Tài liệu Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình không mẫu mực

Chuyên đề:
Phơng pháp giải phơng trình
và hệ phơng trình không mẫu mực
A/ Đặt vấn đề:
Trong quá trình học Toán, các em học sinh có thể gặp các bài toán mà
đầu đề có vẻ lạ, không bình thờng, những bài toán không thể giải trực tiếp
bằng các quy tắc, các phơng pháp quen thuộc. Những bài toán nh vậy thờng đ-
ợc gọi là không mẫu mực, có tác dụng không nhỏ trong việc rèn luyện t duy
Toán học và thờng là sự thử thách đối với học sinh trong các kỳ thi HSG, thi
vào cấp 3, các lớp chuyên toán, Tuy nhiên quen thuộc hay không mẫu
mực, phụ thuộc vào trình độ của ngời giải Toán. Tôi xin đa ra một số phơng
pháp giải một số phơng trình và hệ phơng trình không mẫu mực, với phơng
pháp này tôi đã giúp đỡ các em học sinh luyện tập và làm quen với phơng trình
và hệ phơng trình không mẫu mực để từ đó biết cách t duy suy nghĩ trớc
những phơng trình và hệ phơng trình không mẫu mực khác.
B. Giải quyết vấn đề
I. Phần I: Phơng trình.
1. Phơng trình một ẩn:
Với phơng trình một ẩn có 4 phơng pháp thờng vận dụng là: Đa về ph-
ơng trình tích, áp dụng các bất đẳng thức chứng minh nghiệm duy nhất và đa
về hệ phơng trình.
a. Phơng pháp đa về phơng trình tích.
* Các bớc:
- Tìm tập xác định của phơng trình.
- Dùng các phép biến đổi đại số, đa phơng trình về dạng f(x).g(x)
.h(x) = 0 (gọi là phơng trình tích). Từ đó suy ra f(x) = 0; g(x) = 0; h(x) =
0 là những phơng trình quen thuộc. Nghiệm của phơng trình là tập hợp các
nghiệm của các phơng trình f(x) = 0, g(x) = 0, h(x) = 0 thuộc tập xác định.
- Đôi khi dùng ẩn phụ thay thế cho một biểu thức chứa ân đa phơng
trình về dạng tích (với ẩn phụ). Giải phơng trình với ẩn phụ, từ đó tìm nghiệm
của phơng trình đã cho.

- Dùng cách nhóm số hạng, hoặc tách các số hạngđể đa phơng trình
về dạng quen thuộc mà ta đã biết cách giải .
*Ví dụ áp dụng:
1
Ví dụ 1: Giải phơng trình:
672332110
2
+++=++
xxxx
ĐK: x -3.




=+
=+





=+
=+

=++
=+++
=+++++
+++=++
23
37

023
037
0)23)(37(
0)37(2)37(3
067233)7)(3(
672332110
2
x
x
x
x
xx
xxx
xxxx
xxxx
Vì 2 vế đều dơng nên ta có:



=
=




=+
=+

)(1
)(2

43
97
TMx
TMx
x
x
Vậy tập hợp nghiệm của phơng trình là S =
{ }
2;1
.
Ví dụ 2: Giải phơng trình:
3
x+1
+ 2x.3
x
- 18x - 27 = 0
TXĐ: x

R.
Giải
3
x+1
+ 2x.3
x
- 18x - 27 = 0

3
x
(3 + 2x) 9(2x + 3) = 0

(2x + 3) (3
x
- 9) = 0




=
=




=
=+

2
2
3
093
032
x
x
x
x
Vậy tập nghiệm của phơng trình là S =

2;
2
3
Ví dụ 3: Giải phơng trình:
(x
2
- 4x + 2)
3
= (x
2
- x - 1)
3
- (3x - 2)
3
; TXĐ: R.
áp dụng hằng đẳng thức (a - b)
3
- (a
3
- b
3
) = -3ab(a - b)
(x
2
- 4x + 1)
3
= (x

2
- x - 1) - (3x - 2)
3
( )
( )
[ ]
( )
( )
[ ]





=+
=
=

=+
=
014
023
01
0)14)(23)(1(3
0231231
2
2
22
3
3

2
3
2
xx
x
xx
xxxxx
xxxxxx
Giải (1): x
2
- x - 1 = 0

= 1 + 4 = 5 > 0, Pt có 2 nghiệm
2
(1)
(2)
(3)
2
51
;
2
51
21

=
+
=
xx
Giải (2):
3x - 2 = 0

3
2
=
x
.
Giải (3):
x
2
- 4x + 1 = 0

= 4 - 1 = 3 > 0, Pt có 2 nghiệm
32;32
21
=+=
xx
.
Vậy tập nghiệm của phơng trình là:
S=






+
+
32;32;
3
2

;
2
51
;
2
51
Ví dụ 4: Giải phơng trình:
(x - 2)(x - 4)(x + 6)(x + 8) = -36 TXĐ: R
( )( )
[ ]
( )
[ ]
(*)36)324)(124(
36)8(462
22
=++
=++
xxxx
xxxx
Đặt y = x
2
+ 4x - 12
20324
2
=+
yxx
Phơng trình (*) trở thành:

=+
=+




==
==

=
=+
=
)2(2124
)1(18124
202
18018
0)2)(18(
03620
36)20(
2
2
2
xx
xx
yy
yy
yy
yy

yy
Giải (1) ta có:
034304
0304
18124
'
2
2
>=+=
=+
=+
xx
xx
Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt:
342
;342
2
1
=
+=
x
x
Giải (2) ta có:
018144
0144
2124
'
2
2
>=+=

=+
=+
xx
xx
3
Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt:
232182
232182
2
1
==
+=+=
x
x
Vậy tập nghiệm của phơng trình là:
S =
{ }
223;223;234;234

Ví dụ 5: Giải phơng trình:
(x + 2)
4
+ x
4
= 82
Đặt y = x + 1
(x + 2)
4
+ x
4

= 82

(y + 1)
4
+ (y - 1)
4
= 82

y
4
+ 6y
2
- 40 = 0
Đặt y
2
= t 0

t
2
+ 6t - 40 = 0

= 9 + 40 = 49 > 0, Pt có 2 nghiệm phân biệt.
t
1
= -3 + 7 = 4;
t
2
= -3 - 7 = -10 (loại)

y

2
= 4,

y =

2.
Với y = 2

x + 1 = 2

x = 1.
Với y = -2

x + 1 = -2

x = -3.
Vậy tập nghiệm của phơng trình là: S = {1;-3}.
Chú ý: Phơng trình dạng (x + a)
4
+ (x + b)
4
= c (a, b, c là hằng số) đặt
ẩn phụ y = x +
2
ba
+
, thì phơng trình đa đợc về dạng dy
4
+ ey
2

+ g = 0 (d, e, g
là hằng số).
Ví dụ 6: Giải phơng trình
18
1
)7)(6(
1
)6)(5(
1
)5)(4(
1
18
1
4213
1
3011
1
209
1
222
=
++
+
++
+
++

=
++
+

++
+
++
xxxxxx
xxxxxx
ĐK: x

-4; x

-5; x

-6; x

-7.
( )( )



==
==+

=+
=+
++=++
=
+

+

=

+

+
+
+

+
+
+

+

202
13013
0213
02611
)7)(4()4(18)7(18
18
1
7
1
)4(
1
18
1
7
1
6
1
6

1
)5(
1
)5(
1
)4(
1
2
xx
xx
xx
xx
xxxx
xx
xxxxxx
4
Thoả mãn điều kiện.
Vậy tập nghiệm của phơng trình S = {-13; 2}.
b. Phơng pháp áp dụng bất đẳng thức.
*Các bớc:
- Biến đổi phơng trình về dạng f(x) = g(x) mà f(x)

a; g(x)

a (a là
hằng số).
- Nghiệm của phơng trình là các giá trị thoả mãn đồng thời f(x)=a và
g(x)=a.
- Biến đổi phơng trình về dạng h(x)=m (m là hằng số), mà ta luôn có
h(x)

m hoặc h(x)

m thì nghiệm của phơng trình là các giá trị của x làm
cho dấu đẳng thức xảy ra.
- áp dụng các bất đẳng thức Côsi, Bunhiacôpxki
*Ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1: Giải phơng trình:
2 2 2
2 2 2
3 6 7 5 10 14 4 2
3( 1) 4 5( 1) 9 5 ( 1) :
x x x x x x
x x x x R
+ + + + + =
+ + + + + = +
Mà:
( )
( )
2
2
2
3( 1) 4 5 1 9 4 9 5
5 1 5
x x
x
+ + + + + + =
+
Nên ta có: (x+1)
2

= 0

x = -1.
Vậy nghiệm của phơng trình là x = -1.
Ví dụ 2: Giải phơng trình:
2 2 2
4
2 2 2
4
6 11 6 13 4 5 3 2
( 3) 2 ( 3) 4 ( 2) 1 3 2
x x x x x x
x x x
+ + + + + = +
+ + + + + = +
Mà:
2 2 2
4
( 3) 2 ( 3) 4 ( 2) 1 2 4 1 3 2x x x + + + + + + + = +
Nên dấu =xảy ra
2
( 3) 0
2 0
x
x

=


=

Điều này không thể xảy ra. Vậy phơng trình vô nghiệm.
Ví dụ 3: Giải phơng trình:

2 2 2
3 3,5 ( 2 2)( 4 5)x x x x x x + = + +
Ta có:

2 2
2 2
2 2
2
2 2 ( 1) 1 0
4 5 ( 2) 1 0
( 2 2) ( 4 5)
3 3,5
2
x x x
x x x
x x x x
x x
+ = + >
+ = + >
+ + +
+ =
5