PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trịnh Văn Bé Ba

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ
TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ

Chuyên ngành : Toán Giải Tích
Mã số
: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. TRẦN ĐÌNH THANH

Thành phố Hồ Chí Minh – 2009


LỜI CÁM ƠN
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến thầy
hướng dẫn, TS. TRẦN ĐÌNH THANH, đã tận tình hướng dẫn tôi trong quá
trình làm luận văn.
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến thầy
NGUYỄN BÍCH HUY đã tận tình giúp đỡ, động viên và dìu dắt tôi trong
suốt quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện luận án.
Tôi xin chân thành cám ơn quý thầy cô đã tận tâm giảng dạy cho tôi
nhiều kiến thức quý báu trong suốt quá trình tôi học cao học.
Tôi xin chân thành cám ơn quý thầy cô, các anh chị làm công tác
quản lý ở phòng sau đại học đã tận tình giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi

cho tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện luận án.
Tác giả luận án


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết phương trình toán tử trong không gian có thứ tự ra đời từ những
năm 1950 và được hoàn thiện cho tới nay. Chúng tìm được những ứng dụng hữu ích
trong việc giải quyết các bài toán xuất phát từ vật lý, sinh học, kinh tế,…Trong lý
thuyết này, lớp phương trình chứa tham số chiếm một vị trí quan trọng vì phần lớn
những bài toán xuất phát từ thực tế đều phụ thuộc vào một hoặc nhiều tham số và
đưa đến việc cần thiết phải nghiên cứu tính liên tục của tập nghiệm, sự phụ thuộc
của nghiệm theo tham số… Đó là lý do tôi chọn đề tài “ phương trình chứa tham số
trong không gian có thứ tự”.

2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận văn là trình bày một cách hệ thống một số kết quả về
phương trình chứa tham số trong không gian Banach có thứ tự.

3. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là phương trình chứa tham số trong không gian Banach
có thứ tự.
Phạm vi nghiên cứu: luận văn trình bày một số kết quả về phương trình chứa
tham số trong không gian Banach có thứ tự; Nội dung chính là các kết quả về tính
liên tục của tập nghiệm, sự phụ thuộc của nghiệm theo tham số.

4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu
Lý thuyết phương trình trong không gian Banach có thứ tự được ứng dụng
trong việc nghiên cứu các lớp phương trình khác như phương trình vi phân , phương
trình tích phân…

Lớp phương trình chứa tham số trong không gian Banach có thứ tự được ứng
dụng vào việc giải quyết các bài toán xuất phát từ vật lý, sinh học, kinh tế…

5. Cấu trúc của luận văn
Luận văn bao gồm phần mở đầu, kết luận và ba chương.


Phần mở đầu nêu lý do chọn đề tài, mục đích nghiên cứu, đối tượng nghiên
cứu và phạm vi nghiên cứu, ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu
đồng thời nêu bố cục của luận văn.
Chương 1: trình bày các kiến thức chuẩn bị như không gian Banach với thứ
tự sinh bởi nón; bậc tô pô của toán tử dương, hoàn toàn liên tục, định lí tồn tại điểm
bất động của ánh xạ tăng.
Chương 2: phương trình chứa tham số. Chương này trình bày một số kết quả
về phương trình tuyến tính chứa tham số; nhánh liên tục các nghiệm dương; sự phân
nhánh của tập hợp nghiệm dương; phương trình với toán tử u0  lõm.
Chương 3: một số ứng dụng. Chương này vận dụng các kết quả ở chương 2
để khảo sát nghiệm tuần hoàn của một lớp phương trình vi phân ô tô nôm cấp hai và
nghiệm yếu dương của phương trình logistic.


Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón
Các kiến thức trong mục này có thể xem trong [3]
1.1.1. Định nghĩa 1.1.1
Cho không gian Banach thực X
 Tập K  X được gọi là nón nếu:
i) K là tập đóng, K   

ii) K  K  K ,  K  K

  0 .

iii) K  ( K )    .
 Nếu K  X là nón thì thứ tự trong X sinh bởi nón K được định nghĩa như
sau:

x  y  y  xK .
mỗi x  K \   gọi là dương.


Đặt K : K \   :  x  X : x   

1.1.2. Mệnh đề 1.1.2
Giả sử “  ” là thứ tự sinh bởi nón. Khi đó:
1) x  y  x  z  y  z ,  x   y z  X ,   0 .
2) ( xn  yn (n  N * )),lim xn  x,lim yn  y )  x  y .
3) Nếu  xn  là dãy tăng, hội tụ về x thì xn  x n  N * .
1.1.3. Định nghĩa 1.1.3
Cho X là không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón K. Khi đó ta nói:


K là nón chuẩn nếu N  0 :   x  y  x  N y



K là nón chính qui nếu mọi dãy tăng, bị chặn trên đều hội tụ.



K là nón hoàn toàn chính qui nếu mọi dãy tăng, bị chặn theo chuẩn đều

hội tụ.




K là nón sinh nếu X  K  K hay x  X u , v  K : x  u  v .



Kí hiệu K * là nón liên hợp của K định bởi:

K *   f  X * : f ( x)  0 x  K .
1.1.4. Mệnh đề 1.1.4
Giả sử "  " là thứ tự sinh bởi nón chuẩn. Khi đó:
1. Nếu u  v thì đoạn  u , v :  x  X : u  x  v bị chặn theo chuẩn.
2. Nếu xn  yn  zn (n  N * ) và lim xn  a,lim zn  a thì lim yn  a .
3. Nếu dãy  xn  đơn điệu, có dãy con hội tụ về a thì lim xn  a .
1.1.5. Mệnh đề 1.1.5
Nón chính qui là nón chuẩn.
1.1.6. Mệnh đề 1.1.6
Nếu K là nón sinh thì tồn tại số M  0 sao cho

x  X , u , v  K : x  u  v, u  M x , v  M x
1.1.7. Mệnh đề 1.1.7
Cho X là không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón K , K * là nón liên hợp
của K. Khi đó:

x0  K  f ( x0 )  0 f  K * .
1.2. Bậc tô pô của toán tử dương, hoàn toàn liên tục.
Các kiến thức trong mục này có thể xem trong [3]
1.2.1. Định nghĩa 1.2.1
Cho X là không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón K. Giả sử G  X là tập
mở, bị chặn, A : K  G  K là ánh xạ compact sao cho

Ax  x, x  K  G .
A : X  X là ánh xạ compact sao cho
Gọi 


 
A( x)  A( x), x  K  G
(*) 
A( x)  K
 
Khi đó x  
A( x)   , x G nên bậc tô pô deg( 
A, G, ) xác định. Ta định nghĩa

iK ( A, G ) : deg( 
A, G, )
và gọi iK ( A, G ) là bậc tô pô theo nón K của ánh xạ A trên tập mở G.
Kiểm tra định nghĩa trên có lí. Thật vậy, giả sử 
A là một mở rộng khác của A

A( x)  (1  t ) 
A( x) , ta có:
thỏa (*). Xét ánh xạ F ( x, t )  t 

F ( x, t )  x, ( x, t )  G   0,1
F ( x,0)  
A( x), F ( x,1)  
A( x)
deg( 
A, G, )  deg( 
A, G, ) .

Suy ra
1.2.2. Mệnh đề 1.2.2

1. Giả sử A0 , A1 là compact và đồng luân dương trên K  G theo nghĩa tồn tại
ánh xạ compact

F : ( K  G )   0,1  K
sao cho

F ( x, t )  x, F ( x,0)  A0 ( x), F ( x,1)  A1 ( x)

thế thì

iK ( A0 , G )  iK ( A1 , G ) .

2. Giả sử G , G1 , G2 là các tập mở, bị chặn, G1  G2  , Gi  G (i  1,2)
và

A : K  G  K là ánh xạ compact thỏa mãn





A( x)  x, x  K  G \ (G1  G2 ) .
Khi đó

iK ( A, G )  iK ( A, G1 )  iK ( A, G2 ) .
3. Nếu A : K  G  K com pắc và iK ( A, G )  0 thì A có điểm bất động trong

K G.


1.2.3. Định lí 1.2.3
Giả sử G là tập mở, bị chặn, chứa  .
Cho A : K  G  K là ánh xạ compact. Khi đó

iK ( A, G )  1 nếu

1.

( H1 ) A( x)   x, x  K  G,   1
iK ( A, G )  0 nếu

2.

( H 2 ) tồn tại phần tử x0  K \   sao cho :
x  A( x)   x0 , x  K  G,   0
1.2.4. Hệ quả 1.2.4
Giả sử G là tập mở, bị chặn, chứa  . B : X  X là ánh xạ tuyến tính
compact, dương và không có véc tơ riêng trong K với giá trị riêng bằng 1. Khi đó:
1.

iK ( B, G )  1 nếu B không có vec tơ riêng trong K với giá trị riêng   1 .

2.

iK ( B, G )  0 nếu B có véc tơ riêng trong K với giá trị riêng   1 .

1.2.5. Định lí 1.2.5
1. Giả sử A : K r  K compact, A( )   , có đạo hàm theo nón K tại  là A'
và A' không có trong K vec tơ riêng với giá trị riêng bằng 1. Khi đó

iK ( A, B( ,  ))  iK ( A' , B ( ,  )) với   0 đủ nhỏ.
2. Giả sử A : K \ K r  K compact , có đạo hàm theo nón K tại  là A' và A'
không có trong K vec tơ riêng với giá trị riêng bằng 1. Khi đó

iK ( A, B( ,  ))  iK ( A' , B ( ,  )) với   0 đủ lớn.
1.3. Ước lượng bán kính phổ của toán tử tích phân tuyến tính
Giả sử G :[0,1]  [0,1]   là hàm Green cho bài toán biên :

 x ''  y trong (0,1)
x(0)  x(1)  0 ,
tức là:


t (1  s ),0  t  s  1,
G (t , s )  
 s (1  t ),0  s  t  1
Giả sử a :[0,1]  [0, ) là một hàm liên tục không đồng nhất bằng 0 trên mọi
đoạn [ ,  ]  [0,1] và a :[0,1]  [0, ) là hàm sao cho a (t )  a (t ) trên

( ,1   ) , a (t )  0 trên [0,  ]  [1   ,1] . Xét các toán tử tích phân tuyến tính
1

Bx(t )   G (t , s )a ( s )x( s )ds ,
0

1

B x(t )   G (t , s )a ( s )x( s )ds
0

Ta có B, B là hoàn toàn liên tục từ C[0,1] vào C[0,1]
Ta ký hiệu r ( B), r ( B ) là bán kính phổ của B và B
Định lí 1.3 [2]
Ký hiệu K là nón các hàm không âm của C[0,1]. Ta có :
i) lim r ( B )  r ( B ) .
 0

ii) r(B) là một giá trị riêng của B với một hàm riêng thuộc K.
iii) Nếu  x  B x với một x  K \ { } thì   r ( B )
Nếu B x   x với một x  K \ { } thì r ( B )   .
Các khẳng định tương tự cũng đúng cho toán tử B, với các bất đẳng thức
nghiêm ngặt trong kết luận nếu x không là véc tơ riêng của B.
1.4. Định lí về điểm bất động của ánh xạ tăng.
Mục này có thể xem trong [8]
1.4.1. Định lí 1.4.1
Giả sử X là không gian Banach được sắp bởi nón K, M  X là tập đóng và

F : M  X là ánh xạ tăng, thỏa mãn:
i) F ( M )  M , x0  M : x0  F ( x0 ) .

ii) F biến mỗi dãy tăng thuộc M thành dãy hội tụ.
Khi đó F có điểm bất động trong M.


1.4.2. Hệ quả 1.4.2
Giả sử F : u , v  X là ánh xạ tăng, thỏa mãn:
i) u  F (u ); F (v)  v
ii) F ( u , v ) là tập compact tương đối, K là nón chuẩn.
Khi đó F có điểm bất động trong  u , v  .
1.4.3. Hệ quả 1.4.3
Giả sử F : u , v  X là ánh xạ tăng, thỏa mãn:
i) u  F (u ); F (v)  v
ii) K là nón chính qui.
Khi đó F có điểm bất động trong  u , v  .


Chương 2

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ
2.1. Phương trình tuyến tính chứa tham số
2.1.1. Định nghĩa 2.1.1
Cho không gian Banach X có thứ tự sinh bởi nón K .
Một ánh xạ tuyến tính A : X  X được gọi là dương nếu:

x    A( x)  
Hay

A( K )  K .

Nếu A là tuyến tính, dương thì nó cũng có tính đơn điệu:

x  y  A( x)  A( y ) .
2.1.2. Bổ đề 2.1.2
Cho u0   K và x  K . Khi đó tồn tại số cực đại t x  0 sao cho:

x  t xu0 .
( Cực đại theo nghĩa nếu t cũng thỏa x  tu0 thì t  t x ).
Chứng minh:
Đặt T  t  0 : x  tu0  . Ta có T   , bị chặn trên.
Số t x : sup T là số cần tìm.
2.1.3. Định lí 2.1.3
Giả sử
i) A : X  X là ánh xạ tuyến tính, dương, hoàn toàn liên tục.
ii) Tồn tại phần tử u  K  K , u   K và số   0 , p  * thỏa mãn:

A p (u )   u .
Ki đó A có trong K vec tơ riêng với giá trị riêng tương ứng lớn hơn hoặc bằng
p

.

Chứng minh
Giả sử u  v  w , v, w  K , v   .
Do định lí điểm bất động Schauder, với mỗi n  * , ánh xạ


v
v

có điểm bất động trong tập

x   A( x)   / A( x) 
n
n

K  B ( ,1) .
Do đó

xn  K , xn  1, n  A( xn ) 

v
:
n

v
 n xn
n

A( xn ) 

(2.1)

Ta sẽ chứng minh n   .
p

Gọi tn là số cực đại thỏa mãn

xn  tnu
tn  0 (do xn 

Ta có :

xn 

1

n

 tn 

A( xn )  xn 
tn



p
n

1

1
u)
nn

A p ( xn )  xn 

np

1

np

A p (tnu ) 

tn

np

u

(do tính cực đại của tn )  n   .
p





Do A hoàn toàn liên tục nên tồn tại dãy nk  sao cho A( xnk )

y  K . Suy ra:

  hội tụ về một 
nk

0

  (do n  A( xn ) 
p

 x0  lim xnk , x0  K , x0  1 .
Qua giới hạn trong (2.1) ( với n  nk ) ta có :

A( x0 )  0 x0 .
Định lí đã được chứng minh.

v
)
n

k

hội tụ về một


2.1.4. Định nghĩa 2.1.4
Cho A : X  X là ánh xạ tuyến tính, dương và phần tử u0  K \   .
1) A gọi là u0 - bị chặn dưới ( u0 - bị chặn trên) nếu với mỗi x  K \   tồn tại
số    ( x)  0 , n  n( x)  * sao cho:

A n ( x )   u0

( A n ( x )   u0 ) .

2) A gọi là u0 - bị chặn hay u0 - dương nếu nó là u0 - bị chặn dưới và bị chặn
trên.
2.1.5. Bổ đề 2.1.5
Cho A là ánh xạ u0 - bị chặn trên và phần tử x  K  K , x   K thỏa:

  0 : A( x)   x .
Gọi t0 là số cực đại thỏa mãn u0  t0 x thì t0  0 .
Chứng minh

 x  x ' x ", x ', x "  K , x '  

Ta có : 

*
p
  0, p   : A ( x ')   u0

p
  u0  A ( x ')  A ( x)   x  t0 
0

p

p

p

Bổ đề đã được chứng minh.
2.1.6. Bổ đề 2.1.6
Nếu A là u0 - dương và có vec tơ riêng dương x0 thì A cũng là x0 - dương.
Chứng minh
Ta có : a '  0, p  * : a ' u0  A p ( x0 )  0p x0
Nên a  0 : u0  ax0 .
Tương tự, b  0 : u0  bx0 .
Với x  K \   , ta có   0, n  * sao cho:

An ( x)   u0

An ( x)   bx0

nên

Vậy A là x0 - bị chặn trên.
Tương tự A là x0 - bị chặn dưới.
Vậy A là x0 - bị chặn.
2.1.7. Định lí 2.1.7 ( Krein – Rutman)
Giả sử:
i) K là nón sinh.
ii) A là ánh xạ u0 - dương, liên tục và có vec tơ riêng dương x0 tương ứng với
giá trị riêng 0 .
Khi đó:
1) 0 là giá trị riêng đơn ( bội 1) của A.
2) x0 là vec tơ riêng dương duy nhất của A.
3) Mọi giá trị riêng khác của A đều có mô đun nhỏ hơn 0 .
Chứng minh 1)
Nhắc lại: Giả sử 0 là giá trị riêng của A.
Đặt X n  ker( A  0 I ) n thì ta có X 1  X 2  ...
Đặt X 0 



X

n

thì số chiều của không gian con X 0 gọi là bội của 0

n 1

Nếu A compact thì dim X n   n , và tồn tại n0 sao cho

X 1  ...  X n0 1  X n0  X n0 1  ... nên bội của 0 hữu hạn.


Chứng minh dim X 1 =1.
Giả sử trái lại y0  x0 : Ay0  0 y0 .

Coi y0   K và gọi t0 là số cực đại thỏa mãn x0  t0 y0 thì t0  0 ( bổ đề
2.1.5).
Theo giả thiết phản chứng thì x0  t0 y0  K \   nên do tính u0 - dương của
A:


  0 n  * : An ( x0  t0 y0 )   x0 .
1

Do đó


 
x0  1  n  t0 y0
 0 

Điều này mâu thuẩn với tính cực đại của t0 .


Chứng minh X 2  X 1 ( do đó X n  X 1 n )

Giả sử trái lại x   : ( A  0 I ) 2 x   ,( A  0 I ) x   .
Vì

Ax  0 x  X 1 nên theo bước trên
t  0 : Ax  0 x  tx0

(2.2)

Có thể coi t  0 ( nếu không ta xét  x thay cho x). Ta chứng minh x   K .
Thật vậy, từ (2.2) ta có

Am ( x)  0m x  mt0m1 x0

m  * .

Nếu  x  K thì ta có :

0m x  mt 0m1 x0  

0
mt

x  x0 m  *  x0   .

Điều này vô lý. Vậy x   K .
Đặt t0 là số lớn nhất thỏa x0  t0 x thì t0  0 ( do bổ đề 2.1.5)
Khi đó

A( x0 )  t0 A( x)

 x0 

0

0  t0

.t0 x ( do 2.2)

Điều này mâu thuẩn với tính cực đại của t0 .
Vậy 1) đã được chứng minh.
Chứng minh 2) Giả sử trái lại:

x1  K \   : x1  x0 , A( x1 )  1 x1 .
Do tính chất 1) ta có 1  0 . Coi 1  0 ( vai trò 1 , 0 là như nhau).
Gọi t0 là số cực đại thỏa x0  t0 x1 thì t0  0 ( bổ đề 2.1.5). ta có:

A( x0 )  t0 A( x1 ) .


 x0 

1
tx.
0 0 1

Điều này mâu thuẩn với tính cực đại của t0 .
Vậy 2) đã được chứng minh.
Để chứng minh 3) ta xét bổ đề sau:
2.1.8. Bổ đề 2.1.8
Giả sử các giả thiết của định lí Krein – Rutman được thỏa mãn và A có không

gian con bất biến X 0 ( nghĩa là A( X 0 )  X 0 ) với dim X 0  , x0  X 0 . Khi đó

X 0  K    .
Chứng minh bổ đề 2.1.8
Giả sử trái lại K 0  X 0  K    .
Ta có K 0 là nón, x0  K 0 , A( K 0 )  K 0 .
Ánh xạ A xét trên X 0 với nón K 0 thỏa điều kiện i) của định lí 2.1.3 ( A
compact trên X 0 vì dim X 0   ). Thật vậy,
Lấy y0  K \   thì tồn tại   0, q  * : A p ( y0 )   x0 .
Đặt y1  A p ( y0 ) thì có   0, q  * : Aq ( y1 )   x0 .
Do đó Aq ( y1 ) 


y hay A thỏa điều kiện i) của định lí 2.1.3
 1

Vậy A có trong K 0 vec tơ riêng, mâu thuẫn với tính chất 2).
Vậy bổ đề đã được chứng minh.
Chứng minh 3)
Giả sử 1 là giá trị riêng của A và 1  0 .
Trường hợp 1: 1  , 1  0, Ax1  1 x1 .
Ta có x1  K ( do tính chất 2). Do  x1  ( K ) và A( x1 )  1 ( x1 ) .
nên theo bổ đề 2.1.5 tồn tại số t0  0 cực đại thỏa x0  t0 ( x1 ) .


A( x0 )  t0 A( x1 )  x0 

Khi đó :

1

t ( x ) .
0 0 1

Do đó 1  0 theo tính cực đại của t0 .
Trường hợp 2: 1  , 1  0 .

12 là giá trị riêng của A2 , A2 là u0 - dương, 02 là giá trị

Ta có:

riêng của A2 tương ứng với vec tơ riêng x0  K .

12  02 ( do trường hợp 1) hay 1  0 .

Do đó

Trường hợp 3: 1    i (  0) .

x, y  X : A( x  iy )  (  i )( x  iy )

Khi đó

 Ax   x   y
.

Ay

x

y





hay

Ta cần chứng minh
Từ

(2.3)

và

(2.3)

 2   2  0 .

  0 , ta suy ra x, y độc lập tuyến tính và
x0  X 0 : x, y , X 0 bất biến đối với A..

Do đó, theo bổ đề 2.1.8:

ax  by  K (a, b)  (0,0)
Đặt

(2.4)

T  (a, b)   2 : ax  by  x0  K  .

T đóng, bị chặn ( do 2.4 và K đóng ) nên là tập compact. Do đó

(a0 , b0 )  T : a02  b02  sup a 2  b 2 : (a, b)  T  .
Vì A là x0 - dương nên có c  0, p  * sao cho

A p (a0 x  b0 y  x0 )  cx0
Có thể coi

c  0p . Từ (2.5) ta có
a1 x  b1 y  (0p  c) x0  

trong đó

(2.5)

a1 x  b1 y  A p (a0 x  b0 y ) .

(2.6)


Ta tìm được rằng:

a12  b12  ( 2   2 ) p (a02  b02 ) (do 2.3)
Từ (2.6) ta có:

 a1
b1 
,
 p
 T
p



c
c


0
0



a12  b12
 p
 a02  b02
2
(0  c)
 ( 2   2 ) p  (0p  c) 2

( nếu (a0 , b0 )  (0,0) ).

  2   2  0 .
Ta kiểm tra (a0 , b0 )  (0,0) hay T chứa các điểm (a, b)  (0,0) .
Ta có

 x  x ' x ", x ', x "  K , x"  

*
p
c  0, p   : A ( x ")  cx0
 A p ( x)   A p ( x ")  cx0 .



Phân tích

1 p
A ( x)  x0   .
c

1 p
A ( x)  ax  by thì (a, b)  T ,(a, b)  (0,0) .
c

Định lí đã được chứng minh.
Bây giờ cho A : X  X là ánh xạ tuyến tính dương và   , y  X . Ta
muốn tìm nghiệm x  K của phương trình :

 x  A( x)  y
2.1.9. Định lí 2.1.9
Cho A là ánh xạ tuyến tính dương, liên tục, có bán kính phổ r ( A)  0 .
Khi đó nếu r  r ( A) và y  K thì (2.7) có duy nhất nghiệm trong K.
Chứng minh

(2.7)


Vì r  r ( A) nên tồn tại phần tử R ( y ) :





k 0

Ak ( y )

 k 1

và x thỏa (2.7) khi và chỉ

khi x  R ( y ) . Vì A dương và y  K nên R ( y )  K .
Định lí được chứng minh.
2.1.10. Định lí 2.1.10
Giả sử A là ánh xạ u0 - bị chặn dưới và tồn tại số 0  0 thỏa mãn:

Au0  0u0 .
Khi đó với x  K \   và   0 thì Ax x ( tức là  x  Ax  K ).
Nói cách khác:
1) Nếu   0 và y  K thì (2.7) không có nghiệm trong K \   .
2) Nếu x  K \   thỏa Ax   x thì   0 .
Chứng minh
Giả sử trái lại:

x  K \   ,   0 : A( x)   x .
Gọi t0 là số cực đại mà x  t0u0 thì t0  0 vì   0, p  * : A p x   u0 .
Ta có:

Ax  t0 Au0   x  t00u0
x

hay

0
t u . Điều này mâu thuẩn với tính cực đại của t0 .
 0 0

Vậy định lí đã được chứng minh.
2.1.11 Định lí 2.1.11
Giả sử A là ánh xạ u0 - bị chặn trên và tồn tại số 0  0 thỏa mãn:

Au0  0u0 .
Khi đó với x  K \   và   0 thì Ax   x . Như vậy:
1) Nếu   0 và y   K thì (2.7) không có nghiệm trong K \   .
2) Nếu x  K \   ,    thỏa Ax   x thì   0 .


2.1.12. Định lí 2.1.12
Giả sử A là ánh xạ

u0 - dương và

A(u0 )  0u0 . Khi đó với

x  K \   , x  tu0 thì 0 x  A( x), 0 x  A( x) .
Chứng minh
Chứng minh 0 x  A( x)
Giả sử trái lại Ax  0 x, x  K \   , x  tu0 .
Gọi t0  0 là số cực đại thỏa x  t0u0 . Ta có:

  0 p  * : A p ( x  t0u0 )   u0
 A p ( x)  (t00p   )u0
 0p x  (t00p   )u0

( do Ax  0 x ).

Điều này mâu thuẩn với tính cực đại của t0 .
Vậy ta có 0 x  A( x)
Chứng minh 0 x  A( x ) .
Giả sử trái lại 0 x  Ax, x  K \   , x  tu0 .
Gọi t0  0 là số cực đại thỏa u0  t0 x . Ta có:

  0 p  * : A p (u0  t0 x)   u0
 (0p   )u0  t0 A p ( x)  t00p x .
Điều này mâu thuẩn với tính cực đại của t0 .
Vậy ta có 0 x  A( x) .
Vậy định lí đã được chứng minh.
2.2. Nhánh liên tục các nghiệm dương
Cho X là không gian Banach thực với thứ tự sinh bởi nón K và ánh xạ

f :  0,    K  K hoàn toàn liên tục. Xét bài toán tìm cặp ( , x)  [0, )  K
sao cho:


x  f ( , x )
Ta kí hiệu

(2.8)

  ( , x)  [0, )  K : x  f ( , x) là tập nghiệm của

(2.8)

S   x  K :   [0, ),( , x)  

và đặt

(2.9)

2.2.1. Định nghĩa 2.2.1
Ta nói rằng S là nhánh liên tục không bị chặn xuất phát từ  nếu S  G  
với mọi tập con mở bị chặn G chứa  .
Trước tiên ta xét phương trình (2.8) với f có một ánh xạ non đơn điệu.
Ta nói rằng toán tử g : K  K là một ánh xạ non đơn điệu của toán tử

f ( , x) nếu f ( , x)  g ( x) trên [0, )  K và g tăng theo nghĩa

  x  y  g ( x)  g ( y ) .
2.2.2. Định lí 2.2.2
Giả sử toán tử f :  0,    K  K là hoàn toàn liên tục và thỏa mãn:
1. tx  f (0, x), x  K \   kéo theo t  1 .
2. K là nón chuẩn, toán tử f có ánh xạ non đơn điệu g thỏa mãn:
tồn tại a  0, b  0 và u  K \   sao cho
(a) g (tu )  atu với mọi t   0, b  .
(b) lim g (tu )   .
t 

Khi đó tập nghiệm S là nhánh liên tục không bị chặn, xuất phát từ  .
Chứng minh
Cho G là lân cận mở, bị chặn của  và đặt

f n ( , x )  f ( , x ) 

u
n

.

Dễ thấy với mỗi số tự nhiên n, toán tử f n (0,.) thỏa điều kiện (H1) của định
lí1.2.4 và toán tử f n ( ,.) thỏa điều kiện (H2) của định lí 1.2.4 nếu  đủ lớn. Vậy
có xn  K  G, n  0 thỏa


xn  f (n , xn ) 

nu
n

.

Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của (2.8) trên K  G chúng ta cần chỉ ra
rằng dãy n  bị chặn.
Lấy tn là số lớn nhất thỏa mãn xn  tnu thì tn  0 và từ g là ánh xạ tăng nên ta
có:

xn  g (n xn )  g (ntnu )

(2.10)

với số nguyên n thỏa mãn ntn  b , từ điều kiện 2(a) và (2.10) ta có

xn  antnu .
Do định nghĩa tn ta được

antn  tn ,
Vậy

1
a

n  .

Với mỗi n thỏa ntn  b , từ điều kiện 2(a) và (2.10) ta có

xn  g (bu )  abu .
Từ bất đẳng thức này và kết hợp với bất đẳng thức thứ nhất trong (2.10) cho ta

xn  g (n abu ) .
Do đó các số n với n như trên bị chặn đều do K là nón chuẩn, tính bị chặn
của  xn  và điều kiện 2(b).
Định lí đã được chứng minh.
Bây giờ chúng ta xem xét trường hợp toán tử f trong (2.8) thuộc loại
Hammerstein.
Cho không gian Banach ( X , . ),(Y , . Y ) và nón K  X , KY  Y thỏa

X  Y , K  X  KY và phép nhúng ( X , . )  (Y , . Y ) là liên tục. Giả sử
f ( , x)  A  F ( , x) , trong đó toán tử F :[0, )  K  KY là liên tục và biến


mỗi tập bị chặn thành một tập bị chặn và toán tử A : Y  X tuyến tính
compact thỏa A( KY )  K .
2.2.3. Định lí 2.2.3
Giả sử các giả thiết sau được thỏa mãn:

1. tx  A  F (0, x), x  K \    t  1 .
2. Tồn tại các số dương a, b, c và hàm tuyến tính L : Y   không âm và
không đồng nhất không trên K thỏa
(a) L( Ax)  aL( x), L( ax)  a Ax

Y

với x  KY ,

(b) L( F ( , x))  b L( x)  c với x  K ,
(c) Mỗi nghiệm (t ,  , x)  [0,1]  [0, )  K của phương trình

x  tA  F ( , x)  (1  t )b A( x)

(2.11)

thỏa mãn bất đẳng thức sau: x  h( , x Y )

(2.12)

trong đó hàm h(x,t) tăng theo biến thứ hai và lim h( ,
 

c
ab  1

)0

(2.13)

thì tập nghiệm S liên tục không bị chặn trong X, xuất phát từ  .
Chứng minh
Lấy G là một lân cận mở, bị chặn của  . Trong chứng minh sau đây, số 
được giả định là đủ lớn, viết lại (2.11) dưới dạng :

x  A[tF ( , x)  (1  t )b x]
và tác động L lên cả hai vế của đẳng thức đó, kết hợp với 2(a), 2(b) ta được:

L( x)  aL  tF ( , x)  (1  t )b x   a (b L( x)  c)

(2.14)

L( x)  a A[tF ( , x)  (1  t )b x

(2.15)

Y

a x

Y

Từ (2.14) và (2.15) suy ra:

xY

c
ab  1

Từ đây kết hợp với (2.12) ta có :

(2.16)


x  h ( ,

c
ab  1

)

Từ bất đẳng thức cuối và (2.13) và inf  x : x  K  G  0 suy ra rằng phương
trình (2.11) không có nghiệm trên K  G với t  [0,1] và  đủ lớn. Do đó ánh xạ
compact i  A  F ( ,.) và i  b A là đồng luân dương trên K  G nếu  đủ lớn.
Bây giờ chúng ta sẻ chứng minh rằng nếu  lớn và u  K được chọn sao cho

L(u )  0 . Khi đó:
x  b Ax  su , x  K  G
suy ra:

(2.17)

s  0.

Thật vậy, từ (2.11) không có nghiệm trên K  G với t  0 thì từ (2.17) dẫn đến: s  0 .
Bằng cách tác động L lên cả hai vế của (2.17) và và lý luận như trong (2.14)
ta thu được:

(1  ab) L( x)  sL(u ) ,
do đó:

s0

Từ đó chúng ta có theo định lí 1.2.4:

iK  A  F (0,.), G   1
iK  A  F ( ,.), G   iK  b A, G   0

với  lớn.

Do vậy, x  A  F ( , x) với một số x  K  G và   0 .
Định lí được chứng minh.
2.2.4. Mệnh đề 2.2.4
Cho f :  0,    K  K là một toán tử hoàn toàn liên tục và G là một lân cận
mở, bị chặn của  . Giả sử tồn tại các số 1 , 2  [0, ) và phần tử x0  K \  
sao cho
i)  x  f (1 , x) với x  K  G và   1 .
ii) x   x0  f (2 , x) với x  K  G và   0 .
Khi đó S  G   .


2.2.5. Định lí 2.2.5
Giả sử ánh xạ f :    K  K là hoàn toàn liên tục và tồn tại ánh xạ tăng

G : K  K , hàm  :      sao cho
f ( , x)  G  ( ) x  , ( , x)     K .
Hơn nữa, giả sử tồn tại phần tử u0  K \   và các số dương a,b sao cho
i) G (tu0 )  atu0 t  [0, b] ,
ii) lim  ( )   , lim G (tu0 ) 0   ,
 

t 

trong đó . 0 là chuẩn trên X thỏa mãn các điều kiện sau:

x 0  x x  X ;  x  y  x 0  y 0 .
Khi đó tập nghiệm S của (2.8) là nhánh liên tục, không bị chặn, xuất phát từ

.
2.2.6. Định lí 2.2.6
Giả sử f :[0, )  K  K là ánh xạ hoàn toàn liên tục thỏa mãn các điều
kiện sau:
1) Tập nghiệm S của (2.8) là nhánh liên tục không bị chặn xuất phát từ  .
2) Với mỗi x  S tồn tại duy nhất    ( x)  [0, ) để ( , x) thỏa (2.8).
3) Với mỗi đoạn [r , R]  (0, ) tồn tại đoạn [ ,  ]  (0, )

sao cho

x  S , x  [r , R ]   ( x)  [ ,  ]
4)a) lim sup  ( x)  0   lim inf  ( x ) hoặc
x 0

x 

b) lim sup  ( x)    0  lim inf  ( x)
x 

x 0

Khi đó với mọi   (0 ,  ) (hoặc   ( , 0 ) ) thì phương trình (2.8) có nghiệm

x  K \   .
Chứng minh
Ta chứng minh định lí cho trường hợp a), trường hợp b) chứng minh hoàn toàn
tương tự.