Bài giảng toán cao cấp học viện ngân hàng

HỌC VIỆN NGÂN HÀNG
BỘ MÔN TOÁN

———————o0o——————–

BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP

Giảng viên: Trần Thị Xuyến
Địa chỉ: Bộ môn Toán, phòng 302, tòa nhà 7 tầng, HVNH
Email: xuyen.tran.hvnh @ gmail.com
Website: xuyentranhvnh.wordpress.com
Cellphone: 0915 170 752
Office: 0438 522 969

HÀ NỘI - T9 năm 2015


GIỚI THIỆU HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP
Học phần Toán cao cấp là điều kiện tiên quyết của các môn: Xác suất thống
kê, Mô hình toán và Kinh tế lượng.
Số tín chỉ: 3.
Phân bố thời gian:
1. Lý thuyết trên lớp: 27 tiết
2. Thực hành: 18 tiết
3. Tự học, tự nghiên cứu: 30 tiết
Kế hoạch giảng dạy:
• Chương 1: Hàm số và giới hạn ( 9 tiết )
• Chương 2: Đạo hàm ( 6 tiết )
• Chương 3: Hàm số nhiều biến số và cực trị của hàm nhiều biến ( 9 tiết )
• Kiểm tra giữa kì lần 1: 1 tiết
• Chương 4: Tích phân ( 9 tiết )

• Chương 5: Phương trình vi phân ( 5 tiết )
• Chương 6: Phương trình sai phân tuyến tính ( 5 tiết )
• Kiểm tra giữa kì lần 2: 1 tiết

GIÁO TRÌNH
• Giáo trình toán cao cấp, Bộ môn Toán, Học viện Ngân hàng biên soạn.
• Bài tập toán cao cấp, Bộ môn Toán, Học viện Ngân hàng biên soạn.
• Toán cao cấp cho các nhà kinh tế , Lê Đình Thúy, NXB Đại học kinh tế

quốc dân.
• Toán cao cấp ứng dụng trong phân tích kinh tế, Phùng Duy Quang,

NXB Đại học Sư phạm.
TIÊU CHUẨN ĐÁNH GIÁ SINH VIÊN
1. Bài kiểm tra giữa kì: 2 bài chiếm 30 %
Bài kiểm tra giữa kì có hình thức tự luận với thời gian 45 phút.
Bài kiểm tra số 1: Khi kết thúc chương 3
Bài kiểm tra số 2: Khi kết thúc chương 6
1


2. Thi hết học phần: 60%
Bài thi hết học phần có hình thức tự luận với thời gian 90 phút.

3. Hình thức khác ( Điểm chuyên cần) : 10 %

2


MẪU ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KÌ LẦN 1

Câu 1 : Một doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo có hàm chi phí bình quân (AC) có
dạng như sau: AC = 31 Q2 − 15Q − 390 + 300
Q , Q là sản lượng đơn vị trăm chiếc .
Doanh nghiệp bán sản phẩm với mức giá thị trường p = 10 USD
a. Tìm hàm chi phí cận biên của công ty.
b. Tính M C(45) và nêu ý nghĩa kinh tế.
c. Tìm mức sản lượng để lợi nhuận đạt tối đa.
Câu 2 : Tính các giới hạn sau:
1
1 + tan x sin3 x
a. lim
x→0 1 + sin x
π
b. lim 2x tan x −
π
cos x
x→
2

Câu 3 : Tìm các điểm cực trị của hàm số z = xy với điều kiện x + y = 1.

MẪU ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KÌ LẦN 2
Câu 1 : Tính tích phân sau
+∞

xe−x dx
0

Câu 2 : Cho hàm xu hướng tiêu dùng cận biên M P C(Y ) = 0, 8 + 0, 1Y −0,5 và tiêu
dùng C bằng thu nhập Y khi Y = 100 USD.

a. Tìm hàm tiêu dùng C(Y ).
b. Cho biết mức tăng lên của tiêu dùng khi thu nhập tăng từ 100 USD lên 200
USD.
Câu 3 : Giải phương trình
y + y tan x =

1
cos x

Câu 4 : Giải phương trình
yt+2 − 4yt = 2t
3


MẪU ĐỀ THI HẾT HỌC PHẦN
Câu 1 : Một doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo có hàm chi phí bình quân (AC) có
dạng như sau: AC = 13 Q2 − 15Q − 390 + 15
Q , Q là sản lượng đơn vị trăm chiếc .
Doanh nghiệp bán sản phẩm với mức giá thị trường p = 10 USD
a. Tìm hàm chi phí cận biên của công ty.
b. Tính M C(45) và nêu ý nghĩa kinh tế.
c. Tìm mức sản lượng để lợi nhuận đạt tối đa.

Câu 2 : Tính các giới hạn sau:
1
1 + tan x sin3 x
1 + sin x

a. lim

x→0

π
b. lim 2x tan x −
π
cos x
x→
2

Câu 3 : Tìm các điểm cực trị của hàm số z = xy với điều kiện x + y = 1.
Câu 4 : Tính tích phân sau
+∞

xe−x dx
0

Câu 5 : Cho hàm xu hướng tiêu dùng cận biên M P C(Y ) = 0, 8 + 0, 1Y −0,5 và tiêu
dùng C bằng thu nhập Y khi Y = 100 USD.
a. Tìm hàm tiêu dùng C(Y ).
b. Cho biết mức tăng lên của tiêu dùng khi thu nhập tăng từ 100 USD lên 200
USD.
Câu 6 : Giải phương trình
y + y tan x =

1
cos x

Câu 7 : Giải phương trình
yt+2 − 4yt = 2t

4


CHƯƠNG 1
HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN

1.1

HÀM SỐ

1.1.1

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ

A. Biến số
Định nghĩa 1.1.1. Biến số là đại lượng mà giá trị của nó có thể thay đổi trên
một tập số X = ∅.
Ta thường kí hiệu biến số là chữ cái: x, y, z... và X gọi là miền biến thiên.
Các biến số kinh tế hay gặp
p: giá cả.
Q: Sản lượng
Qs : Lượng cung.
Qd : Lượng cầu.
π : Lợi nhuận
T C : Tổng chi phí
V C : Chi phí biến đổi
F C : Chi phí cố định
AC : Tổng chi phí bình quân
AV C : Chi phí biến đổi bình quân
T R: Tổng doanh thu

K : Số đơn vị Vốn
L: Số đơn vị Lao động
C : Lượng tiêu dùng
S : Lượng tiết kiệm.
Y : Thu nhập.
B.Hàm số
Định nghĩa 1.1.2. Một hàm số f xác định trên X ⊂ R là một quy tắc cho tương
ứng mỗi số thực x ∈ X với một và chỉ một số thực y .
Kí hiệu: y = f (x)
5


• x gọi là biến độc lập.
• X gọi là miền xác định (MXĐ).
• y gọi là biến phụ thuộc.
• f (X) = {y ∈ R|y = f (x), x ∈ X} là miền giá trị (MGT) của hàm số.
• Đồ thị hàm số là: {(x, y)|y = f (x), x ∈ X} .

C. Các cách cho hàm số
1. Hàm số cho bởi bảng.
2. Hàm số cho bởi biểu thức giải tích.
Ví dụ 1.1.1.
5 − x2

y=
y=



 x3 − 1, x > 3


 5 + x,

x≤3

3. Hàm số cho bởi đồ thị hàm số.
Bài toán: Tìm hàm số từ dữ liệu cho trước.

Ví dụ 1.1.2. Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho
thuê mỗi căn hộ với giá 2000000 VNĐ mỗi tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê
và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ lên 100000 VNĐ mỗi tháng thì có thêm
2 căn hộ bị bỏ trống. Gọi x (VNĐ/ tháng) là số tiền tăng giá cho thuê mỗi căn hộ.
Tìm số tiền công ty thu được theo x.
D. Hàm ẩn
Định nghĩa 1.1.3. Hàm y(x) thỏa mãn hệ thức liên hệ giữa x và y : F (x, y) = 0
thì y gọi là hàm ẩn của x.
Ví dụ 1.1.3. x2 + y 2 − 1 = 0 hay x3 − y 3 + 1 = 0
6


E. Hàm ngược
Định nghĩa 1.1.4. Cho hàm số y = f (x) với miền xác định X, miền giá trị Y.
Nếu ∀y0 ∈ Y , phương trình f (x) = y0 có nghiệm duy nhất thuộc X thì ta có thể
xác định một hàm số cho tương ứng mỗi y0 ∈ Y một và chỉ một x0 ∈ X sao cho
f (x0 ) = y0 .

Hàm số này gọi là hàm ngược của hàm số y = f (x), kí hiệu là: f −1 .

Trong toán học, người ta thường kí hiệu x là đối số, y là hàm số nên khi viết
hàm ngược của hàm số y = f (x) thay vì viết x = f −1 (y) ta quy ước viết là y = f −1 (x).

Cách tìm hàm ngược
B1: Tìm MXĐ và MGT của hàm số y = f (x).
B2: Giải phương trình y = f (x) để tìm nghiệm x theo y .
B3: Nếu tìm được x duy nhất theo y thì f (x) có hàm ngược f −1 . Với quy ước x là
biến độc lập, y là biến phụ thuộc ta biểu diễn hàm ngược dưới dạng y = f −1 (x).
Ví dụ 1.1.4. Tìm hàm ngược của hàm sau
y = (x − 1)2 , ∀x ≥ 1

Hàm ngược của các hàm lượng giác và hàm mũ
1. Hàm số y = sin x xác định trên X = − π2 , π2 và có MGT [−1, 1] có hàm ngược
là y = arcsin x xác định trên [−1, 1] và có MGT là − π2 , π2 .
π π
y = arcsin x ⇔ sin y = x∀y ∈ − ,
2 2

2. Hàm số y = cos x xác định trên X = [0; π] và có MGT [−1, 1] có hàm ngược là
y = arccos x xác định trên [−1, 1] và có MGT là [0; π].
y = arccos x ⇔ cos y = x∀y ∈ [0; π]

3. Hàm số y = tan x xác định trên X = − π2 , π2 và có MGT R có hàm ngược là
y = arctan x xác định trên R và có MGT là − π2 , π2 .
π π
y = arctan x ⇔ tan y = x∀y ∈ − ,
2 2
7


4. Hàm số y = cot x xác định trên X = (0; π) và có MGT R có hàm ngược là y =
arccot x xác định trên R và có MGT là (0; π).
y = arccotx ⇔ cot y = x∀y ∈ (0; π)

5. Hàm số y = ax xác định trên R và có MGT (0; +∞) có hàm ngược là y = loga x
xác định trên (0; +∞) và có MGT là R.
y = loga x ⇔ x = ay ∀y ∈ R

F. Một số dáng điệu của hàm số
Hàm số đơn điệu
• Hàm số y = f (x) gọi là đơn điệu tăng (đồng biến) trên miền X nếu x1 < x2 thì
f (x1 ) < f (x2 ), ∀x1 , x2 ∈ X .
• Hàm số y = f (x) gọi là đơn điệu giảm (nghịch biến) trên miền X nếu x1 > x2
thì f (x1 ) < f (x2 ); ∀x1 , x2 ∈ X .

Ví dụ 1.1.5. :
• Hàm số y = x3 − 3x + 2 đồng biến trên (−∞; −1) và (1; +∞).
• Hàm số y = x3 − 3x + 2 nghịch biến trên (−1; 1) .

Hàm số bị chặn
• Hàm số f (x) xác định trong X được gọi là bị chặn trên trong X nếu ∃M sao
cho f (x) ≤ M, ∀x ∈ X .
• Hàm số f (x) xác định trong X được gọi là bị chặn dưới trong X nếu ∃m sao

cho f (x) ≥ m, ∀x ∈ X .
• Hàm số f (x) bị chặn trên và bị chặn dưới thì được gọi là bị chặn.
f (x) bị chặn trong X ⇔ ∃a : |f (x)| ≤ a, ∀x ∈ X

Ví dụ 1.1.6. :
• Hàm số y = sin x bị chặn trên R vì | sin x| ≤ 1∀x ∈ R.
• Hàm số y = arcsin x bị chặn trên [−1; 1] vì | arcsin x| ≤
8

π
∀x ∈ [−1; 1].
2


Hàm số chẵn, hàm số lẻ
• Hàm số f (x) xác định trên X được gọi là hàm số chẵn nếu ∀x ∈ X , ta có
−x ∈ X và f (−x) = f (x).
• Hàm số f (x) xác định trên X được gọi là hàm số lẻ nếu ∀x ∈ X , ta có −x ∈ X

và f (−x) = −f (x).
Ví dụ 1.1.7. :
• Hàm số y = 2x3 − x là hàm lẻ; y = 3x4 là hàm chẵn.
• Hàm số y = 2x3 − x2 không phải là hàm lẻ, cũng không là hàm chẵn.

Hàm số tuần hoàn
Hàm số f (x) xác định trên X được gọi là hàm tuần hoàn với chu kì T nếu ∀x ∈ X ,
ta có x + T ∈ X và f (x + T ) = f (x).
Khi nói chu kì của hàm tuần hoàn ta thường lấy chu kì dương nhỏ nhất.

Ví dụ 1.1.8. :
• Hàm số y = sin x là hàm tuần hoàn với chu kì T = 2π .
• Hàm số y = sin 3x là hàm tuần hoàn với chu kì T =

2π
.
3

G. Các hàm số sơ cấp cơ bản và các phép toán sơ cấp
Các hàm số sơ cấp cơ bản

1. f (x) = C, C là hằng số.
2. Hàm lũy thừa f (x) = xα , α là hằng số.
• α ∈ N thì hàm số có MXĐ: D = R, MGT: R.
• α là số nguyên âm thì hàm số có MXĐ D = R\{0}, MGT: R.
m
• α là số hữu tỉ, α =
thì hàm số có MXĐ: (0; +∞), MGT: (0; +∞).
n
• α là số vô tỷ thì hàm số có MXĐ D = (0; +∞) và MGT: (0; +∞) .
√
m
Chú ý: x n = n xm khi x > 0.

9


3. Hàm số mũ f (x) = ax (a > 0, a = 1).
MXĐ: D = R.; MGT: (0; +∞)
4. Hàm số logarit f (x) = loga x (a > 0, a = 1).
Khi a = 10, ta có hàm f (x) = lgx.
MXĐ: D = (0; +∞); MGT: R.
5. Các hàm lượng giác: y = sin x; y = cos x, y = tan x, y = cot x.
6. Các hàm lượng giác ngược: y = arcsin x; y = arccos x, y = arctan x, y = arccotx.
Các phép toán sơ cấp
1. Phép toán cộng, trừ, nhân, chia đối với các hàm số.
2. Phép hợp hàm
Giả sử cho các hàm số f : X → R, g : Y → R sao cho ∀x ∈ X, y = f (x) ∈ Y .
Hàm số h : X → R, x → h(x) = g[f (x)] gọi là hàm hợp của hai hàm f và g .
Ví dụ 1.1.9. Cho hàm số f (x) = 2x3 và g(x) = sin x. Tìm hàm g[f (x)] và f [g(x)].
Giải:

g[f (x)] = sin(2x3 )
f [g(x)] = 2(sin x)3

Các hàm số sơ cấp
Hàm số sơ cấp là hàm số được tạo thành từ các hàm sơ cấp cơ bản bởi các phép
toán số học và phép lấy hàm hợp.

3

−1
Ví dụ 1.1.10. Các hàm sơ cấp: lg(x2 + sin x), xx+1
, cos3 5x

Một số mô hình hàm số trong phân tích kinh tế
1. Hàm cung Qs = S(p)
2. Hàm cầu Qd = D(p)
Thị trường hàng hóa cân bằng khi và chỉ khi Qs = Qd .
3. Hàm dư cầu g(p) = D(p) − S(p);
Hàm dư cung f (p) = S(p) − D(p)
4. Hàm sản xuất ngắn hạn Q = f (L)
10


5. Hàm doanh thu T R = T R(Q)
• Doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo bán sản phẩm với giá thị trường p nên

có doanh thu là: T R = p.Q.
• Doanh nghiệp độc quyền bán sản phẩm với giá dựa vào cầu của thị trường.
a−Q
hay

Nếu cầu thị trường về hàng hóa A là Q = a − bp thì suy ra p =
b
ta có hàm cầu ngược p = D−1 (Q).

Do đó doanh thu của doanh nghiệp độc quyền là: T R = D−1 (Q).Q.
6. Hàm tổng chi phí T C = T C(Q) = V C(Q) + F C
F C = T C(0)

7. Hàm tổng chi phí bình quân AC =

T C(Q)
Q

8. Hàm chi phí biến đổi bình quân AV C =

V C(Q)
Q

9. Hàm lợi nhuận π = T R − T C
10. Hàm tiêu dùng C = C(Y )
11. Hàm tiết kiệm S = S(Y )
Ví dụ 1.1.11. Một doanh nghiệp độc quyền có đường cầu thị trường là Q = 300 − p
và có hàm tổng chi phí bình quân là AC = 2Q + 1 +

50
với p là giá sản phẩm, đơn vị
Q

USD và Q là lượng sản phẩm đơn vị tấn. Hãy lập hàm lợi nhuận của doanh nghiệp
trên.

11


1.1.2

DÃY SỐ

Định nghĩa 1.1.5. Hàm số
f : N∗ → R
n → f (n)

được gọi là một dãy số. Kí hiệu: (xn )
Các số thực x1 , x2 , ..., xn , ... gọi là các số hạng của dãy.
xn được gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát.

Ví dụ 1.1.12. :
• Dãy số {xn }, xn = 2n có các số hạng 2, 4, 6, 8, ...
−1 −1 −1
1
có các số hạng −1,
,
,
, ...
n
2 3 4
n
1 2 3
• Dãy số {xn }, xn =
có các số hạng , , , ...

n+1
2 3 4

• Dãy số {xn }, xn = −

• Dãy số {xn }, xn = 100(1 + 0.14)n có các số hạng 114; 129, 96; ...

Bài toán lãi đơn
Cho vay một khoản vốn v0 với lãi suất mỗi kì là r trong vòng n kì và cuối mỗi kì
đều lấy lãi chỉ để lại vốn. Sau n kì thì tổng giá trị lãi và vốn là bao nhiêu?
Cấp số cộng
vn = v0 (1 + nr)
vn là cấp số cộng với công sai d = v0 .r.

Bài toán lãi gộp (lãi kép)
Cho vay một khoản vốn v0 với lãi suất mỗi kì là r trong vòng n kì và cuối mỗi kì
lãi được nhập vào vốn để tính lãi cho kì sau.
Sau n kì thì tổng giá trị lãi và vốn là bao nhiêu?
Cấp số nhân
vn = v0 .(1 + r)n
vn là cấp số nhân với công bội q = 1 + r.

Tổng cấp số nhân:
Sn = v1 + .... + vn = v1
12

1 − qn
1−q

Tổng của cấp số nhân vô hạn giảm dần:
+∞

vn = v1 + .... + vn + ... =
n=1

v1
, (q < 1)
1−q

Cấp số nhân và ứng dụng trong phân tích tài chính
Giá trị hiện tại và giá trị tương lai của tiền tệ
Giả sử hiện tại bạn có số tiền A và sau 1 thời gian đầu tư bạn sẽ có số tiền B .
B = A + tiền lãi

Ta nói:
• B đồng là giá trị tương lai của A đồng ngày hôm nay.
• A đồng là giá trị hiện tại của B đồng mà bạn sẽ có trong tương lai.
• Với mức lãi gộp r , giá trị tương lai của A đồng hiện tại sau n kì là:
B = A(1 + r)n
• Với mức lãi gộp r , giá trị hiện tại của B đồng mà bạn sẽ nhận được sau n kì

là:
A = B(1 + r)−n
• Với mức lãi gộp r, biết A, B thì tính n dựa vào công thức
n=

ln B
A
ln(1 + r)

• Biết A, B và số kỳ gửi lãi gộp r, tính r dựa vào công thức
r=e

ln B
A
n

Công thức tính lãi suất theo thời gian
Nếu lãi suất là r % một năm thì
1. Lãi suất theo nửa năm là

r
2

r
4

%

3. Lãi suất theo tháng là

r
12

%

r
365

%

2. Lãi suất theo quý là

4. Lãi suất theo ngày là

%

13

−1


Ví dụ 1.1.13. Cho biết lãi gộp 0,9 % một tháng. Muốn nhận được 1,2 tỷ đồng sau
3 năm với kỳ tính theo tháng thì hiện tại phải gửi ngân hàng bao nhiêu tiền?
Giải:
n = 3.12 = 36

Số tiền bây giờ phải gửi là:
A = 1, 2.(1 + 0.009)−36 ≈ 0, 8692 tỷ đồng ≈ 869, 2 triệu đồng

Giá trị hiện tại ròng dự án (NPV) bằng hiệu giá trị hiện tại của khoản tiền
thu về trong tương lai và chi phí triển khai dự án.
Điều kiện để thực hiện dự án là: N P V > 0.
1. Loại 1: Lợi tức thu về 1 lần
N P V = B(1 + r)−n − Chi phí
B là khoản tiền thu về trong tương lai.

2. Loại 2: Lợi tức thu về hữu hạn lần
NP V =

B2
Bn
B1
+
+ ... +
− Chi phí
2
(1 + r) (1 + r)
(1 + r)n

Bi , (i = 1, 2, ..., n) là khoản tiền thu về sau các kì 1, 2, ..., n.

Ví dụ 1.1.14. Một dự án đầu tư đòi hỏi chi phí hiện tại 1 tỷ đồng và sẽ mang về
2 tỷ đồng trong 5 năm. Với lãi suất gửi ngân hàng là lãi gộp 10 % một năm. Ta có
nên thực hiện dự án hay không?
Trả lời:
N P V = 2.(1 + 0.1)−5 − 1 = 0.2418 > 0

Vậy ta nên thực hiện dự án.
Ví dụ 1.1.15. Cho lãi suất ngân hàng là 9 % một năm. Một công ty đề nghị bạn
góp vốn 600 triệu vào đầu năm và cam kết sẽ trả hàng năm (vào cuối các năm)
100 triệu liên tục trong 7 năm. Bạn có góp vốn không?
Trả lời:
NP V =

100
100
100
+

+ ... +
− 600
2
1 + 0.09 (1 + 0.09)
(1 + 0.09)7
14


Ta có dãy số

100
100
100
1+0.09 , (1+0.09)2 , .., (1+0.09)7

là cấp số nhân có v1 =

100
1+0.09 , q

=

1
1+0.09

nên

1
1 − qn
100 1 − 1.09

7
S7 = v1
= 503.295
=
1
1−q
1.09 1 − 1.09

N P V = 503.295 − 600 = −96, 705 < 0

Vậy không nên góp vốn.

1.2
1.2.1

GIỚI HẠN
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Định nghĩa giới hạn của dãy số
Định nghĩa 1.2.1. Ta nói dãy số xn có giới hạn là a (hay xn hội tụ đến a) nếu
∀ > 0, ∃n0 : ∀n > n0 , |xn − a| < .

(Nói cách khác: ta làm cho các số hạng của dãy gần a bao nhiêu cũng được bằng
cách chọn chỉ số n đủ lớn )
Kí hiệu:
lim xn = a

n→∞

Dãy số xn gọi là phân kì nếu không có giới hạn hữu hạn.

Giới hạn của dãy số đơn điệu
Định lí 1.2.1.

1. Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn.

2. Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn hữu hạn.
Ví dụ 1.2.1. Chứng minh dãy số sau có giới hạn hữu hạn

1
xn = 1 +
n

15

n


số e và logarit tự nhiên
e = lim

n→+∞

1+

1
n

n

Logarit cơ số e được gọi là logarit tự nhiên hay logarit Nêpe.
ln x = loge x

Ứng dụng kinh tế của số e
Lãi gộp liên tục là lãi có tính lý thuyết được sử dụng trong trường hợp các dòng
lợi tức là các dòng liên tục.
Xét tình huống: Cho lãi suất ngân hàng mỗi kì là r , tiền gốc là A. Giả sử 1 kì
được chia thành m kì nhỏ và lãi suất của từng kì nhỏ là mr .
Trong trường hợp lý tưởng số lần tính lãi m → +∞. Khi đó, lãi rời rạc trở thành
lãi liên tục và sau 1 chu kì số tiền được tính phải là:


m r
lim A 1 +

m→+∞

r
m

m

r
= A lim  1 +
m→+∞
m

r  = Aer

Với mức lãi gộp liên tục r , giá trị tương lai của A đồng hiện tại sau n kì là:

B = Aer.n

Với mức lãi gộp liên tục r , giá trị hiện tại của B đồng mà bạn sẽ nhận được sau
n kì là:
A = Be−r.n

Ví dụ 1.2.2. Cho biết lãi suất gộp liên tục r một năm là bao nhiêu thì tương đương
với lãi gộp 8 % một năm, tính lãi 1 năm 1 lần.
Trả lời:
Giả sử tiền gốc là A.
Sau 1 năm gửi với lãi gộp 8 % thì số tiền nhận được là: A.(1 + 0.08)
Sau 1 năm gửi với lãi gộp liên tục r thì số tiền nhận được là: A.er
Điều kiện tương đương của 2 loại lãi suất là:
A.(1 + 0.08) = A.er ⇔ r = ln(1.08) ≈ 0.077

Vậy lãi suất gộp liên tục xấp xỉ 7.7 % thì thỏa mãn đề bài.
16


1.2.2

GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

Khái niệm giới hạn của hàm số
Định nghĩa 1.2.2. Khi x tiến đến x0 , giới hạn của f (x) là L được kí hiệu là:
lim f (x) = L

x→x0

nếu tất cả các giá trị của f (x) gần tới L khi mọi giá trị của x đủ gần x0 nhưng

không bằng x0 .
Nhận xét:
1. Giới hạn L là một số thực duy nhất.
2. Hàm số f (x) có giới hạn là L khi x → x0 thì f (x) không cần thiết phải xác
định tại x0 .
Giới hạn một phía
Định nghĩa 1.2.3. :
1. Giới hạn bên trái của hàm số f (x) tại điểm x0 là giới hạn của f (x) khi x tiến
tới x0 về bên trái (x → x0 , và x < x0 ) , kí hiệu
lim f (x)

x→x−
0

2. Giới hạn bên phải của hàm số f (x) tại điểm x0 là giới hạn của f (x) khi x tiến
tới x0 về bên phải (x → x0 , và x > x0 ) , kí hiệu
lim f (x)

x→x+
0

Định lí 1.2.2. Hàm số f (x) có giới hạn là L khi x → x0
⇔ lim f (x) = lim f (x) = L
x→x−
0

x→x+
0

Giới hạn của các hàm sơ cấp cơ bản

17


1. Giới hạn của hàm sơ cấp cơ bản f (x) tại điểm a ∈ MXĐ là:
lim f (x) = f (a)

x→a

2. Giới hạn của hàm lượng giác ngược tại các điểm đầu mút
lim arctan x =

x→+∞

π
,
2

lim arctan x = −

x→−∞

lim arccotx = 0,

π
2

lim arccotx = π

x→+∞

x→−∞

3. Các hàm số sin x, cos x, tan x, cot x không có giới hạn khi x → ±∞
Các định lí cơ bản về giới hạn hàm số
Định lí 1.2.3. Nếu khi x → a, hàm số f (x), g(x) có giới hạn là các số thực b1 , b2
thì
1. lim [f (x) ± g(x)] = b1 ± b2
x→a

2. lim [kf (x)] = kb1
x→a

3. lim [f (x).g(x)] = b1 .b2
x→a

f (x)
b1
= ,
x→a g(x)
b2

4. lim

(b2 = 0)

5. lim [f (x)]g(x) = bb12 ,
x→a

(b1 > 0)

Định lí 1.2.4. (Định lí kẹp) Nếu f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) khi x gần a và
lim f (x) = lim h(x) = L

x→a

x→a

thì

lim g(x) = L

x→a

Ví dụ 1.2.3. Tính giới hạn sau
lim x2 sin

x→0

Lời giải:
Ta có:

1
x

1
≤1
x
1
⇔ −x2 ≤ x2 sin ≤ x2
x

−1 ≤ sin

18


Mà
lim (−x2 ) = lim x2 = 0

x→0

x→0

Do đó:
lim x2 sin

x→0

1
=0
x

Định lí 1.2.5. Nếu f (x) là hàm bị chặn và g(x) thỏa mãn limx→a g(x) = 0 thì
lim f (x).g(x) = 0

x→a

Ví dụ 1.2.4. Tính giới hạn sau
√
√
lim (sin x + 1 − sin x)

x→+∞

Giải:
√

lim (sin x + 1 − sin

x→+∞

√

√

√

x

√

sin
x) = lim 2 cos
x→+∞
√
√
1
x+1+ x
= lim 2 cos
sin √
√

x→+∞
2
2( x + 1 + x)

Ta có

√
cos

x+1+
2

lim sin

x→+∞

Vậy

x+1+
2

√

x

≤ 1∀x ∈ R

1
√
√ =0

2( x + 1 + x)

√
√
lim (sin x + 1 − sin x) = 0

x→+∞

Các công thức giới hạn quan trọng
sin x
=1
x→0 x

1. lim

1

2. lim (1 + x) x = e
x→0

1
lim (1 + )x = e
x→±∞
x
loga (1 + x)
3. lim
= loga e (0 < a = 1)
x→0
x
ln(1 + x)

lim
=1
x→0
x
19

x+1−
2

√
x


ax − 1
= ln a
x→0
x
ex − 1
=1
lim
x→0
x
(1 + x)α − 1
5. lim
=α
x→0
x
4. lim

(α ∈ R)

Mở rộng: Nếu ta có limx→a α(x) = 0 thì
sin α(x)
=1
x→a α(x)

1. lim

1

2. lim (1 + α(x)) α(x) = e
x→a

loga (1 + α(x))
= loga e
x→a
α(x)

3. lim

(0 < a = 1)

ln(1 + α(x))
=1
x→a
α(x)
lim

aα(x) − 1
= ln a

x→a
α(x)

4. lim

eα(x) − 1
=1
x→a
α(x)
lim

(1 + α(x))β − 1
=β
x→a
α(x)

5. lim

(β ∈ R)

Các dạng vô định của hàm số
Dạng 00 : Tính lim

f (x)

x→x0 g(x)

với f (x), g(x) → 0 khi x → x0

Phương pháp:

• Phân tích tử và mẫu của biểu thức cần tính giới hạn thành đa thức có chứa

nhân tử x − x0 (Nếu biểu thức có chứa căn bậc 2, căn bậc 3 thì có thể nhân
liên hợp). Sau đó rút gọn biểu thức và tính giới hạn của hàm sơ cấp cơ bản
tại điểm x0 ∈ MXĐ.
• Khi biểu thức cần tính giới hạn có chứa các hàm lượng giác, logarit, ln, hàm

mũ thì dùng các công thức giới hạn quan trọng để tính.
Ví dụ 1.2.5. Tính các giới hạn sau
(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x) − 1
x→0
x
√
x − 2x − 1
2. lim 2
x→1 x − 12x + 11

1. lim

20


sin mx
x→0 sin nx
log3 (2x + 1)
4. lim
x→0
x
3. lim

Dạng

∞
∞:

Tính lim

f (x)

x→x0 g(x)

với f (x), g(x) → ∞ khi x → x0

Phương pháp: Chia cả tử và mẫu của biểu thức cần tính giới hạn cho x với số mũ
lớn nhất.
Chú ý : Nếu biểu thức cần tính giới hạn khi x → ±∞ có chứa căn bậc 2 thì cần cẩn
thận dấu của x khi chia cả tử và mẫu của biểu thức cho x với số mũ lớn nhất mà
là số lẻ.
Ví dụ 1.2.6. Tính các giới hạn sau
√
1. lim

x→−∞

x6 − 3x
2x3 + 1

ln(x2 − x + 1)
x→+∞ ln(x10 + x5 + 1)

2. lim

Dạng 0.∞: Tính lim f (x).g(x) với f (x) → 0, g(x) → ∞ khi x → x0
x→x0

Phương pháp: Chuyển dạng vô định này về dạng

∞
∞

hoặc

0
0

Ví dụ 1.2.7. Tính các giới hạn sau
1
lim x2 (1 − cos )
x→±∞
x

Dạng ∞ − ∞: Tính lim [f (x) − g(x)] với f (x), g(x) → ∞ khi x → x0
x→x0

Phương pháp: Nếu biểu thức có chứa căn bậc 2 thì có thể nhân liên hợp. Sau đó
0
chuyển về dạng ∞
∞ hoặc .
0

Ví dụ 1.2.8. Tính các giới hạn sau
1. lim (
x→+∞

x2 − x − x)

2. limπ (2x tan x −
x→ 2

π
)
cos x

Dạng 1∞ : Tính lim [f (x)]g(x) với f (x) → 1, g(x) → ∞ khi x → x0
x→x0

Phương pháp:
21


Cách 1: Viết lại giới hạn để áp dụng công thức: khix → a mà α(x) → 0 thì
1

lim (1 + α(x)) α(x) = e

x→a

Cách 2: Tính giới hạn : lim [f (x) − 1].g(x) = K .
x→x0

lim [f (x)g(x) ] = eK

x→x0

Ví dụ 1.2.9. Tính giới hạn sau
lim (1 + sin πx)cot πx

x→1

Vô cùng bé, vô cùng lớn
Vô cùng bé:
Hàm số α(x) được gọi là một vô cùng bé (VCB) khi x → a nếu
lim α(x) = 0

x→a

Ví dụ 1.2.10. :
• sin x, sin 2x là VCB khi x → 0.
• x−3 là VCB khi x → +∞.
• x2 − 1 là VCB khi x → 1

So sánh hai vô cùng bé
Giả sử α(x), β(x) là hai VCB khi x → a.
1. Nếu lim α(x)
= 0 thì α(x) là VCB cấp cao hơn β(x).
β(x)
x→a

Kí hiệu là: α(x) = o(β(x)).
= L(L = 0) thì α(x) và β(x) là hai VCB cùng cấp .

2. Nếu lim α(x)
β(x)
x→a

3. Nếu L = 1 thì α(x) và β(x) là hai VCB tương đương .
Kí hiệu: α(x) ∼ β(x) khi x → a.
Quy tắc thay thế vô cùng bé
Giả sử khi x → a ta có hai cặp VCB tương đương α(x) ∼ α∗ (x) , β(x) ∼ β ∗ (x) và
tồn tại
α∗ (x)
x→a β ∗ (x)
lim

22


thì

α∗ (x)
α(x)
= lim ∗
x→a β (x)
x→a β(x)
lim

Ví dụ 1.2.11. Ứng dụng vô cùng bé để khử dạng vô định

ln(1 + tan 3x)
x→0 5x + sin3 x
ln(1 + x − 3x2 )

2. lim
x→1 ln(1 + 3x − 4x2 )
1. lim

Vô cùng lớn
Hàm số β(x) được gọi là một vô cùng lớn (VCL) khi x → a nếu
lim |β(x)| = +∞

x→a

Nhận xét:
Nếu β(x) là một vô cùng lớn thì

1.3
1.3.1

1
β(x)

là một VCB.

HÀM SỐ LIÊN TỤC
Định nghĩa hàm số liên tục

Định nghĩa 1.3.1. Cho hàm số f (x) xác định trong (a; b) và x0 ∈ (a; b). f (x) gọi
là liên tục tại x0 nếu
lim f (x) = f (x0 )

x→x0

Nếu f (x) không liên tục tại x0 thì nói f (x) gián đoạn tại x0 .
Tính liên tục một phía
1. f (x) gọi là liên tục trái tại x0 nếu
lim f (x) = f (x0 )

x→x−
0

2. f (x) gọi là liên tục phải tại x0 nếu
lim f (x) = f (x0 )

x→x+
0

23


Định lí 1.3.1. f (x) liên tục tại x0
⇔ lim f (x) = f (x0 )
x→x0

⇔ lim− f (x) = lim+ f (x) = f (x0 )
x→x0

x→x0

Ví dụ 1.3.1. Tìm a để hàm số sau liên tục tại x = 0.


 1 − cos x , x = 0

2
x

f (x) =


 a,
1.3.2

x=0

Hàm số liên tục trên một khoảng

Định nghĩa 1.3.2. :
• Hàm số f (x) liên tục trên (a; b) nếu f (x) liên tục tại mọi điểm thuộc (a; b).
• Hàm số f (x) liên tục trên [a; b] nếu f (x) liên tục tại mọi điểm thuộc (a; b), liên

tục phải tại a, liên tục trái tại b.
Các phép toán sơ cấp đối với các hàm liên tục
Định lí 1.3.2. Nếu hàm số f (x), g(x) liên tục tại x0 thì
• Các hàm f (x) + g(x), f (x).g(x), f (x) − g(x) liên tục tại x0 .
• Hàm số

f (x)
g(x)

liên tục tại x0 nếu g(x0 ) = 0.

Định lí 1.3.3. Nếu hàm số ϕ(x) liên tục tại x0 , f (u) liên tục tại u0 = ϕ(x0 ) thì
hàm hợp f [ϕ(x)] liên tục tại x0 .

Định lí 1.3.4. Mọi hàm sơ cấp liên tục trong miền xác định của nó.
Ví dụ 1.3.2. Tìm a để hàm số sau liên tục trên MXĐ.


 1 − cos x , x = 0
x2

f (x) =


 a,

x=0
24