CÁC MD5-ĐẠI SỐ VỚI IDEAL DẪN XUẤT GIAO HOÁN 4 CHIỀU VÀ CÁC PHÂN LÁ TẠO BỞI CÁC K-QUỸ ĐẠO CHIỀU CỰC ĐẠI CỦA CÁC MD5-NHÓM LIÊN THÔNG TƯƠNG ỨNG

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
--------------------------------

Dương Quang Hoà

CÁC MD5-ĐẠI SỐ VỚI IDEAL DẪN XUẤT
GIAO HOÁN 4 CHIỀU VÀ CÁC PHÂN LÁ TẠO BỞI
CÁC K-QUỸ ĐẠO CHIỀU CỰC ĐẠI
CỦA CÁC MD5-NHÓM LIÊN THÔNG TƯƠNG ỨNG

Chuyên ngành: Hình học và Tôpô
Mã số: 60 46 10
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. LÊ ANH VŨ

Thành phố Hồ Chí Minh – 2007


2

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng cá nhân tôi
dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Lê Anh Vũ. Những kết quả trong luận văn
này mà không được trích dẫn là những kết quả tôi đã nghiên cứu được.
Tác giả

3

MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa ...................................................................................................... 1
Lời cam đoan ....................................................................................................... 2
Mục lục ................................................................................................................ 3
Danh mục các ký hiệu ......................................................................................... 4
MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 5
Chương 1 – LỚP CÁC MD-NHÓM VÀ MD-ĐẠI SỐ
1.1. Nhắc lại khái niệm cơ bản về nhóm Lie..................................................... 10
1.2. Nhắc lại khái niệm cơ bản về đại số Lie .................................................... 11
1.3. Sự liên hệ giữa nhóm Lie và đại số Lie...................................................... 16
1.4. Biểu diễn phụ hợp và K-biểu diễn lớp MD-nhóm và MD-đại số .............. 19
Chương 2 – LỚP CON CÁC MD5-ĐẠI SỐ CÓ IDEAL DẪN XUẤT
GIAO HOÁN 4 CHIỀU VÀ BỨC TRANH HÌNH HỌC
CÁC K-QUỸ ĐẠO CỦA CÁC MD5-NHÓM LIÊN
THÔNG ĐƠN LIÊN TƯƠNG ỨNG
2.1.

Nhắc lại phương pháp mô tả các K-quỹ đạo ........................................... 22

2.2.

Lớp con các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều................ 25

2.3.

Bức tranh hình học các K-quỹ đạo của các MD5-nhóm liên thông

đơn liên tương ứng với các MD5-đại số đã xét ....................................... 29

Chương 3 – KHÔNG GIAN PHÂN LÁ TẠO BỞI CÁC K-QUỸ ĐẠO
CHIỀU CỰC ĐẠI CỦA CÁC MD-NHÓM ĐÃ XÉT
3.1.

Phân lá – Phân lá đo được........................................................................ 36

3.2.

Các MD5-phân lá liên kết với các MD5-nhóm đã xét ............................ 41

KẾT LUẬN ....................................................................................................... 49
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................. 51


4

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU
Aut (V): nhóm các tự đẳng cấu trên không gian vectơ V.
Aut G : nhóm các tự đẳng cấu tuyến tính trên G.
B: tập hoành Borel.
: trường số phức.

C∞ (V ) : không gian các hàm khả vi vô hạn lần trên đa tạp V.
End(V) : không gian các đồng cấu trên không gian vectơ V.
exp : ánh xạ mũ exp.
G* : không gian đối ngẫu của đại số Lie G.
GL(n,R): nhóm tuyến tính tổng quát cấp n hệ số thực.

J ( F ) : ideal các dạng vi phân ngoài triệt tiêu trên F.
Lie(G) : đại số Lie của nhóm Lie G.
Mat(n; R) : tập hợp các ma trận vuông cấp n hệ số thực.
: trường số thực.
TeG là không gian tiếp xúc của G tạo điểm đơn vị e.

V / F : không gian lá của phân lá.
Ω F : quỹ đạo Kirillov qua F.

∧ : độ đo hoành (đối với phân lá).


5

MỞ ĐẦU

Một trong những bài toán cơ bản và quan trọng nhất của lý thuyết biểu
diễn chính là bài toán phân loại biểu diễn hay còn gọi là bài toán về đối ngẫu
unita. Tức là cho trước một nhóm G, hãy phân loại tất cả các biểu diễn unita
bất khả quy của G (sai khác một đẳng cấu).
Đối tượng quan trọng của lý thuyết biểu diễn chính là nhóm Lie và đại số
Lie. Vấn đề nghiên cứu và phân loại biểu diễn của nhóm Lie và đại số Lie là
một hướng nghiên cứu lớn trong Hình học – Tôpô và có rất nhiều ứng dụng
trong Vật lý, đặc biệt là vật lý lượng tử. Để giải quyết bài toán này, năm 1962,
A.A.Kirillov (xem [Ki]) đã phát minh ra phương pháp quỹ đạo để nghiên cứu
lý thuyết biểu diễn nhóm Lie, phương pháp này cho phép ta nhận được tất cả
các biểu diễn unita bất khả quy của mỗi nhóm Lie liên thông, đơn liên, giải
được từ các K-quỹ đạo nguyên của nó.
Đóng vai trò then chốt trong phương pháp quỹ đạo Kirillov chính là các
K-quỹ đạo của biểu diễn đối phụ hợp (hay còn gọi là K-biểu diễn). Do đó,

việc mô tả các K-quỹ đạo của mỗi nhóm Lie, nhất là các nhóm Lie liên thông
giải được, có ý nghĩa quan trọng trong lý thuyết biểu diễn nhóm Lie.
Các nhóm Lie và đại số Lie giải được có cấu trúc không quá phức tạp,
tuy nhiên việc phân loại chúng cho đến nay vẫn chưa được giải quyết triệt để.
Năm 1980, Đỗ Ngọc Diệp (xem [Di]) đã đề nghị xét một lớp con các nhóm
Lie và đại số Lie thực giải được đơn giản về phương diện phân tầng các Kquỹ đạo (tức là quỹ đạo Kirillov). Đó là lớp các MD-nhóm và MD-đại số.
Một nhóm Lie thực giải được mà các K-quỹ đạo của nó hoặc là 0-chiều hoặc
là có chiều cực đại được gọi là MD-nhóm. Khi số chiều cực đại bằng số chiều
của nhóm thì nhóm đó được gọi là MD -nhóm. Đại số Lie của một MD-nhóm
(tương ứng, MD -nhóm) được gọi là MD-đại số (tương ứng, MD -đại số).


6

Năm 1982, Hồ Hữu Việt (xem [So-Vi]) đã liệt kê và phân loại triệt để
lớp các MD -đại số. Lớp này chỉ bao gồm các đại số Lie giao hoán n-chiều
( n ≥ 1), đại số Lie 2-chiều aff

và đại số Lie 4-chiều aff

n

.

Về phương diện hình học, không gian các K-quỹ đạo của mỗi MD-nhóm
khá đơn giản. Theo số chiều, mỗi MD-nhóm chỉ gồm 2 tầng các K-quỹ đạo:
tầng các quỹ đạo 0-chiều và tầng các quỹ đạo chiều cực đại. Xét riêng tầng
các quỹ đạo chiều cực đại của một MD-nhóm liên thông thì ta thu được các
quỹ đạo là các đa tạp liên thông đôi một rời nhau cùng số chiều, điều này cho
ta liên tưởng đến một phân lá.

Các phân lá đầu tiên xuất hiện khi khảo sát các lời giải của hệ khả tích
các phương trình vi phân thường. Tuy nhiên, phải đến khi các công trình của
Reeb (xem [Re]) ra đời năm 1952 thì các phân lá mới thực sự trở thành đối
tượng nghiên cứu mang tính chất hình học và nhanh chóng phát triển thành
ngành tôpô phân lá – một ngành thuộc lĩnh vực Hình học – tôpô. Tôpô phân
lá tìm được nhiều ứng dụng trong Toán học, cũng như trong vật lý, cơ học.
Việc phân loại các MD-đại số đến nay vẫn là một bài toán mở. Để đơn
giản, ta phân nhỏ lớp các MD-nhóm và MD-đại số theo số chiều. Khi đó ta có
thể kí hiệu MDn-nhóm và MDn-đại số là các MD-nhóm và MD-đại số có số
chiều là n. Vì rằng tất cả các đại số Lie dưới 4-chiều đã được liệt kê hết từ lâu
nên ta chỉ xét các lớp MDn-nhóm và MDn-đại số với n ≥ 4 .
Năm 1984, Đào Văn Trà (xem [Tra]) đã liệt kê, nhưng chưa phân loại,
toàn bộ lớp các MD4-đại số. Năm 1990, trong các bài báo và luận án tiến sĩ
của mình, Lê Anh Vũ ((xem [Vu2], [Vu6], [Vu7]) đã phân loại triệt để (chính
xác đến đẳng cấu đại số Lie) các MD4-đại số này. Đồng thời, Lê Anh Vũ còn
chứng minh được rằng họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của tất cả các MD4nhóm liên thông bất khả phân đều tạo thành phân lá đo được theo nghĩa của


7

Connes. Hơn nữa, Lê Anh Vũ cũng đã phân loại tôpô các MD4-phân lá và
đặc trưng các C*- đại số tương ứng với các MD4-phân lá đó bằng phương
pháp KK-song hàm tử.
Như vậy, ta có thể coi lớp các MDn-nhóm và MDn-đại số đã được giải
quyết triệt để trong trường hợp n ≤ 4 . Do đó ta chỉ xét bài toán này trong
trường hợp n ≥ 5 . Cụ thể là hiện nay với n = 5 thì bài toán vẫn chưa được giải
quyết trọn vẹn.
Thật ra có rất nhiều các MD5-nhóm và MD5-đại số khả phân, nhưng
việc xét chúng được quy về xét các MDn-nhóm và MDn-đại số với n ≤ 4 .
Điều này được khẳng định và minh họa trong [Vu7]. Do đó ta chỉ xét các

MD5-đại số bất khả phân. Nếu không sợ lầm lẫn thì ta dùng thuật ngữ MDđại số thay cho MD-đại số bất khả phân.
Để đơn giản thì Lê Anh Vũ chỉ xét lớp con các MD5-đại số có ideal dẫn
xuất giao hoán k chiều (với k<5) và đã đạt được một số kết quả. Trong các
năm từ 2003 đến 2006, Lê Anh Vũ cùng các học trò của mình là Nguyễn
Công Trí (xem [Vu8] và [Vu-Tri]) và Dương Minh Thành (xem [Vu9] và
[Vu-Tha]) đã liệt kê và phân loại triệt để lớp con các MD5-đại số có ideal dẫn
xuất giao hoán không quá 3 chiều. Đồng thời các tác giả cũng chứng minh
được rằng, họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của các MD5-nhóm liên thông
tương ứng với các MD5-đại số đó đều tạo thành phân lá đo được theo nghĩa
của Connes và gọi đó là các MD5-phân lá. Cũng trong năm 2006, Lê Anh Vũ
(xem [Vu10] ở phụ lục 1) tiếp tục liệt kê và phân loại lớp con các MD5-đại số
bất khả phân có ideal dẫn xuất giao hoán 4-chiều. Dựa trên kết quả này,
chúng tôi tiếp tục nghiên cứu và đạt được những kết quả sau đây:
1) Mô tả bức tranh các K-quỹ đạo chiều cực đại của các MD5-nhóm liên
thông đơn liên tương ứng với các MD5-đại số đã liệt kê.


8

2) Phân loại và mô tả chi tiết tôpô trên các MD5-phân lá tương ứng.

Các kết quả thu được là nội dung chính của bản luận văn. Bởi thế, luận
văn này được mang tên “Các MD5-đại số với ideal dẫn xuất giao hoán 4chiều và các phân lá tạo bởi các K-quỹ đạo chiều cực đại của các MD5nhóm liên thông tương ứng”.

Nội dung của luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương nội dung và
phần kết luận. Cụ thể:
Phần mở đầu: Nêu xuất xứ của vấn đề và đặt bài toán nghiên cứu.
Chương 1: Giới thiệu các khái niệm cơ bản về nhóm Lie, đại số Lie, Kbiểu diễn của nhóm Lie và lớp các MD-nhóm, MD-đại số.
Phần này chỉ trình bày những kiến thức cần thiết liên quan
đến bài toán đang xét.

Chương 2 và Chương 3: Trình bày chi tiết các kết quả nghiên cứu với
đầy đủ những chứng minh chặt chẽ. Bao gồm việc mô tả chi
tiết bức tranh hình học các K-quỹ đạo của tất cả các MD5-đại
số có ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều đã được Lê Anh Vũ
liệt kê, đồng thời phân loại và mô tả chi tiết tôpô trên các
MD5-phân lá tương ứng.
Phần kết luận: Đưa ra những nhận xét và những vấn đề mở cần được tiếp
tục nghiên cứu.
Các ký hiệu được dùng trong bản luận văn này hoặc là các ký hiệu thông
dụng hoặc sẽ được giải thích khi dùng lần đầu (xem Danh mục các ký hiệu).
Để trích dẫn một kết quả, chúng tôi dùng cách trích dẫn quen thuộc. Chẳng
hạn, xem [So-Vi, Theorem 4] nghĩa là xem định lý 4 trong tài liệu [So-Vi].


9

Cũng cần nói thêm rằng, về cơ bản thì phương pháp nghiên cứu và cơ sở
lý thuyết cho những kết quả nghiên cứu trong luận văn đã được trình bày khá
đầy đủ trong các tài liệu trước như: đề tài cấp bộ “Về một lớp con các MD5đại số và phân lá tạo bởi các K-quỹ đạo chiều cực đại của các MD5-nhóm liên
thông tương ứng” của Lê Anh Vũ và luận văn thạc sĩ cùng tên của Dương
Minh Thành,… Tuy nhiên, để tiện cho việc theo dõi, chúng tôi xin trình bày
lại lần nữa.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS Lê
Anh Vũ, người thầy kính mến. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy
Lê Anh Vũ. Xin chân thành cám ơn các thầy trong Tổ Hình học, Khoa Toán –
Tin Trường Đại học Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh đã giúp đỡ tác giả nâng cao
trình độ chuyên môn và phương pháp làm việc hiệu quả trong quá trình học
cao học. Chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Khoa học Công nghệ và
Sau đại học Trường Đại học Sư Phạm Tp.Hồ Chí Minh, Ban giám hiệu
trường THPT Bán công Mỏ Cày cùng toàn thể quý đồng nghiệp, bạn bè, gia

đình đã động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn này.


10

Chương 1. LỚP CÁC MD-NHÓM VÀ MD-ĐẠI SỐ
Chương này chủ yếu đưa ra những cơ sở lý thuyết cho các kết quả
nghiên cứu ở các chương sau, trong đó giới thiệu đối tượng nghiên cứu là lớp
các MD-nhóm và lớp các MD-đại số mà chúng ta quan tâm. Trước hết, ta sẽ
nhắc lại các khái niệm và những tính chất cơ bản nhất về nhóm Lie và đại số
Lie (thực).
Nhiều mệnh đề được phát biểu nhưng không chứng minh. Độc giả nào
quan tâm đến các chứng mình hoặc muốn tìm hiểu sâu về các khái niệm xin
xem các tài liệu [Bo], [Ki], [Ha-Sch].
1.1.

Nhắc lại khái niệm cơ bản về nhóm Lie

1.1.1. Định nghĩa

Tập hợp G được gọi là l nhóm Lie (thực) nếu các điều kiện sau thỏa mãn:
(i)

G là một nhóm.

(ii)

G là đa tạp thực khả vi.

(iii)

Phép toán nhóm G x G → G , (x,y)

xy −1 khả vi.

Ta không cần chú ý đến lớp khả vi của đa tạp G, vì rằng theo định lý
Gleason-Montgomery-Zippin, trên mọi nhóm Lie lớp C 0 (tức là đa tạp tôpô)
có thể đưa vào cấu trúc đa tạp lớp C ∞ tương thích với cấu trúc nhóm.
Nhóm Lie G được gọi là giao hoán nếu phép toán nhóm giao hoán.
Chiều của nhóm Lie G chính là chiều của đa tạp khả vi G.

Vì nhóm Lie vừa có cấu trúc nhóm, vừa là đa tạp khả vi nên ta có thể đưa
nhiều công cụ của đại số, giải tích, tôpô, hình học vi phân,... để nghiên cứu
cấu trúc của nhóm Lie.


11

1.1.2. Các ví dụ
a. Đường thẳng thực

với phép toán (+) thông thường là một đại số Lie

giao hoán.
b. Đường tròn đơn vị S 1 với phép toán (.) (có thể xem S 1 là tập hợp các

số phức có mođun bằng 1) là một nhóm Lie giao hoán.
c. Tập hợp GL(n, ) các ma trận vuông cấp n không suy biến với phép

toán nhân ma trận cũng là một nhóm Lie (không giao hoán khi n ≥ 2 ).

Đặc biệt, khi n = 1 thì GL(1, ) = * .
d. Nếu G1 , G2 là các nhóm Lie thì tích G1 × G2 cũng là một nhóm Lie.

Tương tự cho tích của nhiều nhóm Lie. Những trường hợp đặc biệt
thường gặp là các nhóm Lie với phép cộng

n

=

×

× ... ×

, xuyến n-

chiều T n = S 1 × S 1 × ... × S 1 .
e. Nhóm các phép biến đổi affine của đường thẳng thực

với tôpô tự

nhiên chính là một nhóm Lie. Nhóm này được ký hiệu là aff . Cụ thể
nhóm aff = {(a, b) / a ∈ *, b ∈ } .
1.2.

Nhắc lại khái niệm cơ bản về đại số Lie

1.2.1. Định nghĩa

Giả sử K là một trường đặc số khác 2. Một đại số Lie G trên trường K

hay K-đại số Lie là một không gian vectơ trên trường K được bổ sung một
phép toán, kí hiệu là [. , .] (được gọi là móc Lie) có tính chất song tuyến tính,
phản xứng và thoả mãn đồng nhất thức Jacobi:
[[x,y],z] + [[y,z],x] + [[z,x],y] = 0 , ∀x,y,z ∈ G.
Số chiều của đại số Lie G chính là số chiều của không gian vectơ G.


12

Cho G là một không gian hữu hạn chiều trên trường K. Giả sử số chiều
của G là n. Cấu trúc đại số Lie trên G có thể được cho bởi móc Lie của từng
cặp vectơ thuộc cơ sở {e1 , e2 ,..., en } đã chọn trước trên G như sau:
n

⎡⎣ei , e j ⎤⎦ = ∑ cijk , 1 ≤ ik =1

Các hệ số cijk , 1 ≤ iKhi trường K là trường số thực

thì G được gọi là đại số Lie thực.

Nội dung của luận văn chỉ đề cập và nghiên cứu các đại số Lie thực nên nếu
không sợ nhầm lẫn thì ta vẫn dùng thuật ngữ đại số Lie để chỉ đại số Lie thực.
1.2.2. Các ví dụ

a. Không gian

n

với móc Lie [ x, y ] ≡ 0 (tầm thường) hiển nhiên là một

đại số Lie. Đại số Lie mà móc Lie tầm thường thì được gọi là đại số Lie
giao hoán.
b. Không gian

3

với tích có hướng thông thường là một đại số Lie thực

3-chiều.
c. Cho

A là một đại số kết hợp trên trường K. Với mọi cặp ( x, y ) ∈ A , ta

định nghĩa [ x, y ] = xy − yx , khi đó

A trở thành một đại số Lie. Nói riêng

ta có đại số Lie Mat(n,K) các ma trận vuông cấp n trên K là một đại số
Lie với móc Lie [ A, B ] = AB − BA ;∀A, B ∈ Mat (n, K ) .
d. Đặc biệt, xét đại số các toán tử tuyến tính End(V) trên K-không gian
vectơ V. Khi đó, End(V) trở thành đại số Lie với móc Lie được xác
định như sau: [ A, B ] = A B − B A
e. Cho

A

là một đại số trên trường K. Toán tử tuyến tính ϕ : A → A

được gọi là toán tử vi phân trên A nếu:


13

ϕ ( x. y ) = ϕ ( x ) . y − x.ϕ ( y )

Kí hiệu Der ( A ) là tập hợp tất cả các toán tử vi phân trên

A. Khi đó

Der ( A ) trở thành 1 đại số trên K với phép hợp thành là phép nhân ánh

xạ. Der ( A ) sẽ trở thành một đại số Lie trên K với móc Lie được định
nghĩa là:

[ϕ1 ,ϕ2 ] = ϕ1

ϕ2 − ϕ2 ϕ1

Der ( A) gọi là đại số Lie các toán tử vi phân trên .

1.2.3. Đồng cấu đại số Lie

Cho G1 và G2 là hai K-đại số Lie. Đồng cấu đại số Lie là ánh xạ Ktuyến tính ϕ : G1 → G2 sao cho ϕ bảo toàn móc Lie, tức là:

ϕ ([ x , y ]) = [ϕ ( x ), ϕ ( y )]

(∀ x, y ∈ G 1 )

Nếu ϕ là đẳng cấu tuyến tính thì đồng cấu đại số Lie ϕ được gọi là
đẳng cấu đại số Lie.

Các đại số Lie trên trường K lập thành một phạm trù với các cấu xạ
chính là các đồng cấu đại số Lie.
Mỗi đồng cấu đại số Lie ϕ : G1 ⎯⎯
→ End(V) (End(V) là đại số Lie các
toán tử tuyến tính trên không gian vectơ V) được gọi là biểu diễn tuyến tính
của G1 trong không gian vectơ V. Để đơn giản thì đôi khi người ta dùng thuật
ngữ "biểu diễn" thay cho thuật ngữ "biểu diễn tuyến tính".
Khi ϕ là một đơn cấu thì ϕ được gọi là biểu diễn khớp.
Định lý 1.1 (định lý Ado)
Mọi đại số Lie hữu hạn chiều đều có ít nhất một biểu diễn tuyến tính
khớp hữu hạn chiều.


14

Định lý quan trọng này nói lên rằng, có thể quy tất cả các phép chứng
minh của đại số Lie về trường hợp đại số Lie ma trận.
1.2.4. Biểu diễn chính quy của đại số Lie

Cho G là đại số Lie. Với mỗi x ∈ G, kí hiệu ad x là toán tử trong
Der ( G ) được xác định bởi: ad x ( y ) = [ x, y ] ; ∀y ∈ G.

Khi đó ad x là một ánh xạ tuyến tính từ G → G và ta thu được biểu
diễn tuyến tính của G trong chính G như sau:
ad : G → End ( G )
x

ad x

Biểu diễn này được gọi là biểu diễn chính quy của G. Hạt nhân của
biểu diễn này là Ker (ad ) = { x ∈ G / ad x ≡ 0} chính là tâm của G.
Ví dụ: Xét đại số Lie G =

3

với móc Lie là tích có hướng thông

thường. Khi đó biểu diễn chính quy của G được cho bởi ma trận như sau:
c −b ⎞
⎛0
ad = ⎜⎜ −c 0
a ⎟⎟
⎜ b −a 0 ⎟
⎝
⎠

Dể thấy rằng, tâm của G là tầm thường, do đó biểu diễn ad ở đây là
khớp. Nói cách khác, đại số Lie G =

3

với móc Lie là tích có hướng thông

thường đẳng cấu với đại số Lie các ma trận thực phản xứng cấp 3.
1.2.5. Đại số Lie giải được và đại số Lie lũy linh

Cho G là một đại số Lie và M là một không gian con của G. Ta bảo M

là đại số con của G nếu [ M , M ] ⊂ M .


15

Ta bảo M là ideal của G nếu [ G , M ] ⊂ M . Trong đó ký hiệu:

[ M , M ] = {[ x, y ] | x, y ∈ M } , [ G , M ] = {[ x, y ] | x ∈ G , y ∈ M } .
Khi M là một ideal thì không gian thương G/M trở thành một đại số
Lie với móc Lie được định nghĩa một cách tự nhiên.
Cho G là K-đại số Lie. Đặt :
G1 = [ G , G ] , G2 = [ G1, G1] , …, Gn = [ Gn-1, Gn-1]
G1 = [ G , G ] = G1, G2 = [ G1 , G ], ..., G n = [ G n-1 , G ]

(n¥2)

Mệnh đề 1.2:
(i)

G k, G k là các ideal của G ( k = 1,2,3,………)

(ii)

G   G1   G 2   ……   G n   ……
ÎÎ

∩

∩

G   G1   G 2   ……   G n   ……
(iii)

Nếu dim G < +¶ thì $ nœ N sao cho:
k.h

G n = G n+1 = …… = G ¶
k.h

G n = G n+1 = …… = G ¶
Đại số Lie G gọi là giải được nếu G¶ = {0}, G gọi là lũy linh nếu
G¶ = {0}. Chỉ số n nhỏ nhất để các đẳng thức xảy ra được gọi là hạng của đại

số Lie giải được (tương ứng, lũy linh) G.
Ví dụ:

{

}

T (n, K ) = A = ( aij ) ∈ Mat (n, K ) / aij = 0,1 ≤ j < i ≤ n (đại số các ma trận

tam giác trên) là một đại số Lie giải được.

{

}

T0 (n, K ) = A = ( aij ) ∈ Mat (n, K ) / aij = 0,1 ≤ j ≤ i ≤ n (đại số các ma trận

tam giác trên mà các phần tử trên đường chéo chính bằng 0) là một đại số Lie
lũy linh.


16

Định lý 1.3 (Định lý Lie)
Cho ϕ là biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều của đại số Lie giải được

G trong không gian vectơ V trên trường đóng đại số K. Khi đó ϕ tương
đương với biểu diễn tam giác trên, tức là ϕ ( x ) = T ( n , K ), ∀ x ∈ G.
Hệ quả 1.4
Nếu G là đại số Lie giải được thì G 1=[ G , G ] là đại số Lie lũy linh.
Định lý 1.5 (Định lý Engel)
Đại số Lie G là lũy linh khi và chỉ khi với mọi x ∈ G , ad x là toán tử lũy
linh ( tức là tồn tại n ∈ * sao cho ( ad x ) = 0 ).
n

Đại số Lie giải được mặc dù có cấu trúc không quá phức tạp nhưng cho
đến nay thì việc phân loại chúng vẫn là một bài toán mở.
1.3.

Sự liên hệ giữa nhóm Lie và đại số Lie

1.3.1. Đại số Lie tương ứng với một nhóm Lie đã cho

Cho G là một nhóm Lie. Ta ký hiệu TeG là không gian tiếp xúc của G
tạo điểm đơn vị e ∈ G . Không gian này thường được ký hiệu là G. Khi đó G
trở thành một đại số Lie với móc Lie được xác định bởi toán tử như sau:

[ X ,Y ] = XY − YX , ∀X ,Y ∈ G
Tức là: [ X , Y ] f = X (Yf ) − Y ( Xf ) , ∀X , Y ∈ G , ∀f ∈ C ∞ ( G )
Trong đó C ∞ ( G ) là đại số các hàm trơn trên G nhận giá trị thực.
Như vậy, mỗi nhóm G sẽ xác định duy nhất một đại số Lie G và G
được gọi là đại số Lie của (hay tương ứng với) G.


17

Ngoài cách định nghĩa trên, ta còn có thể xem đại số G như là đại số
Lie con các trường vectơ bất biến trái trên G. Cách xây dựng đại số G như
sau:
Gọi X(G) là đại số Lie các trường vectơ khả vi trên G. Khi đó
(X + Y)g = Xg + Yg , "g œ G
(lX)g = lXg

[ X ,Y ] f

, l œ R , "g œ G

= X (Yf ) − Y ( Xf ) , ∀X , Y ∈ X ( G ) , ∀f ∈ C ∞ ( G )

Với mọi g œ G . Đặt Lg : G Ø G, x
Rg: G Ø G, x

gx là phép tịnh tiến trái theo g,

xg là phép tịnh tiến phải theo g, thì Lg và Rg là các

vi phôi trên G, đồng thời cảm sinh thành các ánh xạ Lg* : T(G) Ø T(G),

Rg* : T(G) Ø T(G) trên không gian tiếp xúc T(G) của G.
Trường vectơ X được gọi bất biến trái nếu Lg* (X) = X , "g œ G. Điều
này đồng nghĩa với biểu thức : Lg* (X)x = Xgx
Tương tự, trường vectơ X được gọi là bất biến phải nếu Rg* (X) = X ,
"g œ G, tức là : Rg* (X)x = Xxg

Gọi G = { X œ X(G) / X là trường vectơ bất biến trái }, thì G là đại số
Lie con của X(G) và gọi là đại số Lie của nhóm Lie G, G @ Te(G) (như
không gian vectơ lẫn đại số Lie).
1.3.2. Nhóm Lie liên thông đơn liên tương ứng với đại số Lie

Với cách xây dựng như trên thì ta thấy, mỗi nhóm Lie sẽ xác định một
đại số Lie duy nhất. Ngược lại thì ta có định lý sau:
Định lý 1.6:
(i)

Cho G là đại số Lie thực bất kì. Khi đó luôn tồn tại duy nhất nhóm Lie
~

~

liên thông đơn liên G sao cho đại số Lie của G chính là G .
(ii)

Nếu G là một nhóm Lie liên thông nhận G làm đại số Lie thì tồn tại
~

~
nhóm con chuẩn tắc rời rạc D của G sao cho G = G D .

18

Nhóm Lie G được gọi là giải được (tương ứng, lũy linh) nếu đại số Lie
G của nó là giải được (tương ứng, lũy linh).
1.3.3. Ánh xạ mũ exponent

Cho G là nhóm Lie, G = Lie(G) là đại số Lie của G .
Mệnh đề 1.7 :
Với mỗi X œ G , tồn tại duy nhất nhóm con { x(t) / tœ R} Õ G sao cho :
(i)

x(0) = eG .

(ii)

x(t+s) = x(t).x(s) ; " t,sœ R.

(iii)

x/(0) = X (= Xe)

và được gọi là nhóm con 1-tham số xác định trên G.

Khi đó:
d.n

d.n

• exp (X) = x(1)œ G, exp (tX) = x(t)œ G

• exp : G Ø G, X

exp(X)

Định lý 1.8: (về tính chất của ánh xạ exp)
(i)

Ánh xạ exp là vi phôi địa phương

(ii)

Ánh xạ exp có tính tự nhiên :
Lie)
G1 ⎯f⎯(dong
⎯cau
⎯nhom
⎯⎯
⎯→ G2

exp

exp

f exp = exp f*

⎯⎯⎯→ G2
G1 ⎯⎯⎯⎯
f
*

Nếu exp vi phôi (toàn cục) thì G gọi là nhóm exponential.
Hệ quả 1.9:
Có một song ánh giữa tập các biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều của
các các đại số Lie và các nhóm liên thông đơn liên.


19

1.4.

Biểu diễn phụ hợp và K-biểu diễn lớp MD-nhóm và MD-đại số

1.4.1. K-biểu diễn của một nhóm Lie

G là một nhóm Lie tuỳ ý và G là đại số Lie của nó. Giả sử G tác động
lên G bởi Ad : G ⎯⎯
→ Aut G được định nghĩa như sau:
Ad ( g ) = ( Lg .Rg −1 )* : G ⎯⎯
→ G, ∀g ∈ G

Trong đó Lg (tương ứng Rg ) là phép tịnh tiến trái (tương ứng, phải) của
−1

G theo phần tử g ∈ G (tương ứng, g −1 ∈ G ). Tác động Ad còn gọi là biểu diễn
phụ hợp của G trong G.

Ký hiệu G* là không gian đối ngẫu của đại số Lie G. Khi đó biểu diễn
Ad cảm sinh ra tác động K : G ⎯⎯
→ Aut G* của G lên G* theo cách sau đây:
< K ( g ) F , X > = < F , Ad ( g −1 ) X >, ∀X ∈ G, ∀F ∈ G*, ∀g ∈ G

Ở đây ta ký hiệu < F , X > , F ∈ G*, X ∈ G là chỉ giá trị của dạng tuyến
tính F ∈ G* tại trường vectơ (bất biến trái) X ∈ G. Tác động K được gọi là Kbiểu diễn hay biểu diễn đối phụ hợp của G trong G*. Mỗi quỹ đạo ứng với K-

biểu diễn được gọi là K-quỹ đạo hay quỹ đạo Kirillov của G (trong G* ).
Mỗi K-quỹ đạo của G luôn là một G-đa tạp vi phân thuần nhất với số
chiều chẵn và trên đó có thể đưa vào một cấu trúc symplectric tự nhiên tương
thích với tác động của G.
Ký hiệu O(G) là tập hợp các K-quỹ đạo của G và trang bị trên đó tôpô
thương của tôpô tự nhiên trong G* . Nói chung thì tôpô thu được khá “xấu”:
nó có thể không tách, thậm chí không nửa tách.
1.4.2. Các MD-nhóm và MD-đại số

Giả sử G là một nhóm Lie thực giải được, G là đại số Lie của G và G*
là không gian đối ngẫu của G.


20

Nhóm G được gọi là có tính chất MD hay là MD-nhóm nếu các K-quỹ
đạo của nó hoặc là không chiều hoặc là có số chiều cực đại. Trường hợp số
chiều cực đại đúng bằng số chiều của nhóm thì nhóm G được gọi là có tính
chất MD hay còn gọi là MD -nhóm. Đại số Lie thực giải được G ứng với MDnhóm (tương ứng, MD -nhóm) được gọi là MD-đại số (tương ứng, MD -đại
số).

Thuật ngữ MD-nhóm, MD-đại số, MD -nhóm, MD -đại số được dùng
đầu tiên bởi Đỗ Ngọc Diệp năm 1980. Ngay sau đó lớp các MD-đại số và
MD -đại số đã được Vương Mạnh Sơn và Hồ Hữu Việt xem xét năm 1982. Hồ

Hữu Việt đã phân loại triệt để lớp MD -đại số: các MD -đại số không giao

hoán là và chỉ là các đại số Lie của các nhóm biến đổi affine của đường thẳng
thực hoặc phức (xem [So-Vi, Théorème 1]). Vương Mạnh Sơn đã đưa ra một
điều kiện cần để một đại số Lie thực giải được là MD-đại số.
Mệnh đề 1.10 (xem [So-Vi, Théorème 4]):
Giả sử G là một MD-đại số. Khi đó G2 = [[G, G], [G, G]] là một đại số
con giao hoán trong G .

Như đã nói ở phần mở đầu, toàn bộ lớp các MD4-đại số đã được liệt kê
đầy đủ vào năm 1984 bởi Đào Văn Trà (xem[Tra]), tuy nhiên tác giả mới chỉ
dừng lại ở liệt kê thô mà không xét đến tính đẳng cấu giữa các đại số Lie.
Năm 1990, Lê Anh Vũ phân loại triệt để (chính xác đến đẳng cấu đại số Lie)
các MD4-đại số đó (xem [Vu2], [Vu6], [Vu7]). Nói một cách vắn tắt là bài
toán liệt kê và phân loại các MD4-đại số coi như đã giải quyết trọn vẹn.
Tuy nhiên khi n = 5 thì mọi tính toán đều trở nên phức tạp hơn rất nhiều.
Để đơn giản thì Lê Anh Vũ chỉ xét lớp con các MD5-đại số có ideal dẫn xuất
giao hoán k chiều (với k<5) và đã đạt được nhiều kết quả quan trọng. Từ năm
2003 đến 2006, Lê Anh Vũ đã liệt kê và phân loại các lớp con của các MD5-


21

đại số bất khả phân có ideal dẫn xuất giao hoán với số chiều ≤ 4, đồng thời
cùng các học trò của mình là Nguyễn Công Trí (xem [Vu8], [Vu-Tri]),
Dương Minh Thành (xem [Vu9], [Vu-Tha]) đã mô tả bức tranh các K-quỹ
đạo của các MD5-nhóm liên thông đơn liên tương ứng với số chiều ≤ 3 và
xem xét không gian phân lá tạo bởi các K-quỹ đạo chiều cực đại của các
MD5-nhóm này.
Trong các chương sau, chúng ta sẽ giới thiệu lại các MD5-đại số bất khả
phân có ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều, đồng thời mô tả bức tranh các Kquỹ đạo của các MD5-nhóm liên thông đơn liên tương ứng và xem xét không
gian phân lá tạo bởi các K-quỹ đạo chiều cực đại của các MD5-nhóm này.

22

Chương 2. LỚP CON CÁC MD5-ĐẠI SỐ CÓ IDEAL DẪN XUẤT
GIAO HOÁN 4 CHIỀU VÀ BỨC TRANH HÌNH HỌC
CÁC K-QUỸ ĐẠO CỦA CÁC MD5-NHÓM
LIÊN THÔNG ĐƠN LIÊN TƯƠNG ỨNG.

Trong chương này, chúng ta sẽ nhắc lại định lý phân loại các MD5-đại
số có ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều của Lê Anh Vũ, đồng thời mô tả bức
tranh hình học các K-quỹ đạo của các MD5-nhóm liên thông đơn liên tương
ứng với các MD-đại số đó. Nhưng trước hết chúng ta sẽ nhắc lại phương pháp
mô tả các K-quỹ đạo của nhóm Lie đã được đưa ra trong [Vu2].
2.1.

Nhắc lại phương pháp mô tả các K-quỹ đạo

2.1.1. Nhắc lại khái niệm K-quỹ đạo của nhóm Lie

Cho G là nhóm Lie có đại số Lie G và G* là không gian đối ngẫu của G
thì K-biểu diễn của G trong G được cho bởi:

< K( g ) F , X >=< F , Ad g −1 X > , ∀g ∈ G, ∀X ∈ G , ∀F ∈ G *

( )

Khi đó, ứng với mỗi F trong G* , K-quỹ đạo Ω F của G qua F được xác
định bởi:
Ω F = { K ( g ) F / g ∈ G}

(2.1.1)

Đối với mỗi nhóm Lie G, chúng ta quan tâm đến bài toán mô tả các Kquỹ đạo Ω F của G, với mỗi F ∈ G* . Vì rằng, khi nghiên cứu về nhóm Lie thì
thường thông tin chúng ta thu được rất ít và khó nghiên cứu do luật nhóm của
G chưa được cho một cách tường minh. Lý thuyết biểu diễn cho phép ta
chuyển từ nghiên cứu nhóm Lie sang nghiên cứu đại số Lie thông qua một
công cụ là ánh xạ mũ exp.


23

Ký hiệu expG : G ⎯⎯
→ G là ánh xạ mũ của G và exp: EndRG ⎯⎯
→ AutRG
là ánh xạ mũ của nhóm Lie AutRG_các tự đẳng cấu

-tuyến tính của G.

Nhắc lại rằng vi phân Ad∗ = ad : G ⎯⎯
→ EndRG của biểu diễn phụ hợp
của G trong G được xác định bởi công thức:
adU ( X ) = [U,X], ∀U,X ∈ G.

Tính tự nhiên của ánh xạ mũ được thể hiện bởi hình chữ nhật giao hoán
sau:
Ad
G ⎯⎯⎯⎯⎯
→ AutRG

expG

exp

G ⎯⎯⎯⎯⎯
→ EndRG
ad
Tức là ta có đẳng thức: Ad.expG = exp.ad
Với mỗi U ∈ G, mỗi F ∈ G* , ta xác định phần tử FU trong G* như sau:
< FU , X >=< F , exp(adU ) X >, ∀X ∈ G.

2.1.2. Bổ đề 2.1
Nếu gọi Ω F là K-quỹ đạo của G qua F thì ta luôn có bao hàm thức
Ω F ⊃ { FU / U ∈ G}

(2.1.2)

Hơn nữa nếu expG là toàn ánh thì đẳng thức xảy ra

Chứng minh:
Với mỗi U ∈ G , đặt g = expG ( −U ) ∈ G . Khi đó ta có:

< FU , X > = < F ,exp(adU ) X > = < F , Ad (expG (U )) X >
= < F , Ad ( g −1 ) X > = < K ( g ) F , X >,
Do đó, FU = K ( g ) F và FU ∈ Ω F (theo công thức 2.1.1)

∀X ∈ G


24

Tức là Ω F ⊃ { FU / U ∈ G}.
Nếu giả thiết thêm expG là toàn ánh thì khi đó với mỗi g ∈ G , luôn tồn
tại U 0 ∈ G để g −1 = exp ( U 0 ) . Khi đó ta có:
< K ( g ) F , X > = < F , Ad ( g −1 ) X > = < F , Ad (expG (U 0 )) X >
= < F ,exp(ad U0 ) X > = < FU 0 , X >,

∀X ∈ G

Do đó FU 0 = K ( g ) F và Ω F ⊂ { FU / U ∈ G}.
Nghĩa là ta có đẳng thức: ΩF = { FU / U ∈ G}. ■
Để tiện cho việc sử dụng trong phần sau, ta sẽ ký hiệu tập { FU / U ∈ G}
là Ω F ( G ) . Như thế, bao hàm thức 2.1.2 có thể được viết là:
ΩF (G ) ⊂ ΩF , ∀F ∈ G*

Một điều kiện đủ để đẳng thức trên xảy ra là ánh xạ expG là toàn ánh.
Thực ra trong nhiều trường hợp thì có một điều kiện yếu hơn tính toàn
ánh của expG cũng đủ để có đẳng thức Ω F ( G ) ⊂ Ω F . Cụ thể ta có khẳng định
dưới đây:
2.1.3. Bổ đề 2.2
Giả sử G liên thông. Nếu họ các Ω F (G), F ∈ G* lập thành một phân
hoạch của G* và mọi Ω F ' (G), ∀F ' ∈ G* đều cùng mở hoặc cùng đóng (tương
đối) trong Ω F , F ∈ G*. Khi đó: Ω F (G) = Ω F , ∀F ∈ G*.

Chứng minh:
Vì G liên thông nên mỗi K-quỹ đạo Ω F cũng liên thông (trong G*).
Chú rằng, các K-quỹ đạo lập thành một phân hoạch trong G* . Giả thiết rằng
có F ∈ G* để ΩF ( G ) ≠ Ω F . Khi đó tồn tại họ { Fi }i∈I các phiếm hàm trong G*

25

chứa F và có nhiều hơn một phần tử sao cho Ω F = ∪ Ω F ( G ) . Vì hợp này gồm
i∈I

i

các tập cùng mở (hoặc cùng đóng) khác ∅ rời nhau trong Ω F nên không thể
liên thông. Mâu thuẩn này chứng tỏ Ω F (G) = Ω F , ∀F ∈ G*. ■
2.1.4. Mệnh đề 2.3
Giả sử G là nhóm Lie thực giải được, đơn liên, hữu hạn chiều và G là
đại số Lie của nó. Khi đó các khẳng định sau đây tương đương:

(i)

Ánh xạ expG : G ⎯⎯
→ G là vi phôi giải tích (hay G là nhóm
exponential).

(ii)

∀X ∈ G, ad X không có giá trị riêng (trong

) thuần ảo nào.

2.1.5. Hệ quả 2.4
Nếu G là nhóm Lie thực giải được, liên thông hữu hạn chiều với đại số
Lie G của nó có tính chất (ii) trong mệnh đề 2.3 thì ánh xạ mũ
expG : G ⎯⎯
→ G là toàn ánh.

2.2.

Lớp con các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều

Từ đây về sau, G luôn là ký hiệu để chỉ nhóm Lie liên thông 5 chiều và
G là đại số Lie của G. Lúc đó với tư cách là một không gian vectơ 5 chiều,
G ≡ R5 . Ta chọn trước một cơ sở ( X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 ) cố định trong G. Không

gian đối ngẫu của G được ký hiệu là G* . Và ta cũng có G* ≡ R5 và có cơ sở
đối ngẫu tương ứng ( X * , X 2* , X * , X * , X * ) với cơ sở ( X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 ) trong G.
1

3

4

5

Đối với các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều, ta có định lí
phân loại sau: