Nghiên cứu độ rộng vạch phổ trong dây lượng tử hình chữ nhật

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG DỰ BỊ ĐHDT TRUNG ƯƠNG NHA TRANG
- - - - -
NGUYỄN ĐÌNH HIÊN
NGHIÊN CỨU ĐỘ RỘNG VẠCH PHỔ
TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT
BỘ MÔN: LÝ - SINH
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
Nha trang, tháng 6 năm 2010
i
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu
và kết quả nghiên cứu nêu trong đề tài là trung thực, được các đồng tác
giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công
trình nghiên cứu nào khác.
Tác giả đề tài
Nguyễn Đình Hiên
ii
LỜI CẢM ƠN
Hoàn thành đề tài nghiên cứu khoa học này, tôi trân trọng bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc đến Ban Giám Hiệu, Hội đồng khoa học, trưởng bộ
môn Lý - Sinh, cùng toàn thể quí thầy cô và các anh chị công nhân viên
của nhà trường đã động viên, chia sẽ, đóng góp ý kiến và giúp đỡ tôi
hoàn thiện đề tài này.
Tác giả đề tài
Nguyễn Đình Hiên
iii
MỤC LỤC
Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
MỞ ĐẦU 3
NỘI DUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Chương 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ TỔNG QUAN . . . . . . 10
1.1. Phép chiếu toán tử loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2. Bán dẫn dây lượng tử và Hamiltonian của hệ electron-
phonon khi có mặt điện trường . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1. Bán dẫn dây lượng tử hình chữ nhật . . . . . . . 13
1.2.2. Hamiltonian của hệ electron - phonon trong điện
trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3. Tính toán giải tích hàm dạng phổ . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.1. Biểu thức tổng quát của tenxơ độ dẫn . . . . . . 16
1.3.2. Sử dụng phép chiếu phụ thuộc trạng thái loại II
để tính biểu thức tenxơ độ dẫn . . . . . . . . . . 20
Chương 2. TÍNH GIẢI TÍCH ĐỘ RỘNG VẠCH PHỔ
TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT . 24
2.1. Biểu thức độ rộng vạch phổ . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.1. Biểu thức của hàm dạng phổ . . . . . . . . . . . 24
2.1.2. Biểu thức độ rộng vạch phổ . . . . . . . . . . . . 34
1
2.2. Biểu thức công suất hấp thụ . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Chương 3. LẬP TRÌNH ĐỂ KHẢO SÁT SỐ VÀ VẼ
ĐỒ THỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1. Kết quả tính số và thảo luận . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1.1. Khảo sát sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào
tần số trường ngoài. . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.1.2. Khảo sát sự phụ thuộc của nửa độ rộng vạch phổ
vào nhiệt độ và kích thước của dây. . . . . . . . . 47
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

PHỤ LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P.1
2
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hiện nay trên thế giới đã và đang hình thành một ngành khoa học
và cộng nghệ mới, có nhiều triển vọng và dự đoán sẽ tác động mạnh
mẽ đến tất cả các lĩnh vực khoa học, công nghệ, kỹ thuật cũng như đời
sống-kinh tế xã hội ở thế kỷ 21. Đó là Khoa học và Công nghệ Nano.
Đây là lĩnh vực mang tính liên ngành cao, bao gồm vật lý, hóa
học, y dược-sinh học, công nghệ điện tử tin học, công nghệ môi trường
và nhiều công nghệ khác. Theo trung tâm đánh giá công nghệ thế giới
(World Technology Evaluation Centrer), trong tương lai sẽ không có
ngành công nghiệp nào mà không ứng dụng công nghệ nano [4].
Khoa học và Công nghệ Nano được định nghĩa là khoa học và công
nghệ nhằm tạo ra và nghiên cứu các vật liệu, các hệ thống, các cấu trúc
và các linh kiện có kích thước trong khoảng từ 0,1 đến 100 nm, với rất
nhiều tính chất khác biệt so với vật liệu khối [4]. Thật vậy, các nhà
nghiên cứu đã chỉ ra rằng khi kích thước của chất bán dẫn giảm xuống
một cách đáng kể theo 1 chiều, 2 chiều, hoặc cả 3 chiều thì các tính chất
vật lý: tính chất cơ, nhiệt, điện, từ, quang thay đổi một cách đột ngột.
Chính điều đó đã làm cho các cấu trúc nano trở thành đối tượng của các
nghiên cứu cơ bản, cũng như các nghiên cứu ứng dụng. Các tính chất
của các cấu trúc nano có thể thay đổi được bằng cách điều chỉnh hình
dạng và kích thước cỡ nanomet của chúng [1], [4].
Khi giảm kích thước của vật rắn xuống theo một phương nào đó
(phương x) chỉ còn vào cỡ vài nanomet (nghĩa là cùng bậc độ lớn với
bước sóng de Broglie của hạt tải điện) thì các electron có thể vẫn chuyển
động hoàn toàn tự do trong mặt phẳng (y,z), nhưng chuyển động của
3
chúng theo phương x sẽ bị giới hạn. Hệ electron như vậy gọi là hệ điện

tử chuẩn hai chiều và chất bán dẫn được gọi là bán dẫn chuẩn 2 chiều
(giếng lượng tử và siêu mạng).
Nếu kích thước của vật rắn theo phương y cũng co lại chỉ còn vào
cỡ vài nanomet, khi đó các electron chỉ có thể chuyển động tự do theo
phương z, còn chuyển động của chúng theo các phương y và x đã bị
lượng tử hóa. Hệ electron như vậy gọi là hệ điện tử chuẩn một chiều và
chất bán dẫn như vậy gọi là bán dẫn chuẩn 1 chiều hay dây lượng tử.
Tương tự, nếu kích thước của vật rắn theo cả 3 phương đều co lại chỉ
còn vào cỡ vài nanomet thì chuyển động của các electron theo 3 phương
(x-y-z) đều bị giới hạn hay nói cách khác các electron bị giam giữ theo cả
3 chiều, thì hệ được gọi là một "chấm lượng tử". Tuy nhiên, định nghĩa
này có phần không chặt chẽ, ví dụ, các đám (clusters) bao gồm một số
ít nguyên tử không được coi là các chấm lượng tử, bởi vì mặc dù kích
thước của các đám này nhỏ hơn bước sóng de Broglie, nhưng tính chất
của chúng phụ thuộc rất mạnh vào số nguyên tử tạo nên chúng. Chỉ có
các đám lớn hơn, có cấu trúc mạng hoàn toàn xác định và tính chất của
chúng không còn phụ thuộc vào số nguyên tử nữa, mới được coi là các
chấm lượng tử [1], [2].
Những vật liệu có cấu trúc như trên gọi là vật liệu thấp chiều hay
bán dẫn chuẩn thấp chiều, cấu trúc này có nhiều tính chất mới lạ so với
cấu trúc thông thường, cả về tính chất quang, điện cũng như mật độ
trạng thái.
Việc chuyển từ hệ điện tử 3 chiều sạng hệ điện tử chuẩn 1 chiều đã
làm thay đổi đáng kể cả về mặt định tính cũng như định lượng nhiều
tính chất vật lý trong đó có tính chất quang, điện của vật liệu. Sự giam
giữ điện tử trong các dây lượng tử làm cho các phản ứng của hệ điện
4
tử đối với các tác dụng ngoài (từ trường, điện trường, điện từ trường...)
xảy ra khác biệt so với trong hệ điện tử 3 chiều và 2 chiều. Cấu trúc
bán dẫn một chiều đã làm thay đổi đáng kể nhiều đặc tính của các vật

liệu, đồng thời cũng đã làm xuất hiện thêm nhiều đặc tính mới ưu việt
hơn mà các hệ điện tử 3 chiều và 2 chiều không có. Các vật liệu bán dẫn
mới với các cấu trúc 1 chiều đã giúp cho việc tạo ra các linh kiện, thiết
bị dựa trên những nguyên tắc hoàn toàn mới và công nghệ hiện đại có
tính chất cách mạng trong khoa học kỹ thuật nói chung và trong lĩnh
vực quang-điện tử nói riêng. Đó là lý do tại sao các bán dẫn có cấu trúc
1 chiều đã, đang và sẽ được nhiều nhà vật lý quan tâm nghiên cứu.
Về mặt thực nghiệm, sự phát triển của các mẫu bán dẫn chất lượng
cao đã mở ra một khả năng mới cho việc nghiên cứu. Với những mẫu
như thế, chúng ta có khả năng đo được trực tiếp khối lượng hiệu dụng
của electron, đại lượng phản ánh cấu trúc của vùng dẫn mini và thời
gian phục hồi dịch chuyển hạt tải thông qua hàm dạng phổ cộng hưởng
electron-phonon. Cho đến nay, đây là phương pháp trực tiếp nhất và
chính xác nhất để cung cấp những thông tin như thế.
Về mặt lý thuyết, việc nghiên cứu các tính chất mới của điện tử
trong bán dẫn thấp chiều đã và đang nhận được sự quan tâm của rất
nhiều nhà Vật lý. Mặc dù có khá nhiều cách tiếp cận vấn đề này nhưng
phép chiếu toán tử vẫn là một phương pháp được quan tâm với lý do là
với các toán tử chiếu hoàn toàn xác định, chúng ta có thể thu được một
công thức độ dẫn khá hoàn hảo, biểu thức hàm dạng phổ tường minh
[15]. Lý thuyết của Cho và Choi dùng để tính tốc độ hồi phục trong Ge
và Si bỏ qua tán xạ thế biến dạng bằng cách sử dụng các toán tử chiếu
phụ thuộc trạng thái loại I, được định nghĩa bởi Badjou và Argyres [14].
Tuy nhiên, trong lý thuyết này, sự phát xạ (hấp thụ) phonon không được
giải thích một cách chặt chẽ. Nói cách khác, mặc dù có xét đến hiệu ứng
5
nhiều hạt nhưng hàm phân bố của điện tử và phonon chỉ được kết hợp
ngẫu nhiên.
Để khắc phục các nhược điểm trên, chúng tôi áp dụng một phương
pháp chiếu mới, đó là phương pháp chiếu phụ thuộc trạng thái loại II.

Phương pháp này có ưu điểm là khắc phục được sự phân kỳ của thế tán
xạ, chứa tường minh các hàm dạng phổ và sẽ đưa ra được tất cả các
dịch chuyển có thể có của electron. vì vậy, bằng cách sử dụng phép chiếu
toán tử phụ thuộc trạng thái loại II, biểu thức của tenxơ độ dẫn sẽ được
diễn tả một cách tường minh hơn.
Cộng hưởng electron-phonon ( Electrophonon resonance-EPR ) là
một hiện tượng thú vị xảy ra trong bán dẫn dưới tác dụng của trường
ngoài. Hiện tượng này liên quan đến tính kỳ dị của mật độ trạng thái
của electron trong bán dẫn. Khi hiệu số hai mức năng lượng của electron
bằng năng lượng phonon cùng với điều kiện thế đặt vào đủ lớn thì sẽ
xảy ra sự cộng hưởng EPR [30]. Nếu quá trình hấp thụ LO-phonon
có sự hấp thụ hoặc phát xạ photon thì ta sẽ có hiệu ứng cộng hưởng
electron-phonon dò tìm quang học (Optically detected electron-phonon
resonance-ODEPR) [30]. Hiện tượng EPR được bắt đầu nghiên cứu kể từ
năm 1972 bởi Bryskin và Firsov cho trường hợp bán dẫn không suy biến
đặt trong điện trường mạnh, cho đến nay đã có một số công trình nghiên
cứu vấn đề này, chẳng hạn nhóm của Sang Chil Lee và đồng nghiệp [28];
nhóm Se Gi Yu [41] ... Việc nghiên cứu hiệu ứng EPR/ODEPR trong
các thiết bị lượng tử hiện đại đóng vai trò rất quan trọng trong việc hiểu
biết tính chất chuyển tải lượng tử của hạt tải điện trong bán dẫn.
Vì vậy, nghiên cứu hiệu ứng EPR/ODEPR cũng sẽ cho ta thu được
các thông tin của hạt tải và phonon.
Việc nghiên cứu hiệu ứng EPR/ODEPR trong bán dẫn dây lượng
6
tử đã và đang được các nhà khoa học rất quan tâm. Sở dĩ như vậy là đối
với một bán dẫn có độ thuần khiết cao thì tương tác electron-phonon là
loại tương tác chủ yếu. Nó sẽ góp phần làm sáng tỏ các tính chất mới
của khí electron chuẩn 1 chiều dưới tác dụng trường ngoài, từ đó cung
cấp thông tin về tinh thể và tính chất quang của dây lượng tử bán dẫn
cho công nghệ chế tạo các linh kiện quang điện tử và quang tử.

Chính vì vậy, chúng tôi chọn đề tài "Nghiên cứu về độ rộng
vạch phổ trong dây lượng tử hình chữ nhật" làm đề tài nghiên
cứu của mình.
2. Lịch sử nghiên cứu của đề tài
Ở trong nước:
Ở nước ta, ngành khoa học công nghệ nano là một trong những
lĩnh vực được các nhà khoa học quan tâm và đi sâu nghiên cứu từ năm
1995. Mỗi nhóm tác giả tập trung nghiên cứu những vấn đề riêng, nhưng
vấn đề "Độ rộng vạch phổ" trong bán dẫn thấp chiều nói chung hay dây
lượng tử nói riêng chưa được quan tâm nhiều.
Trong những năm gần đây, một số tác giả của trường ĐHSP Huế
đi sâu nghiên cứu về phản ứng của hệ electron - phonon dưới tác dụng
của trường ngoài. Có một số tác giả nghiên cứu những vấn đề liên quan
như: Cộng hưởng cyclotron khi có mặt tương tác electron-phonon trong
bán dẫn hố lượng tử, dò bằng quang học cộng hưởng electron-phonon
trong hố lượng tử, hiệu ứng Cerenkov trong bán dẫn dây lượng tử hình
trụ.
Ở nước ngoài:
Trong những năm gần đây, có một số nhóm tác giả chú tâm nghiên
cứu về cộng hưởng electron - phonon trong bán dẫn thấp chiều như:
7
Se Gi Yu, Pevzner V. B. và Kim K. W.: Nghiên cứu cộng hưởng
electron-phonon trong dây lượng tử hình trụ, tập trung vào nghiên cứu
sự khác nhau về quy tắc lọc lựa để khảo sát khả năng phát hiện sự giam
giữ electron trong dây lượng tử [41].
Sang Chil Lee, Jeong Woo Kanga, Hyung Soo Ahn, Min Yang, Nam
Lyong Kang, Suck Whan Kim: Sử dụng độ dẫn quang thu được từ
phương pháp toán tử chiếu Mori để khảo sát tính chất của cộng hưởng
electron-phonon trong hố lượng tử.
Tuy vậy, chưa có tác giả nào đề cập đến vấn đề độ rộng vạch phổ

trong dây lượng tử hình chữ nhật mà đề tài dự kiến thực hiện.
3. Mục tiêu của đề tài
Nghiên cứu độ rộng vạch phổ trong dây lượng tử hình chữ nhật dưới
tác dụng của trường ngoài.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Sử dụng phương pháp toán tử chiếu phụ thuộc trạng thái loại II
để tìm độ dẫn điện và độ rộng vạch phổ do tương tác electron-phonon
trong dây lượng tử hình chữ nhật với thế vô hạn dưới tác dụng của
trường laser, từ đó khảo sát số về độ rộng vạch phổ.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng các phương pháp lý thuyết trường lượng tử cho hệ nhiều
hạt trong vật lý thống kê, trong đó tập trung nhiều vào phương pháp
toán tử chiếu phụ thuộc trạng thái loại II.
- Lập trình mathematica để tính số và vẽ đồ thị.
8
6. Giới hạn đề tài
Đề tài này tập trung nghiên cứu độ rộng vạch phổ trong dây lượng
tử hình chữ nhật với các giới hạn sau:
- Chỉ xét trường hợp phonon khối (3 chiều).
- Chỉ xét phần tuyến tính của độ dẫn.
- Bỏ qua tương tác giữa các hạt cùng loại.
7. Bố cục của đề tài
Đề tài gồm có ba phần chính được phân bố thành ba chương:
Chương 1. Một số vấn đề tổng quan.
Chương 2. Tính toán giải tích độ rộng vạch phổ trong dây lượng tử
hình chữ nhật.
Chương 3. Khảo sát số và đồ thị.
9
NỘI DUNG
Chương 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ TỔNG QUAN

Chương này trình bày tổng quan về phép chiếu toán tử loại II,
bán dẫn dây lượng tử hình chữ nhật, về Hamiltonian của hệ
electron-phonon khi có mặt trường ngoài; trình bày tính toán
giải tích để thu được biểu thức tenxơ độ dẫn và hàm dạng phổ.
1.1. Phép chiếu toán tử loại II
Phép chiếu toán tử lần đầu tiên được Hazime Mori đưa ra vào năm
1965 khi nghiên cứu sự chuyển tải của hệ nhiều hạt [32], gọi là phép
chiếu toán tử Mori. Qua quá trình nghiên cứu, phép chiếu toán tử Mori
phát triển với nhiều cách định nghĩa toán tử chiếu khác nhau tùy vào
mục đích tính toán. Chẳng hạn, để khai triển biểu thức của tenxơ độ
dẫn được cho bởi
σ
ij
(ω) =
i
ω

µ,ν
...J
i

µ,ν
, (1.1)
trong đó J
i
là phần tử thứ i của mật độ dòng điện trung bình, đã định
nghĩa hai toán tử chiếu như sau [39]
P... ≡
...
µ,ν

J
i

µ,ν
J
i
, Q ≡ 1− P, (1.2)
với ...
µ,ν
= T
R
{ρ
eq
(a
+
µ
a
ν
)...}, trong dấu ... là toán tử nào đó, ρ
eq
là toán
tử mật độ cân bằng của hệ.
Nếu toán tử dòng được khai triển
J
i
=

α,β
(j
a

)
α,β
a
+
α
a
β
, với j
a
= j
x
+ ij
y
thì (1.1) trở thành
σ
ij
(ω) =
i
ω

α,β

µ,ν
(j
a
)
α,β
(...)a
+
α

a
β

µ,ν
, (1.3)
10
Khi đó, các toán tử chiếu có thể được định nghĩa theo cách khác như
sau
P... ≡
...
µ,ν
a
+
α
a
β

µ,ν
a
+
α
a
β
, Q ≡ 1− P. (1.4)
Ta thấy, phương chiếu được chọn sao cho toán tử P luôn là phương
của toán tử chứa trong biểu thức cần khai triển, phương còn lại vuông
góc với phương chiếu của P là Q = 1 - P. Do đó P tác dụng lên toán
tử chọn làm phương chiếu A thì bằng chính toán tử A, Q tác dụng lên
toán tử A bằng không và tích hai toán tử chiếu bằng không.
Chẳng hạn, với các toán tử chiếu của Suzuki A. và Ashikawa M.

[39] thì
P J
i
=
J
i

µ,ν
J
i

µ,ν
J
i
= J
i
, QJ
i
= (1 − P )J
i
= 0, P Q = QP = 0 (1.5)
Phép chiếu thứ nhất chọn phương chiếu là toán tử dòng điện, không
phụ thuộc trạng thái, nên gọi là phép chiếu không phụ thuộc trạng thái.
Phép chiếu thứ hai chọn phương chiếu là các toán tử a
+
α
a
β
, phụ thuộc
vào hai trạng thái α và β, nên gọi là phép chiếu phụ thuộc trạng thái.

Đây là hai kỹ thuật chiếu được sử dụng nhiều nhất khi nghiên cứu độ
dẫn từ [14].
Ngoài ra, dựa trên hình thức luận Mori, người ta đưa ra nhiều
phương pháp chiếu khác nhau, tùy thuộc vào mục đích tính toán, như
kỹ thuật chiếu cô lập, kỹ thuật chiếu mật độ cân bằng, ...
Như vậy, một cách tổng quát, có hai loại kỹ thuật chiếu: kỹ thuật
chiếu một electron và kỹ thuật chiếu hệ nhiều electron. Kỹ thuật chiếu
hệ nhiều electron được sử dụng rộng rãi hơn vì trên thực tế, nói chung
hình thức luận hệ nhiều hạt trong vật rắn không thể rút gọn về hình
thức luận một hạt. Các phép chiếu hệ nhiều hạt được sử dụng nhiều
nhất là phép chiếu phụ thuộc trạng thái và phép chiếu độc lập trạng
thái. Phép chiếu phụ thuộc trạng thái lại được chia thành hai loại khác
11
nhau, đó là phép chiếu phụ thuộc trạng thái loại I và loại II do nhóm
tác giả Kang N. L. và cộng sự đưa ra trong những năm gần đây [6], [12].
Ta đã biết, Badjou và Argypres [6] là nhóm tác giả đầu tiên đưa ra
phép chiếu phụ thuộc trạng thái trong tính toán công suất hấp thụ của
cyclotron trong bán dẫn. Nhóm tác giả này định nghĩa phép chiếu phụ
thuộc trạng thái như sau:
P
(k)
αβ
X ≡ X
αβ
J
k
/J
k

αβ

Q
(k)
αβ
≡ 1− P
(k)
αβ
,
(1.6)
trong đó X
αβ
≡ T
R
{ρ
eq
[X, a
+
α
a
β
]}, J
k
là thành phần thứ k của toán
tử dòng của hệ. Phép chiếu này phụ thuộc trạng thái | α,| β, toán tử
P
(k)
αβ
tác dụng lên toán tử X sẽ chiếu X lên phương của toán tử J
k
. Phép
chiếu này được gọi là phép chiếu phụ thuộc trạng thái loại I.

Nhóm Kang. N. L. và Choi. S. D. đã định nghĩa phép chiếu phụ
thuộc trạng thái loại II [12] như sau:
P
γδ
αβ
X ≡ X
γδ
a
+
γ
a
δ
/a
+
α
a
β

γδ
,
Q
γδ
αβ
≡ 1− P
γδ
αβ
,
(1.7)
trong đó X
γδ

≡ T
R
{ρ
eq
[X, a
+
γ
a
δ
]}. Phép chiếu này phụ thuộc trạng thái
| α,| β,| γ,| δ, toán tử P
γδ
αβ
tác dụng lên toán tử X sẽ chiếu X lên
phương của toán tử a
+
α
a
β
.
Khi X = a
+
α
a
β
, ta có
P
γδ
αβ
a

+
α
a
β
≡
a
+
α
a
β

γ,δ
a
+
α
a
β

γ,δ
a
+
γ
a
δ
= a
+
γ
a
δ
,

Q
γδ
αβ
a
+
α
a
β
≡ (1− P
γδ
αβ
)a
+
α
a
β
= 0.
Nhiều công trình của nhóm Kang, Choi, Sug đã đưa ra phép chiếu độc
lập trạng thái [22], [23], trong đó biểu thức của tenxơ độ dẫn chứa các
thừa số có thể tính được một cách độc lập với trạng thái. Tuy nhiên,
12
khi sử dụng phép chiếu phụ thuộc trạng thái trong nhiều bài toán khác
nhau [19], [36], nhóm này đã thu được biểu thức của tenxơ độ dẫn và
hàm dạng phổ với dạng phù hợp hơn. Đặc biệt từ biểu thức của hàm
dạng phổ thu được có thể giải thích được quá trình chuyển mức năng
lượng của electron kèm theo sự phát xạ hoặc hấp thụ phonon khi điều
kiện bảo toàn năng - xung lượng được thỏa mãn.
Năm 2008, nhóm Kang, Choi [12] đã đưa ra kĩ thuật chiếu phụ
thuộc trạng thái loại II, so sánh với kĩ thuật chiếu phụ thuộc trạng thái
loại I của nhóm Badjou và Argyres [6] và nhận thấy nhiều ưu điểm vượt

trội của phép chiếu loại II này. Phép chiếu loại I chỉ áp dụng cho trường
hợp khoảng cách giữa hai mức năng lượng gần nhất là không đổi. Phép
chiếu loại II áp dụng cho trường hợp tổng quát hơn, đó là trường hợp
khoảng cách giữa hai mức năng lượng gần nhất là có thể thay đổi [12].
Đây chính là sự mới mẻ và có nhiều ưu điểm nổi bậc của phép chiếu này.
1.2. Bán dẫn dây lượng tử và Hamiltonian của hệ
electron-phonon khi có mặt điện trường
1.2.1. Bán dẫn dây lượng tử hình chữ nhật
Mô hình dây lượng tử hình chữ nhật hay được đề cập đến trong các
công trình nghiên cứu về mặt lý thuyết cũng như thực nghiệm. Các loại
thế giam giữ hay được sử dụng nhất là thế cao vô hạn, thế parabol, thế
tam giác. Sử dụng loại thế nào là tùy thuộc vào điều kiện của từng bài
toán (các giả thiết về cấu hình electron, cấu trúc hình học của dây, nhiệt
độ, trường ngoài, ...), yêu cầu thực nghiệm và mức độ phức tạp của hố
thế đó.
Xét mô hình dây lượng tử hình chữ nhật với thế cao vô hạn bên
13
ngoài dây.
Hàm sóng và năng lượng của điện tử trong dây lượng tử hình chữ
nhật có tiết diện (L
x
× L
y
) và chiều dài L
z
được cho bởi:
|α >= |n
α
,


k >=
e
ikz
√
L
z
2

L
x
L
y
sin(
πn
x
x
L
x
) sin(
πn
y
y
L
y
). (1.8)
ε =

2
π
2

2m
∗

n
2
x
L
2
x
+
n
2
y
L
2
y

+

2
k
2
2m
∗
= ε
n
+

2
k

2
2m
∗
(1.9)
Trong đó

k = (0, 0, k) và m
∗
lần lượt là véctơ sóng và khối lượng
hiệu dụng của electron.
1.2.2. Hamiltonian của hệ electron - phonon trong điện trường
Xét một hệ điện tử không tương tác với nhau mà chỉ tương tác với
phonon trong một dây lượng tử đặt trong điện trường ngoài biến thiên
theo thời gian có dạng

E(t) =
3

l=1
E
l
e
−iωt
e
l
,
với e
l
, E
l

và ω lần lượt là vectơ đơn vị, biên độ và tần số của điện trường
theo phương l.
Hamiltonian toàn phần của hệ eletron-phonon trong biểu diễn lượng
tử hóa lần thứ hai được xác định bởi biểu thức [19]
H(t) = H
eq
+ H
int
(t), (1.10)
trong đó H
eq
và H
int
(t) tương ứng là phần cân bằng và không cân bằng
của Hamiltonian.
Nếu bỏ qua tương tác giữa các hạt cùng loại, khi đó Hamiltonian
cân bằng của hệ bao gồm Hamiltonian của hệ electron, phonon tự do có
14
dạng chéo H
d
và Hamiltonian tương tác electron - phonon không chéo
V , chúng có dạng [28]
H
eq
= H
d
+ V = H
e
+ H
ph

+ V, (1.11)
H
e
=

η
a
+
η
a
η
ε
η
,
H
ph
=

q
ω
q
b
+
q
b
q
,
V =

η,µ,q

C
η,µ
(q)a
+
η
a
µ
(b
q
+ b
+
−q
).
Trong các biểu thức trên, H
e
và H
p
là các Hamitonian của hệ electron và
hệ phonon tự do; a
+
η
(a
η
) là toán tử sinh (toán tử hủy) của electron ở trạng
thái η với năng lượng ε
η
= η|h
e
|η; b
+

q
(b
q
) là toán tử sinh (hủy) phonon
có vectơ sóng q, năng lượng ω
q
. Đại lượng C
η,µ
(q) = V
q
η|e
iqr
|µ là yếu
tố ma trận tương tác electron - phonon, r là vectơ vị trí của electron, V
q
là thừa số kết cặp, phụ thuộc vào mode của phonon.
Hamiltonian tương tác phụ thuộc vào trường ngoài biến thiên theo
thời gian được cho bởi [38]
H
int
(t) = −
i
ω

E(t)

J. (1.12)
Sử dụng giả thiết đoạn nhiệt, biểu thức Hamiltonian tương tác có
thêm thừa số e
∆t

, với ∆ → +0. Lúc đó (1.12) trở thành
H
int
(t) = −
i
ω
E

e
−i¯ωt
J

. (1.13)
với ¯ω = ω − i∆.
15
1.3. Tính toán giải tích hàm dạng phổ
1.3.1. Biểu thức tổng quát của tenxơ độ dẫn
Khi hệ electron-phonon trong bán dẫn được đặt trong điện trường
biến thiên theo thời gian thì trong hệ sẽ xuất hiện độ dẫn quang. Giả sử
độ dẫn suy ra từ mật độ dòng điện được viết theo khai triển của toán
tử mật độ thành tổng các số hạng từ bậc một đến bậc n. Bây giờ ta tìm
khai triển của toán tử mật độ dòng điện

J.
Giá trị trung bình của một đại lượng bất kỳ theo phương pháp
thống kê lượng tử bằng vết nhiều hạt của tích đại lượng này với toán
tử mật độ. Giả sử ban đầu hệ ở trạng thái cân bằng nhiệt động, toán
tử mật độ cân bằng của hệ lúc này là ρ
eq
. Khi có mặt trường ngoài phụ

thuộc thời gian, toán tử mật độ thay đổi theo thời gian và có thể khai
triển thành
ρ(t) = ρ
eq
+ ρ
int
(t), (1.14)
trong đó ρ
int
(t) là toán tử mật độ khi có nhiễu loạn. Phương trình Liou-
ville cho toán tử mật độ có dạng
i
∂ρ(t)
∂t
= [H(t), ρ(t)] ≡ L(t)ρ(t), (1.15)
L(t) là toán tử Liouville toàn phần được định nghĩa bởi L(t)X ≡ [H(t), X],
với X là toán tử tuyến tính bất kỳ. Toán tử Liouville cũng có thể phân
tích thành hai thành phần, L(t) = L
eq
+L
int
(t), tương ứng với các thành
phần H
eq
và H
int
(t).
Thay biểu thức của H(t) và ρ(t) trong (1.10) và (1.14) vào phương
trình (1.15) ta được
i

∂ρ
eq
∂t
+i
∂ρ
int
(t)
∂t
= [H
eq
, ρ
eq
]+[H
eq
, ρ
int
(t)]+[H
int
(t), ρ
eq
]+[H
int
(t), ρ
int
(t)].
16
Do toán tử mật độ cân bằng không phụ thuộc thời gian nên
i
∂ρ
eq

∂t
= [H
eq
, ρ
eq
] = 0, (1.16)
vì vậy phương trình Liouville trở thành
i
∂ρ
int
(t)
∂t
= [H
eq
, ρ
int
(t)] + [H
int
(t), ρ
eq
] + [H
int
(t)ρ
int
(t)]. (1.17)
Để tìm ρ
int
(t), ta định nghĩa toán tử mật độ trong biểu diễn Dirac
[25]
ρ

D
int
(t) = e
iH
eq
t/
ρ
int
(t)e
−iH
eq
t/
. (1.18)
Lấy đạo hàm hai vế biểu thức (1.18) theo thời gian
i
∂ρ
D
int
(t)
∂t
= ie
iH
eq
t/
(
i

H
eq
)ρ

int
(t)e
−iH
eq
t/
+ ie
iH
eq
t/
∂ρ
int
(t)
∂t
e
−iH
eq
t/
+ ie
iH
eq
t/
ρ
int
(t)(−
i

H
eq
)e
−iH

eq
t/
= −e
iH
eq
t/
[H
eq
, ρ
int
(t)]e
−iH
eq
t/
+ ie
iH
eq
t/
∂ρ
int
(t)
∂t
e
−iH
eq
t/
.
Thay biểu thức (1.17) vào số hạng thứ hai ở vế phải và rút gọn, ta được
i
∂ρ

D
int
(t)
∂t
= e
iH
eq
t/
[H
int
(t), ρ
eq
]e
−iH
eq
t/
+e
iH
eq
t/
[H
int
(t), ρ
int
(t)]e
−iH
eq
t/
.
(1.19)

Mặt khác, ta có đẳng thức (phụ lục 1)
e
iH
eq
t/
Ae
−iH
eq
t/
= e
iL
eq
t/
A,
nên biểu thức (1.19) có thể viết lại thành
i
∂ρ
D
int
(t)
∂t
= e
iL
eq
t/
L
int
(t)ρ
eq
+ e

iL
eq
t/
L
int
(t)ρ
int
(t).
Tích phân hai vế của biểu thức này từ −∞ đến t với điều kiện ban đầu
ρ
D
int
|
t→−∞
= 0, ta được
iρ
D
int
(t) =

t
−∞
due
iL
eq
u/
L
int
(u)ρ
eq

+

t
−∞
due
iL
eq
u/
L
int
(u)ρ
int
(u).
(1.20)
17
Từ phụ lục 1: ρ
D
int
(t) = e
iL
eq
t/
ρ
int
(t), thay vào vế trái của (1.20) rồi nhân
bên trái của hai vế với e
−iL
eq
t/
, viết gọn lại ta được

iρ
int
(t) =

t
−∞
due
iL
eq
(u−t)/
L
int
(u)ρ
eq
+

t
−∞
due
iL
eq
(u−t)/
L
int
(u)ρ
int
(u).
(1.21)
Đổi biến tích phân t
1

= t− u, ta suy ra
ρ
int
(t) =
1
i

∞
0
dt
1
e
−iL
eq
t
1
/
L
int
(t − t
1
)ρ
eq
+
1
i

∞
0
dt

1
e
−iL
eq
t
1
/
L
int
(t − t
1
)ρ
int
(t − t
1
).
Đây là biểu thức của toán tử mật độ nhiễu loạn khi có trường ngoài
tại thời điểm t. Toán tử mật độ lúc này được phân tích thành tổng hai
thành phần, một thành phần chứa toán tử mật độ trung bình và thành
phần kia chứa toán tử mật độ nhiễu loạn tại thời điểm t− t
1
. Viết biểu
thức này cho ρ
int
(t − t
1
) bằng cách thay t bởi (t − t
1
), sau đó thay biểu
thức thu được vào biểu thức của ρ

int
(t), ta được
ρ
int
(t) =
1
i

∞
0
dt
1
e
−iL
eq
t
1
/
L
int
(t − t
1
)ρ
eq
+
1
(i)
2

∞

0
dt
1

∞
0
dt
2
e
−iL
eq
t
1
/
L
int
(t − t
1
)e
−iL
eq
t
2
/
L
int
(t − t
1
− t
2

)ρ
eq
+
1
(i)
2

∞
0
dt
1

∞
0
dt
2
e
−iL
eq
t
1
/
L
int
(t − t
1
)e
−iL
eq
t

2
/
× L
int
(t − t
1
− t
2
)ρ
int
(t − t
1
− t
2
).
Tiếp tục thay biểu thức của ρ
int
(t−t
1
−t
2
) . . . cho đến ρ
int
(t−t
1
−. . .−t
n
),
ta được biểu thức khai triển của toán tử mật độ đến số hạng thứ n,
ρ

int
(t) =
∞

n=1
1
(i)
n

∞
0
dt
1

∞
0
dt
2
···

∞
0
dt
n
e
−iL
eq
t
1
/

L
int
(t − t
1
)
× e
−iL
eq
t
2
/
L
int
(t − t
1
− t
2
)··· e
−iL
eq
t
n
/
L
int
(t − t
1
− ··· − t
n
)ρ

eq
≡ ρ
(1)
(t) + ρ
(2)
(t) + ··· + ρ
(n)
(t),
(1.22)
18
trong đó ρ
(i)
(t), với i = 1, . . . , n, là ma trận thứ i trong khai triển.
Từ khai triển của toán tử mật độ, ta có thể tìm giá trị trung bình
của một đại lượng động lực bất kỳ một cách chính xác (khai triển đến
bậc n). Ở đây ta quan tâm đến độ dẫn của hệ. Trung bình theo tập hợp
thống kê (emsemble average) của thành phần thứ k (k ≡ x, y, z) của
toán tử mật độ dòng điện

J được cho bởi [21]
J
k

ens
=
∞

n=1
J
(n)

k
 =
∞

n=1
T
R
{J
k
ρ
(n)
(t)}, (1.23)
trong đó T
R
là phép lấy vết nhiều hạt (many-body trace) , .. là kí hiệu
trung bình thống kê và toán tử dòng của hệ nhiều electron J
k
được viết
dưới dạng khai triển theo các toán tử dòng của một electron j
k
J
k
=

αβ
(j
k
)
αβ
a

+
α
a
β
, J

=

γδ
(j

)
γδ
a
+
γ
a
δ
, (1.24)
với (j
k
)
αβ
≡ α | j
k
| β, (j

)
γδ
≡ γ | j


| δ.
Từ đó ta tìm được số hạng trung bình bậc 1 của toán tử mật độ
dòng
J
(1)
k
 = T
R
{J
k
ρ
(1)
(t)} =
1
i
T
R

J
k
∞

0
dt
1
e
−
iL
e

q

t
1
L
int
(t − t
1
)ρ
eq

. (1.25)
Theo [38], Hamiltonian tương tác phụ thuộc trường ngoài biến thiên
theo thời gian
H
int
(t) = −
i
ω

E(t)

J = −
i
ω
E

e
−i¯ωt
J


. (1.26)
Do đó
H
int
(t − t
1
) = −
i
ω

E(t)

J = −
i
ω
E

e
−i¯ω(t−t
1
)
J

. (1.27)
Từ (1.25) và (1.27) ta tìm được
J
(1)
k
 =

1
i
T
R

J
k
∞

0
dt
1
e
−
iL
eq

t
1

−
i
ω
E

e
−i¯ω(t−t
1
)
J


, ρ
eq

19
= −
1
ω
T
R

∞

0
dt
1
e
(−
iL
eq

+i¯ω)t
1
E

e
−i¯ωt
J
k
[J


, ρ
eq
]

= −
1
ω
T
R

E

e
−i¯ωt
e
−i(
L
eq
−¯ω

)
t
1
|
∞
0

−i(L
eq

− ¯ω)
J
k
[J

, ρ
eq
]

=
i
ω
T
R
{E

e
−i¯ωt
(¯ω − L
eq
)
−1
J
k
[J

, ρ
eq
]}. (1.28)
Áp dụng T

R
{A, [B, C]} = T
R
{C[A, B]}, ta viết lại (1.28) như sau
J
(1)
k
 =
i
ω
T
R
{ρ
eq
[(¯ω − L
eq
)
−1
J
k
, J

]E

e
−i¯ωt
}. (1.29)
Ta đặt
E


(¯ω) = E

e
−i¯ωt
,
σ
k
(ω) =
i
ω
T
R
{ρ
eq
[(¯ω − L
eq
)
−1
J
k
, J

]}, (1.30)
và (1.29) trở thành
J
(1)
k
 = σ
k
(ω)E


(¯ω). (1.31)
Đại lượng σ
kl
(ω) được gọi là tenxơ độ dẫn tuyến tính. Thay (1.24)
vào (1.30) ta được biểu thức tổng quát của tenxơ độ dẫn
σ
k
(ω) =
i
ω

αβ

γ,δ
(j
k
)
αβ
(j

)
γδ
Λ
γδ
(¯ω), (1.32)
với Λ
γδ
(¯ω) = (¯ω − L
eq

)
−1
a
+
α
a
β

γδ
và X
γδ
= T
R
{ρ
eq
[X, a
+
γ
a
δ
]}.
1.3.2. Sử dụng phép chiếu phụ thuộc trạng thái loại II để tính
biểu thức tenxơ độ dẫn
Trong phần trên, biểu thức của độ dẫn tuyến tính có dạng
σ
k
(ω) =
i
ω


αβ

γ,δ
(j
k
)
αβ
(j

)
γδ
Λ
γδ
(¯ω), (1.33)
Bây giờ ta tìm biểu thức cụ thể của Λ
γδ
(¯ω) = (¯ω− L
eq
)
−1
a
+
α
a
β

γδ
.
20
Để thực hiện điều đó, ta định nghĩa hai toán tử chiếu phụ thuộc

trạng thái loại II P
γδ
αβ
và Q
γδ
αβ
như sau [12]
P
γδ
αβ
X ≡
X
γδ
a
+
α
a
β

γδ
a
+
γ
a
δ
,
Q
γδ
αβ
≡ 1− P

γδ
αβ
,
trong đó
X
γ,δ
≡ T
R
{ρ
eq
[X, a
+
γ
a
δ
]},
với X = a
+
α
a
β
, ta có
P
γδ
αβ
a
+
α
a
β

≡
a
+
α
a
β

γ,δ
a
+
α
a
β

γ,δ
a
+
γ
a
δ
= a
+
γ
a
δ
,
Q
γδ
αβ
a

+
α
a
β
≡ (1− P
γδ
αβ
)a
+
α
a
β
= 0.
Trước hết, ta tính (¯ω−L
eq
)
−1
a
+
α
a
β
của Λ
γδ
(¯ω). Bằng cách tác dụng
P
0
+ Q
0
= 1 về bên phải của toán tử L

eq
, ta được
(¯ω − L
eq
)
−1
a
+
α
a
β
= (¯ω − L
eq
(P
0
+ Q
0
))
−1
a
+
α
a
β
= ((¯ω − L
eq
Q
0
) − L
eq

P
0
)
−1
a
+
α
a
β
.
(1.34)
Sử dụng đẳng thức (AB) [12]: (A− B)
−1
= A
−1
+ A
−1
B(A− B)
−1
,
đối với phương trình (1.34), ta có
(¯ω − L
eq
)
−1
a
+
α
a
β

=
a
+
α
a
β
¯ω
+
L
eq
(¯ω − L
eq
)
−1
a
+
α
a
β

γ,δ
¯ωa
+
α
a
β

γ,δ
a
+

γ
a
δ
+ L
eq
Q
0
(¯ω − L
eq
Q
0
)
−1
L
eq
(¯ω − L
eq
)
−1
a
+
α
a
β

γ,δ
¯ωa
+
α
a

β

γ,δ
a
+
γ
a
δ
= SH1(1.35) + SH2(1.35) + SH3(1.35),
(1.35)
trong đó ta đã tính đến Q
γδ
αβ
L
d
a
+
α
a
β
= 0 hay Q
0
a
+
α
a
β
= 0.
Thay L
eq

= L
d
+ L
ν
vào SH2(1.35) và SH3(1.35)
SH2(1.35) =
(L
d
+ L
ν
)(¯ω − L
eq
)
−1
a
+
α
a
β

γ,δ
¯ωa
+
α
a
β

γ,δ
a
+

γ
a
δ
(1.36)
21
=
L
d
(¯ω − L
eq
)
−1
a
+
α
a
β

γ,δ
¯ωa
+
α
a
β

γ,δ
a
+
γ
a

δ
+
L
ν
(¯ω − L
eq
)
−1
a
+
α
a
β

γ,δ
¯ωa
+
α
a
β

γ,δ
a
+
γ
a
δ
=
ε
γ,δ

(¯ω − L
eq
)
−1
a
+
α
a
β

γ,δ
¯ωa
+
α
a
β

γ,δ
a
+
γ
a
δ
+
L
ν
(¯ω − L
eq
)
−1

a
+
α
a
β

γ,δ
¯ωa
+
α
a
β

γ,δ
a
+
γ
a
δ
,
trong đó ta đã sử dụng L
d
a
+
γ
a
δ
= ε
γ,δ
a

+
γ
a
δ
(Phụ lục 4).
SH3(1.35) =
L
eq
Q
0
(¯ω − L
eq
Q
0
)
−1
L
d
(¯ω − L
eq
)
−1
a
+
α
a
β

γ,δ
¯ωa

+
α
a
β

γ,δ
a
+
γ
a
δ
+ L
eq
Q
0
(¯ω − L
eq
Q
0
)
−1
L
ν
(¯ω − L
eq
)
−1
a
+
α

a
β

γ,δ
¯ωa
+
α
a
β

γ,δ
a
+
γ
a
δ
= L
eq
Q
0
(¯ω − L
eq
Q
0
)
−1
ε
γ,δ
(¯ω − L
eq

)
−1
a
+
α
a
β

γ,δ
¯ωa
+
α
a
β

γ,δ
a
+
γ
a
δ
+ L
eq
Q
0
(¯ω − L
eq
Q
0
)

−1
L
ν
(¯ω − L
eq
)
−1
a
+
α
a
β

γ,δ
¯ωa
+
α
a
β

γ,δ
a
+
γ
a
δ
= L
eq
Q
0

(¯ω − L
eq
Q
0
)
−1
L
ν
(¯ω − L
eq
)
−1
a
+
α
a
β

γ,δ
¯ωa
+
α
a
β

γ,δ
a
+
γ
a

δ
.
(1.37)
Thay (1.36) và (1.37) vào (1.35), ta suy ra
(¯ω − L
eq
)
−1
a
+
α
a
β
=
a
+
α
a
β
¯ω
+
ε
γ,δ
(¯ω − L
eq
)
−1
a
+
α

a
β

γ,δ
¯ωa
+
α
a
β

γ,δ
a
+
γ
a
δ
+
L
ν
(¯ω − L
eq
)
−1
a
+
α
a
β

γ,δ

¯ωa
+
α
a
β

γ,δ
a
+
γ
a
δ
+ L
eq
Q
0
(¯ω − L
eq
Q
0
)
−1
L
ν
(¯ω − L
eq
)
−1
a
+

α
a
β

γ,δ
¯ωa
+
α
a
β

γ,δ
a
+
γ
a
δ
=
a
+
α
a
β
¯ω
+
(¯ω − L
eq
)
−1
a

+
α
a
β

γ,δ
a
+
α
a
β

γ,δ
× {
ε
γ,δ
a
+
γ
a
δ
¯ω
+
L
ν
a
+
γ
a
δ

¯ω
+
L
eq
Q
0
(¯ω − L
eq
Q
0
)
−1
L
ν
a
+
γ
a
δ
¯ω
}.
(1.38)
Lấy trung bình hai vế (1.38), ta nhận được
(¯ω − L
eq
)
−1
a
+
α

a
β

γ,δ
=
a
+
α
a
β

γ,δ
¯ω
+
(¯ω − L
eq
)
−1
a
+
α
a
β

γ,δ
¯ω
(1.39)
{ε
γ,δ
+

L
ν
a
+
γ
a
δ

γ,δ
a
+
α
a
β

γ,δ
+
L
eq
Q
0
(¯ω − L
eq
Q
0
)
−1
L
ν
a

+
γ
a
δ

γ,δ
a
+
α
a
β

γ,δ
}.
22