Luận Văn thạc sĩ CÔNG CỤ ĐẠI SỐ TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11 Nguyễn Văn Hiếu (2015)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

N u

V

H u

CÔNG CỤ ĐẠI SỐ TRONG DẠY-HỌC
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thà h phố Hồ Chí M h – 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

N u

V

H u

CÔNG CỤ ĐẠI SỐ TRONG DẠY-HỌC
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11

Chuyên ngành: Lý luận và phƣơng pháp dạy học
Mã số:

60 14 01 11

môn Toán

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS NGUYỄN I QU C

Thà h phố Hồ Chí M h – 2015


LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, tôi xin ày tỏ lòng iết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn

i Quốc, ngƣời đã

tận tình hƣớng dẫn, đ ng viên và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này
Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS TS Lê Thị Hoài Châu, PGS TS Lê Văn Tiến,
TS.V Nhƣ Thƣ Hƣơng, TS Trần Lƣơng Công Khanh, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung,
TS. Nguyễn Thị Nga đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho tôi những kiến thức quý
áu.
Tôi xin gửi lời cảm ơn:
- Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng SĐH, Khoa Toán – Tin trƣờng ĐHSP TP
HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khóa học
- Lãnh đạo Sở GD ĐT Long An, Tập thể giáo viên trƣờng THPT Nguyễn Công
Trứ đã hết lòng giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành tốt khóa học
Tôi xin cám ơn m tôi và hai con của tôi, những ngƣời đã l ng l lo lắng cho tôi,
đ ng viên tôi những khi tinh thần tôi sa sút
Cuối c ng tôi xin chân thành cám ơn các ạn

, ân nhân, đ c iệt là ạn NTD,

các ạn trong lớp Didactic Toán khóa 24, những ngƣời đã c ng tôi chia sẻ vui uồn và
giúp tôi vƣợt qua những khó khăn trong học tập c ng nhƣ trong cu c sống


MỤC LỤC
N i dung
trang
MỞ ĐẦU
0.1) Những ghi nhận an đầu và câu hỏi xuất phát...................................................... 1
0.2) Mục đích nghiên cứu ............................................................................................ 3
0.3) Phạm vi lý thuyết tham chiếu ............................................................................... 3
0.3.1) Thuyết nhân học trong Didactic Toán ............................................................ 3
0.3.2) Lý thuyết tình huống ...................................................................................... 6
0.4) Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu .......................................................................... 7
0.5) Mục tiêu nghiên cứu, phƣơng pháp nghiên cứu ................................................... 7
0.5.1) Mục tiêu nghiên cứu ....................................................................................... 7
0 5 2) Phƣơng pháp nghiên cứu ................................................................................ 7
0.6) Cấu trúc của luận văn ........................................................................................... 8
CHƢƠNG 1. TỔNG HỢP MỘT S KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VỀ ĐẠI S V VAI
TR C NG CỤ CỦA ĐẠI S Đ I VỚI H NH HỌC TRONG CHƢƠNG TR NH
TOÁN PHỔ THÔNG
1 1) Đại số và vai trò công cụ của đại số đối với hình học .........................................10
1 1 1) Đại số............................................................................................................ 10
1 1 2) Vai trò công cụ của đại số đối với hình học ................................................ 21
1.2) M t số kết luận ................................................................................................... 37
CHƢƠNG 2. CÔNG CỤ ĐẠI S TRONG THỂ CHẾ DẠY-HỌC HÌNH HỌC
KH NG GIAN LỚP 11

2 1) Phân tích chƣơng trình ........................................................................................ 39
2 1 1) Chƣơng trình Hình học 11 cơ ản ................................................................ 39
2 1 2) Chƣơng trình Hình học 11 nâng cao ............................................................ 41
2 2) Phân tích Sách giáo khoa và ài tập ................................................................... 43
2 3) M t số kết luận ................................................................................................... 77
CHƢƠNG 3. THỰC NGHIỆM
3 1) Phần dành cho giáo viên ..................................................................................... 79
3 1 1) Phân tích
câu hỏi ..................................................................................... 80
3.1.2) Phân tích hậu nghiệm ................................................................................... 83
3 2) Phần dành cho học sinh ...................................................................................... 87
3.2.1) Phân tích
câu hỏi ..................................................................................... 88
3.2.2) Phân tích hậu nghiệm ................................................................................... 93
3.3) M t số kết luận ................................................................................................. 104
KẾT LUẬN ..................................................................................................................................107
TÀI LIỆU THAM KHẢO .........................................................................................................109
PHỤ LỤC .....................................................................................................................................112


DANH MỤC C C CHỮ VIẾT TẮT
Chữ v t tắt
BT
BĐT
CL
GV
HHKG
HHKG11
HHGT
HHTH

HHVT
KNV
KNVĐS
SBT
SBT6T2
SBT9T1
SBH11
SBH11N
SGK
SGH11
SGH11N
SGK6T1
SGK7T2
SGK9T1
SGK9T2
SGV
SH11
SH11N
THCS
THPT

V t ầ
Bài tập
Bất đ ng thức
Chiến lƣợc
Giáo viên
Hình học không gian
Hình học không gian ở lớp 11
Hình học giải tích
Hình học nghiên cứu ng phƣơng pháp tổng hợp

Hình học vectơ
Kiểu nhiệm vụ
Kiểu nhiệm vụ trong đó đại số đóng vai trò công cụ
Sách ài tập
Sách ài tập Toán 6 tập 2
Sách ài tập Toán 9 tập 1
Sách ài tập Hình học 11
Sách ài tập Hình học 11 nâng cao
Sách giáo khoa
Hình học 11 Sách giáo viên
Hình học 11 nâng cao Sách giáo viên
Sách giáo khoa Toán 6 tập 1
Sách giáo khoa Toán 7 tập 2
Sách giáo khoa Toán 9 tập 1
Sách giáo khoa Toán 9 tập 2
Sách giáo viên
Sách giáo khoa Hình học 11
Sách giáo khoa Hình học 11 nâng cao
Trung học cơ sở
Trung học phổ thông


1

MỞ ĐẦU
0.1) Nhữ

h

hậ ba

ầu và câu hỏ xuất phát

Nói về vai trò công cụ của đại số, theo tác giả Nguyễn i Quốc 2006),
lịch sử, đại số ra đời để giải quyết m t số

Về m t

ài toán số học” và can thiệp nhƣ m t công

cụ giải các ài toán thu c các lĩnh vực khác” [19, tr. 11]. Đ c iệt, khi nói về ảnh
hƣởng của đại số trong sự ra đời của Hình học giải tích (HHGT), tác giả Lê Thị Hoài
Châu (2008) đã có nhận định nhƣ sau:
Sự phát triển của hình học đòi hỏi phải x t đến các ài toán có liên quan đến các
đƣờng cong, m t cong phức tạp Chính ở đây mà phƣơng pháp tổng hợp

c l những

hạn chế của mình Nó khiến các nhà hình học mong muốn tìm kiếm m t phƣơng pháp
tổng quát không lệ thu c vào hình v
Vào cuối thế k 16, những vật liệu cần thiết cho việc xây dựng m t phƣơng pháp
đáp ứng đòi hỏi đó đã đạt đến đ hoàn hảo Cụ thể là sự phát triển của đại số đã mang
lại hiệu quả không ch trên các số mà trên mọi loại đại lƣợng Xu hƣơng ký hiệu hóa các
đối tƣợng nghiên cứu của Vi te 1540-1603) làm cho tính toán đại số trở nên dễ dàng,
rồi phƣơng pháp đồ thị của Oresme cho ph p iểu diễn tƣơng quan giữa các đại lƣợng
vv

Những điều đó mang lại cho phƣơng pháp đại số m t sức mạnh mới, cho ph p

thay thế những lời giải viện dẫn đến hình học trƣớc đây

ng những lời giải thuần túy

đại số, thƣờng gọn gàng hơn Tất cả đã s n sàng cho toán học chuyển qua m t ƣớc tiến
quyết định , làm đảo ngƣợc mối quan hệ đã đƣợc thiết lập cho đến lúc đó giữa đại số và
hình học [ 3, tr. 34].

Có thể nói, HHGT (còn gọi là Hình học tọa đ ) là đ nh cao của việc vận dụng đại
số vào việc nghiên cứu hình học Thế nhƣng, trong thể chế giảng dạy, do sự sắp xếp
của Chƣơng trình, không phải lúc nào các công cụ của HHGT c ng có thể tham gia
vào việc giải quyết các vấn đề của hình học Trƣờng hợp Hình học không gian ở lớp
11 (HHKG11) là m t ví dụ Ta đều iết, HHGT trong không gian mãi đến HKII lớp 12
mới xuất hiện, trong khi HHKG11 đƣợc xem là n i dung khá khó đối với học sinh
Câu hỏi đ t ra là trong hoàn cảnh đó, đại số có thể can thiệp, h trợ nhƣ thế nào trong
việc dạy và học môn hình học này? Trong lúc đi tìm câu trả lời cho câu hỏi đó, chúng
tôi chú ý đến ài toán sau:


2

Cho tứ diện ABCD có AB  CD và AB=CD=AC=a Trên đoạn AC lấy M với
AM=x Qua M ta v m t ph ng P) song song với AB, CD M t ph ng P) cắt BC, BD,
AD lần lƣợt tại N, R, T Tìm x để diện tích S của tứ giác MNRT lớn nhất
(Trích BT 3.54, sách

nh h

Trang 194, 195, sách

11, trang 165, 166) [14].

nh h

11(SBH11) trình ày lời giải của ài toán

này nhƣ sau:
AB=(ABC) (ABD)
(P) AB
a){
(P) (ABC)=MN
(P) (ABD)=RT
Tƣơng tự, khi P)

MN

R T 1)

CD, ta có MT//NR (2)

̂ =90o (3)
̂ =(AB,CD)
M t khác NMT
T

1), 2) và 3) cho ta MNRT là hình chữ nhật.

b)Tính diện tích S của hình chữ nhật MNRT
Ta có S= MN MT
ABC cân tại A nên MNC cân tại M Do đó MN=MC=a-x.
S=(a-x)x (0 x a)

Theo ất đ ng thức Cô-si, ta có:
2

(a x) x
a2
S=(a x)x (
) =
2
4
Dấu

ng xảy ra khi: a-x=x

x=

Vậy S đạt giá trị lớn nhất là S =

a
2
a2
4

M là trung điểm AC.
a

x= [14, tr. 194, 195].
2

Trong lời giải trên, sự xuất hiện của ất đ ng thức BĐT) Cô-si c ng với các
ph p tính đại số, đại số đã giúp đem đến câu trả lời chính xác cho ài toán tìm diện

tích lớn nhất của m t thiết diện Vấn đề này nếu ch d ng kiến thức hình học thì s g p
rất nhiều khó khăn Bài toán đã cho thấy sự xuất hiện của đại số với vai trò là công cụ
hiệu quả trong giải toán HHKG11.
Phát hiện trên dẫn chúng tôi đến các câu hỏi xuất phát nhƣ sau:
1 Trong HHKG11, những loại ài toán nào cần đến công cụ đại số để giải quyết,
những công cụ đại số nào thƣờng đƣợc vận dụng và vận dụng nhƣ thế nào? Lợi ích của
việc vận dụng đó là gì?


3

2 Học sinh thƣờng g p những khó khăn nào trong việc vận dụng công cụ đại số
khi giải toán HHKG11? Giáo viên có những iện pháp nào để giúp học sinh khắc phục
các khó khăn đó?
T những ghi nhận, thắc mắc đó, chúng tôi quyết định chọn đề tài: C
số tr

d

-h c H h h c h

a

c

p 11” để thực hiện việc nghiên cứu cho

luận văn thạc sĩ của mình
0.2) M c ích

h ê cứu

Mục đích nghiên cứu của luận văn này là làm r vai trò công cụ của đại số trong
việc giải quyết các ài toán HHKG11.
0.3) Ph

v

thu t tha

ch u

Công cụ lý thuyết đƣợc chúng tôi chọn làm cơ sở cho việc đƣa ra các câu trả lời
cho những vấn đề đã nêu thu c phạm vi Didactic Toán mà cụ thể là Thuyết nhân học
trong Didactic Toán, Lý thuyết tình huống với khái niệm Hợp đồng didactic.
Didactic Toán không ch là m t tài liệu tham khảo tốt đối với các nhà nghiên cứu,
giáo viên và sinh viên khoa Toán, mà tất cả những ai quan tâm đến hoạt đ ng dạy học,
t ng trăn trở đi tìm cơ sở lí thuyết, công cụ hữu hiệu lí giải các hiện tƣợng trong giảng
dạy và học tập c ng có thể có những khám phá thú vị khi tham khảo giáo trình này

[1, tr. 9].
Nếu chúng ta gọi đối tƣợng O là các tri thức đại số những tri thức thƣờng đƣợc
vận dụng nhƣ những công cụ giải các ài toán trong chƣơng trình Toán phổ thông); I
là thể chế dạy học hiện hành ở Việt Nam thì vấn đề về cách tiếp cận HHKG11 thông
qua công cụ đại số liên quan đến khái niệm quan hệ thể chế R(I;O) của thuyết nhân
học do Chevallard đ t nền móng Các câu hỏi Những công cụ đại số nào thƣờng đƣợc
vận dụng và vận dụng nhƣ thế nào?”, Học sinh thƣờng g p những khó khăn nào trong
việc vận dụng công cụ đại số khi giải toán HHKG11?” liên quan đến khái niệm quan
hệ cá nhân của lý thuyết này Ngoài ra, câu hỏi đó c ng có thể đƣợc giải đáp ởi khái
niệm Hợp đồng didactic trình ày ởi G. Brousseau (1980).

0.3.1) Thu t hâ h c tr

D dact c T á

Khái niệm về quan hệ đối với tri thức đƣợc đƣa vào ởi Chevallard 1989).
Chevallard đã đ t khái niệm này trong phạm vi nhân chủng học, ở đó những hiện


4

tƣợng liên quan đến việc dạy học m t tri thức toán học) đƣợc mô tả theo các mối
quan hệ thể chế
Theo Chevallard, M t tri thức không tồn tại lơ lửng” trong m t khoảng r ng:
m i tri thức đều xuất hiện ở m t thời điểm nhất định, trong m t xã h i nhất định, nhƣ
là đƣợc cắm sâu vào m t ho c nhiều thể chế” [1, tr. 299]. Nói cụ thể hơn, m i tri thức
đều là tri thức của m t thể chế, c ng m t tri thức nhƣng có thể sống trong những thể
chế khác nhau M i tri thức muốn tồn tại trong m t thể chế thì cần phải tuân thủ theo
m t số ràng u c Do đó, nó phải iến đổi để ph hợp với thể chế mà nó đang đứng
Nói cách khác, nó phải tự thay đổi, nếu không, nó không thể đƣợc duy trì trong thể chế
đó
Lý thuyết nhân chủng học về các tri thức chủ yếu dựa trên 3 thuật ngữ: đối
tượng, cá nhân và thể hế trong đó khái niệm cơ ản là khái niệm thể chế vì nó ch r
hệ thống thực tiễn xã h i Trong phạm vi của sự lý thuyết hóa này, ngƣời ta nói r ng
đối tƣợng O tồn tại đối với m t thể chế I nếu nhƣ tồn tại m t quan hệ thể chế R I, O)
của I với O C ng thế, đối tƣợng O tồn tại đối với m t cá nhân X nếu nhƣ tồn tại m t
quan hệ cá nhân R X, O) của X với O” [9, tr. 3].
Qua hệ cá hâ
M t đối tƣợng O là m t cái gì đó tồn tại ít nhất đối với m t cá nhân X
Quan hệ

nh n của m t cá nhân X với đối tƣợng O là tập hợp những tác đ ng

qua lại mà X có thể có với O: thao tác nó, sử dụng nó, nói về nó, nghĩ về nó,

Quan hệ

cá nhân với m t đối tƣợng O ch r cách thức mà X iết O M t con ngƣời là m t cá
nhân, ở m t thời điểm xác định của lịch sử của nó, và một tập hợp

mối quan hệ

nhân với những đối tƣợng mà nó iết [1, tr.315, 317].

Dƣới quan điểm này, học tập là sự điều ch nh mối quan hệ của m t cá nhân X
với đối tƣợng tri thức O Ho c quan hệ này ắt đầu đƣợc thiết lập nếu nó chƣa t ng
tồn tại), ho c quan hệ này ị iến đổi nếu nó đã tồn tại)
Qua hệ th ch
Chevallard đã d ng thuật ngữ quan hệ thể hế I với tri thứ O, R(I, O), để ch tập
hợp các mối ràng u c mà thể chế I có với tri thức O R I, O) cho iết O xuất hiện ở
đâu,

ng cách nào, tồn tại ra sao, đóng vai trò gì trong I,

Hiển nhiên, trong m t thể


5

chế I, quan hệ R X, O) hình thành hay thay đổi dƣới các ràng u c của R I, O) Việc
học tập của cá nhân X về đối tƣợng tri thức O chính là quá trình thiết lập hay điều

ch nh mối quan hệ R X, O). Tất nhiên, do tri thức O tồn tại trong các thể chể I khác
nhau (ch ng hạn thể chế dạy học Việt Nam, thể chế dạy học Pháp) nên s có mối quan
hệ khác nhau với các cá nhân X ch ng hạn giáo viên, học sinh) Do đó muốn nghiên
cứu quan hệ của cá nhân X với đối tƣợng tri thức O, cần phải đ t nó trong mối quan hệ
của thể chế I mà cá nhân X đang đứng c ng với tri thức O
M t câu hỏi đƣợc đ t ra là làm thế nào để vạch r quan hệ thể chế R I, O) và
quan hệ cá nhân R X, O)? Nh m giải quyết vấn đề này, Chevallard đã đƣa khái niệm
tổ chức prax ologie hay ngắn gọn hơn Prax ologie)
ệ

Khá

Praxéologie, Praxéologie T á h c

Trình ày về Prax ologie, Prax ologie Toán học Tổ chức toán học), theo tác giả
Đoàn Hữu Hải (2001):
Khái niệm prax ologie hình thành dựa trên 4 định đề về nhân chủng học là
Định đề 1 Toàn

thực tiễn của thể chế đƣợc đƣa vào phân tích, theo những

quan điểm khác nhau và theo những phƣơng pháp khác nhau,

ng m t hệ thống những

nhiệm vụ tƣơng đối giới hạn và đƣợc tách ra t dòng chảy của thực tiễn
Định đề 2 Việc thực hiện m t nhiệm vụ nào đó là do vận dụng m t kĩ thuật
Định đề 3 Để có thể tồn tại trong m t thể chế, m t kĩ thuật phải xuất hiện sao cho
có thể hiểu đƣợc, có thể thấy đƣợc và phải đƣợc lý giải
Định đề 4 Bất kì m t yếu tố công nghệ nào c ng cần m t sự lý giải.

Tƣơng ứng với các định đề này, Chevallard đƣa vào khái niệm Prax ologie Đó là
m t

tứ đƣợc hình thành t :
1.Các kiểu nhiệm vụ T-hiện diện trong m t thể chế nào đó;
2.Kĩ thuật τ-cho ph p thực hiện các nhiệm vụ t của c ng m t kiểu nhiệm vụ T;
3.Công nghệ θ-văn ản lý giải cho kĩ thuật τ;
4.Lý thuyết Θ-là công nghệ của công nghệ θ.
Trong trƣờng hợp các thành tố T, τ, θ, Θ của m t Prax ologie mang ản chất toán

học, ngƣời ta nói đến m t tổ hứ to n h

Đá h

á

Đá h

hay là m t Praxéologie to n h

t tổ chức t á h c
á các

u hệ

v : việc đánh giá dựa trên các tiêu chuẩn

[9, tr. 5].

6

- Tiêu chuẩn xác định: các kiểu nhiệm vụ Ti đã đƣợc nêu r chƣa, đ c iệt đã
đƣợc thể hiện qua tập hợp số lƣợng mẫu đủ nhiều và s n có để sử dụng chƣa? Hay
ngƣợc lại, chúng ch đƣợc iết đến qua m t vài mẫu tiêu iểu?
- Tiêu chuẩn về lý do tồn tại: lý do tồn tại của các kiểu nhiệm vụ Ti đã đƣợc
nói r chƣa? Hay ngƣợc lại, chúng dƣờng nhƣ không có lý do gì để tồn tại?
- Tiêu chuẩn thỏa đáng: những kiểu nhiệm vụ đƣợc xem x t có thỏa đáng với
nhu cầu toán học của học sinh trong hiện tại và trong tƣơng lai hay không? Hay
ngƣợc lại, dƣờng nhƣ chúng rất iệt lập với các nhu cầu toán học của học sinh?
Đá h

á ỹ thuật: Kỹ thuật đƣợc đề nghị để giải quyết kiểu nhiệm vụ Ti đã

thực sự đƣợc xây dựng chƣa, hay ch mới là phác thảo? Nó có dễ sử dụng và dễ hiểu
không? Nó có giải quyết đƣợc phần lớn các nhiệm vụ thu c kiểu nhiệm vụ cụ thể
không? Tƣơng lai của nó ra sao và nó có thể tiến triển theo m t cách thức thích hợp
hay không?
Đá h

ác

hệ: Với m t thông áo đƣợc đƣa ra giải thích cho kỹ thuật

thì vấn đề giải thích nó có đƣợc đ t ra hay không? Hay ngƣời ta th a nhận thông áo
này m t cách hiển nhiên, đã đƣợc iết r ? Các hình thức giải thích mà ngƣời ta đã sử
dụng có gần g i và dễ hiểu với các hình thức chuẩn trong toán học không? Cách giải
thích đó có ph hợp với hoàn cảnh và điều kiện sử dụng nó không?

[8, tr. 12].

0.3.2) L thu t t h huố
Khá

ệ

h p ồ

d dact c H p ồ

d

h c

Hợp đồng didactic liên quan đến đối tƣợng dạy-học là m t sự mô hình hóa các
quyền lợi và nghĩa vụ ngầm ẩn của giáo viên và học sinh đối với đối tƣợng đó Theo
G. Brousseau (1980), Ta nói hợp đồng dạy học là m t tập hợp những quy tắc phân
chia và hạn chế trách nhiệm của m i bên, học sinh và giáo viên đối với m t tri thức
toán học đƣợc giảng dạy” [1, tr. 339].
Nhƣ vậy, hợp đồng dạy học chi phối quan hệ giữa thầy và trò về các kế hoạch,
các mục tiêu, các quyết định, các hoạt đ ng và đánh giá sƣ phạm Hợp đồng dạy học
ch ra ở t ng lúc vị trí tƣơng h của các đối tác đối với nhiệm vụ phải hoàn thành và
ch r ý nghĩa sâu sắc của hoạt đ ng đang đƣợc tiến hành, các phát iểu ho c những


7

lời giải thích Nó là quy tắc giải mã cho hoạt đ ng sƣ phạm mà mọi sự học tập trong
nhà trƣờng phải trải qua
0.4) Tr h bà

câu hỏ

h ê cứu

Trên cơ sở những hiểu iết có đƣợc t Thuyết nhân học trong Didactic toán, Lý
thuyết tình huống, chúng tôi cụ thể hóa các câu hỏi xuất phát và trình ày lại thành a
câu hỏi nghiên cứu nhƣ sau:
Q1: Trong hình học của Chƣơng trình Toán phổ thông, công cụ đại số có những
đ c trƣng cơ ản nào?
Q2: Trong HHKG11, những tổ chức toán học nào cho thấy vai trò công cụ của
đại số; những công cụ đại số nào thƣờng đƣợc vận dụng; lợi ích của việc vận dụng các
công cụ đó là gì?
Q3: Trong thực tế dạy-học HHKG11, công cụ đại số thƣờng đƣợc huy đ ng
trong những vai trò nào, học sinh thƣờng g p những khó khăn nào trong việc huy đ ng
các công cụ đại số?
0.5) M c t êu

h ê cứu, phƣơ

0.5.1) M c t êu

pháp

h ê cứu

h ê cứu

Mục tiêu của luận văn này là nghiên cứu vai trò công cụ của đại số trong giải
toán HHKG11.

0.5.2) Phƣơ

pháp

h ê cứu

Để thực hiện mục tiêu nghiên cứu nói trên, chúng tôi chọn phƣơng pháp nghiên
cứu nhƣ sau:
- N h ê cứu

uậ :

Chúng tôi s tiến hành nghiên cứu các luận văn, các sách chuyên khảo và tìm
thêm các ví dụ minh họa trong các SGK, SBT có liên quan trong danh mục Tài liệu
tham khảo để rút ra các kết luận nh m trả lời cho câu hỏi Q1 và góp phần hình thành
nên giả thuyết nghiên cứu.
- N h ê cứu thực t

:

Trong n i dung này, việc nghiên cứu đƣợc chúng tôi tiến hành nhƣ sau:
Đầu tiên, chúng tôi nghiên cứu Chƣơng trình Hình học 11, SGK Hình học 11,
SBT Hình học 11 nh m trả lời cho câu hỏi Q2. Trên cơ sở đó, chúng tôi đƣa ra giả


8

thuyết nghiên cứu và thiết lập
nghiệm

câu hỏi thực nghiệm Cuối c ng, chúng tôi thực

câu hỏi nói trên, phân tích, đánh giá kết quả thu đƣợc, kiểm tra tính thỏa

đáng của giả thuyết nghiên cứu đồng thời trả lời cho câu hỏi Q3.
Nghiên cứu của chúng tôi có thể đƣợc tóm tắt trong sơ đồ sau:
Khung lý thuyết tham chiếu
Nghiên cứu đ c trƣng của đại số và vai trò công cụ của đại số
đối với hình học trong Chƣơng trình Toán phổ thông
qua các tài liệu tham khảo
Nghiên cứu sự xuất hiện của công cụ đại số trong HHKG11
qua Chƣơng trình, SGK Hình học 11; SBT Hình học 11
-Xây dựng giả thuyết nghiên cứu và
câu hỏi thực nghiệm;
-Tiến hành thực nghiệm kiểm chứng giả thuyết nghiên cứu;
-Phân tích và tổng hợp kết quả thực nghiệm

0.6) Cấu trúc c a uậ v
Luận văn gồm 5 phần:
MỞ ĐẦU:
Trong phần này chúng tôi nêu lý do chọn đề tài, câu hỏi xuất phát, khung lý
thuyết tham chiếu, trình ày lại câu hỏi nghiên cứu, mục tiêu nghiên cứu, phƣơng pháp
nghiên cứu và cấu trúc của luận văn
CHƢƠNG 1-TỔNG HỢP MỘT S KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VỀ ĐẠI S V
TR

C NG CỤ CỦA ĐẠI S

VAI

Đ I VỚI H NH HỌC TRONG CHƢƠNG TR NH

TO N PHỔ THÔNG:
Tìm hiểu những đ c trƣng cơ ản của đại số và vai trò công cụ của đại số đối với
hình học qua m t số nghiên cứu đã iết Chƣơng này có các mục:
1.1) Đại số và vai trò công cụ của đại số đối với hình học
1.1.1) Đại số
1 1 2) Vai trò công cụ của đại số đối với hình học


9

1.2) M t số kết luận
CHƢƠNG 2- C NG CỤ ĐẠI S TRONG THỂ CHẾ DẠY-HỌC H NH HỌC
KHÔNG GIAN LỚP 11:
Phân tích Chƣơng trình hình học 11, SGK Hình học 11, SBT Hình học 11 hiện
hành nh m rút ra m t số nhận định về vai trò công cụ của đại số trong dạy-học
HHKG11 Trên cơ sở đó, hình thành giả thuyết nghiên cứu và

câu hỏi thực nghiệm

. Chƣơng này có các mục:
2.1) Phân tích chƣơng trình
2 1 1) Chƣơng trình Hình học 11 cơ ản
2 1 2) Chƣơng trình Hình học 11 nâng cao
2.2) Phân tích Sách giáo khoa và ài tập
2.3) M t số kết luận
CHƢƠNG 3-THỰC NGHIỆM:
Trình ày thực nghiệm kiểm chứng những giả thuyết đƣợc rút ra ở cuối Chƣơng
II. Chƣơng này gồm có các mục:

3 1) Phần dành cho giáo viên
3 1 1) Phân tích

câu hỏi

3.1.2) Phân tích hậu nghiệm
3 2) Phần dành cho học sinh
3.2.1) Phân tích tiên nghiệm
3.2.2) Phân tích hậu nghiệm
3 3) M t số kết luận
KẾT LUẬN:
Tóm tắt những kết quả đạt đƣợc ở chƣơng I, chƣơng II, chƣơng III Đề xuất
hƣớng nghiên cứu có thể mở ra t luận văn này
TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC


10

CHƢƠNG 1
TỔNG HỢP MỘT S KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
VỀ ĐẠI S V VAI TR C NG CỤ CỦA ĐẠI S Đ I VỚI H NH HỌC
TRONG CHƢƠNG TR NH TO N PHỔ TH NG
M c ích c a chƣơ
Tìm hiểu những đ c trƣng cơ ản của đại số và vai trò công cụ của đại số đối với
hình học trong Chƣơng trình Toán phổ thông nh m tìm câu trả lời cho câu hỏi Q1.
Do ị hạn chế về m t thời gian nên chúng tôi không thể thực hiện m t khảo sát
đầy đủ Chƣơng trình và SGK Toán phổ thông Vì vậy, chúng tôi ch giới hạn n i dung
này trong việc tổng hợp các kết quả đã có t m t số công trình nghiên cứu đã iết về
đại số c ng nhƣ mối liên hệ giữa đại số với hình học trong lĩnh vực dạy-học và tìm ví

dụ minh họa trong m t số SGK, SBT hiện hành Phân tích trong chƣơng này đƣợc xem
là cơ sở tham chiếu cho những nghiên cứu tiếp theo.
1.1) Đ

số và va tr c

1.1.1) Đ

c c a

số ố v

h hh c

số

i số l g
Theo D Wheeler 1996), m t khó khăn trong việc định nghĩa đại số là khi chúng
ta nghĩ r ng đã hiểu hết ản chất của nó thì lại xuất hiện những khía cạnh khác cần phải
đƣợc tính đến: đại số là m t hệ thống ký hiệu, đại số là m t tính toán, đại số là m t hệ
thống iểu diễn [19, tr. 10].

Tìm kiếm câu trả trong các t điển toán học chúng tôi thấy những đại ý nhƣ sau:
-

điển o n h

nh- oa- iệt: Đại số, m t ngành của toán học qua đó các

đ c tính chung của những số đƣợc nghiên cứu b ng cách d ng các ký hiệu, thƣờng là

các mẫu tự, để trình ày các iến và các đại lƣợng chƣa iết” [13, tr. 16].
-

điển o n h

nh- iệt: Đại số học: M t phần của toán học, nghiên cứu

các hệ thống và các tính chất của số Trong số học, ta d ng các ký hiệu hay chữ để
tƣợng trƣng cho các ẩn số” [16, tr. 13].
Tìm kiếm trên áo chí, chúng tôi chú ý đến câu trả lời của hai tác giả V Kim
Thủy, Hoàng Trọng Hảo trong ài Ph p toán hai ngôi là gì?”, đăng trên we site của
áo

ội

ới số ra ngày 15 tháng 4 năm 2012:


11

Đại số đƣợc xem nhƣ là ngành toán học mở r ng và tr u tƣợng hóa của

môn số

1

học Trong đại số, các chữ số đƣợc d ng để đại diện cho các số Ch ng hạn nhƣ trong
iểu thức a

a

1) = 2  a

1 thì chữ a đại diện cho m t số ất kỳ, đó là m t iểu

thức đại số Nó khác với iểu thức 2

3 = 5 thu c về số học [25].

Còn trong SGK, liên quan đến khái niệm đại số, trang 25, SGK To n

tập 2

đang lƣu hành (SGK7T2) trình ày khái niệm iểu thức đại số:
Trong toán học, vật lý,

ta thƣờng g p những iểu thức mà trong đó ngoài các

số, các kí hiệu ph p toán c ng, tr , nhân, chia, nâng lên l y th a, còn có các chữ đại
diện cho các số) Ngƣời ta gọi những iểu thức nhƣ vậy là iểu thứ đ i số [5, tr. 25].

M c d có vài điểm khác iệt trong cách trình ày, nhƣng nhìn chung các tài liệu
trên đều có chung nhận định: đại số d ng các ký hiệu, chữ để tƣợng trƣng cho các số.
Ở m t phƣơng diện khác, đại số đƣợc xem là m t ngôn ngữ:
A Bell Bell, 1996) tự hỏi các iểu thức đại số và ngôn ngữ tự nhiên khác nhau
ch nào

ng ch r r ng các quy trình lĩnh h i, quy trình chế tạo ra ý nghĩa tƣơng tự

nhau trong hai lĩnh vực m c d các iểu thức đại số có khuynh hƣớng dày đ c hơn và ít

rƣờm rà hơn các phát

iểu của ngôn ngữ tự nhiên (Bednarz, Kieran, Lee, 1996)

[19, tr. 10].
Tuy nhiên, hình nhƣ có m t khác nhau thực sự giữa ngôn ngữ tự nhiên và ngôn
ngữ đại số đó là
ngôn ngữ đại số không ch phục vụ cho iểu đạt mà còn cho cả thao tác nữa. Các
ph p iến đổi về m t cú pháp của các iểu thức ký hiệu có thể đƣợc thực hiện m t cách
máy móc và chúng đƣợc sử dụng t các tƣơng đƣơng, mà không thiết lập các tƣơng
đƣơng này

ng cách làm việc trên chính những khái niệm, trong khi các quy tắc cú

pháp hiển nhiên ắt nguồn t kiến thức của các khái niệm này [19, tr. 10].

Ví dụ về thao tác đại số, theo nhóm tác giả Pilar Bolea, Marianna Bosch,
Josep Gascón (2004), m t số đối tƣợng đại số nhƣ phƣơng trình, iểu thức, công
thức, và hàm số có thể đƣợc thao tác: giải quyết, đơn giản hóa, đại diện ho c
chuyển đổi (certain algebraic objects (equations, expressions, formulas, and

1

Có l ở đây hai tác giả d ng t

chữ số” để ch các chữ đƣợc d ng để tƣợng trƣng cho số


12

functions) can be manipulated (solved, simplified, represented or transformed))”
[30, tr.129].
Để có m t cái nhìn xác đáng về đại số, chúng tôi đã tham khảo nhiều tài liệu,
trong đó chúng tôi đ c iệt quan tâm đến luận án tiến sỹ của tác giả Nguyễn

i Quốc

(2006) ([19]); ài viết Why is modelling not included in the teaching of alge ra at
secondary school?2” của nhóm tác giả Pilar Bolea, Marianna Bosch, Josep Gascón
(2004) ([30]); giáo trình Pre al ulus của nhóm tác giả Franklin D. Demana, Bert K.
Waits, Gregory D. Foley, Daniel Kennedy (2011) ([31]) và giáo trình

lge ra 2

Pra ti e Work ook with Examples của McDougal Littell 2011) [32])
Theo luận án tiến sỹ của tác giả Nguyễn i Quốc 2006):
Năm 1842, G. H. F. Nesselman đã phân loại sự phát triển lịch sử của phong trào
ký hiệu học đại số thành a giai đoạn:
- Giai đoạn « h ng iện » trƣớc Diophante, 325-410) đ c trƣng ởi việc sử dụng
ngôn ngữ thông thƣờng để giải quyết m t số dạng đ c iệt ài toán, và thiếu vắng cho
việc iểu thị các iến số Đại số h ng iện iểu thị lời giải của m t ài toán mà không
d ng ất kỳ m t sự viết tắt hay ký hiệu nào cả
- Giai đoạn «rút âm t » T Diophante đến cuối thế k XVI) : Diophante đã đƣa
vào việc sử dụng viết tắt để ch các đại lƣợng chƣa iết Đại số «rút âm t » sử dụng m t
số viết tắt tốc ký cho m t số ph p toán, đại lƣợng, và các quan hệ mà đƣợc sử dụng
thƣờng xuyên hơn.
- Giai đoạn «đại số ký hiệu» T thời kỳ Vìete trở đi): các chữ cái c ng đƣợc sử
dụng để ch các đại lƣợng: do đó có thể iểu thị các nghiệm «tổng quát», và sử dụng đại
số nhƣ m t công cụ để chứng minh các quy tắc tính toán
Trong việc dạy Toán, đại số đã chiếm m t vị trí quan trọng nhờ các

nhớ ký

hiệu [19, tr. 11].

Nhƣ vậy, trong giai đoạn hiện nay và nhất là trong dạy-học toán, nếu x t về m t
hình thức thì đại số là đại số ký hiệu, là ngành toán học d ng ký hiệu để tƣợng trƣng
cho các đại lƣợng. Ở m t nghĩa h p, về m t t -ngữ, t đại số có nghĩa là đại diện cho
số đã nói lên điều đó.

2

Tạm dịch: Tại sao việc mô hình hóa không đƣợc ao gồm trong việc giảng dạy đại số ở trƣờng trung học.”


13

Tất nhiên, s là thiếu sót nếu nói đến ngôn ngữ đại số mà ch x t đến m t hình
thức. Theo tác giả Nguyễn

i Quốc 2006), ngôn ngữ đại số không ch phục vụ cho

iểu đạt mà còn cho cả thao tác nữa”. Điều này đƣợc nhóm tác giả Pilar Bolea,
Marianna Bosch , Josep Gascón (2004) nhìn nhận với yêu cầu Đại số phải phục vụ
cho việc mô hình hóa hệ thống toán học Đ c iệt, nó phải cho ph p chúng ta đ t ra và
giải quyết các vấn đề trong các lĩnh vực toán học khác số học, hình học, vv) nơi mà
nếu không có đại số khó có thể đ t ra và giải quyết” [30, tr.127].
Nghiên cứu đại số trong lĩnh vực dạy và học, tác giả Nguyễn i Quốc cho iết:
Xuất phát t sự phân iệt tổng quát, do R gine Douady 1984) giới thiệu, về phép
iện chứng giữa hai m t công cụ đối tƣợng của m t khái niệm toán học, Brigitte

Grugeon (1995) đƣa ra m t tổ chức tri thức đại số sơ cấp xung quanh hai m t chính yếu:
M t công cụ: đại số đƣợc xem nhƣ là m t công cụ để giải m t số ài toán nảy sinh
t các ngữ cảnh ên trong hay ên ngoài toán học
M t đối tƣợng: đại số đƣợc xem nhƣ m t tập hợp cấu trúc các đối tƣợng ẩn số,
iến số, tham số, phƣơng trình, ất phƣơng trình, hàm số,

) đƣợc trang ị các tính

chất, đ c iệt là các kiểu giải quyết mang ản chất hình thức, các kiểu iểu diễn cho
phép các giải quyết này cách viết đại số, đồ thị, ký hiệu hàm số,

) [19, tr. 11].

Nhƣ với mọi khái niệm toán học, ngƣời ta làm việc trên các đối tƣợng của đại số
thông qua các hệ thống iểu đạt (Duval, 1993) nhƣ ngôn ngữ tự nhiên, đồ thị, ký
hiệu

Việc dạy đại số ƣu tiên cho hệ thống iểu đạt

ng ký hiệu M t hệ thống đƣợc

thiết lập qua các chữ cái và các dấu hiệu iểu diễn các ph p toán
quan hệ giữa các iểu thức đại số =, <,

, -, ×,

) và các

) [19, tr. 12].

Tác giả nêu ra ba đối tƣợng quan trọng cho nghiên cứu đại số sơ cấp là chữ”,
iểu thức đại số” và dấu đ ng thức”:
a) Chữ
Kucheman (1981) đã đƣa ra m t sự phân loại các vai trò của chữ trong đó ông
phân iệt:
- Chữ đƣợc gán giá trị: ngƣời ta thay

ng m t giá trị số,

- Chữ không đƣợc xem x t: chữ không iết đến trong tính toán,
- Chữ ch đối tƣợng cụ thể: chữ là m t nhãn,
- Chữ ch ẩn số đ c th : chữ ch m t số chƣa iết cần tìm,


14

- Chữ ch số đƣợc khái quát hóa: chữ có thể nhận đƣợc nhiều giá trị,
- Chữ ch

iến số: chữ đƣợc sử dụng trong m t ngữ cảnh hàm số [19, tr. 12].

b) iểu thứ đ i số
Biểu thức đại số sử dụng các phần tử: số, chữ và dấu hiệu ph p toán thu c về số
học [19, tr. 12].
Trong số học, chu i số và ph p toán đƣợc xem nhƣ những quy trình hƣớng đến
việc tạo ra m t câu trả lời Ngƣợc lại, trong đại số, ản thân các ký hiệu đƣợc viết ra
iểu thức, phƣơng trình, hàm số) đều có ý nghĩa, đ c lập với các quy trình mà chúng
iểu thị trong việc giải các ài toán Sự phân iệt này gắn liền với các công trình nghiên
cứu của Sfard 1991) trong đó đ t ra việc phân iệt hai quan niệm chính đối với m t
iểu thức đại số: ho c theo cấu trúc, nhƣ m t đối tƣợng, ho c theo ph p toán, nhƣ m t

quy trình, đồng thời nhấn mạnh r ng, trong m t hoạt đ ng toán học, ngƣời ta nối khớp
hai quan niệm này theo các yêu cầu cần thiết.
Những nghiên cứu khác cho thấy r ng hoạt đ ng cần thiết cho việc giải các ài
toán đại số đ t ra c ng lúc m t cấp đ cú pháp và a cấp đ ngữ nghĩa học (Nicaud,
1994) Việc nghiên cứu a cấp đ ngữ nghĩa học cho ph p phân tích sự tiến triển nghĩa
của ph p tính đại số:
- cấp đ 1: phân phối giá trị cho các iến tham gia trong m t iểu thức đại số,
- cấp đ 2: iến đổi m t iểu thức thành m t iểu thức tƣơng đƣơng khai triển,
phân tích thành th a số)

ng m t tính toán trực tiếp,

- cấp đ 3: tổ chức các giai đoạn của m t tính toán đại số nhờ m t suy luận chiến
lƣợc
Nicaud 1993) cho r ng chúng ta thực hiện m t việc tính toán đại số thực sự khi
m t phần có ý nghĩa của hoạt đ ng n m ở cấp đ này cấp đ thứ 3 ngữ nghĩa học)
Không có cấp đ này, đại số đƣợc sử dụng nhƣ m t sự ký hiệu đơn giản”.
Về phía mình, Drouhard 1992) dựa trên các khái niệm nghĩa, sự iểu hiện, sự
giải thí h và sự mở rộng nghĩa vay mƣợn của Frege 1971) để phân tích việc xử lý các
iểu thứ ký hiệu của đại số sơ cấp và các ph p iến đổi hình thức trong việc viết lại Vì
thế, hai iểu thức đại số: x 1)² và x² 2x 1 có c ng m t iểu hiện, nhƣng không cùng
m t nghĩa Ch ng hạn, iểu thức thứ nhất cho ta thấy r ng iểu thức đó luôn dƣơng.
Việc xử lý m t iểu thức t y thu c vào nghĩa của nó, nhƣng đƣợc thực hiện
giữ đƣợc sự iểu hiện của nó [19, tr. 13].

ng cách


15

c) Dấu đẳng thứ
Dấu đ ng thức có m t vai trò k p Nó có thể ho c ch m t kết quả, ho c m t quan
hệ tƣơng đƣơng Trong số học, nó có chức năng thông áo m t kết quả, trong khi trong
đại số nó diễn đạt m t quan hệ tƣơng đƣơng, đ c iệt là trong các phƣơng trình. Nhƣ
vậy c ng m t lúc có m t sự liên tục và gián đoạn giữa số học và đại số [19, tr. 14].

Tìm kiếm các n i dung tƣơng tự trong các tài liệu khác, chúng tôi nhận thấy:
Trong giáo trình

lge ra 2 Pra ti e Work ook with Examples ủa McDougal

Littell 2011),
Liên quan đến đối tƣợng Chữ” với vai trò ch

iến số:

M t iến là m t kí tự đƣợc sử dụng để đại diện cho m t ho c nhiều số (A variable
is a letter that is used to represent one or more numbers).
Bất kỳ số nào đƣợc sử dụng để thay thế m t iến là m t giá trị của iến (Any
number used to replace a variable is a value of the variable) [32, tr. 4].

Liên quan đến đối tƣợng biểu thức đại số:
M t iểu thức đại số là m t iểu thức có iến (An algebraic expression is an
expression involving variables).
Khi các iến trong m t iểu thức đại số đƣợc thay thế

ng những con số, kết quả

đó đƣợc gọi là giá trị của iểu thức (When the variables in an algebraic expression are
replaced by numbers, the result is called the value of the expression).

Các hạng tử” là những phần đƣợc c ng vào trong m t iểu thức, ch ng hạn nhƣ
5 và –x trong iểu thức 5-x (Terms are the parts that are added in an expression, such
as 5 and –x in the expression).
Hệ số” là số đƣợc nhân với m t iến trong m t hạng tử (A coefficient is the
number multiplied by a variable in a term).
Hai iểu thức đại số là tƣơng đƣơng” nếu chúng có c ng giá trị cho tất cả các giá
trị của iến của chúng (Two algebraic expressions are equivalent if they have the same
value for all values of their variable(s)) [32, tr.4].

Liên quan đến đối tƣợng dấu đ ng thức”,

lge ra 2 Pra ti e Work ook with

Examples trình ày khái niệm phƣơng trình”:
M t phƣơng trình là m t trình ày mà trong đó hai iểu thức
equation is a statement in which two expressions are equal) [32, tr.7].

ng nhau (An


16

Ngoài ra, giáo trình này c ng trình ày m t số khái niệm khác liên hệ với iểu
thức đại số nhƣ:
- Các hạng tử đồng dạng”:
Các hạng tử đồng dạng là các iểu thức có phần iến giống nhau Các h ng số nhƣ
2 và -4 c ng là các hạng tử đồng dạng (Like terms are expressions that have the same
variable part. Constant terms such as 2 and -4 are also like terms) [32, tr.4].

- L y th a”, Cơ số” và Số m ”:

Các cơ số của m t số m là số ho c iến đƣợc sử dụng nhƣ m t th a số trong
ph p nhân l p đi l p lại Ví dụ, trong iểu thức 4n, 4 là cơ số (The base of an exponent is
the number or variable that is used as a factor in repeated multiplication. For example,
in the expression 4n, 4 is the base) [32, tr. 4].
M t số m là số ho c iến đại diện cho số lần cơ số đƣợc sử dụng nhƣ m t th a
số Ví dụ, trong iểu thức 4n, n là số m (An exponent is the number or variable that
represents the number of times the base is used as a factor. For example, in the
expression is the exponent) [32, tr. 4].
M t l y th a là kết quả của ph p nhân l p đi l p lại Ví dụ, trong iểu thức 42=16,
16 là l y th a ậc hai của 4 (A power is the result of repeated multiplication. For
example, in the expression 42=16, 16 is the second power of 4) [32, tr. 4].

Trong các vấn đề về chữ ch

iến số, iểu thức đại số, dấu đ ng thức kể trên, có

thể nói lge ra 2 Pra ti e Work ook with Examples đã cụ thể hóa, chi tiết hóa n i
dung tƣơng ứng mà tác giả Nguyễn i Quốc đã trình ày.
Còn trong giáo trình Pre al ulus của các tác giả Franklin D Demana, Bert K
Waits, Gregory D Foley, Daniel Kennedy 2011), chúng tôi đ c iệt quan tâm đến vấn
đề Những thu c tính cơ ản của Đại số (Basic Properties of Algebra)” Theo giáo
trình này,
Đại số” liên quan đến việc sử dụng các chữ cái và các ký hiệu khác để đại diện
cho các số thực (Algebra involves the use of letters and other symbols to represent real
numbers).
Biến” là m t kí tự ho c iểu tƣợng ví dụ, x, y, t, θ) đại diện cho m t số thực
không xác định ( varia le is a letter or sym ol (for example, x, y, t, θ) that represents
an unspecified real number).

17

H ng” là m t kí tự ho c iểu tƣợng ví dụ, -2, 0, √ , π) đại diện cho m t số thực
cụ thể (A constant is a letter or symbol (for example,2, 0, √ , π) that repre-sents a
specific real number).
Biểu thức đại số” là m t sự kết hợp của các iến và h ng số liên quan đến các
ph p toán c ng, tr , nhân, chia, l y th a và căn thức (An algebraic expression is a
combination of variables and constants involving addition, subtraction, multiplication,
division, powers, and roots) [31, tr. 5].

Ở đây, ngoài việc kh ng định thu c tính cơ ản của đại số là sử dụng các chữ
cái và các ký hiệu khác để đại diện cho các số thực”, các vấn đề về iến, iểu thức đại
số, theo chúng tôi, đƣợc Pre al ulus trình ày không khác gì hai tài liệu trƣớc Riêng
việc giáo trình này cho r ng đại số liên quan đến việc sử dụng các chữ cái và các ký
hiệu khác để đại diện cho các số thực mà không đề cập đến việc d ng chữ cái và các
ký hiệu khác đại diện cho các số phức có l là do trong chƣơng trình của giáo trình
này, tại thời điểm xuất hiện n i dung trên chƣa có khái niệm số phức
Tìm kiếm n i dung tƣơng tự trong các giáo trình toán của Việt Nam hiện hành, chúng
tôi nhận thấy:
Về iểu thức đại số, nhƣ đã nói ở trên, SGK o n
Trong toán học, vật lý,

tập 2 trình ày:

ta thƣờng g p những iểu thức mà trong đó ngoài các

số, các kí hiệu ph p toán c ng, tr , nhân, chia, nâng lên l y th a, còn có các chữ đại
diện cho các số) Ngƣời ta gọi những iểu thức nhƣ vậy là iểu thứ đ i số.
í

: Các iểu thức 4x ; 2 5 a) ; 3 x y) ; x2 ; xy ;

150
t

;

1
x-0,5

là những iểu thức

đại số [5, tr. 25].

Chúng tôi thấy, ở đây khái niệm iểu thức đại số đƣợc SGK o n

tập 2 trình

ày cô đ ng hơn so với trong các tài liệu đã dẫn trƣớc Về vai trò của đối tƣợng chữ”,
SGK o n

tập 2 nói chữ đại diện cho các số”. Nhƣ vậy, có thể nói SGK o n

tập

2 đã trình ày m t cách khái quát 4 vai trò quan trọng trong 6 vai trò của chữ mà tác
giả Nguyễn i Quốc đã nói đến đó là Chữ đƣợc gán giá trị”, Chữ ch ẩn số đ c th ”,
Chữ ch số đƣợc khái quát hóa” và Chữ ch
Ngoài ra, chúng tôi nhận thấy:

iến số”


18

Tƣơng ứng với các khái niệm hạng tử, hạng tử đồng dạng trong giáo trình
lge ra 2 Pra ti e Work ook with Examples, SGK o n

tập 2 có các khái niệm

Đơn thức” và đơn thức đồng dạng”:
Đơn thức là iểu thức đại số ch gồm m t số, ho c m t iến, ho c m t tích giữa
các số và các iến” [5, tr. 32].
Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác 0 và có c ng phần iến”
[5, tr. 33].
Trong các SGK toán hiện hành của Việt Nam chúng tôi không tìm thấy khái
niệm hai iểu thức đại số tƣơng đƣơng” Thay vào đó, chúng tôi tìm thấy khái niệm
phƣơng trình” Theo chúng tôi, khái niệm phƣơng trình đƣợc trình ày trong SGK đại
số lớp 10 là tổng quát, đầy đủ nhất
Khái niệm phƣơng trình trong SGK

i số 10 (cơ ản):

Phƣơng trình m t ẩn x là mệnh đề chứa iến có dạng f(x)=g(x) (1) trong đó f x)
và g x) là những iểu thức của x
Nếu có số thực xo sao cho f(xo)=g(xo) là mệnh đề đúng thì xo đƣợc gọi là m t
nghiệm của phƣơng trình 1) [12, tr. 53].
Ngoài các phƣơng trình m t ẩn, ta còn g p những phƣơng trình có nhiều ẩn số,
ch ng hạn 3x+2y=x2-2xy+8 (2), 4x2-xy+2z=3z2+2xz+y2 (3).
Phƣơng trình 2) là phƣơng trình hai ẩn x và y), còn 3) là phƣơng trình 3 ẩn x, y

và z).
Khi x=2, y=3 thì hai vế của phƣơng trình 2)

ng nhau, ta nói c p số x;y)= 2;3)

là m t nghiệm của phƣơng trình 2)
Tƣơng tự

a số x;y;z)= -1;1;2) là m t nghiệm của phƣơng trình 3) [12,tr.54].

Tƣơng tự nhƣ SGK

i số 10, SGK

i số 10 n ng ao c ng trình ày khái

niệm phƣơng trình gồm hai n i dung là phƣơng trình m t ẩn” và phƣơng trình nhiều
ẩn” đồng thời ổ sung khái niệm tập xác định của phƣơng trình”:
Cho hai hàm số y=f x) và y=g x) có tập xác định lần lƣợt là Df và Dg.
Đ t D=DfDg.
Mệnh đề chứa iến f x)=g x)” đƣợc gọi là phƣơng trình m t ẩn; x gọi là ẩn số
hay ẩn) và D gọi là tập xác định của phƣơng trình.


19

Số xoD đƣợc gọi là m t nghiệm của phƣơng trình f x)=g x) nếu f(xo)=g(xo)” là
mệnh đề đúng [22 , tr. 66].
Trong thực tế ta còn g p những phƣơng trình có nhiều hơn m t ẩn Đó là các
phƣơng trình dạng F=G, trong đó F và G là những iểu thức của nhiều iến Ch ng hạn,

2x2+4xy-y2=-x 2y 3 là m t phƣơng trình hai ẩn x và y); x y z=3xyz là m t phƣơng
trình a ẩn x, y và z) [22 , tr. 70].

Quay lại với luận án tiến sỹ của tác giả Nguyễn i Quốc ở phần Các dạng khác
của hoạt đ ng đại số”, chúng tôi chú ý đến khía cạnh nói lên tính công cụ của đại số:
Kieran 1996, 2001) phát triển m t mô hình của hoạt đ ng đại số trong đó phân
iệt a họat đ ng chủ chốt của đại số sơ cấp : Khái quát ( ản sinh), iến đổi và Toàn
thể/Cấp độ

eta.

o t động ản sinh:
Hoạt đ ng này ao gồm việc hình thành các iểu thức và phƣơng trình là những
đối tƣợng của đại số Tác giả đƣa ra ba ví dụ đ c trƣng sau của hoạt đ ng Sản sinh:
- Phƣơng trình m t ẩn mô hình hóa m t ài toán tình huống.
- Biểu thức khái quát hóa m t quan hệ giữa các phần tử hình học hay dãy số.
- Biểu thức chứng minh các tính chất số học
Ho t động Biến đổi:
Hoạt đ ng này tập trung chủ yếu việc thay đổi dạng của m t iểu thức hay m t
phƣơng trình và luôn ảo đảm sự tƣơng đƣơng Tác giả nêu lên m t số nghiên cứu về
dạng hoạt đ ng này ch ng hạn Cerulli
Ho t động o n thể/ ấp độ

Mariotti, 2001 : Lagrange 2000)

eta:

Trong hoạt đ ng này, đại số đƣợc sử dụng nhƣ m t công cụ Hoạt đ ng này ao
gồm hoạt đ ng giải ài toán, mô hình hóa cấu trúc, nghiên cứu sự thay đổi, chứng minh,
tiên đoán mà không cần đến đại số Thực tế, theo quan điểm chƣơng trình, các hoạt

đ ng Toàn thể cấp đ Meta không thể tách rời với các hoạt đ ng khác, đ c iệt là hoạt
đ ng Sản sinh, nếu không thì s làm mất đi mục tiêu của đại số [19, tr. 14].

Nhƣ vậy, đại số đƣợc sử dụng nhƣ m t công cụ trong Hoạt đ ng Toàn thể cấp đ
Meta không tách rời với các hoạt đ ng Khái quát Sản sinh) và Biến đổi. Do đó, trong
các phần tiếp theo của luận văn này, để nghiên cứu vai trò công cụ của đại số trong


20

HHKG11, tất nhiên chúng tôi s tập trung nghiên cứu sự hiện diện của các hoạt đ ng
này.
Về sử dụng đại số nhƣ m t công cụ, đ c iệt là trong vấn đề mô hình hóa, theo
nhóm tác giả Pilar Bolea, Marianna Bosch, Josep Gascón (2004),
Bên cạnh quan điểm về đại số nhƣ m t số học tổng quát, chúng ta c ng có thể
xem hoạt đ ng đại số cơ ản nhƣ m t công cụ mô hình hóa toán học theo nghĩa của
Chevallard 1985, 1989, 1990) Trong trƣờng hợp này, đại số không đƣợc coi là m t n i
dung của riêng mình, nhƣng nhƣ m t công cụ cho việc mô hình hóa các hệ thống toán
học mà chúng ta gọi (Bolea et al. 1998) là quá trình đại số của các tổ chức toán học
(Beside the point of view of algebra as a generalised arithmetic, we can also see
algebraic activity as essentially a mathematical modelling tool (in the sense of
Chevallard 1985, 1989, 1990). In this case, algebra is not considered as a content of its
own, but as a tool for modelling mathematical systems, what we called (Bolea et al.
1998) the algebraisation process of mathematical organisations.) [30, tr. 127].
Còn theo nhóm tác giả Franklin D Demana, Bert K Waits, Gregory D Foley,

Daniel Kennedy 2011), trong giáo trình Pre al ulus,
Trong lịch sử, đại số đã đƣợc sử dụng để tái hiện các vấn đề với các biểu tƣợng
mô hình đại số) và giải quyết chúng b ng cách giảm các giải pháp nhờ vào thao tác
đại số đối với các iểu tƣợng (Historically, algebra was used to represent problems

with symbols (algebraic models) and solve them by reducing the solution to algebraic
manipulation of symbols) [31, tr. 2].

Về xác định n i dung của các lĩnh vực hình học, số học, đại số và giải tích trong
chƣơng trình Toán phổ thông, theo tác giả Nguyễn Bá Kim 2006),
Toán trong nhà trƣờng phổ thông chủ yếu ao gồm các lĩnh vực sau, đƣợc tập hợp
thành hai

phận:

 Số học, đại số và giải tích;
 Hình học
Về số học, đại số và giải tích có thể kể các n i dung sau:
(1) Các tập hợp số;
(2) Các ph p iến đổi đồng nhất;
(3) Phƣơng trình và ất phƣơng trình;