÁI NIỆM SỐ PHỨC
a.Định nghĩa
Số phức có dạng : z = a + bi

a, b  , i  1.
2

• i gọi là đơn vị ảo .
• a gọi là phần thực
• b gọi là phần ảo

Tập các số phức ký hiệu là:

Ví dụ:ý:
Chú

1

3

) z
a  ,
a  a  0ii
2 . 2

) zz 
0 
bi2 
bi 0
(bi )

gọi là số ảo (Thuần
4 ảo).
z  0 i
Đặc biệt
3
•i=z0 
+ 1i=1i
 . ei
•0 = 0 + 0i = 0i


1.KHÁI NIỆM SỐ PHỨC
b.Hai số phức bằng nhau

Cho z = a + bi, z’ = a’ + b’i
(a, b, a ', b '  )

a  a '
z  z'  
b  b '

Ví
dụ:ý
Chú
cho z = x+2+(2x-y)i
ab0
a  z’
bi=-01 
+ 2yi
Tìm x ; y để z = z’
Lời giải
 x  2  1
z  z'  
2 x  y  2 y
 x  3

 y  2

Vậy x = –3,y = 2.


2.BIỂU DIỄN HÌNH HỌC SỐ PHỨC
•Trong mặt phẳng Oxy
Cho z = a + bi (a, b  )

y

Ví dụ:
•Các điểm O, A, B, C, D
M
b
.
biểu diễn các số phức nào?

•Thì M(a;b) là điểm biểu diễn
số phức z.
.O
a
•Mp Oxy gọi là mp phức.
•Ox – Trục thực.
•Oy – Trục ảo.
*Nếu M(a;b) là điểm biểu diễn •Véc tơ u  (5; 2) biểu
số phức z= a+bi thì u  OM (a; b) diễn số phức nào?
biểu diễn số phức z.

x


2.BIỂU DIỄN HÌNH HỌC SỐ PHỨC
VÍ DỤ:

Cho các số phức z1  2  3i; z2  1  2i; z3  2  i
Biểu diển các số phức đó trong mặt phẳng phức
y

M1

3

M2

2

x
0
-1

1

2

M3


3.PHÉP CỘNG PHÉP TRỪ SỐ PHỨC
a. Tổng và hiệu hai số phức

Cho z = a + bi, z’ = a’ + b’i
(a, b, a ', b '  )

VíTính
dụ: Tính
b.
chất

•z
z’ ++ (-3
z + i)
a)+( 5z’–=2i)
•z + 0 = 0 + z = z
b)
( z(7
 z–')i)–z(5
'' +zi) ( z ' z '')

.

• z + z’ = a + a’ + (b + b’)i.
c) (1 –z i )a+ bi
(–, 1z '+
i)

a  bi
•Nếu
• z – z’ = z+(-z’).
•
= a –a’ + (b – b’)i. thì z  z '  0
Khi đó kí hiệu z   z '
gọi là số đối của z.


3.PHÉP CỘNG PHÉP TRỪ SỐ PHỨC
c. Ý nghĩa hình học của phép cộng và phép trừ số phức.
y

Nếu u biểu diễn z
biểu diễn z’

N

u'

Thì

biểu diễn z + z’

u u'
u  u ' biểu diễn z - z’

u

1

.

O

Q
x

1

M

v

P


4.PHÉP NHÂN SỐ PHỨC

Theo quy tắc nhân đa thức với chú ý: i2=-1
hãy tính :
(3+2i)(2+3i) ?
(3+2i)(2+3i) = 6 + 9i + 4i + 6i2
= 0 + 13i
= 13i


4.PHÉP NHÂN SỐ PHỨC
Ví dụ :

(5 + 2i)(4 + 3i) = ?
=20 + 15i + 8i + 6i2
= (20 – 6) + (15 + 8)i
= 14 + 23i
(2 - 3i)(6 + 4i) = ?
= 12 + 8i – 18i – 12i2
= (12 + 12) + (8 – 18)i
= 24 – 10i


4.PHÉP NHÂN SỐ PHỨC
Tổng quát:

(a + bi) (c + di) = ac + adi + bci + bdi2

= ac + adi + bci – bd
Vậy:

(a + bi) (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i


Chú ý
Phép cộng và phép nhân các số phức có các
tính chất của phép cộng và phép nhân các số
thực không ?
Phép cộng và phép nhân các số phức có tất
cả các tính chất của phép cộng và phép nhân
các số thực.


Tính : P= (3 + 4i) + (1 – 2i)(5 + 2i)
a) 6 + 8i
b) 6 – 8i
c) 12 -4i

d) Kết quả khác


Số nào trong các số sau là số thực:
a)

(2+ i 5) + (2 - i 5 )

b)

( 3+ 2i) - ( 3 - 2i )

c)
d)

(1 + i

2
3)

(2 - i

2
2)


Số nào trong các số sau là số
thuần ảo :
a)

( 2 + 3i) + ( 2 - 3i)
b) ( 2 + 3i)( 2 - 3i)
c)

d)

(2 + 2i)2
(2 + 3i)2

Tính Z=[(4 +5i) – (4 +3i)]5 có
kết quả là :
5
a) – 2 i

b) 25 i
c) – 25

d) 25


5.SỐ PHỨC LIÊN HỢP VÀ MƠ ĐUN SỐ PHỨC
a) Khái niệm số phức liên hợp
ĐỊNH NGHĨA

Số phức liên hợp của z = a + bi

(a,b  )

là số phức a-bi và được kí hiệu là z
z  a  bi  a  bi
VÍ DỤ

2  3i  2  3i
4

2i  4 

i  i
i  i

2i

(a,b  )


VÍ DỤ

Tính zz

z  a  bi
z  a  bi

zz  a  b
2

2


b) Tính chất

1) Với mọi số phức z,z', ta có
z+z'  z  z '
zz'  zz '
2) Với mọi số phức z, số zz ' là số thực
và nếu z=a+bi (a,b  ) thì
zz  a  b
2

2

Mơ đun của số phức
Định nghĩa

Mô đun của số phức z = a + bi (a,b  )
2

là số thực không âm a  b và được kí hiệu là z
2

Nếu z = a + bi thì z  zz  a  b
2

zz  z

2

2


Hoạt động

Với số phức z = a + bi (a,b  ) khác 0,
chứng minh rằng số
1
1
-1
z  2
z  2 z là số thỏa mãn zz  1

2
a b
z
-1


6.PHÉP CHIA CHO SỐ PHỨC KHÁC 0
ĐỊNH NGHĨA

Số phức nghòch đảo của số phức z khác 0 là số
1
-1
z 
z
2
z
z'
Thương
của phép chia số phức z' cho số phức z khác 0
z
là tích của z' với số phức nghòch đảo của z tức là
z'
 z ' z 1
z

z'
z'z
z'z



2
z
zz
z


VÍ DỤ

z'
z'z
z'z


2
z
zz
z

3  i (3  i)(1  i) (3  i)(1  i) 2  4i



 1  2i
2
2
1  i (1  i)(1  i)
1 1
2
1  2i (1  2i)(1  2i) (1  2i)
3  4i


 2

2
1  2i (1  2i)(1  2i) 1  2
5
2


Thực hành

Tính
1
3  2i 3  4i
;
;
2  3i
i
4i
z'
z'z
z'z


2
z
zz
z

Bài tập

1
3
Cho z =  
i
2 2

Haõy tính:

1
2
3
2
; z; z ; (z) ; 1  z  z
z