GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ

GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC
BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ
Giáo viên: Nguyễn Duy Hoàng.
Đơn vị: Trường THCS Tam Dương, Tam Dương.
Đối tượng bồi dưỡng: Học sinh giỏi lớp 9.

Phương pháp thế là một trong những phương pháp có ứng dụng nhiều trong
việc tính giá trị biểu thức, chứng minh, giải phương trình, hệ phương trình, …
Đặc biệt đối với giải hệ phương trình không mẫu mực thì phương pháp thế là
phương pháp được sử dụng linh hoạt, có hiệu quả. Tuy nhiên khi sử dụng phương
pháp thế cần lưu ý rằng phương trình thu được phải các phương trình giải được.
Phương pháp thế gồm: Phép thế đơn; Phép thế nhóm; Phép thế hằng số.
1. Phép thế đơn:
a) Cơ sở phương pháp. Ta rút một ẩn từ một phương trình trong hệ và thế vào
phương trình còn lại.
b) Nhận dạng. Phương pháp này thường hay sử dụng khi trong hệ có một phương
trình là bậc nhất đối với một ẩn nào đó.
* Nếu một phương trình trong hệ có bậc nhất đối với tất cả các ẩn thì rút tùy ý một
ẩn để thay vào phương trình còn lại.

(1)
2 x  3 y  5
Bài 1. Giải hệ phương trình  2
2
3 x  y  2 y  4 (2)
Lời giải.

5  3y
Từ (1) ta có x 
thế vào (2) ta được
2

2

 5  3y 
2
3
  y  2y  4  0
 2 

 3(25  30 y  9 y 2 )  4 y 2  8 y  16  23 y 2  82 y  59  0  y  1, y 


 31 59  
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là 1;1 ;   ;  
 23 23  


1

59
23


* Nếu một phương trình trong hệ có bậc nhất đối với một ẩn thì rút ẩn đó để thay
vào phương trình còn lại. Trong trường hợp này phức tạp hơn bởi biểu thức thay
vào không phải bậc nhất.
3
2
3 x  (6  y ) x  2 xy  0 (1)
Bài 2. Giải hệ phương trình  2

(2)
 x  x  y  3

Lời giải.
Phương trình (2) là bậc nhất với y nên từ (2) suy ra y  3  x 2  x thay vào phương
trình (1) ta được 3 x3  (6  x 2  x  3) x 2  2 x(  x 2  x  3)  0
 x4  4 x3  7 x 2  6 x  0
 x( x 3  4 x 2  7 x  6)  0
 x( x  2)( x 2  2 x  3)  0 (*)

Vì x 2  2 x  3  ( x  1) 2  2  0 mọi x nên phương trình (*) có nghiệm x  0; 2
Từ đó tìm được nghiệm của hệ phương trình là (0; 3); (2;9)

 x 4  2 x 3 y  x 2 y 2  2 x  9 (1)
Bài 3. Giải hệ phương trình  2
(2)
 x  2 xy  6 x  6
Phân tích. Phương trình (2) là bậc nhất đối với y nên ta dùng phép thế.
Lời giải.
TH 1: Với x = 0 không thỏa mãn (2)
TH

2:

Với

6x  6  x2
x  0, (2)  y 
,
2x

thế

vào

(1)

ta

2

 6x  6  x2  2  6x  6  x2 
x  2x 
 x 
  2x  9
2
x
2
x




4

3

x  0
(6 x  6  x 2 ) 2
 x  x (6 x  6  x ) 

 2 x  9  x ( x  4) 3  0  
4
 x  4
4

2

2

 17 
Do x  0 nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất  4; 
4

2
2
Bài 4. Giải hệ phương trình x  y  xy  3 (1) .


2
xy  3x  4
2

(2)

được


Lời giải.
2

 4  3x 2 
4  3x 2
4  3x 2
2
x


x.
3
Tõ (2)  x  0, y 
, thay vµo (1) ta cã:


x
x
x


2
2
 7x 4  23x 2  16  0 . Gi¶i ra ta ®­îc x  1 hoÆc x =

16
7

Tõ x 2  1  x  1  y  1 ;
Tõ x 2 

16
4 7

5 7
x
y
7
7
7

 4 7 5 7   4 7 5 7 
;
;
VËy hÖ cã nghiÖm (x; y) lµ (1; 1); (-1; -1); 

 ; 
7
7
7
7

 


Bài tập vận dụng: Giải các hệ phương trình sau:
 x  y  1
1) 
1
 x  y  2 (1  xy )
x  y 1  0
2)  2 2
x  y  x  0
x  y  4

3) 

2
( x  1) y  xy  4( y  2)

2 x  y  5

4) 

2

 x 2  4 xy  3 y 2  x  1
8) 
 x  y  1

 x  y 1  1
9) 

 x  y  2  2 y  2

10 xy  3x  3 y  58
10) 
 x  y  6

2 x  y  1  0

2

 x  xy  y  7

x  2 y  4

5) 

2
2
 x  xy  3 y  2 x  5 y  4  0

 x 2 y 9
6) 
 x  4 y  9

11) 

2
2
 x  2 y  3x  2 y  2  0

3 x 3  (5  y ) x 2  2 xy  2 x  0
12)  2
 x  x  y  4
3 x 3  (6  y 2 ) x 2  2 xy 2  0
13)  2
2
 x  x  y  3

 x  y  2 xy
7) 
 x  y  12

3


2. Phép thế nhóm:
a) Cơ sở phương pháp: Ta rút một biểu thức từ một phương trình trong hệ và thế
vào phương trình còn lại.
b) Nhận dạng: Phép thế nhóm được dùng khi hệ phương trình có một nhóm thế
giống nhau.
 x 2  y 2  xy  1  4 y
Bài 1. Giải hệ phương trình 
 y( x  y )2  2 x 2  7 y  2

(1)

.

(2)

Lời giải.
Từ (1) x 2  1  4 y  y 2  xy . Thế vào (2) ta có y( x  y )2  2(4 y  y 2  xy )  7 y
y  0

 y ( x  y) 2  2( x  y )  15  0  
( x  y) 2  2( x  y )  15  0


Với y = 0 thì x2 + 1 = 0 (loại)
 x  y  5
x  y  3

Với ( x  y ) 2  2( x  y )  15  0  

Nếu x + y = -5, thế vào (1) ta có
2
x 2   5  x   x  5  x   1  4  5  x   x 2  9 x  46  0 vô nghiệm

Nếu x + y = 3, thế vào (1) ta có
x  1
2
x2   3  x   x 3  x   1  4  3  x   x2  x  2  0 

 x  2

Vậy hệ phương trình có nghiệm (1; 2); ( 2;5)
(1)
 x ( x  y  1)  3  0

Bài 2. Giải hệ phương trình 
.
5
2
(
x

y
)


1


0
(2)

x2

Lời giải.
ĐK: x  0
Từ (1) suy ra x  y 

3
 1 và thay vào phương trình (2), ta có
x

2
x 1
5
2 3
3 

1


1

0



1


0



x  2
2
x2 x
x  x


4


3
2

Vậy hệ phương trình có nghiệm (1;1); (2;  )
4
3
2 2
 x  2 x y  x y  2 x  9
Bài 3. Giải hệ phương trình  2
 x  2 xy  6 x  6

Lời giải.

 x 2  6 x  6 2
 x 2  xy 2  2 x  9

  2x  9



2

Hệ  

x2  6 x  6
2
2
 x  xy 
 2
x  6x  6

2
 x  xy 
2
2

 x2  6x  6 
x  0
3
Khi đó 

2
x

9

x
(

x

4)

0


 x  4
2




 17 
Vì x  0 nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất  4; 
4

x  3y

 x  x2  y 2  3

Bài 4. Giải hệ phương trình 
 y  y  3x  0

x2  y 2

(1)
(2)

Lời giải.

ĐK: x 2  y 2  0
Từ (2) ta có y ( x 2  y 2 )  ( y  3 x )  0
Nếu y = 0 thì x = 0 (loại)
Nếu y  0 thì x 2  y 2 

y  3x
y( x  3 y )
3
. Thế vào (1), ta có x 
y
y  3x

 3x 2  3 y 2  3( y  3 x)  3.

 y  3x
y  3x
 3( y  3 x)  
y
 y  1

Với y = 3x thì x = y = 0 (loại)
Với y = -1 thì x = 0 hoặc x = 3
Vậy hệ phương trình có nghiệm (0; 1); (3; 1)

5


Bài tập vận dụng: Giải các hệ phương trình sau:
x


x  y   4
y
1) 
 x 2  xy  y  0

x

x  2 y   6
y
2) 
 x 2  2 xy  6 y  0

 x  y  xy  1

3) 

2
2
x  y  2

( x  1)(2 y  1)  x  y  6
( x  1)(3 y  2)  2 x  y  3

4) 

2 xy  3x  4 y  6

 xy ( x  2 y )  y  2 x
 xy (2  xy )  y  2 x

12) 

2
2
 x  y  x  2 y  5
13)  2 2
 x  y  2 x  y  3

 xy  2 y 2  x  4 y  0
14) 
2
2 xy  y  x  2 y  0
 x 2  y 2  xy ( x  y )  4 xy
15)  2 2
 x  y  xy ( x  1)
 xy 2  x 2  xy  4 x  1
16)  2 2
 xy  x  2 xy  3 x  1

5) 

2
2
 x  4 y  4 x  12 y  3

2y

 2
x  y 
6) 

x
2 xy  2 y 2  x  0


( x  y )( x 2  y 2 )  4
2
2
(2 x  y )( x  y )  2

7) 

( x  y  1)( x  2 y  1)  12

8) 

2
 x  2 y  ( x  1)(3 y  1)  11

 xy  x  y  1
3 xy  2 x  y  4

9) 

 x  y  xy (2 x  y )  5 xy
 x  y  xy (3 x  y )  4 xy

10) 

 x 2 y  xy 2  x  y  4
11)  2

2
2 x y  xy  2 x  y  2

6 xy  4  x  y

17) 

2
2
 x  y  x  y  4 xy

 y ( x  y  1)  3x

18) 

2
2
 y ( y  xy  x)  x

1

 x  y  (1  xy )
19) 
2
 xy  x  y  2  0

 x 2  y 2  2 x  3 y  9
20)  2
2
2 x  2 y  x  5 y  1

 x 2  y 2  2( x  y )  7
21) 
 y ( y  2 x)  2 x  10
3x 2  4 y 2  6x  4 y  11
22)  2
2
3 x  15y  6x  15y  33

3. Phép thế hằng số:
a) Cơ sở phương pháp: Từ một phương trình ta rút một số bằng một biểu thức để
thay vào phương trình còn lại.
b) Nhận dạng: Phép thế hằng số nhằm mục đích đưa phương trình về phương trình
tích hoặc phương trình đẳng cấp.
6


2 x 3  1  5 y  5 x
Bài 1. Giải hệ phương trình  3 3
 x  y  1

1
 2

Lời giải.
Thế số 1 từ (2) và (1) ta được:
x  y
x 3  y 3  5  x  y   0   x  y   x 2  xy  y 2  5   0   2
2
 x  xy  y  5  0 (3)

2

1  3

Phương trình (3)   x  y   y 2  5  0 vô nghiệm.
2  4


Với x  y  2 x3  2 y 3  1  x  y  3

1 34
.

2
2

34 34
;

2
2 


Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất  x; y   

3
3
(1)
 x  2 y  x  4 y
Bài 2. Giải hệ phương trình  2

với x, y là số hữu tỉ.
2
6 x  19 xy  15 y  1 (2)

Lời giải.

 x3  2 y 3  x  4 y
Thế số 1 từ (2) và (1) ta được  2
2
3
3
(6 x  19 xy  15 y )( x  4 y )  x  2 y (*)
Đưa (*) về phương trình 5 x3  5x 2 y  61xy 2  62 y 3  0 là phương trình đẳng cấp
bậc 3
Xét y = 0 thì x = 0 (loại).
Xét y khác 0, đặt t 

x
với t là số hữu tỉ, ta được 5t 3  5t 2  61t  62  0
y

Giải phương trình với t hữu tỉ, ta có được t = 2.
Kết quả (x,y) là (2; 1), (-2; -1)
 x 2  y 2  5
Bài 3. Giải hệ phương trình  5 5
 x  y  11( x  y )

Lời giải.
Ta có x 5  y 5  ( x 2  y 2 )( x 3  y 3 )  x 2 y 2 ( x  y )
Khi đó ta có 5( x3  y 3 )  x 2 y 2 ( x  y )  11( x  y )  ( x  y ) 5( x 2  y 2 )  5 xy  x 2 y 2  11  0

7


 10
10   10 10 
;
;
 ;  

2
2
2
2 

 

Với x+ y = 0 ta được 

Với 5( x 2  y 2 )  5 xy  x 2 y 2  11  0  t 2  5t  14  0 với t = xy.
Giải phương trình được t = 2 hoặc t = -7
x  y  3
 x  y  3

2

Nếu t = 2 thì x 2  y 2  5   x  y   9  
2

Nếu t = -7 thì x 2  y 2  5   x  y   9 (loại)
Kết quả (x, y) là (1; 2), (2;1), (-1; -2), (-2;-1)

Bài tập vận dụng: Giải các hệ phương trình sau:
x2  y2  1
7)  10 10 4 4 1
x  y  x y  8


 x3  y3  9

1) 

 xy ( x  y )  6

 x 3  3x 2 y  20
2)  3
2

 x 2  y 2  xy  3

8)  x 5  y 5 31
 x3  y 3  7


 y  3xy  7
 x( x  y )  6

3) 

3
3
 x  y  18 y  27

 x 4  y 4  6 x 2 y 2  41
9) 
2
2
 xy ( x  y )  10

 x 2  y 2  1
4)  8 8 10 10
 x  y  x  y

 x 2  y 2  5
4
4
2 2
 x  y  6 x y  20 xy  81

10) 

x  y  1

5) 

3
3
2
2
x  y  x  y

3

3

3

 x  y  2 xy ( x  y )  6
11)  5 5

3

x  y  1
6)  5 5 2

 x  y  30 xy  32

2
 x  y  x  y

3

3

x  y  1
12)  5 5 2

2
 x  y  x  y

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Chuyên đề Bồi dưỡng HSG toán THCS.

2. Nâng cao và phát triển toán 9.
3. Báo Toán học tuổi thơ, Toán học tuổi trẻ.
4. Các nguồn trên mạng Internet.
8