Bài giảng bài hệ trục tọa độ trong không gian hình học 12 (6)

Chƣơng III : PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG
KHÔNG GIAN
Bài 1 :

HỆ TỌA ĐỘ TRONG
KHÔNG GIAN
Click


I. Tọa độ của điểm và của vectơ
1) Hệ tọa độ :
z

Trong không gian cho 3 trục x’Ox ; y’Oy ; z’Oz.
vuông góc với nhau từng đôi một . Gọi
là các véc tơ đơn vị trên các trục đã cho

Hệ trục nhƣ vậy gọi là hệ trục tọa độ Đề
các vuông góc Oxyz trong không gian
Đơn giản gọi : Hệ tọa độ Oxyz
Điểm O gọi là gốc tọa độ
Các mặt phẳng (Oxy) ; (Oyz) ; (Ozx) ;
Đôi một vuông góc được gọi là các mặt
phẳng tọa độ
Không gian với hệ trục Oxyz còn được gọi
là không gian Oxyz
Vì

x’

O

y’

y

x

z’

là các véc tơ đơn vị và đôi một vuông góc nên

và

Click


Trong không gian Oxyz , cho một điểm M . Hãy phân tích véc tơ
không đồng phẳng

theo 3 véc tơ

đã cho trên các trục Ox ; Oy : Oz

2. Tọa độ của một điểm :

z

z

M (x ; y ; z)

Trong không gian Oxyz , cho 1 điểm M tùy ý .
Vì
không đồng phẳng nên có 1 bộ
ba số ( x ; y ; z) duy nhất sao cho

O

y

y

x

Ngược lại với bộ ba số ( x ; y ; z) ta có một
điểm M duy nhất trong không gian thỏa :
x

Ta gọi bộ 3 số ( x ; y ; z) đó là tọa độ của điểm M đối với hệ trục đã cho và viết :
M = ( x ; y ; z) hay M(x ; y ; z)

3. Tọa độ của một véctơ :
Trong không gian Oxyz , cho 1 vectơ

Vậy : tọa độ của véctơ

sao cho :
Do đó

Khi đó luôn tồn tại duy nhất bộ ba số (a 1;a2;a3)

M(x ; y ;z)

Click


Ví dụ minh họa : Trong không gian Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có
điểm A trùng với gốc O , có
theo thứ tự cùng hướng với
và có AB = a ; AD = b ; AA’ = c . Hãy tính tọa độ các véc tơ :
trong đó M là trung điểm của C’D’ .
z

A’

D’
M

B’

O=A
B

C’

c

Dy

b

a

C
x

Thầy trò cùng đi tìm ….?

Click


II. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
Định lí :
Trong không gian cho 2 vectơ

Trong đó k là một số thực

Chứng minh :
Theo giả thiết :

Vậy :
Chứng minh tương tự cho b) và c)

Click


Hệ quả :
a) Cho 2 vectơ

Ta có :

b) Vectơ
c) Vectơ
thì hai vectơ
cùng phƣơng khi và chỉ khi có số k
sao cho : a1 = kb1 ; a2 = kb2 ; a3 = kb3 .
d) Trong không gian Oxyz , nếu cho 2 điểm A(x A ; yA ; zA) và B(xB ; yB ; zB)

Thì :
Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là :

Bài tập thêm :

Trong kg Oxyz cho 3 điểm A(xA ; yA ; zA) ; B(xB ; yB ; zB) ; C(xC ; yC ;zC)
Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là :

Click


III. Tích vô hƣớng .
1. Biểu thức tọa độ của tích vô hƣớng .
Định lí : Trong không gian Oxyz , tích vô hƣớng của 2 vectơ
đƣợc xác định bởi :

Chứng minh :

Áp dụng :

và

Có đpcm

2. Ứng dụng .
a) Độ dài của một vectơ
b) Khoảng cách giữa 2 điểm :

Cho 2 điểm A(xA ; yA ; zA) và B(xB ; yB ; zB)

Click


c) Góc giữa 2 vectơ :

Cho 2 vectơ
và góc  giữa 2 vectơ là :

Ta có :
Qua đó suy ra
Bài tập cùng làm tại lớp :
Vơi hệ Oxyz cho

Hãy tính :

Click


IV. Phƣơng trình mặt cầu .
Định lí : Trong không gian Oxyz , mặt cầu (S) có tâm I (a ; b ; c) , bán
kính r có phƣơng trình :
(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = r2

Chứng minh :

M(x ; y ; z)

Giả sử điểm M thuộc mặt cầu (S) tâm I bán kính r
Nên có M (S)

r
I(a ; b ; c)

Bài tập cùng làm tại lớp :
Viết phương trình mặt cầu tâm I(1;-2;3) có bán kính r = 5

Chú ý :

Phương trình mặt cầu có thể viết :

(S) : x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 trong đó d = a2 + b2 + c2 – r2
Cũng chứng minh được pt mặt cầu : x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0
Trong đó r2 = A2 + B2 + C2 - D > 0 ; tâm I(-A;-B;-C)

Click


Ví dụ :
Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình :

x2 + y2 + z2 + 4x – 2y + 6z + 5 = 0

Giải :

(S) : x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0

Vậy tâm I ( -2 ; 1 ; -3)

Ta có :
d = a2 + b2 + c2 – r2

Nên r2 = (-2)2 +12 +(-3)2 – 5 = 9  r = 3

Bài tập trắc nghiệm :
I - Trong kg Oxyz cho 3 véc tơ :
Hãy trả lời các câu hỏi sau :
1. Trong các mệnh đề sau , mệnh đề nào sai ?
A:

B:

C:

D:

Click


2) Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng ?

A

B

C

D

3) Cho hình bình hành OADB có

(O là gốc tọa độ ) > Tọa độ của tâm hình bình hành OADB là :

A

(0 ; 1 ; 0)

C

(1 ; 0 ; 1)

B

D

(1 ; 0 ; 0)

(1 ; 1 ; 0)

Click


II - Trong kg Oxyz cho 4 điểm : A(1;0;0) B(0;1;0) C(0;0;1) và D(1;1;1)
1. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD .Tọa độ điểm G là trung điểm

của MN là :

A

B

C

D

2. Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có bán kính là :

A

B

C

D

Click


V. Bài tập :
Bài tập về nhà 1;2;3;4;5;6 trang 68 sgk hh12 - 2008