chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi phần khí thực

CHUYÊN ĐỀ BÔI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI PHẦN KHÍ THỰC
Mã: L06

Lời mở đầu
Các năm trước đây đề thi học sinh giỏi QG phần nhiệt chỉ đề cập đến khí lí tưởng
.Năm 2012-2013 vừa qua khá là bất ngờ khi đề thi HSGQG lại đề cập đến khí
thực. Trong chuyên đề Bồi dưỡng HSG vật lý THPT của thầy Phạm Quý Tư chỉ
đề cập sơ qua lý thuyết về khí thực chứ không có bài tập cụ thể. Vì vậy vấn đề đặt
ra cho những giáo viên dạy chuyên chúng tôi là phải nghiên cứu, sưu tầm các bài
tập đưa ra phương pháp giải chung để học sinh có thể học tốt phần này.

Nội Dung
1.MẪU CƠ HỌC CỦA KHÍ THỰC ,QUÃNG ĐƯỜNG TỰ DO TRUNG BÌNH
1.1. Mẫu cơ học của khí thực
- Các phân tử khí thực có kích thước nhất định.
- Khi không va chạm lực tương tác giữa các phân tử vẫn kể đến.
Vì có những sai lệch so với khí lí tưởng nên người ta cần xây dựng một mẫu cơ
học cho khí thực bằng cách sửa đổi một số điểm của mẫu cơ học cho khí lí tưởng.
Trước hết người ta đưa vào lực tương tác giữa các phân tử. Nói chung giữa các
phân tử có cả lực hút và lực đẩy tùy theo khoảng cách giữa các phân tử mà lực
tương tác tổng hợp là lực hút hay đẩy. Khi ở xa nhau thì chúng hút nhau còn khi
lại gần nhau thì chúng lại đẩy nhau. ở trạng thái khí các phân tử thường ở xa nhau
nên lực tương tác giữa chúng thường là lực hút, trừ khi chúng đến sát nhau( Va
chạm) lại là lực đẩy nhau ra.
Người ta cũng hình dung phân tử khí thực như một quả cầu . Kích thước phân
tử này được xác định như thế nào? Người ta lấy khoảng cách giữa hai tâm phân
tử khi chúng tiến đến gần nhau nhất lúc va chạm bằng hai lần đường kính phân tử
và đường kính này được gọi là đường kính hiệu dụng của phân tử. Vì thật ra
không thể xác định được bán kính thật của phân tử.
1.2 Áp suất nội tại
Vì các phân tử khí hút nhau nên trạng thái của các phân tử ở sát thành bình

sẽ khác với các phân tử khí ở trong lòng chất khí.
Thật vậy đối với một phân tử khí ở trong lòng chất khí thì các lực hút kéo nó về
mọi phía cân bằng lẫn nhau. Còn đối với một phân tử ở sát thành bình thì tổng
hợp của các lực hút sẽ khác không và kéo nó vào trong lòng chất khí . Ở đây ta
bỏ qua sự tương tác giữa thành bình và chất khí, các lực hút này sẽ làm yếu đi sự
va chạm của các phân tử khí thực lên thành bình. Do đó áp suất gây bởi các va
chạm của phân tử khí thực lên thành bình sẽ giảm đi một lượng bằng p i. Áp suất
pi này được gọi là áp suất nội tại.
1.3 Quãng đường tự do trung bình
a) Khái niệm quãng đường tự do trung bình
Trong khi chuyển động các phân tử khí luôn va chạm nhau. Do va chạm vận
tốc của các phân tử thay đổi về cả hướng và độ lớn, vì vậy quỹ đạo của chúng là
đường gãy khúc. Đoạn đường đi được của hai phân tử khí giữa hai va chạm liên
tiếp được coi là thẳng vì đã bỏ qua các lực tương tác của các phân tử khác lên
phân tử khí đang xét. Đoạn đường này được coi là quãng đường tự do. Các


quãng đường tự do của mỗi phân tử chuyển động có độ lớn rất khác nhau nên
người ta đã chú ý đến trị trung bình của chúng . Nghĩa là chú ý đến quãng đường
tự do trung bình kí hiệu là 
b Thiết lập công thức tính quãng đường tự do trung bình
Để đơn giản ta hãy giả thiết rằng trong khối khí chỉ có phân tử A đang khảo
sát là chuyển động còn các phân tử khí khác đứng yên . Coi phân tử A như quả
cầu có đường kính hiệu dụng d=2r. Trong khi chuyển động , phân tử A sẽ va
chạm vào những phân tử nào có tâm cách đường đi của nó một đoạn bé hơn d.
Để tính quãng đường tự do trung bình ta cần tìm số va chạm trung bình z của
phân tử A trong một đơn vị thời gian.
A
2d

a)

A

A

V
A

b)

A

A

Hình

Vì tốc độ trung bình của phân tử khí là v nên ta có thể nói đến đoạn đường đi
của phân tử A trong một giây là s= v và số va chạm trung bình của phân tử A vơi
các phân tử khí khác sẽ bằng số phân tử nằm trong thể tích hình trụ có đường
kính đáy là 2d và chiều dài là v . Thể tích của nó là :
V= d 2 v
Nếu mật độ phân tử khí là n0 thì z = n0 d 2 v
(1)
s
z

Từ đó suy ra   

v

1

2
n0d v n0d 2

(2)

Trên thực tế thì các phân tử khí đều chuyển động, vì vậy ta phải thay tốc độ
trung bình trong công thức (2) bằng tốc độ trung bình tương đối giữa các phân tử
. Để giải bài toán này ta có thể lập luận một cách gần đúng như sau. Khi các
phân tử đều chuyển động hỗn loạn, chúng va chạm dưới những góc  khác nhau,
giá trị của  nằm trong khoảng 0     . với góc  =0 thì hai phân tử khí chuyển
động cùng chiều, với  =  thì hai phân tử khí chuyển động ngược chiều, còn 
có giá trị trung gian thì hai phân tử khí chuyển động xiên góc. Vì các phân tử khí
chuyển động hỗn loạn nên ta có thể cho rằng khi tính trung bình thì các phân tử
khí sẽ va chạm vuông góc  =  /2. Nếu hai phân tử chuyển động với cùng tốc độ
v theo hai phương vuông góc và đến gặp nhau thì tốc độ tương đối là 2 v . Đưa
giá trị này vào công thức (1) ta có z = n0 d 2 2 v
(3)
và  

v
2n0d v
2



1
2n0d 2

(4)


thay biểu thức n0 


p
ta được
kT

kT
2d 2 p

(5)

Theo công thức (5) với một chất khí và nhiệt độ đã cho thì quãng đường tự
do trung bình tỉ lệ nghịch với áp suất . Ở áp suất đủ thấp thì quãng đường tự do
trung bình có thể lớn hơn kích thước của bình đựng. Lúc đó các phân tử khí có
thể chuyển động từ thành bình này sang thành bình kia mà không va chạm với
nhau.
Độ lớn của quãng đường tự do trung bình có ý nghĩa quan trọng trong nhiều
dụng cụ và hiện tượng vật lý. Thí dụ trong các đèn điện tử, trong ống phóng điện
tử, trong hiện tượng ion hóa do va chạm, trong các máy gia tốc...
Thực ra với khí lí tưởng cũng có quãng đường tự do trunng bình song vì ở đó
ta bỏ qua kích thước các phân tử khí nên ta không đặt vấn đề này ra
2. PHƯƠNG TRÌNH VAN -ĐƠ - VAN
2.1 Mở đầu
Phương trình trạng thái của khí thực tương đối đơn giản và thông dụng đó là
phương trình do nhà vật lý người Hà Lan Van- đơ - Van (Johannes Diderik Van
der Waals, 1837- 1923) thiết lập năm 1873 bằng cách hiệu chỉnh phương trình

Clapêrôn của khí lí tưởng.
Van - đơ - Van đã sửa đổi phương trình Clapêrôn bằng cách đưa vào hai đại
lượng hiệu chỉnh liên quan đến hai điểm khác biệt giữa khí thực và khí lí tưởng ,
đó là kích thước phân tử và lực tương tác giữa các phân tử kể cả ngoài lúc va
chạm
2.2 Hiệu chỉnh do kích thước phân tử
Phương trình Clapêrôn đối với một mol khí lí tưởng là:
p V = RT
Ở đây V là thể tích của một mol khí và cũng là thể tích của bình đựng khí.
Vì thể tích của khí lí tưởng được coi là chất điểm nên V cũng là thể tích tự do đối
với chuyển động nhiệt của các phân tử khí trong bình. Tình hình sẽ khác đi đối
với khí thực vì ở đây không bỏ qua kích thước riêng của phân tử. Lúc này thay
cho V ở phương trình Clapêrôn phải là ( V -b)tích riêng của một phân tử khí
trong đó b là một thể tích nào đó liên qua đên các thể tích riêng của một phân tử
khí có trong một mol khí thực.
Bây giờ ta hãy tính độ lớn của b. Vì ở đây chúng ta khảo sát vai trò của thể
tích riêng khi các phân tử khí chuyển động và va chạm với nhau nên số hiệu
chỉnh b không phải là tổng thể tích riêng các phân tử khí có trong lượng khí .
Giả sử trong khí chỉ xảy ra va chạm giữa hai phân tử . Điều này cũng hợp lí
vì va chạm của nhiều phân tử rất ít khi xảy ra. Từ hình ta thấy rằng tâm của một
trong hai phân tử tham gia va chạm không thể xâm nhập vào hình câu bán kính
d=2r, với d và r lần lượt là đường kính và bán kính hiệu dụng của phân tử khí
4
3

4
3

thực . Thể tích hình cầu lúc này bằng d 3  8. r 3 , nghĩa là bằng 8 lần thể tích

riêng của một phân tử khí . vì ở đây là va chạm của hai phân tử nên thể tích riêng
4
3

không xâm nhập vào được tính trung bình cho mỗi phân tử khí là 4( r 3 ) nghĩa
là 4 lần thể tích riêng của một phân tử khí. Vì một mol có NA phân tử nên số hiệu
chỉnh b sẽ là

4
3

b= NA 4( r 3 ) (6)
d

O’

O

Hình

ta nhắc lại đường kính hiệu dụng của phân tử khí thực sẽ liên quan đến lực đẩy
giữa các phân tử nên số hiệu chỉnh b còn có thể hiểu là số hiệu chỉnh do lực đẩy
giữa các phân tử.
2.3 Hiệu chỉnh do lực hút giữa các phân tử
Ở trạng thái khí , khoảng cách trung bình giữa các phân tử thường lớn nên lực
tương tác tổng hợp trong phần lớn thời gian là lực hút. Sự tồn tại của lực hút này
làm cho lớp phân tử khí ở sát thành bình bị kéo vào trong lòng chất khí, làm cho
lớp khí ngoài cùng này ép lên khói khí bên trong một áp suất p i nào đó, gọi là áp
suất nội tại . Như vậy nó cũng làm giảm áp suất mà khí tác dụng lên thành bình

một lượng bằng pi. do đó thay cho ở phương trình Clapêrôn ta phải viết p + pi,
trong đó p là áp suất thực đo được ở thành bình.
a

b

c

Hình 2

Sau đây chúng ta khảo sát độ lớn của pi. Vì lực tương tác tương tác giữa các
phân tử tác dụng ở khoảng cách ngắn nên chúng ta chỉ cần quan tâm đến lớp khí
bc kề với lớp khí ab sát thành bình (hình 2) . Rõ ràng lực hút của lớp khí bc lên
một phân tử khí ở lớp ab phải tỉ lệ với mật độ phân tử n0 ở lớp bc . Mặt khác áp
suất pi còn tỉ lệ với chính mật độ phân tử khí của lớp ab vì số phân tử khí đên va
chạm vào thành bình tỉ lệ với mật độ khí này. Tóm lại, pi tỉ lệ với tích (n,n0) hoặc
ta viết pi =cn02 trong đó c là hằng số tỉ lệ .


Đối với một mol khí thì n0 
cho nên pi 

cN 2 A
V

2

a2
 2
V

(7)

NA
V

trong đó a= cNA2 là số hiệu chỉnh do lực hút .

3.4 Thành lập phương trình Van-đơ- Van
Bây giờ ta có thể viêt phương trình trạng thái cho một mol khí thực như sau
(p + pi)( V -b) =RT
Đưa biểu thức (7) vào phương trình này ta được
a2
(p+ 2 )( V -b) = RT (8) Đó là phương trình Van -đơ - Van đối với một mol
V

khí thực trong đó a và b là hai hằng số hiệu chỉnh được gọi là các hằng số Van đơ - Van chúng được xác định bằng thực nghiệm và ghi trong bảng hằng số vật lí
Ta có thể viết phương trình Van-đơ-Van cho một khối lượng m khí thực
m

bằng cách thay V= V sau các phép biến đổi ta được :


(p 

2

m a
m
m

)(V  b)  RT
2
2
 V



Phương trình Van- đơ -Van mô tả khá tốt trạng thái khí thực và có khả năng
diễn tả sự biến đổi liên tục từ khí sang lỏng , song phương trình này cũng chỉ là
gần đúng . Nguyên nhân là do ta đã đơn giản hóa một số điểm khi mô tả khí thực
, như ta đã coi phân tử có dạng hình cầu , bở qua sự thay đổi đường kính hiệu
dụng theo nhiệt độ ( vì khi nhiệt độ tăng chẳng hạn thì phân tử va chạm nhau
mạnh hơn, chúng có thể lại gần nhau hơn, khoảng cách giữa hai phan tử ngắn hơn
đường kính hiệu dụng sẽ nhỏ hơn)
3. ĐƯỜNG ĐẲNG NHIỆT VAN-ĐƠ- VAN
3.1 Đường đẳng nhiệt Van- đơ -Van
Phương trình Van -đơ - Van đối với một mol khí thực là (p+

a
)( V -b) = RT
V2

Đây là phương trình bậc 3 đối với V . Nếu giữ cho T không đổi và biểu diễn sự
phụ thuộc của áp suất p theo thể tích V trong hệ tọa độ( p,V) ta sẽ được một
đường cong gọi là đường đẳng nhiệt Van-đơ -Van. Ứng với các nhiệt độ khác
nhau ta sẽ được đường đẳng nhiệt khác nhau tạo thành một họ đường đẳng nhiệt
- Với giá trị T khá cao đường đẳng nhiệt Van-đơ - Van có dạng giống như đường
đẳng nhiệt của khí lí tưởng.
- Ứng với một giá trị T nào đó ( ta kí hiệu là TK) thì đường đẳng nhiệt có một
điểm uốn K. Tiếp tuyến với đường cong tại K là một đường song song với trục

hoành . Điểm K ứng với p và V xác định .
- Với giá trị T < TK đường đẳng nhiệt có một đoạn nhấp nhô . Trong miền này
mỗi áp suất p ứng với 3 giá trị của thể tích V . Để giả thích đặc điểm này ta phải
dựa vào thực nghiệm
3.2 Nhận xét


So sánh các đường đẳng nhiệt Van -đơ -Van với đường đẳng nhiệt thực
nghiệm ta thấy :
- Ở nhiệt độ cao ( T> TK) đường đẳng nhiệt Van - đơ -Van giống như đường
đẳng nhiệt thực nghiệm ( đường số 1)
- Ở nhiệt độ TK đường đẳng nhiệt Van - đơ - Van và đường đẳng nhiệt thực
nghiệm đều có điểm uốn K ( đường số 2) . Các thông số tới hạn TK . pK và VK
tính từ phương trình Van - đơ -Van khá phù hợp với các giá trị đo được từ thực
nghiệm.
- Ở những nhiệt độ T< TK ta thấy có sự khác nhau rõ rệt giữa hai loại đường
đẳng nhiệt: đường đẳng nhiệt Van - đơ -Van có đoạn lồi lõm , còn đường đẳng
nhiệt thực nghiệm thì có đoạn thẳng nằm ngang. Tuy nhiên sự khác nhau này có
thể giải thích được . Thí dụ , phần đâù đoạn Bb ứng với trường hợp một khối khí
tinh khiết , không có hạt tích điện thì tuy khí bị nén đến áp suất lớn hơn áp suất
bão hòa nó vẫn chưa hóa lỏng. Hơi ở trạng thái như vậy được gọi là hơi quá bão
hòa và hiện tượng đó được gọi là hiện tượng chậm hóa lổng vì thiếu tâm ngưng tụ
. Nếu bây giờ xuất hiện những hạt bụi hay điện tích tự do thì hơi ngưng tụ ngay.
Phần đầu đoạn Cc phản ánh trường hợp áp suất tác dụng lên chất lỏng đã giảm
xuống dưới áp suất bão hòa tương ứng với nhiệt độ đang xét , song chất lỏng vẫn
chuyển sang trạng thái hơi. Hiện tượng này gọi là sự chậm hóa hơi. Các hiện
tượng chậm hóa hơi và quá trình bão hòa là những trạng thái cân bằng không bền,
dễ bị phá vỡ vì vậy chúng chỉ xảy ra ở những điều kiện đặc biệt chứ không phải
phổ biến . Còn đối với đoạn bc trên đường đẳng nhiệt Van- đơ -Van thì người ta
cũng cho rằng nó có thể tương ứng với những trạng thái không bền nào đố khó

xảy ra trong thực nghiệm . Qua việc đối chiếu hai loại đường đẳng nhiệt ta thấy
phương trình Van -đơ - Van phản ánh khá phù hợp với khí thực, nó có thể được
áp dụng trong một giới hạn rộng về áp suất và nhiệt độ.
3.3 Xác định các thông số tới hạn nhờ phương trình Van -đơ -Van
Trạng thái tới hạn ứng với điểm uốn của đường đẳng nhiệt Van - đơ -Van.
Ta có thể tìm các thông số tới hạn pk, Tk và Vk từ phương trình Van- đơ -Van viết
dưới dạng : p 

RT
a
 2
V  b V

(4.10)

Và hai phương trình suy ra từ điều kiện của điểm uốn có tiếp tuyến nằm
ngang là đạo hàm bậc nhất và bậc hai của p theo biến số V =0 nghĩa là:
p
RT
2a

 3  0  (4.11)
2
V
(V  b) V

2 p
2 RT
6a


 4  0 (4.12)
2
3
 V (V  b) V

Từ (4,11) và (4.12) suy ra :

V V  b

vậy Vk  V  3b
3
2

(4.13)

thay (4.13) vào phương trình (4.11) ta suy ra :
8a
RT
2a
và tìm được Tk 

2
3
27 Rb
(3b  b)
(3b)

thay (4.13) và (4.14) vào (4.10) ta có

(4.14)

8a
a
a
pk  27 Rb 

2
(3b  b) (3b)
27b 2
8a
a
Vk  3b;Tk 
; pk 
27 Rb
27b 2
R

(4.15) Tóm lại:
(4.16)
3
8

Từ các công thức trên (4.16) ta có thể viết : pkVk  RTk (4.17) so sánh (4.17)
với phương trình trạng thái của khí lí tưởng ta thấy có sự sai khác rõ rệt.
3.4 Phương trình rút gọn
Nếu lập các tỉ số :
p
  gọi là áp suất rút gọn
pk

V
  gọi là thể tích rút gọn
Vk
T
  gọi là nhiệt độ rút gọn. thì các công thức (4.16) được viết thành:
Tk
a
8a
thay các biểu thức này vào phương trình Van-đơ
p
 ;V  3b và T 
2
27b
27bR

-Van và tiến hành các phép biến đổi ta có :
( 

3

2

)(3  1)  8 (4.18) phương trình (4.18) thay thế cho phương trình Van -

đơ -Van ứng với một mol khí và được gọi là phương trình rút gọn.
Từ phương trình rút gọn ta có thể suy ra một định lý quan trọng gọi là định lý
về các trạng thái dừng. Nội dung của định lý là: Nếu hai chấ khí khác nhau
được lấy trong những trạng thái sao cho trong ba đại lượng rút gọn  ,, bằng
nhau thì đại lượng thứ ba cũng bằng nhau.
Những lưu ý khí giải bài tập với khí thực

+ Khí thực vẫn tuân theo nguyên lí thứ nhất của nhiệt động lực học Q=  U+A
với A là công do chất khí thực hiện A=  pdV
dU=nCVdT+ n2

adV
.
V2

+Nội năng của n mol khí Van- đơ -Van
U=nCVT- n2a/V
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1.Hãy tìm công do 1 mol khí Van-đơ -Van khi giãn đẳng nhiệt từ thể tích V1
đến thể tích V2
Hướng dẫn: phương trình Van- đơ - Van cho 1 mol khí là:
:(p+

a
RT
a
)( V -b) = RT  p 
 2
2
V
V b V

A   pdV   RT

V2
V b
a a

dV
dV
a V2
) 
  a 2  RT ln(V  b) │ + │ = RT ln( 2
V1  b V2 V1
V b
V
V V1
V1


Bài 2. Một mol của một chấ khí nào đó đựng trong một bình có thể tích V=0,25l .
Ở nhiệt độ T1 = 300K, áp suất khí là p1=90atm, còn ởT2=350K thì áp suất là
p2=110atm. Hãy tìm các hằng số Vander -Waals đối với chất khí này.
Hướng dẫn:
Áp dụng phương trình Vander -Waals đối với một mol khí thực
(p1+

a
)( V -b) = RT1 (1)
V2

(p2+

a
)( V -b) = RT2 (2)
V2

chia (1) cho (2) ta có

p1  a / V 2 T1

từ đây suy ra
p2  a / V 2 T2
( p2T1  p1T2 )V 2 (110.300  90.350).101325.(0,25.103 ) 2
a

 0,19 Pa.m6 / mol 2
T2  T1
350  300

Bài 3: Hãy tìm phương trình đoạn nhiệt theo các biến số T,V của một khí Vanđơ -Van nếu nhiệt dung mol của nó khi thể tích không đổi là CV.
Hướng dẫn:
theo nguyên lí 1: dU  Q  A  A (1) ( vì đoạn nhiệt nên  Q=0)
từ PT:(p+

a
RT
a
)( V -b) = RT  p 
 2
2
V
V b V

công khí thực hiện A  A   pdV  

RTdV
dV
a 2

V b
V

adV
. Vậy (1) thành
V2
adV
RTdV
dV
dT
dV
CVdT + 2 = 
(2)
 a 2  CV
 R
V
V b
V
T
V b
dT
dV
CV
R
 0 lấy tích phân hai vế ta có : CVlnT+Rln(V-b)=const
T
V b
hay T (V  b) R / CV  conts

còn dU=CVdT+

Bài 4. Hãy xác định hiệu các nhiệt dung mol Cp-CV của khí Van-đơ -Van.
Hướng dẫn
từ PT:(p+


dT

dV

a
)( V -b) = RT
V2

1  2a
a p
a
2ab
( 3 )(V  b)  p  2   

2

R V
V  R RV
RV 3

(1)

Áp dụng nguyên lý 1cho quá trình đẳng áp
adV

a
dT
(2)
 C p dT  pdV suy ra p  2  (CP  CV )
2
V
V
dV
(C p  CV )
a 2ab
a
(p  2  3 )  p  2
thay (1) vào (2) ta có
R
V
V
V (3)
dU  Q  A  CV dT 


từ phương trình Van- đơ -Van cho 1 mol khí ta suy ra p 
vào (3)

RT
a
 2 (4) thay (4)
V b V

R
RT

2a
RT
(
 3 (V  b) 
CP  CV V  b V
V b

ta có


Vậy CP  CV  R / 1 


2
2a(V  b) 

RTV 3 

Bài 5. Hãy tính nhiệt lượng cần truyền cho n=2 mol khí CO2 để ki giãn trong
chân không từ thể tích V1= 5 lít tới V2= 10 lít ở nhiệt độ không đổi . Coi khí là
khí Van- đơ -Van.
hướng dẫn:
Vì giãn khí trong chân không nên chất khí không sinh công A  A  0
Quá trình đẳng nhiệt (dT=0) nên
dU 

n2a
n2a
dV


nC
dT

dV
V
V2
V2

theo nguyên lý 1 dU  Q  A  Q  dU  A  dU  0 

n2a
dV
V2

V2

1 1
dV
n2a V 2
│ = n 2 a(  )

V1 V2
V
V
V1
V1

Q  n a
2

thay số Q  32.0,367(

1
1

)  330 J
0,005 0,01

Bài 6. Một chất khí đi qua một vách ngăn châm lỗ đặt trong một ống cách nhiệt
có kèm theo sự dãn nở và biến đổi nhiệt độ của khí . Nếu trước khi giãn khí được
coi là khí Van- đơ -Van, sau khi giãn khí được coi là khí lí tưởng thì số gia tương
ứng của nhiệt độ là
T  T2  T1 

1 RT1b 2a
(
 )
CP V1  b V1

Hãy thiết lập công thức trên bằng cách vận dụng nguyên lý 1 của nhiệt động lực
học cho một mol khí đi qua vách ngăn. Coi quá trình là đoạn nhiệt
Hướng dẫn
Nội năng của một mol khí Van- đơ -Van là U  CV T 

a
V

Quá trình đoạn nhiệt nên Q  0
Biểu thức của nguyên lý 1 thành dU=dA  U  A (1)
Công mà khối khí nhận vào là A= p1V1- p2V2

a) trước khi giãn U1  CV T1 
Phương trình trạng thái:(p1+
A1  p1V1 

RT1V1 a
 1
V1  b V1

a
V1

a
RT1
a
 2
)(V1-b) = RT1 nên p1 
2
V1
V1  b1 V1


b) sau khi giãn A2= p2V2=RT2
Vậy U  U 2  U1  CV T2  CV T1 

a
V1

RT1V1 a
  RT2
V1  b V1

a RT V
a
thay vào (1): CV(T2- T1)+  1 1   RT2
V1 V1  b V1
 2a RT1V1 RT2V1 bRT2 bRT1 bRT1
CV (T2  T1 ) 





V1
V1  b V1  b V1  b V1  b V1  b
RV (T  T ) Rb(T2  T1 ) bRT1 2a
CV (T2  T1 )  1 2 1 


V1  b
V1  b
V1  b V1
bRT1 2a

 (T2  T1 )(CV  R)  CP (T2  T1 )
V1  b V1
1 RT b 2a
vậy T  T2  T1  ( 1  ) (đpcm)
CP V1  b V1
A  A1  A2  p1V1  p2V2 

Bài 7.Một mol khí Van-đơ -Van có thể tích V1 và nhiệt độ T1 biến đổi sang trạng

thái với thể tích V2 nhiệt độ T2. Hãy tìm số gia tương ứng của entropi
2

dQ
 ? ). Coi nhiệt dung mol CV của khí đã biết.
T
1

( S  

Hướng dẫn:
theo nguyên lý 1 dU  dQ  dA  dQ  dU  dA (1)
với dU 

a
dV  CV dT
V2

RTdV
dV
a 2
V b
V
a
RTdV
dV
RTdV
thay vào (1) ta có dQ  2 dV  CV dT 
 a 2 = CV dT 
V

V b
V
V b

và dA  dA   pdV  

dQ 2 dT 2 dV
T
V b
S  
  CV
 R
 CV ln 2  R ln( 2
)
T
T V1 V  b
T1
V1  b
1
T1
2

nên

T

V

Bài 8.Hai bình thể tich V1 và V2 được nối với nhau bằng một ống có van. Khi van
khóa trong mỗi bình có chứa một mol của cùng một loại khí tuân theo phương

trình Van- đơ - Van. Trước khi mở van nhiệt độ của hai bình là như nhau và bằng
T. Hỏi sau khi mở van thì khí sẽ nóng lên hay lạnh đi ? Xác định áp suất khí sau
khi mở van. Coi các thành bình và ống nối là cách nhiệt với bên ngoài, còn nhiệt
dung CV không phụ thuộc vào nhiệt độ.
Hướng dẫn
Xét cho cả hệ
dQ=dU1+dU2+dA1+dA2=0
do quá trình là đoạn nhiệt nên dQ=0,
dA1+dA2=0 nên dU1+dU2=0
a
a
dV  CV dT + 2 dV   CV dT =0
2
V
V


V1 V2
2

T

 2C dT
V





T

V1

'

2CV(T - T) 2CV (T   T )  a[

T  T 

a
dV  
V 2

a
│
V

V1 V2
2
V1

V1 V2
2



V2

a
dV  0

V2

a
- │
V

V1 V2
2

=0

V2

4
1 1
 (  )]  0
V1  V2 V1 V2

a (V2  V1 ) 2
2 RT 
4a
; p 

khí lạnh đi
2CV V1V2 (V1  V2 )
V1  V2  2b (V1  V2 ) 2

Bài 9. Xác định hiệu suất của chu trình gồm hai quá
trình đẳng tích V1 và V2 và hai quá trình đoạn nhiệt.
Tác nhân là khí Van - đơ - Van , các hằng số a,b cho

trước, còn nhiệt dung CV không phụ thuộc vào nhiệt
độ .

p

1
2
4
3
V

Hướng dẫn: áp dụng nguyên lý 1: Q= A+ U
quá trình 1-2
Q12=0; A12= - U12
với U12  CV (T2  T1 )  a(

1 1
 ) ta tìm mối liên giữa T1 và T2
V2 V1

từ nguyên lý 1, do quá trình là đoạn nhiệt nên dU=- dA
hay CV dT 

adV adV RTdV
C dT
dV
 2 
 V
 R
2

V
V
V b
T
V b
R

T
 R V2  b
V  b CV
ln 2 
ln
 T2  T1 ( 1
)
T1 CV V1  b
V2  b

Quá trình 2-3:
A23=0; Q23<0
Quá trình 3-4:
Q34=0; A34= - U 34
1
V1

với U 34  CV (T4  T3 )  a( 

1
) ta tìm mối liên giữa T3 và T4
V2

từ nguyên lý 1, do quá trình là đoạn nhiệt nên dU=- dA
hay CV dT 

adV adV RTdV
C dT
dV
 2 
 V
 R
2
V
V
V b
T
V b
R

T
 R V1  b
V  b CV
ln 4 
ln
 T3  T4 ( 1
)
T3 CV V2  b
V2  b

Quá trình 4-1:
A41=0; Q41= U 41  Cv (T1  T4 ) vì quá trình này có dV=0
hiệu suất của chu trình

Bài 10. Thế năng của các phân tử khí trong trường đối xứng xuyên tâm tại điểm
cách tâm khoảng r là U r  r 2 , với  là hằng số dương. Khi nhiệt độ khí là T thì
nồng độ phân tử khí tại tâm là N0.
1. Xác định nồng độ phân tử khí cách tâm r.
2. Tính tỉ phần phân tử khí nằm giữa hai lớp cầu bán kính r và r+dr
Hướng dẫn:
1.Xét các phân tử khí nằm nằm giữa hai lớp cầu bán kính r và r+dr. Ta có
dp= KTdn. (1)
với dp là áp suất của lớp khí đó cũng chính là độ chênh áp suất của lớp khí trong
và ngoài nên dp  ( p2  p1 )  

N
dU r  ndU r (2)
V
n

dn
dU
dn
1
từ (1) và (2) ta có
 r  

n
kT
n
KT
n

0

Ur

 dU

r

 n  n0e



Ur
KT

0

U r



2. dN  nr 4r 2 dr  N  4  r 2 dr.n0e KT
0

U
kT

U r
kT

dN
4r dr.n0e
r e dr

  U
U r

N
2
4n0  r 2 dr.e kT
 r e kT dr
2

0

2

0



do  x ne  x dx  
0

Bài 11. Xác định đường kính của phân tử khí
Trong ống hình trụ có đường kính nhỏ, chất khí chảy ổn định theo các đường dòng song
song với trục ống. Tốc độ của các dòng chảy giảm dần từ trục ống ra thành ống do lực nội ma
sát giữa các dòng chảy. Tốc độ dòng chảy lớn nhất ở trục ống và bằng 0 ở sát thành ống. Lực
dv
nội ma sát giữa hai lớp chất khí sát nhau là f ms  A

với A là diện tích tiếp xúc giữa hai lớp
dr
dv
chất khí,
là độ biến thiên tốc độ trên một đơn vị chiều dài theo phương vuông góc với dòng
dr
chảy,  là độ nhớt mà giá trị của nó phụ thuộc vào đường kính phân tử khí d và nhiệt độ T của
chất khí theo công thức sau:
1/ 2

2  mk T 
  2  3B 
3d   
với m là khối lượng phân tử khí, kB là hằng số Boltzmann.
Cho các dụng cụ sau:
- Bình chứa khí nitơ có áp suất khí đầu ra không đổi;
- 01 van dùng để thay đổi lưu lượng chất khí;
- 01 ống mao quản hình trụ có chiều dài L, bán kính ống R;
- 01 thiết bị đo lưu lượng khí;
- 01 áp kế nước hình chữ U;
- Nhiệt kế đo nhiệt độ phòng và các ống dẫn, khớp nối cần thiết.
Hãy:
a. Thiết lập công thức tính lưu lượng khí chảy qua ống theo kích thước ống, độ chênh lệch
áp suất giữa hai đầu ống và độ nhớt của chất khí.
b. Đề xuất phương án thí nghiệm: vẽ sơ đồ thí nghiệm và nêu các bước tiến hành để xác
định đường kính phân tử khí nitơ.


Hướng dẫn
a. Thiết lập công thức tính lưu lượng khí chảy qua ống

Xét hình trụ bán kính r (rDo lực nội ma sát giữa các lớp khí bên trong của hình trụ bị triệt tiêu nên lực cản tổng cộng lên
hình trụ bán kính r là lực ma sát cản ứng với lớp vỏ hình trụ ứng với diện tích A  2rL
 Lực cản tổng cộng tác động lên dòng khí chảy trong ống hình trụ có bán kính đáy r là
dv
f ms  .2rL
dr
Lực kéo chất khí ở trong ống hình trụ bán kính r là do bởi sự chênh lệch áp suất giữa hai đầu
ống là
fkéo = (p1 - p2)r2
Khi dòng chảy ổn định, lực kéo và lực cản cân bằng: fms + fkéo = 0
dv
.2rL  (p1  p2 )r 2  0 ........................ 0,25 điểm
v(r)
R r
p2
p1
dr
v
r
dv
(p  p )
dv
(p  p )
   1 2 rdr

  1 2 rdr  
dr R
2L
dr

2L
L
0

(p1  p 2 ) 2 2
(R  r ) ................................ 0,25 điểm
4L
Mặt khác lưu lượng của chất khí chảy qua ống là:
R
(p  p )
Q   dQ   vdS   1 2 (R 2  r 2 ).2rdr
4L
(S)
(S)
0
 v

R

(p1  p2 ) 4 p
R 
R 4
8L
8L
b. Phương án thí nghiệm
Bố trí N
thí
nghiệm như hình vẽ
2

dS
r

 Q

Ống mao quản

Khí ra
Thiết bị đo lưu lượng

Van

Áp kế nước chữ U

Trình tự thí nghiệm:
- Điều chỉnh van để chỉnh lưu lượng khí chảy qua hệ (Để dòng khí chảy ổn định cần điều chỉnh
lưu lượng khí chảy qua ống là nhỏ)
- Đọc giá trị lưu lượng và độ chênh lệch áp suất p ở hai đầu ống qua áp kế
- Thay đổi lượng khí chảy qua hệ ở các giá trị lưu lượng Q khác nhau, đọc giá trị p tương
ứng
p
- Ghi số liệu vào bảng và tính giá trị  theo công thức  
R 4
8QL

Lần đo
Q
p

n

- Tính độ nhớt trung bình của chất khí chảy qua ống    i
i 1

- Đọc giá trị nhiệt độ phòng T trên nhiệt kế
1/ 2

2  mk BT 
- Tính giá trị đường kính phân tử khí qua công thức d 


3  3 