Ảnh hưởng của sự hấp thụ nhiều photon của sóng điện từ mạnh lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần trường hợp tán xạ điện tửphonon âm.
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (766.36 KB, 52 trang )
Khóa luận tốt nghiệp
Cấn Thị Thu Thủy
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA VẬT LÝ
Cấn Thị Thu Thủy
ẢNH HƯỞNG CỦA SỰ HẤP THỤ NHIỀU PHOTON
CỦA SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH LÊN HẤP THỤ
SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM
TRONG SIÊU MẠNG HỢP PHẦN TRƯỜNG HỢP
TÁN XẠ ĐIỆN TỬ-PHONON ÂM
Khóa luận tốt nghiệp đại học hệ chính quy
Ngành Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Cán bộ hướng dẫn: T.S Hoàng Đình Triển
Hà Nội - 2012
Lớp QH2008S_Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Cấn Thị Thu Thủy
Mục lục
MỞ ĐẦU ...................................................................................Error! Bookmark not defined.
1. Lý do chọn đề tài: ..............................................................Error! Bookmark not defined.
2. Phương pháp nghiên cứu:..................................................Error! Bookmark not defined.
3. Bố cục khóa luận: ..............................................................Error! Bookmark not defined.
CHƯƠNG 1:TỔNG QUAN VỀ SIÊU MẠNG HỢP PHẦN VÀ BÀI TOÁN HẤP THỤ SÓNG
ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ TRONG BÁN DẪN KHỐI KHI CÓ MẶT CỦA HAI SÓNG
ĐIỆN TỪ...................................................................................Error! Bookmark not defined.
1.1. Tổng quan về siêu mạng hợp phần ..................................Error! Bookmark not defined.
1.1.1. Khái niệm siêu mạng hợp phần [3] ..........................Error! Bookmark not defined.
1.1.2. Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần
..........................................................................................Error! Bookmark not defined.
1.2. Ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử trong bán
dẫn khối.................................................................................Error! Bookmark not defined.
1.2.1. Xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối .......... Error!
Bookmark not defined.
1.2.2. Tính hệ số hấp thụ phi tuyến α..................................Error! Bookmark not defined.
CHƯƠNG 2: XÂY DỰNG PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG TỬ CHO ĐIỆN TỬ GIAM CẦM
TRONG SIÊU MẠNG HỢP PHẦN ............................................Error! Bookmark not defined.
2.1. Hamiltonian của hệ điện tử - phonon trong siêu mạng hợp phần.. Error! Bookmark not
defined.
2.2. Phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần ..... Error!
Bookmark not defined.
CHƯƠNG 3:HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG SIÊU
MẠNG HỢP PHẦN DƯỚI ẢNH HƯỞNG CỦA HẤP THỤ NHIỀU PHOTON CỦA SÓNG
ĐIỆN TỪ MẠNH TRONG TRƯỜNG HỢP TÁN XẠ ĐIỆN TỬ - PHONON ÂM .............. Error!
Bookmark not defined.
3.1. Hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp
phần dưới ảnh hưởng của hấp thụ nhiều photon của sóng điện từ mạnh trường hợp tán xạ
điện tử-phonon âm. ................................................................Error! Bookmark not defined.
3.1.1. Mật độ dòng của hạt tải trong siêu mạng hợp phần ..Error! Bookmark not defined.
3.1.2. Hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp
phần ..................................................................................Error! Bookmark not defined.
3.2. Tính toán số và thảo luận................................................Error! Bookmark not defined.
KẾT LUẬN ................................................................................Error! Bookmark not defined.
TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................Error! Bookmark not defined.
Lớp QH2008S_Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Cấn Thị Thu Thủy
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Trong thời đại khoa học kỹ thuật ngày càng phát triển thì sự đầu tư nghiên cứu
các ngành công nghệ cao đã trở thành chiến lược phát triển của nhiều quốc gia. Với dự
đoán sẽ có những tác động mạnh mẽ đến tất cả các lĩnh vực khoa học, công nghệ và kỹ
thuật cũng như đời sống kinh tế - xã hội, công nghệ Nano đang được nghiên cứu rất
rộng rãi đem lại nhiều kết quả và triển vọng trong tương lai. Các thành tựu của công
nghệ nano với nhiều ứng dụng thiết thực để từ đó giải quyết các lĩnh vực đang được
nhân loại quan tâm hàng đầu như bảo vệ môi trường và chế tạo các linh kiện điện tử có
kích thước tinh vi. Chính điều này làm cho cấu trúc nano trở thành đối tượng được
quan tâm nghiên cứu cả về lý thuyết lẫn thực nghiệm.
Sự phát triển của công nghệ chế tạo vật liệu đã tạo ra cho chúng ta rất nhiều hệ
vật liệu với cấu trúc nano như cấu trúc hố lượng tử, siêu mạng bán dẫn, các dây lương
tử và chấm lượng tử. Trong các cấu trúc nano, các hạt dẫn bị giới hạn bởi trong những
vùng có kích thước đặc trưng vào cỡ bước sóng De Broglie, các tính chất vật lý thay
đổi kịch tính, trước hết, thông qua việc biến đổi đặc trưng cơ bản nhất của hệ điện tử là
hàm sóng và phổ năng lượng của nó. Phổ năng lượng trở thành gián đoạn dọc theo
hướng tọa độ giới hạn. Dáng điệu của hạt dẫn trong các cấu trúc kích thước lượng tử
tương tự như khí hai chiều [1-6] hoặc khí một chiều [7, 9], .... Từ đó, hầu hết các tính
chất quang, điện đều có những thay đổi đáng kể. Đặc biệt, một số tính chất mới khác,
được gọi là hiệu ứng kích thước, đã xuất hiện.
Chúng ta đã biết khi chiếu chùm bức xạ sóng điện từ vào vật chất, sự tương tác
của sóng điện từ với vật chất xẩy ra, một phần bức xạ được truyền qua vật chất, một
phần bị phản xạ và phần còn lại bị hấp thụ bởi môi trường vật chất. Với nhiều ứng
dụng mạnh mẽ và sâu rộng trong khoa học kỹ thuật, đặc biệt là trong các lĩnh vực kỹ
thuật quân sự, cũng như chế tạo các linh kiện điện tử thông minh, siêu nhỏ, sự hấp thụ
sóng điện từ của các vật liệu bán dẫn thấp chiều ngày càng được quan tâm nghiên cứu
và phát triển cả về lý thuyết lẫn thực nghiệm [5-11].
Trên quan điểm lý thuyết lượng tử, bài toán hấp thụ sóng điện từ đã được nghiên
cứu trong bán dãn khối cũng như các hệ thấp chiều cho cả hai trường hợp tuyến tính
Lớp QH2008S_Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Cấn Thị Thu Thủy
[5-7] và phi tuyến [8-10]. Tuy nhiên, ảnh hưởng của hấp thụ nhiều photon của sóng
điện từ mạnh lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp
phần vẫn còn khá mới mẻ và chưa được giải quyết đầy đủ. Do vậy nhằm giải quyết cụ
thể vấn đề đó chúng tôi tiến hành nghiên cứu đề tài “Ảnh hưởng của hấp thụ nhiều
photon của sóng điện từ mạnh lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm
trong siêu mạng hợp phần trường hợp tán xạ điện tử-phonon âm”.
2. Phương pháp nghiên cứu:
Trong khóa luận này chúng tôi đã sử dụng phương pháp phương trình động
lượng tử để tính toán hệ số hấp thụ phi tuyến. Xuất phát từ Hamilton của hệ trong biểu
diễn lượng tử hóa lần hai ta xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử giam
cầm, áp dụng phương trình động lượng tử để tính mật độ dòng hạt tải, từ đó suy ra biểu
thức giải tích của hệ số hấp thụ. Phương pháp này được sử dụng rộng rãi khi nghiên
cứu các hệ bán dẫn thấp chiều, đạt hiệu quả cao và cho các kết quả có ý nghĩa khoa học
nhất định.
Bên cạnh đó, để có được trực quan về sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ sóng điện
từ vào các tham số vật lý của hệ, phần mền Matlab được sử dụng để tính toán số và vẽ
đồ thị cho siêu mạng hợp phần GaAs/Al0.3Ga0.7As.
3. Bố cục khóa luận:
Khóa luận bao gồm 50 trang, ngoài phần mở đầu và kết luận, tài liệu tham khảo
và phụ lục gồm 3 chương:
Chương 1: Tổng quan về siêu mạng hợp phần và bài toán về hệ số hấp thụ sóng
điện từ yếu bởi điện tử trong bán dẫn khối khi có sóng điện từ mạnh.
Chương 2: Xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong
siêu mạng hợp phần.
Chương 3: Hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi điện tử giam cầm trong siêu
mạng hợp phần dưới ảnh hưởng của hấp thụ nhiều photon của sóng điện từ mạnh trong
trường hợp tán xạ điện tử - phonon âm.
Lớp QH2008S_Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Cấn Thị Thu Thủy
CHƯƠNG 1
TỔNG QUAN VỀ SIÊU MẠNG HỢP PHẦN VÀ BÀI TOÁN
HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ TRONG BÁN
DẪN KHỐI KHI CÓ MẶT CỦA HAI SÓNG ĐIỆN TỪ
1.1. Tổng quan về siêu mạng hợp phần
1.1.1. Khái niệm siêu mạng hợp phần [3]
Siêu mạng bán dẫn hợp phần được tạo nên từ các lớp mỏng bán dẫn A, có vùng
cấm hẹp, có độ dày a, và các bán dẫn B có vùng cấm gB rộng có độ dày b xếp xen
kẽ nhau vô hạn dọc theo trục siêu mạng (trục z). Chu kì siêu mạng: d=a+b.
A
g
Độ sâu của một hố thế cô lập:
Đối với điện tử được cho bởi hiệu của các cực tiểu các vùng dẫn của hai bán
c | cA cB |
dẫn A, B:
Đối với lỗ trống được cho bởi hiệu các cực đại của các khe năng lượng hai
v | vA vB |
bán dẫn A, B:
Thế của siêu mạng được xác định bởi hiệu của các khe năng lượng của hai bán
( r ) g | gA | c v c v U 0
dẫn:
1.1.2. Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử giam cầm trong siêu mạng
hợp phần
Giải Phương trình Schrodinger với thế đặc trưng của siêu mạng hợp phần ta thu
được biểu thức hàm sóng của năng lượng như sau:
Hàm sóng của điện tử trong mini vùng n là tổ hợp của hàm sóng theo mặt phẳng
(xy) có dạng sóng phẳng và theo phương của trục siêu mạng (có dạng hàm Block).
ψ n,k (r) =
với:
Lớp QH2008S_Vật Lý
Nd
1
exp{i(k x x + k y y)} exp(ik Z jz) n (z - jd)
LxL yNd
j=1
(1.1)
Khóa luận tốt nghiệp
Cấn Thị Thu Thủy
L x : Độ dài chuẩn theo phương x
L y : Độ dài chuẩn theo phương y
N d : Số chu kì siêu mạng.
n ( z ) : Hàm sóng của điện tử trong hố thế biệt lập.
Phổ năng lượng:
n , p
2 p 2
2 2 n 2
c o s ( p zn d )
n
2
2m
2m d
(1.2)
Trong đó:
d: Chu kì siêu mạng.
n : một nửa độ rộng của mini vùng n.
1.2. Ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử
trong bán dẫn khối.
1.2.1. Xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn
khối
Xét Hamilton của hệ điện tử - phonon trong bán dẫn khối:
(1.3)
H H e H ph H e ph
e
Hamilton của hệ điện tử không tương tác: H e p
A(t ) a p a p
c
p
Hamilton của hệ phonon không tương tác: H ph
b b
q
Hamilton của hệ tương tác điện tử - phonon: H e ph
q q q
q, p
ap , ap lần lượt là toán tử sinh và hủy điện tử ( kiểu hạt fecmi )
bq , bq lần lượt là toán tử sinh và hủy phonon (kiểu hạt bosson)
Lớp QH2008S_Vật Lý
(1.5)
q p q p
C a
Trong đó:
Cq : hằng số tương tác điện tử - phonon.
(1.4)
a bq bq
(1.6)
Khóa luận tốt nghiệp
Cấn Thị Thu Thủy
e
p A(t ) : là hàm năng lượng theo biến
c
2
Dạng tường minh ( p) p / 2m *
e
p A(t )
c
Phương trình động lượng tử cho điện tử có dạng: i
np (t)
t
ap ap , Hˆ
(1.7)
t
Vế phải của (1.7) có tương ứng ba số hạng với toán tử Hamilton.
Số hạng thứ nhất:
e
a ;
a
A(t ) a p ' a p '
p p
p'
c
p
'
Số hạng thứ hai:
e
p
A(t ) a p a p a p ap 0
c
t
b b
ap ap ;
q
q
q
q
0 do toán tử a, b là hai loại độc lập
t
thì chúng giao hoán với nhau.
Số hạng thứ ba:
a a b b
C
ap ap ;
q
q
q p ' q p '
q, p '
t
C a a ; ap' q ap' bq bq
q p p
q, p '
Cq Fp ,p q ,q (t ) Fp*q ,p , q (t ) Fp ,p q ,q (t ) Fp*,p q , q (t )
q
Vậy phương trình (1.7) trở thành:
i
np (t )
t
*
*
F (t ) F (t ) F (t ) F (t )
C
q
p
,
p
q
,
q
p
q
,
p
,
q
p
,
p
q
,
q
p
, p q , q
(1.8)
q
(t ) a a b
Với Fp ,
p ,q
p p q
1
2
1
2
t
(t ) thông qua phương trình:
Để giải (1.8) ta cần tính Fp ,
p ,q
1
i
(t )
Fp ,
p ,q
1
2
t
2
ap a
b ; H
1 p2 q
(1.9)
t
Vế phải của (1.9) chứa ba số hạng tương ứng ba số hạng của hàm Hamilton H.
Lớp QH2008S_Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Cấn Thị Thu Thủy
Số hạng thứ nhất:
e
a b ,
a
p p q p3 c A(t ) a p a p
p
1
2
3
e
( p2 ) ( p1 )
p2 p1 A(t ) Fp , p ,b (t )
m
*
c
3
3
t
1
q
2
Số hạng thứ hai:
q bqbq
q apap bq;bqbq q apapbq qFp,p,b (t)
apapbq ,
t
q
t q
t
1
2
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1 2 q
2
1
Số hạng thứ ba:
a a b , C a a b b
q1
p1 p2 q q , p q1 p q1 p q1
1
Cq ap a
bq , a p q ap bq bq
p
1
1
1
1 2
q, p
t
Ta có:
aab ,a a b b aabb
aabb
a abb a ab b aaa
p
p
q
p
q
p
q
q
p
,
p
q
p
p
q
q
p
,
p
q
p
p
q
q
p
,
p
p
q
p
q
q
p
,
p
p
q
p
q
q
q
,
q
p
p p
1
2
2 3
1
1
2
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
2
1
1
1
2
Đặt vào số hạng thứ ba ta được:
apap bq , Cqapqap bq bq
q,p
1
2
1
1
1
1
1
C apap q bq bq bq
q
q1
t
1
1
2
1
1
1
C apq ap bq bq bq
q
t
q1
1
1
1
2
1
1
t
Thay các số hạng vào (1.9) ta được phương trình:
i
(t )
Fp ,
p ,q
1
2
t
p1
e
(t )
( p 2 ) ( p1 )
p 2 p1 A (t ) q Fp ,
p ,q
mc
1 2
b b b
C q a a
p q q
q
1
q1
2
1
1
q1
C q a
t
q1
1
p1 q1
q1
a
bq b
p
2
1
(1.10)
b
q
t
(1.10) là phương trình vi phân không thuần nhất được giải bằng phương pháp
biến thiên hằng số. Trước hết ta giải phương trình vi phân thuần nhất tương ứng.
i
Fp , p , q (t )
1
2
t
e
( p 2 ) ( p1 )
p 2 p1 A (t ) q Fp , p ,q (t )
mc
1
2
Sử dụng điều kiện đoạn nhiệt tương tác ln Fp , p , q (t ) 0 được nghiệm của
1
2
phương trình vi phân thuần nhất có dạng:
t i
e
F o p , p , q ( t ) exp ( p 2 ) ( p1 )
p 2 p1 A ( t1 ) q dt1
mc
1
2
Do đó, nghiệm của phương trình vi phân không thuần nhất có dạng:
Lớp QH2008S_Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
(t )
F p ,
p ,q
i
1
Cấn Thị Thu Thủy
i M '( t ) . F
2
t
o
p1 , p 2 ,q
(t ) i M (t ) F
o
(t )
' p ,
p ,q
1
2
e
(t ) F (t ). ( p ) ( p )
iM '(t ).F o p,
p
p
A
(
t
)
2
1
2
1
p1 , p2 , q
q
1 p2 , q
mc
(1.10)
e
(t )
(
p
)
(
p1 )
p2 p1 A(t ) q Fp,
2
p ,q
mc
1 2
b b b
Cq ap a
p q q
q
q
1
q1
1
2
1
1
1
Cq ap q a
bq bq bq
p
q1
t
1
1
2
1
1
1
i
M '(t )
t
C
q1
q1
a p
1
t
M (t )
i
q C q1 a
1
t2 i
exp ( p 2 )
o
(t ) F (t ).M (t )
Fp ,
p ,q
p , p ,q
1
2
1
2
t
i
b b b
Cq ap q a
bq bq bq
Cq ap a
p2
q1
q1
1
1
1
1
1
1 p2 q1 q
1
q1
q1
tt
t2
i e
i
exp ( p2 ) ( p1 ) q (t2 t )
p2 p1 A(t1 ) dt1 dt 2
mc
t
Như vậy
t
i
(t )
Fp ,
C
a a b b b
p
,
q
q
1 2
q1 1 p1 q1 p2 q1 q1 q
t2
b b b
ap a
p q q
q
q
1
2
1
1
1
t2
(1.11)
t
i
ie
t t
exp p
p
p
A
(
t
)
dt
2
1
2
1
1 dt2
p2
q
1
mc
t2
Hàm phân bố số hạt của điện tử: np (t ) ap ap
t
N q bqbq
N q 1 bq bq
t
Do tính đối xứng mạng tinh thể nên thay q thành q và q thành q
Hàm phân bố số hạt của phonon:
Lớp QH2008S_Vật Lý
t
Khóa luận tốt nghiệp
Bỏ qua số hạng chứa bq bq
Cấn Thị Thu Thủy
t
và bqbq
t
Thay (1.11) vào (1.8) đưa vào toán tử số hạt của điện tử và phonon, t2 t ta được:
n(t)
t
t
1
p
2 dt 'n (t ')N n(t ')(N 1) exp i t t ' ie qA
i
|
C
|
(
t
)
dt
t
q p
q
q
mc t ' 1 1
p p q
2 q q p q
t
i
ie t
dt ' n (t ') N n (t ')(N 1) exp t t '
qA(t1)dt1
q p
q
q
mc t '
p p q
p q
i
ie t
n (t ') N n (t ')( N 1) exp t t '
q A(t1)dt1
q
pq
q
pq
q
mc t '
p
p
i
ie t
n (t ') N n (t ')( N 1) exp t t '
q
A
(
t
)
dt
1 1
q
pq
q
p
q
mc t '
p
p q
i
ie t
n (t ') N n (t ')( N 1) exp t t '
qA(t1)dt1
mc t '
q p
q
q
p q p
pq
(1.12)
Xét:
1 A(t )
E (t ) E1 (t ) E 2 (t ) E 01 sin 1t E 02 sin 2t
c t
E
E 02 c
01c
Suy ra: A ( t )
c os 1t
c os 2 t
1
2
Áp dụng khai triển: exp(iz sin )
J ( z) exp(i ) ta có:
ieEo1q
ie t
ieEo2 q
exp qA(t1)dt1 exp
sin 1t ' sin 1t
sin 2t ' sin 2t
2
2
m2
mc t '
m1
eE q eE q
eE q eE q
Jl o12 Js o12 exp(is1t ')exp(il1t) J f o22 Jm o22 exp(if 2t ')exp(im2t)
m
l ,s m1
f ,m
2
m1 m2
eE
o1
Với phép đặt: a1
;
m12
Lớp QH2008S_Vật Lý
eE
a2 o 22 thì:
m2
Khóa luận tốt nghiệp
Cấn Thị Thu Thủy
ie t
exp
q A ( t ) dt
J a q J a q J
a q J
a q
1 1
l 1
s 1
m 2
f
2
mc
t'
l , s , m , f
exp i ( s l ) ( m f ) t exp i ( s m )( t t ')
1
2
1
2
Thay kết quả này vào (1.12) và đưa vào thừa số e-δ(t-t’) (δ→+0) xuất hiện do giả
thiết đoạn nhiệt của tương tác.
i
np (t )
t
1
2
2
|
C
|
J
a
q
J
a
q
J
a
q
J
a
l
1
s
1
m
2
f
2q
q q l ,s ,m , f
t
exp i ( s l )1 (m f )2 t
dt 'n
p q
(t ') N q np (t ')( N q 1)
i
exp p p q q s1 m 2 i t t '
i
np (t ') Nq npq (t ')( Nq 1) exp p pq q s1 m2 i t t '
i
np (t ') Nq np q (t ')( Nq 1) exp p q p q s1 m2 i t t '
i
npq (t ')Nq np (t ')(Nq 1) exp pq p q s1 m2 i t t '
(1.13)
(1.13) là phương trình động lượng tử cho hàm phân bố không cân bằng của điện
tử trong bán dẫn khối khi có mặt hai sóng điện từ E 1 (t ) và E 2 (t ) . Giải (1.13) bằng
phương pháp xấp xỉ gần đúng lặp, ta xem n p (t ) n p và tính các tích phân sau:
t
i
i
K1 exp p pq q s1 m2 i t t ' dt '
p pq q s1 m2 i
t
K2 expi (s l )1 (m f )2 t ' dt '
expi (s l )1 (m f )2 t
i (s l )1 (m f )2
Với các tích phân K1 và K2 đã tính ta được:
np (t )
1
2
|C
q
q
|
2
exp i ( s l ) 1 ( m f ) 2 t
J l a1 q J s a1 q J m a 2 q J f a 2 q
i ( s l )1 ( m f ) 2
l , s , m , f
n p q N n p ( N 1)
n p N n p q ( N 1)
q
q
q
q
p p q q s 1 m 2 i p p q q s 1 m 2 i
Lớp QH2008S_Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
p q
Cấn Thị Thu Thủy
n p N n p q ( N 1)
n p q N n p ( N 1)
q
q
q
q
p q s1 m 2 i p q p q s1 m 2 i
(1.14)
e
e
Mật độ dòng được cho bởi biểu thức: J (t ) p A(t ) np (t )
m p
c
Hay:
e 2
e
e 2 no
e
J (t )
A
(
t
)
n
(
t
)
pn
(
t
)
A
(
t
)
p
pnp (t )
p
m * c p
m * p
m*c
m * p
(1.15)
Do số hạt e = tổng số e theo từng trạng thái có xung lượng p nên:
np (t ) no
p
Ta xét số hạng thứ hai của biểu thức (1.15):
expi (s l)1 (m f )2 t
e
e
2
(t)
|
pn
|
C
J
a
q
J
a
q
J
a
q
J
a
l 1 s 1 m 2 f 2 q i(s l) (m f )
m* p p
m* q q l,s,m, f
1
2
n p q N n p ( N 1)
n p N n p q ( N 1)
q
q
q
q
p
s
m
i
s
m
i
p
1
2
1
2
p
p q
q
p
p q
q
n p N n p q ( N 1)
n p q N n p ( N 1)
q
q
q
q
p q p q s1 m 2 i p q p q s1 m 2 i
(1.16)
k l s l k s
Đặt
r l m f r m
k :
r :
expi k1 r2 t
e
e
2
(t )
|
pn
|
C
J
a
q
J
a
q
J
a
q
J
a
k
s
1
s
1
m
2
r
m
2q
m* p p
m* q q l ,s,m, f
i k1 r2
Ta có:
Lớp QH2008S_Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Cấn Thị Thu Thủy
npq N np (N 1)
np N npq ( N 1)
q
q
q
q
p
s
m
i
s
m
i
p
1
2
1
2
p pq
q
p
p q
q
n p N n p q ( N 1)
n p q N n p ( N 1)
q
q
q
q
p q p q s1 m2 i p q p q s1 m2 i
Thực hiện các bước chuyển đổi: q q, m m đối với số hạng thứ 1 và
thứ 2 và sử dụng tính chất hàm Bessel: J ( x ) J ( x ) ( 1) J ( x )
Số hạng 1:
e
2
| C q |
J k s a1 q J s a1 q J m a 2 q J r m a 2 q
m * q
l , s , m , f
exp i k 1 r 2 t
i k 1 r 2
n p q N n p ( N 1)
q
q
p
s m i
1
2
p
p
pq
q
e
2
|
|
C
J
a
q
J
a
q
J
a
q
J
a
s
k
1
s
1
m
2
m
r
2q
m* q q l,s,m, f
n p q N n p ( N 1)
exp i k 1 r2 t
q
q
p
i k 1 r 2
p p p q q s1 m2 i
n p q N n p ( N 1)
exp i k 1 r2 t
q
q
p
i k 1 r2
p p p q q s1 m2 i
n p q N n p ( N 1)
exp i k 1 r 2 t
q
q
p
i k 1 r 2
p p q p q s1 m 2 i
Số hạng 2:
exp i k 1 r2 t
e
2
|
|
C
J
a
q
J
a
q
J
a
q
J
a
k s
1
s
1
m
2
r m
2q
m * q q l , s , m, f
i k 1 r 2
n p N n p q ( N 1)
q
q
p
p
p p q q s1 m2 i
exp i k 1 r2 t
e
2
|
|
C
J
a
q
J
a
q
J
a
q
J
a2 q
k
s
1
s
1
m
2
r
m
q
m * q
i k 1 r2
l , s ,m , f
Lớp QH2008S_Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Cấn Thị Thu Thủy
n p N n p q ( N 1)
q
q
p
p
p q p q s1 m 2 i
Giữ nguyên số hạng thứ 3 và thứ 4, khi đó (1.16) có dạng:
exp i k 1 r 2 t
e
e
2
( t )
|
pn
|
C
p n p q N q n p ( N q 1)
p
q
m* p
m* q
i
k
r
k , s , m , r
1
p
2
J s k a1 q J s a1 q J m a 2 q J m r a2 q
J k s a1 q J s a1 q J m a 2 q J r m a 2 q
p q p q s 1 m 2 i
p q p q s 1 m 2 i
p n p q N q n p ( N q 1)
J k s a1 q J s a1 q J m a2 q J r m a2 q J s k a1 q J s a1 q J m a2 q J m r a2 q
p q p q s1 m2 i p q p q s1 m2 i
(1.17)
Rút gọn hai số hạng triệt tiêu nhau trong ngoặc vuông, biểu thức (1.17) còn:
exp i k 1 r 2 t
e
e
2
pn
(
t
)
|
C
|
p
p
m * p
m * q ,p q k ,s ,m,r
k1 r2
J s a1 q J m a2 q n p q N q n p ( N q 1)
J sk a1 q J mr a2 q
J k s a1 q J r m a2 q
pq p q s1 m2 i pq p q s1 m2 i
(1.18)
Áp dụng:
exp i k 1 r 2 t cos ( k 1 r 2 )t i sin ( k 1 r 2 )t
1
( x ) i ( x )
x i
Lưu ý chỉ lấy phần thực của mật độ dòng J (t ) nên ta có:
e
pnp (t )
m * p
Jk s a1 q Jr m
e
2
|
C
|
qJ
s
m * q , p q k ,s ,m ,r
a2 q Jsk a1 q Jmr a2 q
Lớp QH2008S_Vật Lý
a q J a q n
1
m
2
pq
cos (k1 r2 )t
k1 r2
N q n p ( N q 1)
pq p q s1 m2
Khóa luận tốt nghiệp
( i )
Cấn Thị Thu Thủy
sin (k 1 r 2 )t
k 1 r 2
J k s a1 q J r m a2 q J s k a1 q J m r a2 q
( i ) p q p q s1 m 2
Suy ra:
n p q N n p ( N 1)
q
q
e
e
J
2
pn (t )
q
a q J a q
|C |
s 1
m 2
m* p p
m * q, p q k , s, m, r
k r
1
2
cos ( k r )t
1
2
J
a q J
a q J
a q J
a q
rm 2
sk 1
m r 2 s m
ks 1
1
2
pq
p
q
J
a q J
a q J
aq J
a q sin (k r )t
rm 2
s k 1
mr 2
1
2
ks 1
s m
1
2
p
q
pq
(1.19)
Thay kết quả này vào biểu thức mật độ dòng (1.15) ta thu được:
n p q N q n p ( N q 1)
e 2 n
o A ( t ) e | C |2
J (t )
q
mc
m * q, p q k , s, m , r
k r
1
2
cos (k r )t
1
2
J a q J a q J
aq J
a q J
aq J
a q
s 1 m 2
s k 1 m r 2 s m
k s 1 r m 2
1
2
pq p
q
J
aq J
a q J
aq J
a q sin(k r )t s m (1.20)
1
2
ks 1 rm 2 sk 1 mr 2 1 2 pq p q
1.2.2. Tính hệ số hấp thụ phi tuyến α
Ta có hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ yếu bởi điện tử trong bán dẫn khối
với giả thiết 2 1 như sau:
8
J (t ) E o 2 sin 2t
c Eo22
Thay (1.20) vào (1.21) ta được:
Lớp QH2008S_Vật Lý
t
(1.21)
Khóa luận tốt nghiệp
Cấn Thị Thu Thủy
2
e n o
A ( t ) E o 2 sin t
2
mc
c E2
o2
t
e
pn ( t ) E o 2 sin t
2
m p
p
t
8
Eo1c
E c
Với thế vectơ trường sóng điện từ: A(t )
cos 1t o 2 cos 2t
1
2
Ta tính số hạng thứ nhất.
e 2 n
o A (t ) E
o 2 sin 2 t
mc
t
Trong đó: T1
T
E
c
E c
o 1 o1 cos t o 2 cos t E
sin tdt
1
2 o2
2
mc T o
2
1
e2 n
2
2
và T2
là chu kỳ của hai sóng điện từ. T là bội chung
1
2
nhỏ nhất của T1 và T2.
Sử dụng tích phân: sin(ax)cos(bx)dx
2
Suy ra: e n o A ( t ) E o 2 sin 2 t
mc
cos(a b)x cos(a b)x
với a 2 b2
2(a b)
2(a b)
(1.22)
(1.23)
0
t
Ta tính số hạng thứ hai. Theo (1.22) ta có số hạng thứ hai có thành phần chứa
cos(k1 r 2 )t sẽ cho kết quả tích phân bằng 0. Do đó ta có:
n p q N n p ( N
q
q
e
eE o 2
2
pn (t ) E o 2 sin t
q|C |
2
m p p
m q, p
q
k r
k , s, m, r
t
1
2
J
a q J
a q J
a q J
a q J
a q J
a q
s 1
m
2
rm
2
sk 1
m r
2
k s 1
1)
1T
s m
sin ( k r ) t sin tdt
1
2 T
1
2
2
p
q
pq
0
Lưu ý:
0
T
sin
(
k
r
)
t
sin
td
t
T
1
2
2
0
2
Lớp QH2008S_Vật Lý
khi
k r
1
2
2
khi
k r
1
2
2
Khóa luận tốt nghiệp
Cấn Thị Thu Thủy
Suy ra:
e E o2
2
q
|
C
|
2 m q , p
q s , m
2
t
J a q J
a q J
a q J
a q J
a q
s 1
m 2 k s 1
rm 2
sk 1
e
pn
(
t
)
E o 2 sin t
2
m p
p
n p q N n p ( N 1)
q
q
J m r a2 q
s m
1
2
p
q
pq
(1.24)
Với k 1 r 2 2
(1.25)
Thay (1.24) vao (1.21) ta được hệ số hấp thụ:
4 2e
2
q
|
C
|
n
N
n
(
N
1)
J
a
q
J
a
q
p
q
p
s 1 m 2
q
q
c m E q, p q s, m
2 o2
J
aq J
a q J
aq J
a q s m
k s 1 r m 2
s k 1 m r 2 p q p
1
2
q
Với k1 r 2 2
Từ biểu thức hàm Bessel:
2 s k
a q
(1)
1
J
(a q)
sk 1
0 !(s k 1) 2
k
(s 1)
a1 q
Js (a1 q)
0 (s k 1)
2
Vậy: J
a q J
a q J
a q J
a q
k s 1
rm 2
sk 1
m r 2
2 k 2 r
k
r
a q
2
a q
( s 1) ( m 1)
1 2
k
r
( a q ) ( a q ) 0 2 2 ( s k 1) ( m r 1)
1
2
( s 1) ( m 1)
J
(
a
q
)
J
(
a
q)
m 2
( s k 1) ( m r 1) s 1
Giới hạn gần đúng của hàm Bessel và sử dụng giả thiết Eo1 Eo 2 ta cho
r=1;k=0 (thoả mãn giả thiết k1 r 2 2 ) ta được:
2m
J
(a q ) J
( a q ) J ( a q ) J ( a q ) J ( a q)
m 1 2
m 1 2 s 1
( a q) s 1 m 2
2
Suy ra:
Lớp QH2008S_Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
8 2
c
Cấn Thị Thu Thủy
2
2 a q J 2 a q
|
C
|
n
N
n
(
N
1)
mJ
p
q
p
s 1
m 2
q
q
q
q , p m , s
2
E2
o2
s m
1
2
p
q
pq
(1.26)
Sử dụng điều kiện tần số phonon q
p
rút ra 1, 2
p
với s là tốc độ sóng
ms 2
âm. Như vậy tổng theo p không còn phụ thuộc vào phần đối số của , ta thực hiện lấy
tổng n p (t ) no . Xét tán xạ điện tử - phonon âm ta có:
p
2
Cq
o q
;
2 vsV0
k T k T
N 1 N B B
v q
q
q
o
s
Từ (1.26) ta được:
2
2
n
n
mJ
a
p
q
p s 1 q J m a2 q
c E022 vs2V0 q s , m
4 2 2 o k B T
p q p q s 1 m 2
4 2 2 o kB T
c E 2 vs2V0
o2
(1.27)
n p q n p mJ s2 a1 q J m2 a2 q
s , m
q
( p q) 2 p 2
* o s 1 m 2
2m*
2m
(1.28)
Xét trường hợp hấp thụ một photon của sóng điện từ yếu 2 (m=0, ±1) và hạn
( 1) k ( x / 2) 2 k s
chế gần đúng bậc hai của hàm Bessel ta có: J s ( x)
k 0 k ! ( s k 1)
x2
x2
J 21 ( x )
J 02 ( x) 1
4
2
Thay vào (1.27) ta được:
4 22okBT
2
02
c E
pq
n
v V
2
s,m
s 0 q
Lớp QH2008S_Vật Lý
2
q2 pq
a2 q 2
n p Js a1 q * * o s1 m2
2m m
(1.29)
2
Khóa luận tốt nghiệp
Cấn Thị Thu Thủy
Xét hàm delta:
q 2 pq
q 2 pq
pq
* * o s1 m2 * * s,m s,m *
m
m
m
2m
2m
(1.30)
q 2
Với: s , m = o s 1 m2 ; s , m =
+ s ,m
2 m*
Xét:
s=-2,-1,0,1,2; m=-1,0,1
Vậy hệ số hấp thụ có dạng:
a 2 q
2
2
4 o 2 kBT
c E022 vs2V0
aq
1
4
2
p, q
2
a
1 q
n p q n p 1
2
2
pq pq
0, 1
0,1 m
m
pq pq pq pq
1,1 m 1,1 m 1,1 m 1,1 m
Xét tổng sau: Ds , m
p , q
a
np q np 2 q
2
2
pq
s , m m
(1.31)
(1.32)
Chuyển tổng thành tích phân:
Ds , m
2
a
2q
dp dq n p q n p 2
1
2
2
pq
s ,m
m
(1.33)
Xét:
D1
1
2
1
2
2
2
dp n
pq
s,m
1
m*
n exp
q
k BT
0
Tương tự tính D2:
Lớp QH2008S_Vật Lý
pq
1
m 2 2
( p q)2
2m *
dpn
exp
0 k B T
m 2
s,m
s ,m
2
2q
2 pq
s,m
m
(1.34)
Khóa luận tốt nghiệp
D2
*
pq 1 n m exp 1
dpn s ,m m 2 2 0 q k BT
1
2
Cấn Thị Thu Thủy
2
p
m 2
s ,m
2
2
q
(1.35)
Thay vào (1.34) và (1.35) vào biểu thức (1.33) ta được:
2
2
ms,m2
s,m
1 m* s,m a2
q 2
exp
Ds,m
n
exp
dq
1
exp
2 0
2
2kBT
k
T
2
q
8k
Tm
2 kBT 8
B
B
(1.36)
Áp dụng tích phân:
0
2
x 1exp - x dx 2 K 2
x
Do vậy:
2
s ,m a2
s ,m
1
m
2
n
exp
1
exp
2 0
2 k BT 4
2k BT
*
Ds ,m
1
4m*2 s2,m 2 | s ,m |
2 .K 2k T
m*
Đặt B=2 n
suy ra:
0
Ds ,m
B
2
2
1
2
s ,m a2
s ,m 4m*2 s2,m 2 | s ,m |
exp
1
exp
2 .K 2k T
k BT 4
2k BT
(1.37)
Tương tự ta xét tổng:
n
Gs ,m
p q
,
pq
2
a 2 q 2
pq
n p
a
q
1
s ,m m*
2
2
s,m 4m*2s2,m 2 | s,m |
B s,m a2
exp
exp
.K
1
2
2 3 2k T
2kBT
2 kBT 4
(1.38)
3
(1.39)
Thay (1.37) và (1.39) vào công thức tính hệ số hấp thụ (1.31) ta thu được biểu
thức cuối cùng của α như sau:
4 2 o 2k BT
1
1
D0,1 D0,1 G0,1 G0,1 G1,1 G1,1 G1,1 G1,1
2
2
2
4
c E02 vs V0
(1.40)
Đây là biểu thức hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử trong bán dẫn khối
khi có mặt trường bức xạ Laser. Kết quả này được chúng tôi sử dụng để so sánh với
các kết quả tính toán hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ yếu dưới ảnh hưởng của hấp
Lớp QH2008S_Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Cấn Thị Thu Thủy
thụ nhiều photon của sóng điện từ mạnh bởi điện tử giam cầm khi trong siêu mạng hợp
phần trường hợp tán xạ điện tử phonon âm thu được ở chương sau.
CHƯƠNG 2
XÂY DỰNG PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG TỬ CHO ĐIỆN
TỬ GIAM CẦM TRONG SIÊU MẠNG HỢP PHẦN
2.1. Hamiltonian của hệ điện tử - phonon trong siêu mạng hợp phần
Xét Hamiltonian của hệ điện tử - phonon trong siêu mạng hợp phần khi có mặt
sóng điện từ dưới dạng hình thức luận lượng tử hóa lần thứ hai:
H H0 U
H0
(2.1)
e
b b
p
A
(
t
)
a
a
n
n
,
p
n
,
p
q
q
q
c
q
n, p
U
q
n , n ', p
C q I n , n ' ( q z ) a n ', p
q
(2.2)
a n , p ( b q b q )
(2.3)
a n,k , a n ,k : Toán tử sinh, hủy điện tử ở trạng thái n, k
bq , bq : Toán tử sinh hủy phonon ở trạng thái q
q : Xung lượng của điện tử trong mặt phẳng vuông góc với trục của siêu mạng hợp
phần.
A(t ) : Thế vecto của trường điện từ.
I n , n ' ( qz )
N .d
0
n ( z) n, ( z )eiqz z dz : Thừa số dạng điện tử trong siêu mạng hợp phần.
Lớp QH2008S_Vật Lý
Khóa luận tốt nghiệp
Cấn Thị Thu Thủy
n ,k : Năng lượng của điện tử trong siêu mạng hợp phần.
2
q
Hằng số tương tác điện tử-phonon cho trường hợp tán xạ điện tửCq
2 vsVO
phonon âm.
2
Trong đó:
VO : Thể tích chuẩn hóa (thường chọn VO 1 )
: Hằng số điện môi cao tần
2.2. Phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần
Gọi
(t ) a a
nn,
p
n, p
n, p
là số điện tử trung bình tại thời điểm t.
t
Phương trình động lượng tử cho điện tử trong siêu mạng hợp phần có dạng:
i
(t )
n n ,
p
t
a a , H
n , p n , p
t
(2.4)
Số hạng thứ nhất:
s h1
e
a
'
a
,
p
A ( t ) a a
'
c
' '
n
n ', p '
n, p
n ', p '
n, p
n , p
t
Ta có:
'
e
a a ,
p
A ( t ) a a
'
n, p
n, p
', p'
c
n', p '
n
'
n
'
n
,
p
Vậy:
sh1 t 0
Số hạng thứ 2:
Lớp QH2008S_Vật Lý
0
(2.5)
Khóa luận tốt nghiệp
sh 2
a n, p a n , p ,
b
b
q q
q
q
t
Cấn Thị Thu Thủy
(2.6)
0
t
Số hạng thứ 3:
sh 3 a n , p a n , p ,
C q I n1 ,n2 ( q z )a n2 ,p' q a n1 ,p' (bq b q )
q n1 , n2 , p '
t
Ta có:
an, p an ,p , C q I n1 ,n2 ( q z )a a (bq bq )
n2 , p ' q n1 , p '
q n1 , n2 , p '
Cq I n ,n1 ( qz )an,p an , p
n1 , q
( n2 n1 )
1
C I
q n ,n1
n1 , q
q
( qz )an,p an ,p
1
(bq bq ) C q I n ,n2 (q z )a n , p
2
n2 , q
q
(bq bq ) Cq I n ,n1 (qz )a n , p
1
n1 , q
q
q
an , p (bq bq )
an ,p (bq bq )
Chuyển chỉ số n1 thành n’ ta có:
sh 3
C
n ' ,q
q
I n ,n' ( q z )
a
n,p
a n ' , p
q
b
q
t
a ' a n ,p b q
n , p q
t
a ' a n ,p b q a n ,p a n ' ,p q b q
n ,p q
t
t
(2.7)
Thay (2.5), (2.6), (2.7) vào (2.4) ta được:
i
nn,p (t)
t
Cq In,n' (qz ) Fn' ,p q ,n,p ,q (t) Fn,p ,n' ,p q ,q (t) Fn,p ,n' ,p q ,q (t) Fn' ,p q ,n,p ,q (t)
n' ,q
Với: Fn1 , p 1 , n2 , p 2 , q ( t ) a n1 , p 1 a n 2 , p 2 bq
t
(2.8)
.
Ta đi xây dựng biểu thức tính hàm F(t) bằng cách viết phương trình động lượng
tử cho nó:
i
Fn , p
1
1 , n2
, p 2 ,q
t
(t )
a n , p a n ,p bq , H
1 1 2 2
Lớp QH2008S_Vật Lý
(2.9)
t
Khóa luận tốt nghiệp
Cấn Thị Thu Thủy
e
sht1 t a n , p a n , p bq ,
p
A
(
t
)
a
a
n, p
n, p
1
2
1
2
n c
n, p
n p
n, p
e
A(t ) a n , p a n ,p bq , a n, p a n , p
c
1 1 2 2
t
t
Ta xét:
a a b , a a a a b a a b
n , p n2 , p2 q n , n1 p1 , p
n1 , p1 n2 , p 2 q n , p n, p n1 , p1 n , p q n ,n2 p 2 , p
Vậy:
sht1 t
e
p
A(t ) an , p an , p bq n ,n2 p , p an, p an , p bq n ,n1 p ,p
2
2
2
1
n
c
1 1
n, p
e
e
p
A (t ) p
A ( t ) a n , p a n , p c q
1
2
1
2
n1 1 c
c
n2 2
t
t
2 2
2 2 2
Mà p n n cos( pn d )
n, p
2 m
2 md 2
Nên:
e
e
e
p
A (t ) p
A ( t ) n , p n , p p p A ( t )
2
1
n2 2
n1 1 c
2
1
2
1
c
m c
Vậy: sht1 t n ,p n ,p
2
1
sht 2
t
2
1
e
p
p A(t ) Fn ,p ,n ,p ,q (t )
1
mc 2
1 1 2 2
a n , p a n ,p bq ,
b b
q1 q 1
q1
1
2
1
2
q1
t
q1
q1
a n , p a n
1
1
2 , p2
(2.10)
b , b b
q q1 q1
t
Ta xét:
b , b b b b b b b b b b b b b b b
q1 , q
q1 q1
q1
q1 q1 q
q1 ,q q1
q q1 q1 q q1 q1 q1 q1 q
Vậy: s h t 2
sht 3
t
t
q F n
1
, p1 ,n2 , p 2 ,q
a n1 , p 1 a n 2 , p 2 bq , C q 1 I n 3 , n 4 ( q z ) a n4 , p q a n3 , p ( bq 1 b q 1 )
n3 , n4 , p , q1
Lớp QH2008S_Vật Lý
(2.11)
(t )
t
Khóa luận tốt nghiệp
Cấn Thị Thu Thủy
a a b , a
I
b )
C
(
q
)
a
(b
n
,
n
z
q
n
,
p
n
,
p
q
q
q1
3
4
n4 , p q
n3 , p
1
1
1 1 2 2
n3 ,n4 , p , q1
Ta xét: an , p an
1
b , an , p
2 , p2 q
1
4
an ,p an ,p bq bq bq n2 ,n4 p
1
3
1
an ,p
4
q
1
1
q
an ,p (bq bq )
3
1
1
q
2 , p
t
an , p
4
q
an , p bq bq bq n1 ,n3 p ,k
2
2
1
1
1
an ,p an ,p an ,p n1 ,n3 p ,p q ,q
3
1
2
1
2
1
1
Vậy:
C
sht 3 t
n3 , q1
I
q1 n2 , n3
Cq I n1 ,n4 (qz ) an ,p
4
1
n4 , q1
Do an ,p
4
q
1
(qz ) an ,p an ,p
1
a
1
q n2 , p 2
an ,p an ,p an ,p
1
1
1
2
1
3
1
b
q1
2
2 q
bq bq bq
1
1
t
bq bq Cq I n1,n4 (qz ) an ,p q an ,p an ,p an ,p
1
t
4
n4
1
1
1
1
1
2
2
t
n2p 1
t
(2.12)
(2.13)
nên ta bỏ qua số hạng này.
Thay (2.10), (2.11), (2.12), (2.13) vào (2.9) ta được:
i
Fn , p
1
1 ,n2
, p 2 ,q
(t )
t
e
n , p n , p
p p A ( t ) q Fn , p , n , p , q ( t )
2
1
1
2
1 2
2
2
1
1
m c
C I (q ) an ,p an ,p q bq bq bq
q n2 ,n3 z
1
1
n3 ,q1
1
3
2
1
1
t
C I (q ) an ,p q an ,p bq bq bq
q n1 ,n4 z
4
1
n4 ,q1
1
2
2
1
1
t
(2.14)
Trước hết ta đi giải phương trình vi phân thuần nhất sau:
i
Fn0,p ,n ,p ,q (t )
1
1
2
2
t
e
n ,p n ,p
p p A(t ) q Fn0,p ,n ,p ,q (t )
2
1 1
1 1 2
2
2
1
mc 2
(2.15)
Sử dụng điều kiện đoạn nhiệt ln Fn , p , n
1
1
2 , p2 ,q
(t )
t
0 , ta dễ dàng tính được
nghiệm của phương trình thuần nhất trên có dạng:
0
n1 , p1 , n2 , p 2 ,q
F
i t
e
(t ) exp n ,p n ,p
p p A(t ) q dt1 (2.16)
1 1
2
2
2
mc 1
Lớp QH2008S_Vật Lý
