bài tập ôn tập cuối kỳ môn giải tích 1 có hướng dẫn giải phần 2

Bài tập
1. Tìm và vẽ miền xác định của các hàm số sau đây

2 x  3y  1
xy

a)

z=

c)

z=

c)

z = arccos

b)

ln(x 2  y 2 )
x
xy

z=

d)

d)

x 2  y2  x

2x  x 2  y 2
z=y

z = arcsin

cos x
x
y2

+ (1 – y)x

2. Biến đổi biểu thức hàm

y
a) Cho f( ) =
x

x 2  y2
x

(x > 0). Tìm f(x)

b) Cho z = x + y + f(x – y) và z = x2 khi y = 0. Tìm f(x) và z
c) Cho f(x + y,

y
) = x2 – y2. Tìm f(x, y)
x

d) Cho f(x, y) = x2 + y2, g(x, y) = x2 – y2. Tìm f(g(x, y), y2) và g(f(x, y), g(x, y))

3. Khảo sát giới hạn của hàm f(x, y) tại điểm (0, 0)

a)

c)

( x  y) 2
x 2  y2
xy

b)

1 cos(xy )
y2

d)

(x 2  y 2 ) 2
x 2  y2

1


e)

x 4 y4
(x 2  y 4 )3

f)

( x 2  y)( y 2  x )
xy

4. Khảo sát tính liên tục của hàm f(x, y) sau đây

a)

1  x 2  y 2 x 2  y 2  1

x2  y 2  1
0

c)

x
 2
y

2

e)

| x || y |
| x || y|

 x2y
 4
x  y2
0

( x , y)  (0, 0)

b)

1
1

xy  0
x sin  y sin
y
x

0
xy  0

d)

xy

 2
 (x  y 2 ) 2
0

f)

(x, y)  (0, 0)

 x-y
 2

 (x  y 2 ) 3
0

( x, y)  (0, 0)
(x, y)  (0, 0)
( x , y)  (0, 0)
(x, y)  (0, 0)

5. Tính đạo hàm riêng cấp 1, cấp 2 của các hàm số sau đây

a)

z = x5 + y5 – 5x3y3

c)

z=

e)

z = ln(x +

b)

xy
x 2  y2

x 2  y2 )

z = xy +

y
x

d)

z = xe–xy

f)

z = arcsin

y
x 2  y2

6. Tính đạo hàm riêng tại một điểm
2


x
y

a) Cho f(x, y) = xyesin(xy) + (y – 1)arccos . Tính
b) Cho f(x, y) = x3y + xy2 – 2x + 3y. Tính

f x (x, 1)

f x , f y , f xx , f xy

và


f yy

tại điểm (3, 2)

x 2  y2

t
e
 dt . Tính f x , f y , f xx , f xy

c) Cho f(x, y) =

và


f yy

tại điểm (1, 2)

x

 , f xxy

 , f xyy
e x y . Tính f xxx
2

d) Cho f(x, y) =

và


f yyy

tại điểm (0, 1)

7. Khảo sát tính chất lớp Ck của các hàm số sau đây

a)

x 2 y 2 ln(x 2  y 2 ) ( x, y)  (0, 0)
0
(x, y)  (0, 0)


b)

sin( x 3  y 3 )
( x , y)  (0, 0)

2
2
 x y
0
(x, y)  (0, 0)

c)

 xy
 2
x  y2
0

d)

e)

 y3
 2
 x  y4
0

 xy 3
 2
x  y2
0

( x, y)  (0, 0)
(x, y)  (0, 0)
( x, y)  (0, 0)
(x, y)  (0, 0)
( x , y)  (0, 0)
(x, y)  (0, 0)

3


f)

g)

h)

 y4
 2
x  y2
0

( x , y)  (0, 0)
(x, y)  (0, 0)

 (x 2 - y 2 ) 2
 2
 x  y2
0

e x - e y

 x-y
e x

( x , y)  (0, 0)
(x, y)  (0, 0)

xy
xy

8. Tính vi phân các cấp của các hàm số sau đây

y
x

a)

z = x3 + 3x2y – y3

b)

z=

–

c)

z=

x 2  2xy

d)

z=

e)

z = (x + y)exy

f)

z = xln

x
y

y
x 2  y2

y
x

9. Tính đạo hàm cấp một, cấp hai của hàm hợp
a)

z = e2x–3y với x = tant, y = t2 – t

b)

z = ln(ex + ey) với y = x3 + x

c)

z = u2lnv với u =

d)

z = u2v – uv2 với u = xsiny, v = ycosx

y
, v = x2 + y2

x

4


f)

z = f(xy, x2 – y2) với f hàm lớp C2

g)

z = f(xsiny, ycosx)

g)

z = f(

h)

z = f(ln(x2 – y2), xy3)

2y
, x2 – 3y)
xy

10. Tính đạo hàm cấp một, cấp hai của hàm ẩn
a)

x2e2y – y2e2x = 0

b)

ysinx – cos(x – y) = 0

c)

x – y + arctany = 0

d)

z3 – 2xy + y2 – 4 = 0

e)

zln(x + z) =

f)

yz = arctan(xz)

g)

f(x + y + z, x2 + y2 + z2) = 0

h)

f(yz, exz) = 0 với hàm f thuộc lớp C2

xy
z

11. Tìm vi phân cấp một, cấp hai của hàm ẩn
a)

yz = arctan(xz)

z

c)

x+y+z=e

e)

xu  yv  1
x  y  u  v  0


g)

x = ucosv, y = eu–v và z = uv

h)

x = eu+v, y = usinv và z = v

i)

x = u + v, y = u2 +v2, z = u3 + v3

b)

xz – ez/y + x3 + y3 = 0

d)

x 2  y 2  z 2  0
 2
2
2
x

2
y

3
z
1

f)

uv  3x  2 y  z
v 2  x 2  y 2  z 2


5


j)

x = acosuchv, y = bsinuchv, z = cshv

12. Biến đổi phương trình
a)

(1 – x2)y” – xy’ = 0 với x = cost

b)

x4y” + 2x3y’ – y = 0 với x =

c)

y” + 2yy’2 = 0 với x = x(y)

d)

3y”2 – y’y”’ – y”y’2 = 0 với x = x(y)

e)

(xy’ – y)2 = 2xy(1 – y’2) với x = rcos, y = rsin

f)

w = x z x + y z y với x = rcos, y = rsin

g)

 – y2 zyy = 0 với u = xy, v =

x2 z xx

1
t

h) (x + y) z x – (x – y) z y = 0 với u = ln

𝑥
𝑦

x 2  y 2 , v = arctan(𝑦𝑥)

13. Chứng minh rằng
y
x

thỏa phương trình x z x + y z y = xy + z

a)

z = xy + x e

b)

z = z(x, y) với x = ucosu, y = usinv thỏa phương trình
y z x – x z y = –

zu

c)

z = z(x, y) với (cx – az, cy – bz) = 0 thỏa a z x + b z y = c

d)

z = x(x + y) + y(x + y) với ,  lớp C2 thỏa

z xx

 +
– 2 zxy


zyy

=0
6


e)

𝑥

z = (xy) + ( ) với ,  lớp C2 thỏa
𝑦

 – y2 zyy + x z x – y z y = 0
x2 z xx
f)

𝑥

𝑦

𝑦

𝑥

u = f(x) + g( )

Tính A = xy

𝜕2 𝑢
𝜕𝑥𝜕𝑦

+ y2

𝜕2 𝑢
𝜕𝑦 2

+x

𝜕𝑢
𝜕𝑥

+y

𝜕𝑢
𝜕𝑦

Giải


1

u’x = f(x) +
𝑦

u’y = −

𝑥

u”yy =

𝑦

f’(x) −
1

𝑦

𝑥

𝑥

𝑦
𝑥2

𝑦

g’( )
𝑥

f(x) + g’( )

𝑦2

u”xy = −

𝑥

1
𝑦2

f(x) + −

𝑥
𝑦2

2𝑥

1

𝑦

𝑦

𝑥

𝑥

3 f(x) +

1

𝑦

𝑦

𝑦

𝑥

𝑥

𝑥

𝑥

f’(x) − 2g’( ) − 3 g”( )

2 g”( )

14. Tìm cực trị địa phương
1
1
+ với x, y > 0
x
y

a)

z = 4xy +

b)

z = xy2(1 – y) với x, y > 0

c)

z = x3 + xy2 – x2y – y3

e)

2

z = xyln(x + y )

g)

z = z(x, y) xác định bởi phương trình

2

d)

z = 2x4 – 3x2y + y2
f)

z = (2x + y ) e

2

2

( x 2  y 2 )

7


2x2 + 2y2 + z2 + 8xy – z + 8 = 0

14. Tìm cực trị có điều kiện

1
x

a)

z = xy2 với x + 2y = 1

c)

z = x + 2y với x2 + y2 = 1

d)

u = 2x + y – 2z với x2 + y2 + z2 = 36

e)

u = xy2z3 với x + 2y + 3z = 12

f)

u = xyz với x+y+z = 4, xy+yz+zx = 5

b)

z=

+

1
y

với x + y = 2

15. Tìm trị lớn nhất, bé nhất
a)

z = x2 – xy + y2 trên miền | x | + | y |  1

b)

z = x3 + y3 – 3xy trên miền 0  x  2, –1  y  2

c)

z = x2 + y2 – 12x – 16y trên miền x2 + y2  25
2

2

e

( x 2  y 2 )

trên miền x2 + y2  1

d)

z = (2x + 3y )

e)

u = x + y + z trên miền x2 + y2  z  1

16. Lập phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong
a)

x = t – t3, y = t2 – t4 tại t = 1

b)

x = t2 +

2
1
,y=t+
t

t

tại t = –1

8


te t
et
,y=
t 1
t 1

tại t = 0

c)

x=

e)

y2 = 2px tại A(1, 2p)

g)

x2y2 + x + y – 1 = 0 tại A(0, 1)

g)

r = sin3 tại  =

i)

r =cos + cos2 tại  = 0

d)
f)


3

y=

2
x

+

x3
24

tại x = 2

y3 = x2(x – 6) tại A(2, –2)

h)

r = 1 + 2cos tại  =



4

17. Tìm hình bao của họ đường cong phẳng
a)

x – ysin – cos = 0 với   ℝ

b)

x + y + 1 = 0 với ,   ℝ sao cho 2 + 2 = 1

c) Cho (H ) : xy = 1 và các điểm A, B thuộc (H) sao cho hoành độ điểm này bằng hai lần
hoành độ điểm kia. Tìm hình bao của họ đường thẳng (AB)
d) Cho a > 0, b > 0 và các điểm A(a, b), P(x, 0) và Q(0, y) sao cho AP vuông góc AQ.
Tìm hình bao của họ đường thẳng (PQ)
e) Cho (P) : y2 = 2px và điểm M thuộc (P) có hình chiếu lên Oy là N và I là trung điểm
OM. Tìm hình bao của họ đường thẳng (IN)
f) Cho P(cost, 0) và Q(0, sint) Tìm hình bao của các đường trung trực của PQ

18. Tìm dạng chính tắc của các mặt bậc hai sau đây
a)

7x2 + 4xy – 4xz + 4y2 – 2yz + 4z2 – 2x + 8y – 14z + 16 = 0

b)

11x2 –16xy – 4xz + 5y2 – 20yz + 2z2 +
9

+ 30x – 66y + 24z + 45 = 0
c)

x2 – 2xy + y2 + 2z2 + 2x – 5 = 0

d)

2(x + y)(y – z) – 3x = 0

e)

xy + yz = 1

f)

xy + xz + yz + 2y + 1 = 0

19. Lập phương trình pháp tuyến và tiếp diện của mặt cong
a)

z = y2(x3 – 1) tại A(0, 1)

c)

z3 – xy = 0 tại A(1, 1, 1)

d)

x2z2 – (x2 + y2) = 0 tại A(1, 0, 1)

e)

x2 + 4y2 + 2z2 = 6 tại A(0, 1, 1)

f)

x2 – y2 + 2z2 = –1 tại A(1, 2, 1)

g)

y2(y2 + z2) = (x2 – 1)2 tại A(1, 0, 1)

h)

xy + yz + zx + xyz = 0 tại A(1, 1, 0)

i)

x = u + v, y = uv, z = u3 + v3 tại u = 1, v = 0

j)

x=u+

k)

x = cosu – vsinu, y = sinu + vcosu, z = u(u+2v) tại u = 0, v = 1

l)

x = 3u + v, y = 2u2 + 2uv, z = u3v tại u = 1, v = – 1

b)

1
1
u
,y=v+ ,z=
u
v
v

+

z = 2x2 + 4y2 tại A(1, 1)

v
u

tại u =1, v = 1

20. Lập phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong
a)

x = t4, y = t + t3, z = t2 tại t = 1

b)

x = t3, y = (t + 1)3, z = 3t tại t = –1
10

1
, z = 2 lnt
t

tại t = 1

c)

x = t, y =

d)

x = etcost, y = etsint, z = et tại t = 0

e)

x =cost + sin2t, y = sint(1– cost), z = –cost tại t = 0

f)

x = t – sint, y = 1 – cost, z = 4cos

g)

z = x2 – y2, y = x tại x = 1, y = 1, z = 0

h)

x2 + y2 + z2 = 9, x2 – y2 = 3 tại x = 1, y = 1, z = 2

i)

x2 + y2 + z2 = 4, x2 + y2 = 2x tại x = 1, y = –1, z =

j)

x2 + y2 = z, x2 + y2 = 2x tại x = 1, y = –1, z = 2

k)

y2 = x, x2 = z tại x = 1, y = –1, z = 1

l)

x2 + y2 + z2 = 4, x + y – z = 0 tại x = 0, y =

t
2

tại t = 

2

2, z = 2

11

Bài giải
1. Đạo hàm và vi phân
1)

f(x, y) = arctan(

𝑥+𝑦

). Tính df

𝑥−𝑦

Giải


df = f’xdx + f’ydy



f’x =

1
1+𝑢2

(

𝑥+𝑦
𝑥−𝑦

)’x = ...

f’y = ...

2) Tính z’x, z’y

biết xyz = x + y + z

Giải


f = xyz – x – y – z = 0
z’x = - f’x / f’z , z’y = - f’y / f’z



f’x = ... , f’z = ...  0



d(xyz = x + y + z)
yzdx + zxdy + xydz = dx + dy + dz
(xy – 1)dz = (1 – yz)dx + (1 – zx)dy
xy – 1  0 : dz = A.dx + B.dy

3) Tính z’x, z’y

biết z = x + arctan(

𝑦
𝑧−𝑥

)

Giải


f = z – x – arctan(

𝑦
𝑧−𝑥

)

12


...


(z = x + arctan(
z’x = 1 +

𝑦
𝑧−𝑥

) )’x

𝑦(𝑧 ′ 𝑥 −1)

1

1+𝑢2 (𝑧−𝑥)2

4) Tính z’(x), y’(x)

biết x + y + z = 0, x2 + y2 + z2 = 1

Giải




d(x + y + z = 0)
d(x2 + y2 + z2 = 1)


dy + dz = - dx
ydy + zdz = - xdx

(y – z)dy = (z – x)dx
(z – y)dz = (y – x)dx

 y–z0:

5) Tính u’x, u’y

dy = A.dx, dz = B.dx

biết u =

𝑥+𝑧
𝑦+𝑧

, zez = xex + yey

Giải


d(zez = xex + yey)
(1 + z)ezdz = (1 + x)exdx + (1 + y)eydy
dz = A.dx + B.dy



u’x =

(1+𝑧 ′ 𝑥)(𝑦+𝑧)−(𝑥+𝑧)𝑧 ′ 𝑥

=

(𝑦+𝑧)2

=

(𝑦+𝑧)+(𝑦−𝑥)𝑧 ′ 𝑥
(𝑦+𝑧)2

(𝑦−𝑥)(1+𝑥) 𝑥−𝑧
𝑒
1+𝑧

(𝑦+𝑧)2

(𝑦+𝑧)+

u’y = ..

13


6) Tính z’(x)

biết z = x2 + y2, x2 – xy + y2 = 1

Giải


d(x2 – xy + y2 = 1)

d(z = x2 + y2),

 dz = 2xdx + 2ydy,
 dy =


2𝑥−𝑦
𝑥−2𝑦

(2x – y)dx + (2y – x)dy = 0

dx, dz = A.dx

y’(x) = - f’x / f’y
z’(x) = 2x + 2y.y’(x)

2. Phương trình hàm
1)

F(x – z, y – z) = 0, F’u2 + F’v2  0

CMR

z’x + z’y = 1

Giải


u = x – z, v = y – z
dF = F’udu + F’vdv = F’u(dx – dz) + F’v(dy – dz) = 0
 dz = A.dx + B.dy



A+B=1

2)

–x + y + z = (x2 + y2 + z2)

CMR

(y – z)z’x – (z + x)z’y = x + y

Giải


d(–x + y + z = (x2 + y2 + z2))
–dx + dy + dz = ’(v)(2xdx + 2ydy + 2zdz)
14


 dz = A.dx + B.dy


3)

𝑥

𝑦

𝑦

𝑥

u = f(x) + g( )

TínhA = 𝑥𝑦

𝜕2 𝑢
𝜕𝑥𝜕𝑦

+

2
2𝜕 𝑢
𝑦
𝜕𝑦 2

𝜕𝑢

+𝑥

𝜕𝑥

+𝑦

𝜕𝑢
𝜕𝑦

Giải
𝑦



f, g  C2, v =



u’x = 𝑓(𝑥) + 𝑓 ′ (𝑥) −

1

𝑥

𝑦

𝑦

𝑦

𝑥2

u’y = −


𝑥

2𝑥
𝑦3

𝑔′(𝑣)

1

𝑦2

u”xy = −
u”yy =



𝑥

𝑓(𝑥) + 𝑔′(𝑣)
𝑥

1

𝑥

1

𝑦

𝑦

𝑦

𝑥

𝑥3

( )
2𝑓 𝑥 −

𝑓(𝑥) +

1
𝑥2

′( )

2𝑓 𝑥 −

′( )
2𝑔 𝑣 −

𝑔′′ (𝑣)

𝑔′′(𝑣)

A = ... = 0

4) Cho

z’x + z’y = 5 và u = x – y, v = 2x + 3y

Tìm

z(x, y)

Giải


z’x = z’uu’x + z’vv’x = z’u + 2z’v
z’y = z’uu’y + z’vv’y = –z’u + 3z’v
z’x + z’y = 5z’v = 5



z’v = 1
15

z = v + f(u) = 2x + 3y + f(x – y)

5) Cho

z’x = 2x + y2 và z(x, x2) = 1

Tìm z(x, y)
Giải


z(x, y) = ∫ 𝑧′𝑥 𝑑𝑥 = ∫(2𝑥 + 𝑦 2 )𝑑𝑥
= x2 + xy2 + C(y)



z(x, x2) = x2 + x(x2)2 + C(x2) = 1
 C(x2) = 1 – x2 – x.x4



5

y = x2 : C(y) = 1 – y – 𝑦 2

6) Cho

z”xx = 2, z(0, y) = 1, z’x(0, y) = y

Tìm z(x, y)
Giải


z’x(x, y) =  z”xx dx =  2dx = 2x + C(y)
z’x(0, y) = 0 + C(y) = y



z(x, y) =  z’x dx =  (2x + y)dx = x2 + xy + B(y)
z(0, y) = 0 + 0 + B(y) = 1

3. Cực trị
 Cực trị địa phương
1)

1

f(x, y) = x2y + y3 – 4x – 5y – 1
3

16


Giải
a)


1

f = x2y + y3 – 4x – 5y – 1  C1(D = ℝ2)
3





f’x = 2xy – 4 = 0

(x = 2, y = 1)
(x = 1, y = 2)

f’y = x2 + y2 – 5 = 0
b)


f”xx = 2y, f”xy = 2x, f”yy = 2y,

 = 4(x2 – y2)

 Tại A(x = 2, y = 1) :  = 4(4 – 1) > 0
A không phải cực trị
 Tại B1(x = 1, y = 2) :  = 4(1 – 4) < 0,  = 4 > 0
B1 là CT và fmin = f(1, 2) = ...
 Tại B2(x = –1, y = –2) :  = 4(1 – 4) < 0,  = –4 < 0
B2 là CD và fmax = f(–1, –2) = ...

2)

f(x, y) = x2 + xy + y2 – 4lnx – 10lny

Giải


f  C1(D : x > 0, y > 0)
...

3)

f(x, y) = (5 – 2x + y)𝑒 𝑥

2 −𝑦

Giải


f  C1(D = ℝ2)
17




f’x = (– 4x2 + 2xy + 10x – 2)𝑒 𝑥

2 −𝑦

...

 Cực trị có điều kiện
4)

f(x, y) = lnx + 3lny với x + 3y = 1

Giải


x + 3y = 1



g(y) = ln(1 – 3y) + 3ln(y) , 0 < y <
g’(y) = −



3
1−3𝑦

x = 1 – 3y

3

3(1−4𝑦)

𝑦

𝑦(1−3𝑦)

+ =

1
3

=0  y=

y

0

g’

+

1
4
1

1

4

3

0

–

g

 Hàm g(y) CD tại y =

1

3

1

4

4

nên f(x, y) CĐK tại x = 1 – , y =

4

1 1

fmax = f( , ) = ...
4 4

5)

f(x, y) = 3x + y – 1 với 9x2 + 4y2 = 5

Giải


9x2 + 4y2 = 5 

x=

√5
cos(t),
3

y=

𝑥2
5
9

+

𝑦2

√5
sin(t),
2

5
4

=1

t  [0, 2]

18




g(t) = = √5cos(t) +

√5
sin(t)
2

g’(t) = −√5sin(t) +

√5
cos(t)
2

 tan(t) =

1
2

– 1, t  [0, 2]
=0

 t = ,  + 

y



0

g’

+

+

0

-

0

2
+

g



g(t) CD tại t = , CT tại t = +
3

3

4

4

t =  : y = x, 9x2 + 4( x)2 = 5


L = (3x + y – 1) + (9x2 + 4y2 – 5)
L’x = 3 + 18x = 0

 x=−

L’y = 1 + 8y = 0
L’ = 9x2 + 4y2 – 5 = 0


1
6

y=−

1
8

1

=

4

L”xx = 18, L”xy = 0, L”yy = 8
d2L = 2(9dx2 + 4dy2)
d = 9xdx + 4ydy = 0
1

 Tại  = , d2L > 0 : CT
4

1

 Tại  = − , d2L < 0 : CD
4

19


6)

f(x, y) = cos2x + cos2y với x – y =

𝜋
4

Giải


y=x–

𝜋
4
1

1

𝜋

2

2

2

g(x) = 1 + cos(2x) + cos(2x – )
...
 Trị lớn nhất, bé nhất
7)

f(x, y) = xy2,

D : x2 + y2  3

Giải


x2 + y2 < 3
f’x = y2 = 0, f’y = 2xy = 0  ...
f(x, 0) = 0



x2 + y2 = 3

 y2 = 3 – x2

g(x) = x(3 – x2) = 3x – x3,
g’(x) = 3 – 3x2 =
f(x = 1, y = √2) = 2



...

8)

f(x, y) = xy2(4 – x – y), D : x = 0, y = 0, x + y = 6

Giải


D:



f(x, y) = 4xy2 – x2y2 – xy3
20


f’x = .. = 0
f’y = ... = 0


O(0, 0), A(6, 0), B(0, 6)
...



x = 0, 0 < y < 6
y=

y=6–x

4. Hình vi phân
 Pháp tuyến và tiếp diện
1)

𝑦

𝜋

𝑥

4

z = arctan( ), A(1, –1, − )

Giải


𝑛⃗ = (–z’x, –z’y, 1)
z’x =
z’y = ...



𝜋

A(1, –1, − )
4

...


(D) = A + vect(𝑛⃗)
(P) = A + 𝑛⃗

2)

x2 + 3y2 – 2z2 + 2xy + yz + zx + 3 = 0, A(0, 1, 2)

Giải
21




𝑛⃗ = (f’x, f’y, f’z)
f’x = ...



A(0, 1, 2)

...
𝑥

3)

𝑦

2 𝑧 + 2 𝑧 = 8, A(2, 2, 1)

Giải


𝑥

f = u + v,

𝑦

u = 2𝑧 , v = 2 𝑧

f’x = u’x + v’x
...

 Tiếp tuyến và pháp diện
4)

x = 2sin2t, y = sint cost, z = cos2t, t =

𝜋
4

Giải


⃗ = (x’(t), y’(t), z’(t))
𝑇



t=

𝜋
4
1 1

A(1, , )
2 2



⃗)
(D) = A + vect(𝑇
⃗
(P) = A + 𝑇

5)

x2 + y2 + z2 = 6, x – y + z = 0, A(1, 2, 1)
22


Giải


(C) f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 – 6 = 0
g(x, y, z) = x – y + z = 0
⃗ = (f’x, f’y, f’z)  (g’x, g’y, g’z)

𝑇
...

23