Bài giảng toán cao cấp c2

Chương 1 : MA TRẬN - ĐỊNH THỨC - HỆ PTTT
1.1.MA TRẬN :
1.1.1. Khái niệm về ma trận :
• Ma trận là một bảng chữ nhật gồm mxn phần tử được sắp thành m dòng , n cột theo
một thứ tự nhất định :
⎡ a11
⎢a
⎢ 21
⎢ .
⎢
⎣a m1

a12
a 22
.
am2

... a1n ⎤
... a 2 n ⎥⎥
... . ⎥
⎥
... a mn ⎦

•
•
•

Ma trận dòng , ma trận cột ,ma trận không , ma trận chuyển vị .
Ma trận vuông,ma trận chéo , ma trận đơn vị ,ma trận tam giác , ma trận đối xứng.
Ma trận bằng nhau : Hai ma trận bằng nhau là 2 ma trận cùng cấp và có các phần tử
nằm ở cùng vị trí bằng nhau .

1.1.2. Phép toán về ma trận :
1.Phép cộng : Tổng của 2 ma trận cùng cấp là một ma trận cùng cấp có các phần tử
là tổng của các phần tử tương ứng .
⎡ 1 0 2 ⎤ ⎡3 2 − 1⎤ ⎡ 4 2 1 ⎤
⎢− 2 1 3⎥ + ⎢ 1 4 2 ⎥ = ⎢− 1 5 5⎥
⎣
⎦ ⎣
⎦ ⎣
⎦
2.Phép nhân với một số : Tích của một số thực với một ma trận là một ma trận
cùng cấp có các phần tử là tích của số thực với các phần tử của ma trận .
⎡ 2 1 0 − 2⎤ ⎡ 4 2 0 − 4⎤
2. ⎢⎢ 1 3 − 4 1 ⎥⎥ = ⎢⎢ 2 6 − 8 2 ⎥⎥
⎢⎣− 3 0 1
5 ⎥⎦ ⎢⎣− 6 0 2 10 ⎥⎦
3.Phép nhân hai ma trận :
• Số cột của ma trận thứ nhất bằng số dòng của ma trận thứ hai .
• Nhân các phần tử trong dòng của ma trận thứ nhất tương ứng với các phần
tử trong cột của ma trận thứ hai rồi cộng lại .

⎡1 0 2⎤
⎡1 − 1 2⎤ ⎢
⎥ ⎡1.1 + (−1).3 + 2.1 1.0 + (−1).(−2) + 2.2 1.2 + (−1).1 + 2.0⎤
⎢ 2 0 3 ⎥ . ⎢3 − 2 1 ⎥ = ⎢
⎥
2.1 + 0.3 + 3.1 2.0 + 0.(−2) + 3.2 2.2 + 0.1 + 3.0
⎣
⎦ ⎢1 2 0⎥ ⎣
⎦
⎣

⎦

⎡ 0 6 1⎤
=⎢
⎥
⎣5 6 4⎦

Trang 1


1.1.3. Phép biến đổi sơ cấp trên dòng :
1. Phép biến đổi 1 : Hoán vị 2 dòng .
⎡2 0 − 3⎤
⎡1 − 2 0 ⎤
⎢1 − 2 0 ⎥ ⎯d⎯
↔
d
1
⎯2 → ⎢⎢2 0 − 3⎥⎥
⎢
⎥
⎢⎣3 1
⎢⎣3 1
2 ⎥⎦
2 ⎥⎦
2. Phép biến đổi 2 : Nhân một dòng với một số khác không .
⎡1 − 2 0 ⎤
⎡2 − 4 0 ⎤
⎢2 0 − 3⎥ ⎯⎯⎯→
⎢2 0 − 3⎥

2d1 → d1
⎢
⎢
⎥
⎥
⎢⎣3 1
⎢⎣3 1
2 ⎥⎦
2 ⎥⎦
3. Phép biến đổi 3 : Cộng một dòng với một dòng khác đã nhân với một số khác
không .
⎡1 − 2 0 ⎤
⎡1 − 2 0 ⎤
⎢2 0 − 3⎥ ⎯(⎯
−2 ) d1 + d 2 →d 2
⎯ ⎯⎯→ ⎢⎢0 4 − 3⎥⎥
⎢
⎥
2 ⎥⎦
2 ⎦⎥
⎣⎢3 1
⎣⎢3 1
1.1.4. Ma trận dạng bậc thang :
1. Định nghĩa :
• Các dòng khác không luôn ở trên các dòng không .
• Với hai dòng khác không , phần tử khác không đầu tiên của dòng dưới bao
giờ cũng ở bên phải cột chứa phần tử khác không đầu tiên của dòng trên .
2. Định lý : Mọi ma trận khác không đều có thể đưa về được về dạng bậc thang
sau một số phép biến đổi sơ cấp trên dòng .
1.1.5. Ma trận đảo :

1. Định nghĩa : Ma trận A vuông cấp n được gọi là khả đảo nếu tồn tại một ma
trận B vuông cấp n sao cho : A.B = B.A = I .
Ma trận B là duy nhất và được gọi là ma trận đảo của ma trận A ,ký hiệu A-1 .
2. Cách tìm ma trận đảo :
• Lập ma trận mở rộng ( A | I )
• Biến đổi ma trận ( A | I ) về dạng ( I | B ) :
o Nếu biến đổi được về dạng ( I | B ) thì A là ma trận khả đảo và
A-1 =B .
o Nếu không biến đổi được về dạng ( I | B ) ( nghĩa là ma trận bên
trái có xuất hiện dòng không ) thì ma trận A không khả đảo .
Ví dụ : Tìm ma trận đảo , nếu có , của các ma trận :
⎡1 1 0 ⎤
a) ⎢⎢2 2 1⎥⎥
⎢⎣1 0 1⎥⎦

1.2. ĐỊNH THỨC :
Trang 2

,

⎡ 2 3 5⎤
b) ⎢⎢1 1 2⎥⎥
⎢⎣3 3 6⎥⎦


1.2.3 Khái niệm về định thức:
1. Định thức cấp 2 :
⎡a
Cho ma trận vuông cấp 2 : A = ⎢ 11
⎣a 21

det(A) = A =

a11
a 21

a12 ⎤
. Định thức của ma trận A là :
a 22 ⎥⎦

a12
= a11a22 - a12a21
a 22

2. Định thức cấp 3 :
⎡ a11
Cho ma trận vuông cấp 3 : A = ⎢⎢a 21
⎢⎣ a31

a12
a 22
a32

a13 ⎤
a 23 ⎥⎥ . Định thức của ma trận A là :
a33 ⎥⎦

a11

a12

a13

a 21
a31

a 22
a32

a 23 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32
a 33

Cách tính định thức cấp 3 :
a. Quy tắc tam giác :
*
*
*

*

*

*

*
*

*
*

*
*

*
*

*
*

*
*

(+)
b. Quy tắc đường song song :

+

+

+

o

o

o

o

o

o
o

o
o

o
o

o
o

o
o

-

-

-

(-)

Ví dụ : Tính định thức của các ma trận :
⎡1 2 − 1⎤
a) ⎢⎢3 1
0 ⎥⎥
⎢⎣2 − 2 2 ⎥⎦

⎡3 − 2 4⎤
b) ⎢⎢0 1 3⎥⎥
⎢⎣0 0 5⎥⎦

2. Định thức cấp n :

Trang 3


⎡ a11
⎢a
Cho ma trận vuông cấp n : A = ⎢ 21
⎢ .
⎢
⎣ a n1

a12
a 22
.
an2

... a1n ⎤
... a 2 n ⎥⎥
.
... . ⎥
⎥
... a nn ⎦

a. Phần bù đại số :
Phần bù đại số của phần tử aij , ký hiệu Aij , là một số xác định như sau :

i+j
(-1)

Aij =

M ij

trong đó Mij là ma trận suy từ A bằng cách bỏ dòng i và cột j .
b. Định lý Laplace ( Khai triển định thức ) : Cho ma trận A vuông cấp n .

∀i, i = 1, n :

A =

n

∑a
j =1

hoặc : ∀j , j = 1, m :

A =

ij

Aij

n

∑a

i =1

ij

Aij

⎡1 2 − 1⎤
Ví dụ : A = ⎢⎢3 1
0 ⎥⎥
⎢⎣2 − 2 2 ⎥⎦
A = a11A11 + a12A12 + a13A13

1.2.2. Tính chất: Cho ma trận A vuông .
1. Chuyển vị ma trận ,định thức không đổi : A t

= A

2. Hoán vị 2 dòng ,định thức đổi dấu : A ' = - A
3. Nếu nhân 1 dòng cho α thì A ' = α A
4. Nếu A có 2 dòng giống nhau hay tỷ lệ với nhau : A = 0 .
5. Nếu 1 dòng được viết thành tổng của 2 dòng thì định thức bằng tổng của 2 định
thức có dòng tương ứng là các dòng thành phần .
...

...

a1 + b1

a 2 + b2

...

...

...

...

...

... ...

... a n + bn = a1

a2

...

... ...

...

...

...

...

... a n + b1
...

...

... ... ...
b2

... bn

... ... ...

6. Nếu thay 1 dòng bằng chính nó cộng với 1 dòng khác đã nhân với 1 số khác
không thì định thức không đổi : A ' = A .

Ghi chú : Ma trận tam giác ,ma trận chéo có định thức bằng tích các phần tử trên đường
chéo chính .

Trang 4


⎡1 2 − 1⎤
Ví dụ 1 : Tính định thức của ma trận : A = ⎢⎢3 1
0 ⎥⎥
⎢⎣2 − 2 2 ⎥⎦

⎡1 2 − 1 0 ⎤
⎢0 1
2 − 1⎥⎥
Ví dụ 2 : Tính định thức của ma trận : A = ⎢
⎢0 − 2 1
3⎥

⎢
⎥
2 1⎦
⎣0 1
cos 2 x cos 2 x sin 2 x
Ví dụ 3 : Chứng minh rằng : cos 2 y cos 2 y sin 2 y = 0
cos 2 z cos 2 z sin 2 z
1.2.3 Cách tìm ma trận đảo bằng định thức
1. Điều kiện khả đảo :

Ma trận A khả đảo ⇔ A ≠ 0
2. Công thức ma trận đảo :

⎡ A11
⎢
1 ⎢ A21
−1
A =
A ⎢ ...
⎢
⎣ An1

A12
A22
...
An 2

A1n ⎤
... A2 n ⎥⎥
... ... ⎥

⎥
... Ann ⎦
...

t

Ví dụ : Tìm ma trận đảo ( nếu có ) của các ma trận :

⎡1 2 ⎤
a) ⎢
⎥
⎣2 5⎦

⎡1 1 0 ⎤
, b) ⎢⎢2 2 1⎥⎥
⎢⎣1 0 1⎥⎦

c)

⎡ 2 − 1 2⎤
⎢1 2 1 ⎥
⎢
⎥
⎢⎣1 0 1 ⎥⎦

1.2.4 Hạng của ma trận :
1. Định nghĩa : Cho ma trận A cấp mxn .
• Nếu chọn các phần tử nằm trên k dòng và k cột thì ta được một ma trận vuông cấp
k . Định thức của ma trận này gọi là định thức con cấp k của A .
• Hạng của ma trận A , ký hiệu là r(A) , là cấp cao nhất trong các định thức con

khác không của A.
Ghi chú :
• r(A) = 0 ⇔ A = 0

•

A = (aij)mxn ⇒ r(A) ≤ min(m,n)

2. Cách tìm hạng của ma trận :
Trang 5


• Đưa ma trận về dạng bậc thang .
• Hạng của ma trận là số dòng khác 0 .
Ví dụ1 : Tìm hạng của ma trận :
⎡1 − 1 5 − 1⎤
A = ⎢⎢1 1 − 2 3 ⎥⎥
⎢⎣3 − 1 8
1 ⎥⎦
Ví dụ 2 : Biện luận theo tham số m hạng của ma trận :
⎡2 1 3 4 2 8 ⎤
⎢1 0 1 1 0 0 ⎥
⎥
A= ⎢
⎢3 4 2 4 1 − 1⎥
⎢
⎥
⎣5 5 5 8 3 m ⎦

1.3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH :

1.3.1. Khái niệm :
1.Định nghĩa :
Hệ phương trình tuyến tính là hệ phương trình có m phương trình và n ẩn số :
⎧ a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1
⎪ a x + a x + ... + a x = b
⎪ 21 1
22 2
2n n
2
⎨
⎪ ............................................
⎪⎩a m1 x1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n = bm

(1)

aij : hệ số ; bij : hệ số tự do ; xj : ẩn số ( i = 1, m ; j = 1, n )
2. Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính :
⎡ b1 ⎤
⎡ x1 ⎤
⎢b ⎥
⎢x ⎥
2 ⎥
⎢
⎢ 2⎥
a 22
⎢ . ⎥ , X =⎢ . ⎥
.
⎢ ⎥
⎢ ⎥
. ⎥

⎢
⎢.⎥
am2
⎢⎣bm ⎥⎦
⎢⎣ x n ⎥⎦
A : ma trận hệ số ; B : ma trận hệ số tự do ; X : ma trận ẩn số

⎡ a11
⎢a
A = ⎢ 21
⎢ .
⎢
⎣a m1

a12

... a1n ⎤
... a 2 n ⎥⎥
, B=
... . ⎥
⎥
... a mn ⎦

Ta có : (1) ⇔ AX = B
3. Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính :
Một nghiệm của hệ phương trình tuyến tính (1) là một bộ số gồm n số ( c1,c2,…,cn) sao
cho khi thay vào (x1,x2,…,xn) các phương trình được nghiệm đúng.
4. Điều kiện tồn tại nghiệm : Định lý Kronecker-Capelli
Cho hệ phương trình (1) ,ta có :
Trang 6

• r(A) ≠ r(A|B)
: Hệ phương trình vô nghiệm .
• r(A) = r(A|B) = n : Hệ phương trình có một nghiệm duy nhất .
• r(A) = r(A|B) = rthuộc (n-r) tham số .
Ví dụ 1 : Xét sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình :
⎧ x1 − x 2 + x3 + 2 x 4 = 5
⎪ 2 x + 3x − 3x + x = 3
⎪ 1
2
3
4
⎨
⎪ 4 x1 + x 2 − x3 + 5 x 4 = 1
⎪⎩4 x1 + 2 x 2 + x3 − 3x 4 = 7
Ví dụ 2 : Biện luận theo m sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình :
⎧mx1 + x 2 + x3 =1
⎪
⎨ x1 + mx 2 + x3 =1
⎪ x + x + mx =1
2
3
⎩ 1

1.3.2. Hệ phương trình Cramer :
1. Định nghĩa :
Hệ phương trình Cramer là hệ phương trình tuyến tính có số phương trình
bằng số ẩn số và định thức của ma trận hệ số khác không .

2. Cách giải hệ phương trình Cramer :
a. Phương pháp Cramer :
Cho hệ phương trình Cramer :
⎧ a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1
⎪a x + a x + ... + a x = b
⎪ 21 1
22 2
2n n
2
⎨
..........
..........
..........
..........
....
⎪
⎪⎩a n1 x1 + a n 2 x 2 + ... + a nn x n = bn
Hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất : (x1,x2,…,xn) với :

xi =

Ai
A

(i = 1, n)

trong đó Ai là ma trận suy từ ma trận A bằng cách thay cột I bằng cột B.
Ví dụ1 : Giải hệ phương trình :
⎧ x1 + x 2 − x3 = 2
⎪

⎨2 x1 + 3 x 2 + x3 = − 1
⎪5x + 8x + 2 x = 3
2
3
⎩ 1

⎧ mx + y = 1
Ví dụ 2 : Giải và biện luận hệ phương trình : ⎨
⎩ x + my = 2
b. Phương pháp ma trận đảo :
Trang 7


Cho hệ phương trình Cramer dạng ma trận : AX = B .
Nghiệm duy nhất của hệ phương trình là X = A-1B
Ví dụ : Giải hệ phương trình :
x1 + x 2 = 3
⎧
⎪
⎨2 x1 + 2 x 2 + x3 = 9
⎪
x1 + x3 = 4
⎩

1.3.3. Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss :
Cho hệ phương trình dạng ma trận : AX = B
(A|B) → đưa về dạng bậc thang → (A’|B’)
AX = B ⇔ A’X = B’
Ví dụ1 : Giải hệ phương trình :
⎧ x1 + 2 x2 + x3 = 1

⎪
⎨ 2 x1 + 5 x2 + x3 = 6
⎪− x − 4 x + 2 x = 2
2
3
⎩ 1
Ví dụ2 : Giải hệ phương trình :
⎧ x1 − 3 x 2 + 2 x3 − x 4 = 2
⎪
⎨4 x1 + x 2 + 3 x3 − 2 x 4 =1
⎪2 x + 7 x − x
= −1
2
3
⎩ 1

Ví dụ3 : Giải hệ phương trình :
⎧ x1 + 2 x 2 − x3 + x 4 = 2
⎪
⎨3 x1 + 6 x 2 − 4 x3 + 2 x 4 = 4
⎪− x − 2 x + 2 x
=0
2
3
⎩ 1

1.3.4. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất :
1. Định nghĩa :
Một hệ phương trình tuyến tính được gọi là thuần nhất nếu có các hệ số tự do đều
bằng 0 .

⎧ a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = 0
⎪ a x + a x + ... + a x = 0
⎪ 21 1
22 2
2n n
⎨
⎪ ............................................
⎪⎩a m1 x1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n = 0
Dạng ma trận : AX = 0
2. Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất :
a. Nghiệm tầm thường : Hệ pttt thuần nhất luôn luôn có nghiệm (0,0,…,0) gọi
là nghiệm tầm thường .
b. Nghiệm không tầm thường:

Trang 8


•

Nghiệm của hệ phương trình có ít nhất một thành phần khác 0 gọi là
nghiệm không tầm thường .
• Hệ có nghiệm không tầm thường ⇔ r(A) < n ( số ẩn số )
• Nếu A là ma trận vuông thì :
Hệ có nghiệm không tầm thường ⇔ | A | = 0
• Nghiệm không tầm thường còn gọi là nghiệm tổng quát , nó phụ thuộc
một số tham số .Nếu các tham số lấy các giá trị cố định thì ta được
nghiệm riêng .
Ví dụ : Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất :
⎧ x1 + x 2 + 2 x3 = 0
⎪

⎨ 2 x1 − x 2 + x3 = 0
⎪5 x − x + mx = 0
2
3
⎩ 1

a. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm không tầm thường .
b. Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình .
3. Hệ nghiệm cơ bản :
Nếu hệ phương trình có nghiệm không tầm thường thì các nghiệm này có thể biểu
diễn được qua một hệ nghiệm riêng cố định , gọi là hệ nghiệm cơ bản .
Ví dụ : Giải và tìm hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính :
⎧ x1 − x 2 + x3 + 2 x 4 = 0
⎪2 x + x − 4 x + x = 0
⎪ 1
2
3
4
⎨
⎪ x1 + 2 x 2 − 5 x3 − x 4 = 0
⎪⎩ 3x1
− 3 x3 + 3 x 4 = 0

4. Liên hệ giữa nghiệm của hệ pttt và hệ pttt thuần nhất :
⎧ a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1
⎪ a x + a x + ... + a x = b
⎪ 21 1
22 2
2n n
2

(1)
⎨
..........
..........
..........
..........
....
⎪
⎪⎩a m1 x1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n = bm
⎧ a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = 0
⎪ a x + a x + ... + a x = 0
⎪ 21 1
22 2
2n n
⎨
..........
..........
..........
..........
....
⎪
⎪⎩a m1 x1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n = 0

(2)

Nghiệm tổng quát của (1) = Nghiệm tổng quát của (2) + Nghiệm riêng của (1)

Ví dụ1 : Cho hệ phương trình tuyến tính :

Trang 9

⎧ x1 + 2 x2 + x3 = 1
⎪
⎨ 2 x1 + 4 x2 + x3 = 3
⎪4 x + 8 x + 3 x = m
2
3
⎩ 1

(1)

a. Giải và biện luận hệ phương trình (1)
b.Giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất liên kết với hệ (1)
Ví dụ2 : Cho hệ phương trình tuyến tính :
⎧ x1 − x2 + 2 x3 =1
⎪
⎨ x1 + 3 x3 − x4 = 2
⎪2 x − x + 5 x − x = 3
3
4
⎩ 1 2

(1)

a. Chứng tỏ (0,1,1,1) là một nghiệm riêng của (1)
b.Tìm nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất liên kết với (1)
c. Tìm nghiệm tổng quát của (1).

Trang 10

Chương 2 : KHÔNG GIAN VECTƠ
2.1. KHÔNG GIAN VECTƠ n CHIỀU :
2.1.1. Vectơ n chiều :
1.Định nghĩa :Một vectơ n chiều là một bộ n số thực x = (x1,x2,…,xn) .
• xj : tọa độ thứ j của vectơ x (j = 1, n )
• vectơ không : 0 = (0,0,…,0)
• vectơ đơn vị : e1 = (1,0,…,0) , e2 = (0,1,0,…,0) ,…, en = (0,0,…0,1)
⎡ x1 ⎤
⎢x ⎥
⎢ 2⎥
• Dạng ma trận cột : X = [x] = ⎢ . ⎥
⎢ ⎥
⎢.⎥
⎢⎣ x n ⎥⎦

2.Phép toán trên các vectơ n chiều:
a. Phép cộng 2 vectơ n chiều :
Cho x = (x1,x2,…,xn) và y = (y1,y2,…,yn) . Tổng của 2 vectơ x và y là vectơ n
chiều :
x + y = (x1+y1,x2+y2,…,xn+yn)
b. Phép nhân một số thực với một vectơ n chiều :
Cho x = (x1,x2,…,xn) và α ∈ R . Tích của số α với vectơ x là vectơ n chiều :

α x = ( α x1, α x2,…, α xn)
Ghi chú :
• Vectơ (-1)x = (-x1,-x2,…,-xn) gọi là vectơ đối của vectơ x ,
ký hiệu : -x .
• Vectơ x + (-1)y được ký hiệu x – y và gọi là hiệu của vectơ x và y .

3.Tính chất các phép tóan :
Cho x,y,z là các vectơ n chiều và α , β ∈ R .

1)
2)
3)
4)
5)
6)

x+y=y+x
(x+y)+z=x+(y+z)
x+0=x
x + (-x) = 0
α(x+y)=αx+ αy
( α + β )x = α x + β x

7) ( α β )x = α ( β x) = β ( α x)
8) 1.x = x

Trang 1


2.1.2. Hệ vectơ n chiều :
1.Tổ hợp tuyến tính :
a. Định nghĩa :

Cho a1,a2,…,am là m vectơ n chiều và α i ∈ R ( i = 1, m ). Vectơ n chiều sau đây
được gọi là tổ hợp tuyến tính của các vectơ ai với các hệ số α i ( i = 1, m ).
a = α1a1 + α 2 a2 + ... + α m am

Ta còn nói vectơ a được biểu thị tuyến tính qua các vectơ ai với các hệ số α i .
b. Ví dụ :
VD1: Cho các vectơ 3 chiều : a1=(1,0,1) , a2=(1,2,0) và a3=(0,-1,1).
a)Tìm tổ hợp tuyến tính của các vectơ a1,a2,a3 với các hệ số là 2,-1,3.
b)Cho vectơ v=(5,3,4) . Vectơ v có thể biểu thị tuyến tính qua 3 vectơ
a1,a2,a3 hay không ?
VD2: Cho 3 vectơ 3 chiều a=(1,1,0),b=(0,2,1) và u=(u1,u2,u3).
a)Tìm điều kiện cho các thành phần của u1,u2,u3 của vectơ u để u có thể
biểu thị tuyến tính theo a và b .
b)Cho các vectơ v =(2,4,1) và w=(1,2,3) .Vectơ nào biểu thị tuyến tính
được theo 2 vectơ a và b ?
2.Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính :
a. Định nghĩa :
Cho a1,a2,…,am là m vectơ n chiều .

•

Hệ vectơ {ai } ( i = 1, m ) độc lập tuyến tính nếu :

α1a1 + α 2 a2 + ... + α m am = 0 ⇒ α i = 0 ( i = 1, m )
•

Hệ vectơ {ai } ( i = 1, m ) phụ thuộc tuyến tính nếu nó không độc lập tuyến
tính ,nghĩa là tồn tại α i ≠ 0 sao cho α1a1 + α 2 a2 + ... + α m am = 0 .

VD 1: Chứng tỏ hệ các vectơ đơn vị 3 chiều {e1,e2,e3} độc lập tuyến tính .
VD 2: Hệ vectơ sau đây độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính : {u1,u2,u3}
với u1 = (1,1,1) , u2 = (0,1,1) và u3 = (1,2,3) .
b. Định lý : Cho n vectơ n chiều :
a1 = (a11 , a12 ,..., a1n )

a2 = (a21 , a22 ,..., a2 n )
…………………….
an = (an1 , an 2 ,..., ann )
⎡ a11
⎢a
Đặt : A = ⎢ 21
⎢ .
⎢
⎣ a n1

a12
a 22
.
an2

... a1n ⎤
... a 2 n ⎥⎥
... . ⎥
⎥
... a nn ⎦

Hệ vectơ {ai } ( i = 1, n ) độc lập tuyến tính
Trang 2

⇔ A ≠0


Hệ vectơ {ai } ( i = 1, n ) phụ thuộc tuyến tính ⇔ A = 0
VD 1: Chứng minh rằng hệ vectơ sau đây độc lập tuyến tính :
a1=(2,1,1) , a2=(-1,1,4) và a3=(1, 1,-2).

VD 2: Định m để hệ vectơ sau đây độc lập tuyến tính :
a1=(1,0,1) , a2=(2,m,-1) và a3=(0, 2, 2).
Ghi chú : Hệ n vectơ đơn vị n chiều {ei } ( i = 1, n ) độc lập tuyến tính
3.Tính chất của sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính :
a. Định lý 1: {a } độc lập tuyến tính ⇔ a ≠ 0
b. Định lý 2: Nếu {ai } độc lập tuyến tính thì ai ≠ 0 , ∀ i = 1, m
Hệ quả : Nếu ∃ ai = 0 thì {ai } phụ thuộc tuyến tính .
c. Định lý 3:

* Nếu {ai } ( i = 1, m ) độc lập tuyến tính thì mọi hệ vectơ con của
{ai } đều độc lập tuyến tính .
* Nếu {ai } ( i = 1, m ) phụ thuộc tuyến tính thì mọi hệ chứa hệ
{ai } đều phụ thuộc tuyến tính .
d. Định lý 4: Hệ vectơ {ai } ( i = 1, m )phụ thuộc tuyến tính ⇔ ∃ ai , ai biểu thị

tuyến tính theo các vectơ còn lại .
4.Hạng của một hệ vectơ n chiều :
a. Định nghĩa : Cho hệ m vectơ n chiều {ai } ( i = 1, m ) .Số vectơ độc lập tuyến
tính lớn nhất chọn được từ hệ này là hạng của hệ ,ký hiệu : r(a1,a2,…,am)
b. Cách tìm hạng của một hệ vectơ n chiều :
Cho hệ m vectơ n chiều :
a1 = (a11 , a12 ,..., a1n )
a2 = (a21 , a22 ,..., a2 n )
…………………….
am = (am1 , am 2 ,..., amn )
⎡ a11
⎢a
Đặt : A = ⎢ 21
⎢ .
⎢

⎣am1

Ta có :
Kết quả :

... a1n ⎤
a22 ... a2 n ⎥⎥
. ... . ⎥
⎥
am 2 ... amn ⎦
r(a1,a2,…,am) = r(A)
a12

Hệ {ai } ( i = 1, m ) độc lập tuyến tính ⇔ r(a1,a2,…,am) = m
Hệ {ai } ( i = 1, m ) phụ thuộc tuyến tính ⇔ r(a1,a2,…,am) < m
Trang 3


VD : Tìm hạng của hệ vectơ 4 chiều sau đây ,từ đó xét tính độc lập tuyến
tính hay phụ thuộc tuyến tính của chúng :
a) a1=(1,-1,5,-1) , a2=(1,1,-2,3) và a3=(3, -1,8,1).
b) a1=(1,2,1, 1) , a2=(2,5,1,6) và a3=(-1,-4,2,2).
2.1.3. Không gian vectơ n chiều Rn:
1.Định nghĩa :Tập hợp các vectơ n chiều với 2 phép tóan : cộng 2 vectơ và nhân
vectơ với 1 số thực tạo thành một cấu trúc đại số gọi là “không gian vectơ n
chiều “ và ký hiệu là Rn .
2.Cơ sở của Rn :
a. Định nghĩa : Một hệ gồm n vectơ độc lập tuyến tính trong Rn được gọi là
một cơ sở của Rn .
Ghi chú :

•

Hệ gồm n vectơ đơn vị n chiều { ei } ( i = 1, n ) là một cơ sở của
Rn và được gọi là “ cơ sở chính tắc “ của Rn .

•

Hệ {ai } (i = 1, n ) là cơ sở của Rn ⇔ r(a1,a2,…,an) = n

b. Ví dụ :
• VD 1: Hệ vectơ nào sau đây là là cơ sở của R3 :
a) a1 = (1,0,1) , a2 = (1,0,0)
b) b1 = (1,1,2) , b2 = (0,1,3) , b3 = (-1,1,4) , b4 = (1,0,1)
c) c1 = (1,1,3) , c2 = (-1,1,-1) , c3 = (5,-2,8)
d) d1 = (1,1,0) , d2 = (2,2,1) , d3 = (1,0,1) .
3. Tọa độ của một vectơ trong một cơ sở của Rn :
a. Định lý : Cho (u) ={ ui } (i= 1, n ) là một cơ sở của Rn .Mọi vectơ x của Rn
đều biểu diễn tuyến tính được theo các vectơ cơ sở , nghĩa là tồn tại bộ n số
thực (x1,x2,…,xn) sao cho : x = x1u1 + x2u2 + …+ xnun .
b. Định nghĩa : Bộ n số thực (x1,x2,…,xn) trong định lý trên gọi là tọa độ
của vectơ x đối với cơ sở (u) và ký hiệu :
x/(u) = (x1,x2,…,xn)(u)
Ghi chú : Ta thấy đối với cơ sở chính tắc (e) = { ei } :
x = (x1,x2,…,xn) = x1e1 + x2 e2 + ... + xn en
Vậy : x/(e) = x = (x1,x2,…,xn)
Do đó khi thấy x = (1,2,3) ta hiểu đó là tọa độ của x đối với cơ sở chính tắc .
VD : Trong R 3 các vectơ : u1 = (1,1,0), u2 = (0,1,1), u3 = (1,0,1).
a)Chứng tỏ (u) = {u1 , u 2 ,u3 } là một cơ sở của R3
b)Tìm toạ độ của vectơ x = (-2,5,-1) đối với cơ sở (u)

4. Ma trận đổi cơ sở :
a) Định nghĩa: Trong Rn có hai cơ sở : (u) = {u1 , u 2 ,..., u n } và (v) = {v1 , v2 ,..., vn }
Trang 4


Ma trận sau đây gọi là ma trận đổi cơ sở từ (u) sang (v) :
⎡
⎤
v
T= ⎢ ⎡v1 ⎤ ⎡v2 ⎤...⎡ n ⎤ ⎥
(u)
u
u
(
)
(
)
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣

⎦
Ghi chú :
* Nếu T là ma trận đổi cơ sở từ (u) sang (v)thì T −1 là ma trận đổi cơ sở từ (v) sang (u)
VD : Trong R 3 cho 3 cơ sở : cơ sở chính tắc (e) = {e1 , e2 , e3 }, (u)= {u1 , u 2 , u3 } và
(v) = {v1 , v2 , v3 }

với :

u1 = (1,0,2)

v1 = (0,0,1)

u 2 = (0,1,1)

v2 = (1,-1,0)

u3 = (1,0,1)

v3 = (1,1,1)

Tìm các ma trận đổi cơ sở :
a) từ (e) sang (u)
b) từ (u) sang (v)
c) từ (v) sang (e)
____

5.Công thức đổi toạ độ : Trong R n cho hai cơ sở (u) = { ui } , (v) = { vi } ( i = 1,n )
và T là ma trận đổi cơ sở từ (u) sang (v).
Công thức đổi toạ độ từ cơ sở (u) sang cơ sở (v) :
⎡ x ⎤ = T. ⎡ x ⎤

⎢⎣ (u )⎥⎦
⎢⎣ (v)⎥⎦
VD1 : Trong R 3 cho cơ sở (u) = { u1 , u 2 , u3 } với u1 = (1,0,2 ) ; u 2 = (0,1,1 ) ; u3 = (1,0,1 )
a) Tìm ma trận đổi cơ sở từ (e) sang (u), từ đó suy ra công thức đổi toạ độ từ cơ sở
chính tắc (e) sang (u).
b) Tìm toạ độ của vectơ x = (1,2,3) đối với cơ sở (u).
VD2 : Trong R 3 cho các hệ vectơ (u) = { u1 , u 2 , u3 } và (v) = {v1 , v2 , v3 }
Trong đó : u1 = (1,1,2 ) ; u 2 = (-1,1,1 ) ; u3 = (2,-1,0 )
v1 = (1,0,2 ) ; v2 = (0,1,1 ) ; v3 = (1,0,1 )

a) Chứng tỏ rằng các hệ (u) và (v) là các cơ sở của R 3 .
b) Tìm ma trận đổi cơ sở từ (u) sang (v).
.
c) Cho x = ( 2,1,0 )(v) ,áp dụng công thức đổi tọa độ tìm x
(v)
(u )
d) Cho y

(u )

= ( 4,2,5 )(u) tìm y

(v)

.

VD3 : Trong R 3 cho hệ vectơ (u) = { u1 , u 2 , u3 } và u1 = (1,1,1 ) ; u 2 = (1,1,0 ) ; u3 = (1,0,0 )
a) Chứng tỏ (u) là cơ sở của R 3 .
Trang 5

b) Tìm ma trận đổi cơ sở từ (e) sang (u)
c) Tìm ma trận đổi cơ sở từ (u) sang (e)
d) Tìm toạ độ của vectơ x = ( 3,0,1) đối với cơ sở (u)
= (-2,1,0)(u)
e) Tìm toạ độ của vectơ y khi biết y
(u )
2.2 KHÔNG GIAN VECTƠ :
2.2.1 Định nghĩa không gian vectơ :
Cho V là tập hợp khác rỗng có các phần tử kí hiệu là : a,b,c,… và R là tập hợp số thực có các
phần tử kí hiệu là α , β , γ …

Trên V cho hai phép toán :
• Phép cộng hai phần tử của V :
V×V → V
(a,b) a a + b
• Phép nhân một số thực với một phần tử của V :
R×V → V
( α ,a) a α a
Tập hợp V cùng với hai phép toán trên tạo thành một « Không gian vectơ » trên R
nếu 8 tiên đề sau đây được thoả mãn : a,b,c ∈ V và α , β ∈ R
1) a + b = b + a
2) ( a + b) +c = a + (b + c)
3) Tồn tại phần tử không, kí hiệu 0 sao cho : a + 0 = a
4) Tồn tại phần tử đối của a, kí hiệu – a sao cho : a + (- a) = 0
5) α (a + b ) = α a + α b
6) ( α + β ) a = α a + β b
7)

( α β )a = α ( β a )

8) 1.a = a
Khi đó các phần tử của V gọi là các « vectơ », còn các phần tử của R gọi là các « vô hướng »
VD :
• Không gian Rn các vectơ n chiều là một không gian vectơ.
• Tập hợp các vectơ hình học có cùng gốc toạ độ 0 trong mặt phẳng toạ độ với phép cộng
vectơ theo “quy tắc hình bình hành”, phép nhân vectơ với số thực.
• Tập hợp các ma trận cấp m × n với phép cộng hai ma trận và phép nhân ma trận với một
số thực.
2.2.2 Không gian vectơ con :
1) Định nghĩa :
Cho V là không gian vectơ và W⊂V, W≠∅. Nếu W cùng với 2 phép toán của V cũng tạo
thành một không gian vectơ thì W được gọi là không gian vectơ con của V.
2) Định lý :
Cho V là không gian vectơ và W⊂V, W≠∅.

Trang 6


⎧ ∀a, b ∈¦ W ⇒ a + b ∈ W
W là không gian vectơ con của V ⇔ ⎨
⎩∀a ∈ W, ∀α ∈ R ⇒ αa ∈ W
VD: Cho V=R3 và W={ x∈R3/ x=(t,0,0) với t∈R }
CMR W là không gian con của V.
2.2.3 Không gian con W = <u1,u2,…,um> :
1) Định nghĩa :
Cho V là không gian vectơ và u1,u2,…,um ∈V. Tập hợp W gồm tất cả các tổ hợp tuyến
tính của các vectơ u1,u2,…,um được gọi là bao tuyến tính của các vectơ u1,u2,…,um và ký
hiệu : W = <u1,u2,…,um> .
Vậy : W = <u1,u2,…,um> = {α1u1+α2u2+…+αmum / αi ∈R}

2) Định lý :
Cho u1,u2,…,um là các vectơ của không gian vectơ V. Bao tuyến tính W = <u1,u2,…,um>
của các vectơ u1,u2,…,um là một không gian con của V.
Ghi chú :

(

•

)

Ta còn nói : W là không gian con sinh bởi hệ vectơ {ui} i = 1, m hay {ui} là hệ
sinh của không gian vectơ W.
3) Định lý :
•

•

(

)

(

)

Nếu hệ sinh {ui} i = 1, m độc lập tuyến tính trong V thì hệ này là cơ sở của không
gian con W. Lúc đó ta nói không gian con W có số chiều là m và ký hiệu :
dimW=m.

Nếu hệ sinh {ui} i = 1, m phụ thuộc tuyến tính trong V thì hệ vectơ độc lập tuyến
tính lớn nhất chọn từ hệ {ui} là cơ sở của W và hạng của hệ vectơ này là số chiều
của W.
VD1: Trong R4 cho các vectơ : u=(1,1,0,1) và v=(0,1,0,1).
a) Xác định không gian vectơ con W sinh bởi {u,v}.Tìm cơ sở và số chiều của W.
b) Các vectơ x=(1,3,0,3) , y=(1,-1,0,1) có thuộc không gian W hay không ?
VD2: Tìm cơ sở và số chiều của không gian con W=<u1,u2,u3> trong các trường hợp :
a) u1=(1,1,2), u2=(-1,1,1), u3=(2,-1,0)
b) u1=(1,1,0), u2=(1,2,1), u3=(-1,0,1)
Ghi chú :
Tập hợp các nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất là một không gian
con của Rn ( Không gian con này sinh ra từ các vectơ hệ nghiệm cơ bản ).
VD3 : Xác định số chiều và cơ sở của không gian con các nghiệm của hệ phương trình :
⎧ x1 − x2 + x3 + 2 x4 = 0
⎧3 x1 + x2 + 2 x3 = 0
⎧ x1 + 2 x2 − x3 + x4 = 0
⎪2 x + x − 4 x + x = 0
⎪
⎪
⎪
3
4
a) ⎨ x1 + x2
= 0 b) ⎨3 x1 − 6 x2 − 4 x3 + 2 x4 = 0 c) ⎨ 1 2
⎪ x1 + 2 x2 − 5 x3 − x4 = 0
⎪
⎪
− x1 + 2 x2 + 2 x3 = 0
x 2 + x3 = 0
⎩

⎩
⎪⎩ 3 x1 − 3 x3 + 3 x4 = 0

Trang 7


Chương 3 : DẠNG TOÀN PHƯƠNG
3.1 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH:
3.1.1 Định nghĩa :
Ánh xạ f : R n → R m được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu thoả hai tính chất sau:
1) f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ) , ∀x, y ∈ R n
2) f (α x) = αf(x)
, ∀x,∈ R n , ∀α ∈ R n
Ghi chú : khi n = m ánh xạ tuyến tính f : R n → R n còn được gọi là phép
biến đổi tuyến tính
3.1.2 Tính chất : Nếu f là ánh xạ tuyến tính thì:
• f (0) = 0
• f ( x − y ) = f ( x) − f ( y ) , ∀x, y ∈ R n
• f (α 1 x1 + α 2 x 2 + ... + α n x n ) = α 1 f ( x1 ) + α 2 f ( x 2 ) + ...α n f ( x n ) , ∀xi ∈ R n , ∀α i ∈ R
VD: Cho ánh xạ f : R 3 → R 2 xác định bởi
f ( x1 , x 2 , x3 ) = (2 x1 , x 2 − x3 )

Chứng tỏ f là ánh xạ tuyến tính từ R 3 vào R 2 .
3.1.3 Ma trận của ánh xạ tuyến tính :
1) Định nghĩa : Cho ánh xạ tuyến tính f : R n → R m
Giả sử R n và R m lần lượt có cơ sở (u) = {u i } (i = 1, n ) và (v)= {vi }(i = 1, m ) ta có
toạ độ :
x

= ( x1 , x2 ,..., xn ) ( u )

(u )
y
= f ( x) = ( y1 , y 2 ,..., y m ) ( v )
(v )
(v )
Ma trận A cấp m × n được gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính f nếu thoả :
⎤ = A⎡ x
⎤
⎡ f (x)
( v ) ⎥⎦
⎢⎣
⎢⎣ ( u ) ⎥⎦

2) Cách xác định ma trân A :
A = ⎡⎢ ⎡⎢ f (u1 ) (v)⎤⎥ ⎡⎢ f (u 2 ) (v)⎤⎥....⎡⎢ f (u n ) (v)⎤⎥ ⎤⎥
⎦⎣
⎦ ⎣
⎦⎦
⎣⎣
3) Ma trận chính tắc :
Nếu {u i } (i = 1, n ) và {vi }(i = 1, m ) là các cơ sở chính tắc thì ma trận A được
gọi là Ma trận chính tắc và được xác định bởi :
A =

[[ f (e1 )][ f (e2 )]....[ f (en )]]
Trang 1


VD: Cho ánh xạ tuyến tính

f : R 4 → R 3 xác định bởi

f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) = ( x1 − x2 + x3 + x 4 , x1 + 2 x3 − x4 , x1 + x 2 + 3x3 − 3x4 )

a) Tìm ma trận chính tắc của f
b) Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính f đối với cơ sở (u)= {u1 , u 2 , u 3 , u 4 }và cơ sở
chính tắc (e) trong R 3 , biết rằng :
u1 = (1,0,0,0) , u 2 = (1,1,0,0) , u 3 = (1,1,1,0) , u 4 = (1,1,1,1)
3.2 GIÁ TRỊ RIÊNG –VECTƠ RIÊNG:
3.2.1 Định nghĩa :
Cho A là ma trận vuông cấp n, nếu tồn tại vectơ n chiều khác không x = ( x1 , x2 ,..., xn )
và số λ ∈ R sao cho : A. [x ] = λ . [x ] thì ta nói: λ là một giá trị riêng của A và x là vectơ
riêng của A ứng với giá trị riêng λ .
VD:
⎡1 2⎤
⎥ với vectơ x = (2,3) ta có:
⎣3 2⎦
⎡1 2⎤ ⎡2⎤ ⎡ 8 ⎤
⎡ 2⎤
= ⎢ ⎥ = 4 ⎢ ⎥ = 4. [x ]
A. [x ] = ⎢
⎥
⎢
⎥
⎣3 2⎦ ⎣3⎦ ⎣12⎦
⎣ 3⎦

Cho ma trận A= ⎢

Vậy λ =4 là một giá trị riêng của A và x = (2,3) là một vectơ riêng của A ứng với giá trị

riêng λ =4.
3.2.2 Cách tìm giá trị riêng:
Giá trị riêng λ của ma trận A là nghiệm của phương trình đặc trưng : A − λI = 0

⇔

a11 − λ
a21

a12
...
a22 − λ ...

a1n
a2 n

...

...

...

...

an1

an1

... an n − λ

=0

VD: Tìm giá trị riêng của ma trận:
⎡ 2 −1 3 ⎤
A = ⎢⎢ 0 − 3 0 ⎥⎥
⎢⎣− 1 0 − 2⎥⎦

3.2.3 Cách tìm vectơ riêng : Vectơ riêng của ma trận A ứng với giá trị riêng λ là
nghiệm x khác 0 của phương trình ( A - λI ).[x] = 0
* Ghi chú:
Ứng với một giá trị riêng λ của ma trận A, có vô số vectơ riêng.Tập hợp các vectơ riêng
này cùng với vectơ 0 tạo thành một không gian con của Rn và được gọi là không gian con
riêng của ma trận A ứng với giá trị riêng λ, ký hiệu Eλ
VD: Tìm giá trị riêng, vectơ riêng, không gian con riêng và cơ sở của không gian con
riêng của ma trận:
Trang 2


⎡ 2 −1 3 ⎤
A = ⎢⎢ 0 − 3 0 ⎥⎥
⎢⎣− 1 0 − 2⎥⎦

3.3 CHÉO HÓA MA TRẬN:
3.3.1: Định nghĩa:
Một ma trận vuông A cấp n gọi là chéo hóa được nếu tồn tại ma trận vuông cấp n
khả đảo P sao cho P −1 A.P = D là một ma trận chéo. Lúc đó ta nói ma trận P làm chéo A
hay ma trận A được chéo hóa bởi ma trận P.
c Định lý: Ma trận A vuông cấp n chéo hóa được nếu A có n vectơ riêng độc
lập tuyến tính
d Hệ quả:

• Nếu một ma trận vuông cấp n có n giá trị riêng phân biệt thì ma trận đó chéo hóa
được.
• Nếu một ma trận vuông cấp n có n giá trị riêng (có thể trùng nhau) và số vectơ
riêng độc lập tuyến tính ứng với mỗi trị riêng bằng số bội của trị riêng đó thì ma
trận đó chéo hóa được.
3.3.2 Thuật toán chéo hóa một ma trận vuông:
Bước 1: Tìm giá trị riêng:
• Số GTR < n: không chéo hóa được
• Số GTR = n: có thể chéo hóa được,gọi {λ1, λ2, …, λn}là các GTR , sang bước 2
Bước 2: Tìm các vectơ riêng độc lập tuyến tính
• Số VTR đltt < n: không chéo hóa được
• Số VTR đltt = n: chéo hóa được, gọi {p1, p2, …, pn} là các VTR ,sang bước 3:
Bước 3:
S −1. A.S = C
•
Ma trận S làm chéo A : S = [ [p1][p2] …[pn] ]
⎡λ1 o ... 0 ⎤
⎢ 0 λ ... 0 ⎥
•
2
⎥
Ma trận chéo C : C = ⎢
⎢ ...
⎢
⎣0

... ... ... ⎥
⎥
0 ... λn ⎦

VD: Chéo hóa (nếu được) các ma trận sau đây :
⎡ 2 −1 3 ⎤
A = ⎢⎢ 0 − 3 0 ⎥⎥
⎣⎢− 1 0 − 2⎦⎥

⎡ 3 − 2 0⎤
, B = ⎢⎢− 2 3 0⎥⎥
0 5⎥⎦
⎣⎢ 0

3.4 DẠNG SONG TUYẾN TÍNH – DẠNG TÒAN PHƯƠNG :
3.4.1 Định nghĩa :
Trang 3


1)Dạng song tuyến tính: Cho ma trận vuông A= (aij ) n và 2n biến x1 , x2 ,..., xn và
y1 , y 2 ,..., y n . Dạng song tuyến tính là biểu thức có dạng:
B = a11 x1 y1 + a12 x1 y 2 + ... + a1n x1 y n
+ a 21 x2 y1 + a 22 x2 y 2 + ... + a2 n x2 y n
+ ...........................................
+ a n1 xn y1 + an 2 xn y 2 + ...ann xn y n

=

n

n

∑∑ a
i =1 j =1

ij

xi y j

⎡ x1 ⎤
⎡ y1 ⎤
⎢x ⎥
⎢y ⎥
2⎥
⎢
và Y = ⎢ 2 ⎥ thì dạng song tuyến tính B có thể viết : B = X t AY
nếu ký hiệu : X =
⎢ ... ⎥
⎢ ... ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ xn ⎦
⎣ yn ⎦

Ma trận A được gọi là ma trận của dạng song tuyến tính B.
VD: Dạng song tuyến tính :
B = 2 x1 y1 + x1 y 2 + x2 y1 -3 x2 y2 +2 x2 y3 +4 x3 y1 + x3 y3
⎡2 1 0⎤
Có ma trận A= ⎢⎢1 − 3 2⎥⎥
⎢⎣4 0 1 ⎥⎦

2)Dạng toàn phương: Cho ma trận đối xứng A = (aij ) n .
Dạng toàn phương Q của n biến x1 , x2 ,..., xn là biểu thức có dạng:
Q = a11 x12 + a12 x1 x2 + ... + a1n x1 xn

+ a21 x2 x1 + a 22 x22 + ... + a 2 n x2 xn
+ ..........................................
+ an1 xn x1 + ................. + a nn x n2

=

n

n

∑∑ a
i =1 j =1

ij

xi x j trong đó aij = a ji

⎡ x1 ⎤
⎢x ⎥
nếu ký hiệu X = ⎢ 2 ⎥ thì dạng toàn phương Q có thể viết Q = X t AX
⎢ ... ⎥
⎢ ⎥
⎣ xn ⎦

3.4.2 Ma trận của dạng toàn phương:
Ma trận đối xứng A được gọi là ma trận của dạng toàn phương Q.
Trang 4


Ghi chú :Do aij = a ji và xi x j = x j xi nên dạng toàn phương Q còn có thể viết thành:

Q = a11 x12 + a22 x22 + ... + ann xn2 + 2

∑a

1≤i ≤ j ≤ n

ij

xi y j =

n

∑a
i =1

x +2

2
ii i

∑a

1≤i ≤ j ≤ n

x yj

ij i

VD : Cho dạng toàn phương
Q= x12 + 2 x22 − 3x32 + 2 x1 x2 − 4 x1 x3 + x2 x3

⎡1
⎢
Ma trận đối xứng của dạng toàn phương Q là : A= ⎢ 1
⎢
⎢⎣− 2

1 − 2⎤
⎥
2 1 ⎥
2⎥
1
− 3⎥
2
⎦

3.4.3 Dạng chính tắc của dạng toàn phương :
Dạng toàn phương chỉ có các số hạng bình phương .( aij = o, i ≠ j )
⎡a11
⎢
A= ⎢
⎢
⎢
⎣

Ma trận của dạng chính tắc là ma trận chéo:

a12

⎤
⎥

⎥
⎥
...
⎥
ann ⎦

VD: Dạng chính tắc Q = 2 x12 + 3x22 − 4 x32
⎡2 0 0 ⎤
có ma trận A= ⎢⎢0 3 0 ⎥⎥
⎢⎣0 0 − 4⎥⎦

3.5 ĐƯA DẠNG TOÀN PHƯƠNG VỀ DẠNG CHÍNH TẮC :
Phương pháp Lagrange:
n

Cho dạng toàn phương Q = ∑ aii xi2 + 2
i =1

∑a

1≤i ≤ j ≤ n

x yj

ij i

Bước 1: giả sử a11 ≠ 0 ,nhóm các số hạng có chứa x1 , thêm bớt để có một bình phương đủ
Q = α1 ( x1 + β1 ) 2 + Q1 trong đó Q1 không chứa x1
Bước 2: Biến đổi Q1 như trên ta có :
Q1 = α 2 ( x2 + β 2 ) 2 + Q2 trong đó Q2 không chứa x2

Tiếp tục như trên ,nhiều nhất sau n bước ta được Q là tổng các bình phương :
Q = α1 ( x1 + β1 ) 2 + α 2 ( x2 + β 2 ) 2 +…+ α n ( xn + β n ) 2
Bước 3: Đặt xi' = xi + β i ( i = 1, n ) ta có :
Q = α 1 x1'2 + α 2 x2'2 + ... + α n xn'2 đây là dạng chính tắc của dạng toàn phương Q.
VD: Đưa dạng toàn phương sau đây về dạng chính tắc :
Q = x12 + 2 x22 + 4 x32 − 4 x1 x2 + 6 x1 x3

3.6 XÁC ĐỊNH DẤU DẠNG TOÀN PHƯƠNG :
3.6.1 Định nghĩa : Cho dạng toàn phương Q(x).
Trang 5


* Q(x) xác định dương (hoặc xác định âm ) nếu Q(x)>0 (hoặc Q ( x ) <0 ) , ∀x ∈ R n , x ≠ 0
* Q(x) nửa xác định dương (hoặc nửa xác định âm ) nếu Q(x) ≥ 0 (hoặc Q(x) ≤ 0 ) ,
∀x ∈ R n , ∃x0 ∈ R n , x0 ≠ 0 sao cho Q( x0 ) = 0

3.6.2 Định lý 1: (tiêu chuẩn Sylvester)
Cho dạng toàn phương Q(x) có ma trận A.Gọi Δ i ( i = 1, n ) là các định thức con
chính của A
* Q(x) xác định dương ⇔ Δ i > 0 ( i = 1, n )
* Q(x) xác định âm ⇔ Δ i < 0 với i lẻ và Δ i >0 với i chẵn
3.6.3 Định lý 2:
- Nếu Q(x) có dạng chính tắc : Q(x)= α1 x1'2 + α 2 x2'2 + ... + α n xn'2 thì :
* Q(x) xác định dương ⇔ Δ i > 0 ( i = 1, n )
⇔ Δ i <0 ( i = 1, n )
* Q(x) xác định âm
- Nếu Q(x) có dạng chính tắc : Q ( x ) = α1 x1'2 + α 2 x2'2 + ... + α r xr'2 (r < n) thì :

* Q(x) nửa xác định dương ⇔ Δ i > 0 ( i = 1, r )
⇔ Δ i <0 ( i = 1, r )

* Q(x) nửa xác định âm
VD: Đưa dạng toàn phương sau đây về dạng chính tắc, chỉ ra phép biến đổi toạ độ tương
ứng và xác định dấu của nó trong R3

a) Q = x12 + 2 x22 + 3x32 − 4 x1 x2 + 2 x1 x3 − 6 x2 x3
b) Q = x12 + 6 x22 + 12 x32 + 4 x1 x2 − 2 x1 x3 − 12 x2 x3
c) Q = 2 x12 + x22 + λx32 + 2 x1 x2 + 4 x1 x3

Trang 6