Luận Văn thạc sĩ NGHIÊN CỨU VỀ NHỮNG KHÓ KHĂN VÀ SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI TÍNH XÁC SUẤT CỦA MỘT BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Nguyễn Thanh Hoành (2015)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thanh Hồnh

NGHIÊN CỨU VỀ NHỮNG KHĨ KHĂN VÀ
SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI TÍNH XÁC SUẤT
CỦA MỘT BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN
Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thanh Hồnh

NGHIÊN CỨU VỀ NHỮNG KHĨ KHĂN VÀ
SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI TÍNH XÁC SUẤT
CỦA MỘT BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN
Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học bộ mơn Tốn
Mã số: 60 14 01 11
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. TRẦN LƯƠNG CÔNG KHANH

Thành phố Hồ Chí Minh – 2015


LỜI CẢM ƠN
Trước hết, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến TS. Trần Lương Công Khanh.
Thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp tơi hồn thành luận văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn:
 TS. Trần Lương Cơng Khanh, PGS.TS. Lê Thị Hồi Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến,
TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Vũ Như Thư Hương và TS. Nguyễn Thị Nga đã nhiệt
tình giảng dạy, giải đáp những thắc mắc giúp chúng tơi có thể tiếp thu một cách tốt
nhất về chuyên ngành nghiên cứu rất thú vị - Didactic Toán.
 PGS.TS. Claude Comiti và PGS.TS. Annie Bessot, hai cô đã không quản ngại xa
xôi về tham dự góp ý và định hướng luận văn của lớp chúng tơi. Đặc biệt hai cơ đã
góp ý cho tôi về thực nghiệm của luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn:
 Ban lãnh đạo và chuyên viên phịng Khoa học cơng nghệ - Sau đại học, ban chủ
nhiệm và giảng viên khoa Toán–Tin của trường ĐHSP Tp. Hồ Chí Minh đã tạo thuận
lợi cho chúng tơi trong suốt khoá học.
 Ban giám hiệu và học sinh trường THPT Nguyễn Văn Trỗi (Tỉnh Bình Thuận),
trường THPT Bắc Bình (Tỉnh Bình Thuận) đã hỗ trợ giúp tơi tổ chức thực nghiệm luận
văn này.
Tơi cảm ơn các bạn cùng khóa đã luôn chia sẻ cùng tôi những buồn vui và khó
khăn trong q trình học tập.
Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân u trong
gia đình đã động viên và giúp tơi trong suốt thời gian học tập.

Nguyễn Thanh Hoành


MỤC LỤC

MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài ................................................................................................... 1
2. Khung lý thuyết tham chiếu .................................................................................. 4
3. Mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu ............................................................................ 4
4. Phương pháp nghiên cứu và giới hạn của luận văn................................................ 5
5. Nội dung nghiên cứu ............................................................................................ 5
5.1. Nhiệm vụ nghiên cứu ..................................................................................... 5
5.2. Cấu trúc luận văn............................................................................................ 6
Chương 1. TỔNG QUAN VỀ NHỮNG KHĨ KHĂN VÀ SAI LẦM KHI TÍNH
XÁC SUẤT CỦA MỘT BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN TRONG LỊCH SỬ TOÁN
HỌC ........................................................................................................................... 7
1.1. Chướng ngại gắn với khái niệm xác suất............................................................ 7
1.2. Kết luận ........................................................................................................... 20
Chương 2. PHÉP TÍNH XÁC SUẤT CỦA MỘT BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN ........ 22
2.1. Phân tích bộ sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 ........................................... 22
2.1.1. Phép đếm trong sách Đại số và giải tích 11 ................................................ 22
2.1.2. Phép thử - Biến cố - Xác suất .................................................................... 38
2.2. Phân tích bộ sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 nâng cao ............................ 70
2.3. Kết luận và nêu giả thuyết nghiên cứu ............................................................. 80
Chương 3. THỰC NGHIỆM ................................................................................... 82
3.1. Giới thiệu thực nghiệm .................................................................................... 82
3.1.1. Mục đích thực nghiệm ............................................................................... 82


3.1.2. Kế hoạch thực nghiệm ............................................................................... 83
3.2. Thực nghiệm cho giáo viên .............................................................................. 83
3.2.1. Bộ câu hỏi thực nghiệm cho giáo viên ....................................................... 83
3.2.3. Phân tích hậu nghiệm ............................................................................... 86
3.2.4. Kết luận ..................................................................................................... 90
3.3. Thực nghiệm cho học sinh ............................................................................... 90

3.3.1. Bộ câu hỏi thực nghiệm cho học sinh ........................................................ 90
3.3.2. Phân tích tiên nghiệm ................................................................................ 90
3.3.3. Phân tích hậu nghiệm ................................................................................ 92
3.4. Tiểu đồ án dạy học ........................................................................................... 95
3.4.1. Dàn dựng kịch bản..................................................................................... 95
3.4.2. Các biến dạy học ..................................................................................... 100
3.4.3. Phân tích kịch bản ................................................................................... 101
3.4.4. Diễn tiến thực nghiệm ............................................................................. 102
3.5. Kết luận ......................................................................................................... 107
KẾT LUẬN ............................................................................................................ 109
TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................... 113
PHỤ LỤC ............................................................................................................... 115


1

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
 Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
Ghi nhận 1
Qua tham khảo một số luận văn liên quan đến xác suất của các khóa trước, chúng
tơi nhận thấy rằng: Các tác giả đều đánh giá lĩnh vực xác suất rất quan trọng nhưng
khá mới đối với giáo viên dạy học ở cấp THPT. Do đó, dạy và học xác suất có những
khó khăn nhất định. Trong số những luận văn đó, có luận văn thạc sĩ didatic tốn
Nghiên cứu thực hành giảng dạy khái niệm xác suất trong các lớp song ngữ và các lớp
phổ thông ở Việt Nam của tác giả Trần Túy An (2007) mà chúng tôi rất quan tâm và
đặt câu hỏi rằng: Vì sao trong thực nghiệm của tác giả, học sinh lúng túng chọn mơ
hình ba phần tử ( mơ hình quan sát) hay mơ hình bốn phần tử (mơ hình xác suất) cho
phép gieo hai đồng tiền?
Ghi nhận 2

Trong những năm gần đây đề thi đại học ln có ra xác suất, những năm trước
câu này ra một điểm trong phần chung của đề thi. Năm 2014 đề thi đại học mơn tốn
cả ba khối A-A1, B và D đều có ra xác suất và câu này có số điểm là 0,5. Chúng tơi
ghi lại cụ thể đề toán khối A –A1 năm 2014 như sau:
Câu 4b. Từ một hộp chứa 16 thẻ được đánh số từ 1 đến 16, chọn ngẫu nhiên 4 thẻ.
Tính xác suất để 4 thẻ được chọn đều được đánh số chẵn

Trên báo Thanh Niên ra ngày 14/7/2014, tác giả Ngơ Thanh Sơn có viết về bài
tốn trên với tựa đề “Làm đúng nhưng khác đáp án có được điểm khơng?” Lời giải và
thang điểm bài tốn trên của Bộ Giáo dục và Đào tạo đưa ra như sau:


2

Tác giả cho rằng: Đáp án của Bộ Giáo dục và Đào tạo đưa ra hồn tồn chính xác. Tuy
nhiên, nếu học sinh hiểu theo hướng chọn theo thứ tự khi đó lời giải bài tốn như sau:
Số cách chọn 4 thẻ theo thứ tự trong 16 thẻ là A164 = 43680 cách. Số cách chọn 4 thẻ
chẵn theo thứ tự trong 8 thẻ chẵn là A84 = 1680 cách. Vậy xác suất chọn được 4 thẻ
chẵn là

1680
1
và cách làm này cũng đúng.

43680 26

Bài viết trên của Ngô Thanh Sơn – một giáo viên đang dạy tại Trung tâm luyện
thi Vĩnh Viễn (thành phố Hồ Chí Minh) – cho thấy vẫn cịn có những cách hiểu khác
nhau về một bài toán xác suất vốn được xem là quen thuộc trong chương trình phổ
thơng. Những cách hiểu khác nhau này chưa được người soạn chương trình và tác giả

sách giáo khoa giải quyết. Điều này khiến chúng tôi đặt câu hỏi: Giáo viên gặp khó
khăn gì khi dạy xác suất?
Ghi nhận 3
Trong tham luận Các nghịch lý trong lý thuyết xác suất và tác động của chúng
đến dạy và học của Trần Lương Công Khanh (2013), chúng tôi quan tâm đến nghịch lý
ba đồng tiền, bài toán như sau: Tung ngẫu nhiên ba đồng tiền cân đối đồng chất tính
xác suất để ba đồng tiền đó có cùng mặt. Tác giả cho rằng:
Lịch sử toán học từng xuất hiện 2 lời giải với 2 kết quả khác nhau của bài toán 3 đồng
tiền. Lời giải thứ nhất huy động định nghĩa cổ điển bằng cách liệt kê các trường hợp
có thể có và các trường hợp thuận lợi. Lời giải thứ hai xét riêng 2 đồng xu đầu với
đồng xu thứ ba.
Lời giải 1: Các kết quả có thể có: SSS, SSN, SNS, NSS, SNN, NSN, NNS, NNN. Các
kết quả thuận lợi cho biến cố đang xét: SSS, NNN. Xác suất cần tính: 2/8 = ¼.
Lời giải 2: Theo ngun lý Dirichlet, khi tung 3 đồng xu, có ít nhất 2 đồng xu rơi
xuống cùng mặt. Để cả 3 đồng xu rơi xuống cùng mặt, cần và đủ là đồng xu thứ ba có
cùng mặt với hai đồng xu đầu. Vậy xác suất cần tính là ½.
Hai kết quả khác nhau nên không thể cả hai lời giải đều cùng đúng. Lời giải 1 liệt kê
đủ các trường hợp có thể có và các trường hợp thuận lợi, huy động định nghĩa cổ điển
của xác suất nên là một lời giải đúng. Vậy, lời giải 2 sai. Sai lầm của lời giải 2 là đã


3

thay đổi điều kiện của bài tốn: ½ là xác suất để 3 đồng tiền cùng mặt với điều kiện đã
có 2 đồng tiền cùng mặt. Học sinh có phát hiện được sai lầm của lời giải 2 không?
Để trả lời câu hỏi này, chúng tôi khảo sát 40 học sinh lớp 12A1, trường THPT Phan
Bội Châu (Bình Thuận) bằng phiếu thăm dò ý kiến. Cả 2 lời giải đều được trình bày
trên phiếu. Câu hỏi như sau: Theo em, lời giải nào sai? Nếu được, em hãy chỉ ra chỗ
sai hoặc/ và nêu nhận xét.

Và kết quả khảo sát 40 học sinh của tác giả thì có 35 học sinh chọn lời giải 2 sai.
Nhưng khơng có học sinh nào giải thích được lời giải 2 sai ở đâu. Từ đó, chúng tơi đặt
câu hỏi: Có phải sách giáo khoa hiện hành chưa cung cấp công cụ phù hợp để học sinh
phát hiện sai lầm khi tính xác suất của một biến cố ngẫu nhiên?
 Tổng quan về các đề tài đã có:
 Khái niệm xác suất trong dạy-học tốn ở trung học phổ thơng của tác giả
Vũ Như Thư Hương (2005). Tác giả cho rằng: Với cách trình bày sách giáo
khoa tốn 11(thí điểm) khơng nhấn mạnh tính hợp thức của xác suất cổ điển
( đồng khả năng) và xem nhẹ xác suất thực nghiệm dẫn đến học sinh gặp sai
lầm khi tính xác suất cổ điển cho các biến cố không đồng khả năng.
 Nghiên cứu thực hành giảng dạy khái niệm xác suất trong các lớp song
ngữ và các lớp phổ thông ở Việt Nam của tác giả Trần Túy An (2007). Trong
luận văn này, tác giả đã chỉ ra rằng: Giáo viên ưu tiên dạy xác suất cổ điển
mặc dù trong phân tích của luận văn tác giả khẳng định xác suất thực
nghiệm và xác suất cổ điển bổ trợ cho nhau. Từ đó, tác giả khẳng định học
sinh gặp khó khăn khi tính xác suất các biến cố ngẫu nhiên. (học sinh tính
theo cơng thức xác suất cổ điển mặc dù bài toán đưa ra không hợp thức).
Từ những ghi nhận trên và tham khảo các đề tài đã có, chúng tơi chọn đề tài Nghiên
cứu về những khó khăn và sai lầm của học sinh khi tính xác suất của một biến cố ngẫu
nhiên ở trung học phổ thông để thực hiện nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ của mình.


4

2. Khung lý thuyết tham chiếu
Nghiên cứu của chúng tôi được đặt trong phạm vi của didactic toán, với việc
vận dụng các lý thuyết khái niệm sau đây:
- Lý thuyết nhân học didactic. Cụ thể, chúng tôi sử dụng khái niệm "tổ chức toán học",
“tổ chức didactic”, “quan hệ thể chế”, “quan hệ cá nhân” và “chuyển đổi sư phạm”.
- Lý thuyết tình huống: Chúng tơi sử dụng khái niệm phân tích tiên nghiệm, phân tích

hậu nghiệm, tình huống cơ sở, biến didactic, chiến lược, môi trường,…
- Chướng ngại: Trong Didactic toán phân biệt 4 loại chướng ngại chủ yếu tùy theo
nguồn gốc của chúng.
 Chướng ngại khoa học luận: Là chướng ngại gắn liền với sự phát triển lịch sử của
những kiến thức mà việc loại bỏ nó địi hỏi được đưa vào một cách tường minh trong
tri thức cần được truyền tải đến học sinh.
 Chướng ngại didactic: Là những khó khăn được sinh ra từ sự chuyển đổi sư phạm
trong kiến thức đó. Chúng chỉ phụ thuộc vào sự lựa chọn dự án dạy học của mỗi hệ
thống giáo dục.
 Chướng ngại thuộc về sự phát triển của mỗi cá thể: Là những chướng ngại gắn liền
với những hạn chế nhận thức ở một thời điểm nào đó trong q trình phát triển của
một số học sinh.
 Chướng ngại văn hóa: Là những chướng ngại trong cuộc sống văn hóa, đã được
giải quyết về mặt khoa học nhưng vẫn luôn tồn tại.
3. Mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu
Trong khuôn khổ phạm vi lý thuyết đã lựa chọn, mục tiêu nghiên cứu của luận
văn này là tìm kiếm một số yếu tố trả lời các câu hỏi sau:


5

Q1: Trong lịch sử phát triển lý thuyết xác suất đã gặp những khó khăn và chướng ngại
khoa học luận nào? Những khó khăn đó được các nhà tốn học đã giải quyết ra sao?
Q2: Phép tính xác suất của một biến cố ngẫu nhiên được đưa vào sách giáo khoa như
thế nào? Ðược giải thích trong sách giáo viên ra sao? Giáo viên và học sinh gặp những
khó khăn nào khi dạy và học phép tính xác suất của một biến cố ngẫu nhiên?
4. Phương pháp nghiên cứu và giới hạn của luận văn
Đầu tiên, chúng tôi tổng hợp và phân tích các nghiên cứu đã có về những khó
khăn và chướng ngại trong phát triển lý thuyết xác suất. Chúng tôi sẽ giới hạn phần
này trong khuôn khổ khó khăn và chướng ngại do bản thân của khái niệm xác suất.

Tiếp theo, chúng tơi phân tích sách giáo khoa, sách giáo viên và đưa ra giả thuyết
nghiên cứu. Cuối cùng, chúng tôi thiết kế thực nghiệm để kiểm tra giả thuyết nghiên
cứu của mình.
5. Nội dung nghiên cứu
5.1. Nhiệm vụ nghiên cứu
Chúng tơi nghiên cứu những khó khăn của giáo viên và học sinh khi dạy và học
xác suất ở lớp 11, nhất là những điều kiện và ràng buộc của việc kiểm tra tính đúng
đắn của một kết quả tính xác suất.


6

5.2. Cấu trúc luận văn
Cấu trúc của luận văn gồm 5 phần:
MỞ ĐẦU
Trong phần này, chúng tơi trình bày những ghi nhận ban đầu và tổng quan một số
luận văn khóa trước, khung lý thuyết tham chiếu, trình bày lại câu hỏi nghiên cứu,
phương pháp nghiên cứu và nội dung nghiên cứu.
Chương 1. TỔNG QUAN VỀ NHỮNG KHÓ KHĂN VÀ SAI LẦM KHI TÍNH XÁC
SUẤT CỦA MỘT BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN TRONG LỊCH SỬ TỐN HỌC

Trong chương này, chúng tơi tổng hợp một số khó khăn và sai lầm khi tính xác
suất của một biến cố ngẫu nhiên đã gặp trong lịch sử tốn học thơng qua một số tài
liệu đã nghiên cứu. Đặc biệt là trong quyển sách dạy học xác suất ở trung học phổ
thông của tác giả Lê Thị Hồi Châu (2012)
Chương 2. PHÉP TÍNH XÁC SUẤT CỦA MỘT BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN
Trong chương này, chúng tôi tiến hành phân tích hai bộ sách giáo khoa hiện hành
đó là sách Đại số và giải tích 11 dùng cho ban cơ bản (ĐS>11CB) và sách Đại số
và giải tích 11 nâng cao (ĐS>11NC).
Chương 3. THỰC NGHIỆM

Trong chương 3, chúng tơi trình bày nghiên cứu thực nghiệm mơ tả những khó
khăn của giáo viên và học sinh để kiểm chứng tính đúng đắn của giả thuyết nghiên cứu
mà chúng tôi đã đưa ra.
KẾT LUẬN
Trong chương này, chúng tôi tổng hợp các kết quả đạt được ở chương 1, chương
2 và chương 3. Từ đó, kết luận những việc đã làm được và đưa ra hướng mở nghiên
cứu tiếp theo của luận văn.


7

Chương 1. TỔNG QUAN VỀ NHỮNG KHÓ KHĂN VÀ SAI LẦM KHI TÍNH XÁC
SUẤT CỦA MỘT BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN TRONG LỊCH SỬ TỐN HỌC

Trong chương này, chúng tơi tổng hợp một số khó khăn và sai lầm khi tính xác
suất của một biến cố ngẫu nhiên đã gặp trong lịch sử tốn học. Từ ”khó khăn” chúng
tơi đang dùng có nghĩa là gây trở ngại cho một hoạt động nào đó. Chướng ngại khoa
học luận cũng là một khó khăn nhưng được hiểu theo nghĩa hẹp hơn. Theo Lê Thị
Hồi Châu (2012), tác giả có giải thích rằng:
Khơng phải mọi khó khăn đều xem là chướng ngại, cụ thể các đặc trưng của chướng ngại
đã được Brousseau (1986) xác định rõ qua những điểm sau:


Một chướng ngại là một kiến thức, một quan niệm chứ không phải là một sự thiếu

kiến thức.


Kiến thức quan niệm này tạo ra những câu trả lời phù hợp trong một số tình huống mà

ta thường gặp.


Nhưng khi vượt ra khỏi tình huống ấy thì nó sản sinh ra câu trả lời sai. Để có câu trả

lời đúng cho một ( hay những) tình huống tổng quát hơn cần có sự thay đổi đáng kể trong
kiến thức hay quan niệm. Nói cách khác, việc loại bỏ kiến thức, quan niệm ấy là cần thiết,
là yếu tố cấu thành nên tri thức mới.


Thế nhưng, kiến thức, quan niệm này lại cản trở sự thiết lập một kiến thức hoàn thiện

hơn.


Hơn thế, ngay cả khi chủ thể ý thức được sự khơng chính xác của kiến thức hay quan

niệm ấy, nó vẫn tiếp tục xuất hiện dai dẳng trong những tình huống mới.

Theo tác giả.
Các chướng ngại được Brousseau (1976) phân loại theo nguồn gốc của chúng. Chướng
ngại sinh ra do chuyển hóa sư phạm được gọi là chướng ngại sư phạm. Chướng ngại khoa
học luận là chướng ngại gắn liền với tri thức, và do đó mà việc dạy học khơng thể tránh
khỏi, dù với cách chuyển hóa sư phạm nào.
Theo Girard J-C.(1997), những chướng ngại , khó khăn mà việc dạy học xác suất phải
đương đầu khá đa dạng và có nhiều nguồn gốc khác nhau.

Theo Lê Thị Hoài Châu (2012), những chướng ngại khoa học luận gắn liền với
xác suất liên quan đến các khái niệm ngẫu nhiên và xác suất. Ngoài ra, cịn có những
khó khăn trong việc chuyển hóa sư phạm khái niệm xác suất, những chướng ngại gắn

liền với quan niệm của học sinh và giáo viên.


8

Trong luận văn này, chúng tơi tập trung phân tích, tổng hợp một số khó khăn và
chướng ngại gắn với khái niệm xác suất. Do đặc trưng của đề tài, chúng tôi đặt tên
mục như sau:
1.1. Chướng ngại gắn với phép tính xác suất của một biến cố ngẫu nhiên
Theo Vũ Như Thư Hương (2005), sau khi phân tích lịch sử hình thành khái niệm
xác suất tác giả cho rằng có ba cách tiếp cận khái niệm xác suất như sau:
•

Tiếp cận theo Laplace (AL - Approche Laplacienne):

-

Xác suất của một biến cố, theo Laplace, là “tỉ số của số trường hợp thuận lợi với

số tất cả các trường hợp có thể xảy ra”.

-

Để tính xác suất theo Laplace, địi hỏi phải có một khơng gian hữu hạn các biến cố

sơ cấp đồng khả năng xuất hiện (đây chính là điểm hạn chế của tiếp cận này).

-

Theo cách tiếp cận này, việc xác định xác suất của một biến cố được đưa về các

phép đếm và Đại số tổ hợp đóng vai trị chính trong các tính tốn xác suất. Chính vì
thế mà Coutinho đặt tên cho tiếp cận này là « tiếp cận đại số tổ hợp ».

-

Trong trường hợp phép thử có thể gắn với một khơng gian hữu hạn các biến cố sơ

cấp đồng khả năng xuất hiện thì bằng định nghĩa của Laplace người ta có thể tính
được xác suất mà khơng cần thực hiện phép thử. Vì lẽ đó, Bernard Parzysz gọi xác
suất theo định nghĩa của Laplace là “xác suất chủ quan” hay “ xác suất tiên nghiệm”.

•

Tiếp cận thống kê (AS: Approche Statistique):

-

Theo tiếp cận này, xác suất của một biến cố là một giá trị mà tần suất tương đối

của biến cố đó dao động quanh giá trị này khi thực hiện một số lượng lớn các phép
thử.

-

Xác suất theo quan điểm này cịn được gọi là « xác suất khách quan » vì giá trị

của xác suất chỉ được biết sau thực nghiệm.
Đứng từ góc độ tốn học và thực tế, cách tiếp cận theo quan điểm thống kê cho phép
giải quyết vấn đề tìm xác suất trong các trường hợp mà định nghĩa của Laplace khơng

thể vận hành được (ví dụ như việc ước tính xác suất để một đinh mũ rơi ngẫu nhiên


9

chạm đất bằng mũi nhọn hay bằng đầu). Nhưng, đứng từ góc độ dạy-học, Parzysz cho
rằng cách tiếp cận này gây ra những khó khăn sau:

-

Trước hết, nó dựa trên sự « hội tụ » của các tần suất (sự hội tụ theo xác suất), tức

không phải là sự hội tụ thuần túy (của dãy số) mà học sinh gặp trong giải tích.

-

Mặt khác, tiếp cận này có thể dẫn đến nguy cơ là « học sinh khơng thực hiện được

bước nhảy khái niệm mà lại đồng hóa tần suất với xác suất » (tham khảo Parzysz,
2003, tr.31-32).

•

Tiếp cận tiên đề (AA: Approche Axiomatique)

-

Xác suất được định nghĩa như « một độ đo không âm bị chặn được xác định trên

một tập hợp trừu tượng mơ hình hố các kết cục có thể của một phép thử ngẫu nhiên »

và thỏa mãn một hệ tiên đề.

Từ các cách tiếp cận trên, chúng tôi quan tâm đến cách tiếp cận theo Laplace và
Thống kê. Vì đây là hai cách tiếp cận rất phù hợp với học sinh THPT.
 Xác suất của một biến cố theo Laplace là ”tỉ số của số trường hợp thuận lợi với số
tất cả các trường hợp có thể xảy ra”. Vậy số tất cả các trường hợp có thể xảy ra là số
như thế nào? Số tất cả các trường hợp thuận lợi là số như thế nào? Để tìm hiểu vấn đề
này chúng tơi phân tích một số tri thức luận của khái niệm xác suất.
Theo Đỗ Đức Thái, Nguyễn Tiến Dũng (2010), hai tác giả có ghi vấn đề xác suất
như sau:
Định nghĩa 1.1. Một không gian xác suất là một tập hợp Ω, cùng với:
1) Một họ S các tập con của Ω, thỏa mãn các tính chất sau:
Ω ∈S,và nếu A, B ∈S thì A ∪ B ∈S, A ∩ B ∈S và

= Ω \ A ∈S. Một họ như vậy

được gọi là một đại số các tập con của Ω.Trong trường hợp Ω là một tập có vơ hạn các
phần tử, thì chúng ta sẽ địi hỏi thêm điều kiện sau: Nếu Ai , i =1, 2, 3,... là một dãy vơ
hạn các phần tử của S, thì


i 1

Ai cũng thuộc họ S. Với thêm điều kiện này, S được

gọi là một sigma-đại số. Các phần tử của S được gọi là tập hợp con đo được của
không gian xác suất.
2) Một hàm số thực P : S→ R trên S, được gọi là độ đo xác suất trên Ω, thỏa mãn các
tính chất sau:

10

i)Với mọi A ∈S,ta có: 0 ≤ P(A) ≤ 1. (1.6)
ii) P(∅)=0, P(Ω)=1. (1.7)
iii) Nếu A ∩ B = ∅ thì P(A ∪ B)= P(A)+ P(B). (1.8)
Tổng quát hơn, nếu Ai, i =1, 2, 3,... là một dãy các tập hợp con đo được khơng giao


nhau thì P 


i


Ai    P( Ai ) . (1.9)
 i

Định nghĩa 1.2. Phân bố xác suất P trên không gian xác suất hữu hạn với N phần tử
Ω= {A1,...,AN} được gọi là phân bố xác suất đều nếu như P(A1)= ... = P(AN)=1/N.
Ánh xạ giữa các không gian xác suất cùng một vấn đề tính tốn xác suất, ta có thể lập
nhiều mơ hình khơng gian xác suất khác nhau.Ví dụ, mơ hình xác suất đơn giản nhất
cho sự kiện “bị ốm” sẽ là mơ hình Bernoulli Ω1 = {S, H} với 2 sự kiện S = “ bị ốm ”
(sick) và H = “không bị ốm ” (healthy). Như ta cũng có thể chia nhỏ sự kiện bị ốm ra
thành rất nhiều sự kiện con, ví dụ như “ ốm bệnh A”,“ ốm bệnh B ”, “ ốm cả bệnh A
lẫn bệnh B” , v.v. và sự kiện “không bị ốm” cũng có thể chia thành nhiều sự kiện con,
ví dụ như “ rất khỏe ”,“ không ốm nhưng mà yếu ”, v. v. Khi chia nhỏ như vậy, ta
được mô hình xác suất với một khơng gian xác suất  2 = {S1, S2,..., H1, H2,...} với
nhiều phần tử hơn. Hai khơng gian đó liên quan với nhau bởi một ánh xạ φ : 1 →

 2 , φ(Si)= S, φ(Hi)= H. Tất nhiên, khi ta chia nhỏ sự kiện S ra thành nhiều sự kiện
(không giao nhau) S1 , S2 ,..., thì khơng phải vì thế mà xác suất của nó thay đổi. Nói
cách khác, ta phải có P(S)= P(φ-1(S))= P(∪iSi)=  P( Si ) (1.12)
i

Định nghĩa 1.3. Một ánh xạ φ :(Ω1, P1) → (Ω2, P2) từ một không gian xác suất (Ω1, P1)
vào một không gian xác suất (Ω2, P2) được gọi là một ánh xạ bảo tồn xác suất nếu nó
bảo tồn độ đo xác suất, có nghĩa là với mọi tập con B ⊂ Ω1 đo được, ta có
P1(φ−1(B))= P2(B) (1.13).

Từ những tri thức xác suất được trình bày trên chúng tơi ghi nhận các vấn đề này
trong xác suất Laplace như sau:
Trong một không gian xác suất thì tập hợp các kết quả có thể có chính là tập khơng
gian mẫu  . Mỗi phần tử khơng gian mẫu có tính chất đều nhau. Nghĩa là nếu tập
khơng gian mẫu có n phần tử thì xác suất mỗi phần tử đó là 1/n. Về mặt cấu trúc mỗi


11

phần tử đó là như nhau (nếu phần tử này có phân biệt thứ tự thì phần tử kia cũng có
phân biệt thứ tự).
Tập các phần tử thuận lợi của biến cố A là tập con của không gian mẫu. Do đó,
phần tử ở khơng gian mẫu và phần tử của biến cố A có cùng cấu trúc.
Nếu mỗi phần tử trong không gian xác suất thứ nhất được biến đổi về nhiều phần
tử trong không gian xác suất thứ hai và các phần tử này có cùng cấu trúc thì xác suất
của chúng khơng thay đổi.
Trong lịch sử phát triển lý thuyết xác suất D’Alembert đã giải bài toán “Tung hai
đồng xu liên tiếp, tính cơ hội nhận được ít nhất một mặt ngửa” như sau:
D’Alembert cùng một lúc đưa ra hai mơ hình. Mơ hình thứ nhất gồm 3 kết quả
có thể (N-S, N-N, S-S), ơng nói rằng xác suất cần tìm là 2/3. Trong mơ hình thứ hai

gồm 4 kết quả có thể (N-S, N-N, S-N, S-S), kết quả xác suất là 3/4. Trong lập luận của
mình, D’Alembert đã thừa nhận quan niệm cho rằng “tất cả các biến cố sơ cấp của
một phép thử đều đồng khả năng” cho cả hai mơ hình ở trên. Chính điều này đã gây ra
hai kết quả mâu thuẫn nhau. Theo Trần Túy An (2007) tác giả gọi mơ hình thứ nhất là
mơ hình quan sát và mơ hình thứ hai là không gian các phần tử mịn nhất. Và theo tác
giả để kiểm tra hai kết quả trên thì sử dụng xác suất thực nghiệm để kiểm chứng kết
quả và hiển nhiên mơ hình thứ hai đúng.
Theo các nhận xét trên mà chúng tôi đưa ra về xác xuất Laplace, chúng tơi thấy
mơ hình thứ nhất các phần tử khơng đều nhau vì N-S phải là 2 phần tử N-S và S-N.
Nghĩa là các phần tử cùng cấu trúc thì phải liệt kê vào các trường hợp có thể có của
khơng gian mẫu. Để làm rõ hơn vấn đề này, chúng tơi xét bài tốn nghịch lý ba đồng
tiền đã gặp trong lịch sử toán học như sau: Tung ngẫu nhiên ba đồng tiền cân đối đồng
chất, tính xác suất để ba đồng tiền đó có cùng mặt.
Khi nói, gieo ngẫu nhiên ba đồng tiền thì nếu hiểu ba đồng tiền gieo lần lượt,
hoặc gieo ba đồng tiền phân biệt, hoặc gieo ba đồng tiền phân biệt có thứ tự, hoặc gieo
ba đồng tiền 200đ đồng thời thì kết quả xác suất không thay đổi. Tuy nhiên, khi liệt kê
mỗi kết quả có thể có thì mỗi phần tử đó phải tuân theo một cấu trúc giống nhau.


12

Nghĩa là khi phần tử kết quả có thể này theo cấu trúc có thứ tự thì mọi phần tử khác
cũng tuân theo quy tắc này. Chẳng hạn khi gieo 3 đồng tiền lần lượt hoặc cùng lúc ba
đồng tiền phân biệt kết quả có thể có { SSS, SSN, SNS, SNN, NSS, NSN, NNS,
NNN}. Và kết quả xác suất gieo ba đồng tiền cùng mặt là ¼. Giả sử nếu hiểu rằng,
gieo ngẫu nhiên ba đồng tiền là gieo ba đồng tiền phân biệt (Ba màu của đồng tiền là:
xanh, đỏ, vàng) ba lần liên tiếp khi đó mỗi kết quả có thể có tương ứng với SSS ở trên
được liệt kê lại như sau: SđSxSv, SđSvSx, SxSđSv, SxSvSđ, SvSđ Sx, SvSxSđ. Tương tự liệt
kê như vậy cho bảy phần tử cịn lại. Như vậy có 48 kết quả có thể có, số phần tử có
thể có cho biến cố cả ba đồng tiền cùng mặt là 12. Kết quả xác suất ba đồng tiền cùng

mặt là 12/48 =1/4. Khi nói gieo ngẫu nhiên ba đồng tiền thì chúng ta thường hiểu là ba
đồng tiền phân biệt hoặc ba đồng tiền lần lượt để khi liệt kê không gian mẫu trùng với
kết quả có của trường hợp này. Vì khi liệt kê gieo cùng lúc ba đồng xu giống nhau
{ SSS, SSN, NNS, NNN } ta thấy kết quả SSS và NNN trùng với kết quả gieo ba
đồng tiền phân biệt. Do đó, những phần tử cịn lại phải tuân theo cấu trúc gieo ba đồng
tiền phân biệt. Nhưng số phần tử không gian mẫu khi gieo ngẫu nhiên ba đồng tiền là
8 biến cố sơ cấp chứ không thể là số khác.
 Khi tính xác suất chúng ta phải thừa nhận sự ngẫu nhiên. Vì cùng một hiện tượng
như nhau thì hiện tượng ngẫu nhiên có thể xảy ra hoặc khơng xảy ra. Do đó, nó làm
cho cảm giác của chúng ta khơng chắc chắn khi tính xác suất của một biến cố. Những
bài toán mà trong lịch sử phát triển xác suất thường gặp rơi vào nghịch lý loại 2 ( một
lập luận thoạt nhìn thì đúng nhưng dẫn đến mâu thuẫn). Chúng tơi phân tích bài toán
dạng này và cách giải quyết đã gặp trong lịch sử phát triển lý thuyết xác suất hoặc
trong dạy học thực tiễn mà các đề tài đã nghiên cứu trong hai phần dưới đây.
 Bài toán Méré. Theo Đỗ Đức Thái, Nguyễn Tiến Dũng (2010), hai tác giả có viết
về bài toán này như sau:
Hiệp sĩ de Méré (tên khai sinh là Antoine Gombaud (1607-1684), là nhà văn và nhà
triết học người Pháp) là một nhân vật lịch sử nghiện đánh bạc. Ông ta hay chơi súc
sắc, và nhận thấy rằng trong hai sự kiện sau:
A = “Tung một con súc sắc 4 lần, có ít nhất 1 lần hiện lên 6”, và
B = “Tung một đôi súc sắc 24 lần, có ít nhất 1 lần hiện lên một đơi 6”,


13

thì B ít xảy ra hơn A.Tuy nhiên ơng ta khơng giải thích được tại sao. Theo ơng ta thì
đáng nhẽ hai sự kiện đó phải có khả năng xảy ra bằng nhau, vì 24=6×4. Ơng ta bèn
hỏi bạn mình là nhà toán học và triết học Blaise Pascal (1623-1662), vào năm 1654.
Pascal lúc đó đã “từ bỏ tốn ”, nhưng có nhận lời suy nghĩ về câu hỏi của de Méré.
Sau đó Pascal viết thư trao đổi với Pierre de Fermat (159?-1665), một luật sư đồng

thời là nhà toán học ở vùng Toulouse (Pháp). Hai người cùng nhau phát minh ra lý
thuyết xác suất cổ điển, và giải được bài toán của de Méré. Kết quả là:
P(A)=1−P( A )=1−(1−1/6)4 ≈ 0, 5177 và
P(B)=1 − P( B )=1 − (1 − (1/6)2 )24 ≈ 0, 4914.

Trong bài toán trên, de Méré đã biết sai lầm trong suy luận của mình thơng qua
số lượng lần chơi khá lớn. Cịn Pascal và Pierre de Fermat đã trình bày lời giải bài tốn
trên liên quan đến “tích của các khơng gian xác suất”. Theo Đỗ Đức Thái, Nguyễn
Tiến Dũng (2010), hai tác giả có ghi vấn đề này như sau:
Nếu M và N là hai tập hợp, thì tích của chúng (hay cịn gọi là tích trực tiếp, hay tích
Descartes), ký hiệu là M × N, là tập hợp các cặp phần tử (x, y), x ∈ M, y ∈ N. Trong
trường hợp M =(Ω1, P1) và N =( Ω2, P2) là hai khơng gian xác suất, thì tích Ω1 × Ω2,
cũng có một độ đo xác suất P, được xác định một cách tự nhiên bởi P1 và P2 bằng công
thức sau: Nếu A1 ⊂ Ω1 và A2 ⊂ Ω2 nằm trong các sigma-đại số tương ứng của P1 và
P2 thì: P(A1 × A2)= P1(A1) × P2(A2). (1.15) Sigma-đại số của P chính là sigma-đại số
sinh bởi các tập con của Ω1 × Ω2 có dạng A1 × A2 như trên. Khi ta nói đến tích trực
tiếp của hai khơng gian xác suất, ta sẽ hiểu là nó đi kèm độ đo xác suất được xác định
như trên.
Tương tự như vậy, ta có thể định nghĩa tích trực tiếp của n khơng gian xác suất, hay
thậm chí tích trực tiếp của một dãy vơ hạn các khơng gian xác suất.

 Bài tốn nghịch lý ba đồng tiền. Theo Trần Lương Công Khanh (2013), tác giả cho
rằng :
Nghịch lý 3 đồng tiền xuất phát từ bài toán sau: Tung ngẫu nhiên 3 đồng tiền cân đối,
đồng chất. Tính xác suất để cả 3 đồng tiền rơi xuống có cùng mặt (cùng sấp hoặc cùng
ngửa).
Lịch sử toán học từng xuất hiện 2 lời giải với 2 kết quả khác nhau của bài toán 3 đồng
tiền. Lời giải thứ nhất huy động định nghĩa cổ điển bằng cách liệt kê các trường hợp

14

có thể có và các trường hợp thuận lợi. Lời giải thứ hai xét riêng 2 đồng xu đầu với
đồng xu thứ ba.
Lời giải 1: Các kết quả có thể có: SSS, SSN, SNS, NSS, SNN, NSN, NNS, NNN. Các
kết quả thuận lợi cho biến cố đang xét: SSS, NNN. Xác suất cần tính: 2/8 = ¼.
Lời giải 2: Theo ngun lý Dirichlet, khi tung 3 đồng xu, có ít nhất 2 đồng xu rơi
xuống cùng mặt. Để cả 3 đồng xu rơi xuống cùng mặt, cần và đủ là đồng xu thứ ba có
cùng mặt với hai đồng xu đầu. Vậy xác suất cần tính là ½.
Hai kết quả khác nhau nên không thể cả hai lời giải đều cùng đúng. Lời giải 1 liệt kê
đủ các trường hợp có thể có và các trường hợp thuận lợi, huy động định nghĩa cổ điển
của xác suất nên là một lời giải đúng. Vậy, lời giải 2 sai. Sai lầm của lời giải 2 là đã
thay đổi điều kiện của bài tốn: ½ là xác suất để 3 đồng tiền cùng mặt với điều kiện đã
có 2 đồng tiền cùng mặt. Học sinh có phát hiện được sai lầm của lời giải 2 không?

Theo Trần Túy An (2007), để thuận lợi cho liệt kê các trường hợp gieo 3 hoặc 4
đồng tiền thì sách song ngữ Pháp-Việt đã cung cấp cách liệt kê sơ đồ cây cho học sinh.
Với cách liệt kê này học sinh dễ liệt kê không để sót phần tử. Bên cạnh đó, chúng tơi
thấy nó có thể giúp học sinh phát hiện được sai lầm lời giải 2 do thay đổi điều kiện của
bài toán.
 Bên cạnh những khó khăn như các bài tốn nghịch lý loại 2 đã nêu trên, thì trong
lịch sử phát triển lý thuyết xác suất cịn gặp khó khăn các bài toán khác rơi vào nghịch
lý loại 1 và nghịch lý loại 3. Theo Trần Lương Công Khanh (2013) tác giả có ghi như
sau:
Trong tốn học, thuật ngữ nghịch lý được dùng để chỉ một kết quả đúng nhưng trái với
trực giác thông thường (nghịch lý loại 1) hoặc một lập luận thoạt nhìn thì đúng nhưng
dẫn đến mâu thuẫn (nghịch lý loại 2). Trong lý thuyết xác suất, tồn tại những bài tốn
có nhiều kết quả khác nhau phụ thuộc vào cách hiểu (hợp thức hoặc không) đề bài đã
cho. Do lạm dụng ngôn ngữ, ta gọi chúng là nghịch lý loại 3.

 Bài toán nghịch lý sinh nhật: Theo Trần Lương Công Khanh (2013)
Nghịch lý sinh nhật được nhà bác học Mỹ gốc Áo Richard von Mises (1883-1953)
phát hiện, nghịch lý sinh nhật bắt nguồn từ bài toán xác định số người của một nhóm
để xác suất hai người trong nhóm có cùng ngày tháng sinh là 0,5.

Dưới đây là nội dung lời giải của bài tốn đó như sau:


15

Lời giải của bài tốn này khơng xét đến các năm nhuận. Xét một nhóm n người. Gọi
A = “Tồn tại 2 người có cùng ngày tháng sinh”. Ta cần xác định n để P(A) = 0,5. Đặt
A = “Hai người bất kỳ đều có ngày tháng sinh khác nhau ”. Trong một nhóm có n bạn.

Vì mỗi bạn đều có 365 cách chọn ngày sinh nhật, cho nên n bạn sẽ có 365n cách chọn
ngày sinh. Tức là có tất cả 365n khả năng khác nhau khi nói về ngày sinh của n bạn
trong nhóm.
Số phần tử thuận lợi cho biến cố A là: Bạn thứ nhất có 365 cách chọn ngày sinh
nhật. Bạn thứ 2 không cùng sinh nhật bạn thứ nhất nên có 364 cách chọn, tương tự cho
đến bạn thứ n không cùng ngày sinh nhật với n-1 bạn trước đó. Vậy có tất cả
365!
phần tử thuận lợi cho biến cố A . Xác suất của biến cố A là
(365  n  1)!

P( A )=

365!
365!
vậy P(A)= 1 
. Để tìm giá trị n ta có thể sử

n
365 (365  n  1)!
365 (365  n  1)!
n

dụng phần mền Maple để vẽ đồ thị và tìm được n = 23 thì P(A)  0,50729. Đồ thị được
thể hiện như sau:

Hình 1.1. Đồ thị hàm số f(n)= 1 

365!
365 (365  n  1)!
n


16

Hoặc chúng ta có thể kiểm tra lại kết quả P(A) với n = 23 trên chức năng calculator ở
chế độ khoa học trong Windows trên máy vi tính của chúng ta.
Căn cứ vào hình 1.1, chúng ta thấy với một nhóm 57 người thì xác suất hai người
cùng ngày sinh nhật là 0,99. Điều này trái với trực giác thông thường của chúng ta.
Tác giả Trần Lương Công Khanh (2013) đã khảo sát 35 học sinh về bài toán trên thì có
34 học sinh cho rằng kết quả n = 23 thì xác suất của chúng vào khoảng (0;0,25). Cụ
thể nội dung khảo sát như sau:
Phiếu số 1 gồm hai câu hỏi sau đây:
Câu hỏi 1: Có bạn nào trong lớp có cùng ngày, tháng sinh với em khơng?
Câu hỏi 2: Khơng tính tốn, em hãy phỏng đốn xác suất để trong một nhóm 23
người, có 2 người có cùng ngày, tháng sinh (đánh dấu vào ô tương ứng với khoảng giá
trị phỏng đoán):
(0; 0,25)

(0,26; 0,5)

(0,6; 0,75)

(0,76; 1)

Phiếu số 1 được thu hồi trước khi phát phiếu số 2 để học sinh không thể điều chỉnh
phiếu số 1 sau khi đọc phiếu số 2. Phiếu số 2 gồm hai phần:

- Phần 1 phát biểu và chứng minh nghịch lý sinh nhật, kèm theo kết luận: Trong 23
người có ngày tháng sinh bất kỳ, xác suất để có 2 người có cùng sinh nhật là 0,5073.

- Phần 2 yêu cầu học sinh nêu nhận xét của mình về kết luận trên với các gợi ý: Đối
chiếu với phỏng đoán, với thực tế lớp em, nêu ý nghĩa của giá trị 0,5.
Kết quả khảo sát như sau: Trước hết, chúng tôi ghi nhận rằng trong 35 học sinh của
lớp học được khảo sát, khơng có 2 em nào có cùng ngày, tháng sinh.
- 34/35 học sinh phỏng đoán xác suất đang xét nằm trong khoảng (0; 0,25). Chỉ có 1
học sinh chọn khoảng (0,26; 0,5).
- 34 học sinh đã chọn khoảng (0; 0,25) nhận xét rằng kết quả trong phiếu số 2 lớn hơn
phỏng đoán của các em. Học sinh duy nhất chọn khoảng (0,26; 0,5) cho biết em biết
trước kết quả nhờ đã đọc một tài liệu về nghịch lý sinh nhật. - Khi đối chiếu với thực
tế lớp học, cả 35/35 học sinh đều viết rằng: “Em khơng tìm thấy chỗ sai trong chứng


17

minh nhưng kết quả không phù hợp với thực tế vì lớp em có 35 người nhưng khơng ai
có cùng ngày tháng sinh với em”.
- Giải thích cho sự “kỳ lạ” này, có hai nhóm ý kiến.

+ 26/35 học sinh cho rằng xác suất chỉ thể hiện một khả năng nào đó chứ khơng có gì
chắc chắn. Một phản ví dụ của 26 học sinh này là “lớp em có 35 người (đơng hơn 23
người) nhưng khơng ai có cùng sinh nhật với em.”
+ 9 học sinh còn lại dùng mơ hình tần suất để giải thích nghịch lý sinh nhật. Theo đó,
xác suất gieo một con súc sắc được 6 chấm là 1/6 khơng có nghĩa là cứ 6 lần gieo thì
có 1 lần được 6 chấm. Điều này có nghĩa là khi số lần gieo n đủ lớn thì số lần xuất
hiện 6 chấm sẽ gần với n/6. Đối với nghịch lý sinh nhật, khi số người n  366, ta ln
tìm được ít nhất 2 người có cùng ngày tháng sinh (theo nguyên lý Dirichlet).
Chúng tôi rút ra những nhận xét sau từ khảo sát trên:
- Tuyệt đại đa số học sinh ước lượng P(A) < 0,5. Điều này cho thấy khó xem xét biến
cố A bằng trực giác thông thường.
- Việc học sinh quan niệm rằng xác suất là khả năng không chắc chắn cho thấy sự cần
thiết phải đi tìm ý nghĩa của xác suất trong những tình huống cụ thể.
- Với tiếp cận tần suất, học sinh giải thích một cách chặt chẽ ý nghĩa của 1/6 khi cho

n   (trường hợp gieo 1 con súc sắc) nhưng khơng giải thích được ý nghĩa của
0,5073 (trường hợp nghịch lý xác suất).
- Học sinh đã xem xét xác suất để ngày tháng sinh của một người nào đó giống với
ngày tháng sinh của một người cho trước (chẳng hạn của mình) thay vì xem xét xác
suất để ngày tháng sinh của một người nào đó giống với ngày tháng sinh của một
người bất kỳ.

Từ các nhận xét trên của tác giả, chúng tôi ghi nhận và giải thích rõ ràng hơn nữa
các vấn đề sau:
Học sinh xem xác suất để một người nào đó trùng với ngày sinh của mình thay vì xem
xác suất hai người bất kì cùng ngày sinh. Mà xác suất này ứng với 23 người là rất thấp.
Cụ thể chúng tơi giải lại bài tốn này như sau: Gọi B = “Tồn tại 1 người có cùng ngày


18

tháng sinh với bạn”. Ta cần xác định n để P(B) = 0,5. Đặt B = “khơng có người nào có
ngày tháng sinh với bạn ”.
Kết quả có thể có 365n khả năng khác nhau, khi nói về ngày sinh của n bạn trong
nhóm. Số phần tử thuận lợi cho biến cố B là: Bạn thứ nhất có 364 cách chọn ngày
sinh nhật khác bạn. Bạn thứ 2 có 364 cách chọn ngày sinh nhật khác bạn, tương tự cho
đến bạn thứ n không cùng ngày sinh nhật với bạn có 364 cách chọn. Vậy có tất cả

 364 

n

364n
phần tử thuận lợi cho biến cố B . Xác suất của biến cố B là P( B )=
.
365n
n

 364 
 . Khi n=23 thì P(B)  0,0611 rất nhỏ so với P(A). Để
 365 

P(B)=1- P( B )= 1  
 364 

n

P(B)=0,5 thì 
  0,5 nên n= log 364 0,5  253. Số 253 này cũng trái với trực giác
 365 

365
chúng ta vì 253 > 365/2.
 Nghịch lý Betrand: Theo Trần Lương Công Khanh (2013) nghịch lý này được tác
giả viết như sau:
Nghịch lý Betrand được nhà toán học Pháp Joseph Bertrand (1822-1900) phát biểu
năm 1888 trong quyển Calcul des probabilités (Phép tính xác suất), nghịch lý liên
quan đến bài tốn sau: Trên đường trịn (O, 1), dựng ngẫu nhiên một dây cung MN.


19

Tính xác suất để MN có độ dài lớn hơn

3 (độ dài cạnh tam giác đều nội tiếp).

Xác suất cần tìm là tỉ số diện tích đường trịn nhỏ và đường trịn lớn. Do đó kết quả là ¼.

Khi cách chọn dây cung được xác định, bài tốn có lời giải duy nhất. Khi chưa xác
định cách chọn dây cung, thuật ngữ “ngẫu nhiên” trong “chọn ngẫu nhiên một dây
cung trên đường tròn” trở thành mơ hồ. Ba lời giải của Bertrand ứng với ba cách chọn
dây cung khác nhau và ta khơng có lý do để ưu tiên hoặc bác bỏ lời giải nào. Ngồi
đường kính, một dây cung hồn tồn được xác định bởi trung điểm của nó. Một cách
khác để chọn dây cung ngẫu nhiên là xem xét phân phối trung điểm dây cung. Hai lời
giải đầu tạo ra hai phân phối không đều, khác nhau. Lời giải thứ ba tạo ra một phân
phối đều các trung điểm ở miền trong của đường trịn. Có thể xây dựng các phân phối
khác và thu được các xác suất khác. Giáo viên có tính đến sự phụ thuộc của xác suất
vào các lựa chọn ngẫu nhiên?


20

Qua trình bày trên, chúng tơi thấy liên quan đến vấn đề chọn ngẫu nhiên. Để tìm
hiểu vấn đề này, chúng tơi trích lại phần tri thức luận liên quan đến phép thử ngẫu
nhiên. Theo Lê Thị Hoài Châu (2012), Tác giả có ghi như sau:
Lịch sử phát triển lý thuyết xác suất cho thấy cần phân biệt các phép thử
ngẫu nhiên theo những loại khác nhau như sau:
 Phép thử ngẫu nhiên có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện
 Phép thử ngẫu nhiên có hữu hạn các kết quả không đồng khả năng xuất
hiện
 Phép thử ngẫu nhiên có thể có vơ hạn khả năng ( đồng hoặc không đồng
khả năng ) xuất hiện.
Trong trình bày trước, chúng tơi có đề cập đến ba cách tiếp cận khái niệm xác
suất. Đó là: Tiếp cận cổ điển, tiếp cận thống kê và tiếp cận hệ tiên đề. Trong tiếp cận
cổ điển của Laplace có thể mở rộng cho trường hợp vô hạn kết quả đồng khả năng
xuất hiện. Cách tiếp cận mở rộng này gọi là tiếp cận hình học. Cơng thức để tính xác
suất của chúng là: P(A)=độ đo của A/độ đo  . Trong đó mỗi kết quả có thể được biểu
thị mỗi điểm trong miền đo  . Mỗi kết quả thuận lợi được biểu thị mỗi điểm trong
miền đo A. Miền đo có thể là đường thẳng, diện tích, thể tích. Ba lời giải trong nghịch
lý Bertrand đều thỏa các yếu tố trong tiếp cận hình học. Nhưng làm thế nào để chọn
phương án đúng trong trường hợp này? Theo Trần Lương Công Khanh (2013) những
vấn đề trên là một phần nguyên nhân hình thành nên xác suất hệ tiên đề. Khi đó, lời
giải 3 được chấp nhận vì chọn ngẫu nhiên như vậy tạo ra được phân phối đều.
1.2. Kết luận
 Khái niệm xác suất có thể được tiếp cận theo ba cách khác nhau: Tiếp cận tiên đề,
tiếp cận Laplace và tiếp cận thống kê. Tuy nhiên, hai tiếp cận phù hợp với học sinh
THPT là tiếp cận Laplace và tiếp cận thống kê. Tính xác suất theo tiếp cận Laplace
ứng với biến cố đồng khả năng. Còn tiếp cận thống kê sẽ hiệu quả hơn khi các biến cố
là không đồng khả năng. Theo Trần Túy An (2007): “Cả hai cách tiếp cận (Laplace và
thống kê) vừa mâu thuẫn nhưng cũng vừa hỗ trợ cho nhau. Vì vậy cần một tiến trình
sư phạm gắn bó hai cách tiếp cận này, sao cho tận dụng được quan niệm “ban đầu” của