Đề thi thử THPT quốc gia năm 2016 môn toán lần 1 THPT đội cấn

Trường THPT Đội Cấn

ĐỀ KTCL ÔN THI THPT QUỐC GIA LẦN 1

Năm học: 2015-2016

MÔN: TOÁN – LỚP 12
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số y   x3  3 x  2
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C ) tại điểm có hoành độ x0 thỏa mãn
phương trình y " x0   12 .



Câu 2. Giải phương trình lượng giác cos 2 x  cos  x 



 1
2

Câu 3. a. Giải phương trình 5.25x  26.5 x  5  0
b. Tính giới hạn L  lim
x 1

x  3x  2
x 1

Câu 4. Một trường có 55 đoàn viên học sinh tham dự đại hội Đoàn trường, trong đó
khối 12 có 18 em, khối 11 có 20 em và 17 em khối 10. Đoàn trường muốn chọn 5 em để

bầu vào ban chấp hành nhiệm kì mới. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho 5 em được
chọn có cả 3 khối, đồng thời có ít nhất 2 em học sinh khối 12.
Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA  a 3 và SA vuông góc
với mặt phẳng đáy. Biết tam giác SAB cân và góc giữa SD với mặt đáy bằng 300.
a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC.
Câu 6. Cho hình chữ nhật ABCD có A(1;5), AB  2 BC và điểm C thuộc đường thẳng

d : x  3 y  7  0 . Gọi M là điểm nằm trên tia đối của tia CB, N là hình chiếu vuông góc
5 1
2 2

của B trên MD. Tìm tọa độ các điểm B và C biết N ( ; ) và điểm B có tung độ nguyên.





7 x  1  1  y x  1  1
Câu 7. Giải hệ phương trình 
 x  1 y 2  y x  1  13x  12

Câu 8. Cho các số dương x, y , z thỏa mãn điều kiện xy  yz  zx  xyz . Chứng minh
rằng
x  yz  y  xz  z  xy  xyz  x  y  z
---------------------Hết---------------------


KỲ KTCL ÔN THI THPT QUỐC GIA LẦN I - NĂM HỌC 2015-2016
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN

Đáp án gồm: 04 trang.
———————
I. Hướng dẫn chung
Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng phần
như hướng dẫn quy định.
II. Đáp án – thang điểm

Câu
Câu 1

Thang
điểm

Nội dung trình bày
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
 Tập xác định: D  
 Sự biến thiên:

0,25
 x  1
x 1

+ Chiều biến thiên: y '  3 x 2  3 , y '  0  

Hàm số đồng biến trên khoảng  1;1 , nghịch biến trên mỗi khoảng

 ; 1 và 1;  
0,25

+ Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x  1, y  4

Hàm số đạt cực tiểu tại x  1, yCT  0
+ Giới hạn: lim y  , lim y  
CĐ

x 

x 

+Bảng biến thiên:
x 
y’
+

1



1

0





0
4

+

0,25

y
0



0,25

 Đồ thị:
y
4

2
1
-2

-1

0

1

2

x

-1

b. Có y '  3 x 2  3  y ''  6 x

0,25


Theo giả thiết y "  x0   12  6 x0  12  x0  2

0,25

Có y  2   4, y '  2   9
Vậy phương trình tiếp tuyến là: y  9 x  14

0,25
0,25
0,25

Phương trình  1  2sin 2 x  sin x  1
Câu 2
sin x  0

1
sin x  

2
 sin x  0  x  k


Câu 3

k 

0,25



x    k 2

1
6
sin x    
2
 x  7  k 2

6

0,25





k 



x
x
a. Phương trình  5  5 5.5  1  0

0,25

5 x  5
  x 1  x  1
5 

5
Phương trình có nghiệm x  1.

0,25

b. Có L  lim
x 1

=  lim
x 1

Câu 4

0,25

x  3x  2
 x  1 x  2 
 lim
x 1
x 1
 x  1 x  3 x  2





x2
1

2
3x  2  x

Chọn 5 em học sinh thỏa mãn yêu cầu bài toán xảy ra 3 trường hợp:
+ Trường hợp 1: Khối 12 có 2 em, khối 11 có 2 em, khối 10 có 1 em:
2
2
1
Có C18 .C20 .C17  494190 cách chọn
+ Trường hợp 2: Khối 12 có 2 em, khối 11 có 1 em, khối 10 có 2 em
2
1
2
Có C18 .C20 .C17  416160 cách chọn
+Trường hợp 3: Khối 12 có 3 em, khối 11 có 1 em, khối 10 có 1 em
3
1
1
Có C18 .C20 .C17  277440 cách chọn
Vậy có 494190 + 416160 + 277440 = 1187790 cách chọn.

0,25
0,25

0,25
0,25
0,25

0,25


Câu 5
S

a. Do SA   ABCD  và
SAB cân nên
H

AB  SA  a 3

E

D

A

0,25

O

B

C
F

  300
Góc giữa SD với mặt đáy là góc SDA

Trong tam giác SAD có tan 300 

0,25

SA
SA
 AD 
 3a
AD
tan 300

 S ABCD  AB. AD  3a.a 3  3 3a 2

0,25

1
1
 VS . ABCD  .SA.S ABCD  .a 3.3 3a 2  3a3
3
3

0,25

b. Qua C kẻ đường thẳng song song với BD, cắt AD tại E.
Do BD//CE  BD//(SCE)
1
 d  BD , SC   d  BD,  SCE    d  O ,  SCE    d  A,  SCE  
2

0,25

Kẻ AF  CE , F  CE  CE   SAF 
Kẻ AH  SF , H  SF  AH  CE  AH   SCE 

0,25

 d  A,  SCE    AH
Có AE  2 AD  6a, CE  BD  2 3a
1
1
AE.CD 6a.a 3
AE.CD  AF.CE  AF=

 3a
2
2
CE
2a 3
1
1
1
3a

 2  AH 
Trong tam giác SAF có:
2
2
AH
AF
SA

2

0,25

S ACE 

Vậy d  BD , SC  

Gọi I  AC  BD
Do BN  DM  IN  IB  ID
Câu 6

0,25

1
1
3a
d  A,  SCE    AH 
2
2
4

 IN  IA  IC
 ANC vuông tại N

A

B
I

D

C

0,25
N

M

 5 1



7 9

Đường thẳng CN qua N   ;  và nhận NA   ;  là pháp tuyến nên có
 2 2
2 2

0,25


phương trình: 7 x  9 y  13  0 . Do C  CN  d  C  2; 3
Gọi B  a; b  . Do AB  2 BC và AB  BC nên ta có hệ phương trình:
 a  1 a  2    b  5 b  3  0


 a  12   b  5 2  4  a  2 2   b  32 

 a  5, b  1

Giải hệ trên suy ra 
 a   7 , b   9 (ktm)
5
5

Vậy B  5; 1 , C  2; 3.
7 x  1  1  y


Giải hệ: 
Câu 7





 2

PT 1   7  y  x  1  y  1  x  1 

y 1
(Do y  7 không là nghiệm
7 y

của phương trình)
x 1 

0,25

1

x 1 1

 x  1 y 2  y x  1  13x  12
Điều kiện: x  1, x, y  

Thay

0,25

0,25

y 1
vào (2) ta được phương trình:
7 y

2

2

 y 1 
 y 1 
y 1
y .
 13. 
  y.
 1
7 y
7 y
7 y

2
2
2
 y 2  y  1  y  y  1 7  y   13  y  1   7  y 
2

0,25

 y 4  y 3  5 y 2  33 y  36  0
y 1
  y  1 y  3  y 2  5 y  12   0  
y  3
8
Với y  1  x  
9
Với y  3  x  0

 8 

Hệ phương trình có 2 nghiệm  x; y  là   ;1 ,  0;3 .
 9 
Câu 8

1
x

1
y

Đặt a  , b  , c 

0,25

0,25

1
 a, b, c  0 và a  b  c  1
z

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

0,25

a  bc  b  ac  c  ab  ab  bc  ac  1
Thật vậy,

a  bc  a  a  b  c   bc  a 2  a  b  c   bc  a 2  2 a bc  bc
 a  bc 

Tương tự,

a 

bc



0,25

2

 a  bc

b  ac  b  ac ,
c  ab  c  ab

0,25


Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
a  bc  b  ac  c  ab  ab  bc  ac  a  b  c
 a  bc  b  ac  c  ab  ab  bc  ac  1  đpcm
1
Dấu đẳng thức xảy ra  a  b  c   x  y  z  3
3
------------------Hết--------------------

0,25