Nghiên cứu thực hành giảng dạy khái niệm xác suất trong các lớp song ngữ và các lớp phổ thông ở Việt Nam

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

TRẦN TÚY AN

Nghiên cứu thực hành giảng dạy
khái niệm xác suất trong các lớp
song ngữ và các lớp phổ thông ở
Việt Nam

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chi Minh – 2007


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

TRẦN TÚY AN

Nghiên cứu thực hành giảng dạy
khái niệm xác suất trong các lớp
song ngữ và các lớp phổ thông ở
Việt Nam
Chuyên ngành : Lý luận và phƣơng pháp dạy học môn Toán
Mã số

: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU

Thành phố Hồ Chí Minh – 2007


MỤC LỤC
TRANG PHỤ BÌA
LỜI CẢM ƠN
MỞ ĐẦU ................................................................................................................................................. 1
CHƢƠNG 1. QUAN HỆ CỦA THỂ CHẾ VỚI KHÁI NIỆM XÁC SUẤT ...................................... 8
1.1. Quan điểm đƣợc thừa nhận trong các chƣơng trình những năm 90 của Pháp .........................9
1.2. Quan hệ của thể chế I1 với khái niệm xác suất...........................................................................12
1.2.1. Khái niệm xác suất trong chƣơng trình song ngữ Pháp-Việt ........................................12
1.2.2. Khái niệm xác suất trong sách giáo khoa của hệ song ngữ Pháp-Việt..........................15
1.2.3. Các kết luận........................................................................................................................33
1.3. Tóm tắt các kết quả nghiên cứu về mối quan hệ thể chế I2 với đối tƣợng xác suất ................34
1.3.1. Về cách tiếp cận xác suất...................................................................................................35
1.3.2. Về phạm vi tác động của khái niệm xác suất và các đối tƣợng liên quan đến khái niệm
xác suất .........................................................................................................................................35
1.3.3. Về các tổ chức toán học xung quanh đối tƣợng xác suất ...............................................36
1.4. So sánh hai thể chế I1 và I2 ..........................................................................................................36
1.4.1. Tiến trình đƣa vào khái niệm Xác Suất ...........................................................................37
1.4.2. Phép thử ngẫu nhiên..........................................................................................................38
1.4.3. Các tổ chức toán học liên quan đến kiểu nhiệm vụ :tính xác suất ................................38
CHƢƠNG 2. NGHIÊN CỨU HOẠT ĐỘNG GIẢNG DẠY THỰC TẾ CỦA GIÁO VIÊN ĐỐI
VỚI KHÁI NIỆM XÁC SUẤT ........................................................................................................... 40
2.1. Thực tế giảng dạy khái niệm xác suất ở thể chế I2.....................................................................40
2.1.1. Tổ chức didactic: Một quan điểm động ...........................................................................41
2.1.2. Tổ chức didactic: một quan điểm tĩnh .............................................................................52

2.1.3. Đánh giá tổ chức toán học .................................................................................................54
2.1.4. Kết luận ..............................................................................................................................56
2.2. Thực tế giảng dạy khái niệm xác suất ở thể chế I1.....................................................................56
2.2.1. Tổ chức didactic : một quan điểm động ..........................................................................57
2.2.2. Tổ chức diactic : một quan điểm tĩnh ..............................................................................65
2.2.3. Đánh giá tổ chức toán học .................................................................................................65
2.2.4. Kết luận ..............................................................................................................................66
2.2.5. Quan điểm so sánh.............................................................................................................67
2.3. Kết luận chung...............................................................................................................................67
CHƢƠNG 3. THỰC NGHIỆM 1........................................................................................................ 69
3.1. Mục tiêu..........................................................................................................................................69
3.2. Đối tƣợng của thực nghiệm ..........................................................................................................69
3.3. Mô tả thực nghiệm ........................................................................................................................69


3.4. Phân tích a priori hệ thống câu hỏi .............................................................................................70
3.4.1. Phân tích a priori tổng quát..............................................................................................70
3.5. Phân tích aposteriori các bài toán thực nghiệm .........................................................................73
3.5.1. Các kết quả ghi nhận ở thể chế I2 ....................................................................................73
3.5.2. Các kết quả ghi nhận ở thể chế I1 ....................................................................................76
3.6. Kết luận ..........................................................................................................................................77
CHƢƠNG 4. THỰC NGHIỆM 2........................................................................................................ 79
4.1. Mục đích.........................................................................................................................................79
4.2. Dàn dựng kịch bản ........................................................................................................................80
4.2.1. Hoạt động 1 ........................................................................................................................80
4.2.2. Hoạt động 2 ........................................................................................................................81
4.2.3. Hoạt động 3 ........................................................................................................................82
4.3. Biến .................................................................................................................................................86
4.4. Các chiến lƣợc có thể. ...................................................................................................................86
4.5. Phân tích kịch bản .........................................................................................................................87

4.6. Diễn tiến thực nghiệm ...................................................................................................................90
4.6.1. Hoạt động 1 ........................................................................................................................91
4.6.2. Hoạt động 2 ........................................................................................................................91
4.6.3. Hoạt động 3 ........................................................................................................................91
KẾT LUẬN ........................................................................................................................................... 97

TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC


LỜI CẢM ƠN
Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS. Lê Thị Hoài Châu vì
Cô là người đã dẫn dắt tôi bước vào con đường nghiên cứu khoa học và là người đã
tận tình chỉ dẫn, động viên tôi, giúp tôi có đủ niềm tin và nghị lực để hoàn thành luận
văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn : PGS. TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến,
TS. Đoàn Hữu Hải, PGS. TS. Claude Comiti, PGS. TS. Annie Bessot, TS. Alain
Birebent đã nhiệt tình giảng dạy, giải đáp những thắc mắc giúp chúng tôi có thể tiếp
thu một cách tốt nhất về chuyên ngành nghiên cứu rất thú vị - Didactic Toán.
Tôi xin chân thành cảm ơn :
 Ban lãnh đạo và chuyên viên phòng Khoa học công nghệ - Sau đại học, ban
chủ nhiệm và giảng viên khoa Toán – Tin của trường ĐHSP Tp. Hồ Chí
Minh đã tạo thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khoá học.
 Ban giám hiệu trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai (TP.HCM), trường
THPT Nguyễn Hiền (TP.HCM) và trường THPT Trần Hưng Đạo (TP.HCM)
đã hỗ trợ giúp tôi tổ chức thực nghiệm 1 và thực nghiệm 2.
 Ban giám hiệu và các đồng nghiệp trong tổ Toán trường THPT chuyên Lê
Hồng Phong đã tạo điều kiện để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
 Chị Vũ Như Thư Hương, người đã động viên và giúp đỡ tôi trong quá trình
thực hiện luận văn này

Lời cảm ơn chân thành đến các bạn cùng khóa đã luôn chia sẻ cùng tôi những
buồn vui và khó khăn trong quá trình học tập.
Cuối cùng, tận đáy lòng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người
thân yêu trong gia đình, đặc biệt là Bố, Mẹ và hai em trai yêu quí. Người đã, đang và
sẽ mãi mãi là chỗ dựa vững chắc nhất cho tôi về mọi mặt.
Trần Túy An


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát
Từ những năm đầu của thập kỷ 90, một vài nhà nghiên cứu giáo dục Việt Nam đã có
tư tưởng đưa Xác suất vào chương trình môn toán dạy ở trường phổ thông. Tuy nhiên,
phải đến năm học 2007-2008, lần đầu tiên một số kiến thức về xác suất mới chính thức
có mặt trong chương trình Toán bậc trung học được áp dụng trên toàn quốc. Để thuận
tiện, trong luận văn này chúng tôi quy ước gọi đây là “chương trình mới”.
Nói là “chính thức” và “trên toàn quốc” vì hai lý do. Thứ nhất, chương trình mới được
hình thành từ chương trình thí điểm, đã được thử nghiệm từ năm học 2003-2004, ở
một số trường trung học phổ thông (THPT). Năm nay, 2006-2007, là năm thứ ba Xác
suất được giảng dạy ở lớp 11 tại các trường sử dụng sách giáo khoa (SGK) viết theo
chương trình thí điểm. Và SGK sẽ được sử dụng trên toàn quốc cho lớp 11 vào năm
học tới không có sự khác biệt gì lớn so với SGK thí điểm. Thứ hai, vì thực ra thì Xác
suất đã được đưa vào chương trình dành cho các lớp song ngữ Việt-Pháp sớm hơn, từ
1997.
Liên quan đến Xác suất, không ít vấn đề đã được nêu lên từ thực tế của 2 năm dạy theo
chương trình thí điểm. Nhiều giáo viên cảm thấy lúng túng trong thực hành dạy học.
Bản thân tôi, một giáo viên đang giảng dạy theo chương trình song ngữ và sẽ phải
giảng dạy theo chương trình mới còn có thêm một lúng túng khác : dường như hai
chương trình tiếp cận khái niệm xác suất theo hai quan điểm không hoàn toàn như
nhau.
Điều này làm nảy sinh trong tôi những thắc mắc sau : đâu là điểm giống nhau và khác

nhau giữa hai cách trình bày khái niệm xác suất trong SGK thí điểm và SGK song ngữ
ở Việt Nam ? Trên thực tế, giáo viên dạy theo chương trình song ngữ và giáo viên dạy
theo chương trình thí điểm tiến hành giảng dạy khái niệm xác suất như thế nào ? Sự
lựa chọn của họ ảnh hưởng ra sao đến việc hiểu và sử dụng khái niệm xác suất của học
sinh ?
Quả thực, việc đi tìm lời giải đáp cho các câu hỏi trên đây sẽ rất có ích cho hoạt động
giảng dạy của chúng tôi, đặc biệt là trong bối cảnh chương trình mới sẽ được triển khai
ở lớp 11 vào năm học tới (2007-2008). Vì vậy, chúng tôi quyết định chọn đề tài
“Nghiên cứu thực hành giảng dạy khái niệm xác suất trong các lớp song ngữ và
các lớp phổ thông ở Việt Nam”.
Những thắc mắc nêu trên chính là ba câu hỏi xuất phát của chúng tôi. Để thuận lợi cho
việc trình bày, chúng tôi dùng các ký hiệu Q’ 1, Q’2, Q’3 để chỉ lần lượt các câu hỏi này
và diễn đạt lại chúng như sau:

1




Q’1: Sự giống nhau và khác nhau giữa hai cách trình bày khái niệm xác suất
trong SGK thí điểm SGK song ngữ ở Việt Nam?



Q’2: Trên thực tế, giáo viên dạy theo chương trình song ngữ Việt-Pháp và giáo
viên dạy theo chương trình thí điểm tiến hành giảng dạy khái niệm xác suất như
thế nào?



Q’3: Sự lựa chọn của họ ảnh hưởng ra sao đến việc hiểu và sử dụng khái niệm
xác suất của học sinh?

2. Khung lí thuyết tham chiếu
Tiếp xúc với lý thuyết didactic toán, chúng tôi hiểu rằng, để nghiên cứu hoạt động dạy
học một tri thức nào đó, vấn đề đầu tiên cần tìm hiểu là bản thân tri thức với tư cách là
một tri thức toán học, và sau đó với tư cách là tri thức cần dạy. Như thế, trong trường
hợp của chúng tôi, sẽ phải có 3 nghiên cứu cần thực hiện:
 Nghiên cứu tri thức luận về khái niệm xác suất
 Nghiên cứu khái niệm này với tư cách là một tri thức cần dạy,
 Trên cơ sở đó, tiến hành quan sát và phân tích thực hành của giáo viên.
Thực hiện cả ba nghiên cứu trên là điều vượt quá khuôn khổ một luận văn thạc sỹ.
May mắn thay, đã có một số công trình tiến hành nghiên cứu thứ nhất. Hơn thế, với
nghiên cứu thứ hai, chúng tôi còn có thể sử dụng kết quả của Vũ Như Thư Hương
(2004), người đã đưa ra một phân tích khá đầy đủ về sự lựa chọn của chương trình và
SGK thí điểm đối với khái niệm xác suất.
Như vậy, để tìm những yếu tố trả lời cho những câu hỏi nêu trên, công việc còn lại của
chúng tôi là phân tích chương trình, SGK dành cho các lớp song ngữ - trong sự so sánh
với chương trình, SGK thí điểm, sau đó tìm hiểu thực tế dạy học của giáo viên.
Trước hết, chúng tôi trình bày tóm lược dưới đây khung lý thuyết mà chúng tôi lấy làm
tham chiếu để phân tích chương trình, SGK và nghiên cứu thực tế dạy học. Đó chính
là “Lý thuyết nhân chủng học” do Chevallard xây dựng. Tại sao lại là “Lý thuyết nhân
chủng học”? Bởi vì cả 3 câu hỏi của chúng tôi đều liên quan đến những khái niệm cơ
bản của lý thuyết này: quan hệ cá nhân, quan hệ thể chế đối với một đối tượng tri thức,
tổ chức toán học và tổ chức diddactic.
Đặc biệt, chúng tôi sẽ tập trung nói về các khái niệm tổ chức toán học, tổ chức
didactic, hai khái niệm không thể thiếu cho những nghiên cứu liên quan đến việc quan
sát thực hành của giáo viên. Chúng tôi sẽ trình bày tóm tắt những khái niệm đó và cố
gắng làm rõ tính thỏa đáng của sự lựa chọn phạm vi lý thuyết của mình. Để trình bày
các khái niệm này, chúng tôi dựa vào những bài giảng didactic sẽ được công bố trong

cuốn sách song ngữ Didactic toán.
2.1. Quan hệ cá nhân đối với một đối tƣợng tri thức
2


Một đối tượng là một cái gì đó tồn tại ít nhất đối với một cá nhân. Quan hệ cá nhân của
một cá nhân X với một đối tượng tri thức O, ký hiệu R(X, O), là tập hợp những tác
động qua lại mà X có thể có với O. R(X, O) cho biết X nghĩ gì về O, X hiểu như thế
nào O, X có thể thao tác O ra sao.
Theo quan điểm này việc học tập của cá nhân X về đối tượng tri thức O là sự điều
chỉnh mối quan hệ của X đối với O. Cụ thể, việc học tập xẩy ra nếu quan hệ R(X, O)
bắt đầu được thiết lập (nếu nó chưa từng tồn tại), hoặc bị biến đổi (nếu nó đã tồn tại).
2.2. Quan hệ thể chế đối với một đối tƣợng tri thức. Phân tích sinh thái
Thế nhưng, một cá nhân không thể tồn tại lơ lửng ở đâu đó mà luôn luôn phải ở trong
ít nhất một thể chế. Từ đó suy ta việc thiết lập hay biến đổi quan hệ R(X,O) phải được
đặt trong một thể chế I nào đó có sự tồn tại của X. Hơn thế, giữa I và O cũng phải có
một quan hệ xác định. Đối tượng O cũng không thể tồn tại độc lập trong bất cứ thể chế
nào. Nói cách khác, O sống trong mối quan hệ chằng chịt với những đối tượng khác. O
sinh ra, tồn tại và phát triển trong mối quan hệ ấy. Theo cách tiếp cận sinh thái
(écologie) thì O chỉ có thể phát triển nếu nó có một lý do tồn tại (raison d’être), nếu nó
được nuôi dưỡng trong những quan hệ, những ràng buộc ấy.
Chevallard đã dùng thuật ngữ quan hệ thể chế I với tri thức O, ký hiệu R(I,O), để chỉ
tập hợp các mối ràng buộc mà thể chế I có với tri thức O. R(I,O) cho biết O xuất hiện
ở đâu, bằng cách nào, tồn tại ra sao, đóng vai trò gì trong I, …. Phân tích sinh thái là
một phân tích nhằm làm rõ quan hệ R(I,O) ấy. Hiển nhiên, trong một thể chế I, quan
hệ R(X,O) hình thành hay thay đổi dưới các ràng buộc của R(I,O).
Với những định nghĩa trên thì trả lời cho câu hỏi Q’1 chính là làm rõ quan hệ của các
thể chế mà chúng tôi quan tâm đối với đối tượng O. Đối tượng O ở đây là “khái niệm
xác suất”, còn thể chế dạy học mà chúng tôi quan tâm là dạy học theo chương trình
song ngữ và dạy học theo chương trình thí điểm.

Để thuận tiện trong trình bày, chúng tôi dùng các ký hiệu I1, I2 để chỉ lần lượt hai thể
chế đó. Những yếu tố trả lời cho câu hỏi Q’3 sẽ được tìm thấy không chỉ qua việc làm
rõ quan hệ thể chế mà còn qua cả nghiên cứu quan hệ cá nhân của học sinh đối với O,
vì, như đã nói trên, tác động của thể chế lên chủ thể X (tồn tại trong thể chế) thể hiện
qua quan hệ của X với O. Một câu hỏi được đặt ra ngay tức thì : làm thế nào để vạch
rõ quan hệ thể chế R(I,O) và quan hệ cá nhân R(X,O) ?
2.3. Tổ chức toán học
Hoạt động toán học là một bộ phận của hoạt động xã hội. Do đó, cũng cần thiết xây
dựng một mô hình cho phép mô tả và nghiên cứu thực tế đó. Xuất phát từ quan điểm
này mà Chevallard (1998) đã đưa vào khái niệm praxeologie.

3


Theo Chavallard, mỗi praxeologie là một bộ gồm 4 thành phần [T, ,  ,  ], trong đó :
T là một kiểu nhiệm vụ ,  là kỹ thuật cho phép giải quyết T ,  là công nghệ giải thích
cho kỹ thuật  ,  là lí thuyết giải thích cho  , nghĩa là công nghệ của công nghệ  .
Một praxeologie mà các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là một tổ
chức toán học (organisation mathématique). Theo Bosch.M và Chevallard.Y, việc
nghiên cứu mối quan hệ thể chế I với một đối tượng tri thức O có thể được tiến hành
thông qua việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với O:
“Mối quan hệ thể chế với một đối tượng […] được đị nh hì nh và biến đổi bởi một tập hợp những nhiệm
vụ mà cá nhân [chiếm một vị trí nào đó trong thể chế này] phải thực hiện, nhờ vào những kỹ thuật xác
đị nh” (Bosch. M và Chevallard Y., 1999).

Hơn thế, cũng theo Bosch. M và Chevallard Y., việc nghiên cứu các tổ chức toán học
gắn liền với O còn cho phép ta hình dung được một số yếu tố của quan hệ cá nhân của
một chủ thể X tồn tại trong O, bởi vì:
“Chí nh việc thực hiện những nhiệm vụ khác nhau mà cá nhân phải làm trong suốt cuộc đời mì nh
trong những thể chế khác nhau, ở đó nó là một chủ thể (lần lượt hay đồng thời ), dẫn tới làm nảy sinh

mối quan hệ cá nhân của nó với đối tượng nói trên”.

Trong luận văn này, việc xác định các tổ chức toán học gắn với đối tượng O trước hết
sẽ cho phép chúng tôi:
 Vạch rõ các quan hệ thể chế R (I1,O) và R(I2,O).
 Hình dung được quan hệ mà các cá nhân chủ chốt (giáo viên và học sinh) trong
mỗi thể chế I1, I2 duy trì đối với O.
Hơn thế, chúng tôi sẽ căn cứ vào những tổ chức toán học đã chỉ ra để phân tích hoạt
động của giáo viên trên lớp học, xác định sự chênh lệch (nếu có) giữa tổ chức toán học
được giảng dạy với đòi hỏi của thể chế.
2.4. Tổ chức didactic
Câu hỏi Q’2 liên quan đến thực hành của giáo viên.
Theo Chevallard, để phân tích thực hành của giáo viên, nhà nghiên cứu cần phải trả lời
hai câu hỏi :
 Làm thế nào để phân tích một tổ chức toán học được xây dựng trong một lớp
học nào đó ?
 Làm thế nào để mô tả và phân tích một tổ chức didactic mà một giáo viên đã
triển khai để truyền bá một tổ chức toán học cụ thể trong một lớp học cụ thể ?
Ta thấy xuất hiện ở đây thuật ngữ tổ chức didactic. Đó là một praxéologie mà kiểu
nhiệm vụ cấu thành nên nó là kiểu nhiệm vụ thuộc loại nghiên cứu. Cụ thể hơn, một tổ
chức didactic là một câu trả lời cho câu hỏi thuộc kiểu “ Nghiên cứu tác phẩm O như
thế nào ? ”.
4


Công cụ lý thuyết mà Chevallard đưa ra để giúp nhà nghiên cứu trả lời hai câu hỏi trên
chính là khái niệm các thời điểm nghiên cứu. Theo ông, dù không phải là mọi tổ chức
toán học đều được tổ chức tìm hiểu theo một cách thức duy nhất, thì vẫn có những thời
điểm mà tất cả các hoạt động nghiên cứu đều phải trải qua. Cụ thể, ông cho rằng một
tình huống học tập nói chung bao gồm 6 thời điểm, và ông gọi chúng là các thời điểm

nghiên cứu (moment d’étude) hay thời điểm didactic (moment didactique).
Thời điểm thứ nhất : là thời điểm gặp gỡ lần đầu tiên với tổ chức toán học OM được
xem là mục tiêu đặt ra cho việc học tập liên quan đến đối tượng O.
Sự gặp gỡ như vậy có thể xẩy ra theo nhiều cách khác nhau. Tuy nhiên, có một cách
gặp, hay « gặp lại », hầu như không thể tránh khỏi, trừ khi người ta nghiên cứu O rất
hời hợt, là cách gặp thông qua một hay nhiều kiểu nhiệm vụ Ti cấu thành nên O. Sự
« gặp gỡ lần đầu tiên » với kiểu nhiệm vụ Ti có thể xẩy ra qua nhiều lần, tùy vào môi
trường toán học và didactic tạo ra sự gặp gỡ này : người ta có thể khám phá lại một
kiểu nhiệm vụ giống như khám phá lại một người mà người ta nghĩ rằng mình đã biết
rõ.
Thời điểm thứ hai : là thời điểm nghiên cứu kiểu nhiệm vụ Ti được đặt ra, và xây
dựng nên một kỹ thuật i cho phép giải quyết kiểu nhiệm vụ này.
Thông thường, nghiên cứu một bài toán cá biệt, làm mẫu cho kiểu nhiệm vụ cần
nghiên cứu, là một cách thức tiến hành để triển khai việc xây dựng kỹ thuật tương ứng.
Kỹ thuật này sau đó sẽ lại là phương tiện để giải quyết mọi bài toán cùng kiểu.
Thời điểm thứ ba : là thời điểm xây dựng môi trường công nghệ- lý thuyết [/]
liên quan đến i, nghĩa là tạo ra những yếu tố cho phép giải thích kỹ thuật đã được
thiết lập.
Thời điểm thứ tƣ : là thời điểm làm việc với kỹ thuật.
Thời điểm này là thời điểm hoàn thiện kỹ thuật bằng cách làm cho nó trở nên hiệu quả
nhất, có khả năng vận hành tốt nhất - điều này nói chung thường đòi hỏi chỉnh sửa lại
công nghệ đã được xây dựng cho đến lúc đó. Đồng thời đây cũng là thời điểm làm
tăng khả năng làm chủ kỹ thuật : thời điểm thử thách kỹ thuật này đòi hỏi phải xét
một tập hợp thích đáng cả về số lượng lẫn chất lượng các nhiệm vụ .
Thời điểm thứ năm : là thời điểm thể chế hóa.
Mục đích của thời điểm này là chỉ ra một cách rõ ràng những yếu tố của tổ chức
toán học cần xây dựng. Những yếu tố này có thể là kiểu bài toán liên quan, kỹ thuật
được giữ lại để giải, cơ sở công nghệ-lý thuyết của kỹ thuật đó, cách ghi hay ký
hiệu mới.
Thời điểm thứ sáu : là thời điểm đánh giá.

5


Thời điểm đánh giá nối khớp với thời điểm thể chế hóa. Trong thực tế, việc dạy học
phải đi đến một thời điểm mà ở đó người ta phải « điểm lại tình hình » : cái gì có
giá trị, cái gì đã học được,…6 thời điểm nghiên cứu nêu trên cho phép mô tả kỹ thuật
thực hiện kiểu nhiệm vụ dạy một tổ chức toán học như thế nào ?
Phân tích một tổ chức didactic có nghĩa là phân tích cách thức mà sáu thời điểm
nghiên cứu trên đã được thực hiện (hay không được thực hiện).
Lưu ý rằng Chevallard không áp đặt phải thực hiện các thời điểm theo đúng trình tự
đã nêu. Chẳng hạn, có thể đi đến thời điểm thứ tư rồi lại quay trở lại với thời điểm
thứ hai.
Khái niệm thời điểm nghiên cứu sẽ mang lại cho chúng tôi một mô hình lý thuyết thỏa
đáng để quan sát hoạt động của giáo viên nhằm tìm kiếm câu trả lời cho câu hỏi Q’2.

3. Trình bày lại hệ thống câu hỏi
Trong khuôn khổ của phạm vi lý thuyết tham chiếu đã lựa chọn, các câu hỏi cấu thành
nên mục đích nghiên cứu của chúng tôi có thể được trình bày lại như sau:
 Q1: Những kiểu nhiệm vụ nào đặc trưng cho khái niệm xác suất được xây dựng
trong thể chế I1 (thể chế dạy học theo chương trình song ngữ)? Kĩ thuật nào
được sử dụng ? Có hay không các yếu tố công nghệ giải thích cho kĩ thuật ?
Những tổ chức toán học nào được xây dựng và cần phải dạy trong thể chế đó ?
 Q2: Sự giống nhau và khác nhau trong quan hệ của thể chế I1 và I2 đối với đối
tượng O ?
 Q3: Tổ chức didactic nào được giáo viên thiết lập để tiến hành giảng dạy các tổ
chức toán học liên quan đến khái niệm xác suất ? Có hay không sự chênh lệch
giữa tổ chức toán học cần giảng dạy với tổ chức toán học được xây dựng trong
lớp học.
 Q4: Sự lựa chọn của thể chế và hoạt động giảng dạy của giáo viên ảnh hưởng ra

sao đến quan hệ cá nhân của học sinh trong mỗi thể chế đối với đối tượng O ?

4. Trình bày lại cấu trúc luận văn
Nghiên cứu thực hiện ở Chương 1 nhằm tìm những yếu tố trả lời cho câu hỏi Q1 và
Q2.
Đối với Q1, chúng tôi sẽ làm rõ quan điểm lựa chọn cách tiếp cận O của thể chế I1.
Muốn thế, cần phải phân tích chương trình và sách giáo khoa sử dụng trong các lớp
song ngữ. Trong phân tích này, vấn đề cơ bản là xác định những tổ chức toán học cần
giảng dạy theo sự lựa chọn của I1.
Như đã nói, quan hệ của thể chế I2 (thể chế giảng dạy theo chương trình thí điểm) đối
với O đã được nghiên cứu bởi Vũ Như Thư Hương (2004). Chúng tôi sẽ sử dụng kết
quả của tác giả này để chỉ rõ những tổ chức toán học cần dạy trong thể chế I2. Trên cơ
6


sở đó chúng tôi cố gắng chỉ ra những điểm giống nhau và khác nhau của hai mối quan
hệ thể chế R(I1,O) và R(I2,O).
Chương 2 dành cho nghiên cứu các hoạt động giảng dạy của giáo viên ở cả hai thể chế
I1 và I2, nhằm tìm câu trả lời cho câu hỏi Q3.
Nghiên cứu thể chế thực hiện ở chương 1 cho phép dự đoán những gì có thể tồn tại
trong lớp học, những ràng buộc trên hoạt động dạy của giáo viên, sự tiến triển và thời
điểm quan trọng nhất của việc học,… Đây là cơ sở để chúng tôi lựa chọn các tiết học
cần quan sát.
Khi quan sát, vấn đề đầu tiên của chúng tôi là xác định những tổ chức toán học thực sự
được triển khai trong lớp học và tổ chức didactic mà giáo viên đã thiết lập để triển khai
nó. Cụ thể hơn, chúng tôi sẽ :
 Chỉ rõ những kiểu nhiệm vụ liên quan đến O mà học sinh phải giải quyết,
những kĩ thuật mà giáo viên đã trao cho họ, những yếu tố công nghệ - lý thuyết
giải thích cho các kỹ thuật ấy ;
 Xác định các thời điểm nghiên cứu cấu thành nên tổ chức didactic mà giáo viên

được quan sát đã triển khai ;
 Tìm sự chênh lệch (nếu có) giữa tổ chức toán học được xây dựng trong lớp học
và tổ chức toán học cần giảng dạy.
Nghiên cứu thực hiện ở chương 1 và 2 sẽ cho phép chúng tôi đưa ra những giả thuyết
liên quan đến câu hỏi cuối cùng (Q4) : mối quan hệ cá nhân của học sinh với khái
niệm xác suất hình thành như thế nào dưới những ràng buộc của thể chế và hoạt động
giảng dạy của giáo viên trên lớp. Chương 3 được dành cho việc kiểm chứng tính thỏa
đáng của giả thuyết này qua một nghiên cứu thực nghiệm.
Với mong muốn tạo ra những điều kiện thuận lợi để quan hệ cá nhân của học sinh đối
với O được hình thành theo hướng phù hợp với đặc trưng khoa học luận của tri thức O
cần dạy, chúng tôi đề nghị một sự bổ sung cho tổ chức didactic quan sát được. Tổ chức
didactic bổ sung đó được giới thiệu trong chương 4 của luận văn. Tổ chức này tạo nên
một tiểu đồ án didactic nhằm hình thành những kỹ thuật cần thiết để giải quyết kiểu
nhiệm vụ tính xác suất, kiểu nhiệm vụ cơ bản được đề cập trong các tiết học được
quan sát, và cũng là kiểu nhiệm vụ mang lại nghĩa cho khái niệm xác suất.
Tính khả thi của tiểu đồ án đó được chúng tôi kiểm chứng qua một thực nghiệm. Do
khuôn khổ có hạn của luận văn, chúng tôi chỉ trình bày một phân tích sơ bộ thực tế xẩy
ra trong lớp học để chỉ ra rằng quả là tổ chức toán học được thiết lập qua tiểu đồ án đó
hoàn chỉnh hơn tổ chức toán học được xây dựng trong những tiết học mà chúng tôi đã
quan sát.

7


CHƢƠNG 1 : QUAN HỆ CỦA THỂ CHẾ VỚI KHÁI
NIỆM XÁC SUẤT
Nghiên cứu ở chương này nhằm mục đích tìm kiếm những yếu tố trả lời cho câu hỏi 1,
2. Muốn thế, nghiên cứu đó phải làm rõ những đặc trưng của quan hệ mà mỗi thể chế
I1, I2 duy trì đối với O. Chúng tôi nhắc lại rằng O là khái niệm xác suất, I1 là thể chế
dạy học theo chương trình song ngữ Pháp-Việt, I2 là thể chế dạy học theo chương trình

thí điểm của Việt Nam, chương trình sẽ được triển khai cho các lớp 11 trên toàn quốc
vào năm học 2007-2008. Việc làm rõ quan hệ thể chế sẽ được thực hiện thông qua
phân tích chương trình và SGK mà mỗi thể chế sử dụng. Đặc biệt, để xây dựng cơ sở
cho việc quan sát và phân tích thực hành của giáo viên, chúng tôi sẽ cố gắng xác định
những tổ chức toán học liên quan đến O được xây dựng trong SGK.
Cần phải nói rằng do ảnh hưởng của sự lựa chọn được thực hiện ở Pháp mà chương
trình song ngữ chứa đựng một số nội dung không có mặt trong dạy học toán ở các
trường THPT Việt nam thời kỳ 1990-2000. Xác suất nằm trong số các nội dung ấy.
Hơn thế nữa, đối với những nội dung này, người ta chọn một trong những bộ SGK
đang được sử dụng ở Pháp thời kỳ sau 1990 - bộ Terracher, xuất bản năm 1995, làm
tài liệu cho giáo viên và học sinh các lớp song ngữ. Điều đó có nghĩa là đối với khái
niệm xác suất, chương trình song ngữ hoàn toàn tuân thủ cả về nội dung cũng như
quan điểm tiếp cận của thể chế dạy học ở Pháp giai đoạn những năm 90.
Vì lẽ đó, chúng tôi nghĩ rằng, trước khi nghiên cứu quan hệ của thể chế I1 đối với O,
cần phải tìm hiểu quan điểm được thừa nhận trong chương trình của Pháp ở giai đoạn
này về cách tiếp cận khái niệm xác suất.
Việc làm rõ quan điểm lựa chọn của noosphère Pháp về cách tiếp cận O sẽ giúp chúng
tôi thực hiện phần thứ hai của chương, dành cho nghiên cứu R(I1,O). Hơn thế, nó còn
mang lại những yếu tố cho phép thực hiện một sự so sánh các quan hệ thể chế R(I1,O)
và R(I2,O). Nghiên cứu so sánh này thực hiện ở phần thứ tư – phần cuối cùng của
chương, sẽ là một trong những cơ sở để chúng tôi đánh giá thực hành của giáo viên
trong hai thể chế. Ở đây, đối với R(I2,O), chúng tôi sử dụng kết quả đã được Vũ Như
Thư Hương (2004) nghiên cứu . Như thế, đối với I2, chúng tôi chỉ trình bày lại một
cách ngắn gọn, trong phần thứ ba của chương, những vấn đề mà tác giả này đã làm rõ
về sự lựa chọn cách tiếp cận O và những tổ chức toán học được thiết lập trong SGK.

8


1.1. Quan điểm đƣợc thừa nhận trong các chƣơng trình những

năm 90 của Pháp
Trước khi phân tích chương trình và SGK, cần phải nói rõ là khái niệm xác suất có thể
được tiếp cận theo ba cách khác nhau : tiếp cận tiên đề, tiếp cận Laplace và tiếp cận
tần suất1.
Tư liệu chủ yếu mà chúng tôi sử dụng ở đây là bài viết “Xác suất và thống kê ở trường
phổ thông từ xưa đến nay” (Les probabilités et les statistiques dans le secondaire
d’hier à aujourd’hui) của tác giả Bernard PARZYSZ, in trong cuốn Dạy xác suất ở
phổ thông trung học (Enseigner les probabilités au lycée, 1997).
Theo ghi nhận của Bernard Parzys, chương trình 1990 mang lại một sự thay đổi lớn
cho việc giới thiệu khái niệm Xác suất ở Pháp. Cụ thể là người ta trình bày khái niệm
này theo cách tiếp cận “tần suất” :
“Để giới thiệu khái niệm xác suất, người ta dựa trên việc nghiên cứu các chuỗi thống kê có được bởi
việc lặp đi lặp lại một phép thử ngẫu nhiên, quan sát các tính chất của tần suất và sự ổn định của tần
suất một biến cố cho trước khi phép thử được lặp đi lặp lại một số lần rất lớn” ( B. Parzys, 1997,
trang 30).

Sự lựa chọn này hoàn toàn khác với tất cả các chương trình trước đó. Cụ thể, nếu xét
từ năm 1970 đến 1990 thì việc dạy học khái niệm xác suất ở Pháp, chủ yếu dựa trên
hai cách tiếp cận : tiếp cận tiên đề và tiếp cận Laplace.
Cách tiếp cận xác suất theo quan điểm tiên đề là sự lựa chọn của các chương trình áp
dụng ở Pháp giai đoạn 1970-1980, giai đoạn cải cách toán học hiện đại. Theo khuynh
hướng chủ đạo cuộc cải cách đó thì “một số ít tiên đề có thể cho phép nhận được một
số lượng lớn các kết quả ” (Dạy xác suất ở phổ thông trung học, trang 19). Vì vậy, ở
giai đoạn này, khái niệm xác suất được định nghĩa qua một hệ tiên đề. Mô hình toán
học được sử dụng ở đây nhằm “mô hình hóa việc đồng khả năng của các biến cố sơ
cấp, dựa trên sự quan sát tính đối xứng của tình huống được nghiên cứu” (Dạy xác
suất ở phổ thông trung học, trang 19), ví dụ như đồng xu hay con súc sắc đồng chất và
cân đối.
Giai đoạn 1981-1990 là giai đoạn chống lại cuộc cải cách toán học hiện đại trước đó.
Có một sự tiến triển tổng quát của chương trình, mà liên quan đến xác suất thì tiếp cận

tiên đề nhường chỗ cho cách tiếp cận Laplace rõ ràng là thực dụng hơn. Tuy nhiên,
cách tiếp cận này đòi hỏi không gian mẫu của các phép thử phải gồm những biến cố sơ
cấp đồng khả năng. Việc tính toán xác suất vì thế mà được qui về việc sử dụng các
phép đếm của Đại Số Tổ Hợp. Như Bernard Parzysz đã nói, cách tiếp cận này không
cho phép xác suất can thiệp vào các vấn đề của thực tế, vì tất cả các mô hình mà học
sinh được tiếp xúc theo cách này đều là những mô hình toán học.
1

Về vấn đề này, đã có nhiều công trình nghiên cứu. Những kết quả chủ yếu được tổng hợp lại trong Vũ Như
Thư hương (2004).

9


“[…] cách tiếp cận Laplace chỉ đóng khung trong những không gian mẫu mà các biến cố sơ cấp đều
đồng khả năng. Điều này khiến chúng ta dừng lại ở các mô hình toán học […] thô cứng” (Dạy xác
suất ở phổ thông trung học, trang 36)

Ở đây, thuật ngữ mô hình toán học được hiểu theo nghĩa là mô hình đã được tác động
để làm cho các biến cố sơ cấp trở nên đồng khả năng. Khi đó thì không gian mẫu của
phép thử thuộc phạm vi hợp thức của cách tiếp cận Laplace. Cụ thể, người ta đã tác
động bằng cách nào ? Gợi ý của Hubert trả lời cho chúng ta câu hỏi đó
“[…] tưởng tượng một cách thức nào đó để làm cho chúng trở nên quan sát được (đánh số các hạt
ngũ cốc, tô màu các con súc sắc, các đồng xu,...)” (Dạy xác suất ở phổ thông trung học, trang 241)

Cách làm này cũng được tác giả Bernard DANTAL gợi lại trong bài viết “Analyse
d’activités d’introduction et de sujets de baccalauréat” (Dạy xác suất ở phổ thông
trung học, trang 384).
Theo cách làm ấy, người ta phân biệt hai không gian cùng mô tả một phép thử T, đó là
không gian các kết quả quan sát được và không gian các kết quả có thể. Ở đây “không

gian các kết quả quan sát được” là tập hợp những kết quả mà người ta có thể nhìn thấy
khi thực hiện phép thử trong thực tế. Trái lại, “không gian các kết quả có thể” thì
không nhìn thấy được, và để chỉ rõ các phần tử của không gian này thì người ta dùng
phương pháp đã được Hubert gợi ý là tô màu hay đánh số các đồng xu, quả bóng, con
súc sắc, ... để làm cho chúng trở nên phân biệt. Không gian các kết quả có thể còn
được gọi là “không gian mịn nhất”.
Chẳng hạn, nếu phép thử T là tung hai đồng xu cân đối, đồng chất thì không gian các
kết quả quan sát được có 3 phần tử (1 mặt sấp, 1 mặt ngửa – 2 mặt sấp – 2 mặt ngửa),
còn không gian mịn nhất lại có 4 phần tử mà ta có thể ký hiệu là (S, N), (N, S), (S, S),
(N, N), với S là “mặt sấp”, N là “mặt ngửa.
Chính việc chuyển từ không gian các kết quả có thể sang không gian mịn nhất cho
phép người ta bước từ thí nghiệm thực tế sang một mô hình toán học, trong đó các kết
quả liên quan đến phép thử T có thể được giả định là đồng khả năng .
Trong dạy học xác suất ở giai đoạn 1981 – 1990 ở Pháp, bước chuyển từ thí nghiệm
thực tế sang mô hình toán học đã được tác giả SGK hay thầy giáo can thiệp trực tiếp
bằng cách tô màu súc sắc hay làm cho hai đồng xu phân biệt. Bàn luận về sự lựa chọn
này của thể chế, Bernard PARZYSZ viết :
“[...] trong cách tiếp cận Laplace cổ điển [...], học sinh luôn được đặt trước một mô hình đồng khả
năng (được chọn lựa kĩ lưỡng…bởi thầy giáo), và người ta bỏ mặc ở đằng sau những thắc mắc của
học sinh là tại sao phải tô các con súc sắc bằng nhiều màu sắc” (Dạy xác suất ở phổ thông trung học,
trang 37).

Hơn thế nữa, trong thực tế, không phải bao giờ cũng tìm được không gian mịn nhất
của mọi phép thử. Nói cách khác, không phải bao giờ cũng chuyển được từ phép thí
nghiệm thực tế vào mô hình toán học. Cách tiếp cận Laplace vì thế mà đã làm mất đi
nhiều ứng dụng của khoa học xác suất trong thực tế :
10


“Trong các bài tập truyền thống, việc tính toán xác suất được xem như là một ứng dụng của Đại số Tổ

hợp, học sinh dường như bị đánh lừa bởi vì họ không nhận thấy được các ứng dụng của xác suất trong
những tình huống ngẫu nhiên thực tế và phức tạp” (Michel Henry, 1997).

Vậy mà gắn liền toán học với thực tế lại là một quan điểm chỉ đạo cuộc cải cách bắt
đầu thực hiện từ những năm đầu của thập kỷ 80 nhằm chống lại toán học hiện đại.
Trong khi Xác suất đang còn được tiếp cận theo một cách thức xa rời với thực tế như
thế thì việc dạy học Thống kê, khoa học có gắn bó mật thiết với Xác suất, đã thể hiện
quan điểm này rất rõ ngay từ chương trình 1986 :
“Chúng tôi nhận thấy trong giai đoạn này có một độ chênh lệch lớn giữa việc dạy Thống Kê và dạy
Xác Suất : Thống Kê thì ngày càng gắn với thực tiễn, trong khi Xác Suất vẫn đóng khung trong các mô
hình toán. Vấn đề đặt ra là tạo nên một không gian cân bằng giữa việc dạy Thống Kê với việc dạy Xác
Suất” (Dạy xác suất ở trường phổ thông, trang 28).

Vấn đề đặt ra lúc này là làm cho học sinh vận dụng được công cụ Xác suất để giải các
bài toán trong thực tiễn. Muốn thế, phải cung cấp cho họ công cụ cho phép giải quyết
những trường hợp không thuộc phạm vi hợp thức của công thức Laplace. Đây là lý do
khiến người ta quyết định đưa vào chương trình 1990 của Pháp cách tiếp cận xác suất
theo tần suất. Các phép đếm của Đại số Tổ hợp không còn là một công cụ tiên quyết
cho việc học xác suất nữa. Cũng vì thế mà Đại số Tổ hợp lúc này được tách ra khỏi
chương “Xác Suất”.
Cách tiếp cận theo tần suất cho phép xác suất can thiệp vào các bài toán thực tế mà
công thức cổ điển của Laplace không giải quyết được. Nó làm cho lớp các tình huống
được nghiên cứu trong lớp học thực sự được mở rộng. Người ta tìm thấy trong các
sách giáo khoa ở giai đoạn này những phép thử mà xác suất “tiên nghiệm” của biến cố
không thể dự đoán trước được - ví dụ điển hình nhất chính là thí nghiệm “gieo đinh
mũ”2.
Ngoài lý do trên, lợi ích của cách tiếp cận tần suất còn tìm thấy ở ý muốn trao lại cho
học sinh việc thực hiện bước chuyển từ các mô hình trong thực tế sang các mô hình
toán học, thay vì thầy giáo trực tiếp tác động như vẫn làm trước đây.
Giải thích cho ý muốn này, ta có thể viện dẫn đến bài toán mà D’Alembert đã từng

nghiên cứu trong lịch sử. Vấn đề là “Tung hai đồng xu liên tiếp, tính cơ hội nhận được
ít nhất một mặt ngửa”. Giải quyết vấn đề này, cùng một lúc D’Alembert đưa ra hai mô
hình, tương ứng với hai loại không gian mà ta đã nói trên : không gian các kết quả
quan sát được và không gian các kết quả có thể.
Trong mô hình tương ứng với không gian thứ nhất (gồm 3 kết quả N-S, N-N, S-S),
ông nói rằng xác suất cần tìm là 2/3. Trong mô hình thứ hai (gồm 4 kết quả N-S, N-N,
S-N, S-S), kết quả thu được lại là 3/4. Trong lập luận của mình, D’Alembert đã thừa

2

Thí nghiệm gieo đinh mũ : thực hiện gieo đinh mũ thì có hai kết quả xuất hiện là đầu tròn cắm xuống đất hoặc đinh nằm
nghiêng

11


nhận quan niệm cho rằng “tất cả các biến cố sơ cấp của một phép thử đều đồng khả
năng” cho cả hai mô hình ở trên. Chính điều này đã gây ra hai kết quả mâu thuẫn nhau.
Về sau, Laplace chọn mô hình thứ hai, nhưng không đưa ra được một cách giải thích
thỏa đáng cho sự lựa chọn của mình, chỉ nói rằng “hiển nhiên thấy được kết quả là
đồng khả năng”. Nhưng nhiều người vẫn thấy mô hình mà Laplace lựa chọn không
diễn đạt được đúng thực tế của việc gieo hai đồng xu (tuân thủ nghiêm ngặt luật chơi),
như mô hình tương ứng với không gian các kết quả quan sát được.
Về vấn đề này, Jean-Claude THIENARD cho rằng chỉ có duy nhất một câu trả lời có
thể được trang bị ở đây là tiến hành thực nghiệm với một số lần rất lớn và quan sát
tần suất xuất hiện mặt ngửa”. Quả vậy, chính là nhờ thực nghiệm, người ta chứng
minh được kết quả là 3/4, và do đó nhận ra quan niệm “tất cả các biến cố sơ cấp của
một phép thử đều đồng khả năng” đã được vận dụng sai lầm cho mô hình tương ứng
với không gian các kết quả quan sát được, bởi các kết quả này là không đồng khả năng
xuất hiện. Vận dụng vào dạy học, Parzysz và Fabregas-Bechler cho rằng :

“Trong một lớp học ở bậc phổ thông, cả hai mô hình trên đều có cơ hội xuất hiện và điều này có thể
gây ra một sự xung đột xã hội-nhận thức. Sự xung đột này chỉ được giải quyết triệt để nhờ vào việc
thực hiện phép thử với số lần rất lớn (tiếp cận tần suất). Tần suất “tiến về” giá trị 0.75 cho phép loại
bỏ mô hình 3 phần tử mà D’alembert nói tới ở trên”. (Parzysz, Fabregas-Bechler, 1999).

Tóm lại, có ít nhất hai lý do giải thích cho sự cần thiết phải cho học sinh tiếp cận với
khái niệm xác suất theo tần suất : nhu cầu gắn liền toán học với thực tế trong dạy học
toán đòi hỏi học sinh phải có khả năng giải bài toán xác suất khi các biến cố không
đồng khả năng xẩy ra, và tiến trình sư phạm để chuyển từ thí nghiệm thực tế vào mô
hình toán học, từ không gian các kết quả quan sát được vào không gian các kết quả có
thể trong trường hợp có thể vận dụng công thức Laplace.
Tuy nhiên, không thể loại trừ tiếp cận Laplace :
“Cả hai cách tiếp cận (Laplace và tần suất) vừa mâu thuẫn nhưng cũng vừa hỗ trợ cho nhau. Vì vậy
cần một tiến trình sư phạm gắn bó hai cách tiếp cận này, sao cho tận dụng được quan niệm “ban
đầu” của học sinh đồng thời giải quyết được các vấn đề trong thực tế. Chúng tôi [...], mong chờ giáo
viên sẽ làm cách mạng trong việc giảng dạy của họ theo nghĩa này” (B. Parzysz, 1997, trang 36).

1.2. Quan hệ của thể chế I1 với khái niệm xác suất
1.2.1. Khái niệm xác suất trong chƣơng trình song ngữ Pháp-Việt
Trước hết, cần phải lưu ý rằng việc dạy học trong hệ thống song ngữ phải tuân thủ
cùng lúc 2 chương trình : chương trình dành cho các lớp thường (không nằm trong hệ
song ngữ Pháp-Việt) và chương trình xây dựng riêng cho các lớp song ngữ. Lý do là
cuối lớp 12 học sinh bắt buộc phải dự kỳ thi tốt nghiệp để lấy bằng tú tài do Bộ Giáo
dục và Đào tạo cấp. Ngoài ra, nếu muốn, họ sẽ dự kỳ thi lấy bằng BAC của Pháp.
Trong luận văn này, chúng tôi sẽ gọi chương trình thứ hai là chương trình song ngữ.

12


Chương trình song ngữ đầu tiên được xây dựng vào tháng 6 năm 1997. Hàng năm,

chương trình được điều chỉnh theo định hướng tạo nên một sự hài hòa với chương
trình dành cho các lớp thường. Vì lẽ đó, những thay đổi của chương trình dành cho các
lớp thường cũng kéo theo sự thay đổi của chương trình song ngữ.
Theo chương trình mới dành cho các lớp thường, bắt đầu áp dụng vào năm học 20062007, Thống kê được dạy ở lớp 10 và xác suất ở lớp 11. Đây là hai nội dung mới của
chương trình dành cho các lớp thường, nhưng không mới đối với chương trình song
ngữ. Tuy nhiên, thay đổi này vẫn kéo theo một một sự sắp xếp lại chương trình song
ngữ ở hai phần Thống kê và Xác suất. Cụ thể, Thống kê vốn được giảng dạy ở cuối
học kì 2 của lớp 11 thì bây giờ chuyển vào chương trình lớp 10. Các kiến thức về Xác
suất vốn được giảng dạy vào đầu học kì 1 của lớp 12, bây giờ được phân thành hai
phần, gọi là Xác suất 1 và xác suất 2. Xác suất 1 thuộc chương trình lớp 11, Xác suất 2
nằm trong chương trình lớp 12.
Điều quan trọng cần nói là chương trình chỉ thay đổi về mặt kết cấu thời gian, còn nội
dung và sự phân bố các tiết dạy hai phần Thống Kê và Xác Suất không thay đổi. Hơn
thế nữa, SGK vẫn là bộ sách đã được chọn từ năm 1997, mà như chúng tôi đã nói
trong phần mở đầu, đó là bộ TERRACHER xuất bản năm 1995.
Sự phân chia dạy học Xác suất thành hai giai đoạn của chương trình song ngữ 20062007 như vậy hoàn toàn phù hợp với chương trình mà bộ TERRACHER tuân thủ :
Xác suất được dạy ở Premier và Terminale. Vì những lý do trên, khi nghiên cứu
chương trình song ngữ (từ nay chúng tôi sẽ gọi tắt là chương trình với cách viết CT),
đôi khi cần thiết thì chúng tôi cũng tham khảo thêm hai sách giáo viên đi kèm bộ
TERRACHER tương ứng với hai phần Xác Suất 1, Xác Suất 2, kí hiệu là P1 và P2.
■ Xác suất 1
Xác suất 1 được giảng dạy ở học kì 1 của lớp 11. Chương này được dạy trong 11 tiết
gồm các nội dung sau :
 Phép thử ngẫu nhiên, biến cố liên quan đến phép thử
 Luật xác suất
 Xác suất của biến cố
 Các công thức liên quan đến xác suất
 Giới thiệu qui tắc nhân
Công thức Laplace được đưa vào ở phần “Các công thức liên quan đến xác suất”. Tuy
nhiên, sự ưu tiên cho cách tiếp cận tần suất được khẳng định ngay từ đầu trong P1, khi

nói về đối tượng dạy học :

13


“Để giới thiệu khái niệm Xác suất, chúng ta dựa trên sự nghiên cứu các chuỗi thống kê và đặc biệt
chú ý đến các tính chất của tần suất, nhất là sự ổn định của tần suất của một biến cố cho trước khi mà
phép thử được tiến hành với một số lần rất lớn” (P1, trang 6).

Đại số tổ hợp được khẳng định không là công cụ chủ yếu :
“Mô tả các phép thử dẫn đến việc tổ chức các dữ liệu : chỉ giới hạn trên các ví dụ đơn giản, không
bao gồm các khó khăn của Đại số tổ hợp.” (P1, trang 6)

Thay cho các kiến thức của Đại số Tổ hợp, sơ đồ cây và các bảng hai chiều được
sử dụng :
“Các ví dụ đơn giản hướng dẫn cách phân chia và biểu diễn (sơ đồ cây, các bảng,…) để tổ chức và
đếm các số liệu liên quan đến việc mô tả phép thử” (P1, trang 7).

Mục tiêu, kĩ năng học sinh phải đạt được sau khi học xong chương này là :
“Biết mô tả vài phép thử ngẫu nhiên và tính toán xác suất” (P1, trang 6)

Lời hướng dẫn của chương trình song ngữ cũng cùng quan điểm như trên :
“Về xác suất, chúng ta cần nhấn mạnh tầm quan trọng gia tăng của các hiện tượng ngẫu nhiên trong
tất cả các ngành khoa học và vị trí của nó trong việc giảng dạy. Việc giới thiệu này dựa trên sự nghiên
cứu các chuỗi thống kê đã được học ở lớp 10” (CT, trang 14).

Như vậy, chúng ta thấy rõ mục đích cách tiếp cận tần suất là quan điểm được I1 lựa
chọn cho việc dạy học Xác suất 1.
■ Xác suất 2
Xác suất 2 được giảng dạy ở lớp 12, được xếp giảng dạy sau chương Tổ Hợp. Chương

này được tiến hành dạy trong 11 tiết gồm các nội dung sau :
 Xác suất có điều kiện, công thức “Xác suất toàn phần”
 Biến ngẫu nhiên
 Kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn
Mục tiêu, kĩ năng học sinh phải đạt được sau khi học xong chương này là “tiếp tục
nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên bằng cách sử dụng công cụ của Đại Số Tổ
Hợp” (sách P2, tr 16).
Yêu cầu của chương trình đối với phần này là “Nhận biết các tình huống có sử dụng
xác suất có điều kiện, biết cách sử dụng định lí xác suất toàn phần” (CT, trang 16).
Như thế, việc nghiên cứu Xác suất được phân thành hai giai đoạn. Giai đoạn 1 đề cập
khái niệm xác suất theo tần suất và sử dụng khái niệm này trong những tình huống đơn
giản, không cần kiến thức của Đại số Tổ hợp. Giai đoạn 2 tập trung vào tính toán xác
suất có điều kiện. Để tính xác suất, chương trình không nói rõ là cách tiếp cận nào (tần
suất hay Laplace) được ưu tiên ở đây.

14


Khái niệm xác suất trong sách giáo khoa của hệ song ngữ
Pháp-Việt
Vì hai nội dung Thống kê và Xác suất không có mặt trong chương trình song ngữ đầu
tiên, nên về sau những nội dung này được trình bày trong một tài liệu có tên “Activités
propédeutiques.Classes: 11ème -12ème. Dossier thématique : Statistiques /
Probabilités”, xuất bản bởi Bộ giáo dục và đào tạo Việt Nam tháng 6 năm 1998. Đây
là tài liệu chính thức cho giáo viên và học sinh song ngữ. Để thuận tiện, chúng tôi quy
ước gọi tài liệu này là M. Tài liệu này cũng chỉ là bản photocopy của các phần tương
ứng trong SGK TERACHER Première và Terminale. Nội dung dạy học được phân
thành 4 phần theo đúng quy định của chương trình : người ta đã lấy bốn phần Thống
kê 1, Thống kê 2, Xác suất 1, Xác suất 2.
Để có thể trả lời cho các câu hỏi Q1, Q2, khi phân tích SGK của chúng tôi sẽ tập trung

vào việc làm rõ tiến trình hình thành khái niệm xác suất và tổ chức toán học liên quan
đến khái niệm này.
1.2.2.1. Phân tích phần “Xác suất 1”
Trong M, phần Xác suất 1 được giới thiệu qua 4 phần nhỏ mà mục đích đã được P1
nói rõ. Đó là những phần sau :
 Phần 1 - Hoạt động chuẩn bị (Activités préparatoires)
 Phần 2 - Bài học (Cours)
 Phần 3 - Luyện tập (Travaux pratiques)
 Phần 4 - Bài tập áp dụng (Applications).
Sau đây, chúng tôi sẽ lần lượt phân tích từng phần nói trên.
■ Phần 1- Hoạt động chuẩn bị
Mục đích tổng quát của phần này là thiết lập các hoạt động mang lại nghĩa cho tri thức
đang nhắm tới. Sách giáo khoa đưa ra 4 hoạt động chuẩn bị với mục đích như sau :
 Hoạt động 1: cho học sinh làm quen với các từ vựng của xác suất (khái niệm
phép thử ngẫu nhiên, biến cố,…) bằng cách liên hệ với ngôn ngữ tập hợp.
 Hoạt động 2 : giới thiệu định nghĩa xác suất bằng cách dựa trên sự ổn định dãy
tần suất liên quan đến một phép thử cho trước, đây là sự lựa chọn áp đặt bởi
chương trình : “xác suất được giới thiệu như là « giá trị lí tưởng » của tần suất
này”.
 Hoạt động 3 : Cho học sinh vận dụng được luật xác suất- trước khi giới thiệu lí
thuyết chính thức- trong một trường hợp bất kì.
 Hoạt động 4 : Vận dụng luật xác suất trong trường hợp đồng khả năng xuất hiện
(P1, trang 49).
Chúng tôi sẽ chỉ tập trung phân tích hoạt động 2, vì chính đó là hoạt động trực tiếp liên
quan đến nghĩa mà SGK mang lại cho khái niệm xác suất.
15


Trong hoạt động 2, người ta cho học sinh xét ba phép thử.
• Phép thử đầu tiên được xem xét là “gieo đinh mũ”. Về phép thử này, SGK trình bày

như sau
1. Phép thử ngẫu nhiên
Người ta gieo một cái đinh mũ (loại đinh một đầu có mũ và một đầu nhọn) và quan sát các kết quả xảy
ra khi đinh rơi xuống đất. Phép thử này có hai kết quả : kết quả 1 (đầu có mũ rơi xuống đất) và kết
quả 2 (đinh nằm nghiêng).
2. Các kết quả thống kê
Gieo đinh 200 lần, chúng ta có dãy số liệu thống kê sau
10001 11101 11101 11111 11100 01110
10101 01000 01001 11111 01110 01001
10111 10011 11101 10010 01010 01111
11010 10010 10001 10011 00101 11100
01101 10111 01110 01101 11010 11000
11001 10100 11110 11111 11101 11000
10100 11111 11101 11111
3. Điền vào bảng sau
Số các con số

5

Tần số của số 1

0,4

10

15

20

25

30

...

180

200

Thực hiện một biểu diễn đồ thị của các kết quả này
4. Sự suy diễn
“Tần số liên quan đến chữ số 1 có khuynh hướng tiến về giá trị ổn định nào? (Chúng ta cố gắng cho
câu trả lời dưới dạng phân số).” (M, trang 23)

Như vậy, bước 1 của hoạt động này cho học sinh một cái nhìn đầu tiên về khái niệm
« phép thử ngẫu nhiên » thông qua ví dụ gieo đinh mũ. Đây là một phép thử mà việc
ước lượng « cơ hội » xảy ra của mỗi kết quả khó có thể đoán trước bằng cảm giác và
« khả năng » xuất hiện mỗi kết quả là không đồng đều như nhau.
Bước ba là một kiểu nhiệm vụ mà học sinh đã được làm quen ở phần thống kê, đó là
xác định tần số xuất hiện kết quả 1 và vẽ đường biểu diễn của các cặp (n, f n), trong đó
n là số lần thực hiện phép thử và f n là tần số xuất hiện kết quả 1 tương ứng.
Ở bước 4, sách M yêu cầu học sinh quan sát đồ thị ở bước 3. Theo Sách giáo viên P1
thì đối với bước này, người ta mong muốn xuất hiện nhận xét “giá trị tần số khi tiến hành
thực nghiệm với số lần thử càng lớn thì ngày càng ổn định và tiến gần đến con số

5
”. (P1, trang 24).
8

Phân tích hoạt động này, chúng tôi nghĩ rằng sự quan sát đồ thị khó mà dẫn học sinh

(HS) đến với nhận xét trên. Số lần tiến hành phép thử là 200 - một con số chưa phải là
lớn, và dù cho số lần thử là rất lớn thì HS vẫn có thể băn khoăn : tại sao lại là giá trị

16


5
? Có thể là giá trị khác chính xác hơn không ? Tại sao yêu cầu phải là phân số ?
8

Sách P1 trang 49 có ghi :
“Sau thí nghiệm theo kiểu này, không một ai có thể biết được một cách chắc chắn đâu là xác suất của
kết quả 1 ! Và đó chính là khó khăn khi mà chúng ta muốn định nghĩa xác suất như là giá trị lí tưởng
của tần suất.”

Hơn nữa, phép thử này lại được sách M cung cấp sẵn các kết quả thu được và học sinh
chỉ việc thao tác trên các kết quả này để đưa ra các kết luận. Việc làm này có thể gây
ra những nghi ngờ ở học sinh : thầy giáo biết trước kết quả là 5/8 và lựa chọn các kết
quả sao cho phù hợp với ý đồ của thầy. Về điều này, B. PARRSYSZ nói :
“[…] học sinh đứng trước các kết quả cho trước mà người ta thường nói là nhờ thực nghiệm chúng ta
có được. Điều này không có gì là chắc chắn, học sinh có tất cả lí do để tin ngược lại là các kết quả
này được tạo ra để phục vụ những nhu cầu định sẵn.” (Dạy Xác suất ở trường phổ thông, trang 24).

Sau đó sách M đưa vào bảng “luật xác suất” tương ứng với hoạt động trên như sau:
Cho xác suất này (xác suất của kết quả 1) giá trị là
bảng sau:
Bảng 1.1
Kết quả 
1
Xác suất P(  ) 5

8

5
(hợp lí) và chúng ta có được
8

0
3
8

Theo chúng tôi, thí nghiệm « gieo đinh mũ » ở trên nhằm đưa HS đến việc tạo lập
được bảng « luật xác suất » trong đó việc quan sát đồ thị (n, fn) giải thích lí do tồn tại
của con số

5
3
gắn liền với kết quả 1 của phép thử này, còn con số gắn liền với kết
8
8

quả 2 lại được giải thích rất tự nhiên nhờ vào « nguyên tắc tần suất » (principe des
fréquences) đã được học ở chương thống kê trước đó. Sau bảng “luật xác suất” này,
sách M đưa ra thêm qui ước về kí hiệu p(wi) là xác suất của kết quả wi. Như vậy chúng
ta có thể nhận thấy rõ «con số

5
gắn với kết quả w1 » chính là xác suất xuất hiện của
8

kết quả 1 với ý nghĩa là « giá trị ổn định của dãy tần suất khi số lần tiến hành phép thử

là rất lớn».
• Phép thử thứ hai và thứ ba mà M xét trong phần Hoạt động 2 chính là “gieo đồng
tiền” và “tung súc xắc với 6 kết quả : 1, 2, 3, 4, 5, 6”. Hai phép thử đó được đưa ra sau
nhận xét sau :
«Đối với việc tung đinh mũ, chỉ có thực nghiệm mới cho phép tính gần đúng xác suất của một
kết quả. May mắn thay việc này diễn ra theo một cách khác đối với các phép thử loại khác».

17


Như vậy, SGK muốn nói đến tính phức tạp của kĩ thuật vừa nêu khi tìm xác suất một
kết quả qua từ được dùng « may mắn thay ». Và một kĩ thuật khác (« theo một cách
khác ») cho các phép thử loại khác được đưa ra.
Sách M nhận xét như sau về hai phép thử trên :
« Trong trò chơi « tung đồng xu với hai mặt sấp và ngửa », chúng ta luôn giả sử rằng đồng xu
được sử dụng là đủ đối xứng (suffisamment symétrie) để cơ hội (chance) xuất hiện các mặt sấp
và ngửa là như nhau. »
« « Thảy một con súc sắc ». Luôn luôn là những lí do đối xứng và đồng chất để chúng ta có
được cơ hội xảy ra 6 mặt là như nhau».

Thông qua cách viết hình thức ở bảng 1.2 và 1.3 thì chúng ta có thể thay thế từ “cơ
hội” ban đầu thành từ “xác suất” của các kết quả : sấp, ngửa hay kết quả : 1, 2, 3, 4, 5,
6. Và như đã phân tích ở trên thì xác suất của các kết quả này là như nhau.
Bảng 1.2
Kết quả 
Sấp
Ngửa
1
1
Xác suất P(  )

2

Bảng 1.3
Kết quả 
Xác suất P(  )

2

1

2

3

4

5

6

1
6

1
6

1
6

1

6

1
6

1
6

Như vậy, chúng tôi nhận thấy rõ các con số p(wi) gắn liền với các kết quả wi trong
bảng 1.2 và bảng 1.3 mang một ý nghĩa khác so với các con số p(wi) xuất hiện ở bảng
1.1. Các con số p(wi) ở bảng 1.2 hay bảng 1.3 bằng nhau và được biện minh dựa trên
tính chất vật lí là sự đối xứng của con súc sắc và đồng xu. Các con số này mang ý
nghĩa « cơ hội » hay « khả năng » có thể xuất hiện trước của các kết quả wi khi tiến
hành phép thử.
Hoạt động 3 với phép thử ngẫu nhiên được mô tả như sau :
« Trong một hộp đen, người ta đặt 12 quả banh không thể phân biệt được khi chạm vào (indiscernable
au toucher) và được đánh số 1, 2, 3, 4, 5.

1

2

3

4

5

1

2

1

5

3

1

2

Ta chọn ngẫu nhiên một quả banh trong hộp và quan sát con số xuất hiện trên quả banh. Mô tả các
kết quả có thể của phép thử trên.Lập bảng phân phối xác suất theo mẫu có sẵn » (M, trang 24).

Sách P1 trang 50 đưa ra gợi ý cho hoạt động này như sau :
Tập hợp các kết quả là {1, 2, 3, 4, 5}
Bảng phân phối xác suất theo mẫu có sẵn
Kết quả wi
1
2
3
4
5
18


Xác suất P(wi)

4 1


12 3

3 1

12 4

2 1

12 6

1
12

2 1

12 6

Chúng tôi nhận thấy rằng sách giáo viên P1 không giải thích lí do tồn tại của các con
số p(wi) (kí hiệu là pi) gắn liền với các kết quả wi trong bảng phân phối xác suất trên.
Sách M lấy bảng “luật xác suất” của tình huống trong hoạt động 3 và lưu ý đến biến cố
« quả banh rút được trong bình mang số lẻ ». Kí hiệu A là biến cố này, ghi lại
A={1,3,5}. Sách M dẫn dắt như sau : « Vì xác suất của các kết quả 1, 3, 5 lần lượt là :
2
2
4
P(1)= 12 , P(3)= 12 , P(5)= 12 nên chúng ta sẽ nói rằng xác suất của biến cố A là tổng

của ba xác suất nói trên ».
Đến đây chúng tôi nhận thấy hoạt động 3 có vai trò là một « minh họa », một điểm tựa

cho việc xuất hiện định nghĩa xác suất của biến cố A sau này.
Kết thúc hoạt động 4, sách M đưa vào nhận xét sau :
«Trong một vài trường hợp (« sấp hay ngửa », con súc sắc, hay quay số), tất cả các kết quả là có
cùng xác suất : chúng ta gọi là đồng xác suất».

Sách M còn chú thích thêm rằng, trong trường hợp phép thử là đồng xác suất bao gồm
N kết quả thì xác suất của tất cả các kết quả giống nhau và bằng

1
.
N

Bổ sung thêm lí do các kết quả của các phép thử này là đồng xác suất, sách M cũng
đưa ra thêm lập luận là : « Các phát biểu như « đồng xu cân đối », « súc sắc đồng chất », « lấy
quả banh ngẫu nhiên » « với cùng cơ hội như nhau » …mang nghĩa các kết quả là đồng xác suất…
Chúng ta tôn trọng truyền thống » (M, trang 25).

Cuối cùng, sách M đưa vào ghi chú: « Chúng ta nhận thấy rằng, trong trường hợp đồng xác
suất, xác suất của biến cố A là tỉ số giữa các kết quả thuộc vào A với số các kết quả của toàn bộ không
gian mẫu » (M, trang 25). Đây chính là công thức cổ điển của Laplace.

Nhận xét chung cho phần 1 – Hoạt động chuẩn bị:
Hoạt động 2 được thiết kế với 3 phép thử : gieo đinh mũ, gieo đồng xu và gieo xúc sắc
cân đối. Hoạt động này mang lại ý nghĩa xác suất của các biến cố sơ cấp liên quan đến
mỗi phép thử. Cụ thể :
Phép thử loại 1 là gieo đinh mũ. Phép thử này gồm hai biến cố sơ cấp là kết quả 1 và
kết quả 0. Xác suất p1, p2 của hai biến cố sơ cấp này được tìm kiếm thông qua kĩ thuật
« tần suất ». Kĩ thuật này không được thể chế hóa cụ thể nhưng thông qua cách thức
tiến hành ở hoạt động 2, chúng tôi có thể rút ra các bước tiến hành như sau : thứ nhất,
thực hiện phép thử nhiều lần trong điều kiện như nhau ; thứ hai, thiết lập dãy tần suất

xuất hiện biến cố khi tiến hành phép thử ; thứ ba, quan sát sự ổn định của dạy tần suất
khi số lần tiến hành phép thử là rất lớn và tìm ra giá trị gần đúng của xác suất. Như
vậy, ý nghĩa của các con số pi là « giá trị gần đúng của dãy tần suất khi số lần tiến
hành phép thử là rất lớn ».
19


Phép thử loại 2 (gieo đồng xu và gieo con súc sắc). Kĩ thuật tìm xác suất pi của các
biến cố sơ cấp liên quan đến phép thử loại này : nhờ vào tính đối xứng của cấu trúc vật
lí để biện minh cho kết luận « các kết quả là cùng cơ hội ». Xác suất trong trường hợp
này chính là « cơ hội », « khả năng » có thể xảy ra của mỗi biến cố sơ cấp liên quan
đến phép thử. Như vậy, khái niệm xác suất ở đây được tiếp cận theo « hình học ngẫu
nhiên », nguồn gốc của công thức cổ điển Laplace3.
Hoạt động 3 trưng ra một ví dụ về cách tính xác suất của biến cố A từ xác suất của các
biến cố sơ cấp có được liên quan đến phép thử T. Ví dụ này có vai trò như một hoạt
động dẫn nhập cho định nghĩa xác suất của biến cố A ở phần Bài Học. Cuối cùng,
trong phần này, sách M cũng đưa ra các phát biểu thừa nhận tính đồng khả năng ở các
biến cố sơ cấp của 3 loại phép thử quen thuộc, chúng có một vai trò rất quan trọng
trong lịch sử hình thành khái niệm xác suất : « gieo đồng xu cân đối », « gieo xúc sắc
cân đối » và « lấy ngẫu nhiên quả banh ».
■ Phần 2 - Bài học
Mục đích tổng quát của phần này là trình bày các định nghĩa, khái niệm, định lí liên
quan đến tri thức cần giảng dạy.
• Các khái niệm liên quan đến xác suất
Phép thử ngẫu nhiên
Sách M mô tả khái niệm này thông qua hai phép thử với tính chất : gồm hữu hạn các
biến cố sơ cấp đồng khả năng xuất hiện (« gieo đồng xu » và « lấy ngẫu nhiên quả
banh ») làm đại diện đặc trưng cho khái niệm phép thử ngẫu nhiên trong phần Bài học,
sách M không chú trọng đến phép thử loại hữu hạn biến cố sơ cấp « không đồng khả
năng » đã nêu ở hoạt động 2.

Biến cố gắn liền với phép thử ngẫu nhiên
Sách M định nghĩa biến cố là tập hợp con của không gian mẫu. Và định nghĩa biến cố
sơ cấp (événement élémentaire) là biến cố mà chỉ gồm duy nhất một kết quả (issue).
Sách P1 đồng nhất hai từ « issue » và « événement élémentaire » và qui ước là sử dụng
từ « issue » trong chương trình vì lí do rõ ràng và đơn giản (sách P1, tr 50).
Cuối cùng mối liên hệ giữa biến cố và các tập con của không gian mẫu được trình bày
trong bảng ở sách M, tr 26. Thông qua bảng này, sách M cũng định nghĩa biến cố chắc
chắn, biến cố không thể, biến cố hợp, biến cố giao, biến cố xung khắc.

3

Định nghĩa tiếp cận « hình học ngẫu nhiên » được nêu lên trong sách Mathématiques 1 res thuộc collection
Dimathème, xuất bản năm 2001 trang 271 : “Khi diễn đạt xác suất dựa trên các lí luận về sự đối xứng (chẳng
hạn như hình dạng của con súc sắc) thì được gọi tiếp cận hình học ngẫu nhiên” . Michel Henry bổ sung thêm
trongDạy học xác suất ở trường phổ thông, trang 337 « … « hình học ngẫu nhiên » được hiểu là đồng khả năng
trên các kết quả của phép thử ». Bernard PARZYSZ khẳng định công thức cổ điển của Laplace dựa trên « hình
học ngẫu nhiên » của Pascal. (trongDạy học xác suất ở trường phổ thông, trang 36).

20