Bài giảng toán cao cấp a1

CHƯƠNG 1: GIỚI HẠN – LIÊN TỤC
1.1. Giới hạn hàm số
1.1.1. Bổ túc về hàm số
1. Định nghĩa. Cho   D  R, mỗi ánh xạ f : D  R được gọi là một hàm số
một biến số thực.
f:DR
x  y = f(x)
 D : miền xác định
 f ( D)   y  R | x  D : y  f ( x) : miền giá trị
 x: biến số hay đối số
 y = f(x) giá trị của hàm số f tại x
Ví dụ.
a. Cho hàm số : f: X  R
x y=

x2  4
x2

Tìm miền xác định của hàm số .
b. Tìm miền xác định và vẽ đồ thị của hàm số y =

x2
x2

Đồ thị của hàm số
Đồ thị của hàm số f : X  R là tập hợp : C = M(x,f(x)) / x  X  . Nói
chung đây là một đường cong trong mặt phẳng Oxy.
2. Các loại hàm số với tính chất đặc biệt
a. Hàm bị chặn
Ta nói hàm số f:
 Bị chặn trên trên D, nếu M sao cho f ( x)  M , x  D .

 Bị chặn dưới trên D, nếu N sao cho f ( x)  N , x  D .
Ví dụ. Hàm số f(x) = sinx hay f(x) = cosx bị chặn trên R.
b. Hàm đơn điệu
Cho hàm số f(x) xác định trên D. Ta nói hàm số f(x) là:
 Đơn điệu tăng nếu x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) .
 Đơn điệu giảm nếu x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) .
Hàm đơn điệu tăng hay giảm gọi chung là hàm số đơn điệu.
1


c. Hàm số chẳn, lẽ
Tập con D  R được gọi là đối xứng nếu x  D   x  D .
Cho hàm số f(x) có miền xác định D. Khi đó:
 f(x) là hàm chẳn nếu D đối xứng và f(-x) = f(x), x  D .
 f(x) là hàm lẽ nếu D đối xứng và f(-x) = - f(x), x  D .
Ví dụ: Hàm f(x) = x2 là hàm chẳn, hàm f(x) = x3 là hàm lẽ.
3. Hàm hợp – Hàm ngược
a. Hàm hợp
g:Y  Z . Khi đó hàm
Cho các tập X , Y , Z  R và các hàm số f : X  Y ,
số:
h: X  Z
x  h( x) : g ( f ( x))

Được gọi là hàm hợp của hai hàm f và g, kí hiệu: h  g  f .
Ví dụ: Cho hai hàm số f(x) = x2 và g ( x)  1  x . Khi đó:
( g  f )( x)  g ( f ( x))  g ( x 2 )  1  x 2
( f  g )( x)  f ( g ( x))  f ( 1  x )  1  x

b. Hàm ngược

Cho hàm số f : X  Y là một song ánh. Khi đó tồn tại hàm số f 1 : Y  X
Xác định như sau: với mỗi y  Y ta được duy nhất x  X mà f(x) = y. Hàm
số f 1 : Y  X xác định như trên được gọi là hàm ngược của f và:
y  f ( x)  x  f 1 ( y )

  
Ví dụ: Xét hàm số y = sinx trên - ;  . Trên đoạn này hàm sinx đơn điệu tăng
 2 2

thật sự từ -1 đến 1 nên tồn tại hàm ngược, kí hiệu là y  arcsin x .
4. Hàm số sơ cấp:
 Hàm số sơ cấp cơ bản :
a. Hàm lũy thừa : y = x
1
2

y = x  x , y = x , y = x2 …
Miền xác định tùy thuộc  . Nếu   N thì MXĐ là R, nếu  vô tỷ thì
MXĐ là (0; +  )
b. Hàm số mũ : y = ax ( 0 < a  1 )
Miền xác định R, miền giá trị (0; ) . Nếu a > 1 thì hàm mũ tăng, nếu a <
1 thì hàm giảm trên R.
(0c. Hàm logarit : y = logax
2


Hàm y = logax là hàm ngược của hàm số y = ax , nó có MXĐ là (0; ) và
miền giá trị là R. Tương tự hàm mũ hàm logarith tăng nếu a > 1, giảm nếu 0 < a < 1.
d. Hàm số lượng giác

y = sinx , y = cosx, y = tgx , y =cotgx
e. Hàm số lượng giác ngược
y = arcsinx, y = arccosx, y = arctgx, y = arccotgx
f. Hàm số hyperbolic
y = shx =
y = thx =

e x  e x
2

, y = chx =

e x  e x
2

shx
e x  e x
chx
e x  e x
= x  x , y = cothx =
= x x
chx
e e
shx
e e

 Hàm số sơ cấp :
Hàm số y = f(x) trong đó f(x) cho bởi một công thức lập thành từ các hàm
số sơ cấp cơ bản với các phép tính số học và phép lấy hàm hợp.
Ví dụ 1:

ln( x  x 2  1)  2e x
y=
x
arcsin
2

Ví dụ 2: Các hàm không sơ cấp
 Hàm phần nguyên y = [x] ( n  n < n+1 )


 1

Hàm dấu : y = sgnx  0
1


Khi x < 0
Khi x = 0
Khi x > 0

1.1.2. Giới hạn của hàm số
Bổ sung :
 Khoảng : (a,b) = x  R/ a < x < b
 Đoạn : [a,b] = x  R / a  x  b
 Nửa khoảng ( hay nửa đoạn )
 (a,b] = x  R / a < x  b
 Lân cận : Cho xo  R và  > 0, khoảng ( xo-  , xo +  ) được gọi là một
lân cận của xo (lân cận tâm xo, bán kính  )
Vậy x thuộc lân cận của xo  xo -  < x < xo+ 

 -  < x –xo < 
  x-xo  < 
1. Định nghĩa

3


Cho hàm số f(x) xác định trong lân cận của xo. Số L được gọi là giới hạn
của hàm số f(x) khi x tiến đến xo nếu :
  > 0 ,   >0 :  x-xo  <   f ( x)  L < 
Ký hiệu: lim f ( x)  L
x  x0

2. Ví dụ
a) Dùng định nghĩa để chứng minh lim(4 x  3)  7
x 1

b) Hàm số f : X  R
x y=

x2  4
x2

Tìm miền xác định của f và chứng minh rằng lim f ( x)  4
x2

3. Các tính chất của giới hạn
 Nếu các hàm số f(x) và g(x) có giới hạn khi x  xo thì tổng, hiệu ,
tích,thương của chúng cũng có giới hạn khi x  xo và:
lim [ f(x)  g(x) ] = lim f(x)  lim g(x)

x  xo

x  xo

x  xo

lim [ f(x) .g(x) ] = lim f(x) . lim g(x)

x  xo

x  xo

x  xo

lim f ( x)
f ( x)
x  xo
lim
=
x  xo g ( x )
lim g ( x)

( lim g(x)  0)
x  xo

x  xo

 Nếu f(x)  g(x) với mọi x thuộc lân cận của x o thì lim f(x)  lim g(x)
x  xo

x  xo

 Nếu f(x)  g(x)  h(x) với mọi x thuộc lân cận của xo và
 Nếu lim f(x) = lim h(x) = L thì lim g(x) = L
x  xo

x  xo

x  xo

1.1.3. Mở rộng khái niệm giới hạn
1. Giới hạn một bên
Bổ sung : Ký hiệu
x  xo+ hiểu là x  xo và x > xo
x  xo- hiểu là x  xo và x < xo
a. Định nghĩa
 Số L được gọi là giới hạn trái của hàm số f(x) khi x tiến đến xo từ bên trái
(x  xo- ) nếu với mọi  >0 cho trước nhỏ tùy ý, luôn luôn tồn tại  > 0sao cho:
0< xo – x <   | f(x) – L | < 

4


Ký hiệu lim f ( x)  L
x x o

 Số L được gọi là giới hạn phải của hàm số f(x) khi x tiến đến xo từ bên
phải (x  xo, x > xo) nếu với mọi  >0 cho trước nhỏ tùy ý, luôn luôn tồn tại  >
0 sao cho
0< x – xo <   | f(x) – L | < 

Ký hiệu lim f ( x)  L
x x  o

b. Định Lý
lim f(x) tồn tại  lim f ( x) = lim f ( x)

x  xo

x  x0

Ví dụ Tìm giới hạn của hàm số f(x) =

x
x

x  x0

khi x  0

Hàm số không xác định tại x = 0, ta thấy :
Vậy lim f ( x)  lim (1)  1
x O 

x O 

lim f ( x)  lim(1)  1

x O 

x O 

Do đó lim f ( x) không tồn tại, chỉ có giới hạn một bên.
xO

2. Giới hạn ở vô cực
a. Định nghĩa
Số L được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến đến vô cực (x  )
nếu với mọi  >0 cho trước nhỏ tùy ý, luôn luôn tồn tại M > 0 sao cho với mọi
x mà x > M ta có f(x) - L
Ký hiệu lim f ( x)  L

< .

x 

b. Ví dụ
1
x

Ví dụ 1: Chứng minh rằng lim = 0
x 

2x 2  x  1
Ví dụ 2 :Tìm lim 2
x  3 x  4 x  2

3. Giới hạn vô cực
a. Định nghĩa: Hàm Số f(x) được gọi là tiến đến vô cực khi x tiến tới xo nếu
với mọi M >0 tùy ý, tồn tại  > 0 sao cho với mọi x mà x  x0   thì f ( x)  M

5


Ký hiệu: lim f ( x)  
x 

b. Ví dụ.
Chứng minh rằng lim
x 2

5

x2

1.1.4. Dạng vô định của giới hạn hàm số
1. Dạng vô định

0
0

a) Định nghĩa. Nếu lim f ( x)  0 và lim g ( x)  0 thì: lim
x  x0

dạng vô định

x  x0

x  x0

f ( x)

được gọi là có
g ( x)

0
.
0

sin 2 x
tgx  s inx
9  2x  5
ln(cosx)
, lim
, lim 3
, lim
.
3
0
x

x

8
0
x

3x
ln(1  x 2 )
x
x 2
0

Cách khử dạng vô dịnh
0

b) Ví dụ. lim
x 0

TH1. Nếu f(x), g(x) có chứa đa thức hoặc căn thức thì ta áp dụng công thức sau:
lim

x  x0

( x  x0 ) f ( x)
f ( x)
f ( x)
 lim
 lim 1
.
x

x
x

x
0 ( x  x ) g ( x )
0 g ( x)
g ( x)
0
1

Ví dụ Tính các giới hạn

a. lim
x4

1  2x  3
x 2

Bước 1: Khử căn bằng cách nhân tử và mẫu với lượng liên hợp ta có:
lim
x4

1  2x  3
( 1  2 x  3)( 1  2 x  3)( x  2)
(1  2 x  9)( x  2)
 lim
 lim
x4
x  4 ( x  4)( 1  2 x  3)
x 2
( x  2)( 1  2 x  3)( x  2)

Bước 2: Áp dụng CT trên
lim
x4

(1  2 x  9)( x  2)
2( x  4)( x  2)
2( x  2)
4
 lim
 lim

 .
x

4
x

4
( x  4)( 1  2 x  3)
( x  4)( 1  2 x  3)
( 1  2 x  3) 3

b. lim
x 8

9  2x  5
3
x 2

Làm tương tự câu a
( 9  2 x  5)
(9  2 x  25)( 3 x 2  2 3 x  4)
2( 3 x 2  2 3 x  4) 12

lim

lim

x 8
x 8 ( x  8)( 9  2 x  5)( x  2)
x 8

5
( 3 x  2)
9  2x  5

lim

TH2. Nếu f(x), g(x) có chứa các hàm lượng giác, mũ, logarith, hàm ngược. Áp
dụng các giới hạn cơ bản sau, trong đó nếu x  0 , thì u ( x)  0
6


sin u ( x)
1
x 0
u ( x)

4. lim

arctgu ( x)
1
x 0
u ( x)

tgu ( x)
1
x 0 u ( x )

5. lim

arc sin u ( x)

1
x 0
u ( x)

6. lim

1. lim

eu ( x )  1
1
x 0 u ( x)

2. lim
3. lim

x 0

ln(1  u ( x))
1
u ( x)

Ví dụ Tính các giới hạn
sin 2 x
2sin 2 x 2
 lim
 (Áp dụng giới hạn cơ bản 1)
x 0
x 0 3.2 x
3x
3

tgx  s inx
s inx(1  cosx)
1 s inx 1  cosx
1 1
b. lim
 lim
 lim
.
.
 1.1.  .
3
3
2
0
0
x 0
x

x

x
x .cos x
cos x x
x
2 2

2. Dạng vô định

f ( x)
a. Định nghĩa. Nếu lim f ( x)   và lim g ( x)   thì: lim

được gọi
x  x0
x  x0
x  x0 g ( x )

.
là có dạng vô định


a. lim

x x
x2  2 x  1
b. Ví dụ: lim 2
, lim
.
x 
x  3 x  2 x  1
x 1

Cách khử dạng vô dịnh




TH1: Nếu f(x), g(x) có chứa đa thức hoặc căn thức thì ta đặt xk với k là bậc
nhỏ hơn giữa đa thức ở tử và mẫu số làm thừa số chung rồi đơn giản đi.
Ví dụ Tính các giới hạn
3 1
3 1

 2)
1  2
x  3x  1
x x  lim
x x 1.
a. lim 2
 lim
x  3 x  5 x  2
x  2
x

5 2
5 2
x (3   2 )
3  2 3
x x
x x
1 9
1 9
x 2 (4 x   2 )
4x   2
3
4x  x  9
x x  lim
x x  .
b. lim 2
 lim
x  x  2 x  2
x 
x


2
2
2
2
x 2 (1   2 )
1  2
x x
x x
2

c. lim

x 

x x
 lim
x 
x 1

x 2 (1 


1 
x  1

x

1
1

x. 1 
x

7


TH2. Nếu f(x), g(x) có chứa hàm mũ thì ta đặt biểu thức mũ có cơ số lớn nhất làm
thừa số chung rồi đơn giản để tính giới hạn
Ví dụ Tính các giới hạn
 2  x  3  x 
4 x       1
2 x  3x  4 x
1
 4   4 

 lim
 .
a. lim x x
x
x
x
x  2  3  2.4
x 
2
 2   3 

4 x       2 
 4   4 


3

5x 1  x 
5 3
 5   1.
b. lim
 lim
x
x  2.5  4
x 
4 2

5x  2  x 
 5 
x

3. Dạng vô định   
a. Định nghĩa. Nếu lim f ( x)   và lim g ( x)   thì: lim f ( x)  g ( x) được
x  x0

x  x0

x  x0

gọi là có dạng vô định    .
b. Ví dụ. lim

x 





5 
 1
 2  .
x 2  2 x  x 2  2 x , lim 
x 1 x  1
x 1 


Cách khử dạng vô dịnh   
TH1. Nếu f(x), g(x) là các hàm hữu tỷ thì ta quy đồng mẫu số rồi đưa giới hạn về
dạng

0
.
0

Ví dụ: Tính giới hạn
2 
x 1
1
1
 1
 x 1 2 
lim 
 2   lim  2
 lim
 .

  lim
2
x 1 x  1
x

x

x

1
1
1
x 1 
x 1
x 1 2

 x 1 

TH2. Nếu f(x), g(x) có chứa hàm căn thức thì ta nhân lượng liên hợp rồi đưa giới
hạn về dạng




Ví dụ Tính các giới hạn
a. lim

x 

b. lim

x 







x

x 2  2 x  x 2  x  lim

.
3

x2  2 x  x2  2 x

x 



x3  4 x 2  x 2  x  lim

x 



3

 lim

x 

x

2
1
x  1  1 
x
x


x3  4 x 2  x  x  x 2  x

8





1
2


= lim

x 



4x2
3

( x3  4 x 2 )2  x 3 x3  4 x 2  x 2



 lim

x 

x

x 

x2  x





4 1 5
 
3 2 6

4. Dạng vô định 1
a. Định nghĩa: Nếu lim f ( x)  1 và lim g ( x)   thì: lim  f ( x) 
x  x0

x  x0

g ( x)

x  x0

được gọi

là có dạng vô định 1 .
b. Ví dụ: lim 1  s inx 

1
2 x2

x0

 x2
, lim 

x 
 x 1 

4x

.

Cách khử dạng vô dịnh 1
1

Áp dụng giới hạn của số e  lim(1  u ( x)) u ( x ) , x  0 thì u ( x)  0 .

x 0

Ví dụ Tính các giới hạn
4x

4x

3 
3 
 x2


 lim 1 
 lim 1 
a. lim 



x 
x 
x 
 x 1 
 x 1 
 x 1 
1

1

b. lim 1  s inx  2 x  lim 1  ( s inx)  (  sinx )
2

x 0

x 0

.

(  sinx ) 1
. 2
1
2x

x 1 3
.
.4 x
3 x 1

lim

 e x0

lim

12 x

 e x x 1  e12 . .

 sinx
2 x2

 e   0 .

1.1.5. Vô cùng lớn, vô cùng bé – Khử dạng vô định:
1. Vô cùng bé
a. Định nghĩa
Hàm f(x) được gọi là một vô cùng bé (VCB) khi x  xo nếu lim f(x)= 0
x xo

2

Ví dụ: Các hàm số x, x + 2x , sinx, tgx, là các VCB khi x  0 .
b. Vô cùng bé tương đương
Hai vô cùng bé f(x) và g(x) được gọi là tương đương khi x  x0 , kí hiệu
f ( x)  g ( x) khi x  x0 nếu lim

x  x0

f ( x)
 1.
g ( x)

ex 1
 1 nên e x  1  x khi x  0 .
x 0
x

Ví dụ Vì lim

9

x
1  cos x
2  1 nên 1  cos x  1 x 2 khi x  0 .
Vì lim
 lim
2
2
x 0
x 0
2
2
x
 x
2 
2
sin 2

Theo định nghĩa ta có các VCB tương đương quan trọng sau khi x  0
 sinx ~ x
 tgx ~x
x2
 1  cos x 
2
 arcsin x  x
 arc tgx  x

 ex 1  x
 ln(1  x)  x
 an x n  an 1 x n 1    a1 x  a1 x

c. Ứng dụng vô cùng bé tính giới hạn
Nhận xét. Nếu các VCB f ( x)  f1 ( x); g ( x)  g1 ( x) khi x  x0 thì
lim

x  x0

f ( x)
f ( x)
 lim 1
, do đó có thể dùng vô cùng bé để tính giới hạn.
x

x
0 g ( x)
g ( x)
1

Ví dụ Tính các giới hạn
(1  cos x) 2
x 0 x 4  2 x 5

a. lim
Vì 1  cos x 

x2
x4
; x 4  2 x5  x 4 , khi x  0 nên
 (1  cos x) 2 
2
4

x4
(1  cos x)
1
lim 4
 lim 44  .
5
x  x  2 x
x  x
4
2

b. lim
x 0

ln(1  tgx 2 )
x 2  2 x3  sin 3 x

Vì ln(1  tgx 2 )  tgx 2  x 2 ; x 2  2 x3  sin 3 x  x 2  2 x3  x3  x 2 , khi x  0 nên
lim
x 0

ln(1  tgx 2 )
x2

1.
lim
x 2  2 x3  sin 3 x x 0 x 2

2. Vô cùng lớn

a. Định nghĩa
Hàm f(x) được gọi là một vô cùng lớn (VCL) khi x  xo nếu lim |f(x)|= 
x  xo

10


Ví dụ: Các hàm số x, x + 2x2 là các VCL khi x   .
b. Vô cùng lớn tương đương
Hai vô cùng lớn f(x) và g(x) được gọi là tương đương khi x  x0 , kí hiệu
f ( x)  g ( x) khi x  x0 nếu lim

x  x0

f ( x)
 1.
g ( x)

2 x2  x  1
 1 nên 2 x 2  x  1  2 x 2 khi x   .
2
x 
2x

Ví dụ: Vì lim

5x  4 x  2
 1 nên 5 x  4 x  2  5 x khi x   .
x
x 0

5

Vì lim

Theo định nghĩa ta có các VCL tương đương quan trọng sau khi x  
 a x  b x  a x ( a  b)
 an x n  an 1 x n 1    a1 x  a0  an x n
c. Ứng dụng vô cùng lớn tính giới hạn
Nhận xét: Nếu các VCL f ( x)  f1 ( x); g ( x)  g1 ( x) khi x  x0 thì lim

x  x0

f ( x)
f ( x)
 lim 1
,
g ( x) x  x0 g1 ( x)

do đó có thể dùng vô cùng lớn để tính giới hạn.
Ví dụ Tính các giới hạn
x3  3x 2  2 x  1
x3 1


lim
x 0 2 x 3  4 x 2  3 x  3
x 0 2 x 3
2

a. lim

2.4 x  3x  2
2.4 x

2
lim
x  4 x  2 x  1
x  4 x

b. lim

1.2. Hàm số liên tục
1.2.1. Hàm số liên tục tại một điểm
a. Định nghĩa. Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại xo nếu lim f ( x)  f ( xo )
x  xo

1

 x sin , khi x  0
b. Ví dụ. Cho hàm số: f ( x)  
x
0
, khi x  0

Xét tính liên tục của f(x) tại x0  0
Giải
Ta có: f (0)  0
lim f ( x)  lim x.sin

x  xo

x 0

1
1
 0 (vì lim x  0 và sin là hàm số bị chặn).
x 0
x
x

11


Do lim f ( x)  f (0) nên f(x) liên tục tại x = 0.
x  xo

1.2.2. Hàm số liên tục một phía tại một điểm
a. Định nghĩa
 Hàm số f(x) được gọi là liên tục trái tại xo nếu lim f ( x)  f ( xo ) .
x  xo 

 Hàm số f(x) được gọi là liên tục trái phải xo nếu lim f ( x)  f ( xo ) .
x  xo 

b. Ví dụ
e x ,

Cho hàm số: f ( x)  

khi x  0

 x  a, khi x  0

Tìm a để f(x) liên tục tại x0  0 .
Giải
Ta có: f (0)  a và
x

lim f ( x)  lim e  1

x  xo 

x 0

lim f ( x)  lim x  a  a

x  xo 

x 0

Ta thấy hàm số liên tục phải tại x0  0 . Để f(x) liên tục trái tại x0  0 thì a = 1.
Vậy với a = 1 thì f(x) liên tục tại x0  0 .

1.2.3. Hàm số liên tục trong một khoảng, đoạn
a. Định nghĩa
 f(x) liên tục trên khoảng (a,b)  f(x) liên tục tại mọi x  (a,b)
f(x) liên tục trên khoảng (a,b)
f(x) liên tục bên phải tại a
 f(x) liên tục trên đoạn [a,b] 
f(x) liên tục bên trái tại b

b. Định lý. Mọi hàm số sơ cấp đều liên tục trong những khoảng mà hàm số
đó xác định
Ví dụ
 ex 1
,

a. Cho hàm số: f ( x)   ln(1  x 2 )
0,

3

khi x  0
khi x  0

Xét tính liên tục của f(x) trên R.
Giải
3

ex 1
 Với x  0 , f ( x) 
liên tục vì là hàm sơ cấp.
ln(1  x 2 )

 Chỉ cần xét tính liên tục của f(x) tại x  0
12


Ta có: f (0)  0 và
3

ex 1
x3
lim f ( x)  lim

lim
 0  f (0)
x  xo
x 0 ln(1  x 2 )
x 0 x 2

Do đó hàm số liên tục tại x0  0 . Vậy f(x) liên tục trên R.
 3 2x  4  2
,

b. Cho hàm số: f ( x)   x 2  4
ax 2 +1,


khi x  2
khi x  2

Tìm a để f(x) liên tục trên R.
Giải
 Với x  2 , f ( x) 

3

2x  4  2
liên tục vì là hàm sơ cấp.
x2  4

 Với x  2 , f ( x)  ax 2  1 liên tục vì là hàm sơ cấp.
 Chỉ cần xét tính liên tục của f(x) tại x  2
Ta có: f (2)  4a  1 và
lim f ( x)  lim

x  xo

 lim
x 2

x2

3

2x  4  2
2x  4
 lim
2
x 2
x 4
( x  2)( x  2)( 3 (2 x  4) 2  2 3 2 x  4  4)
2

( x  2)( 3 (2 x  4)  2 3 2 x  4  4)
2



1

24

lim f ( x)  lim ax 2  1  4a  1

x  x0

x2

Ta thấy hàm số liên tục trái tại x = 2. Để hàm số liên tục phải tại x = 2 thì
1
3
a .
4
16
3
Vậy với a   thì f(x) liên tục tại x = 2, hay f(x) liên tục trên R.
16
4a  1 

1.2.4. Điểm gián đoạn
 Định nghĩa. xo gọi là điểm gián đoạn của hàm số f(x) nếu f(x) không liên
tục tại xo.
 Phân Loại .
Loại 1 : lim f ( x) và lim f ( x) tồn tại hữu hạn
x  x0

x  x1

Loại 2 : Có ít nhất một giới hạn một bên không tồn tại hữu hạn.
1

Ví Dụ Hàm số y  e x gián đoạn tại x = 0. Ngoài ra, lim f ( x)   và lim f ( x)  0 nên x
x  0

= 0 là điểm gián đoạn loại II của hàm số.
13

x  0


Ý nghĩa hình học
Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a,b] thì đồ thị của nó là một đường liền nối
từ điềm A(a,f(a)) đến B(b,f(b))

B

O

A

1.2.5. Định Lý
Nếu f(x) và g(x) liên tục tại xo thì các hàm f(x)  g(x) , f(x).g(x),

f ( x)
g ( x)

(g(x)0) cũng liên tục tại xo.
a) Nếu f(x) liên tục tại xo và g(y) liên tục tại yo= f(xo) thì hàm số hợp g[f(x)] liên
tục tại xo.
Một số kết quả :

a) Đa thức P(x) = anxn+an-1xn-1+…+a1x+ao liên tục trên R
b) Hàm hữu tỉ f(x) =

P( x)
liên tục tại mọi điểm không phải là nghiệm của Q(x).
Q( x)

c) Hàm số sơ cấp cơ bản liên tục tại mọi điểm nó xác định.
d) Các hàm số sơ cấp liên tục trên miền xác định của nó.

1.2.6. Tính chất của hàm số liên tục
a. Định Lý. (giá trị trung gian)
Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a,b] và f(a).f(b) <0 thì tồn tại c thuộc khoảng
(a,b) sao cho f(c) = 0 .
Cách khác :
Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a,b] và f(a).f(b) <0 thì phương trình f(x) = 0 có
ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (a,b) .
b. Hệ quả.
Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a,b] và m f(x)  M với  x  [a,b] thì f(x) đạt
mọi giá trị trung gian giữa m và M.
Phát biểu cách khác :

14


Nếu f(x) liên tục trên [a,b] và m  f(x)  M với  x  [a,b] thì :
   m, M  , c   a, b  : f (c)  
Ví Dụ Phương trình e x  3  x có ít nhất một nghiệm thực. Thật vậy, xét hàm số
f ( x)  e x  x  3 . Đây là hàm liên tục trên R và f (0)  2  0; f (1)  e  2  0 . Theo hệ quả
trên phương trình f ( x)  0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0; 1).

BÀI TẬP CHƯƠNG I
Tính các giới hạn
1.1 a) lim
x2

x2  2 x  1
x3

( x  2)( x  1)
x 1 ( x  1)( x  3)

b) lim

x100  2 x  1
c) lim 50
x 1 x
 2x 1

( x 2  x  2)10
d) lim 3
x  2 ( x  12 x  16) 20

x 3  3x 2  5
x  ( 2 x 2  4)(6  x )

3 
 1



x 1 1  x
1  x3 


1.2 a) lim

b) lim

x2 1 1

c) lim
x 0

x  16  4

cos mx  cos nx
x 0
x2

sin mx
x 0 tgnx

b) lim

1  sin x  cos x
x 0 1  sin x  cos x

d) lim

c) lim

x 0

x 0

x  sin x
esinx  1

(1  e x )(1  cos x)
x 0
x3  sin 4 x
2

e 2 x  cos2 x
h) lim
x 0 sin 5 x ln(1  x )

s inx  sin a
x a
xa

b) lim

 1
1 


x 0 sin x
tgx 


d) lim

1.4 a) lim

1  tgx  1  sin x
x3

x 0

c) lim

x 0

1.5 a) lim ( x 2  2 x  2  x 2  3x )

b) lim

x 

tgx  s inx
x3

x  

x

c) lim(1  sin x)

(e 2 x  1) ln cos 2 x

x.sin 3x.( x  1  1)

f) lim

(e1 x  1)tg ( x  1)
g) lim
x 1
( x  1) ln x

 x 1
1.6 a) lim

x  x  1



x 1

x 1

2

1.3 a) lim

e) lim

x 1

m

d) lim n



3

x3  x2 1  x

 3x  2 
b) lim

x  3 x  1


1

2
x

d) lim(cos x)

x 0

x 0

15

x2

2x




e) lim 1  tgx 

 3x  x  1 

2
 3x  x  1 

1
sin 2 x

f) lim 
x 

x 0



g) lim cos x
x 0



1
x

2

x2
x 1

1

h) lim 1  tg 2 x  x
x 0

1.7 Xét tính liên tục của các hàm số trên R
 x 1
khi x  1

a) f(x) =  x  1
1
khi x  1

 x 1
khi x  1
 3
b) f(x) =  x  1
3
khi x  1
 2
1

khi x  0
 x sin
c) f(x) = 
x

 0
khi x  0
 sin x
khi x  0

d) f(x) =  x
 1 khi x  0

1.8 Tìm các điểm gián đoạn :
x2  4
a) f(x) = 2
x 1

b) f(x) =

c) f(x) = xtg3x

 sin x
khi x  0

d)f(x) =  x
 1 khi x  0

1.9 Tìm a để các hàm số sau đây liên tục trên R
 x 2  16
khi x  4

a) f(x) =  x 2  5 x  4
a
khi x  4


 x  1 khi x  1
2
 a  x khi x  1

b) f(x) = 

1

x

(1
3
x
)
khi x  0
c) f(x) = 
 a
khi x =0

 ex

d) f(x) = 

khi x  0

a  x khi x  0

16

2x  1
x3


 ln(1  2 x 2 )

e) f(x) =  x.s inx
ax


khi x  0
khi x  0

 x sin( x 2 )  arcsin 4 x  2 x 5

f) f(x) = 
x 2 .tgx
 2a


khi x  0
khi x  0

1.10 Chứng minh rằng các phương trình sau đây có ít nhất một nghiệm thực
b) x5 + x - 3 = 0
a) x3 – x - 1 = 0

17

Chương 2 : PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN THỰC
Trong chương này ta nghiên cứu đạo hàm, vi phân của hàm một biến cùng với các
ứng dụng của nó.
2.4.1. Đạo hàm của hàm số
2.1.1. Khái niệm
sao

Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; b), x0  (a, b) . Cho x0 một số gia x đủ bé
cho. Gọi y là số gia tương ứng của hàm số ứng với x :

y  f ( x0  x)  f ( x0 ) x  x0  x  (a, b)

a. Định nghĩa. Nếu tồn tại giới hạn lim

x  0

y
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm
x

của hàm số y = f(x) tại điểm x0 , ký hiệu:
f ( xo  x)  f ( xo )
f ( x)  f ( xo )
y
 lim
 lim
x  xo
x  0 x
x 0
x

x  xo

f ’(xo ) = lim

b. Ví dụ. Tính đạo hàm của hàm số y = x2 tại x = 2.
Ta có: f (2)  lim
x2

f ( x)  f (2)
x 2  22
( x  2)( x  2)
 lim
 lim
 4.
x2 x  2
x2
x2
x2

2.1.2. Đạo hàm một phía
Trong định nghĩa đạo hàm, nếu ta xét giới hạn một phía thì các đạo hàm đó được
gọi là đạo hàm một phía.
Định nghĩa. Các giới hạn sau đây được gọi là đạo hàm trái, đạo hàm phải tương
ứng của hàm số y = f(x).
f ' ( xo )  lim
x  xo

f ( x)  f ( xo )
f ( x)  f ( xo )
; f ' ( xo )  lim

x  xo
x  xo
x  xo

Mệnh đề. Hàm số f(x) có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi f(x) có các đạo hàm một
phía tại x0 và chúng bằng nhau.
Ví dụ. Hàm số y  x không có đạo hàm tại x = 0.
Vì lim f ( x)  lim
x  0

x  0

x
x

 1  lim f ( x)  lim
x 0

x 0

x
x

 1

Mệnh đề. Nếu f(x) có đạo hàm tại x0 , thì liên tục tại x0 .
Nhận xét. Điều ngược lại của mệnh đề trên không đúng.
Ví dụ. Hàm số y  x liên tục tại 0 nhưng không có đạo hàm tại điểm này.
Trang 1

2.1.3. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Đạo hàm của hàm y = f(x) tại xo bằng hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong
y = f(x) tại điểm Mo(xo,f(xo))
2.1.4. Các quy tắc tính đạo hàm
1) ( u  v ) ’ = u’  v’
( uv)’ = u’v + u v’
u
u ' v  uv'
( )' 
v
v2
2)

Hàm hợp : y = y[u(x)]  yx  yu .u x

3) Hàm ngược : y =f(x)  x = f -1(y) 

x’y =

1
y'x

4) Đạo hàm theo tham số
Cho x=f(t) và y=g(t) , khả vi t  ( ,). Nếu hàm số ngược t = -1(x) tồn
tại thì
y 't
x't

y’x =

2.1.5. Bảng đạo hàm của một số hàm số
Hàm số

Hàm số hợp

( C)’ = 0

Hàm số

Hàm số hợp

( sin x)’ = cosx

( sin u)’ = u’cosu
( cosu)’ = -u’sinu

(x )’ = x -1

(u )’ = u -1u’

( cosx)’ = -sinx

(ax)’ = axlna

(au)’ = u’aulna

(tgx)’ =

(ex)’ = ex

(eu)’ =u’ eu

(cotgx)’ =

( logax)’ =
( lnx)’ =

2.2.

1
x

1
x ln a

( logau)’ =
(lnu)’ =

u'
u

u'
u ln a

1
cos 2 x
1
sin 2 x

( arcsinx)’ =
(arctgx)’ =

(tgu)’ =

(cotgu)’ =

1
1 x

1
1 x2

u'
cos 2 u

2

 u'
sin 2 u

( arcsinu)’ =
(arctgu)’ =

u'

1 u2

u'
1 u2

Vi phân hàm số

2.2.1. Định nghĩa. Cho hàm số y  f ( x) xác định trên (a, b) chứa x0 . Nếu số gia
của hàm tại x0 có dạng: y  A.x  (x) (trong đó A không phụ thuộc vào x ) thì ta
Trang 2


nói f ( x) khả vi tại x0 và biểu thức A.x được gọi là vi phân của hàm số f ( x) tại x0 .
Ta kí hiệu vi phân là dy hoặc df.


Đặc biệt ,nếu xét hàm số y = x thì dy = dx = y’.  x =  x
==>  x = dx
Vậy y’ =



dy
 dy  y ' dx
dx

Tổng quát : y =f(u) với u=g(x)
f khả vi đối với u, g khả vi đối với x thì f(g(x)) khả ví đối với x
dy = f’x.dx
Mệnh đề. f ( x) khả vi tại x0 khi và chỉ khi nó có đạo hàm tại x0 và dy  f ( x0 )dx .

2.2.2. Ứng dụng của vi phân
Ta có  y = f ’(xo).  x +  .  x
==>  y  f ’(xo).  x khi  x càng bé

hay f(xo +  x ) – f(xo)  f ’(xo).  x
f(xo +  x )  f(xo) + f ’(xo).  x
Phương pháp gần đúng giá trị hàm số đã cho
-

Từ giá trị f(  ) cần tính rút ra dạng f(x)

-

Phân tích giá trị  thành xo +  x sao cho f(xo) tính được và  x càng nhỏ.

-

Tính f(xo) và f’(xo)

Ví Dụ. Tính gần đúng ln1.01 bằng vi phân.
Chọn hàm số f ( x)  ln(1  x) , x0  0 và x  0.01 . Ta có: f ( x) 
f (1) 

1
, suy ra
1 x

1
1.01
. Do đó ln1.01  ln1 
 0.005
2
2

2.2.3. Các quy tắc tính vi phân
Tương tự như đạo hàm ta có các quy tắc tính vi phân sau.
Nếu u, v khả vi thì tổng, hiệu, tích, thương( v  0 ) của chúng cũng khả vi và:
1) d (u  v)  du  dv
2) d (uv)  vdu  udv
u
v

3) d ( ) 

vdu  udv
v2

Trang 3


2.2.4. Đạo hàm và vi phân cấp cao
Giả sử f ( x) có đạo hàm tại x  (a, b) . Khi đó f ( x) là một hàm số xác định trên
x  (a, b) nên ta có thể tính đạo hàm của hàm số f ( x) . Một cách quy nạp, ta định
nghĩa:
Đạo hàm cấp 2: f ( x)  ( f ( x))
Đạo hàm cấp 3: f ( x)  ( f ( x))
Đạo hàm cấp n: f n ( x)  ( f n 1 ( x))
2.3.

Các định lý cơ bản của phép tính vi phân
2.3.1. Các định lý giá trị trung bình
1. Cực trị địa phương

Cho hàm số f ( x) xác định trên (a, b) . Ta nói điểm x0  (a, b) là điểm cực đại

(tương ứng cực tiểu) địa phương của hàm số f ( x) nếu tồn tại lân cận
( x0   , x0   )  (a, b) sao cho: x  ( x0   , x0   ), f ( x)  f ( x0 ), (t.u f ( x)  f ( x0 ))
2. Định Lý Fermat
Cho f(x) xác định trong lân cận của xo và đạt cực trị tại xo. Nếu f(x) có đạo hàm
tại xo thì f ’(xo) = 0
3. Định Lý Rolle
Cho f(x) thỏa điều kiện: liên tục trên đoạn [a,b], khả vi trên khoảng (a,b) và f(a)
=f(b). Khi đó , tồn tại c  (a,b). sao cho f ’(c) = 0.
4. Định Lý Lagrange
Cho f(x) thỏa điều kiện : liên tục trên [a,b] và khả vi trên (a,b). Khi đó :
 c (a,b) : f ’(c) =

f (b)  f (a)
ba

 Ý nghĩa hình học của định lý Lagrange
( C ) là đồ thị của hàm số y = f(x) và A (a,f(a)) , B(b, f(b))  ( C ). Cát tuyến
AB có hệ số góc k =

f (b)  f (a)
ba

Công thức Lagrange chứng tỏ  M (c,f(c ))  ( C ) sao cho tiếp tuyến tại đó
song song với cát tuyến AB.
Ví Dụ. Tìm trên đường cong y = lnx một điểm mà tại đó tiếp tuyến song song với
cát tuyến AB, biết rằng A(1,0),B(e,1).
2.3.2. Công thức Taylor

Trang 4

1. Định Lý. Cho f(x) xác định trên đoạn [a,b], khả vi đến cấp n+1 trong khoảng
(a,b) và xo (a,b ). Khi đó x  [a,b] , tồn tại c ở giữa xo và x sao cho hàm f(x) được
khai triển dưới dạng :
f ' ( xo )
f ' ' ( xo )
f n ( xo )
f n 1 (C )
2
n
( x  xo ) 
( x  xo )  ... 
( x  xo ) 
( x  x o ) n 1
f(x) = f(xo)+
1!
2!
n!
(n  1)!

Công thức trên gọi là công thức Taylor
2.

Công thức MacLaurin
Nếu xo = 0 thì công thức Taylor trở thành công thức MacLaurin sau đây :
f '(0)
f ''(0) 2
f n (0) n f n 1 (c) n 1
f ( x)  f (0) 
x

x  ... 
x 
x
n!
1!
2!
(n  1)!

( c nằm giữa 0 và x )
Ghi chú. Đặt Rn(x) =

f n 1 (c)
( x  xo ) n 1 thì Rn(x) gọi là phần dư bậc n trong công
(n  1)!

thức Taylor.
Trong công thức MacLaurin : Rn(x) =

3.

(0<<1)

Biểu diễn một số hàm sơ cấp theo công thức MacLaurin
x x2
xn
x n 1  x
   
e , với 0    1
1! 2!
n ! (n  1)!



f ( x)  e x  1 



f ( x)  s inx  x 

với R( x)  (1) k



f ( n 1) (x) n 1
x
(n  1)!

x3 x5
x 2 k 1
    (1) k 1
 R ( x),
3! 5!
(2k  1)!

x 2 k 1
cos x, 0    1
(2k  1)!

f ( x)  ln(1  x)  x 

x 2 x3
x n x n 1 (1) n
    (1) n 1 
, với x  1
2 3
n n  1 (1   x) n 1

Áp dụng. Tính gần đúng số e
Ta khai triển hàm e x , lấy x  1 ta được: e  1 

1 1
1
e
   
, với 0    1 .
1! 2!
n ! (n  1)!

Trang 5


1 1
1
 
.
1! 2!
n!

Công thức này cho phép tính e  1  
Với n = 6, ta có e  2 

Vì 0    1 nên

1 1 1 1 1 e
517 e
      2
 .
2! 3! 4! 5! 6! 7!
720 7!

1 e 3
517 1
517 3

 . Từ đó: 2 
  e  2
 .
7! 7! 7!
720 7!
720 7!

Vậy: e  2.718
2.4.

Một số ứng dụng của vi phân hàm 1 biến
2.4.1. Qui tắc L’hospital

và
0


Giả sử các hàm số f(x), g(x) khả vi tại lân cận của xo, lim f ( x) = lim g ( x)  
x xo

x  xo

g’(x)  0 với mọi x  V (xo). Khi đó :
Nếu lim

x  x0

f ( x)
f '( x)
 A thì lim
A
x

x
o g ( x)
g '( x)

Ví dụ Tính các giới hạn
a. lim
x 0

x3
3x 2
6x
6
 lim
 lim

 lim
 6.
x

x

x

0
0
0
1  cosx
sin x
x  s inx
cosx

1
1
2
tgx  x
1  cos 2 x
1  cos x
b. lim
 lim cos x
 lim
 lim
2
2
x 0 x  s inx
x 0 1  cosx

x 0 (1  cos x )cos x
x 0 cos 2 x

2.4.2. Khảo sát hàm số
1. Khảo sát đường cong trong hệ toạ độ Descartes
Sơ đồ khảo sát hàm số
1 Miền xác định
2 Đạo hàm :


Cấp 1 : Tăng, giảm – Cực tr



Cấp 2 : Lồi, lõm, điểm uốn

3 Giới hạn – Tiệm cận
4 Bảng biến thiên – Điểm đặc biệt
5 Vẽ đồ thị :
Trang 6


Ví Dụ 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số :
y=

4x  4
2
x2

Ghi chú : Điểm uốn ( -3 , -

26
) cực tiểu ( -2,-3)
9

Cắt trục hoành : x = 1  3
 Đường cong cho dưới dạng tham số :
 x   (t )

 y   (t )
 x  t 2
1t
Ví Dụ 2: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số : 
 y  2
 x  R cos t
 y  R sin t

Ví Dụ 3: 

 x  a cos t

 y  b sin t

Ví Dụ 4: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y =

x 2  4x

2. Khảo sát đường cong trong hệ toạ độ cực
 Hệ tọa độ cực
Trong mặt phẳng, chọn 1 điểm O cố định, gọi là cực và một véctơ đơn vị



OP , tia mang vectơ OP gọi là trục cực. Hệ tọa độ xác định bới cực và trục cực được gọi

là hệ tọa độ cực.



Điểm M trong mặt phẳng được xác định bới véctơ OM nghĩa là góc
 

  (OP, OM ) và mođun r = OM
 : góc cực, r : bán kính cực. Cặp số (r,  ) vớ r  0 và 0   < 2  được
gọi là Tọa độ cực của điểm M trong mặt phẳng.
Liên hệ giữa tọa độ cực và tọa độ Descartes :


 x  R cos 

 y  R sin 

 r=

x2  y2

( 0   < 2  , r 0 )
, tg  =

y

(chọn  sao cho sin  cùng dấu với y )
x

Ví Dụ 1 Biểu diển các điểm sau đây qua hệ tọa độ cực :

Trang 7


1 3
)
2 2

b) M (  3 ,1)

a) M ( ,

Ví Dụ 2 a) M ( r = 2 ,  

5
)
4

b) N( r=5,  

5
)
3

Sơ đồ khảo sát đường cong trong hệ tọa độ cực : r=f()
1- Miền xác định của f()

2- Xét sự tuần hoàn của r theo  ( nếu có). Nếu hàm số tuần hoàn với chu kỳ T,
ta chỉ khảo sát đường cong trong góc

-

T
T
 
sau đó quay những góc
2
2

bằng T quanh O
3- Xét sự đối xứng ( nếu có ) :


f(-) = f() : đối xứng qua trục cực.



f(-) = - f() : đối xứng qua đường vuông góc với trục cực.

4 - Tính đạo hàm r’ = f() : xét tăng giảm
5 – Tìm tg  =



r
Chứng Minh  = (OM , MO)
r'

6 – Bảng biến thiên
7 – Vẽ đồ thị
Ví Dụ : Khảo sát đường cong r = 2 + cos  trong tọa độ cực

BÀI TẬP CHƯƠNG 2
Tính đạo hàm của các hàm số
x 3 x

2.1 a) y = x +

c) y = 1  x 2
2.2 a) y = shx + chx
c) y = log3(x2-sinx)
2.3 a) y = sin3(4x+3)
c) y = cos(cos(cosx))
2.4 a) y  ln tg

x
2

b) y =

1
1
1

3
x
x

x

d) y =

x  x2 1

b) y = ln(arcsin5x)
d) y =exln(sinx)
b) y =ln2(cosx)
d) = earctgx

2

b) y  arcsin

Trang 8

2 x2
1  x4