(Luận văn thạc sĩ) dạy học hệ phương trình vô tỉ ở trung học phổ thông

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC
-----------------------------------------------------

NGUYỄN KIỀU DUNG

DẠY HỌC HỆ PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ
Ở TRUNG HỌC PHỔ THƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TỐN

HÀ NỘI – 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC
-----------------------------------------------------

NGUYỄN KIỀU DUNG

DẠY HỌC HỆ PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ
Ở TRUNG HỌC PHỔ THƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TỐN
CHUN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MƠN TỐN)
Mã số: 60 14 01 11

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu

Hà Nội 2015

i


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên trong Luận văn này, tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo,
cô giáo Trƣờng Đại học Giáo dục - Đại học Quốc gia Hà Nội đã nhiệt tình giảng
dạy, hết lịng giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Đặc biệt tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH Nguyễn Văn
Mậu - ngƣời đã trực tiếp hƣớng dẫn và tận tình chỉ bảo tác giả trong quá trình
nghiên cứu, thực hiện đề tài.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô giáo dạy Toán và
các em học sinh Trƣờng THPT Lê Lợi, Hà Đông, Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi
cho tác giả trong quá trình thực hiện thực nghiệm sƣ phạm góp phần hồn thành
Luận văn.
Xin chân thành cảm ơn tới gia đình, sự quan tâm giúp đỡ của bạn bè, đồng
nghiệp, đã tạo điều kiện thuận lợi, tiếp sức để tơi hồn thành Luận văn.
Do khả năng và thời gian có hạn mặc dù đã cố gắng rất nhiều song bản
Luận văn này chắc chắn không tránh khỏi sai sót. Tác giả rất mong tiếp tục nhận
đƣợc sự chỉ dẫn, góp ý của các nhà khoa học, các thầy cô giáo và các bạn đồng
nghiệp.
Xin trân trọng cảm ơn.
Hà Nội, tháng 11 năm 2015

Nguyễn Kiều Dung

ii


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

Viết tắt

Viết đầy đủ

B1

Bƣớc 1

ĐB

Đồng biến

ĐC

Đối chứng

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

KT
Kiểm tra
NB
Nghịch biến
Nxb

Nhà xuất bản
SGK
THPT

Sách giáo khoa

TN

Trung học phổ thông

Vn

Thực nghiệm
Vô nghiệm

iii


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................. i
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT ............................................ iii
MỤC LỤC ................................................................................................................. iii
DANH MỤC BẢNG BIỂU .................................................................................... vii
MỞ ĐẦU .....................................................................................................................1
1. Lý do chọn đề tài .................................................................................................1
2. Mục tiêu nghiên cứu ............................................................................................2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ...........................................................................................2
4. Khách thể và đối tƣợng nghiên cứu .....................................................................2
5. Phạm vi nghiên cứu .............................................................................................2
6. Phƣơng pháp nghiên cứu .....................................................................................2

7. Giả thuyết khoa học .............................................................................................3
8. Đóng góp mới của đề tài ......................................................................................3
9. Cấu trúc của luận văn ..........................................................................................3
CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN ..................................................................................4
1.1. Phƣơng pháp dạy học mơn Tốn ......................................................................4
1.1.1. Khái niệm phƣơng pháp dạy học ................................................................4
1.1.2. Tổng thể các phƣơng pháp dạy học ............................................................4
1.1.2.1. Phƣơng pháp dạy học theo phƣơng diện những chức năng điều chỉnh
quá trình dạy học ..............................................................................................5
1.1.2.2. Phƣơng pháp dạy học theo phƣơng diện những con đƣờng nhận thức ... 5
1.1.2.3. Phƣơng pháp dạy học theo phƣơng diện những hình thức hoạt động
bên ngồi của thầy và trò..................................................................................5
1.1.2.4. Phƣơng pháp dạy học theo những mức độ tìm tịi, khám phá ............5
1.1.2.5. Phƣơng pháp dạy học theo hình thức tổ chức dạy học .......................5
1.1.2.6. Phƣơng pháp dạy học theo phƣơng diện phƣơng tiện dạy học ...........5
1.1.2.7. Phƣơng pháp dạy học theo hình thức tự học .......................................6
1.1.2.8. Phƣơng pháp dạy học trong những tình huống dạy học điển hình .....6

iv


1.1.3. Những phƣơng pháp dạy học vận dụng vào quá trình dạy học mơn Tốn 6
1.1.3.1. Phƣơng pháp dạy học truyền thống.....................................................6
1.1.3.2. Phƣơng pháp dạy học hiện đại ............................................................8
1.1.4. Dạy học hệ phƣơng trình vơ tỉ ở Trung học phổ thơng ..............................8
1.2. Một số vấn đề phƣơng trình vơ tỉ và hệ phƣơng trình vơ tỉ ............................10
1.2.1. Một số vấn đề về phƣơng trình vơ tỉ ........................................................10
1.2.2. Một số vấn đề về hệ phƣơng trình vơ tỉ ...................................................10
1.3. Một số vấn đề về hàm số ................................................................................11
1.3.1. Định nghĩa về hàm số. Cách cho hàm số .................................................11

1.3.2. Định nghĩa về hàm số đơn điệu ................................................................11
1.3.3. Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu trên tập xác định ......................12
1.3.4. Sử dụng đạo hàm để xét sự biến thiên của hàm số...................................12
1.2.5. Các tính chất của hàm đơn điệu ...............................................................12
1.4. Một số bất đẳng thức ......................................................................................13
1.4.1. Bất đẳng thức AM-GM ............................................................................13
1.4.2. Bất đẳng thức Cauchy ..............................................................................13
KẾT LUẬN CHƢƠNG 1..........................................................................................14
CHƢƠNG 2. THỰC TRẠNG VIỆC DẠY HỌC HỆ PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ Ở
TRUNG HỌC PHỔ THƠNG....................................................................................15
2.1. Hệ phƣơng trình vơ tỉ trong chƣơng trình Tốn trung học phổ thơng ............15
2.1.1. Hệ phƣơng trình vơ tỉ trong chƣơng trình sách giáo khoa mơn Tốn trung
học phổ thơng .....................................................................................................15
2.1.2. Hệ phƣơng trình vơ tỉ trong các đề thi học sinh giỏi, đề thi đại học. .......16
2.2. Thực trạng việc dạy học hệ phƣơng trình vơ tỉ ở một số trƣờng Trung học
phổ thông ...............................................................................................................20
2.2.1. Thực trạng việc dạy hệ phƣơng trình vơ tỉ của giáo viên ở một số trƣờng
trung học phổ thông ............................................................................................20
2.2.2. Thực trạng việc học hệ phƣơng trình vơ tỉ của học sinh ở một số trƣờng
trung học phổ thông ............................................................................................24
KẾT LUẬN CHƢƠNG 2..........................................................................................32
CHƢƠNG 3. MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP ................................................................34

v


GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ .........................................................................34
3.1. Phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng ...............................................................34
3.1.1. Phép biến đổi hệ phƣơng trình tƣơng đƣơng............................................34
3.1.2. Các ví dụ ...................................................................................................34

3.2. Phƣơng pháp đặt ẩn phụ .................................................................................39
3.2.1. Phƣơng pháp đặt ẩn phụ ...........................................................................39
3.2.2. Các ví dụ ...................................................................................................39
3.3. Phƣơng pháp lƣợng giác hóa ..........................................................................45
3.3.1. Phƣơng pháp lƣợng giác hóa ....................................................................45
3.3.2. Các ví dụ ...................................................................................................48
3.4. Phƣơng pháp tọa độ hóa .................................................................................55
3.4.1. Phƣơng pháp tọa độ hóa ...........................................................................55
3.4.2. Các ví dụ ...................................................................................................57
3.5. Phƣơng pháp liên hợp .....................................................................................62
3.5.1. Phƣơng pháp liên hợp...............................................................................62
3.5.2. Các ví dụ ...................................................................................................62
3.6. Phƣơng pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số. ...........................................65
3.6.1. Phƣơng pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số. .....................................65
3.6.2. Các ví dụ ...................................................................................................66
3.7. Phƣơng pháp đánh giá ....................................................................................71
3.7.1. Phƣơng pháp đánh giá ..............................................................................71
3.7.2. Các ví dụ ...................................................................................................72
3.8. Thiết kế một số giáo án dạy học nội dung hệ phƣơng trình vô tỉ ở trung học
phổ thông. ..............................................................................................................77
3.8.1. Giáo án “phƣơng pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số giải hệ phƣơng
trình vơ tỉ”. .........................................................................................................77
3.8.2. Giáo án “phƣơng pháp tọa đơ hóa giải hệ phƣơng trình vơ tỉ”. ...............85
KẾT LUẬN CHƢƠNG III........................................................................................94
CHƢƠNG IV. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM. ..........................................................95
4.1 Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm ................................................................95
4.1.1. Mục đích thực nghiệm ..............................................................................95

vi

4.1.2. Nhiệm vụ thực nghiệm .............................................................................95
4.2. Nội dung thực nghiệm ....................................................................................95
4.3. Phƣơng pháp thực nghiệm ..............................................................................96
4.4 Tổ chức thực nghiệm .......................................................................................96
4.4.1.Đối tƣợng thực nghiệm..............................................................................96
4.4.2. Kế hoạch thực nghiệm ..............................................................................96
4.4.3. Tiến hành thực nghiệm sƣ phạm ..............................................................96
4.5. Kết quả thực nghiệm sƣ phạm ......................................................................100
4.5.1. Kết quả thực nghiệm sƣ phạm ................................................................100
4.5.2. Xử lý kết quả thực nghiệm sƣ phạm ......................................................101
4.5.3. Phân tích kết quả thực nghiệm sƣ phạm.................................................102
TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................................107

vii


DANH MỤC BẢNG BIỂU
Bảng 2.1. Tần suất dạy học hệ phƣơng trình vơ tỉ của giáo viên. ............................. 21
Bảng 2.2. Đối tƣợng học sinh đƣợc giáo viên lựa chọn để dạy nội dung hệ phƣơng
trình vơ tỉ ................................................................................................................... 22
Bảng 2.3. Thông kê thời điểm học sinh bắt đầu đƣợc biết đến nội dung hệ phƣơng
trình vơ tỉ ................................................................................................................... 27
Bảng 2.4. Bảng thống kê các lớp ở trung học phổ thông mà học sinh đƣợc học nội
dung hệ phƣơng trình vơ tỉ ........................................................................................ 28
Bảng 3.1. Một số biểu thức thƣờng đƣa về dạng lƣợng giác .................................... 46
Bảng 4.1. Kết quả 2 bài kiểm tra ............................................................................... 98
Bảng 4.2 Bảng tổng hợp các giá trị đặc trƣng của trƣờng THPT Lê Lợi (bài kiểm tra
số 1) ........................................................................................................................... 99
Bảng 4.3 Bảng tổng hợp các giá trị đặc trƣng của trƣờng THPT Lê Lợi (bài kiểm tra

số 2) ........................................................................................................................ 100

viii


MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Toán học là một trong các môn học luôn đƣợc ƣu tiên và chú trọng phát triển
hàng đầu trong mỗi nền giáo dục. Bởi ngoài những ứng dụng thiết thực trong cuộc
sống hay khi mang vai trị là cơng cụ khơng thể thiếu cho nhiều mơn học khác thì
Tốn học cịn là mơn học giúp rèn khả năng tƣ duy cho học sinh. Với khối lƣợng
lớn về kiến thức và tính logic, chặt chẽ về nội dung mà trong q trình học tập mơn
Tốn, học sinh phải khơng ngừng lỗ lực tìm tịi, vận dụng và liên kết các nội dung
kiến thức, từ đó giúp cho tƣ duy của các em trở nên nhanh nhạy, kích thích sự sáng
tạo.
Tuy nhiên khơng phải học sinh nào cũng thực sự u thích và học tốt mơn
học này, do vậy nhiệm vụ của ngƣời giáo viên bộ mơn Tốn là hết sức quan trọng.
Ngồi việc giảng dạy, định hƣớng cho các em tiếp cận các nội dung kiến thức mới
thì việc cung cấp cho các em hệ thống bài tập liên quan để các em thực hành giải là
rất cần thiết. Bởi nếu có một hệ thống bài tập đa dạng và phù hợp, các em sẽ tự
củng cố và khắc sâu kiến thức, từ những thành cơng ban đầu là giải đƣợc các bài
tốn đơn giản, các em sẽ hứng thú hơn, có động lực để tìm tịi và giải các bài phức
tạp hơn, tự nâng cao vốn tri thức của mình.
Hệ phƣơng trình vơ tỉ là một trong các phần kiến thức cơ bản của Toán vốn
rất phong phú và đa dạng về hệ thống các dạng bài tập. Đây cũng là nội dung đƣợc
lồng ghép xuyên suốt trong các cấp học và thƣờng xuyên có mặt trong các đề thi
tuyển sinh đại học, cao đẳng, các kì thi học sinh giỏi…, chính vì vậy, hệ phƣơng
trình ln thu hút đƣợc sự quan tâm của các thầy cơ cũng nhƣ học sinh, và cũng đã
có rất nhiều sách báo viết về đề tài này.

Tuy nhiên việc dạy học nội dung này cho học sinh cũng gặp phải rất nhiều
khó khăn. Là một giáo viên bộ mơn Tốn, tơi ln muốn tìm hiểu những khó khăn
mà giáo viên và học sinh thƣờng gặp phải khi dạy và học bộ mơn Tốn nói chung
và chủ đề hệ phƣơng trình vơ tỉ nói riêng , đồng thời tìm ra giải pháp giúp giáo viên
và học sinh có thể dạy và học đạt hiệu quả hơn đối với nội dung này. Vì vậy tơi

1


quyết định chọn đề tài “Dạy học hệ phương trình vô tỉ ở trung học phổ thông” làm
đề tài luận văn của mình.

2. Mục tiêu nghiên cứu
- Tìm hiểu những khó khăn mà giáo viên gặp phải khi dạy chủ đề hệ
phƣơng trình vơ tỉ và giải pháp cho những khó khăn đó.
- Tìm hiểu những khó khăn mà học sinh gặp phải khi học hệ phƣơng trình
vơ tỉ và giải pháp cho những khó khăn đó.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Đƣa ra đƣợc những khó khăn mà giáo viên và học sinh gặp phải trong quá
trình dạy và học nội dung hệ phƣơng trình vơ tỉ.
- Đề ra hƣớng giải quyết cho những khó khăn mà giáo viên và học sinh gặp
phải trong quá trình dạy và học nội dung hệ phƣơng trình vơ tỉ.

4. Khách thể và đối tƣợng nghiên cứu
- Khách thể nghiên cứu:
Giáo viên và học sinh trung học phổ thông.
- Đối tƣợng nghiên cứu:
Việc dạy học hệ phƣơng trình vơ tỉ.

5. Phạm vi nghiên cứu
Việc dạy học của giáo viên và học sinh trung học phổ thơng chủ đề hệ
phƣơng trình vơ tỉ.

6. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận:
Đọc các giáo trình và tài liệu liên quan tới hệ phƣơng trình vơ tỉ để từ đó hệ
thống hóa kiến thức và phân loại các phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình vơ tỉ.
- Phƣơng pháp nghiên cứu thực tiễn:
Sử dụng phƣơng pháp điều tra bằng bộ câu hỏi trắc nghiệm kết hợp với
phỏng vấn.

2


7. Giả thuyết khoa học
-

Giáo viên thƣờng không đi sâu vào việc dạy học hệ phƣơng trình vơ tỉ

và hầu hết các học sinh đều khơng thích học chủ đề này vì đây là một chủ đề khó.
-

Chƣa có một hệ thống đầy đủ các phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình

vơ tỉ và nếu có hệ thống phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình vơ tỉ một cách rõ ràng và
chi tiết sẽ giúp các em học sinh dễ dàng hơn trong việc giải các bài tốn về hệ
phƣơng trình vơ tỉ.

8. Đóng góp mới của đề tài

Phƣơng trình và hệ phƣơng trình ln là đề tài giành đƣợc nhiều sự quan tâm
của những ngƣời u thích mơn tốn. Tuy nhiên hầu hết các đề tài đều đi sâu nghiên
cứu về hệ phƣơng trình khơng chứa căn thức hoặc phƣơng trình và bất phƣơng trình
vơ tỉ mà chƣa có đề tài nào chính thức đi sâu vào nghiên cứu hệ phƣơng trình vơ tỉ
cũng nhƣ những vấn đề về dạy và học chủ đề này. Vì vậy trong đề tài “Dạy học hệ
phương trình vơ tỉ ở trung học phổ thơng” tôi tiến hành nghiên cứu và đƣa ra đƣợc
những kết quả sau:
- Việc dạy và học chủ đề hệ phƣơng trình vơ tỉ của giáo viên và học sinh
trung học phổ thông.
- Hệ thống các phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình vơ tỉ.

9. Cấu trúc của luận văn
Cấu trúc của luận văn gồm ba phần: phần mở đầu, phần nội dung và phần kết
luận.
Trong phần nội dung gồm bốn chƣơng:
- Chƣơng 1: Những vấn đề về hệ phƣơng trình vơ tỉ.
- Chƣơng 2: Thực trạng việc dạy học hệ phƣơng trình vơ tỉ ở trung học phổ
thơng.
- Chƣơng 3: Một số phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình vơ tỉ.
- Chƣơng 4: Thực nghiệm sƣ phạm.

3


CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN

1.1. Phƣơng pháp dạy học mơn Tốn
1.1.1. Khái niệm phƣơng pháp dạy học
Phƣơng pháp dạy học là cách thức hoạt động và giao lƣu của thầy gây
nên những hoạt động và giao lƣu cần thiết của trò nhằm đạt đƣợc mục

tiêu dạy học. [2; tr 104]
Khái niệm phƣơng pháp dạy học nhƣ trên mang các đặc điểm sau đây:
Đặc điểm thứ nhất là vai trò hoạt động của thầy và trị. Đây hơng phải là
hoạt động somg song
và độc lập với nhau. Hoạt động của thầy gây nên hoạt động của trò.
Hoạt động của thầy là một tác động điều khiển. Bên cạnh đó cịn có sự
giao lƣu của thầy và trị.
Đặc điểm thứ hai là tính khái qt. Phƣơng pháp dạy học là hình ảnh
khái quát những hoạt động và giao lƣu nào đó của ngƣời thầy. hình ảnh
này thƣờng đƣợc hình thành do phản ánh những hoạt động, giao lƣu dẫn
tới thành công của giáo viên trong quá trình dạy học và phản ánh những
thành tựu của khoa học giáo dục hoặc những khoa học khác thông qua
khoa học giáo dục.
Đặc điểm thứ ba là chức năng tƣ tƣởng của phƣơng pháp. Phƣơng pháp
dạ học là phƣơng tiện để đạt mục tiêu dạy học, chúng phân biệt với
phƣơng tiện dạy học ở chỗ chúng là phƣơng tiện tƣ tƣởng.
1.1.2. Tổng thể các phƣơng pháp dạy học
Hiện nay có nhiều hệ thống phân loại các phƣơng pháp dạy học,
nhƣng chƣa hoàn chỉnh và chƣa đạt đƣợc sự thống nhất trên phạm vi
quốc tế do tính nhiều chiều của phƣơng pháp dạy học. Do đó tùy theo

4


phƣơng diện này hay phƣơng diện khác, ta có thể liệt kê phƣơng pháp
dạy học theo cách này hay cách khác.
1.1.2.1. Phƣơng pháp dạy học theo phƣơng diện những chức năng điều
chỉnh quá trình dạy học
- Đảm bảo trình độ xuất phát,
- Hƣớng đích và gợi động cơ,

- Làm việc với nội dung mới,
- Củng cố,
- Kiểm tra và đánh giá,
- Hƣớng dẫn cơng việc ở nhà.
Nói riêng việc củng cố có thể thực hiện dƣới các hình thức sau: luyện tập,
đào sâu, hệ thống hóa, ứng dụng và ơn tập.
1.1.2.2. Phƣơng pháp dạy học theo phƣơng diện những con đƣờng nhận
thức
- Suy diễn,
- Quy nạp.
1.1.2.3. Phƣơng pháp dạy học theo phƣơng diện những hình thức hoạt
động bên ngồi của thầy và trị
- Giáo viên thuyết trình;
- Thầy, trị vấn đáp;
- Học sinh hoạt động độc lập;
1.1.2.4. Phƣơng pháp dạy học theo những mức độ tìm tịi, khám phá
- Truyền thụ tri thức dƣới dạng có sẵn;
- Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề.
1.1.2.5. Phƣơng pháp dạy học theo hình thức tổ chức dạy học
- Căn cứ vào số lƣợng học sinh trong đơn vị học tập có các hình thức: dạy
học theo lớp, dạy học theo nhóm, dạy học từng cặp
- Căn cứ vào trình độ học sinh có dạy học phân hóa và dạy học đồng hóa.
1.1.2.6. Phƣơng pháp dạy học theo phƣơng diện phƣơng tiện dạy học
5


- Sử dụng phƣơng tiện nghe nhìn;
- Sử dụng phƣơng tiện chƣơng trình hóa;
- Làm việc với sách giáo khoa;
- Làm việc với bảng treo tƣờng;

- Sử dụng công nghệ thông tin và truyền thông nhƣ công cụ dạy học.
1.1.2.7. Phƣơng pháp dạy học theo hình thức tự học
- Đọc sách
- Tự học trong môi trƣờng công nghệ thông tin và truyền thông;
- Hỏi thầy, hỏi bạn hỏi chuyên gia.
1.1.2.8. Phƣơng pháp dạy học trong những tình huống dạy học điển hình
Trong mơn Tốn có thể kể:
- Dạy học những khái niệm tốn học;
- Dạy học những định lí tốn học;
- Dạy học những quy tắc, phƣơng pháp;
- Dạy học giải bài tập toán học.
1.1.3. Những phƣơng pháp dạy học vận dụng vào q trình dạy học mơn
Tốn
1.1.3.1. Phƣơng pháp dạy học truyền thống
Có rất nhiều phƣơng pháp dạy học truyền thống xuất hiện từ xa xƣa và
cho đến ngày nay vẫn tiếp tục đƣợc duy trì và phát triển trong q trình
dạy học nói chung và q trình dạy học mơn Tốn nói riêng.
Thứ nhất, có rất nhiều cách để truyền thơng tin cho học sinh: thuyết
trình, vấn đáp, sử dụng phƣơng tiện trực quan,…, tùy theo nội dung và
điều kiện để ngƣời dạy lựa chọn, nhƣng điều cốt yếu là kích thích học
sinh chủ động, sáng tạo, tự giác hoạt động. Học sinh phải là chủ thể của
quá trình học tập.
Thứ hai, hình thức thuyết trình hay gặp trong mơn Tốn là giảng giải.
trong hình thức này, lời nói thƣờng dùng để lập luận, dẫn dắt tìm tịi, giải

6


thích, chứng minh và ngƣời giáo viên dạy Tốn cần đặc biệt quan tâm
đến tính chính xác, logic của ngƣời nói.

Thứ ba, trực quan là chỗ dựa để khám phá chứ không phải là phƣơng
pháp để xác nhận tri thức. Cần làm cho học sinh đừng vội ngộ nhận ra
những điều đƣợc phát hiện nhờ trực quan. Cần gợi ra nhu cầu, hình
thành thói quen chứng minh chặt chẽ những phát hiện nhƣ vậy. hình
thức trực quan đƣợc sử dụng rộng rãi trong mơn Tốn là trực quan
tƣợng trƣng: hình vẽ, sơ đồ, đồ thị, bảng, kí hiệu...Hình vè hình học là
một phƣơng tiện trực quan, vì nó đã biểu diễn hình dạng tách rời khỏi
các tính chất khác của đối tƣợng mà ngƣời ta quan tâm. Sơ đồ mũi tên
cũng là một phƣơng tiện trực quan để biểu diễn một số ánh xạ hoặc hàm
số, bởi vì nó giúp cụ thể hóa dấu hiệu đặc trƣng của các khái niệm này.
Thứ tƣ, so với môn học khác, củng cố đóng một vai trị rất quan trọng
trong mơn Tốn. Các tri thức, kĩ năng Toán học đƣợc sắp xếp theo một
hệ thống chặt chẽ về logic; nếu ngƣời học bị một lỗ hổng nào đó trong hệ
thống thì rất khó, thậm chí khơng thể tiếp thu những phần cịn lại. Vì
vậy, việc củng cố phải thƣờng xuyên diễn ra trong q trình dạy học để
đảm bảo lấp kín các lỗ hổng, làm cho học sinh nắm vững từng mắt xích
của hệ thống tri thức, kĩ năng, mắt xích này làm tiền đề cho mắt xích kia.
Trong củng cố, hình thức luyện tập có một ý nghĩa đặc biệt, mơn Tốn là
một môn học công cụ. Tri thức và kĩ năng toán học đƣợc sử dụng rộng
rãi trong việc học tập các mơn học khác và trong đời sống. học Tốn
khơng chỉ dể lĩnh hội một số tri thức mà điều quan trọng hơn là phải biết
vận dụng những tri thức đó. Phải rèn luyện cho học sinh những tƣ duy
cần thiết, rèn kĩ năng, kĩ xảo. Học toán thực chất là học làm tốn. Luyện
tập là học tập.Vì vậy, luyện tập về nguyên tắc phải diễn ra ngay trong
quá trình chiếm lĩnh tri thức, chứ không phải chỉ đƣợc thực hiện trong
quá trình sau này. Vừa dạy vừa luyện là một đặc điểm của phƣơng pháp
dạy học mơn Tốn.
7

1.1.3.2. Phƣơng pháp dạy học hiện đại
Sự phát triển của xã hội và đổi mới đất nƣớc, xây dựng xã hội hóa,
hiện đại hóa đất nƣớc, đang địi hỏi cấp bách phải nâng cao chất lƣợng
giáo dục và đào tạo. Công cuộc đổi mới này đề ra những yêu cầu mới đối
với hệ thống giáo dục, điều đó địi hỏi chúng ta,cùng với những thay đổi
về nội dung, cần có những đổi mới căn bản về phƣơng pháp dạy học –
phƣơng pháp dạy học hiện đại, từ đó làm nảy sinh và thúc đẩy một cuộc
vận động đổi mới phƣơng pháp dạy học ở tất cả các cấp trong ngành
Giáo dục và Đào tạo với các tƣ tƣởng nhƣ “Phát huy tính tích cực”,
“Phƣơng pháp dạy học tích cực”, “tích cực hóa hoạt động học tập”,
“hoạt động hóa ngƣời học”…, tất cả đều đòi hỏi làm cho học sinh đảm
bảo vai trị của chủ thể, tích cực hoạt động trong quá trình học tập.
Đặc trƣng của phƣơng pháp dạy học hiện đại:
- Ngƣời học là chủ thể hoạt động học tập độc lập hoặc hợp tác;
- Tri thức đƣợc cài đặt trong những tình huống có dụng ý sƣ phạm;
- Dạy việc học, dạy tự học thơng qua tồn bộ quá trình dạy học;
- Tự tạo và khai thác những phƣơng tiện dạy học để tiếp nối và gia tăng
sức mạnh của con ngƣời;
- Tạo niềm lạc quan học tập dựa trên lao động và thanh quả của bản
thân ngƣời học;
- Ngƣời thầy mang vai trò mới với tƣ cách ngƣời thiết kế, ủy thác, điều
khiển và thể thức hóa.
1.1.4. Dạy học hệ phƣơng trình vơ tỉ ở Trung học phổ thông
Mỗi phƣơng pháp dạy học truyền thống hay hiện đại đều có những
lợi thế riêng, phù hợp với từng nội dung của bài học. Và trong cùng một
nội dung cũng có thể phải kết hợp nhiều phƣơng pháp bao gồm cả truyền
thống và hiện đại. Tùy vào mỗi nội dung, ngƣời dạy phải biết khéo léo
lựa chọn phƣơng pháp dạy học phù hợp để thu đƣợc kết quả cao trong
mỗi nội dung kiến thức.
8

Hệ phƣơng trình vơ tỉ là một trong những chủ đề quan trọng của
mơn Tốn. Tuy nhiên đây là một chủ đề khó, yêu cầu cả ngƣời dạy và
ngƣời học phải có một nền tảng kiến thức rất vững vàng, tƣ duy sáng tạo
mới có thể tìm đƣợc lời giải cho mỗi bài toán. Kiến thức liên quan tới nội
dung này không độc lập mà đan xen xuyên suốt trong hệ thống kiến thức
Tốn Trung học phổ thơng, hơn thế nữa các phƣơng pháp giải hệ vô
cùng phong phú và đa dạng (sự đa dạng về kiến thức trong chủ đề hệ
phƣơng trình vơ tỉ này tơi xin trình bày ở chƣơng 3 – Một số phƣơng
pháp giải hệ phƣơng trình vơ tỉ), hơn thế nữa chủ đề này khơng đƣợc đề
cập trực tiếp trong chƣơng trình Tốn Trung học phổ thơng (điều này tơi
xin trình bày trong chƣơng 2 – Thực trạng dạy học hệ phƣơng trình vơ tỉ
ở Trung học phổ thơng). Do đó theo tơi để dạy học nội dung này cho học
sinh THPT thì ngƣời giáo viên phải đan xen trong các nội dung khác, ví
dụ nhƣ khi dạy về chủ đề lƣợng giác, giáo viên có thể mở rộng và giới
thiệu cho học sinh về phƣơng pháp lƣợng giác hóa để giải hệ phƣơng
trình vơ tỉ. Hay ví dụ khác là trong khi dạy về tính đơn điệu của hàm số,
ngƣời giáo viên có thể giới thiệu cho học sinh ứng dụng của hàm số để
giải hệ phƣơng trình vơ tỉ, hoặc cao hơn là gợi cho học sinh cách sáng tạo
ra hệ phƣơng trình vơ tỉ, điều đó giúp kích thích tƣ duy sáng tạo của học
sinh.
Và theo tôi, phƣơng pháp dạy học quan trọng và phù hợp hơn cả
đối với nội dung hệ phƣơng trình vơ tỉ chính là việc củng cố luyện tập cho
học sinh. Và công việc của ngƣời giáo viên là cần củng cố, liên kết cho các
em các kiến thức cần thiết, liên quan và cung cấp cho các em một hệ
thống các bài tập về nội dung này để các em luyện tập. Vì vậy trong
chƣơng 3 của luận văn tơi xin trình bày hệ thống các phƣơng pháp giải
hệ phƣơng trình, cùng hệ thống các ví dụ, bài tập tƣơng ứng, và ở mỗi ví
dụ đều có lời giải chi tiết và những phân tích hƣớng giải là gợi ý cho các

em biết cách xác định hƣớng tƣ duy và đƣa ra lời giải của mỗi bài toán.
9


Dƣới đây tơi xin trình bày các kiến thức liên quan đến hệ phƣơng
trình vơ tỉ.
1.2. Một số vấn đề phƣơng trình vơ tỉ và hệ phƣơng trình vơ tỉ
1.2.1. Một số vấn đề về phương trình vơ tỉ
- Khái niệm phƣơng trình một ẩn.
Phƣơng trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng f  x   g  x  (1).
Trong đó f(x), g(x) là những biểu thức của x. Ta gọi f  x  là vế trái, g  x  là
vế phải của phƣơng trình (1).
Nếu có số thực x0 sao cho f  x0   g  x0  là mệnh đề đúng thì x0 đƣợc gọi là
một nghiệm của phƣơng trình (1).
Giải phƣơng trình (1) là tìm tất cả các nghiệm của phƣơng trình đó (nghĩa là
tìm tập nghiệm).
Nếu phƣơng trình khơng có nghiệm nào cả thì ta nói phƣơng trình đó vơ
nghiệm (hoặc nói phƣơng trình đó có tập nghiệm rỗng) [1, tr53].
- Điều kiện của một phƣơng trình.
Điều kiện của phƣơng trình (1) là điều kiện đối với ẩn x để f(x), g(x) là những
biểu thức có nghĩa [1, tr54].
- Khái niệm về phƣơng trình nhiều ẩn.
Phƣơng trình nhiều ẩn là phƣơng trình mà trong đó có hai hoặc nhiều ẩn số.
Phƣơng trình nhiều ẩn có dạng: f  x1; x2 ;...; xn   g  x1; x2 ;...; xn  .
Nghiệm của phƣơng trình nhiều ẩn là bộ số  x10 ; x20 ;...; xn0  thỏa mãn
f  x10 ; x20 ;...; xn0   g  x10 ; x20 ;...; xn0  .

Trong chƣơng trình THPT thì phƣơng trình nhiều ẩn thƣờng gặp chỉ chứa hai
hoặc ba ẩn.
- Khái niệm về phƣơng trình vơ tỉ.

Phƣơng trình vơ tỉ là phƣơng trình mà trong đó chứa các biểu thức căn thức.
1.2.2. Một số vấn đề về hệ phương trình vơ tỉ
- Khái niệm hệ phƣơng trình.
Hệ phƣơng trình n ẩn có dạng:

10


 f1  x1 ; x2 ;...; xn   g1  x1 ; x2 ;...; xn 

 f 2  x1 ; x2 ;...; xn   g 2  x1 ; x2 ;...; xn 
(2).

...

 f  x ; x ;...; x   g  x ; x ;...; x 
n
m
1
2
n
 m 1 2

Nghiệm của hệ (2) là bộ số  x10 ; x20 ;...; xn0  nếu nhƣ  x10 ; x20 ;...; xn0  đồng thời là
nghiệm của các phƣơng trình f j  x1; x2 ;...; xn   g j  x1; x2 ;...; xn  , j  1; m .
Giải hệ phƣơng trình là tìm tất cả các nghiệm (tập nghiêm) của hệ phƣơng
trình đó.
- Khái niệm về hệ phƣơng trình vơ tỉ.
Hệ phƣơng trình vơ tỉ là hệ phƣơng trình chứa biểu thức căn thức.

1.3. Một số vấn đề về hàm số
1.3.1. Định nghĩa về hàm số. Cách cho hàm số
1.3.1.1. Định nghĩa về hàm số
- Nếu với mỗi giá trị của x thuộc tập D có một và chỉ một giá trị tƣơng ứng
của y thuộc tập số thực ¡ thì ta có một hàm số.
- Ta gọi x là biến số và y là hàm số của x.
- Tập hợp D đƣợc gọi là tập xác định của hàm số.
1.3.1.2. Cách cho hàm số.
- Hàm số cho bằng bảng.
- Hàm số cho bằng biểu đồ.
- Hàm số cho bằng công thức.
[1, tr32].
Ta sẽ chủ yếu đi sâu nghiên cứu về những hàm số cho bởi công thức.
1.3.2. Định nghĩa về hàm số đơn điệu
- Hàm số đồng biến.
Cho f là hàm số xác định trên tập K,
Hàm số f gọi là đơn điệu tăng (đồng biến) trên K nếu nhƣ:

11


x1; x2  K , x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ).

- Hàm số nghịch biến.
Hàm số f gọi là đơn điệu giảm (nghịch biến) trên K nếu nhƣ:
x1; x2  K , x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) .

[1, tr 36]
1.3.3. Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu trên tập xác định
- Hàm số f đồng biến trên K khi và chỉ khi

x1 ; x2  K ; x1  x2 ;

f ( x1 )  f ( x2 )
 0.
x1  x2

- Hàm số f nghịch biến trên K khi và chỉ khi
x1; x2  K ; x1  x2 ;

f ( x1 )  f ( x2 )
 0.
x1  x2
[4, tr 4]

1.3.4. Sử dụng đạo hàm để xét sự biến thiên của hàm số
- Hàm số y  f ( x) đồng biến trong khoảng (a;b)  f '( x)  0 x  (a; b) và
f '( x)  0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trong khoảng (a;b).

- Hàm số y  f ( x) nghịch biến trong khoảng (a;b)  f '( x)  0 x  (a; b) và
f '( x)  0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trong khoảng (a;b).

- Nếu hàm số y  f ( x) đồng biến trong khoảng (a;b), và f(x) liên tục trên

 a; b thì hàm số y = f(x) đồng biến trên  a; b .
- Nếu hàm số y  f ( x) nghịch biến trong khoảng (a;b), và f(x) liên tục trên

 a; b thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên  a; b .
[4, tr4 – tr5].
1.2.5. Các tính chất của hàm đơn điệu
- Nếu f ( x) đồng biến trên (a;b) thì f ( x)  f ( y)  x  y .

- Nếu f ( x) nghịch biến trên (a;b) thì f ( x)  f ( y)  x  y .
- Nếu f(x) đơn điệu và liên tục trên khoảng (a;b) thì với mọi x; y   a; b  ta
có f ( x)  f ( y)  x  y .

12


- Nếu f ( x) đơn điệu và liên tục trên khoảng (a;b) và f (a). f (b)  0 thì
! x0  (a; b) thỏa mãn f ( x0 )  0 , tức là phƣơng trình f ( x)  0 có duy nhất một

nghiệm x0  (a; b) .
- Nếu f ( x) và g  x  liên tục và đơn điệu ngƣợc chiều trên (a;b) thì phƣơng
trình f ( x)  g ( x) có nhiều nhất một nghiệm trên (a;b).

1.4. Một số bất đẳng thức
1.4.1. Bất đẳng thức AM-GM
n

Bất đẳng thức Cauchy cho n biến a j  0,  j  1; n thì:

a
j 1

n

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1  a2  ...  an .
1.4.2. Bất đẳng thức Cauchy
2

 n

  n 2  n 2 
Cho a j ; b j  R, j  1; n :   a j b j     a j   b j 
 j 1
  j 1  j 1 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

a
a1 a2
  ...  n . [2, tr 20].
b1 b2
bn

13

j

 n a1a2 a3 ...an .


KẾT LUẬN CHƢƠNG 1
Trong nội dung chƣơng 1, tôi đã trình bày đƣợc những nội dung sau:
Một là phƣơng pháp dạy học mơn Tốn nói chung, hệ phƣơng trình vơ tỉ nói
riêng.
Hai là những vấn đề liên quan đến hệ phƣơng trình vơ tỉ bao gồm: một số
vấn đề về phƣơng trình vơ tỉ và hệ phƣơng trình vơ tỉ, một số vấn đề về hàm số và
các bất đẳng thức thƣờng gặp ở trung học phổ thông. Đây là những kiến thức rất cơ
bản mà bất cứ giáo viên hay học sinh nào muốn quan tâm và tìm hiểu đến nội dung
hệ phƣơng trình vơ tỉ đều phải nắm vững.

14


CHƢƠNG 2. THỰC TRẠNG VIỆC DẠY HỌC HỆ PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ
Ở TRUNG HỌC PHỔ THƠNG

2.1. Hệ phƣơng trình vơ tỉ trong chƣơng trình Tốn trung học phổ thơng
2.1.1. Hệ phương trình vơ tỉ trong chương trình sách giáo khoa mơn Tốn trung
học phổ thơng
Ở cấp Tiểu học, học sinh đã đƣợc biết đến phƣơng trình qua các bài tốn tìm
x và ở Trung học cơ sở, lần đầu tiên các em học sinh đƣợc biết đến một cách đầy đủ
và chính xác định nghĩa thế nào là một phƣơng trình, nghiệm của phƣơng trình
đƣợc trình bày trong sách giáo khoa Đại số 8 - tập 2, tuy nhiên chủ yếu là phƣơng
trình bậc nhất và phƣơng trình bậc hai, dạng một biến. Đến lớp 9, học sinh mới
đƣợc làm quen với căn thức, và những hình thức đầu tiên của phƣơng trình vơ tỉ.
Cũng trong Trung học phổ thơng, các em học sinh cũng đƣợc làm quen với
hệ phƣơng trình và giải hệ phƣơng trình, chủ yếu là các hệ phƣơng trình bậc nhất
hai ẩn hoặc ba ẩn.
Ở Trung học phổ thơng, chƣơng trình tốn của kỳ I lớp 10 chủ yếu ôn tập lại
các nội dung về hàm số và phƣơng trình, hệ phƣơng trình mà các em đã đƣợc học ở
Trung học phổ thông, nhƣng ở mức độ cao hơn. Tuy nhiên về nội dung hệ phƣơng
trình thì ở Đại số 10 (cơ bản) chỉ dừng lại ở giải hệ phƣơng trình bậc nhất, và ở Đại
số 10 (nâng cao) có thêm hệ phƣơng trình bậc hai, vẫn là các hệ phƣơng trình Đại
số. Nhƣ vậy hệ phƣơng trình vơ tỉ vẫn khơng tồn tại một cách chính thức trong
chƣơng trình Tốn 10.
Chƣơng trình Tốn lớp 11 chủ yếu bao gồm các nội dung kiến thức mới:
hàm số lƣợng giác và phƣơng trình lƣợng giác; tổ hợp – xác suất; dãy số, cấp số
cộng và cấp số nhân; giới hạn và đạo hàm. Nhƣ vậy trong toàn bộ chƣơng trình
Tốn lớp 11 khơng đề cập đến nội dung hệ phƣơng trình vơ tỉ.
Chƣơng trình Tốn lớp 12 bao gồm các nội dung ứng dụng của đạo hàm để

khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số, hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit;

15


nguyên hàm, tích phân và ứng dụng; số phức. Và nơi dung về hệ phƣơng trình vơ tỉ
cũng khơng đƣợc đề cập ở đây.
Vậy thì câu hỏi đặt ra là “có hay khơng việc dạy học hệ phƣơng trình ở
Trung học phổ thơng?”. “Và nếu có thì khi nào ngƣời giáo viên dạy nội dung này
cho học sinh và học sinh sẽ học nội dung này nhƣ thế nào?”
Mặc dù không đƣợc đề cập một cách trực tiếp trong chƣơng trình Tốn trung
học phổ thơng nhƣng hệ phƣơng trình vơ tỉ lại thƣờng xuyên xuất hiện trong các đề
thi học sinh giỏi và đặc biệt là các đề thi đại học. Trƣớc khi đến với câu trả lời cho
các câu hỏi trên thì phần tiếp theo tơi xin đƣa ra một số dẫn chứng về việc xuất hiện
của hệ phƣơng trình vơ tỉ trong các đề thi học sinh giỏi, đề thi đại học.
2.1.2. Hệ phương trình vơ tỉ trong các đề thi học sinh giỏi, đề thi đại học.
Hệ phƣơng trình vơ tỉ thƣờng xun xuất hiện trong các đề thi đại học và
đƣợc đánh giá là có độ khó cao, phân loại học sinh tốt. Sau đây là dẫn chứng một số
đề thi cao đẳng đại học các khối A, B, D của các năm gần đây:
- Ví dụ 2.1. Câu II.2 mơn Tốn, khối A – đề thi tuyển sinh cao đẳng năm 2010:
Giải hệ phƣơng trình sau:

2 2 x  y  3  2 x  y
 2
2

 x  2 xy  y  2.

- Ví dụ 2.2. Câu V, mơn Tốn, khối A – đề thi tuyển sinh đại học năm 2010:
Giải hệ phƣơng trình sau:

2

 4 x  1 x   y  3 5  2 y  0
 x; y  ¡  .
 2
2
4
x

y

2
3

4
x

7



- Ví dụ 2.3. Câu 3, mơn Tốn, khối A và A1 - đề thi tuyển sinh đại học năm 2013.
Giải hệ phƣơng trình sau:
4
4

 x 1  x 1  y  2  y
( x; y  ¡ ).
 2
2

x

2
x
y

1

y

6
y

1

0





16