chuyên đề toán phương tích và trục đẳng phương

Lời nói đầu

Phơng tích và trục đẳng phơng

Kiến thức về phơng tích và trục đẳng phơng chỉ là kiến thức trong sách giáo khoa, đơn
giản và dễ hiểu; tuy nhiên nó có ứng dụng nhiều trong việc giải các bài toán hình phẳng,
nhất là các bài thuộc dạng chứng minh thẳng hàng, đồng quy, vuông góc.
Hởng ứng đề nghị của giáo viên các trờng thuộc hội Duyên hải , chúng tôi, dựa vào
kinh nghiệm giảng dạy và các tài liệu có đợc, viết chuyên đề này theo hớng nêu lên các
ứng dụng kiến thức về phơng tích và trục đẳng phơng .
Trong bài viết này, chúng tôi ký hiệu đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC là (ABC).
Chuyên đề chắc còn nhiều thiếu xót, chúng tôi mong nhận đợc sự góp ý của các đồng
nghiệp!


Mục lục
Phần A

Lý thuết

1. Phơng tích của một điểm đối với một đờng tròn
2. Trục đẳng phơng của hai đờng tròn
3. Tâm đẳng phơng của n đờng tròn.
Phần B

Một số ứng dụng của phơng tích và trục đẳng phơng

1. Chứng minh thẳng hàng
2. Chứng minh đồng quy
3. Chứng minh vuông góc.
4. Một số ứng dụng khác

Phần C

Trang
1
2
4

5
6
7
9
Bài tập đề nghị

11

2


A. Lý thuyết.
I. Phơng tích của điểm đối với đờng tròn.
1. Định nghĩa:
Trên mặt phẳng, cho đờng tròn (O; R) và điểm M. Đờng thẳng qua M cắt (O; R) tại
A và B. Khi đó, đại lợng
OM 2 R 2 = MA.MB

đợc gọi là phơng tích của điểm M đối với đờng tròn (O; R), ký hiệu là: PM /(O ) .
2. Tính chất.
a. Điểm M thuộc đờng tròn (O) khi và chỉ khi PM /(O ) = 0
Điểm M nằm ngoài đờng tròn (O) khi và chỉ khi PM /(O ) > 0
Điểm M nằm trong đờng tròn (O) khi và chỉ khi PM /(O ) < 0

b. Từ điểm M ngoài đờng tròn (O) kẻ tiếp tuyến MT, T là tiếp điểm. Khi đó
PM /( O ) = MT 2

c. Cho 4 điểm phân biệt A, B, C, D không có 3 điểm nào thẳng hàng, hai đờng AC và
BD cắt nhau tại I. Khi đó, 4 điểm ấy cùng thuộc 1 đờng tròn khi và chỉ khi
IB.ID = IA.IC

d. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, phơng trích của điểm M(x0; y0) đối với
đờng tròn (O): x 2 + y 2 2ax 2by + c = 0 là:
2

2

PM /( O ) = x0 + y 0 2ax 0 2by 0 + c

I. Trục đẳng phơng của 2 đờng tròn.
1. Định nghĩa
Tập hợp các điểm có phơng tích bằng nhau đối với 2 đờng tròn (là một đờng thẳng)đợc gọi là trục đẳng phơng của 2 đờng tròn đó.
2. Tính chất.
a. Trục đẳng phơng của 2 đờng tròn(không đồng tâm) là đờng thẳng vuông góc với đờng
nối tâm của 2 đờng tròn đó.
b. Ba điểm đều đẳng phơng đói với 2 đờng tròn thì thẳng hàng.
c. Nếu 2 đờng tròn phân biệt tiếp xúc với nhau tại A thì đờng thẳng qua A và vuông góc
với đờng nối tâm là trục đẳng phơng.
d. Nếu A va B là 2 điểm phân biệt và có cùng phơng tích đối với 2 đờng tròn thì đờng
thẳng AB là trục đẳng phơng của 2 đờng tròn đó.
Nếu A va B là 2 điểm chung phân biệt của 2 đờng tròn thì đờng thẳng AB là trục đẳng
phơng của 2 đờng tròn đó.
e. Nếu 2 đờng tròn ngoài nhau, thì đờng thẳng qua trung điểm của 2 tiếp tuyến chung
ngoài là trục đẳng phơng của 2 đờng tròn đó.

e. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, trục đẳng phơng của 2 đờng tròn
3


x 2 + y 2 2a1 x 2b1 y + c1 = 0; x 2 + y 2 2a 2 x 2b2 y + c 2 = 0

là đờng thẳng có phơng trình:

2(a1 a 2 ) x + 2(b1 b2 ) y + c1 c 2 = 0

I. Tâm đẳng phơng.
1. Định nghĩa
Điểm đẳng phơng đối với n (lớn hơn 2) đờng tròn đợc gọi là tâm đẳng phơng của
n đờng tròn đó.
2. Tính chất:
Cho A, B, C là 3 điểm không thẳng hàng. Gọi x, y, z là trục đảng phơng của các cặp đờng tròn (B) và (C); (C) và (A); (A) và (B). Khi đó x, y, z đồng quy tại tâm đẳng phơng
của 3 đờng tròn < (X) là đờng tròn tâm X >

B. Một số ứng dụng.
I. Chứng minh thẳng hàng.
VD1: (Ân Độ 1995)
Cho tam giác ABC. Một đờng thẳng cắt hai cạnh AB, AC tại D và E; P là điểm trong tam
giác, không nằm trên DE. Đờng ED cắt PB và PC tại M và N. Hai đờng tròn (PND),
(PME) cắt nhau tại P và Q. Chứng minh rằng A, P, Q thẳng hàng.

Lời giải:
Từ giả thiết suy ra PQ là trục đảng phơng của 2 đờng tròn (PDN), (PEM).
Gọi I, J là giao của AP với DE và BC. Khi đó:
IM JB
IN = JC

IM ID
=
Vì ED // BC ID JB
IN
IE

=
IE JC

4


Dẫn đến IN .ID = IM IE hay PI /( PDN ) = PI /( PEM ) .
Mà PP /( PDN ) = PP /( PEM ) = 0 suy ra IP hay AP là trục đảng phơng của 2 đờng tròn (PDN),
(PEM) suy ra A thuộc đờng PQ
VD2 (IMO 2013)
Cho tam giác ABC nhọn, các đờng cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Cho M là điểm trên
cạnh BC không trùng với B và C. Kẻ các đờng kính MP và MQ của các đờng tròn (MBF)
và (MCE).Chứng minh rằng H, P, Q thẳng hàng.

Lời giải:
Gọi N là điểm chung thứ hai của hai đờng tròn (MBF) và (MCE).
Vì AB. AF = AC. AE nên A thuộc trục đẳng phơng của 2 đờng tròn này.
Suy ra A, M, N thẳng hàng
Dẫn đến AM . AN = AH . AD hay tứ giác MNHD nội tiếp.
Từ đó: MNH = 90 0 MNH + MNP = 180 0 = MNQ + MNP .
Vậy H, P, Q thẳng hàng.
VD3 (Chọn đội tuyển VN, 2006)
Cho tam giác ABC nhọn, không cân, nội tiếp đờng tròn (O;R). Đờng thẳng d thay đổi
vuông góc với OA, cắt các cạnh AB, AC tại M và N; BN cắt CM tại K; AK cắt BC tại P.

a) Chứng minh đờng tròn (MNP) luôn đi qua điểm cố định khi d thay đổi.
b) Gọi H và I là trực tâm các tam giác AMN và ABC. Chứng minh H, I, K thẳng hàng
từ đó suy ra l 4 R 2 a 2 , trong đó a = BC, l là khoảng cách từ A tới HK.

5


Lời giải:
a) - áp dụng định lý Ceva cho tam giác ABC với 3 đờng đồng quy AP, BN, CN ta có:
PB NC MA
.
= 1
PC NA MB

Lại áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABC với 3 điểm thẳng hàng N, M, S ta có:
SB NC MA
.
= 1
PC NA MB

Gọi E là trung điểm BC. Theo trên ta có:
SB.PC + SC.PB = 0

SB.( SC SP.) + SC ( SB .SP ) = 0

2 SB.SC SP.( SC + SB.) = 0

2SB.SC 2 SP.SE = 0

Dẫn đến tứ giác MNEP nội tiếp, hay đờng tròn (MNP) luôn đi qua điểm cố định E.

b) Gọi (O1), (O2) là đờng tròn đờng kính BN và CM.
Gọi MF và NJ là 2 đờng cao của tam giác AMN.
- Vì HN.HJ = HM.HF nên H thuộc trục đẳng phơng d của (O1) và (O2)
Tơng tự cũng có I thuộc d.
- Vì KM.KC = KN.KB nên thuộc trục đẳng phơng d của (O1) và (O2)
Suy ra H, K, I cùng thuộc d hay ba điểm đó thẳng hàng.
II. Chứng minh đồng quy.
VD1(IMO 1995)
Cho 4 điểm thẳng hàng (theo thứ tự) A, B, C, D. Đờng tròn đờng kính AC và đờng tròn
đờng kính BD cắt nhau tại X và Y. Đờng XY cắt BC tại Z. Trên XY lấy P(khác X, Y). Đờng CP cắt đờng tròn đờng kính AC tại M khác C. Đờng BP cắt đờng tròn đờng kính BD
tại N khác B.
Chứng minh: AM, DN, XY đồng quy.

6


Lời giải:
Gọi Q và R là giao của XY với DN và AM. Ta chứng minh Q trùng R.
Vì tứ giác QMCZ nội tiếp suy ra PM .PC = PQ.PZ
Vì tứ giác RNBZ nội tiếp suy ra PN .PB = PR.PZ
Vì P thuộc trục đẳng phơng XY của 2 đờng tròn đờng kính AC và BD nên
PM .PC = PN .PB
Dẫn đến PR.PZ = PQ.PZ QR = 0 hay Q trùng R (đpcm)

VD 2. (Dự tuyển IMO 1994)Đờng tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC, CA, AB
lần lợt tại D, E, F; X là điểm trong tam giác sao cho đờng tròn ni tiếp tam giác XBC
cũng tiếp xúc với BC tại D và tiếp xúc với XB, XC tại Y, Z.
Chứng minh rằng FE, YZ, BC đồng quy.

Lời giải:

Gọi P và Q là giao điểm của BC với FE và YZ.
- áp dụng định lý Menelaus:
. cho tam giác ABC, với 3 điểm thẳng hàng E, F, P ta có:
7


FA PB EC
.
= 1
FB PC EA

. cho tam giác XBC, với 3 điểm thẳng hàng Y, Z, Q ta có:
ZX QB YC
.
= 1
ZB QC YX

Suy ra

PB QB
=
P Q PE.PF = PY PZ
PC QC

Dẫn đến tứ giác FEYZ nội tiếp.
- Ba đờng BC, FE, YZ tơng ứng là trục đẳng phơng của các cặp đờng tròn (DFE) và
(DYZ); (DFE) và (FEYZ); (FEYZ) và (DYZ) .
Vậy BC, FE, YZ đồng quy.
III. Chứng minh vuông góc
VD 1.

Cho hình thang ABCD, F là điểm trên cạnh đáy AB sao cho FD = FC. Gọi E là giao điểm
hai đờng chéo; (O1), (O2) lần lợt là đờng tròn ngoại tiếp các tam giác ADF và BCF.
Chứng minh EF vuông góc với O1O2.

Lời giải:
Ta di chứng minh E thuộc trục đẳng phơng của 2 đờng tròn (ADF) và (BCF).
Gọi M là giao điểm thứ hai của AC với đờng tròn (ADF); N là giao điểm thứ hai của BD
với đờng tròn (BCF). Ta có:
AMD = AFD = BFC = BNC
DMC = DNC

Dẫn đến tứ giác CDMN nội tiếp, từ đó tứ giác ABNM nội tiếp.
Suy ra EM .EA = EN .EB hay E thuộc trục đẳng phơng của 2 đờng tròn (ADF) và (BCF).
8


Suy ra FE là trục đảng phơng của 2 đờng tròn (ADF) và (BCF).
Vậy EF vuông góc với O1O2.
VD 2.
Cho tứ giác ABCD, O là giao điểm hai đờng chéo AC, BD. Gọi H, K là trực tâm các tam
giác OAD và OBC; M, N là trung điểm AB, CD.
Chứng minh MN vuông góc với HK.

Lời giải:
Ký hiệu (M) và (N) là đờng tròn đờng kính AB và CD.
- Vì HA.HE = HD.HP nên PH /( M ) = PH /( N )
- Vì KB.KQ = KC.KF nên PK /( M ) = PK /( N )
Suy ra HK là trục đẳng phơng của 2 đờng tròn (M) và (N)
Vậy MN vuông góc với HK.
IV. Một số ứng dụng khác.

VD 1.
Từ điểm M ngoài đờng tròn (O), kẻ 2 tiếp tuyến MA và MB (A, B là tiếp điểm). Gọi I là
trung điểm MA, N là giao của (O) với IB(N khác B). Chứng minh rằng MN = 2IN.
9


Lời giải:

Dựng hình bình hành ADMN.
Ta đi chứng minh MN = DN.
Thật vậy, ta có:
IN .IB = IA 2 ID.IB = IM .IA

Dẫn đến tứ giác ADMB nội tiếp.
Suy ra

M 1 = B1 = A3 A1 + A2 = A2 + A3 M 1 + M 2 = A2 + A3 MDN = DMN

Nh vậy, tam giác DMN cân tại N, hay MN = ND (đpcm)
VD 2.
Cho tam giác ABC, đờng tròn (O) cắt AB và AC tại F và E; BE cắt CF tại P, AP cắt BC
tại D. Đờng thẳng qua D, song song với FE cắt các tia AB, AC tại M và N; FE cắt BC tại
Q.
Chứng minh rằng đờng tròn (QMN) đi qua điểm cố định khi (O) thay đổi.
Lời giải:

10


- Ta có:

MNC = FEC = MBC

Suy ra tứ giác MBNC nội tiếp.
Dẫn đến:
DM .DN = DB.DC

(1)

- Ap dụng định lý Ceva và định lý Menelaus, ta có:
DB

DC

QB
QC

EC
EA
EC
EA

FA
= 1
FB
FA
= 1
FB

Dẫn đến:

DBQC + DC QB = 0 DB ( DC DQ) + DC ( DB DQ) = 0 2 DB.DC = DQ( DB + QC ) = 2 DI .QB
DB.DC = DI .QB

(2)

Với I là trung điểm của BC.
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác QMIN nội tiếp.
Vậy đờng tròn (QMN) luôn qua điểm I cố định.

11


1.

Bài tập
Về phía ngoài tam giác ABC, dựng các tam giác cân DBC, ECA, FAB với các đỉnh
là D, E, F.
Chứng minh rằng các đờng thẳng qua A, B, C lần lợt vuông góc với FE, FD, DE
2. đồng quy.
Cho tam giác ABC. Dựng hình vuông DEFG có các đỉnh D, E thuộc cạnh BC,còn F
và G lần lợt thuộc AC và AB. Gọi dA là trục đẳng phơng của 2 đờng tròn (ABD) và
(ACE). Các đờng dB, dC đợc xác định ttơng tự.
3. Chứng minh rằng dA, dB, dC đồng quy.
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O), M là trung điểm BC, M là giao điểm
của AM và (O). Tiếp tuyến tại M của (O) cắt đờng thẳng qua M, vuông góc với OA
tại X.
Định nghĩa tơng tự X cho 2 điểm Y, Z.
4. Chứng minh rằng X, Y, Z thẳng hàng.
Cho hai đờng tròn ngoài nhau (O1) và (O2). Kẻ tiếp tuyến chung A1A2(A1 thuộc

(O1) A2 thuộc (O2) ). Từ trung điểm K của A1A2, kẻ 2 tiếp tuyến KB1 và KB2 tới
(O1) và (O2).
Gọi L là giao điểm của A1B1 và A2B2, P là giao của KL và O1O2.
5. Chứng minh rằng P, L, B1 và B2 cùng thuộc một đờng tròn.
Cho C là điểm thuộc đờng tròn đờng kính AB, C khác A và B. Gọi H kà hình chiếu
vuông góc của C trên AB. Đờng tròn đờng kính CH cắt CA, CB tại E, F và cắt đờng
tròn đờng kinh AB tại D.
6. Chứng minh rằng FE, CD, BA đồng quy.
Cho hai đờng tròn ngoài nhau (O1) và (O2). Kẻ tiếp tuyến chung ngoài A1A2 ,tuyến
chung trong B1B2 (A1 ,B1 thuộc (O1) A2, B2 thuộc (O2) .
7. Chứng minh rằng A1B1, A2B2, O1O2 đồng quy.
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đờng tròn (O), các đờng cao AA1, BB1,CC1; A2,
B2, C2 lần lợt là các điểm đối xứng với A1, B1, C1 qua trung điểm của BC, CA, AB.
Đờng tròn ngoại tiếp các tam giác AB2C2, BA2C2 ,CB2A2 cắt (O) lần thứ hai tại A3,
B3, C3.
8. Chứng minh rằng A1A3, B1B3, C1C3 đồng quy.
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O), đờng tròn bàng tiếp góc A có tâm I tiếp
xúc với BC, CA, AB tại M, N, P.
9. Chứng minh rằng tâm đờng tròn Ơ-le của tam giác MNP thuộc đờng thẳng OI.
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) và ngoại tiếp đờng tròn (I). Các điểm A,
B, C tơng ứng thuộc BC, CA, AB và thỏa mãn: AIA' = BIB ' = CIC ' = 90 0
Chứng minh rằng các điểm A, B, C cùng thuộc một đờng thẳng và đờng thẳng ấy
10. vuông góc với OI.
Cho đờng tròn (O), hai đờng kính AB và CD. Tiếp tuyến của (O) tại B cắt AC tại E,
DE cắt (O) lần thứ hai tại F.
11. Chứng minh rằng AF, BC, OE đồng quy.
Cho đờng tròn (O) và điểm M ngoài (O). Từ M, kẻ hai tiếp tuyến MA, MB và cát
12. tuyến MCD (A và B là tiếp điểm).
Chứng minh rằng tiếp tuyến của (O) tại C và D cắt nhau trên đờng thẳng CD.
12

(IMO 1985) Cho tam giác ABC. Đuờng tròn (O) qua A và C cắt AB và AC lần nữa
tại K và N. Đờng tròn (ABC) và (KBN) cắt nhau tại B và M.
13. Chứng mninh rằng góc OMB vuông.
Cho tam gác ABC nội tiếp đờng tròn (O), I là điểm thỏa mãn: IA + 3IB + 5IC = O .
Các tia AI, BI, CI cắt (O) tại A1, B1, C1.
IA

3IB

5IC

14 Tính T = IA1 + IB1 + IC1
.
Cho tam giác ABC, đờng cao AD, trực tâm H; M và N là trung điểm BC và AD.
Biết rằng AD = BC.
Chứng minh rằng HN = HM.
15. Cho đờng tròn (O) và hai điểm A, B đối xứng với nhau qua O. Điểm M thay đổi
trên (O). Các đờng MA, MB cắt (O) tại P và Q.
Chứng minh rằng
T=

AM BM
+
AP BQ

không phụ thuộc vị trí M.
(VMO - 2003)
16. Cho 2 đờng tròn (O1 ; R1 ), (O1 ; R1 ), R2 > R1 . Điểm A thay đổi trên (O2) sao cho O1, O2,

A không thẳng hàng. Từ A kẻ các tiếp tuyến AB, AC tới (O1) (B và C là các tiếp
điểm). Các đờng MB, MC cắt (O2) lần nữa tại E và F. Tiếp tuyến của (O2) tại A cắt
FE tại D.
Chứng minh rằng điểm D luôn thuộc đờng cố định khi A thay đổi.
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đờng tròn (S) và (T) cắt nhau tại A và
17. B. Đờng thẳng d tiếp xúc với (S) và (T) tại D và C. Biết toạ độ các điểm A, B, D là
14 12
A(10;6), B ( ; ), D(4;0) . Tìm tọa độ điểm C và viết phơng trình đờng tròn (T).
5

5

13


Tài liệu tham khảo
[1] Tài liệu bồi dưỡng chuyên môn giáo viên trường trung học phổ thông chuyên năm
2012, tr 207-219.
[2] Các chuyên đề hình học trong tạp chí toán học tuổi trẻ. .
[3] Các chuyên đề hình học trong các trang web : diendantoanhoc.net, vnmath.com…

14