Đề thi khảo sát chất lượng môn toán lớp 12 đề số 4

ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG
MÔN: TOÁN LỚP 12
Thời gian: 180 phút

ĐỀ 4

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm). Cho hàm số y =

2x + 1
có đồ thị ( C ).
x+2

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m đường thẳng (d ) : y = − x + m luôn cắt đồ thị (
C ) tại hai điểm phân biệt A, B . Tìm tất cả các giá trị m để độ dài đoạn AB nhỏ nhất.
Câu II (2,0 điểm).
1. Giải phương trình: 2 cos 3x + 3 sin x + cos x = 0 .
2. Giải phương trình: 3x − 2 − x + 7 = 1 .
Câu III (1,0 điểm). Giải hệ phương trình:

 y + 2 x − y = 9 − x

 y x − y + 9 = 0

( x, y ∈ ¡ ).

Câu IV (1,0 điểm). Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có A '. ABC là hình chóp tam giác
đều, AC = a , A ' B = a 3 . Tính theo a thể tích của khối chóp A '.BB ' C 'C .
Câu V (1,0 điểm). Cho ba số thực a, b, c chứng minh:
a 2 + (1 - b)2 +

b2 + (1 - c )2 +

c 2 + (1 - a )2 ³

3 2
.
2

II.PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A
hoặc B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình bình hành
ABCD có G là trọng tâm của tam giác BCD. Đường thẳng DG có phương trình:
2x − y + 1 = 0, đường thẳng BD có phương trình: 5 x − 3 y + 2 = 0 và C (0;2) . Tìm tọa độ
các đỉnh A, B, D .


Câu VII.a (1,0 điểm). Cho tập A = { 0,1, 2,3, 4,5,6,7} . Từ tập A có thể lập được tất cả
bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số sao cho các chữ số đôi một khác nhau và trong 3 chữ
số hàng chục nghìn, hàng nghìn, hàng trăm phải có một chữ số bằng 1.
3
Câu VIII.a (1,0 điểm). Tính giới hạn: L = lim 5 - x 2x ®1

x2 + 7
.
x - 1
3

B. Theo chương trình Nâng cao

Câu VI.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C ) có
phương trình: x 2 + y 2 − 2 x + 2 y − 8 = 0 và đường thẳng ( ∆ ): 4 x + 2 y − 11 = 0 . Lập phương
trình tiếp tuyến của ( C ), biết tiếp tuyến tạo với ( ∆ ) một góc bằng 45o .
7

Câu VII.b (1,0 điểm). Tìm hệ số của x trong khai triển nhị thức
biết rằng n là số tự nhiên thỏa mãn:

Cn2 + 2 An2 + n = 112 .

Câu VIII.b (1,0 điểm). Tính giới hạn: I = lim
x →0

3

2x +1 − 1 − x
.
sin 2012 x

--------------------- Hết --------------------

 4 1 
2x + 3 
x 


n

, (x ≠ 0)

HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu

Nội dung

Điể
m

I

1. Khảo sát hàm số.

1,0

(2,0)

+)Tập xác định: D=R\{-2}

0,25

+) Sự biến thiên:
3

Chiều biến thiên: y’= ( x + 2)2

> 0, ∀x ∈ D

Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng

(−∞; −2)

và ( −2; +∞ )

Hàm số không có cực trị.
+) Giới hạn và đường tiệm cận:

lim y = lim y = 2 ;
x →−∞

x →+∞

lim y = −∞; lim y = +∞
x →−2+

x →−2−

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x= - 2 và tiệm cận ngang là y =
2.
+) Bảng biến thiên:
x

−∞

+∞

-2
+

y’

0,25

+

+∞

y
2

2

−∞

0,25

+) Đồ thị:
Đồ thị cắt trục Oy tại điểm
và cắt trục Ox tại điểm

 1
 0; ÷
 2

y
6

 1 
 − ;0 ÷
 2 

4

Đồ thị nhận điểm I(-2;2) làm tâm đối xứng.

I(-2;2)

2

O

-5

-2

-4

5

x

0,25


2. Chứng minh…

1,0

Hoành độ giao điểm của đồ thị (C ) và đường thẳng (d) là nghiệm của
phương trình:

 x ≠ −2
2x +1
= −x + m ⇔  2
x+2
 x + (4 − m) x + 1 − 2m = 0 (1)

0,25

Do (1) có ∆ = m2 + 12 > 0 và (−2)2 + (4 − m)(−2) + 1 − 2m = −3 ≠ 0 ∀m nên đường
thẳng (d) luôn cắt đồ thị ( C ) tại 2 điểm phân biệt A, B .
0,25
Giả sử
(1).

A( x A ; y A ); B(x B ; yB )

trong đó x A ; xB là nghiệm của phương trình
0,25

Ta có: y A = m − x A ; yB = m − xB nên
AB 2 = ( x A − xB ) 2 + ( y A − y B ) 2 = 2(m 2 + 12) ≥ 24.

II
(2,0)

Vậy ABmin = 24 ⇔ m = 0 .

0,25

1. Giải phương trình lượng giác

1,0

3 sin x + cos x + 2cos3x = 0 ⇔ sin

π
π
.s inx + cos .cos x = −cos3 x
3
3

0,25

π

⇔ cos  x − ÷ = −cos3 x
3


0,25

π

⇔ cos  x − ÷ = cos(π − 3 x)
3


0,25

π

 x = 3 + kπ
π
π
⇔
⇔ x = + k , k ∈ Z.
3
2
x = π + k π

3
2

Vậy phương trình có một họ nghiệm:

x=

π
π
+k , k∈Z
3
2

0,25


2. Giải phương trình...
Điều kiện:

x≥

1,0

2
3

0,25

PT ⇔ 3x − 2 = x + 7 + 1
⇔ x−5 = x+7

0,25

 x ≥ 5
⇔
2
( x − 5 ) = x + 7

0,25

x ≥ 5

⇔  x = 9 ⇔ x = 9
 x = 2


0,25

Vậy nghiệm của phương trình là x = 9.

III

Giải hệ phương trình.

1,0

(1,0)
Điều kiện:

Đặt:

x≥ y.

Hệ đã cho

 x + y + 2 x − y = 9
⇔
 y x − y + 9 = 0


a2 + b
a = x − y
x
=


2
b = x + y ⇒ 
2
a ≥ 0

y = b−a


2

Hệ (*) trở thành

b + 2a = 9
(1)

b − a2
.a + 9 = 0 (2)

 2

Thế (1) vào (2) được:
x = 6
a = 3⇒ b = 3⇒ 
 y = −3

a 3 + 2a 2 − 9a − 18 = 0 ⇔ (a + 2)(a 2 − 9) = 0 ⇔ a = 3.

.

Vậy nghiệm của hệ là: ( x; y ) = ( 6; −3) .
IV
(1,0)

(*)

Tính thể tích khối chóp…

0,25

0,25

0,25

0,25
1,0


Gọi E là trung điểm của BC , H là tâm của tam giác đều ABC
⇒ A ' H ⊥ mp(ABC)

Ta có

AE =

a 3
a 3
, AH =
.
2
3

⇒ A ' H = A ' A2 − AH 2 =

S ABC =

0,25

2 6a
3

a2 3
a3 2
⇒ VABC . A ' B 'C ' = A ' H .S ABC =
4
2

⇒ VA ' BB ' CC ' = VABC . A ' B ' C ' − VA '. ABC =

V
(1,0)

0,25
0,25

2
2
a3 2
A ' H .S ABC = VABC . A ' B ' C ' =
3
3
3

(đvtt).

Chứng minh BĐT…

Ta có:

a 2 + (1 - b)2 ³

0,25
1,0

2
| a + 1- b |
2

Dấu “ = ” ⇔ a = 1 − b

b2 + (1 - c )2 ³

2
| b + 1- c |
2

Dấu “ = ” ⇔ b = 1 − c

c 2 + (1 - a )2 ³

2
| c + 1- a |
2

Dấu “ = ” ⇔ c = 1 − a

0,25

Cộng vế với vế ta được
a 2 + (1 - b)2 + b2 + (1 - c )2 +
³

c 2 + (1 - a )2 ³

2
2
2
| a + 1- b | +
| b + 1- c | +
| c + 1- a |
2
2
2

0,25


³

2
2
| a + 1 - b + b + 1 - c + c + 1 - a |= 3.
2
2

Dấu “=”

0,25

⇔ (a + 1 − b)(b + 1 − c) ≥ 0; (a + 1 − b)(c + 1 − a) ≥ 0;(c + 1 − a)(b + 1 − c) ≥ 0.

Dấu “=” xảy ra khi

a =b =c =

1
.
2

Suy ra điều phải chứng minh.

0,25

Chương trình chuẩn
VI.a

Tìm tọa độ các đỉnh A,B,D

1,0

(1,0)

Ta có: D = DG ∩ DB ⇒ D có tọa độ là nghiệm hệ phương trình:
 2x − y + 1 = 0
 x = −1
⇔
⇒ D (−1; −1).


5x − 3y + 2 = 0  y = −1

0,25

Giả sử B( xB ; yB ) vì B ∈ BD nên 5 xB − 3 yB + 2 = 0 .
Trung điểm BC là

 x y +2
M B, B
÷
2 
 2

.

0,25

Do M ∈ DG nên ta có hệ phương trình:
 5x B − 3y B + 2 = 0
x = 2

⇔ B
⇒ B(2;4)
 x B yB + 2
y
=
4
2
−

+
1
=
0

B
 2
2

0,25

Do ABCD là hình bình hành nên
uuur uuur  2 − x A = 1  x A = 1
AB = DC ⇔ 
⇔
⇒ A(1;1)
4 − y A = 3  y A = 1

Vậy A(1;1) , B(2;4) , D(−1; −1) .
VII.a Có bao nhiêu số…

0,25
1,0

Xét các số dạng: abcde (kể cả a=0)
+ Có 3 cách chọn vị trí cho số 1.
+ 4 vị trí còn lại có

A74

cách chọn

Như vậy có 3. A74 =2520 số thỏa mãn yêu cầu bài toán ( kể cả số đứng
đầu bằng 0)
Số các số có dạng:

0bcde

0,25

là: 2. A63 =240 số

0,25
0,25


Số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 2520 - 240 = 2280 số.

0,25

VIII. Tính giới hạn…
a
L = lim(
x ®1

1,0

5 - x3 - 2 2 - 3 x2 + 7
+
)

x2 - 1
x2 - 1

0,25

(

)

- x2 + x + 1
5- x3 - 2
5- x3 - 4
- 3
L1 = lim
= lim
= lim
=
2
x ®1
x ®1
x ®1
x - 1
x2 - 1 5 - x3 + 2
( x + 1) 5 - x 3 + 2 8

)(

(

L 2 = lim

2-

x ®1

x2 + 7
= lim
x ®1
x2 - 1

Vậy

(x

2

æ
- 1ç
4 + 23 x2 + 7 +
ç
ç
ç
è

)

- 1
3

2

4+ 2 x + 7 +
L=−

3

(x

2

(

)

0,25

1- x2

3

= lim
x ®1

)

+ 7

)

2

=-

3

(x

2

2ö
÷
+ 7 ÷
÷
÷
ø

)

1
12

0,25

1 3
11
− =−
12 8
24

0,25

Chương trình nâng cao
VI.b

Viết phương trình tiếp tuyến….

1,0

Theo bài ( C ) có tâm I ( 1; −1) , bán kính

R = 10 .

Giả sử tiếp tuyến có phương trình (∆ ') : ax + by + c = 0, (a 2 + b 2 ≠ 0)
0
Theo bài ta có: cos45 =

| 4a + 2b |
20(a 2 + b 2 )

=

2
2

0,25

0,25

 a = −3b
⇔ 3a 2 − 3b 2 + 8ab = 0 ⇔ 

 b = 3a

TH1. a = −3b . Ta có (∆ ') : − 3x + y + c = 0.
 c = 14
. ⇒ (∆ ') : − 3 x + y − 6 = 0 và
c = −6

Có: d ( I , ∆ ') = 10 ⇔ 
(∆ ') : − 3 x + y + 14 = 0

0,25


TH2. b = 3a . Ta có (∆ ') : x + 3 y + c = 0.
 c = 12
.
c = −8

Có: d ( I , ∆ ') = 10 ⇔ 
(∆ ') : x + 3 y − 8 = 0

⇒ (∆ ') : x + 3 y + 12 = 0 và

Vậy có 4 tiếp tuyến thỏa mãn: −3x + y − 6 = 0; −3x + y + 14 = 0 ;
x + 3 y + 12 = 0 ;

0,25

x + 3y − 8 = 0

VII.b Tìm hệ số của …

1,0

Điều kiện: n ∈ N , n ≥ 2.
Cn2 + 2 An2 + n = 112 ⇔

n(n − 1)
+ 2n(n − 1) + n = 112
2

n = 7
⇔ 5n − 3n − 224 = 0 ⇔ 
 n = − 32
5

2

⇒ n = 7 (thỏa mãn điều

0,25

kiện)
n

k

n
n
 4 1

k
4 7−k  1 
Ta có:  2 x + 3 ÷ = ∑ C7 (2 x )  3 ÷ = ∑ C7k 27−k x 28−7 k
x 

x 
k =0
k =0

0,25

Hệ số của số hạng chứa x 7 trong khai triển là C7k 27−k , trong đó:
0,25

28 − 7 k = 7 ⇔ k = 3

Vậy hệ số của số hạng chứa x 7 trong khai triển là

C 37 2 4 = 560

VIII. Tính giới hạn…
b
3
2x +1 −1 1−
+
Ta có: I = lim(
x →0
sin 2012 x

I1 = lim

x→0

1− x
)
sin 2012 x

0,25
1,0
0,25

2x +1 −1
2x
= lim
x
→
0
sin 2012 x
sin 2012 x  3 (2 x + 1) 2 + 3 2 x + 1 + 1



3

2012 x
1
1
.lim
=
x → 0 sin 2012 x x → 0
2

1006  3 (2 x + 1) + 3 2 x + 1 + 1 3018



= lim

0,25


I 2 = lim
x→0

1− 1− x
x
= lim
x
→
0
sin 2012 x
sin 2012 x 1+ 1 − x 

0,25

2012 x
1
1
.lim
=
x → 0 sin 2012 x x → 0
2012 1+ 1 − x  4024

= lim

I = I1 + I 2 =

1
1
7
+
=
3018 4024 12072

(Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa)

0,25