SKKN Cực trị của hàm số

Trường THPT Võ Văn Kiệt

GV: Ngô Văn Nghị

SƠ LƯỢC VỀ LÝ LỊCH KHOA HỌC

I- THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1- Họ Và Tên: Ngô Văn Nghị
2- Ngày tháng năm sinh: 1978
3- Quê quán: Ấp Long Thành, thị trấn Phước Long, Phước Long, Tỉnh Bạc Liêu
4- Nơi cư trú: Ấp Long Thành, thị trấn Phước Long, Phước Long, Tỉnh Bạc Liêu
5- Điện thoại NR:

Di động: 01239 066 124

6- Chức vụ: Giáo viên
II- TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Trình độ chuyên môn: Đại học
- Năm nhận bằng: 2001
- Chuyên nghành đào tạo: Sư phạm Toán
III- KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy môn: TOÁN
- Số năm có kinh nghiệm: 12

Chủ đề: Cực trị của hàm số

Trang 1


Trường THPT Võ Văn Kiệt

GV: Ngô Văn Nghị

Chuyên đề: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Phần A: Đặt vấn đề
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Trong đề thi tốt nghiệp THPT bài toán liên quan đến câu khảo sát sự biến thiên và
vẽ đồ thị hàm số thường có mặt. Tuy nhiên bài toán cực trị của hàm số cũng là một nội
dung khá quan trọng trong các đề thi tuyển sinh đại học và cao đẳng chẳng hạn như bài
toán tìm tham số thỏa điều kiện bài toán cực trị là một trong những bài toán khó vì nó cần
đến sự áp dụng linh hoạt của định lý, các quy tắc, các công thức đã học ở lớp dưới, các
phương pháp giải mà trong Sách giáo khoa Giải tích 12 không có đưa ra. Qua thực tế theo
dõi các đề thi TN THPT và các đề thi Đại học, cao đẳng thì bài toán cực trị của hàm số
thường cho ra nên tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến: “Cực trị của hàm số”.
Nhằm mục đích giúp học sinh khắc phục được những điểm yếu nêu trên từ đó đạt
được kết quả cao khi giải các bài toán nói trên và đạt kết quả cao trong quá trình học tập.
II. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:
Học sinh lớp 12C3 trường THPT Võ Văn Kiệt
III. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
Chỉ ra một số dạng bài toán “Cực trị của hàm số”.

Phần B: Nội dung
I. CƠ SỞ LÍ LUẬN:
Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh có những kỹ năng giải các bài tập Môn
Toán nói chung, các bài tập về bài toán Cực trị của hàm số nói riêng một cách lôgíc, chặt
chẽ, đặc biệt là làm thế nào để học sinh tránh một số sai sót khi giải bài tập.
Theo nhận thức của cá nhân tôi, trong việc hướng dẫn học sinh giải bài tập cần
phải thực hiện được một số nội dung sau:
- Phân loại ra từng dạng bài toán tìm tham số.
- Hình thành cách thức tiến hành tư duy và thứ tự các thao tác cần thực hiện.
- Hình thành cho học sinh cách trình bày bài giải đặc trưng của phần kiến thức đó.

II. THỰC TRẠNG:
Trong SGK chương trình chuẩn thời lượng để giáo viên cung cấp kiến thức về bài toán
Cực trị của hàm số hơi ít. Mặt khác có nhiều học sinh còn có tư tưởng xem nhẹ và không
thích giải các loại bài toán này. Qua thực tế giảng dạy, dự giờ đồng nghiệp, chấm bài
kiểm tra của học sinh, còn nhiều học sinh làm chua tốt nội dung này. Nguyên nhân cơ bản
là các em không nắm được bản chất của vấn đề, chưa có kinh nghiệm trong việc giải các
bài toán tìm tham số thỏa mãn điều kiện bài toán cho trước. Để khắc phục những điểm
yếu trên, tôi cố gắng đưa ra một số bài toán, từ đó chỉ ra những sai lầm thường gặp của
các dạng bài toán này, giúp các em học sinh trung bình và yếu tích lũy dần kinh nghiệm
khi giải. Ngoài ra đối với các em học sinh khá, giỏi có thêm tài liệu tham khảo về các
dạng bài toán nằm ngoài sách giáo khoa, từ đó giúp các em xử lí tốt hơn khi tiếp cận với
các đề thi tuyển sinh đại học và cao đẳng.
Chủ đề: Cực trị của hàm số

Trang 2


Trường THPT Võ Văn Kiệt

GV: Ngô Văn Nghị

III. BIỆN PHÁP THỰC HIỆN: “Giải bài toán cực trị của hàm số”
a) Kiến thức cần nắm:
* Quy tắc I:
+ Tìm TXĐ.
+ Tính f ′( x ) . Tìm các điểm xi (i = 1, 2, ..., n) mà tại đó f ′( x ) = 0 hay f ′( x ) KXĐ.
+ Lập BBT.
+ Từ BBT suy ra các điểm cực trị.
* Quy tắc II:
+ Tìm TXĐ.

+ Tính f ′( x ) . Giải phương trình f ′( x ) = 0 tìm các nghiệm xi (i = 1, 2, ..., n) .
+ Tính f ′′( x ) và f ′′( xi ) .
+ KL.
* Định lý: Giả sử h/s y = f ( x ) có đạo cấp 2 trong khoảng ( x0 − h; x0 + h ) , với h > 0 . Khi
đó:

 f , ( x0 ) = 0
⇒ x0 là điểm cực tiểu
+  ,,
f
x
>
0
 ( 0 )
 f , ( x0 ) = 0
⇒ x0 là điểm cực đại
+  ,,
f
x
<
0
(
)

0
* Cần chú ý: Phân biệt các từ sau
1. Tìm Điểm cực trị của hàm số
2. Tìm Cực trị của hàm số
3. Tìm Điểm cực trị của đồ thị hàm số
b) Các ví dụ áp dụng:

Dạng 1: Tìm điểm cực trị của hàm số
Ví dụ 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số:
a) y = ( x + 1)

2

( 2 − x)

b) y = − x 3 + 2 x 2 − 3 x + 2
c) y = x 4 + 2 x 2 − 3
Phương pháp:Áp dụng Quy tắc I hoặc Quy tắc II
a) TXĐ: D = ¡ , y ' = 3 ( x + 1) ( 1 − x ) ;
BBT:

x−∞

y'

y+∞

y ' = 0 ⇔ x = ±1; y ( 1) = 4, y ( −1) = 0

− −01 +
0

Chủ đề: Cực trị của hàm số

1
0

4

−

+∞

−∞
Trang 3


Trường THPT Võ Văn Kiệt

GV: Ngô Văn Nghị

Vậy: HS đạt cực tiểu tại điểm x = −1; yCT = 0
HS đạt cực đại tại điểm x = 1; yCD = 4
ĐS:

b) HS không có điểm cực trị
c) HS đạt cực tiểu tại điểm x = 0; yCT = −3
Dạng 2: Tìm điểm cực trị của đồ thị hàm số
Ví dụ 2: Tìm các điểm cực trị của hàm số:
1
a) y = x 4 − x 2 + 3
2
4
b) y = − x + 1 −
x+2
c) y = x 2 − x + 1
Phương pháp:Áp dụng Quy tắc I

2
a) TXĐ: D = ¡ , y ' = 2 x x − 1

(

)

 x = ±1
5
y' = 0 ⇔ 
; y ( ±1) = , y ( 0 ) = 3
2
x = 0

BBT:

x−∞ −∞ 0 1 +∞
y ' −0 +0 − 0 +
+∞
3
y+∞
5
2

Vậy: Đt hs có điểm cực đại ( 0;3 )

5
2



5  5
Đt hs có 2 điểm cực tiểu  −1; ÷;  1; ÷
2  2

ĐS: b) Đt hs có điểm cực đại ( 0; −2 ) ; có điểm cực tiểu ( −4;7 )
1 3
÷
c) Đths có điểm cực tiểu  ;
÷
2
2


Dạng 3: Tìm tham số m để hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu tại điểm x = x0
4
2
Ví dụ 3: a) Xác định tham số m để hàm số y = ( 1 − m ) x − mx + 2m − 1 đạt cực tiểu tại
x =1
Hướng dẫn:
+ Trường hợp 1: Khi m = 1, ta có: y = − x 2 + 1 hs ĐB trên ( −∞;0 ) và NB trên ( 0;+∞ )
nên hs đạt CĐ tại x = 0 . Vậy m = 1 không thỏa mãn.
+ Trường hợp 1: Khi m ≠ 1, ta có:
,
3
Txđ: D = ¡ , y = 4 ( 1 − m ) x − 4mx
Chủ đề: Cực trị của hàm số

Trang 4

Trường THPT Võ Văn Kiệt

GV: Ngô Văn Nghị

 y , ( 1) = 0
Hs đạt cực tiểu tại x = 1 ⇔  ,,
 y ( 1) > 0
,
,,
+ y ( 1) = 4 − 6m, y ( 1) = 12 − 14m,

( *)

4 − 6m = 0
2
⇔m=
+ Từ ( *) ⇒ 
3
12 − 14m > 0
3
2
b) Xác định tham số m để hàm số y = − x + ( 4 + m ) x − ( 3m + 3) x + 4 đạt CĐ tại x = 3
Hướng dẫn:
,
2
Txđ: D = ¡ , y = −3 x + 2 ( 4 + m ) x − 3m − 3

 y , ( 3) = 0
Hs đạt cực đại tại x = 3 ⇔  ,,
( *)

y
3
<
0
(
)

,
,,
+ Ta có: y ( 3) = 3m − 6, y ( 3) = −10 + 2m
3m − 6 = 0
⇔m=2
+ Từ ( *) ⇒ 
−
10
+
2
m
<
0


x 2 − mx + 3
m
c) Xác định tham số để hàm số y =
đạt cực đại tại x = 2
1− x
Hướng dẫn:
2
−x + 2x + 3 − m

,
y
=
D
=
¡
\
1
Txđ:
{ },
2
(1− x)
x = 1− 4 − m
+ Ta có: y = 0 ⇔ − x + 2 x + 3 − m = 0 ⇔ 
 x = 1 + 4 − m
+ BBT: x
1 + 4 − m 11 + 4 − m+∞
y,
0 + +0
,

y

2

−∞−

−
CĐ

CT
Từ BBT suy ra hàm số đạt CĐ tại x = 2 ⇔ 1 + 4 − m = 2 ⇔ m = 2
* Chú ý: Đối với dạng bài toán như ví dụ 3 nên hướng dẫn cho học sinh giải theo Quy tắc
I, nếu giải theo Định lý thì học sinh dễ sai ở bước tính y ,,
Bài tập tương tự:
3
2
2
Bài 1: Xác định tham số m để hàm số y = x − 3mx + 3 ( m − 1) x − m + 1 đạt CĐ tại
x = −1
ĐS: m = 0
x 2 − mx + m
Bài 1: Xác định tham số m để hàm số y =
đạt cực đtiểu tại x = 1
x
ĐS: m = 1
Chủ đề: Cực trị của hàm số

Trang 5


Trường THPT Võ Văn Kiệt

GV: Ngô Văn Nghị

x 2 + mx + m
m
Bài 2: Xác định tham số để hàm số y =
đạt cực đại tại x = −3
x+2

ĐS: m = 3
Dạng 4: Tìm tham số m để hàm số có cực trị ( cực đại, cực tiểu)
3
2
Ví dụ 4: a) Xác định tham số m để hàm số y = ( m − 1) x + ( m + 1) x − 4 có cực trị.
Hướng dẫn:
Txđ: D = ¡
y , = 3 ( m − 1) x 2 + 2 ( m + 1) x , y , = 0 ⇔ 3 ( m − 1) x 2 + 2 ( m + 1) x = 0 (*)

m − 1 ≠ 0
m ≠ 1
⇔
H/s có cực trị khi và chỉ khi pt (*) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ 
2
( m + 1) ≠ 0 m ≠ −1
Vậy m ≠ ±1 thì hàm số có cực trị
x 2 + mx + 1
b) Xác định tham số m để hàm số y =
có hai cực trị.
x −1
Hướng dẫn:
2
x − 2x − m − 1
,
Txđ: D = ¡ \ { 1} ; y =
2
( x − 1)
H/s có cực trị khi và chỉ khi pt x 2 − 2 x − m − 1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1
⇔ m > −2
Vậy m > −2 thì hàm số có hai cực trị

3
2
c) Xác định tham số m để hàm số y = x − ( m − 2 ) x + ( 4m + 3) x − m − 1 có CĐ và CT.
Hướng dẫn:
Txđ: D = ¡
y , = 3 x 2 − 2 ( m − 2 ) x + 4m + 3, y , = 0 ⇔ 3 x 2 − 2 ( m − 2 ) x + 4m + 3 = 0 (*)
H/s có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi pt (*) có 2 nghiệm phân biệt
 m < 8 − 69
2
,
⇔ ∆ > 0 ⇔ ( m − 2 ) − 3 ( 4m + 3 ) > 0 ⇔ 
 m > 8 + 69
Vậy m < 8 − 69 hay m > 8 + 69 thì hàm số có cực đại và cực tiểu

Bài tập tương tự:
4
2
Bài 1: Xác định tham số m để hàm số y = mx + ( m − 1) x + 1 − 2m có ba cực trị.

(

)

3
2
2
Bài 2: Xác định tham số m để đồ thị hàm số y = x − ( 2m + 1) x + m − 3m + 2 x + 4 có

điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm ở hai phía của trục tung.
HD: + Txđ

+ Tính y ,
Chủ đề: Cực trị của hàm số

Trang 6


Trường THPT Võ Văn Kiệt

GV: Ngô Văn Nghị

+ Để đồ thị hàm số có điểm CĐ và điểm CT nằm ở hai phía của trục tung thì
x1 , x2 trái
phương
trình
2
nghiệm
dấu
y , = 0 có

(

)

⇔ a.c < 0 ⇔ 3 m 2 − 3m + 2 < 0 ⇔ 1 < m < 2
x 2 − mx + 2m − 2
m
Bài 3: Xác định tham số để đồ thị hàm số y =
có điểm cực đại và
x −1
điểm cực tiểu. ĐS: m > 1

x 2 − ( m + 2 ) x + 3m + 2
m
Bài 4: Xác định tham số để đồ thị hàm số y =
có cực đại và
x +1
1
cực tiểu.
ĐS: m > −
2
m − 1) x 2 − 2 x + m + 4
(
m
Bài 5: Xác định tham số để hàm số y =
có giá trị cực đại và
mx + m
cực tiểu cùng dấu.
HD: + Txđ
+ Tính y ,

1
m.( m − 1) ≠ 0
m<−

⇔
+ Để hàm số có điểm CĐ và điểm CT ⇔  ,
( 1)
4

∆ > 0
 m > 1

+ Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 2 điểm

1
m
<
−
⇔
⇔ ( m − 1) x 2 − 2 ( m − 1) x + m + 4 = 0 có 2 nghiệm khác −1
4

 m > 1

(

⇔ ( m − 1) − ( m − 1) ( m + 4 ) > 0 ⇔ m < 1
2

)

( 2)

Kết hợp ( 1) và ( 2 ) . Vậy đt hs có 2 giá trị cực trị cùng dấu khi m < −

1
4

x 2 + mx − 2
m
Bài 6: Xác định tham số
để hàm số y =

có cực trị.
mx − 1
Dạng 5: Tìm tham số m để đồ thị hàm số cắt trục Ox thỏa mãn điều kiện cho trước
4
2
2
Ví dụ 5: a) Xác định tham số m để đồ thị hàm số y = x + 2 ( m − 2 ) x + m − 5m + 5 cắt
trục Ox tại 4 điểm phân biệt.
Hướng dẫn:
Txđ: D = ¡
Đt cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt ⇔ y = 0 có 4 nghiệm phân biệt
2
2
Đặt g ( t ) = t + 2 ( m − 2 ) t + m − 5m + 5 có 2 nghiệm dương phân biệt ( với t = x 2 )

Chủ đề: Cực trị của hàm số

Trang 7


Trường THPT Võ Văn Kiệt

GV: Ngô Văn Nghị

∆ , > 0

5− 5
⇔  g ( 1) > 0 ⇔ 1 < m <
2


2
−
m
>
0

b) Xác định tham số m để đồ thị hàm số y = − x 4 − 2mx 2 − 2m + 1 cắt trục Ox tại 4 điểm
có hoành độ tương ứng lập thành cấp số cộng. Tìm cấp số cộng đó.
Hướng dẫn:

Txđ: D = ¡
Đt cắt trục Ox tại 4 điểm lập thành CSC ⇔ −t 2 + 2mt − 2m + 1 = 0 có 2 nghiệm dương
phân biệt ( với t = x 2 , t ≥ 0 ) ⇔ 0 < t1 < t2 thỏa mãn

m ≠ 1
∆, > 0


1

t2 − t1 = 2 t1 ⇔  g ( 0 ) = 1 − 2m < 0 ⇔ m >
2


2 m > 0
5

m = 5 h m = 9
+ Với m = 5 : x1 = −3, x2 = −1, x3 = 1, x4 = 3

5
1
1
: x1 = −1, x2 = − , x3 = , x4 = 1
9
3
3
m
c) Xác định tham số để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số
x 2 + mx − 1
y=
( Cm ) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho OA vuông góc với OB .
x −1
Hướng dẫn:
+ Pt hoành độ giao điểm của đường thẳng d : y = m và đồ thị ( Cm ) :
+ Với m =

 x + mx − 1 = m ( x − 1)
x2 = 1 − m
x 2 + mx − 1
=m⇔
⇔
( *)
x −1
x
≠
1

 x ≠ 1

Đt cắt đt tại 2 điểm phân biệt A ( x A ; y A ) , B ( x B ; y B ) sao cho OA ⊥ OB ⇔ ( *) có 2 nghiệm
m < 1, m ≠ 0

 x A2 + mx A − 1   x B2 + mx B − 1 
thỏa mãn x A .x B + y A .yB = 0 ⇔ 
÷
÷
 x A .x B + 
÷.
÷= 0
x
−
1
x
−
1
A
B





m < 1, m ≠ 0

1− m + m 1− m −1  1− m − m 1− m −1 
⇔
−1 ± 5
m
−

1
+

÷.
÷= 0 ⇔ m =


÷
÷
2
1− m −1
− 1− m −1




d) Cho hàm số y = ( 4 − x ) ( x − 1) . Gọi I là giao điểm của đồ thị (C) với trục Oy , d là
2

đường thẳng đi qua I có hệ số góc m. Xác định m để d cắt đt (C) tại 3 điểm phân biệt
Chủ đề: Cực trị của hàm số

Trang 8


Trường THPT Võ Văn Kiệt

GV: Ngô Văn Nghị

Hướng dẫn:

+ Giao điểm của đt (C) với trục Oy tại điểm I ( 0;4 )
+ Đt d qua I và có hệ số góc m là: y = mx + 4
+ Đt d cắt đt (C) tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi pt hoành độ giao điểm của (C) và đt
3
2
d: x − 6 x + ( 9 + m ) x = 0 có 3 nghiệm phân biệt x 2 − 6 x + 9 + m = 0 có 2 nghiệm phân
m ≠ 9
m ≠ 9
biệt khác 0 ⇔  ,
.
ĐS 
m < 0
∆ > 0
e) Xác định tham số m để đường thẳng d: y = x cắt đồ thị hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 4m 3
tại 3 điểm phân biệt A, B,C sao cho AB = BC .
Hướng dẫn:
+ Pt hoành độ giao điểm của đt d và đt là: x 3 − 3mx 2 − x + 4m 3 = 0 (1)
+ Gọi x A , x B , xC là hoành độ 3 điểm A,B,C, khi đó x A , x B , xC là nghiệm pt (1) và ta có:
x A + xC = 2 x B ( do AB = BC ) (2)
+ Theo hệ thức Vi-et, ta có: x A + xB + xC = 3m (3)
+ Từ (2) và (3), suy ra x B = m thay vào pt (1), ta có: 2m 3 − m = 0 ⇔ m = 0 hay m = ± 2
2
x = 0
3
* Khi m = 0 , pt (1): x − x = 0 ⇔ 
. Vậy A,B,C có hoành độ lần lượt là −1;0;1
 x = ±1
2 tương tự ta có hoành độ A,B,C lần lượt là 1 − 5
2 1+ 5
,

;
;
2
2
2
2
* khi m = − 2 , tương tự ta có hoành độ A,B,C lần lượt là − 1 + 5 ; − 2 ; −1 + 5
2
2
2
2
Vậy m cần tìm là: m = 0 hay m = ± 2
2
x 2 + mx − 2
Ví dụ 6: a) Xác định tham số m để hàm số y =
có cực đại, cực tiểu với
mx − 1
hoành độ CĐ, CT thỏa mãn x1 + x2 = 4 x1.x2
Hướng dẫn:
* Khi m =

2
 1  y , = mx − 2 x + m , y , = 0 ⇔ mx 2 − 2 x + m = 0
Txđ: D = ¡ \   ,
2
( mx − 1)
m

m ≠ 0
Đk hs có cực đại, cực tiểu ⇔ 

 m ≤ 1
+ Ta có: x1 + x2 = 4 x1.x2

2
1
 x1 + x2 =
m ⇔m=
+ Theo hệ thức Vi-ét 
2
 x .x = 1
 1 2
Chủ đề: Cực trị của hàm số

Trang 9


Trường THPT Võ Văn Kiệt

GV: Ngô Văn Nghị

3
2
b) Xác định tham số m để đồ thị hàm số y = 2 x + 3 ( m − 1) x + 6 ( m − 2 ) x − 1 có cực đại,

cực tiểu thỏa mãn xcđ + xct = 2
Hướng dẫn:
,
2
Txđ: D = ¡ , y = 6 x + 6 ( m − 1) x + 6 ( m − 2 ) , y = 0 ⇔ x + ( m − 1) x + ( m − 2 ) = 0 (*)
Đk hs có cực đại, cực tiểu ⇔ pt (*) có 2 nghiệm phân biệt

∆ > 0 ⇔ m 2 − 6m + 9 > 0, ∀m ≠ 3
,

2

+ Ta có: xcđ + xct = 2
2
m = 3
+ Theo hệ thức Vi-ét x1 + x2 = m − 1 ⇒ x1 + x2 = 2 ⇔ ( m − 1) = 4 ⇔ 
 m = −1
So sánh đk, ta có m = −1

Bài tập tương tự :
Bài 1: Xác định tham số m để hàm số y = x 4 − 2m 2 x 2 + 1 có 3 cực trị là 3 đỉnh của một
tam giác vuông cân.
HD:
x = 0
,
3
2
,
3
2
Txđ: D = ¡ , y = 4 x − 4m x , y = 0 ⇔ x − m x = 0 ⇔ 
 x = ±m
Hs có cực trị thì m ≠ 0
4
4
Gọi 3 điểm cực trị là A ( 0;1) , B m;1 − m , C −m;1 − m
uuu

r
uuur
Ta tính AB = ..., AC = .... , ta thấy AB = AC nên ∆ABC vuông cân tại A nên
uuu
r uuur
AB. AC = 0
ĐS: m = ±1
x 2 + mx
m
Bài 2: Xác định tham số
để hàm số y =
có cực đại, cực tiểu với giá trị nào
1− x
cảu m thì khoảng cách giữa hai điểm CĐ, CT bằng 10
HD:
HD: + Txđ
+ Tính y ,
+ Đk hàm số có CĐ và CT ⇔ m > −1
 x1 + x2 = 2  y1 = −2 x1 − m
⇒
+ Gọi 2 điểm cực trị A ( x1; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) , với 
x
.
x
=
−
m
 1 2
 y2 = −2 x2 − m

(

) (

)

+ Tính AB = 10 ⇔ 5 ( x1 − x2 ) = 10 ⇔ m = 4
2

3
2
Bài 3: Xác định tham số m để hàm số y = x + ( m − 1) x − ( 2m + 1) x − 2 đạt cực trị tại

các điểm có hoành độ x1 , x2 thỏa mãn x12 + x22 = 2
HD: giải giống VD 1
ĐS: m = 1
Bài 4: Xác định tham số m để hàm số y = mx 2 − 2m 2 x + 1 − 2m có giá trị cực trị bằng −2
. Khi đó y = −2 là giá trị cực đại hay giá trị cực tiểu?
Chủ đề: Cực trị của hàm số

Trang 10


Trường THPT Võ Văn Kiệt

GV: Ngô Văn Nghị

HD: + Txđ
+ Tính y , = ...., y , = 0 ⇔ x = m
+ Tính y ( m ) = −2 ⇔ m = 1

,,
,,
+ Tính y = 2m ⇒ y ( 1) = 2 > 0 ⇒ y = −2 là giá trị cực tiểu

1
1
Bài 5: Xác định tham số m để hàm số y = mx 3 − ( m − 1) x 2 − 3 ( m − 2 ) x + có hai điểm
3
3
cực trị có hoành độ điểm CĐ, CT thỏa mãn x1 + 3 x2 = 1
6
ĐS: m = 2, m = −
7
4
2
Bài 6: Xác định tham số m để đồ thị hàm số y = x − 2 ( m + 1) x + 2m + 1 cắt trục Ox tại
4 điểm có hoành độ tương ứng lập thành cấp số cộng.
4
ĐS: m = 4; m = −
9
Bài 7: Xác định tham số m để đồ thị hàm số y = x 3 − 3 x 2 − 9 x + m cắt trục Ox tại 3 điểm
có hoành độ tương ứng lập thành cấp số cộng.
Hướng dẫn:
3
2
Để để đồ thị hàm số y = x − 3 x − 9 x + m cắt trục Ox tại 3 điểm có hoành độ tương ứng
lập thành cấp số cộng thì ph x 3 − 3 x 2 − 9 x + m = 0 (*) có 3 nghiệm x1 , x2 , x3 , ta có:

( x−x )( x−x )( x−x ) =0

1

2

3

 x1 + x2 + x3 = −3
⇔ x2 = −1 , thay vào pt(*) ta được m = 5
Theo hệ thức Vi-et, ta có: 
 x1 + x3 = 2 x2

Phần C: Kết luận
I. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
Ban đầu học sinh gặp khó khăn nhất định trong việc giải những dạng bài toán đã
nêu. Tuy nhiên giáo viên cần hướng dẫn học sinh tỉ mỉ cách nhận dạng bài toán, phân tích
bài toán để lựa chọn phương pháp phù hợp trên cơ sở giáo viên đưa ra những sai lầm mà
học sinh thường mắc phải trong quá trình suy luận, trong các bước giải bài toán rồi từ đó
hướng các em đi đến lời giải đúng.
Sau khi hướng dẫn học sinh như trên và yêu cầu học sinh giải một số bài tập tương
tự và một số bài trong các đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng và các đề trong các
sách tha, khảo.
Sáng kiến được chọn ra một vài câu phù hợp đối tượng áp dụng trong kiểm tra 15
phút năm học 2014-2015; đựơc sửa chi tiết sau khi kiểm tra xong cho học sinh.
Năm hoc 2013-2014
TT

Lớp

SS

Chủ đề: Cực trị của hàm số

Giỏi

Khá

TB

Trên TB
Trang 11

Yếu

Kém


Trường THPT Võ Văn Kiệt

1

12C6

41

GV: Ngô Văn Nghị

SL % SL % SL % SL %
3 7.3 5 12.2 15 36.6 23 56.1

SL

12

%
29.3

SL %
6 14.6

Giỏi
Khá
TB
Trên TB
Yếu
SL % SL % SL % SL % SL
%
3 7.9 8 21.1 15 39.5 26 68.4 10 26.3

Kém
SL %
2 5.3

Năm hoc 2014-2015
TT

Lớp

SS

1

12C3

38

II. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ:
Sau khi hướng dẫn học sinh nắm được những kỹ năng cơ bản để giải một số dạng
bài tập đã nêu, các em vận dụng giải các bài toán phức tạp hơn và cần nhớ tránh một số
lỗi mà các em mắc phải. Trong thời gian tới tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu để vận dụng
chuyên đề này vào các loại bài toán nâng cao, chuyên sâu, yêu cầu sự vận dụng kiến thức
phức tạp.
Trên đây là những suy nghĩ của cá nhân tôi về một vấn đề cụ thể, ít nhiều cũng
mang tính chủ quan và không thể tránh khỏi những sai sót. Rất mong được sự đánh giá,
góp ý của các đồng nghiệp.
Phước Long, ngày 12 tháng 1 năm 2015
Người thực hiện

Ngô Văn Nghị

Tài liệu tham khảo
Chủ đề: Cực trị của hàm số

Tác giả
Trang 12


Trường THPT Võ Văn Kiệt

GV: Ngô Văn Nghị

1/ Phân dạng và phương pháp giải toán Giải tích 12 ( Tập 1) Lâm Thị Hồng Liên

Trần Thị Văn Anh
2/ 500 Bài toán cơ bản và mở rộng Giải tích 12
Dương Đức Kim
Đỗ Duy Đồng
3/ Học và ôn tập toán Giải tích 12
Lê Bích Ngọc
Lê Hồng Đức
4/ Phương pháp khảo sát hàm số 12
Ths. Trần Đức Huyên

Trường THPT Võ Văn Kiệt
Tổ nhận xét, đánh giá xếp loại
Chủ đề: Cực trị của hàm số

Trang 13


Trường THPT Võ Văn Kiệt

GV: Ngô Văn Nghị

PHẦN NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI SÁNG
KIẾN KINH NGHIỆM

1. Kết quả chấm điểm................/100 điểm
a) Về nội dung:
- Tính khoa học........../25 điểm
- Tính mới................./ 20 điểm
- Tính hiệu quả........../25 điểm
- Tính ứng dụng thực tiển......../20 điểm

b) Về hình thức........./10 điểm
2. Căn cứ kết quả đánh giá, xét duyệt của tổ Toán, tổ Toán thống nhất công nhận Sáng
kiến kinh nghiệm và xếp loại.....................
Phước Long, ngày......tháng
Tổ trưởng

SỞ GIÁO DỤC& ĐÀO TẠO BẠC LIÊU

Trường THPT Võ Văn Kiệt
Chủ đề: Cực trị của hàm số

Trang 14

năm 2015


Trường THPT Võ Văn Kiệt

GV: Ngô Văn Nghị

PHẦN NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI SÁNG
KIẾN KINH NGHIỆM

1. Kết quả chấm điểm................/100 điểm
a) Về nội dung:
- Tính khoa học........../25 điểm
- Tính mới................./ 20 điểm
- Tính hiệu quả........../25 điểm
- Tính ứng dụng thực tiển......../20 điểm
b) Về hình thức........./10 điểm

2. Căn cứ kết quả đánh giá, xét duyệt của Hội đồng nghiệm thu Sáng kiến kinh nghiệm
của trường THPT Võ Văn Kiệt thống nhất công nhận Sáng kiến kinh nghiệm và xếp
loại.....................
Phước Long, ngày......tháng 02 năm 2014
HIỆU TRƯỞNG

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
BẠC LIÊU
Chủ đề: Cực trị của hàm số

Trang 15


Trường THPT Võ Văn Kiệt

GV: Ngô Văn Nghị

PHẦN NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI SÁNG
KIẾN KINH NGHIỆM

1. Kết quả chấm điểm................/100 điểm
a) Về nội dung:
- Tính khoa học........../25 điểm
- Tính mới................./ 20 điểm
- Tính hiệu quả........../25 điểm
- Tính ứng dụng thực tiển......../20 điểm
b) Về hình thức........./10 điểm
2. Căn cứ kết quả đánh giá, xét duyệt của Hội đồng khoa học ngành giáo dục và đào tạo.
Ban Giám đốc Sở GD & ĐT Bạc Liêu thống nhất công nhận Sáng kiến kinh nghiệm và
xếp loại....................

Bạc Liêu, ngày......tháng .... năm 2015
Giám đốc

Chủ đề: Cực trị của hàm số

Trang 16


Trường THPT Võ Văn Kiệt

GV: Ngô Văn Nghị

+
Chuyên đề: MỘT SỐ SAI LẦM KHI GIẢI
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Phần A: Đặt vấn đề
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Trong đề thi tốt nghiệp THPT bài toán giải PT trình mũ và logarit luôn có mặt,
nhưng bài toán BPT mũ, lôgarit hầu như ít cho trong đề thi. Tuy nhiên bài toán này là một
nội dung khá quan trọng trong các đề thi tuyển sinh đại học và cao đẳng. Đối với học sinh
THPT bài toán giải BPT là một trong những bài toán khó vì nó cần đến sự áp dụng linh
hoạt của định nghĩa, các tính chất, các phương pháp giải BPT (có liên quan đến bất
phương trình chứa căn thức). Trong thực tế đa số học sinh khi giải các BPT mũ và logarit
thường mắc phải một số sai lầm thường xãy ra, như đối với học sinh trung bình và yếu thì
các em thường trình bày lời giải không chặt chẽ, cách viết chưa chính xác hoặc hiểu
nhầm cách biến đổi các công thức hoặc khi giải BPT mũ và BPT lôgarit trong quá trình
biến đổi thường làm thay đổi tập xác định của PT, BPT dẫn đến sai lầm nghiêm trọng.
Còn đối với đối tượng HS khá giỏi thì với lượng bài tập trong SGK thì các em không đủ
để tiếp cận với các đề thi đại học. Qua thực tế giảng dạy nhiều năm tôi nhận thấy rất rõ
Chủ đề: Cực trị của hàm số

Trang 17


Trường THPT Võ Văn Kiệt

GV: Ngô Văn Nghị

yếu điểm này của học sinh nên tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến : “ Một số sai lầm khi
giải toán Bất phương trình mũ và Bất phương trình lôgarit”.
Nhằm mục đích giúp HS khắc phục được những yếu điểm nêu trên từ đó đạt được kết
quả cao khi giải các bài toán về BPT mũ và BPT lôgarit nói riêng và đạt kết quả cao
trong quá trình học tập.
II. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: Học sinh lớp 12C7 trường THPT Võ Văn Kiệt
III. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: Chỉ ra một số sai lầm khi giải các bài toán BPT
mũ và BPT lôgarit.
Phần B: Nội dung
I. CƠ SỞ LÍ LUẬN:
Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh có những kỹ năng giải các bài tập Môn
Toán nói chung, các bài tập về BPT mũ và BPT lôgarit nói riêng một cách lôgíc, chặt chẽ,
đặc biệt là làm thế nào để học sinh tránh một số sai sót khi giải bài tập BPT mũ và BPT
lôgarit.
Theo nhận thức của cá nhân tôi, trong việc hướng dẫn học sinh giải bài tập cần
phải thực hiện được một số nội dung sau:
- Phân loại các bài tập của phần theo hướng ít dạng nhất.
- Hình thành cách thức tiến hành tư duy và thứ tự các thao tác cần thực hiện.
- Hình thành cho học sinh cách trình bày bài giải đặc trưng của phần kiến thức đó.
II. THỰC TRẠNG:
Trong SGK chương trình chuẩn thời lượng để giáo viên cung cấp kiến thức về BPT
mũ và BPT logarit cho học sinh hơi ít. Mặt khác có nhiều học sinh còn có tư tưởng xem

nhẹ phần này và học sinh không thích học BPT đặc biệt là BPT mũ và logarit. Qua thực
tế giảng dạy, dự giờ đồng nghiệp, chấm bài kiểm ta của học sinh, tôi nhận thấy đa số học
sinh học còn yếu nội dung này, đối tượng học sinh trung bình thì học rất yếu, còn học
sinh khá giỏi thì không đủ kiến thức để tiếp cận các đề thi tuyển sinh đại học và cao đẳng.
Trong năm học 2011 – 2012, tôi được phân công giảng dạy hai lớp 12, qua vài
bước khảo sát ban đầu tôi cũng nhận ra được là các em rất yếu kiến thức về BPT và
không thích làm các bài toán về BPT. Nguyên nhân cơ bản là các em không nắm được
bản chất của vấn đề, chưa có kinh nghiệm trong việc giải các BPT. Để khắc phục những
yếu trên, tôi cố gắng phân dạng các bài toán về BPT mũ và BPT logarit, từ đó chỉ ra
những sai lầm thường gặp của các dạng toán, giúp các em học sinh trung bình và yếu tích
lũy dần kinh nghiệm khi giải bất phương trình. Ngoài ra đối với các em học sinh khá, giỏi
có thêm tài liệu tham khảo về các dạng BPT mũ và logarit nằm ngoài sách giáo khoa, từ
đó giúp các em xử lí tốt hơn khi tiếp cận với các đề thi tuyển sinh đại học và cao đẳng.
III. BIỆN PHÁP THỰC HIỆN:
"Một số sai lầm của HS khi giải các BPT mũ và BPT lôgarit "
Chủ đề: Cực trị của hàm số

Trang 18


Trường THPT Võ Văn Kiệt

GV: Ngô Văn Nghị

1.
1.1.
a)

Bất phương trình mũ:
Bất phương trình mũ dạng cơ bản:

Kiến thức cần nắm:
( 1)
x
 Dạng 1: a > b,
( a > 0, a ≠ 1)
* Nếu b ≤ 0 : Tập nghiệm của BPT (1) là T = R
* Nếu b > 0 và
+) a > 1 : ( 1) ⇔ x > loga b
+) 0 < a < 1 : ( 1) ⇔ x < loga b
 Dạng 2: a ≥ b,
x

( 1)

( a > 0, a ≠ 1)

* Nếu b ≤ 0 : Tập nghiệm của bất phương trình (1) là T = R
* Nếu b > 0 và
+) a > 1 : ( 1) ⇔ x ≥ loga b
+) 0 < a < 1 : ( 1) ⇔ x ≤ loga b
 Dạng 3: a < b,
x

( 1)

( a > 0, a ≠ 1)

* Nếu b ≤ 0 : Tập nghiệm của BPT (1) là T = ∅
* Nếu b > 0 và
+) a > 1 : ( 1) ⇔ x < loga b

+) 0 < a < 1 : ( 1) ⇔ x > loga b
 Dạng 4: a ≤ b,
x

( 1)

( a > 0, a ≠ 1)

* Nếu b ≤ 0 : Tập nghiệm của BPT (1) là T = ∅
* Nếu b > 0 và
+) a > 1 : ( 1) ⇔ x ≤ loga b

+) 0 < a < 1 : ( 1) ⇔ x ≥ loga b
b)
Các ví dụ minh họa:
Bài toán 1: Giải các bất phương trình sau:

− x 2 +3 x +1

1) 3x

2

− 2 x −3

>1

−2 x 2 + 4

3

3)  ÷
4

1
2)  ÷
2

9
<
16

x 2 −2 x
x −1

4)  1 
 ÷
9

<

1
2

≤1

HD
 x < −1
x 2 −2 x − 3
> 1 ⇔ x2 − 2x − 3 > 0 ⇔ 
1) 3

x > 3
Nhận xét: Ở ví dụ này các em học sinh trung bình và yếu thường mắc sai lầm ở
bước giải BPT bậc hai, do các em chưa hiểu một cách chắc chắn về cách sử dụng
dấu ngoặc nhọn
“ { ” hoặc dấu ngoặc vuông “  ”.
Chủ đề: Cực trị của hàm số

Trang 19


Trường THPT Võ Văn Kiệt

GV: Ngô Văn Nghị

− x 2 + 3 x +1

1
1
2)  ÷
< ⇔ − x 2 + 3x > 0 ⇔ 0 < x < 3
2
2
Nhận xét: Ở ví dụ trên các em thường quên để ý tới cơ số, nên thường các em dẫn
− x 2 + 3 x +1

1
đến lời giải sai là “  ÷
2

<

1
⇔ − x 2 + 3 x + 1 < 1 ”.
2

−2 x 2 + 4

 x < −1
3
9
3)  ÷
<
⇔ −2 x 2 + 4 > 2 ⇔ − x 2 + 1 < 0 ⇔ 
16
4
x > 1
Nhận xét: Ở ví dụ trên, nếu các em không mắc sai lầm ở bước bỏ cơ số thì cũng
không ít em bị sai ở bước giải BPT bậc hai: “ − x 2 + 1 < 0 ⇔ x > ±1 .
x 2 −2 x
x −1

0 ≤ x < 1
x2 − 2x
4)  1 ÷
≤1⇔
≥0⇔
x −1
9
x ≥ 2
Nhận xét: Rõ ràng BPT đã cho nếu các em không vướng các sai lầm tương tự như

trên thì các em còn có thói quen bỏ mẫu làm dẫn đến lời giải sai: “
x ≤ 0
x2 − 2x
≥ 0 ⇔ x2 − 2x ≥ 0 ⇔ 
”
x −1
x
≥
2

c)
Bài tập tương tự: Giải các bất phương trình sau
2x

1) 3

x 2 −17 x + 63,5

≤ 27 3

4

x −1
2)  1 ÷ ≥  1 ÷
2
2

x

3) 8 x +1 < 2

x 2 − 2 x −3

4) 2 x

2

− x −6

>1

5)  1 ÷
3

x 2 −3 x − 5

6)  1 ÷
3

<1

1.2. Cách giải một số bất phương trình mũ đơn giản:
1.2.1. Đưa về cùng cơ số:
a) Kiến thức cần nắm:
 a > 1

f (x)
g( x )
  f ( x ) < g( x )
* Dạng 1: a < a ⇔ 

* Dạng 2:
0 < a < 1

  f ( x ) > g( x )
 a > 1

 f ( x ) ≤ g( x )
f (x)
g( x )
a ≤a ⇔
 0 < a < 1

  f ( x ) ≥ g( x )
b) Bài tập minh họa:
Bài toán 2: Giải các bpt sau:
4 x 2 −15 x +13

1
1)  ÷
2

Chủ đề: Cực trị của hàm số

< 23 x − 4

2)

1
2

2

x −2 x

≤ 2 x −1
Trang 20

>3


Trường THPT Võ Văn Kiệt

GV: Ngô Văn Nghị

HD
4 x 2 −15 x +13

1
1)  ÷
2

4 x 2 −15 x +13

<2

3 x −4

1
⇔ ÷
2

4 −3 x

1
< ÷
2

3
2
Nhận xét: Ở ví dụ trên, ta thấy thường học sinh bị sai lầm ở hai chỗ, thứ nhất sai
lầm ở bước bỏ cơ số hoặc sai ở bước giải BPT bậc hai (do chưa nắm thật kỹ về định lí
dấu tam thức bậc hai).
⇔ 4 x 2 − 15 x + 13 > 4 − 3 x ⇔ 4 x 2 − 12 x + 9 > 0 ⇔ x ≠

2)

1
2

2

x −2 x

1
≤ 2 x −1 ⇔  ÷
2

x 2 −2 x

1− x

1
≤ ÷
2

⇔ x2 − 2x ≥ 1 − x

 x 2 − 2 x ≥ 0
 x < 0 ∨ x > 2


 1 − x ≤ 0
x ≥ 1
⇔
⇔
⇔ x>2
 x < 1
1 − x > 0


 x 2 − 2 x ≤ ( 1 − x ) 2
 1 ≥ 0
 
Nhận xét: Ở ví dụ trên các em ngoài mắc sai lầm ở bước bỏ cơ số thì không ít em
giải sai BPT căn thức x 2 − 2 x ≥ 1 − x .
c) Bài tập tương tự:
2
1) (0,1)4 x −2 x −2 ≤ (0,1)2 x −3
2) 25x > 1253 x −2
3) 62 x +3 < 2 x +7.33 x −1

1.2.2. Đặt ẩn phụ :
a) Kiến thức cần nắm :
f (x)
f (x)
 Dạng 1 : A.a + B.b + C > 0 ( ≥ 0, < 0, ≤ 0 ) với ab = 1 . Đặt
t = a f ( x ) (t > 0) .
 Dạng 2 : a.u2 f ( x ) + b ( uv )

f (x)

+ c.v 2 f ( x ) > 0 ( ≥ 0, < 0 , ≤ 0 ) .

Đặt

f (x)

u
t= ÷
v

(t > 0)

2 f ( x)
+ B.a f ( x ) + C > 0 ( ≥ 0, < 0, ≤ 0 ) .
 Dạng 3 : A.a

Đặt

t = a f ( x ) (t > 0) .
b) Bài tập minh họa :

Bài toán 3 : Giải các bpt sau :
x

1) 5

2 x +1

>5 +4
x

3) 7− x − 3.71+ x < 4
5) 2.25x − 5.10 x + 2.4 x ≥ 0

Chủ đề: Cực trị của hàm số

x

1
1
2)  ÷ − 2. ÷ − 15 < 0
9
3
1
1
>
4) x
2 − 1 1 − 2 x −1
x

6) 4.3x − 9.2 x − 5.6 2 > 0

HD
Trang 21


Trường THPT Võ Văn Kiệt

GV: Ngô Văn Nghị

( )

1) 52 x +1 > 5x + 4 ⇔ 5. 5 x

2

− 5x − 4 > 0


4
t
<
−
(loai)
Đặt t = 5 , ( t > 0 ) ta có bpt: 5t − t − 4 > 0 ⇔ 
5

 t > 1
2

x

Với t > 1 , ta có 5x > 1 ⇔ x > 0
Nhận xét: Ở ví dụ trên HS thường mắc sai lầm không đối chiếu lại đk t > 0
x

2x

x

x

1
1
1
1
2)  ÷ − 2. ÷ − 15 < 0 ⇔  ÷ − 2. ÷ − 15 < 0
9
3
3
 3
x

 t < −3 (loai)
1
2
Đặt t =  ÷ , ( t > 0 ) ta có bất phương trình t − 2t − 15 > 0 ⇔ 
t > 5
3
x

1

Với t > 5 , ta có  ÷ > 5 ⇔ x < log 1 5
3
3
Nhận xét: Ở ví dụ trên HS thường mắc sai lầm không đối chiếu lại đk t > 0 hoặc
x

1
giải sai BPT : “  ÷ > 5 ⇔ x > log 1 5 ” do không để ý đến cơ số.
3
3
1
x
3) 7− x − 3.71+ x < 4 ⇔ x − 21.7 x − 4 < 0 .
Đặt t = 7 , ( t > 0 ) ta có BPT:
7
1
1
1
− 21t − 4 > 0 ⇔ −21t 2 − 4t + 1 > 0 ⇔ − < t < .
Kết hợp đk t > 0 ta được
t
3
7
1
07
x
1 1
1
Với 0 < t < , ta có 0 <  ÷ < ⇔ x > 1

7
7 7
x

1 1
Nhận xét: Ở ví dụ trên HS sẽ có khả năng giải sai BPT : “ 0 <  ÷ < ⇔ x < 1 ” do
7 7
không để ý đến cơ số.
1
1
1
1
>
⇔
>
4) x
2 − 1 1 − 2 x −1
2.2 x −1 − 1 1 − 2 x −1
x −1
Đặt t = 2 , ( t > 0 ) ta có bất phương trình
1
2
<
t
<
1
1
2 − 3t
>
⇔

> 0 ⇔ 2
3

2t − 1 1 − t
( 2t − 1) ( 1 − t )
 t > 1
1
2

Kết hợp đk t > 0 , ta được 2
3

t > 1
1
2
1
2
2
Với < t < , ta có < 2 x < ⇔ −1 < x < log2
2
3
2
3
3
Chủ đề: Cực trị của hàm số

Trang 22

Trường THPT Võ Văn Kiệt

GV: Ngô Văn Nghị

Với t > 1 , ta có 2 x > 1 ⇔ x > 0

2
Vậy tập nghiệm của BPT là T =  −1;log2 ÷∪ ( 0; +∞ )
3

Nhận xét: Ở ví dụ trên HS sẽ có khả năng sai ở bước giải BPT
2 − 3t
2
> 0 ⇔ 2 − 3t > 0 ⇔ t < hoặc các em trả lời sai tập nghiệm.
3
( 2t − 1) ( 1 − t )
2x

x

x

5
5
5
5) 2.25 − 5.10 + 2.4 ≥ 0 ⇔ 2.  ÷ − 5. ÷ + 2 ≥ 0 . Đặt t =  ÷ , ( t > 0 ) ta có
2
2
2
 1


1
t
≤
0
<
t
≤
2
BPT: 2t − 5t + 2 ≥ 0 ⇔  2 .
Kết hợp đk t > 0 , ta được 
2


 t ≥ 2
 t ≥ 2
x

x

x

x

5 1
1
1
+ Với 0 < t ≤ , ta có 0 <  ÷ ≤ ⇔ x ≤ log 5
2
2

2 2
2
x

5
+ Với t ≥ 2 , ta có  ÷ ≥ 2 ⇔ x ≥ log 5 2
2
2


1 
Vậy tập nghiệm của BPT đã cho là T =  −∞;log 5  ∪  log 5 2; +∞ ÷
÷
2  2

2

Nhận xét: Ở ví dụ trên HS sẽ có khả năng gặp khó khăn ở bước chia hai vế cho 4 x
và thường sai lầm ở bước giải các BPT mũ cơ bản và trả lời tập nghiệm.
x

x
2

x

2
6) 4.3x − 9.2 x − 5.6 > 0 ⇔ 4.  3 ÷ − 5. 3 ÷ − 9 > 0
2
2

x
t < −1 (loai)
2
2


3
Đặt t =  ÷ , ( t > 0 ) , ta có BPT : 4t − 5t − 9 > 0 ⇔  9
t >
2
 4

9
Với t > , ta có
4

x

 3 2 9
x
 ÷ > ⇔ >2⇔ x>4
4
2
2
Vậy tập nghiệm của BPT đã cho là T = ( 2; +∞ )
Nhận xét: Ở ví dụ trên HS sẽ có khả năng gặp khó khăn ở bước nhận dạng để chia
hai vế của BPT cho 2 x .
c) Bài tập tương tự: Giải các bpt sau
1) 3.52 x −1 − 2.5 x −1 < 0,2
2) 32 x +2 − 4.33 x +2 + 27 > 0

3) 3 .(3 + 1) − 2 > 0
x

5)

x

9 x + 3x − 2 ≥ 9 − 3x

7) 2 x 2 + x − 4.2 x2 − x − 22 x + 4 > 0
Chủ đề: Cực trị của hàm số

2
x

1+

1
x

4)  1 ÷ + 3. 1 ÷ > 12
3
3
1− x
x
2 − 2 +1
6)
≤0
2x − 1
8) 4 x − 10.2 x −1 − 24 < 0

Trang 23


Trường THPT Võ Văn Kiệt

GV: Ngô Văn Nghị

9) 22 x +6 + 2 x +7 − 17 > 0

10) 22 x − 3.2 x +2 + 32 > 0

2. Bất phương trình logarit
2.1. Bất phương trình logarit dạng cơ bản:
a) Kiến thức cần nắm:
Dạng 1
Dạng 3
( 1)
( 1)
log a x > b, ( a > 0, a ≠ 1)
log a x < b, ( a > 0, a ≠ 1)
b
+) a > 1 : ( 1) ⇔ x > a

b
+) a > 1 : ( 1) ⇔ 0 < x < a

b
+) 0 < a < 1 : ( 1) ⇔ 0 < x < a

log a x ≥ b,

( 1)

b
+) 0 < a < 1 : ( 1) ⇔ x > a

Dạng 2
( a > 0, a ≠ 1)

log a x ≤ b,

b
+) a > 1 : ( 1) ⇔ x ≥ a

( 1)

Dạng 4
( a > 0, a ≠ 1)

b
+) a > 1 : ( 1) ⇔ 0 < x ≤ a

b
+) 0 < a < 1 : ( 1) ⇔ 0 < x ≤ a

b
+) 0 < a < 1 : ( 1) ⇔ x ≥ a

b) Các ví dụ minh họa:
Bài toán 4: Giải các bpt sau:

2) log 1 x > 5

1) log3 x ≤ 4

2

HD
1) log3 x ≤ 4 ⇔ 0 < x ≤ 3 ⇔ 0 < x ≤ 81
Nhận xét: Mặc dầu ta thấy lời giải bài toán trên hết sức đơn giản, nhưng đối với
những em học sinh trung bình và yếu nếu như GV không rèn luyện thật kỹ thì các
em sẽ bị sai như sau: “ log3 x ≤ 4 ⇔ x ≤ 34 ⇔ x ≤ 81 ” vẫn nhận những giá trị của
x < 0.
4

5

1
1
2) log 1 x > 5 ⇔ 0 < x <  ÷ ⇔ 0 < x <
32
2
2
Nhận xét: Đối với bài này ngoài việc sai tương tự như trên các em còn có khả năng
5

1
1
sai lầm ở bước: “ log 1 x > 5 ⇔ x >  ÷ ⇔ x >
”.

2
32


2
c) Bài tập tương tự: Giải các bpt sau:
1) log5 x ≤ 3
2) log3 ( x − 1) < 4
3) log 1 x > 2
5

4) log 1 ( 2 − x ) ≥ −2
7

2.2. Bất phương trình logarit dạng đơn giản:
2.2.1. Đưa về cùng cơ số:
a) Kiến thức cần nắm:

Chủ đề: Cực trị của hàm số

Trang 24


Trường THPT Võ Văn Kiệt

GV: Ngô Văn Nghị

 a > 1

c

 f ( x ) > a
+ Dạng: log a f ( x ) > c ⇔ 
+ Dạng:
0 < a < 1
  
 0 < f ( x ) < ac
 a > 1

 f ( x ) > g( x ) > 0
log a f ( x ) > log a g( x ) ⇔ 
 0 < a < 1
  
 0 < f ( x ) < g( x )
b) Bài tập minh họa
Bài toán 5: Giải các bpt sau:

(

)

(

))

(

2
2) log 1 log8 x + x < 0

2

1) lg x − 5 x + 4 ≤ 1

2

 x+4 
3) log 1 ( 8 − x ) > log 1 
÷
2x − 3 
5
5

4) log5 x + 7 > log5 ( x + 1)

HD
x < 1∨ x > 4
 −1 ≤ x < 1
 x − 5 x + 4 > 0
2
⇔
⇔
1) lg x − 5 x + 4 ≤ 1 ⇔  2
4 < x ≤ 6
 x − 5 x + 4 ≤ 10 −1 ≤ x ≤ 6
Nhận xét: Đối với bài này các em thường thiếu đk: x 2 − 5 x + 4 > 0 và các em rất
khó khăn khi kết hợp nghiệm.
log x 2 + x < 1
 6
2
2) log2 log6 x + x < 0 ⇔ 
2

log6 x + x > 0

−1 − 5
−3 < x < 2
−
3
<
x
<

2
 x + x − 6 < 0 
2

⇔ 2
⇔
−1 − 5
−1 + 5 ⇔ 
∨x>
−1 + 5
 x + x − 1 > 0
x <
< x<2

2
2

 2
2
Nhận xét: Đối với bài này các em thường thiếu đk: log6 x + x > 0

(

2

)

(

(

))

(
(

)
)

(


x+4
 x + 4  8 − x <
3) log 1 ( 8 − x ) > log 1 
2x − 3
÷⇔ 
2
x
−

3
 8 − x > 0
5
5

 3
 2 x 2 − 18 x + 28
3
 < x < 2
< x<2
>0
 2

⇔
⇔
⇔ 2
2x − 3

8 − x > 0
  x > 7
 7 < x < 8

 x < 8

Chủ đề: Cực trị của hàm số

Trang 25

)