VỀ CÁC ĐẠI SỐ NGUYÊN TỐ VÀ NỬA NGUYÊN TỐ THỎA MÃN ĐỒNG NHẤT THỨC ĐA THỨC Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết so

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
--------------------------------TRƯƠNG HUY HOÀNG

VỀ CÁC ĐẠI SỐ NGUYÊN TỐ VÀ NỬA
NGUYÊN TỐ THỎA MÃN ĐỒNG NHẤT THỨC
ĐA THỨC
Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số
Mã số : 60. 46. 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ

Thành phố Hồ Chí Minh – 2007


2

LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, tôi xin gởi lòng biết ơn sâu sắc nhất đến PGS-TS Bùi Tường Trí,
người thầy đã tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này.
Xin chân thành cảm ơn các Thầy: TS Trần Huyên, PGS-TS Mỵ Vinh Quang, PGSTS Bùi Xuân Hải đã trang bị cho tôi những kiến thức vô cùng q báo trong suốt
quá trình học tập.
Cuối cùng, xin cảm ơn các Thầy Cô khoa Toán – Tin của Trường ĐHSP đã cung
cấp cho tôi những tài liệu cần thiết, cảm ơn các Thầy Cô của phòng Khoa Học
Công Nghệ Sau Đại Học, các bạn bè, đồng nghiệp đã chân tình động viên, giúp đỡ
và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và trong quá trình
thực hiện luận văn này.

Thành phố Hồ Chí Minh – năm 2007
Học viên Cao học khóa 15

Trương Huy Hoàng


3

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU
HỆ THỐNG KÍ HIỆU
Chương 1:
CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ MỘT SỐ ĐẠI SỐ ĐẶC BIỆT
1.1.

Tóm tắt những kiến thức cơ sở……………………………….….…..…...…………………..1

1.2.

Một số đại số đặc biệt ………………………………………………………….…….……………….8
1.2.1. Đại số nửa nguyên thủy ………………………………………….….….……………….8
1.2.2. Đại số nguyên thủy ………………………………………………..………….…………….8
1.2.3. Đại số nguyên tố …………………………………….……………………….…….………..12
1.2.4. Đại số nửa nguyên tố …………………………………….…….…………….………….14
1.2.5. Đại số thỏa mãn đồng nhất thức ….…………..………………………….…….18

Chương 2:
CÁC PI – ĐẠI SỐ NỬA NGUYÊN TỐ THỎA MÃN ĐỒNG NHẤT
THỨC ĐA THỨC

2.1.

Đại số nguyên tố thỏa mãn đồng nhất thức thực sự………………..………26

2.2.

Các kết quả của Posner …………………………………………………….……………………..39

2.3.

Ví dụ .…………………………………………………………………………………………….………………..41

KẾT LUẬN…………………………………………………………………………………………………………………….………43
TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………………………………………………………….44


4

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài:
Posner – Rowen đã chứng minh rằng, một PI – đại số nguyên tố trên một
trường có thể nhúng vào một đại số đơn hữu hạn chiều trên tâm của nó như là thứ
tự phải và trái trong đại số. Amitsur đã khái quát điều này cho những đại số trên
vành, ông đã sử dụng định lí Goldie để làm cơ sở cho những kết quả của mình.
Rowen là người có công không nhỏ trong việc làm sáng tỏ vấn đề trên. Ông đã
chỉ ra một hình ảnh rõ nét về vành thương, trong đó tâm của vành thương là
trường các thương của tâm của vành nguyên tố. Vấn đề trên đã thu hút rất nhiều
sự quan tâm của các nhà toán học trên thế giới, trong đó có Small, Martindale…
Và tất cả đều sử dụng đa thức của Formanek.
Mặc dù còn hạn chế nhiều về chuyên môn nên khà năng bao quát kiến thức

chưa đủ lớn nhưng khi nghiên cứu vấn đề trên bản thân tôi cũng chịu một sức hấp
dẫn nhất định. Chọn đề này giúp chúng tôi tập làm quen với các phương pháp
nghiên cứu Toán học đương đại. Trên hết là nhằm phát triển tư duy của bản thân.
2. Mục đích nghiên cứu:
Chúng ta biết rằng, một đại số là nửa nguyên tố khi và chỉ khi nó là tích trực
tiếp con của các đại số nguyên tố, một đại số là nửa nguyên thủy khi và chỉ khi nó
là tích trực tiếp con của các đại số nguyên thủy (theo Kaplansky, nếu đại số
nguyên thủy là PI sẽ trở thành đại số đơn). Câu hỏi tự nhiên được đặt ra là, liệu
kết quả của Posner – Rowen về các PI – đại số có thể mở rộng ra cho lớp các PI –
đại số nửa nguyên tố hay không? Nói một cách chính xác hơn, liệu một PI – đại số
nửa nguyên tố trên một trường có thể nhúng như thứ tự trái (phải) vào một PI – đại


5

số nửa nguyên thủy hay không? Trong quyển PI – Algebras An Introduction của
Nathan Jacobson (tài liệu tham khảo số 3 – tiếng Anh), tác giả nói rằng, có những
thí dụ chứng minh rằng kết quả của Posner – Rowen không thể mở rộng ra cho lớp
các PI – đại số nửa nguyên tố, tuy nhiên ông không chỉ ra thí dụ cụ thể nào. Mục
đích chính của luận văn của chúng tôi là đi xây dựng một thí dụ như vậy.
3. Phương pháp nghiên cứu:
Trong luận văn này chúng tôi không trình bày cách xây dựng đa thức của
Formanek mà chỉ trình bày các kết quả của Posner và Rowen đối với các PI – đại
số nguyên tố thỏa mãn đồng nhất thức thực sự . Với lưu ý rằng, để đi đến những
kết quả của mình Posner và Rowen cũng sử dụng đa thức của Formanek. Hơn nữa,
để hoàn thiện thí dụ mà chúng tôi đưa ra, chúng tôi đã bổ sung và chứng minh
mệnh đề 1.2.4 về tính đầy hữu tỉ của một đại số.
4. Cấu trúc luận văn:
Luận văn bao gồm hai chương. Chương 1 chúng tôi trình bày các kiến thức cơ
bản về lí thuyết các vành không giao hoán và lí thuyết các PI – vành. Chương 2

chúng tôi đi sâu vào nghiên cứu về đại số nguyên tố và nửa nguyên tố thỏa mãn
đồng nhất thức thực sự, trong đó chúng tôi trình bày rất rõ các kết quả của Posner
về các PI – đại số nguyên tố. Cuối cùng, chúng tôi xây dựng một thí dụ chứng tỏ
rằng kết quả của Posner – Rowen không thể mở rộng cho lớp các PI – đại số nửa
nguyên tố.


6

HỆ THỐNG KÍ HIỆU
:

Tập các số tự nhiên

:

Trường số hữu tỉ

annAM:

Tập những phần tử trong A linh hóa M

A(M):

{ a ∈ A Ma = 0, M laø A – modun bất khả qui}

E(M ) :

Tập những tự đồng cấu trên M

C(M):

Giao hoán tử của A trên M

rad(A) hoặc J(A):

Radical Jacobson của vành A

sgnπ :

Dấu của phép thế π

lnA:

nil radical dưới của A

Un(A):

upper nil radical của A

L(A):

Levitzki nil radical của A

K{X}:

Đại số các đa thức ấn x trên K

Degf:

Bậc của đa thức f

deg xi f :

Bậc của đa thức f theo một biến xi

ht(f):

Chiều cao của đa thức f

Δ ij f :

Toán tử sai phân của f

CΔ F .:

Tâm tập của F trong Δ

MS :

Địa phương hóa của M tại S

[A : C] :

Số chiều của không gian A trên trường C

Δm

Tập tất cả các ma trận vuông cấp m trên Δ

7

CHƯƠNG 1:
CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ MỘT SỐ VÀNH ĐẶC BIỆT
Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm và một số kết quả cơ bản
được sử dụng đến trong luận văn. Việc chứng minh các kết quả khá đơn giản nên
hầu hết sẽ được tóm tắt hoặc được thông qua.

1.1 TÓM TẮT NHỮNG KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trước tiên, chúng tôi nhắc lại các khái niệm và một số kết quả cơ bản, cần thiết
để làm cơ sở xây dựng các đại số, như là: đại số nguyên thủy, đại số nửa nguyên
thủy, đại số nguyên tố và đại số nửa nguyên tố. Trong phần này, chúng tôi kí hiệu

A là vành không giao hoán, M là A – modun thay cho M là A – modun phải.
¾ Định nghóa 1.1.1:

• Nhóm cộng aben M được gọi là modun trên vành A (hay M là A – modun) nếu
tồn tại ánh xạ: M × A → M , (m, a)

ma vaø ∀m, n ∈ M , ∀a, b ∈ A các điều kiện

sau luôn được thỏa mãn:
a) m(a + b) = ma + mb,
b) (m + n)a = ma + na,
c) m(ab) = (ma)b,
d) Nếu A có đơn vị thì m1 = m.

• A là đại số trên vành giao hoán có đơn vị K khi và chỉ khi A là vành, A là

modun trên K, và ∀a,b ∈ A , ∀k ∈ K thì k(ab) = (ka)b = a(kb).

• Cho M là một A –modun. Khi đó, tập hợp các phần tử của A mà linh hoá
toàn bộ M được kí hiệu là annAM = { a ∈ A / Ma = 0 }.


8

ắ ẹũnh nghúa 1.1.2:

ã M ủửụùc goùi laứ A modun trung thaønh ⇔ (Ma = 0, a ∈ A ⇒ a = 0).
• M được gọi là A – modun bất khả qui ⇔ MA ≠ 0 và M chỉ có đúng 2 modun
con là 0 và chính M.
¾ Mệnh đề 1.1.3:

Cho M là một A –modun. Các khẳng định sau đây là tương đương:
i) M là A –modun bất khả qui.
ii) M = xA, ∀x ,0 ≠ x ∈ M .
iii) M ≅ A/ ρ , trong đó ρ là ideal phải tối đại, chính qui trong A. ( ρ là ideal phải
chính qui trong A ⇔ ∃a ∈ A sao cho ∀x ∈ A thì x − ax ∈ρ ).

Bây giờ, cho M là A – modun bất khả qui. Với a ∈ A ta định nghóa: Ta : M → M,

mTa = ma .Khi đó Ta là tự đồng cấu nhóm cộng trên M.
Đặt E ( M ) = {ϕ : M → M / ϕ là tự đồng cấu} . Trong E(M) ta định nghóa phép cộng
và phép nhân như sau: ∀φ, ϕ∈ E ( M ), ∀m ∈ M thì m(φ + ϕ) = mφ + mϕ,

m(φϕ) = (mφ)ϕ . Khi đó E(M) là một vành.
Gọi cái giao hoán tử của A trên M laø C ( M ) = {ϕ∈ E ( M )/ ϕTa = Taϕ, ∀a ∈ A} . Khi
⎧ϕ − ϕ2 ∈ C ( M )

đó, ∀ϕ1 , ϕ2 ∈ C ( M ) ⇒ ⎨ 1
. Suy ra C(M) là vành con của E(M). Ta có
⎩ϕ1.ϕ2 ∈ C ( M )
trường hợp đặc biệt sau đây:
¾ Bổ đề 1.1.4 :(Bổ đề Schur)

Nếu M là A – modun bất khả qui thì C(M) là một thể.
Chứng minh:

Để chứng minh bổ đề ta chỉ việc chứng minh mọi phần tử θ ≠ 0 trong C(M)


9

đều khả nghịch trong C(M). Thật vậy, lấy 0 ≠ θ∈ C ( M ) , đặt W = M θ . Suy ra
∀a ∈ A , Wa = WTa = ( M θ)Ta = ( MTa )θ , maø ( MTa )θ ⊂ M θ = W ⇒ W là modun con

của M. Vì θ ≠ 0 và M là A – modun bất khả qui nên W = M θ = M . Suy ra θ là toàn
cấu từ M → M và Kerθ là con thực sự của M ( do θ ≠ 0 ). Do đó Kerθ = 0 . Suy ra
θ là đẳng cấu. Vì vậy ∃θ−1 là nghịch đảo của θ ( θ−1 ∈ E ( M ) ). Hơn nữa, vì θ có
khả nghịch là θ−1 ∈ E ( M ) nên từ đẳng thức θTa = Ta θ ta suy ra Ta θ−1 = θ−1Ta , hay
θ−1 ∈ C ( M ) . ê

ắ ẹũnh nghúa 1.1.5:

ã Radical Jacobson cuỷa vaứnh A, được kí hiệu là rad(A) hoặc J(A), là tập hợp tất
cả những phần tử của A mà linh hóa được mọi A - modun bất khả qui.
• Nếu A không có modun bất khả qui nào thì ta qui ước J(A) = A. Khi đó ta nói A
là vành radical.
Nhận xét:

+ Nếu đặt A(M) = { a ∈ A Ma = 0, M là A – modun bất khả qui} thì theo định
nghóa ta có: J ( A) =

∩

M − bất khả qui

A( M ) .

+ Nếu A là vành có đơn vị thì A không thể là vành radical.
¾ Định nghóa 1.1.6:

• Một phần tử a ∈ A được gọi là tựa chính qui phải nếu tồn tại a’∈ A sao cho a +
a’ + aa’ = 0. Khi đó a’ được gọi là tựa nghịch đảo phải của a. Tương tự, a’ là
tựa nghịch đảo trái của a thì a’ + a + a’a = 0.
• Một ideal (một phía hoặc hai phía) của A được gọi là tựa chính qui nếu mọi
phần tử của nó đều tựa chính qui.


10

ắ Boồ ủe 1.1.7:

ã A coự ủụn vũ laứ 1 thì a là tựa chính qui phải ⇔ 1+ a khả nghịch trong A.
• rad(A) = { z / az là tựa chính qui, ∀a ∈ A } = { z / za là tựa chính qui, ∀a ∈ A }
¾ Mệnh đề 1.1.8 :

J(A) là ideal phải tối đại tựa chính qui phải duy nhất của A và chứa tất cả các
ideal phải tựa chính qui phải của A.

Để làm cơ sở cho việc xây dựng vành các đa thức đồng nhất thức, chúng tôi
nhắc lại một số khái niệm và một vài kết quả sau đây:
¾ Định nghóa 1.1.9:

• Cho X là vị nhóm tự do sinh bởi một tập đếm được các phần tử x1,x2,…. Khi đó X
là tập 1, xi1 xi2 ...xir của những đơn thức khác nhau, trong đó:
+ xi1 xi2 ...xir = x j1 x j2 ...x js ⇔ i1 = j1 ,...
+ 1( xi1 xi2 ...xir ) = ( xi1 xi2 ...xir )1 = xi1 xi2 ...xir .
+ ( xi1 xi2 ...xir )( x j1 x j2 ...x js ) = xi1 xi2 ...xir x j1 x j2 ...x js .
• Kí hiệu K{X} là đại số của X trên vành giao hoán có đơn vị K, khi đó K{X}
được gọi là đại số tự do sinh bởi tập đếm được các phần tử xi, tập các phần tử
đếm được này gọi là cơ sở của K{X}. Khi đó X được nhúng vào K{X} và phép
i
→ K{X} có tính phổ dụng, nghóa là: với A là một K – đại số bất kì và
nhúng X ⎯⎯

ánh xạ σ : X → A , từ tập các biến x1, x2, ... vào A thì luôn tồn tại đồng cấu
η : K{X} → A sao cho ηi = σ .
• Nếu f ∈ K{X}, f ∈ K{x1 ,..., xm} - đại số con sinh bởi tập con hữu hạn {x1,…,xm}
với m nào đó thì ta viết f = f(x1,…,xm). nh của đa thức này qua η : K{X} → A


11

bieán xi

ai ( 1 ≤ i < ∞ ) vieát là f(a1,…,am), gọi là giá trị của f tại (a1,…,am).

¾ Định nghóa 1.1.10:

Cho đa thức f = f(x1,…,xm) ∈ K{X}. Khi đó:
• Một đơn thức xi xi ...xi được gọi là có mặt trong f nếu nó có hệ số khác 0 trong
1

2

r

biểu diễn của f dưới dạng tổng các đơn thức.
• f được gọi là tuyến tính theo xi nếu mọi đơn thức có mặt trong f đều có bậc nhất
theo biến xi.
Nhận xét:

+ f là đa tuyến tính thì f có dạng: f = ∑ α π1 ,...,πm xπ1 ...xπm với α π1 ,...,πm ∈ K và π
π

chạy khắp tất cả các hoán vị của {1, 2, …, m}.
+ f là đa tuyến tính thì:
f(x1,…,xj-1,xj + xm+1, xj+1,…, xm) = f(x1,…, xj,…, xm) + f(x1,…,xj-1, xm+1, xj+1,…, xm),
f(x1,…,xj-1, β xj, xj+1,…, xm) = β f(x1,…, xj,…, xm).
• f được gọi là thay phiên nếu f(x1,,xi-1,xi,xi+1,,xj-1,xi, xj+1,, xm) = 0, ∀i < j .
Nhận xét:

Cho f là đa tuyến tính và thay phiên. Khi đó: f là đồng nhất thức của A khi
và chỉ khi f(ui1,…,uim) = 0, với mọi sự lựa chọn uij đôi một khác nhau trong tập các
phần tử sinh {uij} của A trên K.
• Đa thức chuẩn bậc k là: Sk (x1, …, xk) =

∑ (sgnπ)x
π

π (1)

...xπ( k ) , tổng này được

chọn trên toàn nhóm đối xứng và có (k!) đơn thức.
¾ Định nghóa 1.1.11 :( Bậc và chiều cao của đa thức)

• Bậc của đơn thức ax n1 x n2 ...x nm ,(a ≠ 0) laø n1 + n2 + … + nm.


12

• Bậc của f là bậc lớn nhất của các đơn thức có mặt trong f, kí hiệu là degf.
• Bậc theo biến xi của f là bậc của f khi xem nó như là một đa thức theo một
biến xi, kí hiệu là deg x f .
i

• f được gọi là thuần nhất theo xi nếu tất cả các đơn thức của nó có cùng một bậc
theo biến xi. f là hoàn toàn thuần nhất nếu nó thuần nhất theo mọi biến xi.
• f được gọi là trộn đều theo xi nếu xi có mặt trong mọi đơn thức của nó. f được
gọi là trộn đều nếu f được trộn đều theo mọi biến xi có mặt trong f .
• Chiều cao của một đơn thức được tính bằng bậc của đơn thức đó trừ đi số các
biến xi có mặt trong đơn thức đó.
• Chiều cao của đa thức f là chiều cao lớn nhất của các đơn thức có mặt trong f,
kí hiệu là ht(f). Khi đó: f đa tuyến tính ⇔ f trộn đều và ht(f) = 0.
¾ Định nghóa 1.1.12:

Cho A là đại số trên K, G là nhóm con cộng của nhóm A.
• f∈ K{X} được gọi là G – giá trị ⇔ (∀ai ∈ A ⇒ f (a1 ,..., am ) ∈ G ) .

• f = f(x1,…,xm) ∈ K{X} được gọi là đồng nhất thức đối với A khi và chỉ khi
f(a1,…,am) = 0, ∀ai ∈ A .
Ví dụ:

1) Nếu A là vành giao hoán thì f(x1,x2) =[x1,x2] là một đồng nhất thức của A.
2) * Đại số A được gọi là hầu hết nil, có bậc bị chặn ⇔ A có dạng K.1 + N , trong
đó N là nil ideal và có bậc bị chặn, nghóa là ∀z ∈ N , ∃n ∈ : z n = 0
* Khi đó, ∀x , y ∈ A , nếu A là hầu heát nil suy ra [x , y ] ∈ N , N có bậc bị chặn
⇒ ∃n ∈

sao cho [ x , y ]n = 0 ⇒ A thỏa mãn đồng nhất thức f = [ x , y ]n .


13

3) * Nếu a ∈ M2 (K ) và tr(a) = 0 thì a2 là ma trận vô hướng :
⎛ p2 + rq
⎛p q ⎞
2
Thật vậy, lấy a = ⎜
⎟⇒a =⎜
⎝ r −p⎠
⎝ 0
⎛a b ⎞
⎛a
* Với a, b ∈ M2 ( K ), a = ⎜ 1 1 ⎟ , b = ⎜ 2
⎝ c1 d1 ⎠
⎝ c2
⎛a a + bc
⇒ ab = ⎜ 1 2 1 2

B
⎝

A
⎞
,
c1b2 + d1d2 ⎟⎠

0 ⎞
⎟ - ma trận vô hướng
p2 + rq ⎠
b2 ⎞
d2 ⎟⎠

C
⎛a a + b c
⎞
.
ba = ⎜ 2 1 2 1
D
c2 b1 + d2 d1 ⎟⎠
⎝

X
⎛bc − b c
⎞
Khi đó ab − ba = ⎜ 1 2 2 1
, với A, B, C, D, X, Y ∈ K , hay tr[a, b]
Y
c1b2 − c2 b1 ⎟⎠

⎝
= 0, ∀a, b ∈ M2 ( K ) .
Vaäy, ∀a, b ∈ M2 (K ) ta luôn có tr[a,b] = 0 ⇒ [a, b]2 là ma trận vô hướng. Do đó,
với a, b, c tuỳ ý ∈ M2 ( K ) ta luôn có [a,b]2c = c[a,b]2.
Suy ra: f = f(x1,x2,x3) = (x1x2 – x2x1)2x3 – x3(x1x2 – x2x1)2 là một đồng nhất thức
đối với M2(K). (đây là đồng nhất thức của Wagner).
¾ Định nghóa 1.1.13:

Cho f = f(x1,…,xm) ∈ K{X}. Toán tử sai phân Δ ijf trong K{X} được xác định nhö
sau: Δ ij f (x1,…, xm) = f(x1,…, xi-1, xi + xj, xi+1,…, xm) - f(x1,…, xi-1, xi, xi+1,…, xm)
- f(x1,…, xi-1, xj, xi+1,…, xm), với 1 ≤ i ≤ m .
¾ Định nghóa 1.1.14:

Đa thức f = f(x1,…,xm) ∈ K{X} được gọi là đa thức tâm của đại số A nếu f không là
đồng nhất thức của A nhưng [f(x1,…,xm),xm+1] là đồng nhất thức của A.
¾ Định nghóa 1.1.15:

Đa thức f = f(x1,…,xm) ∈ K{X} được gọi là đồng nhất thức thực sự đối với A khi và


14

chỉ khi f là đồng nhất thức của A và tồn tại hệ số của f không linh hoá A.
Nhận xét:

+ Nếu K là một trường thì f là đồng nhất thức thực sự khi và chỉ khi f khác 0.
+ Đồng nhất thức f có hệ tử 1 thì f là đồng nhất thức thực sự cho mọi đại số.

1.2 MỘT SỐ ĐẠI SỐ ĐẶC BIỆT
1.2.1 Đại số nửa nguyên thủy:

¾ Định nghóa 1.2.1.1:

Đại số A được gọi là đại số nửa nguyên thủy nếu J(A) = 0.
¾ Mệnh đề 1.2.1.2:

Nếu A không có nil ideal khác 0 thì A[ λ ] là nửa nguyên thủy
¾ Mệnh đề 1.2.1.3:

Nếu A là một đại số thì A/J(A) luôn là đại số nửa nguyên thủy.
¾ Mệnh đề 1.2.1.4:

Nếu B là ideal 2 phía của đại số A thì J(B) = J(A) ∩ B.
Hệ quả:

Mọi ideal 2 phía của đại số nửa nguyên thủy đều nửa nguyên thủy.

1.2.2 Đại số nguyên thủy:
¾ Định nghóa 1.2.2.1:

Đại số A được gọi là nguyên thủy nếu A có một modun bất khả qui trung thành.
¾ Mệnh đề 1.2.2.2:

Cho A là một đại số tuỳ ý, M là A – modun bất khả qui. Khi đó, A(M) laø ideal 2


15

phía của A và A/A(M) là đại số nguyên thủy.
¾ Mệnh đề 1.2.2.3:

Nếu A là đại số nguyên thủy thì J(A) = 0. Do đó, mọi đại số nguyên thủy đều là
nửa nguyên thủy.
Nhận xét: Vành nguyên thủy có tính giao hoán là một trường.

Trong quá trình nghiên cứu để thực hiện luận văn này, chúng tôi cảm nhận được
tầm ảnh hưởng của định lí dày đặc đối với việc chứng minh các tính chất của vành
các đa thức đồng nhất thức là khá lớn nên dưới đây chúng tôi sẽ phát biểu và
chứng minh lại định lí này theo cách mà chúng tôi cho là dễ tiếp nhận nhất. Độc
giả có thể tham khảo phép chứng minh định lí này trong các luận văn của những
học viên cao học những năm trước đây thuộc ngành Đại số và lí thuyết số của
Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh hoặc trong quyển
“Noncommutative rings” của I. N. Herstein. Để đi đến định lí này chúng tôi nhắc
lại một vài ý sau:
+ Giả sử R là vành nguyên thủy, M là R – modun bất khả qui trung thành. Đặt Δ
= C(M) thì theo bổ đề Shur, Δ là một thể.Khi đó, chúng ta có thể xem M là không
gian vectơ phải trên Δ , trong đó, mα, m ∈ M , α ∈ Δ là tác động của phần tử thuộc
E(M) lên m.
+ Họ x1, x2, …, xn trong M được gọi là độc lập tuyến tính trên Δ ⇔ ( ∑ xi α i = 0,
i =1,n

⇒ αi = 0, ∀i = 1, n, αi ∈ Δ)
+ R được gọi là tác động dày đặc lên M ⇔ ∀n , ∀ hoï x1, x2, …, xn trong M độc
lập tuyến tính trên Δ và ∀ y1, y2, …, yn ∈ M, ∃r ∈ R sao cho xir = yi, ∀i = 1, n .


16

Định lí dày đặc:

Cho R là vành nguyên thủy, M là R – modun phải bất khả qui trung thành. Nếu Δ

= C(M) thì R là vành dày đặc những phép biến đổi tuyến tính của M trên Δ .
Chứng minh:

* Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau bằng qui nạp theo n: “ Nếu V là không gian
vectơ con của R –modun bất khả qui M, dimV = n hữu hạn thì ∀m ∈ M , m ∉ V ,
∃r ∈ R sao cho Vr = (0) nhöng r ≠ 0 ”. Thật vậy

• dimV = n = 0: Khi đó V = (0). Vì vậy, ∀m ∈ M , m ∉ V thì m ≠ 0 và ∃r ∈ R, r ≠ 0

sao cho mr ≠ 0 ( do MR ≠ 0 ) vaø Vr = (0) (do V = (0)).

• Giả sử bổ đề luôn đúng khi dimV < n.
• Ta chứng minh bổ đề đúng khi dimV = n. Thật vậy, giả sử V = V0 + w Δ
( trong đó dimV0 = dimV – 1 và w∉ V0 ). Theo giả thiết qui nạp, ∀y ∉ V0 , y ∈ M thì
tồn tại r ∈ R : V0r = 0 nhöng yr ≠ 0 hay ∀y ∉ V0 , y ∈ M , ∃r ∈ A(V0 ) ( A(V0 ) = annAV0 )
sao cho yr ≠ 0. Điều này tương đương với: mA(V0 ) = 0 ⇒ m ∈ V0 ( do giả thiết qui
nạp), với A(V0) = { x ∈ R / V0 x = 0} . Suy ra, neáu w ∉ V0 ⇒ wA(V0 ) ≠ (0) . Khi đó:
r

modun

A (V 0 ) < R,(0) ≠ wA (V 0 ) ⊂ M và M là R – modun bất khả qui ⇒ wA(V0 ) = M .
Dùng phản chứng , giả sử rằng ∃m ∈ M , m ∉ V để cho ∀r ∈ R mà Vr = 0 thì
mr = 0. Ta chứng minh điều này là không thể:
Vì wA(V0) = M ⇒ ∀x ∈ M , ∃a ∈ A(V0 ) : x = wa . Xeùt

τ: M → M
.
wa = x ma (a ∈ A(V0 ))

Khi đó τ được định nghóa tốt, vì nếu x = 0 ⇒ wa = 0 ⇒ a linh hóa w và a linh
hóa V0 ⇒ a linh hoùa V hay Va = 0 ⇒ ma = 0.


17

Mặt khác, τ∈ E ( M ) và hơn nữa, nếu x = wa với a ∈ A(V0) thì ∀r ∈ R (vì
ar ∈ A(V0 ) ) ⇒ xr = (wa)r = w(ar ) ⇒ ( xr )τ = w(ar )τ = m(ar ) = (ma)r = ( xτ)r = x (τr )

⇒ τ∈ Δ . Vì vậy, ∀a ∈ A(V0 ) ⇒ ma = (wa)τ = (wτ)a ⇒ (m − wτ)a = 0, ∀a ∈ A(V0 ) .
Điều này đúng ∀a ∈ A(V0 ) nên suy ra, m − wτ∈ V0 hay m ∈ V0 + wτ , maø
V0 + wτ ⊂ V0 + wΔ ⇒ m ∈ V ( mâu thuẫn với m ∉ V ). Bổ đề đã được chứng minh.
* p dụng bổ đề để chứng minh định lí:
Ta chứng minh rằng: Nếu {vi }i =1,n là một họ độc lập tuyến tính trên M và

{wi }i=1,n

là một họ tùy ý trên M thì ∃r ∈ R : vir = wi , ∀i = 1, n :

Xét Vi là không gian vectơ sinh bởi họ các vectơ độc lập tuyến tính {vi } j ≠i .
j =1,n

dim Vi = n − 1⎫
⎪
Khi đó ta có: vi ∈ M
⎬ ⇒ ∃r ∈ R, r ≠ 0 : Vir ≠ 0, vir ≠ 0 . Vì M là R – modun bất
⎪
vi ∉ Vi
⎭
khả qui và virR ≠ 0 neân suy ra virR = M ⇒ ∀wi ∈ M , ∃si ∈ R : virsi = wi .

Đặt ti = rsi, rõ ràng Viti = (Vir)si = 0. Goïi t = t1 + t2 + . . .+ tn. Khi đó, vit = vi(t1 +
t2 +. . .+ tn) = viti hay wi = vit, ∀i = 1, n . Suy ra R dày đặc trên M ª

1.2.3 ẹaùi soỏ nguyeõn toỏ:
ắ ẹũnh nghúa 1.2.3.1:

ã Moọt ideal P của đại số A được gọi là ideal nguyên tố nếu BC ⊂ P thì hoặc
B ⊂ P hoặc C ⊂ P ( Với B, C là các ideal của A).
• Đại số A được gọi là nguyên tố ⇔ ideal (0) của A là ideal nguyên tố. Nghóa là:
BC = (0) ⇒ B = (0) hoaëc C = (0) ( Với B, C là các ideal của A).


18

¾ Mệnh đề 1.2.3.2:

Nếu A là đại số nguyên thủy thì A là đại số nguyên tố.
Chứng minh:

Vì A nguyên thủy nên tồn tại M là ideal bất khả qui trung thành của A. Nếu lấy
B, C là các ideal khác 0 trong A thì (BC)M = B(CM) = BM = M. Khi đó BC ≠ 0 hay
A là đại soỏ nguyeõn toỏ ê
ắ Boồ ủe 1.2.3.3:

Caực meọnh ủe sau đây tương đương:
i)

A là đại số nguyên tố.

ii)

⎡b = 0
bAc = 0 ⇒ ⎢
' ∀b, c ∈ A
⎣c = 0

iii) Linh hóa tử bên trái của một ideal trái bất kì khác không thì bằng 0.
iv) Linh hóa tử bên phải của một ideal phải bất kì khác không thì bằng 0.
Chứng minh:

i) ⇒ ii): Nếu bAc = 0 ⇒ AbAcA = 0 ⇒ (AbA)(AcA) = 0 ⇒ AbA =0 hoặc AcA = 0. Lấy
B là ideal chính sinh bởi b. Suy ra B 3 ⊆ AbA , maø AbA =0 nên B = 0 ⇒ b = 0.
Tương tự, nếu AcA thì c = 0.
ii) ⇒ iii): Giả sử 0 ≠ I

l

A sao cho aI = 0. Ta chứng minh a = 0. Thật vậy, lấy

b∈ I , b ≠ 0 ⇒ Ab ⊂ I ⇒ aAb = 0 ⇒ a = 0 ( do ii) ).
iii) ⇒ i): Lấy B, C

A sao cho BC = 0. Giả sử C ≠ 0 ⇒ B = 0 ( do iii)). Suy

ra A nguyên tố.
Bằng cách tương tự ta chứng minh được ii) ⇒ iv) ⇒ i). Vì vậy bổ đề được chứng
minh ª


19

¾ Tích trực tiếp con:

Tích trực tiếp của họ các K – đại số { Aα }α∈I là tập hợp

∏A

α

α∈I

mà trên

∏A
α∈I

α

ta

định nghóa phép cộng và phép nhân như sau:
(f + g)( λ ) = f( λ ) + g( λ ),
Khi đó

∏A
α∈I

α

(f.g) ( λ ) = f( λ ).g( λ ).

cùng vói 2 phép toán trên lập thành một vành là một K – đại số.

Đặt πα là phép chiếu

∏A
α∈I

α

→ Aα . Đại số A được gọi là tích trực tiếp con của họ

các đại số { Aα }α∈I nếu tồn tại đơn cấu μ : A → ∏ Aα : Aμπα = Aα , ∀α ∈ I .
α∈I

Từ định nghóa ta suy ra trực tiếp kết quả sau đây:
¾ Mệnh đề 1.2.3.4:

Nếu đại số A là tích trực tiếp con của họ các đại số { Aα } và Bα = Kerπ α / A
(với πα là phép chiếu

∏A
α∈I

là một đại số bất kì,

α

{Bα }α∈I

→ Aα ) thì Aα ≅ A

Bα

∩ Bα = ∅ . Ngược lại, nếu A

và

α ∈I

là họ các ideal trong A sao cho

cấu với tích trực tiếp con của họ các đại số Aα = A

∩ Bα = ∅ thì A

α ∈I

Bα

.

1.2.4 Đại số nửa nguyeõn toỏ:
ắ ẹũnh nghúa 1.2.4.1:

Cho ủaùi soỏ A:
ã Phan tửỷ a ∈ A được gọi là lũy linh nếu ∃m ∈

*

sao cho am = 0.

• Một ideal của A được gọi là nil nếu mọi phần tử của nó đều lũy linh.
• Ideal ρ của vành A được gọi là ideal lũy linh nếu ∃m ∈

*

: a1.a2…am = 0

đẳng


20

với ai∈ρ, i = 1, m . Nghóa là ∃m ∈

*

sao cho ρm = 0 .

• A được gọi là lũy linh địa phương nếu mọi tập con hữu hạn của nó đều sinh ra
một đại số con lũy linh.
• A được gọi là lũy linh nếu ∃m ∈

*

sao cho Am = 0.

• A được gọi là nửa nguyên tố nếu nó không có ideal lũy linh khác 0.
• Ideal B của A được gọi là nửa nguyên tố nếu thương A/B là nửa nguyên tố.

Nhận xét:

+ Mọi đại số nguyên tố đều là đại số nửa nguyên tố.
+ Mọi ideal lũy linh đều là lũy linh địa phương và mọi ideal lũy linh địa phương
đều là nil ideal.
¾ Định nghóa 1.2.4.2:

Tổng các ideal lũy linh của đại số A không nhất thiết là một ideal lũy linh. Gọi
tổng này là N(0), ta định nghóa một dãy siêu hạn các ideal như sau: Với N(0) được
chỉ ra như thế, nếu α là một bản số nào đó mà không là bản số giới hạn, α = β + 1,
ta định nghóa N( α ) là ideal của A sao cho N( α )/N( β ) là tổng của tất cả những ideal
lũy linh của A/N( β ). Nếu α là bản số giới hạn, nghóa là không có bản số đứng ngay
trước nó, ta đặt N( α ) =

N( β ) . Khi đó ta có N( α ) ⊂ N( α ' ) nếu α < α ' và tồn tại
∪
β α
<

bản số đầu tiên τ sao cho N( τ ) =N( τ + 1 ). Ta goïi N( τ ) này là nil radical dưới của
A, kí hiệu laứ lnA.
ắ Meọnh ủe 1.2.4.3:

ã Ton taùi duy nhaỏt moọt nil ideal tối đại của đại số A chứa mọi nil ideal của A.
Nil ideal đó được gọi là upper nil radical của A, kí hiệu là Un(A).


21

• Tồn tại duy nhất một ideal lũy linh địa phương tối đại của đại số A, chứa mọi

ideal một phía lũy linh địa phương của A. Ideal lũy linh địa phương tối đại của
đại số A được gọi là Levitzki nil radical của A, kí hiệu là L(A).
¾ Mệnh đề 1.2.4.4:

• A/Un(A) không chứa nil ideal khác 0. Suy ra Un(A/ Un(A)) = 0.
• A/ln(A) không chứa ideal lũy linh khác 0.
• L(A/L(A)) = 0.
• Ln(A) ⊂ L(A) ⊂ Un(A) ⊂ rad(A).
• Ln(A) trùng với giao các ideal nguyên tố của A.
p dụng mệnh đề 1.2.3.4 ta suy ra hai mệnh đề sau đây:
¾ Mệnh đề 1.2.4.5:

A là đại số nửa nguyên thủy khi và chỉ khi nó là tích trực tiếp con của các đại số
nguyên thủy.
Chứng minh:

Với A là một đại số bất kì ta luôn có J ( A) = ∩( ρ : A) , với ρ chạy khắp các ideal
tối đại chính qui trong A. Vì vậy, nếu A là đại số nửa nguyên thủy thì

J ( A) = ∩( ρ : A) = 0 . Theo mệnh đề 1.2.3.4 ta suy ra A là tích trực tiếp con của họ
các đại số A

( ρ : A)

. Mà A

( ρ : A)

nguyên thủy suy ra A là tích trực tiếp con của các

đại số nguyên thủy.
Ngược lại, cũng theo mệnh đề 1.2.3.4, nếu đại số A là tích trực tiếp con của họ
các đại số Aα = A

Bα

thì ∩ Bα = 0 . Vì vậy tất cả các ánh xạ từ J ( A) vào trong Aα

đều là ánh xạ vào (0). Do đó J ( A) ⊂ Bα , ∀α , suy ra J ( A) ⊂ ∩ Bα = (0) . Chứng tỏ


22

raống A laứ ủaùi soỏ nửỷa nguyeõn thuỷy. ê
ắ Meọnh đề 1.2.4.6:

A là đại số nửa nguyên tố khi và chỉ khi nó là tích trực tiếp con của các đại số
nguyên tố.
Chứng minh:
⇐) Giả sử A là tích trực tiếp con của các đại số nguyên tố Aα . Gọi N là ideal

lũy linh của A. Khi đó N α = πα ( N ) là ideal của Aα (với πα là phép chiếu). Vì Aα
nguyên tố suy ra Aα nửa nguyên tố nên N α = 0 . Điều này đúng ∀α ⇒ N = 0 . Suy
ra A là nửa nguyên tố.
⇒) Cho A là nửa nguyên tố, ta chứng minh A là tích trực tiếp con của các đại số

nguyên tố.
Theo mệnh đề 1.2.3.4 ta có: Nếu A là một đại số, {Bα} là họ các ideal trong A

sao cho

∩B

α

= 0 thì A đẳng cấu với tích trực tiếp con của họ Aα = A

α

Bây giờ, lấy 0 ≠ B

Bα

.

A , chọn b1 ≠ 0 trong B, do A có đơn vị ⇒ 0 ≠ Ab1 A

A

(được chứa trong B) ⇒ ( Ab1 A)2 = Ab1 Ab1 A ≠ 0 ⇒ b1 Ab1 ≠ 0 ⇒ ∃a1 ∈ A sao cho

b2 = b1a1b1 ≠ 0, b2 ∈ B . Tiếp tục như vậy ta có một dãy các bi : b1, b2 = b1a1b1, b3 =
b2a2b2, …, bi = bi-1ai-1bi-1, … khác 0 nằm trong B. Vì vậy suy ra, ∀ k > i, j ta luôn có
bk = biaijbj ( aij ∈ A ).
Vì (0) ∩ {bi} = ∅ nên theo bổ đề Zorn tồn tại ideal P của A, tối đại trong tập
những ideal của A mà có giao với {bi } bằng rỗng. Ta chứng minh P chính là ideal
nguyên tố của A. Thật vậy, lấy C,D

A sao cho C , D ⊄ P ⇒ C1 := C + P vaø

23

D1 := D + P chứa thực sự P ⇒ ∃bi ∈ C1 , b j ∈ D1 . Neáu k > i, j thì bk = biaijbj ∈ C1D1 .
Suy ra C1D1 ⊄ P (bk ∉ P ) .
Vì C1D1 = (C + P)(D + P) = CD + CP + DP + P ⊂ CD + P ⇒ CD ⊄ P ⇒ P là
nguyên tố.
Tóm lại, với mọi 0 ≠ B

A , tồn tại ideal nguyên tố P không chứa B ⇒ ∩P = 0

(P – nguyên tố) Suy ra A là tích trực tiếp con của các đại số nguyên tố A . Suy ra
P
A là nửa nguyeõn toỏ ê

1.2.5 ẹaùi soỏ thoỷa maừn ủong nhaỏt thửực:
ắ Định nghóa 1.2.5.1:

Một đại số A trên vành giao hoán K được gọi là đại số thỏa mãn đồng nhất thức
hay là một PI – đại số nếu tồn tại f ∈ K{X} là đồng nhất thức thực sự của A.
Dưới đây chúng tôi nêu ra một số bổ đề với mục đích kết hợp chúng với định lí
dày đặc đã được chứng minh ở phần trước nhằm làm sáng tỏ định lí Kaplansky –
Amitsur.
¾ Các bổ đề
Bổ đề 1: Mọi đa thức f ∈ K{X} đều là tổng của những đa thức được trộn đều fj

sao cho:
i)

degfj ≤ degf,

ii)

ht(fj) ≤ ht(f),

iii) Nếu f tuyến tính theo xi thì fj cũng tuyến tính theo xi,
iv) Cho A là một đại số bất kì và G là nhóm con cộng của nhóm A. Khi đó,


24

nếu f là G – giá trị thì các fj cũng là G – giá trị.
Bổ đề 2: Nếu g là một đơn thức sao cho deg x g > 1 và xj không có mặt trong g thì
i

Δ ij g là tổng của các đa thức gk phân biệt, trong đó xi, xj đều có mặt trong gk và khi

thay xj bởi xi thì các gk trở thành g.
Bổ đề 3: Giả sử f được trộn đều, deg xi f > 1,deg x j f = 0 . Khi đó:

i) Δij f được trộn đều,
ii) deg Δ ij f ≤ deg f ,
iii) deg xi Δij f = deg xi f − 1 ,
iv) ht(Δ ij f ) ≤ ht( f ),
v) Tập các hệ số của Δij f là tập con của tập các hệ số của f.
Bổ đề 4: Nếu A thỏa mãn đồng nhất thức thực sự f thì A thỏa mãn đồng nhất thức

đa tuyến tính thực sự g trong đó degg ≤ degf.
Bổ đề 5: Mn(K) không thỏa mãn đồng nhất thức thực sự nào có bậc nhỏ hơn 2n.
Bổ đề 6: Giả sử F là một trường và V là không gian véctơ vô hạn chiều trên F.

Khi đó, đại số những phép biến đổi tuyến tính EndFV không thỏa mãn bất kì đồng
nhất thức thực sự nào.
Bổ đề 7: Cho Δ là một thể. Khi đó Δ chứa những trường con tối đại của F ( trên

K) và với mọi trường con F như vậy thì tâm tập: CΔ F = {c ∈ Δ / cf = fc, f ∈ F} = F .
Bổ đề 8: Cho A là đại số con đơn của đại số E, B là tâm tập của A trong E,

C = B ∩ A là tâm của A. Nếu a1 , a2 ,..., ar ∈ A là độc lập tuyến tính trên C thì

a1 , a2 ,..., ar độc lập tuyến tính trên B, nghóa là:


25
r

∑b a
i =1

i i

= 0, ∀bi ∈ B ⇒ bi = 0, ∀i = 1, r .

¾ Mệnh đề 1.2.5.2: ( Định lí Kaplansky – Amitsur )

Nếu A là đại số nguyên thủy thỏa mãn đồng nhất thức thực sự bậc d thì tâm C của
2

⎡d ⎤
A là trường, A là đại số đơn và [A:C] ≤ ⎢ ⎥ .

⎣2⎦
Chứng minh:

• Vì A là đại số nguyên thủy nên tồn tại V là A – modun bất khả qui trung
thành. Theo định lí dày đặc thì A dày đặc trên EndΔV , với Δ là tập hợp tất cả các
tự đồng cấu trong EndKV của V mà giao hoán được với mọi phần tử của A. Do đó

Δ ≡ Δ L , trong đó Δ L là tập hợp tất cả các tự đồng cấu của V được xác định bởi
x

δ x với δ ∈ Δ . Hơn nữa, theo bổ đề Shur, Δ là một thể. Do đó, theo bổ đề 7

bên trên, tồn tại trường con tối đại F của Δ .
Gọi A’ là đại số con của EndKV được sinh bởi F và A. Do các phần tử của F
giao hoán được với các phần tử của A nên A’ = FA = AF và F chứa trong tâm của

A’. Do đó có thể xem A’ là một đại số trên F.
Mặt khác, nếu xem V là không gian vectơ trên F thì mỗi phần tử của A’ có thể
xem là một phép biến đổi của V trên F.

• Bây giờ ta chứng minh A’ dày đặc trên EndFV :
Vì V là A – modun bất khả qui trung thành nên V = Ax, với 0 ≠ x ∈ V . Suy ra

V = A ' x , do A ' ⊃ A, A ' = FA ⇒ V là A’ – modun bất khả qui.
Giả sử c ∈ EndKV mà c giao hoán được với mọi phần tử của A’, suy ra c giao
hoán được với mọi phần tử của A ( do A ' ⊃ A ), do đó c ∈ Δ . Hơn nữa, do A ' ⊃ F