Bài giảng Lý thuyết tín hiệu Chương 2

Bài giảng Lý thuyết tín hiệu
Biên soạn Ths Thái Quang Tâm

CHƯƠNG 2: TÍN HIỆU XÁC ĐỊNH
2.1 Các thông số đặc trưng:
2.1.1 Tích phân tín hiệu:


 x    x(t)dt,t  (; )


t2

 x    x(t)dt,t  (t1;t 2 )
t1

2.1.2 Trò trung bình :
t

1 2
x 
x(t)dt,t   t1 ;t 2 
t 2  t1 t1
T

1
x  lim
x(t)dt,t  (; )
T 2T 
T
x 

1
T

t0 T



x(t)dt

, x(t) tuần hoàn chu kỳ T.

t0

2.1.3 Năng lượng tín hiệu:


Ex 

2

 x (t)dt,t  (; )


t2

E x   x 2 (t)dt,t   t1; t 2 
t1

2.1.4 Công suất tín hiệu:

t

Px 

1 2 2
x (t)dt,t   t1; t 2 
t 2  t1 t1
T

1
x2 (t)dt,t  (; )
T 2T 
T

Px  lim
Px 

1
T

to T



x 2 (t)dt , x(t) tuần hoàn chu kỳ T

t0

Trang 6

Bài giảng Lý thuyết tín hiệu
Biên soạn Ths Thái Quang Tâm

2.2 Các tín hiệu xác đònh:
2.2.1 Tín hiệu năng lượng:
a. Xung vuông:

x(t)  (t) 

1

t

< ½

0

t

> ½

½ t

=½
x(t)

1

0

-1/2
1/ 2

Tích phân:

x 

 1dt  t

1/ 2
1/ 2

1

1/ 2

1/ 2

Năng lượng: E x 



12 dt  1

1/ 2

tc

 b 

Tổng quát: x(t)  a 
a: biên độ xung
b: độ rộng xung
c: toạ độ xung

x(t)

Trang 7
a

1/2

t


Bài giảng Lý thuyết tín hiệu
Biên soạn Ths Thái Quang Tâm

c

Tích phân:  x  

b
2

 a dt  a.b
c

b

2

c

b
2
2

Năng lượng: E x 

2

 a dt  a .b
c

b
2

Phát triển: dòch trái, dòch phải…
b. Xung tam giác:
1–t

0  t 1

1+t

-1  t  0

x(t) = A (t) =

[x] = 1; Ex = 2/3
x(t)

-1 0 1

t

t
 

x(t) = A   
T
x(t)
A

-T

0

T

Trang 8

t


Bài giảng Lý thuyết tín hiệu
Biên soạn Ths Thái Quang Tâm

 t t 

x(t)  A 0 
 T 
2
x  A2T
3
x(t)

0 t0–T t0

t

t0tt

c. Haøm muõ suy giaûm:
e-t

t>0

0

t<0

x(t) =
= e-t . 1(t)
x(t)
1
e-t
t

0



x   e t dt 
0



E x   e 2xt dt 
0

1

1
2

 t

x(t)  e
2
1
 x   ,Ex 


x(t)

e-t
t

0

Trang 9


Bi ging Lý thuyt tớn hiu
Biờn son Ths Thỏi Quang Tõm

d. Haứm sa:
sin 0 t

t0

0 t

x(t) Sa0 t

1

sin 0 t = o t

t=0
x(t)

k
0

0

2
0

t

2
0

e) Haứm Sa2
sin 2 0 t

x(t) Sa2 0 t

0 t

2

1

t0

t=0

x(t)

0


0

2.2.2 Tớn hieọu coõng suaỏt
a. Haứm ủụn vũ: 1 (t)
1

t0

1 (t) =

Trang 10

t


Bài giảng Lý thuyết tín hiệu
Biên soạn Ths Thái Quang Tâm

0

t<0
1(t)

t

0

- Trò trung bình của hàm 1 (t)
T

T

1
1
1

1(t)dt  lim
1dt 
T  2T 
T  2T 
2
T
0

x  lim

- Công suất trung bình hữu hạn:
T

T

1
1
1
2
1(t) dt  lim
1dt 



T 2T
T  2T
2
T
0

Px  lim

- Dòch phải hàm 1(t) một đoạn t0
1(t-t0))

1(t)  1 (t – t0)
1

t

0
t0

Vd: Cho hàm
x(t) = t [1(t) – 1(t – to)] + 1 (t – to)
x(t)
1

0

t

1

b. Hàm dấu Sgn (t)

Sgn (t) =

1

t>o

0

t=0

-1

t<0
Sgn(t)
1

0

Trang 11
t


Bài giảng Lý thuyết tín hiệu
Biên soạn Ths Thái Quang Tâm

- Trò trung bình hàm Sgn (t):
T

1
Sgn(t)dt  o
T 2T 
T

x  lim

- Công suất trung bình hữu hạn:
T

1
2
Sgn(t)  1


T 2T
T

Px  lim

c. Hàm mũ tăng dần
x(t) = (1 – e-t) 1 (t)

x(t)
(1-e-t).1(t)

t

0

- Trò trung bình hàm x(t)
T

T

1

1
1
x  t  dt  lim
(1  e t )dt 


T  2T
T  2T
2
T
0

x  lim

- Công suất trung bình hữu hạn:
T

1
1
Px  lim
(1  e t )2 dt 

T 2T
2
0

2.2.3. Hàm tuần hoàn
a. Hàm sin:
t(- , + )

x(t )  A sin ot
x(t)

0



2
Trang 12

t


Bài giảng Lý thuyết tín hiệu
Biên soạn Ths Thái Quang Tâm

-

Trò trung bình của hàm sin:

1
 x 
T
-

to  t


to

1
x ( t ) dt 
T

2



A sin  o tdt  o

o

Công suất trung bình hữu hạn:
T

Px 

1
A2
2
(
A
sin

t
)
dt

o
T o

2

b. Dãy xung vuông lưỡng cực:
x(t)
A
T/2 T

t

0
-A

-

Trò trung bình:
T

1
 x   x(t )dt  o
T o

-

Công xuất:
T

1
Px   x 2 (t )dt  A2
T o

c. Dãy xung vuông đơn cực:
x(t)

-T

0

Trang 13

t
T


Bài giảng Lý thuyết tín hiệu
Biên soạn Ths Thái Quang Tâm

- Trò trung bình:
T

 x 

1
A
x(t )dt 

T o
T

- Công suất:
T

Px 

1 2
A2 
x
(
t
)
dt

T o
T

2.2.4. Hàm phân bố:
a. Phân bố Dirac (t):

(t) =


o



t=o
to

  (t ) dt  1

thỏa

a



(t)

1
t

0

- Dòch đoạn to
(t-t0)

t0

t

- Tính chất:
Trang 14


Bài giảng Lý thuyết tín hiệu
Biên soạn Ths Thái Quang Tâm



+



a (t )  a , a  R




+



 ( t ') d t '  1



+
+

x ( t ) ( t )  x ( o )  ( t )
x ( t ) ( t  t o )  x ( t o )  ( t  t o )


+

x ( t ) ( t ) dt  x ( o )





+



x ( t ) ( t  t o ) dt  x ( t o )




+

 t 
    to  (t )
 to 

+

Tính chất lặp:

x (t ) *  (t )  x (t )
x (t ) *  (t  to )  x (to )

b. Hàm phân bố lược:


III (t ) 

  (t  n)

n  o, 1, 2,...

n 

III(t)

-3 -2 -1 0

-

1 2 3

Tính chất:

t 
III       (t  n)
 
n 
1
 t  
 III      (t  nT )
T
 T  n 

Trang 15

t


Bài giảng Lý thuyết tín hiệu
Biên soạn Ths Thái Quang Tâm

Hàm phân bố lược có chu kỳ T
1
t
III( )
T
T

-2T -T 0

T 2T

t

Tính chất rời rạc:


x(t ).III (t ) 

 x(n). (t  n)

n 

Cho


x(t) = Asin ot
1
t
x(t ). III   x(nT ). (t  nT )
T

T n 

x(t)

t

0 0

III(t)

t

0

x(t).III(t)

t

Trang 16


Bài giảng Lý thuyết tín hiệu
Biên soạn Ths Thái Quang Tâm

Tính chất lặp tuần hoàn:


x(t )  III (t ) 

 x(t  n)

n 

1  t  
x(t )  III     x(t  nT )
T  T  n
Để lặp không bò méo thì thời hạn của x(t) phải nhỏ hơn chu kỳ T của
hàm phân bố.
x(t)

-

Cho x(t) là xung vuông:

t


x(t)*

1
t
III( )
T
T

0
t
-T

T



Trang 17

2T


Bài giảng Lý thuyết tín hiệu
Biên soạn Ths Thái Quang Tâm

2.3. Phân tích các tín hiệu ra các thành phần
Phân tích thành thành phần thực – ảo:
- Tín hiệu x(t) xác đònh phức có dạng:
x(t) = Rex(t) + jImx(t)
- Liên hiệp phức:
x*(t) = Rex(t) - jImx(t)

Suy ra:

R

e

Im
Vd: cho

1
x (t )  x * (t ) 
2

1
x (t ) 
x (t )  x * (t ) 
2 j
x (t ) 

x (t )  e

j t

 x * (t )  e 

1
 e j  o t  e  j  o t   c o s  o t
2
1
 e j  o t  e  j  o t   s i n  o t
I m x (t ) 
2 j
E x  E Re x  E Im x

R

Tính chất:

j o t

x (t ) 

e

Px  PR e x  PI m x
Vd:

Px 

1
T

T

 1dt 1
o

PR e x

1

T

T

 cos

2

 o td t 

o

T

PI m x 

1
1
sin 2  o tdt 

T o
2

 Px  PR e x  PI m x  1
Thành phần chẵn – lẻ:
ĐN
:

1
 x(t )  x(t )
2
1
xl (t )   x (t )  x(t )
2
 x (t )  xch (t )  xl (t )Trang 18

T/c:

E x  E xch  E xl

xch (t ) 

P P P

1
2


Bài giảng Lý thuyết tín hiệu
Biên soạn Ths Thái Quang Tâm

Thành phần DC – AC
x(t) = x  x
Với
x   x
Vd: cho x(t) = cos2 ot
Ta có:

1 1
 cos 2ot
2 2
1
 x   x 
2
1
 x  x  x  cos 2ot
2

x(t) =

2.4. Phân tích tương quan tín hiệu
2.4.1. Hàm tương quan của tín hiệu năng lượng

Cho hai tín hiệu năng lượng x(t), y(t). hàm tương quan xy()


+

 xy (  ) 



x ( t ). y * ( t   ) d t




+

 xy (  ) 



x ( t   ). y * ( t ) d t




+

 yx (  ) 



y ( t ). x * ( t   ) d t




+

 yx (  ) 



y ( t   ). x * ( t ) d t



Vd:

 t 
x ( t )  3 

 2T 
 t 
y (t )   

T 
Trang 19


Bài giảng Lý thuyết tín hiệu

Biên soạn Ths Thái Quang Tâm

x(t), y(t)

Tìm  xy ()  ?

3
1
0

T
2

T

T
2

T

T T
2 
Xeùt : *  > o
TH1:  

3T
2

:  xy ()  o
T

T
3T
TH2:
 
2
2

:

 xy () 

 3T

3.1dt  3 
 
 2

T




2



T
TH3: o   
2

:

 xy () 

T
2



3.1dt  3T

T

2

*T
  o
:
 xy ()  3T
2
3T
T
 3T


 
:  xy ()  3.   
2

2
 2

3T

:  xy     o
2

Trang 20

t


Bi ging Lý thuyt tớn hiu
Biờn son Ths Thỏi Quang Tõm

Haứm tửù tửụng quan:


xy

x(t ).x * t dt




x

x(t ) x * t dt

2.4.2. Haứm tửụng quan cuỷa tớn hieọu tuan hoaứn






xy

xy

yx

yx



1

T





1
T

1

T
1

T

to t



x (t ). y * (t ) d t

to
to t



x (t ). y * (t ) d t

to
to t



y (t ).x * (t ) d t

to
to t

y (t ).x * (t ) d t

to

Haứm tửù tửụng quan:

1
x (t )
T

t o t

x(t).x *(t )dt
to

Vd1:

u(t ) U o cos(ot u )
i(t ) Io cos(ot c )
Tớnh:

ui ?

Vd2:

Trang 21


Bài giảng Lý thuyết tín hiệu

Biên soạn Ths Thái Quang Tâm

x(t )  A sin(ot   x )
y(t )  B sin(2ot   y )
Tính:

xy ()  ?

xy   

1
Asin ot x .Bsin  2ot  2oy  dt

T

T

AB 1

. cos 3ot 2ox y  cos (ot) x y  2odt  o
T 2 o
2.4.3 Hàm tương quan của tín hiệu công suất :
T

1
xy ()  lim 
x(t).y *(t  )dt
T 
2T T
T

1
x(t  ).y *(t)dt
T  2T 
T

xy ()  lim

T

1
xy ()  lim
y(t).x *(t  )dt
T  2T 
T
T

1
y(t  ).x *(t)dt
T  2T 
T

xy ()  lim

Hàm tự tương quan:
T

1
x(t).x *(t  )dt
T 2T 

T

x ()  lim

T

1
x ()  lim
x(t  ).x *(t)dt
T 2T 
T

Vd1: x(t) = 1 (t)
Y(t) = (1 – e-t) . 1 (t)
xy() =?
T

Xét  > 0: xy() = Tlim


1
1.(1  e (t ) )dt

2T 

Trang 22


Bài giảng Lý thuyết tín hiệu
Biên soạn Ths Thái Quang Tâm

T

1
1.(1  e(t ) )dt
T 2T 
0

  0 : xy ()  lim

Vd2: x (t) = 1 (t)
y(t) = e-t . 1 (t)


  0 : xy ()   1.e (t )dt  1



  0 : xy ()   1.e (t )dt  e 
0

2.5 Tích chaäp:


x(t)* y(y) 

 x(t)'.y(t  t ')dt '



x(t’)

'
dt




Tích chaäp

y(t’)
Gaáp

Chôø t
y(t-t’)

y(t’)

t

Vd: cho x(t) =   
2
-t
y(t) = e . 1 (t)

x(t)

t

y(t)

t

k(t)

Trang 23
-1

1
1

t


Bài giảng Lý thuyết tín hiệu
Biên soạn Ths Thái Quang Tâm

K(t) = x(t) * y(t)
Nếu t < -1 : K(t) = 0
t  1:
t

K(t)   1.e t '  t dt '  1  e  (t 1)
1

t  1:
1

K(t)   1.e t '  t dt '  e t ' t

1

1

 e1 t  e 1 t

1

2.6. Phân tích phổ tín hiệu :
2.6.1. Cặp biến đổi Fourier:


X() 

 x(t).e

 jt

dt





x() 

1
jt
 X().e dt
2  

* Chuỗi phức Fourier:



x(t) 

 Xne

jt

n 

T

1
X n ()   x(t).e  jo t dt
To
o 

2
T

Tín hiệu tuần hoàn: T là chu kỳ
Tín hiệu không tuần hoàn: T là thời hạn
* Chuỗi lượng giác Fourier:


x(t)  ao 

 (a

n

cos no t  b n sin no t)

n 

Với

1
ao 
T

to  t

2
an 
T

to  t

2

to  t



x(t)dt

to



to

x(t) cos no tdtTrang 24


Bài giảng Lý thuyết tín hiệu
Biên soạn Ths Thái Quang Tâm

2.6.2. Tính chất:
1. ax(t)  by(t)  aX()  by()
2. x(t)  X()
X(t)  2 x()

3. Dòch chuyển trong miền thời gian
x(t)  X ()
x(t – t0)  X (). e jt

0

4. Dòch chuyển trong miền tần số
x(t)  X()
x(t).e j0t  X( 0 )

5. Vi phân miền tần số
d n X()
( jt) x(t) 
dn
n

6. Vi phân trong miền thời gian
d n x(t)
 (j)n .x()
n
dt
7. Tích chập
x(t)* y(t)  x().y()
1
x(t).y(t)  x()*y()
2
8. Đònh lý điều chế
1
x(t).cos rt   X( r)  X( r)
2
1
x(t).sin rt   X( r)  X( r)
2j
9. Đònh lý năng lượng

Trang 25


Bài giảng Lý thuyết tín hiệu
Biên soạn Ths Thái Quang Tâm


Ex 

1
 X()

2 

Với: X()  X() e j()
Phổ pha
Phổ biên độ
2.6.3 Các ví dụ về phổ tín hiệu:
t
1. x(t)  e .1(t)

1
X()   e jwt dt 
  j
0
 t
2. x(t)  e
2
X()  2
  2

t

T

3. x(t)      X()  TSa
2
T
4. x(t)  Sa0 t  X() 

Ta có: X(t)  TSa

   


0  20 

t.T
  
 2  

2
 T 

Đặt: T  0  T  20
2

  
 20 Sa0 t  2 

 20 
   
Sa0 t 


0  20 

5.
T
t
x(t)      X()  TSa2
2

T
   
x(t)  Sa20 t 


0  20  Trang 26


Bài giảng Lý thuyết tín hiệu
Biên soạn Ths Thái Quang Tâm

Ta có: (t)  TSa2
Đặt:

0 

t.T
  
 2 x()  2   

2
 T 

  
T
 T  20  20 Sa2 0  2  

2
 20 

Sa2 0 

   


0  20 

6.
x(t)  e t .1(t).sin 0 t
X() 

0
,  0
(  j0 )2  20

2.6.4. Phổ Fourier giới hạn:
1. Phân bố Dirac:
 x (t) =  (t)  X () = 1
 x (t) = 1  X () = 2  ()

2. Hàm Sgnt:
x  t    gnt  X    

2
j

3. Hàm đơn vò:
1 t   X        

1

j

4.
cos 0t.1 t  

1
1
1
    0  
    0  
2
j    0 
j   0 

Trang 27




Bài giảng Lý thuyết tín hiệu
Biên soạn Ths Thái Quang Tâm



j
   0      0   2
2
2
0   2



5.



   0      0   2 0 2
2j
2j
0  

sin 0 t.1 t  

6.
cos 0t   S    0    S   0 
sin 0t 



S   0   S   0 
j
j

7. e j t  2   0 
0

2.6.5. Phổ của tín hiệu tuần hoàn:


x t  

 Xn.e

jn0t

n 


 X    2

 XnS   n 
0

n 

Với

Xn 

1 t0 T
 x  t  .e  jn0t dt
T t0

Cách tính Xn:
Xét
t0 +T)

xT (t) là tín hiệu hiệu trong một chu kỳ (t0,
t0  T

X T     x  t  .e jt dt
t0

a.

 Xn 

X T  n0 

Dãy xung vuông đơn cực:

T
x(t)

-T



2


2

Trang 28

t
T


Bài giảng Lý thuyết tín hiệu

Biên soạn Ths Thái Quang Tâm

C1:

X    2  XnS   n 0 
Xn 


2

1
T



A.e  jn 0 t dt 


2

A

San 0
T
2

C2:
x

T

X

T

X

n

 t 
A 

  

   A  S a
2
1
A
n 0 

X T ( n 0 ) 
Sa
T
T
2

t  

X     2 

n 0 
A
Sa
    n 0 
T
2

b. Phaân boá löôïc:

x t  

1
 t 
III       t  nT
T
T 

-2T

-T

0

T



2T

X    2  X n    n 0 

T

C1:

1
Xn 
T

2

   t  .e

T
2

 jn0 t

dt 

1
T

Trang 29


Bài giảng Lý thuyết tín hiệu
Biên soạn Ths Thái Quang Tâm

C2:   t   1

Xn 

X T  n0 

T
2
X   
T

Vd: Cho



1
T



1
    n    . 
0

0

n 

0

 
III  

 0 

 t  1
 * III  t 
x t   A  
T  T
T 
 3

Xaùc ñònh vaø veõ X()
 t 
  X T     AT Sa 2 T
xT  t   A  
T


3
6
 3

X  n0 

A 2 n0T
Sa
T
3
6

n T
A

X     2  Sa 2 0    n0 
6
n  3

 Xn 

Vôùi

0 



2
T

-30

-20 - 0 0

0 20 30

Trang 30