Hệ Phương Trình có lời giải ôn thi THPTQG môn Toán 2016

ỨNG DỤNG NHÓM TÍCH VÀO GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH
Gv: Nguyễn Đại Dƣơng
Hệ phương trình trước nay vẫn là một mảng khó trong chương trình
THPT bởi sự biến hóa đa dạng của nó. Đây cũng chính là câu hỏi phân loại
học sinh giỏi và khá, điểm 8 và điểm 9 trong các đề thi gần đây.
Dưới đây xin trình bày một vài ứng dụng của kĩ thuật nhóm tích trong
việc giải hệ phương trình. Chính xác hơn là cách nhóm tích phương trình
hai ẩn thông qua phương trình 1 ẩn.
 x  3  2  3 y  x  y  1

Bài toán 1: Giải hệ phương trình: 
x5
 3y  2 
 xy  2 y  2
2

3 y  2  0

Điều kiện:  x  5  0
3 y  x  0


Ta đi nhóm tích pt(1): x  3  2  3y  x  y  1
Chọn y  4  x  3  2 5 12  x  
Mà

5  y  1  1 





12  x  5

3y  x  y  1







12  x  3 5  0



3y  x  3 y  1  0

Pt(1)  3y  x  y  1  x  2 y  1  0
Thay vào (2)  3y  2  y  2  2 y 2  3y  2
 3y  2



 

3y  2  2  2



y  2  2  4y2  9y  2  0

 3 3y  2

2
  y  2 

 4 y  1  0  y  2  x  3
 3 y  2  2

y2 2

Vậy hệ có nghiệm  3,2 

x2  1
 x 2  3 y
 1  4y
y
Bài toán 2: Giải hệ phương trình: 
3
2
 x  6  x  y  x  y

 x2  1
0

Điều kiện:  y
x  y  x2  0


Fb: ThayNguyenDaiDuong – Sđt: 0932589246

Địa chỉ: 76/5 Phan thanh Đà Nẵng


ỨNG DỤNG NHÓM TÍCH VÀO GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH
Gv: Nguyễn Đại Dƣơng
Ta đi nhóm tích pt(1): x2  3 y



x2  1
 1  4y
y











1
3
9

2
Chọn y   x2  5 x2  1    5 x2  1  1 
 5 x  1  4   0

5
5
5 



Mà

Pt(1) 





5 x2  1 


x2  1  x2  1  x2  1

 1 
 4  0



y
y
y




x2  1
 1  y  x2  1
y

Thay vào (2)  3 x  6  x  1  x2  1





2


 3 x  6  3 x  6  4   4 x  1 x  1  1  4 x 2  5x  6  0


3
 x  6  x  14  4 x  1

  x  2 

 4x  3  0  x  2  y  3
A


x 1 1



Vậy hệ đã cho có nghiệm  2,3 
 x  5 y  x 2  y 2  1  x 2  4 y 2  xy  2 1

Bài toán 3: Giải hệ phương trình: 

2 1  2 x  3 y  4 x  2   7  2 

Ta sẽ nhóm tích pt(1)  x  5y  x2  y 2  1  x2  4 y 2  xy  2
1
26
x 54
 x2  
Chọn y     x  1 x 2 
(*)
5
25
5 25

2
26 
1
26 
Cân bằng nhóm tích  *    x   x2 
 x   2 x 2 
0

5
25 
5
25 










1
Do y    1  x  2 y  x2  y 2  1 x  y  2 x2  y 2  1  0
5

Do 2 x2  y 2  1  2 x  y  x  y  0 x , y

1
 3x  4 y  y
(1)  x 2  y 2  1  x  2 y  3 y 2  4 xy  1  0  

3y2  1
2x 
2y


Fb: ThayNguyenDaiDuong – Sđt: 0932589246
Địa chỉ: 76/5 Phan thanh Đà Nẵng


ỨNG DỤNG NHÓM TÍCH VÀO GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH
Gv: Nguyễn Đại Dƣơng

Do y  0 không là nghiệm của hệ, thay vào (2)
3


3y2  1   1
1
6
3
 21 
 2   7  6 y 3  1  y  
x



3
3


2y   y
4 4 6
6



36
3
1 
Vậy hệ đã cho có nghiệm 

,


 4 43 6 3 6 



Bài toán 4: Giải hệ phương trình:
4 x2  xy  3 y 2   4 x  3 y  3  x 2  y 2  1  3  x  y  11



 x  2 y  1 2 x  3   54 y  17  5x  4  4 x  14 y  2 

3  2 x  0
Điều kiện : 
5x  4  0

Ta đi nhóm tích pt(1) : 4x2  xy  3y 2   4x  3y  3  x2  y 2  1  3  x  y  1
Chọn y 

1
16
93 
18 
26
(*)
 4x2  x 
  4x   x2 
5
5
25 

5 
25


1
26 
26 
Cân bẳng nhóm tích  *    x   x 2 
 x  3  3 x 2 
0

5
25 
25 



Do y 



x2  y 2  1  x2  1 

Ta có



x1
2

 x  3  3 x2  y 2  1  x  3 

4 3
với mọi x   , 
5 2


1
x  y  0
Pt(1)  x  y  x 2  y 2  1  
 y 
x

2 xy  1


 27

1
7
Thay vào (2)   x   1  3  2 x  
 17  5x  4  4 x 
x
x


 x






1
nên 1  x  y  x2  y 2  1 x  3  3 x2  y 2  1  0
5



 x2  x  1

3  2x   27  17 x  5x  4  4 x2  7

Fb: ThayNguyenDaiDuong – Sđt: 0932589246
Địa chỉ: 76/5 Phan thanh Đà Nẵng

3 x1
2

0


ỨNG DỤNG NHÓM TÍCH VÀO GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH
Gv: Nguyễn Đại Dƣơng
 3  2x  2  x
5x  3

2
2
Ta có : 

5x  3  4 x  7  VT  x  x  1  2  x    27  17 x  2
 5x  4 
2






2
4 3
  x  1  2x  91  0  x  1 Do x   , 
5 2

 1
Vậy hệ có nghiệm  1,  .
 2

 x2  y  2 y  1  8 y 2  7 x2  y  2

Bài toán 5: Giải hệ phương trình: 
2
2
2
 x  2 4x  1  2 y  4 y  0






x2  y  0

Điều kiện : 4 x 2  1  0
 2
2
8 y  7 x  y  2  0

Từ (2)  y 2  2 y  0  2  y  0 (3)
Ta đi nhóm tích pt(1) :

x2  y  2y  1  8y 2  7 x 2  y  2

Do (1) có 2 căn thức nên ta bình phương để đưa về 1 căn thức, ta chọn
giữ lại căn đơn giản hơn là

x2  y .

1  8x2  4y2  4y  1  2  2 y  1
Chọn y 

x2  y

1
49
6 2 1
 8x2 

x  (*)
5

25
5
5


1 3 
1 3
Cân bằng nhóm tích  *    2 x2    4 x2     0

5 5 
5 5 



Do y 

1
3
3
3
  1  2 y hoặc  3 y ta sẽ chọn  1  2 y vì (1) có hệ số tự
5
5
5
5







do:  1  2 x2  y  1  2 y 4 x2  y  2 y  1  0
TH:  x2  y  2 y  1  vô nghiệm do (3)
TH: 4 x2  y  1  2 y  16 x2  4 y 2  12 y  1

Fb: ThayNguyenDaiDuong – Sđt: 0932589246
Địa chỉ: 76/5 Phan thanh Đà Nẵng


ỨNG DỤNG NHÓM TÍCH VÀO GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH
Gv: Nguyễn Đại Dƣơng
Do 4 x2  1  16 x2  4  4 y 2  12 y  1    y 

3  2 2
3  2 2
y
2
2

So sánh với (3) suy ra vô nghiệm.
Vậy hệ đã cho vô nghiệm.

Tài liệu quà tặng đầu năm 2016. Chúc các thầy cô & các em năm mới nhiều
sức khỏe và thành công trong công cuộc dạy và học. Cố gắng đạt thành tích
cao nhất trong kì thi THPT Quốc Gia 2016.
Phía trên là một ứng dụng nhỏ của kĩ thuật nhóm tích phương trình một ẩn
vào bài toán nhóm tích phương trình hai ẩn giải hệ phương trình. Dạng
toán này đã có nhiều thủ thuật xuất hiện trên mạng rồi nhưng kĩ thuật trên
hầu như không cần sử dụng đến máy tính CASIO. Đây là một phần của

Phương Pháp Cân Bằng Tích vận dụng vào hệ phương trình.
Do thời gian có hạn nên tài liệu tương đối ngắn gọn và không phân tích
nhiều, nếu có sai xót trong lời giải mong mọi người thông cảm và góp ý.
Mọi ý tưởng về thủ thuật đều dựa trên các kiến thức cơ bản nên các em học
sinh vẫn có thể tự sáng tạo và phát triển thêm nếu hiểu được bản chất vấn
đề. Chúc các em ngày một giỏi và sáng tạo thêm nhiều ý tưởng mới mẻ hơn
nữa.

Fb: ThayNguyenDaiDuong – Sđt: 0932589246
Địa chỉ: 76/5 Phan thanh Đà Nẵng