NHẬP MÔN HÌNH HỌC SYMPLECTIC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Dư Thị Phượng Hảo

NHẬP MÔN HÌNH HỌC
SYMPLECTIC
Chuyên ngành : Hình học và Tôpô
Mã số

: 60 46 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS. TS. LÊ ANH VŨ

Thành phố Hồ Chí Minh – 2009


LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. TS. Lê Anh Vũ. Tôi
xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy – người đã từng bước hướng dẫn tôi phương pháp
nghiên cứu đề tài cùng những kinh nghiệm thực hiện đề tài, cung cấp nhiều tài liệu và truyền
đạt những kiến thức quý báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy trong tổ Hình học, khoa Toán – Tin Trường Đại
học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã giúp đỡ tôi nâng cao trình độ chuyên môn và
phương pháp làm việc hiệu quả trong suốt quá trình học Cao học.
Chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Tổ chức hành chính, phòng Khoa học Công

nghệ và Sau đại học, phòng Kế hoạch – Tài chính Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ
Chí Minh; Ban giám hiệu trường THPT Bình Thạnh, Trảng Bàng, Tây Ninh cùng toàn thể
quý đồng nghiệp, bạn bè, gia đình đã động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn
thành luận văn này.

Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2009
Tác giả

Dư Thị Phượng Hảo


DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU



Đại số Lie của nhóm Lie G.



Không gian đối ngẫu của đại số Lie  .

Aut   

Nhóm các tự đẳng cấu tuyến tính trên  .

TeG

Không gian tiếp xúc của nhóm Lie G tại phần tử đơn vị e.

 2 V * 

Tập các 2-dạng ngoài trên không gian véctơ V.

 2 V 

Tập các dạng song tuyến tính phản đối xứng trên V.

C M 

Không gian các hàm khả vi vô hạn lần trên đa tạp M.

F M 

Tập các hàm nhẵn trên đa tạp M.

F  x0 

Tập các hàm nhẵn trên lân cận của điểm x0 thuộc đa tạp M.

s  M 

Tập các s-dạng vi phân trên đa tạp M.

s
H dR
M 

Nhóm đối đồng điều de Rham thứ s trên đa tạp M.

Diff  M 

Nhóm các phép vi phôi trên đa tạp M.

Sympl  M ,   Nhóm các đồng cấu symplectic trên đa tạp M.

 (M )

Tập các trường véctơ khả vi trên đa tạp M.

 sympl  M 

Tập các trường véctơ symplectic trên đa tạp M.

 ham  M 

Tập các trường véctơ hamilton trên đa tạp M.

F

K-quỹ đạo chứa F của nhóm Lie G trong   .


MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Trong suốt hai thế kỷ qua, các nhà khoa học đặc biệt quan tâm đến “cơ học giải tích”,
trong toán học có thể kể đến các nhà khoa học như: Euler, Lagrange, Laplace, Hamilton,
Jacobi, Poisson, Liouville, Poincaré, Birkhoff, Carathéodory, Lie, E. Cartan,… Từ đó, họ đã
phát triển thành vài nhánh quan trọng của toán học đó là: hình học vi phân, tính toán các bất
biến của lý thuyết nhóm Lie và đại số Lie, lý thuyết về các phương trình đạo hàm riêng và

phương trình vi phân thường,…
Trong suốt nửa thế kỷ qua, việc nghiên cứu các cấu trúc hình học trên các đa tạp vi
phân, chẳng hạn như cấu trúc Symplectic, Poisson, Contact,…lấy cơ học giải tích và cơ học
cổ điển làm nền tảng, đã giới thiệu được nhiều phương pháp hiện đại của hình học vi phân,
tạo một sức sống mới trong lĩnh vực nghiên cứu hình học. Cấu trúc Symplectic trên đa tạp vi
phân là một 2-dạng đóng và không suy biến. Việc xây dựng cấu trúc Symplectic trên đa tạp
vi phân hình thành khái niệm đa tạp Symplectic. Việc nghiên cứu các đa tạp Symplectic gọi
là hình học Symplectic.
Hình học Symplectic là một nhánh của hình học vi phân, có nguồn gốc từ cơ học cổ
điển Hamilton và còn được gọi là tôpô Symplectic, song sau này tôpô Symplectic chỉ là một
lĩnh vực liên quan đến những vấn đề quan trọng mang tính chất toàn cục trong hình học
Symplectic. So với hình học Riemann, hình học Symplectic có một số điểm giống nhưng
cũng có nhiều điểm khác. Hình học Riemann nghiên cứu các đa tạp vi phân được trang bị
một 2-trường tenxơ đối xứng và không suy biến, trong khi đó hình học Symplectic nghiên
cứu các đa tạp vi phân được trang bị một 2-dạng đóng và không suy biến. Khác đa tạp
Riemann, đa tạp Symplectic phải có số chiều chẵn, định hướng được và không có tính chất
bất biến địa phương về độ cong. Một điểm khác nữa là, không phải mọi đa tạp vi phân tùy ý
nào cũng chấp nhận một cấu trúc Symplectic,...
Hình học Symplectic cũng là một trong những chuyên đề tự chọn trong chương trình
đào tạo thạc sĩ chuyên ngành toán Hình học – Tôpô của Trường Đại học Sư phạm Thành phố
Hồ Chí Minh, tuy nhiên cho đến nay chuyên đề này vẫn chưa được trình bày. Do đó chúng


tôi quyết định nghiên cứu những tính chất cơ bản nhất của hình học Symplectic với mục đích
xây dựng được cấu trúc Symplectic trên các đa tạp vi phân thông thường. Vì vậy đề tài
nghiên cứu của chúng tôi mang tên:
“NHẬP MÔN HÌNH HỌC SYMPLECTIC”.
2. Mục đích
Giới thiệu tổng quan các kiến thức cơ bản nhất về đa tạp Symplectic. Vấn đề này có
nhiều ứng dụng trong toán học, cũng như trong vật lý cơ học nhưng lại ít được biết đến và

không có một tài liệu tham khảo nào bằng tiếng việt.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đa tạp Symplectic và tác động của nhóm Lie trên đa tạp Symplectic.
4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn
Hy vọng luận văn sẽ góp một tài liệu tham khảo cho sinh viên đại học ngành toán các
năm cuối và học viên cao học ngành Hình học và Tôpô.

5. Cấu trúc luận văn
Nội dung của bản luận văn bao gồm phần mở đầu, 3 chương nội dung và phần kết
luận. Cụ thể:
Phần mở đầu: Giới thiệu về đề tài nghiên cứu.
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị. Trình bày các kiến thức về đa tạp vi phân, đại
số Lie và nhóm Lie.
Chương 2: Đa tạp Symplectic. Trình bày các nội dung chính: không gian véctơ
Symplectic, đa tạp Symplectic, đồng cấu symplectic, đa tạp con của đa tạp
Symplectic, trường véctơ symplectic, trường véctơ hamilton và các định lí quan
trọng là Darboux, Moser.
Chương 3: Tác động của nhóm Lie trên đa tạp Symplectic. Trình bày tác động
symplectic, tác động hamilton và xây dựng cấu trúc symplectic trên K-quỹ đạo.


Phần kết luận: Đưa ra những nhận xét và những vấn đề mở cần phải tiếp tục nghiên
cứu tiếp sau đề tài.
Các kí hiệu được dùng trong bản luận văn này hoặc là các kí hiệu thông dụng hoặc sẽ
được giải thích khi dùng lần đầu (xem Danh mục các kí hiệu).


Chương 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, trình bày lại các kiến thức làm cơ sở lý thuyết phục vụ đề tài. Các
định lí, hệ quả và các kết quả chỉ phát biểu không chứng minh. Độc giả nào quan tâm đến
chứng minh hoặc muốn tìm hiểu sâu hơn về đa tạp vi phân, nhóm Lie, đại số Lie xin xem
thêm các tài liệu [1], [2], [3], [7] và [8].
1.1. Đa tạp vi phân
1.1.1. Đa tạp tôpô
Giả sử M là một không gian tôpô Hausdorff có cơ sở đếm được. Ta gọi M là đa tạp
tôpô n-chiều nếu nó đồng phôi địa phương với không gian n-chiều  n , nghĩa là với mọi
x  M , tồn tại lân cận mở U của x và đồng phôi  :U  V từ U lên tập mở V   n .

1.1.2. Atlat khả vi - Cấu trúc khả vi
Cặp U ,  xác định như thế được gọi là một bản đồ địa phương quanh x trên M, hay
gọi tắt là bản đồ. Mỗi bản đồ U ,  quanh x U xác định duy nhất một hệ hàm x1 ,..., xn
trên U nhận giá trị thực sao cho  ( y )   x1 ( y),..., xn ( y )  , y U . Ta nói U ; x1 ,..., xn  là hệ
tọa độ địa phương quanh x.
Một atlat (tập bản đồ) khả vi lớp C k 1  k    {} là một họ

U ,  : i  I  các

bản đồ thỏa mãn hai điều kiện sau:
(i) Họ U i  là một phủ mở của M;
(ii) Với hai bản đồ U i ,i  và U j , j  , U i  U j  , ánh xạ  j  i 1

i

i


xác định trên i U i  U j  là ánh xạ khả vi lớp C k từ i U i  U j  lên  j U i  U j  .





Hai tập bản đồ C1  U i ,i  : i  I  và C 2  V j , j  : j  J khả vi lớp C k được gọi là
tương thích với nhau nếu hợp của chúng cũng là một tập bản đồ khả vi lớp C k . Quan hệ
“tương thích” là một quan hệ tương đương trên họ các tập bản đồ khả vi lớp C k . Mỗi lớp
tương đương của quan hệ tương đương trên được gọi là một cấu trúc khả vi lớp C k trên M.
1.1.3. Đa tạp vi phân
Đa tạp tôpô n-chiều M cùng với cấu trúc khả vi lớp C k cho trên nó được gọi là một đa
tạp vi phân n-chiều lớp C k . Nếu k = , cấu trúc khả vi tương ứng được gọi là cấu trúc nhẵn
trên M. Khi đó ta gọi M là đa tạp nhẵn.
1.1.4. Đa tạp con
Cho P là tập con của đa tạp khả vi n-chiều M. Ta nói P là đa tạp con k-chiều của M
nếu với mọi x  P, tồn tại bản đồ U ,  của M,  : U  U    n sao cho  ( x)  0 và





 U  P   {0}   k  U .
1.1.5. Tích các đa tạp vi phân
Cho các đa tạp khả vi M với atlat A = U i ,i iI và N với atlat B = V j , j 

jJ

. Trên

không gian tôpô Hausdorff M  N xét atlat khả vi

A  B = U i  V j ,i  j 

iI , jJ .

thì M  N là đa tạp khả vi và gọi là đa tạp tích của hai đa tạp M và N.
Chú ý: dim ( M  N )  dim M + dim N.
1.2. Ánh xạ khả vi giữa các đa tạp vi phân
1.2.1. Định nghĩa
Giả sử M, N là hai đa tạp vi phân lớp C k với số chiều m, n tương ứng. Ánh xạ liên tục

f : M  N được gọi là khả vi lớp C k tại p  M nếu với mọi bản đồ U ,  quanh p và

V ,  quanh f(p) = q mà f U   V

thì ánh xạ


  f   1 :  U    V  khả vi tại điểm  ( p)   m .
N

M
f
U

.

V





  f  1

 (U )   m

 (V )   n

Ánh xạ f gọi là khả vi lớp C k nếu nó khả vi lớp C k tại mọi điểm p  M .
1.2.2. Nhận xét
Nếu f : M  N và g : N  P là hai ánh xạ khả vi lớp C k thì g  f : M  P là ánh
xạ khả vi lớp C k .
Ánh xạ f : M  N được gọi là vi phôi lớp C k nếu f là song ánh và cả f, f 1 đều
khả vi lớp C k . Hợp thành của hai vi phôi lại là một vi phôi.
Từ đây về sau, để cho ngắn gọn, thuật ngữ “khả vi” có ý nghĩa là “khả vi lớp C k ” với
một k nào đó 1  k    {} đủ cần thiết, khi k  , từ “khả vi” được thay bởi từ “nhẵn”.
Với mỗi x0 thuộc đa tạp nhẵn M, mỗi k    {}, ta kí hiệu:

F  M    f : f là hàm nhẵn trên M 

F  x0    f : f là hàm nhẵn trong lân cận của x0 
F k  M    f : f là hàm khả vi lớp C k trên M 
F k  x0    f : f là hàm khả vi lớp C k trong lân cận của x0 


1.3. Không gian tiếp xúc – Phân thớ tiếp xúc – Ánh xạ tiếp xúc
1.3.1. Véctơ tiếp xúc
Cho M là một đa tạp vi phân n-chiều, ta kí hiệu I  a,b – là một trong các tập sau:

 a,b  ,  a,b ,  a,b  ,  a,b .
Xét ánh xạ liên tục

c : I  M , t  c  t  . Khi I là một trong các tập

 a,b  ,  a,b ,  a,b  ,  a,b  , ta bảo c là đường cong khả vi trên M nếu tồn tại   0 đủ nhỏ và
ánh xạ khả vi c : (a   , b   )  M sao cho c I  c.
Một véctơ tiếp xúc với c tại x0  c  t0  là một ánh xạ

X : F  x0   
f  Xf 

d  f  c
dt

t t0

Ta gọi Xf là đạo hàm của f theo hướng của véctơ X hay đạo hàm của f theo hướng của
c tại x0  c  t0  .
Tính chất
Với mọi f , g  F  x0  , ta có
 X(f  g) = Xf  Xg;
 X(  f) =  X(f);


X  f .g    Xf  .g ( x0 )  f ( x0 ). Xg  ; f , g  F  x0  .
(Quy tắc Newton – Leibniz)

1.3.2. Không gian tiếp xúc
Cho M là đa tạp vi phân n-chiều và x0  M là một điểm tùy ý. Véctơ tiếp xúc của M

tại x0 là một véctơ tiếp xúc X của một đường cong khả vi c nào đó tại x0 sao cho

c  t0   x0

 t0  I  .


Không gian tiếp xúc của M tại x0 là tập hợp các véctơ tiếp xúc của M tại x0 , kí hiệu là

Tx0 M và là không gian véctơ trên  với các phép toán ( X , Y )  X  Y ; (, X )  X xác
định như sau


X Y f



  X  f    Xf  ;   , X,Y  Tx M , f  F ( x0 ).

 Xf  Yf ;
0

Không gian tiếp xúc Tx0 M là không gian véctơ thực n-chiều với cơ sở là

 



,
,...,


.
xn x0 
 x1 x0 x2 x0
1.3.3. Phân thớ tiếp xúc
Đặt TM 

 Tx M ,

TM cùng với phép chiếu  : TM  M , X  Tx M   ( X ) : x

xM

được gọi là phân thớ tiếp xúc trên M.
1.3.4. Trường véctơ
Cho M là đa tạp vi phân n-chiều, TM là phân thớ tiếp xúc trên M. Cho U là tập mở
trong M và xét ánh xạ

X : U  TM
x  X x  Tx M
X như thế được gọi là trường véctơ trên U. Khi U = M ta nhận được khái niệm trường
véctơ trên M.
Xét U ,  là bản đồ địa phương với các tọa độ cho bởi  .   x1 (.),..., xn (.)  . Khi đó
n

mỗi trường véctơ X trên U đều được viết dưới dạng X   i
i 1


, ở đó i : U   là các

xi

hàm trên U, i  1,2,..., n. Ta bảo X là trường véctơ khả vi trên U nếu i là hàm khả vi trên U,
với mọi i =1,2,…,n. Tập các trường véctơ khả vi trên U được kí hiệu là  (U ).
Trường véctơ X trên M gọi là khả vi nếu X U khả vi trên U với mọi bản đồ U ,  của
M. Tập các trường véctơ khả vi trên M được kí hiệu là  ( M ) .


1.3.5. Tích Lie của hai trường véctơ
Với X , Y   ( M ), tích Lie của X và Y, kí hiệu [X,Y], xác định như sau:

 X ,Y  f : X Yf   Y  Xf  ,

f  F  M .

Tương tự có thể xác định [X,Y] đối với X , Y   (U ).
1.3.6. Ánh xạ tiếp xúc
Giả sử M, N là hai đa tạp vi phân và  : M  N là ánh xạ khả vi. Với mỗi x  M , xét
ánh xạ Tx : Tx M  T ( x ) N , X  Tx  X xác định như sau:
Tx  X  f : X  f    , f  F  ( x)  .

Khi đó Tx là một ánh xạ tuyến tính. Từ đó, ta xác định được ánh xạ:

 :TM  TN
X   X
với  X  f : X  f    , f  F  N  .
Ta gọi  là ánh xạ tiếp xúc của ánh xạ khả vi .
1.3.7. Phân bố
Cho đa tạp vi phân n-chiều M và đa tạp con mở U của M. Một phân bố r- chiều
(0  r  n ) trên U là một tương ứng E : x  E x liên kết mỗi điểm x U với không gian con

r-chiều Ex của Tx M .
Trường véctơ khả vi X trên U gọi là thuộc phân bố E nếu X x  E x , x U .
Phân bố r-chiều E gọi là khả vi nếu tồn tại r trường véctơ khả vi X 1 ,..., X r trên U sao
cho Ex  X1x ,..., X rx , x  U . Lúc đó, ta cũng nói E được sinh bởi X 1 ,..., X r .
Phân bố r-chiều E gọi là khả tích nếu với mọi x U đều tồn tại một đa tạp con r-chiều
N của U chứa x sao cho E y  Ty N , y  N .


Khi U = M ta có các khái niệm phân bố, phân bố khả vi, phân bố khả tích trên M.
1.3.8. Định lí
1.3.8.1. Định lí Flow-Box
Nếu X 1 ,..., X r là các trường véctơ nhẵn trên đa tạp nhẵn n-chiều M thỏa mãn

[ X i , X j ]  0, i, j và nếu với p  M mà r trường véctơ X 1  p  ,..., X r  p  là độc lập tuyến
tính trong Tp M thì tồn tại một hệ tọa độ địa phương U ; x1 , x2 ,..., xn  trên lân cận mở U của
p sao cho X 1 
U



,X r 
.
x1
xr
U

Hệ quả (định lí Flow-Box)
Cho M là đa tạp nhẵn và E là phân bố nhẵn của M. Khi đó E là khả tích nếu E đóng
đối với tích Lie các trường véctơ, tức là với hai trường véctơ tùy ý X, Y thuộc E đều có

[ X ,Y ] cũng thuộc E.
1.3.8.2. Định lí Frobenius địa phương
Cho M là đa tạp nhẵn n-chiều, E là phân bố r-chiều nhẵn và khả tích của M. Khi đó
với mọi

pM

có một lân cận U của p và tồn tại hệ tọa độ địa phương

U ; x1, x2 ,..., xr , y1,..., ynr  sao cho

E U được sinh bởi các trường véctơ

 

,
,...,
.
x1 x2
xr

1.4. Nhóm một tham số – Đạo hàm Lie – Hợp luân và trường véctơ
1.4.1. Nhóm 1-tham số
1.4.1.1. Đường cong tích phân
Giả sử X là một trường véctơ khả vi trên đa tạp M. Đường cong khả vi c(t) trên M
được gọi là đường cong tích phân của trường X nếu đối với mỗi giá trị của tham số t0 , véctơ

X c (t0 )  c  t0  .
Ta gọi X c (t0 )  c  t0  là véctơ tiếp xúc c tại x  c (t0 ).

Hơn nữa, với mỗi p0  M , tồn tại duy nhất một đường cong tích phân c(t) của trường
X, xác định đối với t   , với   0 nào đó sao cho c  0   p0 .
1.4.1.2. Nhóm 1- tham số toàn cục
Ta gọi nhóm 1 - tham số các phép vi phôi trên M (hay nhóm 1- tham số
toàn cục) là một ánh xạ

 :   M  M , (t , x)   (t , x) (còn viết là t ( x) )
thoả mãn hai tính chất sau:
(i) Với mọi t   , t  .    t,. : M  M , x  t  x  là vi phôi;
(ii) Với t ,s   , p  M , ta luôn có t  s  p   t   s  p  .
Mỗi nhóm 1- tham số các phép vi phôi t t trên M sinh ra trường véctơ X bằng
cách sau: lấy mỗi p  M , xét đường cong x  t   t  p  mà được gọi là quỹ đạo của điểm p.
Ta xác định X p : x  0  . Quỹ đạo t  p  là đường cong tích phân đi qua p của trường véctơ
X.
1.4.1.3. Nhóm 1- tham số địa phương
Kí hiệu I     ,   ,   0 và U là tập con mở của M. Nhóm 1 - tham số địa phương
các vi phôi địa phương trên M xác định trên I  U là một ánh xạ

 : I  M  M , (t , x )   (t , x) (còn viết là t ( x ) )
thoả mãn hai tính chất sau:
(i) Với mọi t  I , t :U  M , x  t  x  là một vi phôi từ U lên tập mở

t U   M ;
(ii) Với t , s, t  s  I  và nếu p U , s  p  U thì

t  s  p   t   s  p  .

Để đơn giản ta thường dùng kí hiệu (t ) để chỉ nhóm 1-tham số địa phương mà không
chỉ rõ tập U. Rõ ràng, tương tự như nhóm 1-tham số toàn cục (t ) cũng sinh ra trường véctơ
X xác định trên U bởi X p  x(0), ở đó x(t )  t ( p ).
1.4.1.4. Định lí
Nếu X là trường véctơ khả vi trên đa tạp M thì với mỗi p0  M , tồn tại một lân cận U
của p0 , một số   0 và nhóm 1- tham số địa phương các phép vi phôi địa phương

t : U  M , t  I sao cho (t ) sinh ra trường véctơ X đã cho.
Khi đó ta cũng nói X sinh ra nhóm 1-tham số địa phương các vi phôi địa phương t
trong lân cận của điểm p0 . Nếu X sinh ra nhóm toàn cục thì X được gọi là trường véctơ đầy.
1.4.2. Hợp luân và trường véctơ
Giả sử M là một đa tạp và  : M    M là một ánh xạ. Với mỗi t  , ta đặt

t ( x) :  ( x, t ), x  M .
1.4.2.1. Định nghĩa hợp luân
Ánh xạ  được gọi là một hợp luân nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau:

 t : M  M là một vi phôi, t  ;
  0  id M .
Khi cho một hợp luân ta được một trường véctơ phụ thuộc thời gian, tức là một họ các
trường véctơ X t ,  t    xác định như sau:

X t ( x) 

nghĩa là

d
 s ( y ) ; x  M , y  t1 ( x),
ds
s t

d t
 X t  t .
dt

Ngược lại khi cho một trường véctơ phụ thuộc thời gian và M compăc thì tồn tại một
hợp luân  thỏa mãn phương trình trên.


Giả sử M là compăc, ta có sự tương ứng 1  1 sau:
11
{Hợp luân trên M} 
{Trường véctơ phụ thuộc thời gian trên M}

t , t    X t , t  
1.4.2.2. Phép nổi (flow) của trường véctơ
Nếu X t  X không phụ thuộc vào t thì hợp luân tương ứng với nó gọi
là phép nổi (flow) của X, kí hiệu là exptX, nghĩa là {exp tX : M  M , t  } là một họ các
phép vi phôi nhẵn duy nhất thỏa mãn:

 exp tX


t 0

 id M ;

d
 exp tX  ( p)  X  exp tX ( p)  , p  M .
dt

1.5. Dạng vi phân trên đa tạp
1.5.1. Không gian đối tiếp xúc – Phân thớ đối tiếp xúc
Cho M là đa tạp vi phân n-chiều, x0  M là một điểm tùy ý và Tx0 M là

 



không gian tiếp của M xúc tại x0 có cơ sở là 
,
,...,
.

x

x

x
x
x
x
0
0 
2
n
 1 0
Khi đó không gian đối ngẫu của Tx0 M là Tx*0 M  { : Tx0 M   /  là ánh xạ tuyến tính}
được gọi là không gian đối tiếp xúc của M tại x0 . Mỗi phần tử của Tx0 M gọi là véctơ đối





tiếp xúc tại x0 . Đương nhiên, cơ sở của Tx0 M là dx1 x , dx2 x ,..., dxn x đối ngẫu của cơ sở
0
0
0

 


,
,...,

xn x0
 x1 x0 x2 x0
Đặt

T M 


.


 Tx M ,
*

T M

cùng

với

phép

xM

  Tx*M    ( ) : x được gọi là phân thớ đối tiếp xúc trên M.
1.5.2. Vi phân toàn phần của hàm khả vi

chiếu

  : T M  M ,


Cho U là tập mở trong  n và ánh xạ khả vi f : U  . Vi phân toàn phần của f tại
n

f
( x) dxi .
i 1 xi

x   x1 ,..., xn  U được xác định bởi df ( x)  

Cho f là một hàm nhẵn trên đa tạp nhẵn M. Vi phân của f tại x  M là ánh xạ tuyến
tính df x : Tx M  , X x  df x  X x   X x  f  .
1.5.3. Dạng vi phân
Cho M là đa tạp vi phân n-chiều lớp C k , k  1. Một dạng vi phân  bậc s (còn gọi là
s-dạng  ) trên M là quy tắc tương ứng mỗi p  M với s-dạng tuyến tính phản đối xứng

 ( p) trên Tp M , (0  s  n).
Mỗi hàm f : M   được gọi là dạng vi phân bậc 0.
1.5.4. Biểu diễn địa phương của dạng vi phân
Giả sử

U ; x1,..., xn 

  
là một bản đồ địa phương trên đa tạp khả vi M,  
 xi 

(i  1,2,..., n) là các trường véctơ cơ sở và dxi  (i  1,2,..., n) là các dạng vi phân bậc nhất

  
trên U, đối ngẫu với   .
 xi 
Khi đó mỗi dạng vi phân  bậc s trên U được biểu diễn dạng:

 ( p) 



i ...i ( p ) dxi  ...  dxi
1

s

1

s

1 i1 ...is  m

ở đó i1 ...is là các hàm xác định trên U. Dạng vi phân  được gọi là khả vi lớp C l (l  k ) nếu
với mỗi p  M và mỗi hệ tọa độ địa phương U ; x1 ,..., xn  tùy ý quanh p, các hàm

i ...i  C l (U ).
1

s

Mỗi dạng vi phân  bậc s  0  s  n  trên M còn có thể xem là ánh xạ (mà ta vẫn kí
hiệu bởi  ) từ  ( M )  ...   ( M ) (s lần) đến tập các hàm trên M.


Cụ thể  :  X 1 ,..., X s     X1 ,..., X s  xác định như sau

  X1,..., X s   ( p)   ( p)  X1 ,..., X s
p

p

 , X ,..., X   (M ).
1

s

Rõ ràng,  khả vi lớp C l khi và chỉ khi   X 1,..., X s   F  M  , với mọi

X 1 ,..., X s   ( M ).
Tập các dạng vi phân bậc s lớp C l trên M được kí hiệu là ls ( M ). Tập này có cấu trúc
không gian véctơ thực với các phép toán tuyến tính định nghĩa theo từng điểm.
Đặt l  M    ls  M . Khi đó l  M  trở thành một   đại số với phép nhân
s 0

ngoài được xác định theo từng điểm, tức là với   lk ,  ls , tích ngoài    lk  s của

 và  được cho như sau

    ( p)   ( p)   ( p),

p  M .

Từ đây về sau, để đơn giản ta kí hiệu  s ( M ) là tập các s-dạng trên M khả vi đến một
lớp nào đó đủ để thực hiện các phép toán.
1.5.5. Tính chất
Cho các dạng vi phân k-dạng , s-dạng  , r-dạng  trên đa tạp vi phân M

 0  k , s, r  n . Khi đó:
              ;
k .s

      1    ;
               nếu s  r.
1.6. Vi phân ngoài của dạng vi phân
1.6.1. Định nghĩa
Giả sử  là s-dạng trên đa tạp vi phân M  0  s  n  dim M  . Vi phân ngoài của  là
(s+1)-dạng d thỏa mãn các tính chất sau:

 d      d  d (với  là k-dạng) nếu k  s;

 d      d    (1) s   d ;
 Nếu f là hàm khả vi trên M thì df chính là vi phân của hàm f xác định bởi

df ( X )  Xf , với X    M  ;

 d  df   0, f là hàm khả vi trên M.
Chú ý: d  d   0 với  là r-dạng bất kì  0  r  n  dim M  .
1.6.2. Kéo lùi dạng vi phân
1.6.2.1. Định nghĩa
Cho M, N là hai đa tạp vi phân và  : M  N là khả vi. Giả sử  là s-dạng vi phân
trên N. Khi đó

 

là s-dạng vi phân trên M được xác định như sau

   X 1 ,..., X s  :   X 1 ,..., X s  ; X 1 ,..., X s   ( M ).
1.6.2.2. Tính chất
Nếu f : M   là hàm khả vi thì   f  f  .


Nếu còn có ánh xạ khả vi g : N  P thì  g        g .
Cho  , là các dạng vi phân trên N. Khi đó:

             ;
             nếu  , là các s-dạng.
Vi phân ngoài d giao hoán với   , tức là d        d  .

1.6.3. Tích trong và đạo hàm Lie
1.6.3.1. Tích trong


Cho trường véctơ X và s-dạng vi phân  trên đa tạp khả vi M. Khi đó tích trong của X
với  là (s-1)-dạng vi phân, kí hiệu là i X  hoặc X  xác định bởi

X   X 1 ,..., X s1     X , X 1 ,..., X s1  .
Tính chất X        X      ( 1) s    X   , với s-dạng  . 1.6.3.2. Đạo
hàm Lie
 Giả sử X là trường véctơ trên đa tạp vi phân M. Ta định nghĩa:
 Đạo hàm Lie của hàm f : M   dọc theo X là LX f : Xf ;
 Đạo hàm Lie của trường véctơ Y dọc theo X là LX Y :  X ,Y  ;
 Đạo hàm Lie của s-dạng  dọc theo X là

LX  : X  d  d  X   (công thức Cartan).
 Giả sử t là phép nổi của X. Ta có:

1
d
 LX   lim  t     t ;
t 0 t
dt
t 0


d 
t   t LX  .
dt

 Giả sử  : M    M , t ( p )   ( p, t ) là hợp luân của trường véctơ phụ thuộc
thời gian X t , t  . Khi đó:


d 
t   t LX t  ;
dt

 Nếu t  , t là một họ nhẵn các s-dạng thì

d 
d

t t  t  LX t t  t
dt
dt



.


1.6.4. Liên hệ giữa tích trong, vi phân ngoài và đạo hàm Lie


Cho X là trường véctơ,  là s-dạng vi phân, f là hàm trên đa tạp vi phân M. Khi đó:

 LX f  X  df ;
  X , Y   LX Y    Y  LX    X  ( LY  )  LY ( X  ).
1.6.5. Nhóm đối đồng điều de Rham

1.6.5.1. Định nghĩa
Cho  là dạng vi phân bậc s trên đa tạp vi phân M  0  s  n  dim M  . Ta định
nghĩa:

  là dạng đóng nếu s  n và d   0, tức là

  Z s (M ) : ker  d :  s (M )   s 1 ( M ) .
  là dạng khớp nếu s  0 và   d ,  là (s-1)-dạng, tức là

  B s ( M ) : Im  d :  s 1 ( M )   s ( M )  .
 Nhóm đối đồng điều de-Rham thứ s của M là
s
s
(M )  Z (M )
H dR

Bs (M )

.

s
Cho s-dạng đóng  thì      d  s1 ( M )  H dR
( M ).

1.6.5.2. Đồng cấu nhóm cảm sinh
Cho ánh xạ khả vi f : M  N trên các đa tạp vi phân. Khi đó f cảm sinh ra đồng cấu
s
s
( N )  H dR
( M ) xác định bởi

nhóm f  : H dR

f      f   ,   Z s ( N ).
1.6.5.3. Toán tử đồng luân
 Ánh xạ đồng luân


Cho M, N là hai không gian tôpô và f , g : M  N là các ánh xạ liên tục. Ta nói

f , g đồng luân với nhau, kí hiệu f  g nếu tồn tại ánh xạ liên tục F : M   0;1  N sao
cho F  x,0   f ( x ), F  x,1  g ( x), x  M .
 Toán tử đồng luân
Giả sử f , g : M  N là các ánh xạ đồng luân với nhau. Tập hợp tất cả các ánh
xạ tuyến tính h :  s  N    s 1  M   0  s  n  sao cho

d  h   h  d   g   f 
thỏa mãn với mọi s-dạng  được gọi là toán tử đồng luân giữa f  và g  .
1.7. Đại số Lie và nhóm Lie
1.7.1. Đại số Lie
1.7.1.1. Định nghĩa
Cho  là không gian véctơ trên trường K. Ta bảo  là một đại số Lie trên K hay K –
đại số Lie nếu trên  đã cho một phép nhân mà gọi là móc Lie:

.,. :     
 x, y    x, y 

(tích Lie hay móc Lie của X và Y)

thỏa mãn các tiên đề sau đây:
(L1) Móc Lie là toán tử song tuyến tính. Tức là:

  x   y , z     x, z     y , z  ;
 x,  y   z     x, y     x, z ; x, y, z   ,  ,   K.
(L2) Móc Lie phản xứng. Tức là: [ x, x]  0, x .
(L3) Móc Lie thoả mãn đồng nhất thức Jacôbi. Tức là:

[ x, y], z   [ y, z ], x  [ z , x], y   0  x, y, z  .


Nhận xét
Nếu K là trường có đặc số khác 2 thì (L2) tương đương với

 L2  :[ x, y]  [ y, x], x, y  .
Nếu [x,y] = 0, x, y  thì ta bảo móc Lie tầm thường và  là đại số Lie giao hoán.
Số chiều của đại số Lie  chính là số chiều của không gian véctơ  .
1.7.1.2. Đại số Lie con và Ideal
Cho  là một đại số Lie và  là không gian con của  . Ta bảo
  là đại số Lie con của  nếu [, ]  .
  là ideal của  nếu [ , ]  .
Ở đó [, ] (tương ứng [ , ] ) là không gian con sinh bởi các phần tử có dạng [x,y],
với mọi x, y   (tương ứng x   , y   ).
1.7.1.3. Đồng cấu và đẳng cấu đại số Lie
Cho 1 và 2 là hai K– đại số Lie và f : 1  2 là một ánh xạ. Ta bảo f là một đồng
cấu đại số Lie nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
 f là ánh xạ K– tuyến tính;
 f bảo toàn móc Lie, tức là

f [ x, y ]   f  x  , f  y   , x, y  1.
Nếu f còn là một song ánh thì f được gọi là đẳng cấu đại số Lie.
Khi f : 1  2 là đồng cấu đại số Lie thì Kerf là một ideal của 1 và Imf là đại số Lie

con của 2 .
1.7.2. Nhóm Lie
Tập hợp G được gọi là một nhóm Lie nếu thỏa mãn các điều kiện sau:


(i) G là một nhóm;
(ii) G là đa tạp khả vi;
(iii) Phép toán nhóm G  G  G,  x,y   xy 1 khả vi.
Nhóm Lie G được gọi là giao hoán nếu phép toán nhóm giao hoán.
Số chiều của nhóm Lie G chính là số chiều của đa tạp khả vi G.
Các ví dụ
a) Đường tròn đơn vị S1 với phép toán (.) (có thể xem S1 là tập hợp các số phức có
môđun bằng 1) là một nhóm Lie giao hoán.
b) Nếu G1 ,G2 ,...,Gm là những nhóm Lie thì G  G1  G2  ...  Gm là một nhóm Lie nếu
ta cho nó cấu trúc nhóm tích và cấu trúc đa tạp vi phân tích của các cấu trúc G và ta nói rằng
G là nhóm Lie tích của các Gi , i  1,2,..., m.
1.7. 3. Đại số Lie tương ứng của nhóm Lie đã cho
Cho G là một nhóm Lie. Ta kí hiệu TeG là không gian tiếp xúc của G tại điểm đơn vị

e  G. Không gian này thường được kí hiệu là  . Khi đó  trở thành một đại số Lie với móc
Lie được xác định bởi toán tử như sau:

[ X ,Y ]  XY  YX , X, Y  .
Tức là:  X ,Y  f  X Yf   Y  Xf  , X, Y   , f  F  G  .
Như vậy, mỗi nhóm G xác định duy nhất một đại số Lie  và  được gọi là đại số Lie
của G hay đại số Lie tương ứng với G.
Ngoài cách định nghĩa trên, ta còn có thể xem  như là đại số Lie con của  (G ) gồm
các trường véctơ bất biến trái trên G. Cách xây dựng  như sau:
Với mọi g  G. Đặt Lg : G  G, x  gx và Rg : G  G, x  xg lần lượt là phép tịnh
tiến trái và phép tịnh tiến phải theo g thì Lg và Rg là các vi phôi trên G.

Trường véctơ X được gọi là bất biến trái nếu Lg*  X   X , g  G. Điều này đồng
nghĩa với biểu thức Lg*  X  x  X gx ,x  G,g  G.
Tương tự, trường véctơ X được gọi là bất biến phải nếu Rg*  X   X , g  G. Tức là:

Rg*  X  x  X xg ,x  G,g  G.
Tập các trường véctơ khả vi  (G ) trên G là một đại số Lie thực với các phép toán xác
định như sau

  X  Y  g  X g  Yg , g  G;
   X  g   X g , g  G,   ;
  X , Y  f  X Yf   Y  Xf  ; X, Y    G  , f  F  G  .
Khi đó    X   ( G ) X là trường véctơ bất biến trái} là đại số Lie con của  (G ) và
gọi là đại số Lie của nhóm Lie G. Đôi khi ta kí hiệu là  =Lie(G).
1.7.4. Ánh xạ mũ
Cho G là nhóm Lie,  = Lie(G) là đại số Lie của G. Khi đó với mỗi X  sẽ sinh ra
nhóm con 1-tham số (toàn cục) các phép biến đổi trên G. Tức là tồn tại duy nhất nhóm con

x  t  / t    G thỏa mãn các tính chất sau:
(i)

x  0  = eG (đơn vị của G);

(ii ) x  t + s   x  t  x  s  , t, s  ;
(iii)

x  0   X e ;

(iv) x  t 

 X x (t ) .

và còn được gọi là nhóm con 1 – tham số xác định trên G.
Ánh xạ exp :   G , X  exp( X ) : x (1) được gọi là ánh xạ mũ.
Chú ý: exp(tX )  x(t ).