Bồi dưỡng đại số 8

Trờng THCS Đông Phơng Yên

Bồi dỡng toán 8

Bồi dỡng đại số 8
Chơng I: Nhân chia đa thức
Bài 1: Nhân đơn thức với đa thức
Quy tắc: Muốn nhân một đơn thức với một đa thức ta nhân đơn thức với từng hạng tử
của đa thức rồi cộng các tích với nhau.
Ví dụ 1: Làm tính nhân:
1
2
a) 3x(5x2 - 2x - 2);
b) x 2 y (2 x 3 xy 2 1) .
2
5
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức:
a) 3x(x-2) - 5x(1-x) -8(x2-3);
b) x(5x - 3) - x2(x - 1) + x(x2 - 6x) - 10 + 3x.
Ví dụ 3: Tính giá trị của biểu thức:
A = x4 - 17x3 + 17x2 - 17x + 20 tại x = 16.
(Cách 1: Thay 17 = x+1; Cách 2: biến đổi biểu thức A về dạng chứa biểu thức x-16)
Ví dụ 4: Tính chất: Nếu hai đa thức f(x) và g(x) bằng nhau với mọi x thì các hệ số
của các hạng tử cùng bậc của hai đa thức bằng nhau
áp dụng tính chất trên, hãy tìm các hệ số a, b, c biết rằng.
-3x3(2ax2 - bx + c) = -6x5 + 9x4 - 3x3 với mọi x.
Bài tập
1. Làm tính nhân:
a) 4x3y2(14x - x3y + 2xyz - 7y2);b) (8m2x - 3my +y2 - 4ny)(-7mxy2).
2. Tính giá trị của biểu thức:
a) M= 2x(x - 3y) - 3y(x + 2) - 2(x2 - 3y - 4xy)

Với x =



2
3
3,y= 4;

1
1
290 1
2
.2

.

337 291 291 337 291.337
1
1
(Hớng dẫn: Đặt
= a,
= b, rồi rút gọn)
337
291

b) N =

3. Giải phơng trình.
1
1

1
a) x2 x 4 ữ. x = 14 ;
b) 2y(y - 1) - y(4 - y) = 0.
4
2
2
4. Rút gọn biểu thức.
a) 5n+1 - 2.5n;
b) 2xn-1(xn+1 - yn+1) + yn+1(2xn-1 - yn-1).
5. Chứng minh rằng:
a) 85 + 164 chia hết cho 3;
b) 28 + 29 + 210 chia hết cho 7.
Bài tập nâng cao
1. Thực hiện phép tính:
a) {4x-2(x-3)-3[x-3(4-2x)+8]}.(-3x); b) 5(3x2-4y3)+[9(2x2-y3)-2(x2-5y3)]
c) 3x2(2y-1)-[2x2(5y-3)-2x(3x2+1)]; d) 3xn(6xn+3+1)-2xn(9xn+3-1).
2. Tìm x biết.
a) 4(x+2)-7(2x-1)+9(3x-4) = 30;
b) 2(5x-8)-3(4x-5) = 4(3x-4)+11;
c) 5x(1-2x)-3x(x+18) = 0
d) 5x-3{4x-2[4x-3(5x-2)]} = 182;
e) 5(3x+5)-4(2x-3) = 5x+3(2x+12)+1;
f) 4(18-5x)-12(3x-7) = 15(2x-16)-6(x+14);
3. Tính giá trị của các biểu thức:
a) A = 3x(5x2-4)+x2(8-15x2)-8x2 với |x| = 3;
b) B = x3(x2-y2)+y2(x3-y3) với x=2, |y| = 1;
c) C = x3-30x2-31x+1 tại x = 31;
Giáo viên: Đỗ Xuân Thuỷ

Trờng THCS Đông Phơng Yên
Bồi dỡng toán 8
5
4
3
2
d) D = x -15x +16x -29x +13x tại x = 14;
e) E = x14-10x13+10x12-10x11++10x2-10x+10 tại x = 9.
4. Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biểu
thức:
a) x(3x+12)-(7x-20)+x2(2x-3)-x(2x2+5);
b) 3(2x-1)-5(x-3)+6(3x-4)-19x;
c) 5(3xn+1-yn-1)+3(xn+1+5yn-1)-5(3xn+1+2yn-1)-(3xn+1-10).
5. a) Tìm các hệ số a, b, c biết rằng:
3x2(ax2-2bx-3c) = 3x4-12x3+27x2 với mọi x.
b) Tìm các hệ số m, n, p biết rằng:
-3xk(mx2+nx+p) = 3xk+2-12xk+1+3xk với mọi x.
Bài 2: Nhân đa thức với đa thức
1. Quy tắc: Muốn nhân một đa thức với một đa thức ta nhân mỗi hạng tử của đa thức
này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.
(A + B).(C + D) = AC + AD + BC + BD.
2. Chú ý: Kết quả của phép nhân một đa thức với một đa thức là một đa thức (khi cha
thu gọn các hạng tử đồng dạng) có số hạng bằng tích các số hạng của hai đa thức ban
đầu.
Ví dụ 1: Làm tính nhân:
a) (2x3 + 3y)(2x4y - 3x2y2 + 4y3);
b) (2x + y2)(3x2 - 2y + 1);
3
2
c) (2a - 1 +3a)(a - 5 + 2a).

Ví dụ 2: Cho P = (2x + y)(4x2 - 2xy + y2)
1
1
Tính giá trị của biểu thức P với x = , y =
2
3
Ví dụ 3: Tìm ba số tự nhiên liên tiếp, biết rằng nếu cộng ba tích của hai trong ba số
ấy, ta đợc 242.
Ví dụ 4: Cho các đa thức:
A = -2x2 + 3x +5;
B = x2 - x + 3.
a) Tính A.B;
b) Tính giá trị của A.B với |x| = 2.
Bài tập
1. Làm tính nhân:
a) (x3+2x2y-5xy2-3y3)(5x-4y);
b) (x+1)(x-2)(2x-1).
2. Thực hiện phép tính:
a) 2x2 + 3(x-1)(x+1)-5x(x+1); b) (8-5x)(x+2)+4(x-2)(x+1)+2(x-2)(x+2)+10
c) 4(x-1)(x+5)-(x+2)(x+5)-3(x-1)(x+2);
c) (x2n+xnyn+y2n)(xn-yn)(x3n+y3n).
3. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) (a-1)(a-2) + (a-3)(a+4)-(2a2+5a-34) = -7a + 24;
b) (a+c)(a-c) - b(2a-b) - (a-b+c)(a-b-c) = 0;
c) (a-b)(a2+ab+b2) - (a+b)(a2-ab+b2) = -2b3.
3. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) (a3+a2b+ab2+b3)(a-b) = a4-b4;
b) (a4-a3b+a2b2-ab3+b4)(a+b) = a5+b5.
c) (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab;
d) (x+a)(x+b)(x+c)=x3+(a+b+c)x2+(ab+bc+ac)x + abc.

4. Cho a+b+c = 0. Chứng minh rằng M = N = P với.
M = a(a+b)(a+c);
N = b(b+c)(b+a);
P = c(c+a)(c+b).
3. Cho A = (2x+3)(x-1)-(x+1)(2x-5)-2;
1
1
B = (x-4)(x-2)-(3x+1)( x 2) + 2 x 10 .
3
3
Tìm công thức liên hệ hai biểu thức A và B.
4. Tính giá trị của biểu thức sau một cách nhanh chóng:
Giáo viên: Đỗ Xuân Thuỷ


Trờng THCS Đông Phơng Yên
Bồi dỡng toán 8
1
1 116 118
3
M= 2
.3

.5

.
117 119 117 119 119
5. Giải các phơng trình sau:
a) 3(1-4x)(x-1)+4(3x-2)(x+3) = -27; b) 5(2y+3)(y+2)-2(5y-4)(y-1) = 75.
c) (x+2)(x+3)-(x-2)(x+5) = 0;

d) (2x+3)(x-4)+(x-5)(x-2)=(3x-5)(x-4).
Bài 3: Những hằng đẳng thức đáng nhớ
1. (A+B)2 = A2+2AB+B2
2. (A-B)2 = A2-2AB+B2
3. A2-B2 = (A-B)(A+B)
4. (A+B)3 = A3+3A2B+3AB2+B3
5. (A-B)3 = A3-3A2B+3AB2-B3
6. A3+B3 = (A+B)( A2-AB+B2)
7. A3-B3 = (A-B)( A2+AB+B2)
Ví dụ 1: Điền vào dấu ? sau để đợc đẳng thức đúng:
a) (?+?)2 = x2+?+4y4;
b) (?-?)2 = a2-6ab+?;
1
c) (?+?)2 = ? + m + ;
d) ?-16y4 = (x+?)(x-?);
4
1
1
e) 25a2-? = (?+ b)(?- b).
2
2
Ví dụ 2: Tính nhanh:
A = 572+114.43+432;
b) 54.34-(152-1)(152+1);
C = 502-492+482-472+ .. +22-12.
Ví dụ 3: So sánh hai số sau.
a) A = 1999.2001 và B = 20002.
b) C = (2+1)(22+1)(24+1)(28+1) và D = 216.
Ví dụ 4: Thực hiện các phép tính.
a) (x+y+z)(x+y-z);

b) (a+b+c-d)(a+b-c+d);
c) (x-a)2-(2x-3a)2+(x+2a)(3x+4a);
d) (x+y)3-(x-y)3.
1
1
Ví dụ 5: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức sau với x = , y = 3 .
2
4
P = 5(x+2y)2-(3y+2x)2+(4x-y)2+3(x-2y)(x+2y).
Ví dụ 6: Giải các phơng trình sau.
a) (5x+1)2-(5x+3)(5x-3)=30;
Bài tập:
1, Tính
A, (3+xy2)2
b, (10-2m2n)2
2
2
C, (a-b )(a+b )
d, (a2+2a+3)(a2+2a-3)
3
E, (2y-1)
f, (2y-5)(4y2+10y+25)
2, Viết các đa thức sau dới dạng tích các nhân tử
A, x4 - 4x2+4
b, 9a2+24a2b2+16b4
16
16
C, x -y
d, a3+27
3, Hãy điền vào các dấu ? để biểu thức trở thành bình phơng của một tổng hay hiệu.

A, 4a2x2+4abx+?
B, 1+4x2+?
2
C, 25m -40mn+?
D, x2+px+?
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử
bằng phơng pháp đặt nhân tử chung
Giáo viên: Đỗ Xuân Thuỷ


Trờng THCS Đông Phơng Yên
Bồi dỡng toán 8
1. Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) là biến đổi đa thức thành một tích
của nhiều đơn thức và đa thức khác.
Việc giải nhiều bài toán đòi hỏi phải biết phân tích một đa thức thành nhân tử.
2. Có nhiều phơng pháp phân tích một đa thức thành nhân tử. Phơng pháp thờng
đợc xét đến trớc tiên là phơng pháp đặt nhân tử chung, dựa vào tính chất phân phối
của phép nhân đối với phép cộng các đa thức:
A.B + A.C = A.(B + C)
Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 5x2y2+20x2y-35xy2;
b) 3x(x-2y)+6y(2y-x).
Ví dụ 2: Giải phơng trình:
3x(x-2)-x+2 = 0.
Bài tập:
1. Phân tích thành nhân tử:
a) 40a3b3c2x+12a3b4c2-16a4b5cx;
b) (b-2c)(a-b)-(a+b)(2c-b).
2. Tính nhanh:
a) 3,71.34+66.3,71;

b) 170.22,89-128,9.17.
3. Chứng minh rằng 79m+1-79m chia hết cho 78 (mN).
4. Giải các phơng trình:
a) x2(x+1)+2x(x+1) = 0;
b) x(2x-3)-2(3-2x) = 0.
Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử
bằng phơng pháp dùng hằng đẳng thức
Trong nhiều trờng hợp, ta có thể sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ theo
chiều biến đổi từ một vế là một đa thức sang vế kia là một tích của các nhân tử hoặc
luỹ thừa của một đa thức đơn giản hơn.
Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
12 2 2
4 4
a)9x2+30x+25;
c)
x y 9 x4
y ;
5
25
4
b) x4-16y2;
d) 80x3+60x2y+150xy2+125y3.
9
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta có:
(4n+3)2-25 chia hết cho 8.
Bài tập:
1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) a2y2+b2x2-2abxy;
c) 100-(3x-y)2;
2

2
b) 64x -(8a+b) ;
d) 27x3-a3b3.
2. Tính nhẩm:
a) 252-152;
b) 2052-592;
2
2
c) 36 -14 ;
d) 9502-8502.
3. Tính giá trị của biểu thức sau:
3
M = (x+2)2-2(x+2)(x-8)+(x-8)2 với x = 5 .
4
4. Chứng minh rằng với mọi nZ, biểu thức (2n+3)2-9 chia hết cho 4.
5. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của các
biến:
(x+y-z-t)2-(z+t-x-y)2.
Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử
Giáo viên: Đỗ Xuân Thuỷ


Trờng THCS Đông Phơng Yên
Bồi dỡng toán 8
bằng phơng pháp nhóm nhiều hạng tử
Khi sử dụng phơng pháp này ta cần nhận xét đặc điểm của các hạng tử, nhóm
các hạng tử thích hợp nhằm làm xuất hiện dạng hằng đẳng thức hoặc xuất hiện nhân
tử chung của các nhóm.
Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 3a2c2+bd+3abc+acd;

b) x3 -2x2-x+2.
Bài tập:
1. Phân tích thành nhân tử:
a) a2c-a2d-b2d+b2c;
b) 8x2+4xy-2ax-ay.
2. Phân tích thành nhân tử:
a) x2-y2-2yz-z2;
b) 3a2-6ab+3b2-12c2.
3. Phân tích thành nhân tử:
a) x2-2xy+y2-m2+2mn-n2;
b) a210a+25-y2-2yz-4z2.
4. Phân tích thành nhân tử:
a) 1-2a+2bc+a2-b2-c2;
b) x2+3cd(2-3cd)-10xy-1+25y2.
Bài tập nâng cao:
1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) (ab-1)2+(a+b)2;
b) x3+2x2+2x+1;
c) x3-4x2+12x-27;
4
3
2
4
3
d) x +2x +2x +2x+1;
e) x -2x +2x-1.
2. Phân tích thành nhân tử:
a) x2-2x-4y2-4y;
b) x4+2x3-4x-4;
c) x2(1-x2)-4-4x2;

2
2
2
2
d) x +y -x y +xy-x-y;
e) (1+2x)(1-2x)-x(x+2)(x-2);
3. Chứng minh rằng 1993-199 chia hết cho 200.
4. Tính giá trị của biểu thức sau, biết x3-x = 6:
A = x6-2x4+x3+x2-x.
5. Phân tích thành nhân tử:
a) a(b2+c2+bc)+b(c2+a2+ac)+c(a2+b2+ab);
b) (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc;
c*) a(a+2b)3-b(2a+b)3.
6. Phân tích thành nhân tử:
a) ab(a+b)-bc(b+c)+ac(a-c);
b) a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)+2abc;
c) a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b);
d) a3(c-b2)+b3(a-c2)+c3(b-a3)+abc(abc-1);
2
2
2
2
e) (a+b)(a -b )+(b+c)(b -c )+(c+a)(c2-a2).
7*. Phân tích thành nhân tử:
a) a(b+c)2(b-c)+b(c+a)2(c-a)+c(a+b)2(a-b);
b) a(b-c)3+b(c-a)3+c(a-b)3;
2
2
2
2

2
2
c) a b (a-b)+b c (b-c)+c a (c-a);
d) a4(b-c)+b4(c-a)+c4(a-b);
e) a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)-2abc-a3-b3-c3.
8. Phân tích thành nhân tử:
a) (a+b+c)3-(a+b-c)3-(b+c-a)3-(c+a-b)3;
b) abc-(ab+bc+ca)+(a+b+c)-1.
9. Chứng minh rằng trong 3 số a, b, c tồn tại hai số bằng nhau, nếu:
a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b) = 0.
10. Chứng minh rằng nếu a2+b2 = 2ab thì a = b.
11*. Chứng minh rằng nếu a3+b3+c3 = 3abc và a, b, c là các số dơng thì a = b = c.
12*. Chứng minh rằng nếu a4+b4+c4+d4 = 4abcd và a, b, c, d là các số dơng thì
a = b = c = d.
13. Chứng minh rằng nếu m = a+b+c thì:
(am+bc)(bm+ac)(cm+ab) = (a+b)2(b+c)2(c+a)2.
14. Cho a2+b2 = 1, c2+d2 = 1, ac+bd = 0. Chứng minh rằng ab+cd = 0.
15. Xét hằng đẳng thức (x+1)2 = x2+2x+1
Lần lợt cho x bằng 1, 2, 3, , n rồi cộng từng vế n đẳng thức trên để tính giá trị
của biểu thức S1 = 1+2+3++n.
16*. Bằng phơng pháp tơng tự nh ở bài tập 15, tính giá trị của biểu thức S 3=13+23+33+
+n3.
Giáo viên: Đỗ Xuân Thuỷ


Trờng THCS Đông Phơng Yên
Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân
tử bằng một số các phơng pháp khác

Bồi dỡng toán 8

I. Phơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử.
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
3x2 - 8x + 4
Cách 1: Tách hạng tử thứ 2.
3x2 - 8x + 4 = 3x2 - 6x - 2x + 4 = 3x(x - 2) - 2(x-2) = (x-2)(3x-2).
Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất:
3x2 - 8x + 4 = 4x2 - 8x + 4 - x2 = (2x-2)2 - x2 = (2x-2+x)(2x-2-x) = (x-2)(3x-2).
Chú ý: Khi phân tích tam thức f(x) = ax 2+bx+c thành nhân tử, ta tách hạng tử thức bx
thành b1x + b2x sao cho b1.b2 = ac.
Trong thực hành ta làm nh sau:
Bớc 1: Tìm tích ac;
Bớc 2: Phân tích ac ra tích của hai số nguyên bằng mọi cách;
Bớc 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b.
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
4x2-4x-3
Cách 1: Tách hạng tử thứ 2.
4x2 - 4x - 3 = 4x2 + 2x - 6x - 3 = (2x+1)(2x-3).
Cách 2: Tách hạng tử thứ ba:
4x2 - 4x - 3 = 4x2 - 4x + 1 - 4 = (2x+1)(2x-3).
Nhận xét: Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử nhằm làm xuất hiện:
+ Các hệ số tỉ lệ, nhờ đó làm xuất hiện nhân tử chung.
+ Làm xuất hiện hiệu hai bình phơng.
Với các đa thức có bậc từ bậc ba trở lên, để dễ dàng làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ, ng ời ta thờng sử dụng cách tìm nghiệm của đa thức.
Một số định lý:
* Nếu đa thức f(x) có nghiệm x=p/q thì khi phân tích thành nhân tử đa thức có
thừa số bx-a [Tức f(x) = (qx-p)g(x)].
* Đặc biệt nếu đa thức f(x) có nghiệm x=a thì khi phân tích thành nhân tử đa
thức có thừa số x-a [Tức f(x) = (x-a)g(x)].
* Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ x=p/q thì p là ớc của hệ số tự do, q là ớc của hệ

số bậc cao nhất.
* Đa thức f(x) có nghiệm nguyên x=p thì p là ớc của hệ số tự do.
* Nếu tổng hệ số của đa thức f(x) bằng 0 thì đa thức đó có nghiệm x=1.
* Nếu tổng hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng hệ số ở hạng tử bậc lẻ thì đa
thức đó có nghiệm x=-1.
* Nếu a là nghiệm nguyên của đa thức f(x) và f(1), f(-1) khác 0 thì f(1)/(a-1) và
f(-1)/(a+1) đều là số nguyên.
Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) x3-x2-4;
b) x3-3x2+5x-3;
c) x3-5x2+3x+9;
3
2
3
2
d) 4x -13x +9x-18;
e) 3x -7x +17x-5.
II. Phơng pháp thêm và bớt một hạng tử
1) Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hiệu của hai bình phơng:
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) x4 + 81;
b) 64x4 + y4.
2) Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung:
a) x5+x-1 = (x2 - x + 1)(x3+x2-1)
b) x7+x2+1.
3m+1
3n+2
Chú ý: - Các đa thức dạng x
+ x + 1 đều chứa nhân tử x2 + x + 1
6m+4

- Các đa thức dạng x
+ x6n+2 + 1 đều chứa nhân tử x2 - x + 1
III. Phơng pháp đổi biến:
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) x(x+4)(x+6)(x+10)+128;
b) x4+6x3+7x2-6x+1. (dạng đối xứng đặt x-1/x=t).
IV. Phơng pháp xét giá trị riêng
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
P = x2(y-z)+y2(z-x)+z2(x-y)
Giáo viên: Đỗ Xuân Thuỷ


Trờng THCS Đông Phơng Yên
(Thay x bởi y ta đợc P = 0 vậy đa thức có thừa số x-y
Tơng tự ta có đa thức có thừa số x-y, y-z, z-x
Vậy ta có P = k(x-y)(y-z)(z-x)
=> x2(y-z)+y2(z-x)+z2(x-y) = k(x-y)(y-z)(z-x)
Xét các giá trị riêng của x, y, z ta đợc k=-1.

Bồi dỡng toán 8

Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
1. a) 6x2-11x+3;
b) 2x2+3x-27;
c) 2x2-5xy-3y2.
3
3
2. a) x +2x-3;
b) x -7x+6;
c) x3+5x2+8x+4;

3
2
3
2
d) x -9x +6x+16;
e) x -x -x-2;
g) x3+x2-x+2;
h) x3-6x2-x+30;
i) x3-7x-6 (bằng nhiều cách).
3
2
3. a) 27x -27x +18x-4;
b) 2x3-x2+5x+3;
c) (x2-3)2+16.
2
2
2
2
2
4. a) (x +x) -2(x +x)-15;
b) x +2xy+y -x-y-12;
c) (x2+x+1)(x2+x+2)-12;
d) (x+2)(x+3)(x+4)(x+5)-24.
5. a) (x2+y2+z2)(x+y+z)2+(xy+yz+zx)2 (đặt a= x2+y2+z2; b = xy+yz+zx)
b) (x+a)(x+2a)(x+3a)(x+4a)+a4 (Đặt x2+5ax+5a2 = t)
Đề kiểm tra cuối chơng I
Đề 1:
1. a) Viết dạng tổng quát chia hai luỹ thừa cùng cơ số với số mũ tự nhiên trong trờng
hợp phép chia hết.
b) Viết kết quả dới dạng một luỹ thừa:

( x 1) m : ( x 1) m 3 ;985 : (3) 40

2. Rút gọn biểu thức:

3( x y ) 2 2( x + y ) 2 ( x y )( x + y )

3. Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) x3- x2-x+1
b) x3-3x2-3x+1
4. Làm phép chia:
(2x4-10x3-x2+15x-3) : (2x2-3)
5.* Chứng minh rằng với mọi giá trị nguyên của n, giá trị của biểu thức n 3+3n2+2n
bao giờ cũng viết đợc dới dạng tích của ba số nguyên liên tiếp.
Đề 2:
1. Khi nào ta nói đa thức A chia hết cho đa thức B? Tìm các giá trị tự nhiên của m để
A chia hết cho B:
A=-5xmy7
B=3x3ym
2. Rút gọn biểu thức:
2(2x+5)2-3(4x+1)(1-4x)
3. Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) x3+x2y-4x-4y
b) x3-4x2+4x-1
4. Làm phép chia
(x4-2x3+4x2-8x): (x2+4)
5.* Chứng minh rằng biểu thức x2-xy+y2 không có giá trị âm với mọi giá trị của x và
y.
Đề 3
1. Viết bảy hằng đẳng thức đáng nhớ dới dạng phân tích đa thức thành nhân tử.
2. GiảI phơng trình:

3(x-1)2-3x(x-5)=2
3. phân tích đa thức thành nhân tử
a) x4-x3y-x+y
b) x3-4x2-8x+8
4. Làm phép chia
(x4-x3-3x2+x+2): (x2-1)
Giáo viên: Đỗ Xuân Thuỷ


Trờng THCS Đông Phơng Yên
Bồi dỡng toán 8
5.* Chứng minh rằng hiệu các bình phơng của hai số lẻ bất kì thì chia hết cho 8.

Chơng II Phân thức đại số
Bài 1: Định nghĩa phân thức đại số
A
1. Phân thức đại số là biểu thức có dạng , trong đó A, B là những đa thức và B 0.
B
A là tử thức , B là mẫu thức
2. Tập xác định của một phân thức một biến là tập hợp các giá trị của biến làm cho
mẫu thức khác 0
A( x)
Phân thức
có tập xác định là:
B ( x)
TXĐ = {xQ / B(x) 0}.
Ví Dụ:
Tìm tập xác định của các phân thức sau:
2xy
x+3

a) 2
b) 2
x + y2
x x2
Ví dụ
( x + 2)( x 3)
Với giá trị nào của x thì phân thức
có giá trị bằng 0
2x 5
Bài tập
1. tìm tập xác định của phân thức sau:
2x y
3x 5
5
2 x 2
a)
;
b)
;
c)
;
d)
( x 1) 2 + ( y + 3) 2
16 x 2 9
x 2 + 2 x 15
x2 + 1
x( x + 2)
e) 2
x 2x + 2
2. tính giá trị của các phân thức sau:

3x 2 x
a) 3
với x=1/3
2 x + 3x + 1
x3 8
b)
với x=3; x=2; x=0
x2
c) (x-2)(x2+2x+4)-x(x+3)(x-3) với x=8/9;
5 xy 7 y 2 + 2
d)
với x=- 3/4, y=0
2 y 3 + 3x 2 y y + 3
Giáo viên: Đỗ Xuân Thuỷ


Trờng THCS Đông Phơng Yên
Bồi dỡng toán 8
3. với giá trị nào của các biến thì các phân thức sau đây có giá trị bằng 0
xy x y + 1
2 xyz
a)
;
b) 2
2
2
x + y +1
x + y2 + z2 + 1

Bài 2 Tính chất cơ bản của phân thức đại số

1. Tính chất cơ bản của phân thức đại số:
Nếu nhân hoặc chia tử thức và mẫu thức của một phân thức với cùng một đa thức khác
0 thì đợc một phân thức bằng phân thức đã cho
A/B=A.C/B.C;
A/B=A:C/B:C (C 0)
2. Quy tắc đổi dấu thứ nhất
Nếu đổi dấu cả tử và mẫu thức của một phân thức thì đợc một phân thức bằng phân
thức đã cho
A/B=-A/-B
Ví dụ:
Với x y, hãy viết các phân thức sau dới dạng phân thức có tử là x2-y2:
a) x+y;
b) x-y/x+y;
c) 1/x+y
Ví dụ:
Giải thích rằng đẳng thức sau là đúng:
x 2
x3 + 8
=
x 1 (1 x)( x 2 2 x + 4)
Bài Tập
1. Chứng minh đẳng thức:
b b + b2
2
3
=
2 xy x 2 x
3ax 15amx
a)
;

b) a a + ab ;
c)
=
=
2 y 2 xy y
8b
40bmx
2. Viết các biểu thức sau dới dạng những phân thức có cùng tử:
x 2 xy + y 2
x3 y
xy 2
x+ y
a)
và
;
b) 2
và
xy
x + xy
xy y 2
x
3.Viết các phân thức sau đây dới dạng những phân thức có cùng tử và mẫu là những
đa thức với hệ số nguyên:
7
x+2
15
a)
;
1
2

x +
21
2
2x
+ 3y
b) m
(m,nZ; m 0, n 0) .
y
2
x
n

Giáo viên: Đỗ Xuân Thuỷ


Trờng THCS Đông Phơng Yên

Bồi dỡng toán 8

Bài 3: Rút gọn phân thức
Muốn rút gọn phân thức ta phải:
- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử
- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.
Ví dụ:
Rút gọn các phân thức sau:
12acx 2
7a 3 x + 7ax 3
a)
;
b)

26a 2c 2 x
a4 x4
Ví dụ:
Chứng minh đẳng thức:
2x 2 y 3 + 3y 2x 3
=
( y 1)
1 3 y + 3 y 2 y 3 (1 y )2
Ví dụ:
Rút gọn phân thức sau đây:
2 x4
2
x + x 20
Bài tập
1. Rút gọn các phân thức sau:
38m 2 n 2 p 2
57 a 2b 2
a)
b)
;
57m 4 n 4 p
19a 2
x 2 2ax + a 2
x8 1
c) 2
;
d) 4
x (a + b) x + ab
( x + 1)( x 2 1)
2. Rút gọn các phân thức sau:

25 10 x + x 2
4 x 2 + 12 x + 9
a)
;
b)
xy 5 y
2x2 x 6
2
2
2
2 xy x + z y
3 x4
c) 2
;
d) 2
2
2
x + z y + 2 xz
3 x 3x 36
3. Chứng minh đẳng thức:
a 3 4a 2 a 4
a +1
x 4 + x3 + x + 1
( x + 1) 2
a) 3
;
b) 4
=
=
a 7 a 2 + 14a 8 a 2

x x3 + 2 x 2 x + 1 x 2 + 1
4. Tính giá trị của biểu thức:
m3 n3 3mn( m n)
với m=6.75, n=-3.25.
m 2 + n 2 2mn
5. Giải các phơng trình:
1
a) 2ax + a= 4a2 + x ( a )
2
b) ax- b2+2ab= a2+ bx (a b)
Bài 4: Quy đồng mẫu thức của nhiều phân thức
Giáo viên: Đỗ Xuân Thuỷ


Trờng THCS Đông Phơng Yên

Bồi dỡng toán 8

1. Tìm mẫu thức chung
Muốn tìm mẫu thức chung của các phân thức đã cho ta phải:
- Phân tích các mẫu thức thành nhân tử.
- Lờy tích của BCNN của các hệ số với các luỹ thừa có mặt trong các mẫu thức,
số mũ của mỗi luỹ thừa là số mũ cao nhất của nó2.
2. Quy đồng mẫu thức
Muốn quy đồng mẫu thức ta phải:
-Tìm mẫu thức chung.
- Nhân tử thức và mẫu thức của mỗi phân thức với nhân tử phụ của nó.( nhân tử
phụ là thơng của mẫu thức chung với từng mẫu thức)
Ví dụ:
Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:

2x
y
13z
20
4
7
;
;
a)
b)
;
;
2
2
2 3
9 y z 15 xz 63x y
4 x3 x x 2 x 2 2 x2 + x
Bài tập
1. Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:
1
7
5
2
1
3
;
;
;
a) 2 ;
b)

3 3
3 3
2 2
2
8a x 12a x y 3ax y
36a b 1 (6ab + 1) (6ab 1) 2
x
2x
1
c) 3
; 2
; 2
x 27 x 6 x + 9 x + 3x + 9
6 x 2 + 2 x 3xy y
2. Cho phân thức P=
6x 3y
a) Tìm tập xác định của phân thức P
b) Rút gọn phân thức P rồi tìm giá trị của nó với x=-1, y=3
x 4 x3 x + 1
3. Cho phân thức Q= 4
Rút gọn và chứng tỏ rằng phân thức Q
x + x 3 + 3x 2 + 2 x + 2
luôn luôn có giá trị không âm với mọi giá trị của x.
Bài 5: Phép cộng các phân thức đại số
1. Quy tắc cộng nhiều phân thức cùng mẫu thức
Muốn cộng nhiều phân thức cùng mẫu thức ta:
- Cộng các tử thức với nhau
- Giữ nguyên mẫu thức
- Rút gọn phân thức vừa tìm đợc
2. Quy tắc cộng nhiều phân thức có mẫu thức khác nhau

Muốn cộng nhiều phân thức có mẫu thức khác nhau ta phải:
- Quy đồng mẫu thức
- Cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm đợc
3. Phép cộng các phân thức cũng có các tính chất giao hoán, kết hợp.
Ví Dụ:
Cộng các phân thức sau:
x 2 y 2 ( x 2 a 2 )( y 2 a 2 ) ( x 2 b 2 )( y 2 b 2 )
x3
x2
1
1
a)
;
b) 2 2 +
+
+
+
+
ab
a 2 (a 2 b 2 )
b 2 (b 2 a 2 )
x +1 x 1 x +1 1 x
Ví dụ:
Thực hiện phép tính
1
1
1
+
+
a)

x 1 (1 x)(2 x) ( x 2)( x 3)
Giáo viên: Đỗ Xuân Thuỷ


Trờng THCS Đông Phơng Yên
1
1
3a
b)
+
+
1 + a a 1 1 a2
1
2
3
+
+
c) ( x 1)( x 2) (2 x)(3 x) (1 x)( x 3)

Bồi dỡng toán 8

Bài tập
1. Thực hiện phép tính
2x 3 1 x
4x
a2
1
a) a+
;
b)

+
+
+
x
x + 2 x 1
1 a a +1
2
x2 y 2
x
c) a x +
;
d) x + y +
x y
a+x
2. Làm tính cộng:
4a a + 1
6
4
10 x
a)
;
b)
+
+
+
a +1 a 1
1 + x x 1 1 x2
3.* Biết rằng a-2b=5 hãy tính giá trị của biểu thức sau:
3a 2b 3b a
M=

+
2a + 5
b5
Bài 6: phép trừ các phân thức đại số
1. phân thức đối
-A/B đợc gọi là phân thức đối của A/B
2. Quy tắc đổi dấu (thứ 2)
Nếu đổi dấu của tử thức hoặc mẫu thức đồng thời đổi dấu của cả phân thức thì đợc
một phân thức bằng phân thức đã cho.
A
A
A
=
=
B
B
B
3. Phép trừ
phép trừ 2 phân thức là phép cộng phân thức bị trừ với phân thức đối của phân thức
trừ:
A C A C
= + ữ
B D B D
Ví dụ:
Thực hiện phép tính:
x3
x2
1
1
4 2x + x2

a)
;
b)


+
2 x
x 1 x +1 x 1 x +1
2+ x
Ví dụ:
a) Chứng minh đẳng thức
1
1
1
=
n(n + 1) n n + 1
b) áp dụng kết quả trên để tính tổng sau:
1
1
1
1
S= 2
+ 2
+ 2
+
a + a a + 3a + 2 a + 5a + 6 a + 3
Bài tập
1. thực hiện phép tính:
ab(a 3 + b3 )
a) ab(a+b)- 2

a + 2ab + b 2
Giáo viên: Đỗ Xuân Thuỷ


Trờng THCS Đông Phơng Yên
1
1
1
+

b)
( x 3)( x 4) ( x 4)(2 x) (2 x)( x 3)
2. Biết rằng 2a-b= 7 hãy tính giá trị của biểu thức sau:
5a b 3b 2a

3a + 7 2b 7
3. chứng minh đẳng thức :
4 x 2 ( x 3) 2
x2 9
(2 x 3) 2 x 2

+
= 1 ( x 1; x 3)
9( x 2 1)
(2 x + 3) 2 x 2 4 x 2 ( x + 3) 2
4. Tính tổng
2
2
2
1

+
+
+
x( x + 2) ( x + 2)( x + 4) ( x + 1)( x + 6) x + 6
5. Giải phơng trình
a( a x) b(b + x )

= x( ab 0)
b
a
Bài 7: Phép nhân các phân thức đại số

Bồi dỡng toán 8

1. Quy tắc: Muốn nhân hai phân thức đại số, ta nhân các tử thức với nhau, các
mẫu thức với nhau. Kết quả là một phân thức với tử thức bằng tích các tử thức,
mẫu thức bằng tích các mâu thức của 2 phân thức đã cho.
A C A.C
. =
B D B.D
2. Phép nhân các phân thức có các tính chất: giao hoán, kết hợp, phân phối đối với
phép cộng
Ví dụ:
Thực hiện phép tính:
x 2 y 2 9 2a 2 + a
2a 2 2

a) 3
;
b) m 2 a + 2

.
ữ.(m + a )
4a a xy + 3
m
+
a


Bài tập
1. Làm tính nhân
3ab 2
4b 2c
5ac
m2 4 x3 x
a)
;
b)
.(
).(
)
.
4
5
3
x 2 1 m 3 + 2m 2
2 x 1
1
c)
+
1ữ

2 ữ
1 + x 1 x x
2. Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của các
biến:
2
2 a+b
a)

(
a b)
7c a + b 7c
1+ x 1 x 3 x
b) (

)( + x)
1 x 1 + x 4x 4
3. Chứng minh đẳng thức
x 2 + x + 2 x 2 + x 12 y 2 2 y 15 y 2 4
.
=
.
x 2 x 6 x 2 + 3x 4 y 2 3 y 10 y 2 + y 6
4. Rút gon rồi tính giá trị của biểu thức
y
x x 2 y + xy 2

x 2 xy xy y 2 ữ. x 2 y 2 với x=1/2, y=-1/3


Giáo viên: Đỗ Xuân Thuỷ

Trờng THCS Đông Phơng Yên

Bồi dỡng toán 8

Bài 8: phép chia các phân thức đại số
1. phân thức nghịch đảo
1

A
Phân thức nghịch đảo của phân thức A/B đợc kí hiệu ữ
B
1
A
A
B
Với 0, ữ =
B
A
B
2. phép chia
A
C
A
Thơng của phân thức
và phân thức
với phân thức nghịch đảo
0 là tích của
B

D
B
C C
A C A D
của .
0, : = .
D D
B D B C
Ví dụ: Thực hiện phép tính
x 2 + xy + y 2
x3 y 3
a)
;
:
x3 + y 3
x 2 xy + y 2
a + b a 2 + b 2 a b a 3 b3
b)
.
+ 2
:
3
2 ữ
3 ữ
a b a b a +b a +b
Bài tập
1) Thực hiện phép tính
a+b
x + y x2 y2
a)

;
b)
;
: ( a + b)
:
ab
x y x+ y
xa x+a
8 x3
4x2

c) 1 +
d)
:

1
:
ữ
ữ
x+a xa
x 3 y 3 x 2 + xy + y 2

2) Giải phơng trình:
a) ax - 2a2 = bx - 2b2 ( a b)
xa xa
2ax
b)

= 2
( a b )

a b a + b a b2
3) Làm tính chia:
a + b 2(a b)
x2 y2
m3 n3 mn + m 2
a) 2 :
;
b) 2
c)
: ( x + y) ;
:
a bc
abc
x + y2
(mn n 2 ) 2 m 2 n 2
Bài 9: Biến đổi đồng nhất các biểu thức hữu tỉ
- Các biểu thức nguyên và biểu thức phân gọi chung là biểu thức hữu tỉ
- Thực hiện các phép tính trong một biểu thức gọi là biến đổi đồng nhất biểu thức đó.
- Cần chú ý đến thứ tự thực hiện các phép tính.

Giáo viên: Đỗ Xuân Thuỷ


Trờng THCS Đông Phơng Yên

Giáo viên: Đỗ Xuân Thuỷ

Bồi dỡng toán 8