Đề thi khảo sát chất lượng môn toán lớp 12 đề số 7

ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG
MÔN: TOÁN LỚP 12
Thời gian: 180 phút

ĐỀ 7

Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
2
a) lim x − 4 x − 3
x→−4

2
b) lim x − 4 x + 3

x +2

x→3

x −3

Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x0 = 1 :
 x ² + 2 x −3
f ( x) = 

x −1

4

khi x ≠ 1
khi x = 1

Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y =

2
b) y = x + x − 2

x −1
2x +1

2x +1

Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, SA
⊥ (ABC), SA = a 3 .
a) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: BC ⊥ (SAM).
b) Tính góc giữa các mặt phẳng (SBC) và (ABC).
c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Câu 5: (1,0 điểm) Chứng minh phương trình: 2 x 4 + 4 x 2 + x − 3 = 0 có ít nhất hai
nghiệm thuộc (–1; 1).
Câu 6: (2,0 điểm)
a) Cho hàm số y =

x −3
. Tính y′′ .
x+4


b) Cho hàm số y = x3 − 3x 2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại
điểm I(1; –2).

.........Hết.........

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.


ĐÁP ÁN
Câu Ý Nội dung
1

a)

x 2 − 4 x − 3 (−4)2 − 4.(−4) − 3
lim
=
x →−4
x+2
−4 + 2
=

b)

Điểm
0,50

16 + 16 − 3 −3 3
=
=
−2
−2 2

0,50

lim

x2 − 4x + 3
( x − 3)( x − 1)
= lim
x →3
x →3
x −3
x −3

0,50

= lim( x − 1) = 2

0,50

x →3

2

( x − 1)( x + 3)
= lim( x + 3) = 4
x →1
x →1
x −1

lim f ( x ) = lim

0,50

f(1) = 4

0,25

⇒

hàm số liên tục tại x = 1

0,25

y=

x −1
3
⇒ y' =
2x +1
(2 x + 102

0,50

y=

x2 + x − 2
2 x2 + 2 x + 5
⇒ y' =
2x + 1
(2 x + 1)2

0,50

x →1

3

a)
b)

4

0,25

a) Tam giác ABC đều,

M ∈ BC , MB = MC ⇒ AM ⊥ BC

∆SAC = ∆SAB ( c.g.c ) ⇒ ∆SBC cân

tại S

⇒ SM ⊥ BC

(1)

0,25

(2)

0,25

Từ (1) và (2) suy ra BC ⊥ (SAM)
b) (SBC) ∩ (ABC) = BC,

0,25

SM ⊥ BC ( cmt ) , AM ⊥ BC

0,50

·
⇒ ((SBC ),( ABC )) = SMA

AM =

0,25

a 3
SA
·
, SA = a 3 ( gt ) ⇒ tan SMA
=
=2
2
AM

0,25

c) Vì BC ⊥ (SAM) ⇒ (SBC) ⊥ (SAM)

0,25

(SBC ) ∩ (SAM ) = SM , AH ⊂ (SAM ), AH ⊥ SM ⇒ AH ⊥ (SBC )

0,25

⇒ d ( A,(SBC )) = AH ,

0,25

3a 2
3a .
1
1
1
SA2 . AM 2
2
4 =a 3
=
+
⇒
AH
=
⇒
AH
=
2
2
2
2
2

5
AH
SA
AM
SA + AM
3a2
3a 2 +
4
2

5a

Gọi

f (x) = 2 x 4 + 4 x2 + x − 3

⇒

f (x)

liên tục trên R

f(–1) = 2, f(0) = –3 ⇒ f(–1).f(0) < 0 ⇒ PT
nghiệm c1 ∈ (−1; 0)
f(0) = –3, f(1) = 4

⇒ f (0). f (1) < 0

c2 ∈ (0;1)

Mà
6a

a)

y=

c1 ≠ c2 ⇒ PT f ( x ) = 0 có

b)

⇒ PT

f (x) = 0

f (x) = 0

0,25
có ít nhất 1

có ít nhất 1 nghiệm

ít nhát hai nghiệm thuộc khoảng

x −3
7
⇒ y' =
x+4
( x + 4)2

⇒ y" =

0,25

−14
( x + 4)3

(−1;1) .

0,25
0,25
0,25
0,50
0,50

y = x 3 − 3x 2 ⇒ y ' = 3 x 2 − 6 x ⇒ k = f ′(1) = −3

0,50

x0 = 1, y0 = −2, k = −3 ⇒ PTTT : y = −3 x + 1

0,50


5b

x3 − 3x + 1 = 0

(*). Gọi

f(–2) = –1, f(0) = 1 ⇒
(*)
f(0) = 1, f(1) = –1

f ( x) = x 3 − 3x + 1 ⇒ f ( x)
f (−2). f (0) < 0

⇒

∃c1 ∈ (−2; 0)

⇒ f (0). f (1) < 0 ⇒ ∃c2 ∈ (0;1)

f (1) = −1, f (2) = 3 ⇒ f (1). f (2) < 0 ⇒ ∃c3 ∈ (1;2)

Dễ thấy
6b

a)

c1 , c2 , c3

y = x.cos x

⇒

liên tục trên R
là một nghiệm của

là một nghiệm của (*)

là một nghiệm của (*)

phân biệt nên PT (*) có ba nghiệm phân biệt

y ' = cos x − x sin x ⇒ y " = − s inx − s inx − x cos x ⇒ y " = − x cos x

0,25
0,25
0,25
0,25
0,50

2(cos x − y′ ) + x ( y′′ + y ) = 2(cos x − cos x + x sin x ) + x(−2sin x − x cos x + x cos x ) =

0,25

= 2 x sin x − 2 x sin x = 0

0,25

b) Giao điểm của ( C ) với Oy là A(0; 1)
y = f ( x ) = 2 x 3 − 3x + 1

⇒

0,25

y ' = f ′( x ) = 6 x 2 − 3

0,25

k = f ′(0) = −3

Vậy phương trình tiếp tuyến tại A(0; 1) là

0,25
y = −3 x + 1

0,25