So sánh độ rộng vạch phổ của mộ số laser có cấu trúc buồng cộng hưởng khác nhau

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
-----------

ĐẶNG HỮU DANH

SO SÁNH ĐỘ RỘNG VẠCH PHỔ CỦA MỘT SỐ LASER
CÓ CẤU TRÚC BUỒNG CỘNG HƯỞNG KHÁC NHAU

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

Vinh, 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
------------

ĐẶNG HỮU DANH

SO SÁNH ĐỘ RỘNG VẠCH PHỔ CỦA MỘT SỐ LASER
CÓ CẤU TRÚC BUỒNG CỘNG HƯỞNG KHÁC NHAU
CHUYÊN NGÀNH: QUANG HỌC
MÃ SỐ: 60.44.01.09

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

Người hướng dẫn khoa học:

PGS. TS. NGUYỄN VĂN PHÚ

Vinh, 2015


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến
PGS.TS. Nguyễn Văn Phú - thầy giáo hướng dẫn, thầy đã tận tình hướng dẫn,
giúp đỡ và luôn động viên tác giả trong suốt quá trình hoàn thành luận văn.
Được học tập và nghiên cứu dưới sự hướng dẫn của thầy là niềm vinh dự và
may mắn lớn lao đối với tác giả.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy giáo, cô giáo đã giảng
dạy cho tác giả trong thời gian vừa qua. Đặc biệt tác giả xin cảm ơn Phòng
đào tạo Sau đại học, khoa Vật lí và Công nghệ, trường Đại học Vinh đã tạo
điều kiện cho tác giả được học tập và nghiên cứu.
Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn gia đình, bạn bè đồng
nghiệp, Ban giám hiệu trường THPT Vũ Quang đã tạo điều kiện, giúp đỡ,
động viên tác giả trong suốt thời gian vừa qua.

Vinh, tháng 5 năm 2015
Tác giả


MỤC LỤC
Trang
LỜI CẢM ƠN...................................................................................................6
MỞ ĐẦU...........................................................................................................1
CHƯƠNG I. TỔNG QUAN VỀ LASER VÀ BUỒNG CỘNG HƯỞNG
QUANG HỌC...................................................................................................2
1.1. Cấu tạo chung của máy phát laser..............................................................2
1.1.1. Hoạt chất..................................................................................................2
1.1.2. Buồng cộng hưởng.................................................................................3

1.1.3. Bộ phận kích thích (bơm).......................................................................3
1.2. Buồng cộng hưởng quang học....................................................................4
1.2.1. Chức năng của buồng cộng hưởng.........................................................4
1.2.2. Hệ số phẩm chất của buồng cộng hưởng................................................6
1.2.3. Các mode trong buồng cộng hưởng.....................................................10
1.3. Một số loại buồng cộng hưởng.................................................................16
1.3.1. Buồng cộng hưởng mở.........................................................................16
1.3.2. Buồng cộng hưởng sử dụng lăng kính..................................................21
1.3.3. Buồng cộng hưởng kép.........................................................................21
1.4. Các tính chất của chùm tia laser...............................................................23
1.4.1. Cường độ tia laser lớn gấp bội lần cường độ tia sáng nhiệt.................23
1.4.2. Độ định hướng của Laser cao...............................................................23
1.4.3. Độ đơn sắc cao.....................................................................................24
1.4.4. Tính chất không gian của tia laser........................................................25
1.4.5. Tính chất thời gian của tia Laser..........................................................26
Kết luận chương 1...........................................................................................27
CHƯƠNG II. TÍNH TOÁN, SO SÁNH ĐỘ RỘNG VẠCH PHỔ CỦA MỘT
SỐ LASER......................................................................................................28
2.1. Độ rộng vạch phổ.....................................................................................28
2.2. Công thức tính độ rộng vạch phổ.............................................................30
2.3. Tính toán, so sánh độ rộng vạch phổ của một số loại laser......................31
2.3.1. Độ rộng vạch phổ của laser khí............................................................31
2.3.2. Độ rộng vạch phổ của laser rắn.............................................................34
2.3.3. Độ rộng vạch phổ của laser bán dẫn......................................................36
2.3.4. Độ rộng vạch phổ của laser màu..........................................................37
Kết luận chung.................................................................................................39
TÀI LIỆU THAM KHẢO...............................................................................40

1

MỞ ĐẦU
Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu và ứng dụng laser đã có
những bước phát triển hết sức to lớn. Laser không những được áp dụng trong
nhiều ngành khoa học và công nghệ, mà còn được sử dụng cả trong những
nghiên cứu thuộc nhiều lĩnh vực của cuộc sống, trực tiếp mang lại hạnh phúc
cho cộng đồng nhờ các tính chất ưu việt của mình.
Trong các tính chất của chùm laser, độ đơn sắc cao là một trong những
tính chất quan trọng nhất, nó được định nghĩa qua độ rộng vạch phổ của chùm
tia laser. Việc tính toán, so sánh độ rộng vạch phổ của laser đóng vai trò quan
trọng trong nghiên cứu, giúp cho thực nghiệm định hướng ứng dụng cho từng
lĩnh vực cụ thể. Vì vậy để góp phần tìm hiểu về mặt vật lý và ứng dụng của
quá trình này, chúng tôi đã chọn đề tài “So sánh độ rộng vạch phổ của một
số laser có cấu trúc buồng cộng hưởng khác nhau” để nghiên cứu.
Bố cục của luận văn ngoài các phần mở đầu, kết luận chung và tài liệu
tham khảo, luận văn gồm hai chương chính có nội dung như sau:
Chương 1. Tổng quan về laser và buồng cộng hưởng quang học
Trong chương này chúng tôi trình bày về lịch sử hình thành và phát triển
của laser, cấu tạo và nguyên tắc hoạt động của máy phát laser, giới thiệu một
số loại buồng cộng hưởng, các tính chất của chùm tia laser, khái niệm độ rộng
vạch phổ.
Chương 2. So sánh độ rộng vạch phổ của một số laser
Trong chương này chúng tôi dẫn ra công thức tính độ rộng vạch phổ,
tìm sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ vào cấu trúc của buồng cộng hưởng,
từ đó so sánh độ rộng vạch phổ của một số laser khác nhau.
Phần kết luận chung nêu một số kết quả chính mà luận văn đã đạt được.


2

CHƯƠNG I. TỔNG QUAN VỀ LASER VÀ BUỒNG CỘNG HƯỞNG
QUANG HỌC
1.1. Cấu tạo chung của máy phát laser
Laser hay còn gọi là máy phát lượng tử vùng quang học, là chữ viết tắt
của cụm từ tiếng Anh Light Amplification by Stimulated Emission of
Radiation. Về mặt cấu tạo Laser gồm ba bộ phận chính là hoạt chất, buồng
cộng hưởng và bộ phận kích thích (hay còn gọi là nguồn bơm).
1.1.1. Hoạt chất
Đây là các môi trường vật chất có khả năng khuếch đại ánh sáng đi qua
nó. Cho đến nay nhiều chất khí, rắn, lỏng, bán dẫn,...đã được dùng làm hoạt
chất. Chúng ta có thể phân loại như sau:
- Hoạt chất là chất rắn bao gồm dạng tinh thể hay thủy tinh được pha
trộn thêm các ion nguyên tố hiếm như : Sm +3 , Eu+3 , Nd+3 , Cr+3 , … Laser rắn
điển hình là laser Rubi có hoạt chất là tinh thể Al 2O3 trộn thêm ion Cr+3 hay
laser YAG có hoạt chất là Y3Al5O12 trộn thêm ion Nd+3.
- Hoạt chất là chất lỏng bao gồm các chất Chelaste như peperidin
Eu(BA)4 hòa tan trong dung môi rượu ethol, methol và có thêm ít nguyên tố
hiếm như Eu+3, Nd+3, …
- Hoạt chất là chất khí bao gồm:
+ Các khí đơn nguyên tử, như: ArI, XeI, NeI,…
+ Các ion khí đơn nguyên tử, như: ArII, KrII,…
+ Các khí phân tử, như: CO2 , CO , N2 , H2O , …
+ Các hỗn hợp khí đơn nguyên tử, như He - Ne, hay hỗn hợp khí phân tử
như là CO2 – N2 – He , CO – N2 – H2O , …
- Hoạt chất là chất bán dẫn như: GaAs, PbS, PbTe, InGaAs, InGaAsP,…
Hoạt chất loại này phải là những chất phát quang [2].


3

1.1.2. Buồng cộng hưởng
Buồng cộng hưởng là một trong những bộ phận quan trọng nhất của bất
kỳ máy phát laser nào.
Thành phần chủ yếu của buồng cộng hưởng là 2 gương. Một gương có
hệ số phản xạ rất cao (cỡ 99,999%), còn một gương có hệ số phản xạ thấp hơn
để tia laser thoát ra ngoài. Một trong các gương có thể thay bằng lăng kính
hay cách tử (tùy theo yêu cầu). Hai gương phản xạ có thể để xa hoạt chất hay
gắn chặt với nó [2].
Vai trò chính của buồng cộng hưởng là làm cho bức xạ (do hoạt chất
phát ra) có thể đi lại nhiều lần qua hoạt chất để được khuếch đại lên, hay nói
cách khác là tạo ra sự phản hồi ngược dương cho môi trường khuếch đại là
hoạt chất [5]. Ngoài ra, buồng cộng hưởng còn có tác dụng tạo dao động riêng
(Mode) của trường quang học, đồng thời định hướng cho chùm tia laser phát
ra ngoài. Trong mục 1.2 tiếp theo chúng tôi sẽ trình bày kỹ hơn về buồng
cộng hưởng.
1.1.3. Bộ phận kích thích (bơm)
Đây là bộ phận cung cấp năng lượng để tạo được sự nghịch đảo độ tích
lũy trong hai mức năng lượng nào đó của hoạt chất và duy trì sự hoạt động
của laser. Tùy theo các laser khác nhau mà có nhiều phương pháp kích thích
khác nhau, để tạo ra môi trường khuếch đại cho laser. Có thể phân loại:
- Kích thích bằng ánh sáng hay gọi là bơm quang học, đây là loại kích
thích phổ biến. Hoạt chất thu năng lượng bơm qua quá trình hấp thụ.
- Kích thích bằng va chạm điện tử: năng lượng điện tử được gia tốc
trong điện trường được truyền cho các hệ nguyên tử hoạt chất nhờ quá trình
va chạm.
- Kích thích bằng dòng điện (chủ yếu cho laser khí, laser bán dẫn),
kích thích bằng phản ứng hóa học, kích thích bằng khí động học, ... Tuy

4

nhiên, mỗi một loại laser chỉ có thể áp dụng một phương pháp kích thích, phụ
thuộc vào bản chất của hoạt chất [2].
Cả ba bộ phận trên không thể tách rời và là cơ cấu chính của một máy
phát laser. Hình 1.1. mô tả cấu trúc tổng quát của một máy phát laser.
3
2
1

1

Hình 1.1. Cấu trúc tổng quát của một máy phát laser.
1. Các gương phản xạ, 2. Hoạt chất, 3. Nguồn bơm.
Ngoài ba bộ phận chính vừa nêu ở trên thì trong cấu tạo của laser còn
có thêm một số chi tiết khác nhằm nâng cao tính chất ưu việt của chùm tia
laser, như: hộp phản xạ – tập trung năng lượng bơm vào hoạt chất (dùng
trong trường hợp bơm quang học) ; diaphragma – bộ lọc các mode ngang
dùng để tập trung năng lượng trong buồng cộng hưởng cho một mode cơ bản;
môi chất làm lạnh có tác dụng làm giảm nhiệt độ của hoạt chất nhằm mục
đích nâng cao độ ổn định và công suất phát của laser.
1.2. Buồng cộng hưởng quang học
1.2.1. Chức năng của buồng cộng hưởng
Buồng cộng hưởng quang học có hai chức năng quan trọng là thực hiện
quá trình hồi tiếp dương góp phần tạo bức xạ định hướng, đơn sắc, kết hợp.
Như chúng ta đã biết, môi trường hoạt tính đặt trong buồng cộng
hưởng, tuy có khả năng khuếch đại tín hiệu đi qua nó theo luật hàm mũ
Buerger, nhưng độ khuếch đại này không lớn vì chiều dài của hoạt chất có
hạn. Để có được khuếch đại lớn phải tăng kích thước của hoạt chất lên rất

5

nhiều lần. Chẳng hạn, nếu dùng hoạt chất là khí CO 2 có hệ số khuếch đại
tương đối lớn trong số các loại hoạt chất thông dụng, thì để có được công suất
ra 1W, cần phải sử dụng một ống chứa khí dài 10 4 m, điều này không thể thực
hiện được. Vì vậy, vấn đề tăng chiều dài của hoạt chất được giải quyết một
cách đơn giản. Trong buồng cộng hưởng, tia sáng được phản xạ rất nhiều lần
và đây chính là biện pháp làm tăng quãng đường đi của tia. Cụ thể quá trình
này xảy ra như sau:
Giả sử, dịch chuyển tự phát của nguyên tử nào đó trong buồng cộng
hưởng xuất hiện một sóng ánh sáng. Sóng sẽ được khuếch đại lên do các dịch
chuyển cưỡng bức khi nó đi qua lớp hoạt chất. Khi tới mặt phản xạ, một phần
sóng ánh sáng có thể bị mất do hiện tượng hấp thụ hoặc truyền qua, nhưng
phần chủ yếu được phản xạ trở lại và tiếp tục khuếch đại lên trên đường đi tới
mặt phản xạ kia. Tại đây cũng sẽ xảy ra quá trình tương tự và cứ như vậy, sau
rất nhiều lần phản xạ ta sẽ thu được dòng bức xạ có cường độ lớn.
Khuếch đại ở đây không thể nào lớn vô cùng được. Nó bị giới hạn bởi
công suất của nguồn bơm. [3]
2

1

1

Hình 1.2. Sự hình thành hồi tiếp dương trong buồng cộng hưởng.
1. Các gương phản xạ, 2. Đường truyền tia sáng.
Do buồng cộng hưởng là hở nên những sóng truyền dọc theo trục của
buồng cộng hưởng sẽ đi qua hoạt chất nhiều lần và được khuếch đại lên.
Những sóng ánh sáng này xác định công suất ra của Laser. Còn những sóng

6

ánh sáng nào lan truyền dưới những góc lệch tương đối lớn so với trục của
buồng cộng hưởng thì sau một vài lần phản xạ sẽ thoát ra ngoài. Vì vậy, bức
xạ hình thành ở cửa ra của buồng cộng hưởng sẽ có tính định hướng rất cao.
Trong quá trình phản xạ nhiều lần giữa hai gương, pha của sóng ánh sáng
luôn bảo toàn và quan hệ pha giữa các sóng đó cũng không đổi, do đó bức xạ
ra là bức xạ kết hợp. Cuối cùng, nhờ có buồng cộng hưởng, có thể thực hiện
được các phương pháp chọn lọc dao động khác nhau để thu được bức xạ trong
một dải phổ rất hẹp, gần như đơn sắc.Như vậy có thể nói rằng, buồng cộng
hưởng quang học đóng vai trò quyết định trong việc hình thành các tính chất
cơ bản của bức xạ Laser [3].
1.2.2. Hệ số phẩm chất của buồng cộng hưởng
Để đánh giá chất lượng của buồng cộng hưởng quang học theo quan
điểm năng lượng, người ta sử dụng khái niệm hệ số phẩm chất. Tương tự như
đối với các buồng cộng hưởng dùng trong kỹ thuật siêu cao tần, hệ số phẩm
chất của buồng cộng hưởng quang học được xác định bằng công thức:
Q = 2πν

Ed
P0

(1.1)

Với Ed là năng lượng dự trữ trong buồng cộng hưởng.
P0 năng lượng trung bình tiêu hao trong một giây, hay còn gọi là
công suất trung bình của các tổn hao đối với một dạng dao động cho trước.
Theo công thức (1.1), hệ số phẩm chất của buồng cộng hưởng càng cao

khi độ tổn hao trong buồng cộng hưởng càng nhỏ và ngược lại. Các tổn hao
trong buồng cộng hưởng được xác định trước hết bởi chất lượng phản xạ của
các gương. Nếu coi các gương là hoàn toàn giống nhau và có cùng hệ số phản
xạ r thì phần năng lượng của buồng cộng hưởng bị giảm đi trong khoảng thời
gian dt do hiện tượng truyền qua và hấp thụ có thể được xác định như sau:


7

Giả sử sóng phẳng mang năng lượng

E
đi từ gương G1 đến gương G2. Tại
2

gương G2 sóng này được phản xạ trở lại một phần, còn phần tổn hao bằng
−

E
(1 − r) . Khoảng thời gian cần thiết để sóng đi hết quãng đường từ gương nọ
2

đến gương kia bằng:
∆t =

L L.n
=
v
c

Như vậy cứ sau mỗi khoảng thời gian ∆t thì sóng đi được một lần từ
E
2

gương nọ đến gương kia và tiêu hao phần năng lượng bằng − (1 − R) . Vì vậy
tính trung bình trong một đơn vị thời gian sóng bị mất một phần năng lượng
là:
−

E(1 − R)
E(1 − R).c
=−
2.∆t
2.L.n

Vì mỗi một dao động trong buồng cộng hưởng được tạo bởi hai sóng
phẳng lan truyền theo các hướng ngược chiều nhau, nên phần năng lượng mà
một mode mất đi trong một đơn vị thời gian bằng: −

E(1 − R).c
L.n

Để tính cho cả khoảng thời gian ∆t thì ta có phương trình xác định tổn
hao:
dE = −E(1 − R)

c
dt
L.n

(1.2)

Mặt khác, nếu coi các mode của buồng cộng hưởng như các dao động
điện từ độc lập thì mỗi một dao động điện từ này được đặc trưng bằng một
tần số cộng hưởng và tốc độ tán xạ năng lượng (tốc độ tắt dần dao động) có
thể biểư diễn qua hệ số phẩm chất Q như sau :

E = E 0e

−

ωt
Q

(1.3)


8

E0 là năng lượng dự trữ ở thời điểm ban đầu.
Lấy vi phân biểu thức này ta được:
dE = − E

ω
dt
Q

(1.4)

So sánh (1.3) và (1.4), ta có:

Q=

L.ω.n
2πLn
=
c(1 − R) λ(1 − R)

(1.5)

Ví dụ: Với L = 10cm, λ = 0, 6µm , R ≈ 0,9 và n = 1 ta có Q = 1,2.10 7,
tức là hệ số phẩm chất của buồng cộng hưởng đạt được giá trị rất cao, lớn
hơn rất nhiều lần so với hệ số phẩm chất của buồng cộng hưởng vùng siêu
cao tần.
Tuy nhiên, trên thực tế thì ngoài các tổn hao khi phản xạ ra, còn có rất
nhiều nguyên nhân khác làm giảm hệ số phẩm chất của buồng cộng hưởng
quang học. Có thể kể ra một số nguyên nhân chính như hiện tượng nhiễu xạ
gây bởi kích thước hữu hạn của các gương, sự không song song của các
gương, độ nhám của mặt gương ...v.v.
Khi tính tới ảnh hưởng của nhiễu xạ, hệ số phẩm chất của buồng cộng
hưởng sẽ được xác định bằng biểu thức:
Q=

2πLn
λL 

λ 1 − R +
÷
2D 2 


(1.6)

Trong đó: D là kích thước của gương
Ví dụ với λ = 1µm , D = 1cm, L = 10cm thì

λ L 1 −3
= .10 , tức là các tổn
2D 2 2

hao do nhiễu xạ làm giảm hệ số phẩm chất của buồng cộng hưởng không
đáng kể.
Sự không song song của các gương trong buồng cộng hưởng làm giảm
đi rất nhanh hệ số phẩm chất Q. Giả sử một gương đặt lệch đi một góc β nào


9

đó thì khi đó hệ số phẩm chất của buồng cộng hưởng bằng:
Q=

ω.n
c

2LD
β

(1.7)

Theo công thức này nếu L = 10cm, D = 1cm, λ = 1µm, n = 1, giá trị
Q ≈ 107 chỉ có thể đạt được khi β = 10−3 , tức là β ≈ 3" .

Cuối cùng, chúng ta đưa thêm một số biểu thức xác định hệ số phẩm
chất của buồng cộng hưởng đối với một vài dạng tổn hao khác.
Trường hợp hai gương song song nhau, nhưng các phôton chuyển
động lệch với trục của buồng cộng hưởng một góc θ rất nhỏ thì hệ số phẩm
chất của buồng cộng hưởng sẽ được xác định bởi:
Q=

nLω
L

c 1 − R + θ ÷
D


(1.8)

Khi θ rất nhỏ thì Q sẽ giảm không đáng kể.
Đối với trường hợp tổn hao qua các bề mặt bên của buồng cộng hưởng:
n 2 ω2 D 2 4π.D 2
Q=
=
π.c 2
λ2

(1.9)

Trong các laser bán dẫn, nếu tính tới các tổn hao do hấp thụ ánh sáng
bởi các hạt tải tự do thì:
Q=

Trong đó:

ε.ω2 .τ2 n 2 ω2 τ2 n 2 πc 2 τ2
=
=
4π.σ
4π.σ
λ 2σ

(1.10)

σ là độ dẫn,
τ là thời gian tích thoát của các phần tử tải.

Để tính được hệ sổ phẩm chất chung của buồng cộng hưởng quang học
bất kỳ có thể áp dụng công thức tổng quát sau đây:
1
1
=∑
Q
i Qi

(1.11)

Tức là nghịch đảo hệ số phẩm chất toàn phần của buồng cộng hưởng


10

bằng tổng nghịch đảo của các hệ số phẩm chất thành phần.
1.2.3. Các mode trong buồng cộng hưởng
Mặc dù cấu tạo của buồng cộng hưởng quang học tương đối đơn giản,
nhưng các quá trình xảy ra trong đó lại rất phức tạp. Trước hết, ta hãy xét việc
hình thành các dao động riêng của buồng cộng hưởng mà trong kỹ thuật Laser
chúng thường được gọi là các mode. Trong gần đúng bậc nhất các mode có
thể coi như kết quả giao thoa của các sóng phẳng lan truyền theo các hướng
ngược chiều nhau giữa hai gương phản xạ. Mỗi một mode được đặc trưng
bằng cấu hình tương ứng của trường trên bề mặt các gương và số nửa bước
sóng được sắp xếp giữa hai gương, tức là trên trục của buồng cộng hưởng.
Người ta ký hiệu các mode bằng TEM nmq, trong đó TEM (Transversal
Eletromagnetic) dùng để chỉ sóng điện từ ngang, tức là sóng điện từ mà thành
phần véc tơ cường độ điện trường E và thành phần véc tơ cường độ từ trường
H chỉ nằm trong mặt phẳng vuông góc với phương truyền sóng, còn m, n và q
là những số nguyên dương mà ý nghĩa vật lý của chúng sẽ được trình bày sau.
Các mode dọc được hình thành bởi các sóng phẳng lan truyền ngược chiều
nhau. Như vậy, mỗi mode là một sóng đứng. Trong trường hợp buồng cộng
hưởng được tạo bởi hai gương phẳng có kích thước lớn và rỗng tức không
chứa hoạt chất điều kiện tạo thành các mode dọc được viết như sau :
L=

λ
.q
2

với

q = 0,1,2...

Từ đây ta có tần số riêng của các mode dọc:

fq =

c c.q
=
λ 2L

(1.12)

Công thức (1.12) chỉ đúng cho trường hợp buồng cộng hưởng rỗng.
Nếu buồng cộng hưởng chứa đầy chất hoạt tính với chiết suất n thì giá trị tần
số fq bằng:


11

fq =

c c.q
=
λ 2Ln

Khoảng cách về tần số giữa hai mode dọc liền nhau bằng :
∆f q = f q − f q −1 =

c
2.L.n

(1.13)

Xét một cấu trúc laser đơn giản có chiều dài của buồng cộng hưởng L =

10cm, bước sóng bức xạ λ = 0,6µm , khi đó theo công thức (1.12) ta có:
q = 2L/ λ =3.105
Điều này có nghĩa là số nửa bước sóng được xếp trên trục của buồng
cộng hưởng là rất lớn. Trong khi đó, đối với buồng cộng hưởng kín dùng
trong kỹ thuật siêu cao tần thì q chỉ nhận các giá trị hàng đơn vị. Nếu L=10
cm thì hiệu tần số giữa hai mode dọc liền nhau bằng ∆ f = 1,5.109 Hz. Tuy
nhiên, do khoảng cách L đối với các loại laser rất khác nhau. Ví dụ, đối với
laser khí L ≈ lm, còn đối vói Laser bán dẫn L ≈ 0,lcm, vì vậy các giá trị q và ∆
fq có thể biến thiên trong những phạm vi tương đối rộng.
Nếu các sóng phẳng lan truyền từ gương nọ đến gương kia dưới một
góc θ khá nhỏ so với trục của buồng cộng hưởng thì điều kiện tạo thành các
mode xiên là:

L.cos θ = q.

λ
2

Từ đây ta có biểu thức xác định tần số riêng của mode xiên là:

fq =

c.q
2.L.cos θ

(1.14)

Vì θ có thể nhận các giá trị không liên tục bất kỳ, nên khi khoảng cách
L không đổi, một tần số ν q có thể ứng với vô số các dao động mà chỉ khác
nhau bởi góc θ , tức là chỉ khác nhau bởi hướng của véctơ sóng của các sóng

phẳng tạo nên mode. Nói cách khác, ở đây có sự suy biến của mode xiên theo


12

hướng của véc tơ sóng. Ta hãy tính các giá trị của góc θ tương ứng với các
mode suy biến này. Giả sử, các sóng phẳng được lan truyền dưới một góc θ
trong mặt phẳng XZ (bài toán 2 chiều). Nếu đặt cố định tần số của mode dọc

ν q (tần số này thoả mãn biểu thức (1.14) khi

θ = 0) ta có thể tìm được mode

ngang thứ nhất được hình thành bởi các sóng phẳng lan truyền dưới góc θ1
lệch so với trục. Độ lớn của góc θ1 được xác định từ điều kiện :
f q (θ = 0) = f q −1 (θ = θ1 )
Cần chú ý rằng đối với dao động này q phải được thay đổi từng đơn vị
một, tức là q phải được thay bằng q - 1, q - 2, q - 3,...
Thay biểu thức (1.14) vào đây ta được:
cos θ1 =

q −1
q

Từ đây rút ra:

θ1 ≈ sin θ1 = 1 − cos 2 θ1 =

2q − 1
2

≈
q2
q

(1.15)

Trong kết quả cuối cùng này ta đã bỏ qua 1, vì thực tế q>>1. Thay q từ
biểu thức:
L = q.

λ
2

Vào (1.15) ta có:

θ1 =

λ
L

Tương tự như vậy, đối với mode xiên thứ m, góc θm được xác định từ
điều kiện:

f q (θ = 0) = f q − m (θ = θ m ) với m = 2,3,4...
và

θm = m.

λ
L

với m<
Tương tự, nếu xét sự lan truyền của các sóng phẳng dưới một góc θn
trong mặt phẳng YZ ta cũng sẽ có:


13

θn = n.

λ
L

với n<
Khoảng cách góc giữa 2 mode ngang cạnh nhau được xác định bằng
biểu thức:
∆θm = m.

∆θn = n.

λ
L

λ
L

Bây giờ chúng ta chuyển sang xét các dạng dao động trong buồng
cộng hưởng với các gương có kích thước hữu hạn (bài toán ba chiều). Giả sử

các gương có dạng hình vuông với chiều dài mỗi cạnh bằng D (hình 1.3).

X
1
D

2

1
Z

L
Hình 1.3. Buồng cộng hưởng.
Ở đây các mode trong buồng cộng hưởng không còn đơn thuần là tổng
của hai sóng phẳng nữa, mà chúng phải được tìm từ bài toán bờ đối với
trường trong buồng cộng hưởng có tính tới các hiện tượng nhiễu xạ trên các
mép gương. Để tiện lợi cho việc xác định các dao động riêng người ta coi
buồng cộng hưởng là kín, tức là ngoài các gương còn đưa thêm vào các mặt
bên có độ truyền sóng lý tưởng (không tổn hao). Khi đó buồng cộng hưởng
mà ta đang xét có thể coi như một buồng cộng hưởng khối thông thường có


14

thiết diện cắt ngang là một hình vuông. Bước sóng của các dao động riêng
trong hệ này khi không tổn hao được xác định bằng biểu thức:
1
λ mnq

2

2

2

 m   n   q 
= 
÷ +
÷ +
÷
 2D   2D   2D 

(1.16)

Với m, n, q là các số nguyên, xác định số nửa bưóc sóng được sắp xếp
dọc theo các cạnh X,Y và Z của gương.
Có thể chứng minh được rằng trong trường hợp gương có kích thước
hữu hạn, góc θ không thể nhận các giá trị bất kỳ. Những mode xiên khác
nhau sẽ tương ứng với những giá trị θ không liên tục, hoàn toàn xác định.
Chẳng hạn, đối với sóng phẳng lan truyền trong mặt phẳng XZ (n = 0) ta có
thể rút ra từ điều kiện biên biểu thức sau đây:
k.sin θm =

Với k =

mπ
D

hay

sin θm = m.

λ
2D

(1.17)

2π
là số sóng.
λ

Từ công thức (1.17) chúng ta thấy rằng mode xiên thứ nhất TEM 10q được
hình thành bởi các sóng phẳng lan truyền dưới một góc θ1 =

λ
so với trục
2D

của buồng cộng hưởng. Đối với mode xiên thứ hai TEM 20q ,góc này bằng
θ2 =

λ
, ...khoảng cách giữa hai mode xiên liên tiếp được xác định từ công
D

thức :
∆θm = θm − θm −1 =

λ
2D

(1.18)

Nếu lấy λ = 10−4 cm , D = 1m, ta có ∆θ = 5.10−5 rad ≈ 10" .
Đối với trường hợp tổng quát khi n ≠ 0 (trường hợp ba chiều), các tính
toán cụ thể cũng cho đại lượng ∆θn có độ lớn xấp xỉ như vậy.
Tóm lại có thể hình dung một cách tổng quát trường trong buồng cộng


15

hưởng kín như sau: Ngoài các mode dọc thuần tuý được đặc trưng bởi các số
m = n = 0 và q ≠ 0 , trong buồng cộng hưởng tồn tại các mode xiên được
hình thành bởi các sóng phẳng lan truyền dưới một góc θ tương đối nhỏ so
với trục của buồng cộng hưởng. Khác với các mode dọc, phân bố trường của
các mode xiên trên các gương không phải là đồng nhất mà mang tính tuần
hoàn theo không gian và giảm dần tới không ở mép gương. Như vậy, trong
buồng cộng hưởng có hai loại mode khác nhau: Các mode dọc (m,n giống
nhau, q khác nhau) chỉ phân biệt với nhau bởi tần số phát và các mode
xiên (m,n khác nhau, q giống nhau) được phân biệt với nhau bằng sự phân
bố biên độ và pha trên bề mặt gương.
Nếu bây giờ bỏ đi các mặt dẫn bên thì sẽ thu được một buồng cộng
hưởng hở, và khi đó sẽ xuất hiện một yếu tố mới ảnh hưởng tới các quá trình
vật lý xảy ra trong buồng cộng hưởng: Đó là tổn hao nhiễu xạ trên các
gương. Tuy nhiên đối với các mode xiên có giá trị m và n nhỏ, tức là đối với
những mode được tạo bởi các sóng phẳng lan truyền trong buồng cộng
hưởng dưới một góc θ khá nhỏ thì tổn hao do nhiễu xạ có thể coi như không
đáng kể. Thật vậy, nếu m và n nhỏ thì trường của tất cả các dạng dao động
hầu như đều được tập trung vào vùng trung tâm của gương và giảm đi rất
nhanh khi đi ra mép gương. Do đó đối với các mode này việc loại bỏ các bề

mặt bên chỉ dẫn tới sự xuất hiện tổn hao rất nhỏ và hiện tượng về phân bố
trường hầu như không thay đổi.
Như vậy, trong buồng cộng hưởng kín có thể tổn tại các mode xiên với
các giá trị m và n lớn, thì trong buồng cộng hưởng hở các dao động không thể
xuất hiện được do các tổn hao rất lớn mà chúng phải chịu trên các mép
gương. Các tổn hao đóng một vai trò hết sức quan trọng trong buồng cộng
hưởng quang học, nó cho phép giảm đi một cách đáng kể số mode xiên được
kích thích trong buồng cộng hưởng và chỉ giữ lại những mode xiên nào ứng


16

với các tia sáng lan truyền gần như song song với trục của buồng cộng
hưởng. Chính điều này sẽ quyết định tính định hướng của bức xạ laser.
1.3. Một số loại buồng cộng hưởng
1.3.1. Buồng cộng hưởng mở
Buồng cộng hưởng chỉ được giới hạn bởi hai mặt phản xạ ở hai đầu,
còn các mặt khác đều để hở gọi là buồng cộng hưởng mở.
Buồng cộng hưởng với gương có kích thước lớn vô hạn
Xét buồng cộng hưởng trình bày như hình vẽ

θ

z

O

Gương 1

L

Gương 2

Hình 1.4. Buồng cộng hưởng với gương có kích thước lớn vô hạn
Khoảng cách giữa hai gương là L và trục của buồng được lấy theo
phương Oz, với O là một điểm trên gương thứ nhất.
Nếu trong buồng xuất hiện một sóng phẳng với bước sóng

λ lan

truyền theo phương gần trục (hợp với trục Oz một góc nhỏ θ ) thì do sự phản
xạ của các gương, trong buồng cộng hưởng sẽ xuất hiện hiện tượng giao thoa
sóng. Điều kiện giao thoa cực đại của sóng cho bởi hệ thức:
2Lcos θ = q λ

(1.19)

ở đây q là một số nguyên cỡ 106 với ánh sáng vùng quang học.
Khi sóng truyền theo phương trục Oz (1.19) trở thành
2L = q λ

(1.20)

Theo các công thức (1.19) hay (1.20) giá trị của q tùy thuộc vào λ và
nó đặc trưng cho một loại dao động cộng hưởng trong buồng. Mỗi bước sóng


17

thõa mãn điều kiện (1.19) hay (1.20) được gọi là một mode của buồng và

mode thõa mãn điều kiện (1.20) gọi là mode dọc.
Trong trường hợp buồng cộng hưởng có nhiều mode, khoảng cách theo
thang tần số hay bước sóng, đối với hai mode liên tiếp tỷ lệ nghịch với
khoảng cách giữa hai gương phản xạ hay độ dài của buồng, còn pha của hai
mode liên tiếp dịch chuyển một góc 2 π [2].
Buồng cộng hưởng với gương có kích thước hữu hạn
Trong thực tế kích thước của gương phản xạ là hữu hạn và nó thường
nhỏ hơn khoảng cách giữa hai gương. Việc sử dụng các hệ thức giao thoa để
khảo sát đặc trưng của phân bố mode theo các điều kiện (1.19) hay (1.20) là
không thể được. Lúc này ta phải chú ý đến ảnh hưởng của sự nhiễu xạ trên
các khẩu độ của gương. Người ta sử dụng hoặc lý thuyết điện từ Maxwell
hoặc nguyên lý Huygens - Fresnel. Trong mục này, chúng ta sử dụng lý
thuyết điện từ Maxwell để xác định trường trong buồng cộng hưởng hay ở
trên gương thông qua việc giải phương trình truyền sóng.
Ta hãy xét một buồng cộng hưởng với gương có dạng hình chữ nhật. Kí
hiệu kích thước của buồng và hệ thống trục tọa độ trình bày ở hình 1.5.
b
2

−

a
2

b
−
2

a
2

L

z

Hình 1.5. Buồng cộng hưởng với gương có kích thước hữu hạn
Phương trình tổng quát với trường sóng λ có dạng
∆E + k 2 E = 0

(1.21)


18

với k =

2π
. Để giải phương trình (1.21) theo cấu hình của buồng ta sẽ sử
λ

dụng hệ tọa độ Descartes Oxyz và giả thiết biên độ trường trên các mặt biên
của gương bằng không, nghĩa là có điều kiện biên sau

E z =0 = E z =L = E x =± a = E y =± b = 0
2

2

(1.22)

Nghiệm của (1.21) với điều kiện (1.22) sẽ là

E = E 0 sin

πqz
πy  1 
πx  1 
cos  r + ÷cos  s + ÷
L
b  2
a  2

(1.23)

Trong (1.23) q, r, s là các số nguyên thỏa mãn điều kiện
2

q2 r2 s2 k 2  2 
+ + =
= ÷
L2 b 2 a 2 π2  λ 

(1.24)

Theo (1.24) trường phân bố theo các trục tọa độ một cách tuần hoàn. Khi kích
thước gương lớn vô hạn điều kiện (1.24) trở về điều kiện (1.20) và do đó
(1.24) cũng mang tính chất điều kiện cộng hưởng của dao động trong buồng q
đặc trưng cho loại mode trục dọc còn các đại lượng r, s đặc trưng cho các loại
mode ngang (transversal modes). Sự khác biệt cơ bản về cấu trúc mode trong
buồng cộng hưởng kích thước hữu hạn so với trương hợp gương vô hạn là ở

chỗ đối với một loại mode trục dọc nào đó (cùng giá trị q) người ta còn phân
biệt được sự khác nhau của các thành phần theo trục x hay y. Những mode
loại này gọi là các mode ngang, kí hiệu chung của mode trong buồng cộng
hưởng khảo sát là TEMsrq .
Nếu chỉ để ý đến các mode trục dọc thì chỉ xét các TEM srq. Những
mode ngang gần trục nhất là các TEM01q hay TEM10q.
Buồng cộng hưởng Fabry - Perot với các gương phản xạ phẳng
tròn song song
Đây là loại buồng cộng hưởng gặp nhiều trong thực tế. Nó có cấu tạo


19

rất giống mẫu Fabry - Perot nên mang tên buồng cộng hưởng Fabry - Perot .
Để tìm đặc trưng và cấu trúc mode trong loại buồng này, ta sẽ xuất phát từ
nguyên lý Huygens - Fresnel. Để tìm sự phân bố trường ở hai mặt gương phản
xạ, chúng ta sẽ dựa vào lý thuyết Fox và Li
Cơ sở lý thuyết
Hãy xét sự phân bố trường ở các phản xạ phẳng tròn cùng bán kính a
đặt cách nhau một khoảng L. Hệ trục tọa độ được lấy như trình bày ở hình
1.6.

x2

x1
R

L

Hình 1.6. Buồng cộng hưởng Fabry - Perot

Theo nguyên lý Huygens - Fresnel nếu biết hàm biên độ sóng ψ A tại
một điểm A nào đó ở gương thứ nhất thì có thể tìm được biên độ sóng ψ Q tại
điểm Q ở gương thứ hai khi sóng truyền theo phương lập một góc θ so với
pháp tuyến của gương theo biểu thức sau:

ik
e −ikR
ψQ =
ψA
( 1 + cos θ ) dS
4π S∫A
R


20

ở đây R là khoảng cách giữa hai điểm A,Q và tích phân được lấy theo toàn
diện tích của gương thứ nhất.
Biết ψ Q ta lại có thể tìm được hàm trường ở mặt gương thứ nhất sau
khi phản xạ nhờ công thức (1.24) với sự thay thế ψ A bằng ψ Q còn ψ Q bằng
hàm mới ψ P ở trên mặt gương thứ nhất. Quá trình tính toán có thể thực hiện
với các phản xạ liên tiếp.
Buồng cộng hưởng cầu đồng tiêu
Người ta gọi buồng cộng hưởng là cầu đồng tiêu khi hai gương phản xạ
đặt cách nhau một khoảng đúng bằng bán kính của gương (hai gương có bán
kính như nhau) và đỉnh của gương này nằm ở tâm của gương kia, hai tiêu
điểm nằm trùng nhau.

Hình 1.7. Buồng cộng hưởng cầu đồng tiêu
Buồng cộng hưởng cầu đồng tiêu được sử dụng phổ cập hiện nay do có

một số ưu điểm riêng sau:
- Dễ dàng điều chỉnh để thu được các mode trục dọc.
- Mất mát năng lượng ít.
- Khối lượng của hoạt chất sử dụng có thể ít hơn so vớ cấu hình khác
của gương.
Để tìm sự phân bố trường trong buồng cộng hưởng và trên các gương
chúng ta có thể theo phương pháp Fox - Li hay Boyde Gordon. Tuy nhiên,
chú ý rằng khi trường phân bố trên các gương trùng đúng với trường phân bố