Nghiệm chính xác và dáng điệu nghiệm của phương trình kuramoto sivashinsky

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

------

------

NGUYỄN THỊ PHƯỢNG

NGHIỆM CHÍNH XÁC VÀ DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA
PHƯƠNG TRÌNH KURAMOTO-SIVASHINSKY

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

------

------

NGUYỄN THỊ PHƯỢNG

NGHIỆM CHÍNH XÁC VÀ DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA
PHƯƠNG TRÌNH KURAMOTO-SIVASHINSKY

CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH
MÃ SỐ: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN ĐỨC

Nghệ An - 2015


1

MỤC LỤC
Trang
MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
LỜI NÓI ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Chương 1. Một số kiến thức bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Phương trình đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Chương 2. Nghiệm chính xác và dáng điệu nghiệm của phương
trình Kuramoto-Sivashinsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16
2.1 Nghiệm chính xác của phương trình Kuramoto-Sivashinsky . . . 16
2.2 Dáng điệu nghiệm của phương trình Kuramoto-Sivashinsky . . . 26
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31


2

LỜI NÓI ĐẦU

Phương trình Kuramoto-Sivashinsky
ut + uux + uxx + vuxxxx = 0

(1)

xuất hiện trong nhiều ứng dụng khác nhau của toán học. Nó là mô hình
của các hệ thống khuếch tán - đối lưu (reaction-diffusion systems), bài
toán dòng chảy của chất nhớt (viscous flow problems), sự truyền ánh sáng
(flame propagation) và các bài toán nghiên cứu về hiện tượng hỗn độn (turbulence phenomena) trong hóa học. Phương trình Kuramoto-Sivashinsky
được xem là mô hình đầu tiên của một hệ thống với sự hỗn loạn tự
phát sinh (’self-generated’ chaos) trong một lớp rộng lớn các phương trình
Burgers suy rộng.
Mặc dù có tính ứng dụng đa dạng, song phương trình KuramotoSivashinsky là một phương trình phi tuyến có độ phi tuyến "cao" nên
rất khó xử lý. Trên thực tế, cho đến nay các công trình khoa học viết về
phương trình này còn rất hạn chế.
Để tập dượt nghiên cứu cũng như để làm phong phú thêm các tài
liệu về phương trình Kuramoto-Sivashinsky, trên cơ sở tham khảo các
bài báo [2] và [3] chúng tôi lựa chọn đề tài cho luận văn của mình là:
"Nghiệm chính xác và dáng điệu nghiệm của phương trình
Kuramoto-Sivashinsky".
Mục đích chính của luận văn nhằm tìm hiểu về cách tìm nghiệm
chính xác, đánh giá ổn định nghiệm của bài toán ngược và dáng điệu


3

nghiệm khi t → −∞ của phương trình Kuramoto-Sivashinsky
(2)

ut + uux + uxx + vuxxxx = 0.

Với mục đích đó luận văn này được chia thành 2 chương:
Chương 1: Trình bày về các không gian Banach, không gian Hilbert,
lý thuyết chuỗi trong không gian Banach, phương trình đạo hàm riêng.
Chương 2: Trình bày cách tìm nghiệm chính xác của phương trình
Kuramoto-Sivashinsky, đề xuất và chứng minh một định lý về đánh giá ổn
định nghiệm cho phương trình Kuramoto-Sivashinsky ngược thời gian và
trình bày về dáng điệu nghiệm của phương trình Kuramoto-Sivashinsky.
Luận văn được thực hiện tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng
dẫn của thầy giáo, TS. Nguyễn Văn Đức. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc của mình đến Thầy. Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn
Ban chủ nhiệm phòng Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Sư Phạm Toán
học và cảm ơn các thầy, cô giáo trong bộ môn Giải tích, khoa Sư Phạm
Toán học đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian
học tập và hoàn thành đề cương, luận văn này. Cuối cùng, tác giả cảm ơn
gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt là các bạn trong lớp Cao học 21
Giải tích đã cộng tác, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình
học tập và nghiên cứu.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏi những
hạn chế, thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp
của các thầy, cô giáo và các bạn bè để luận văn được hoàn thiện hơn.
Nghệ An,tháng 6 năm 2015
Tác giả


4

CHƯƠNG 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ

Chương này trình bày một số kiến thức làm cơ sở cho việc trình bày
Chương 2. Các kiến thức trong chương này được chúng tôi tham khảo
trong các tài liệu [1] và [4].

1.1

Không gian Banach

Cho X là không gian tuyến tính thực.
1.1.1 Định nghĩa. Ánh xạ . : X → R được gọi là chuẩn nếu
(i) u

0, ∀u ∈ X ;

(ii) u = 0 ⇔ u = 0;
(iii) λu = |λ| u , ∀u ∈ X, λ ∈ R;
(iv) u + v

u + v , ∀u, v ∈ X .

Không gian tuyến tính trang bị chuẩn được gọi là không gian tuyến
tính định chuẩn. Không gian Banach X là không gian tuyến tính định
chuẩn đầy đủ.
1.1.2 Định lý. Ánh xạ chuẩn x → x là một hàm liên tục đều từ X
vào R.
1.1.3 Định lý. Giả sử X là một không gian định chuẩn. Khi đó, ánh
xạ (x, y) → x + y từ X × X vào X và (λ, x) → λx từ K × X vào X là
liên tục.
1.1.4 Định lý. Giả sử X là một không gian định chuẩn. Khi đó, ánh

5

xạ (x, y) → x + y từ X × X vào X và (λ, x) → λx từ K × X vào X là
liên tục.
1.1.5 Định lý. Giả sử X là một không gian định chuẩn. Khi đó, ánh
xạ (x, y) → x + y từ X × X vào X và (λ, x) → λx từ K × X vào X là
liên tục.
1.1.6 Định nghĩa. Một tập con A của một không gian định chuẩn X
được gọi là toàn vẹn nếu tập tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn của A
trù mật trong X . Ta nói rằng dãy {an } ⊂ X là toàn vẹn nếu tập tất cả
các phần tử của dãy là toàn vẹn.

1.2

Không gian Hilbert

Cho H là không gian tuyến tính thực.
1.2.1 Định nghĩa. 1. Ánh xạ ·, · : H × H → R được gọi là tích vô
hướng nếu
(i) u, v = v, u , ∀u, v ∈ H ;
(ii) Ánh xạ u → u, v là tuyến tính với mọi v ∈ H ;
(iii) u, u

0;

(iv) u, u = 0 ⇔ u = 0.
Không gian Hilbert là một không gian Banach với chuẩn được sinh ra
bởi một tích vô hướng.

2. Hai phần tử u, v ∈ H là trực giao nếu u, v = 0. Khi đó ta ký hiệu
u ⊥ v.

1.2.2 Định nghĩa. Một hệ trực giao trong không gian Hilbert H là
một tập con A các vectơ khác 0 của H sao cho hai vectơ khác nhau bất
kì của A đều trực giao với nhau.
1.2.3 Định nghĩa. Giả sử M là một tập con của không gian Hilbert
H . Vectơ x ∈ H được gọi là trực giao với M nếu x ⊥ y với mọi y ∈ M ,


6

trong trường hợp này ta kí hiệu x ⊥ M . Nếu N là tập con của E sao cho
x ⊥ M với mọi x ∈ N thì N gọi là trực giao với M và kí hiệu là N ⊥ M .

Rõ ràng N ⊥ M thì M ⊥ N .
Ta kí hiệu M ⊥ = {x ∈ H : x ⊥ M } và gọi nó là phần bù trực giao
của M .
1.2.4 Bổ đề. Một hệ trực giao trong không gian Hilbert là độc lập
tuyến tính.
Chứng minh. Giả sử A là một hệ trực giao và

n
i=1 αi ai

= 0 là một tổ

hợp tuyến tính bất kì các phần tử của A. Với mỗi j = 1, ..., n ta có
0=

αi ai , aj =

αi ai , aj = αj aj 2 . Vì aj > 0 nên αj = 0 với

j = 1, ..., n. Từ đó A độc lập tuyến tính.

1.2.5 Bổ đề. Nếu M là một tập con tùy ý của không gian Hilbert H
thì M ⊥ là một không gian con đóng của E .
Chứng minh. Giả sử x, y ∈ M ⊥ , α, β ∈ K. Với mọi a ∈ M , ta có
αx + βy|a = α x, a + β y, a = 0, vì vậy αx + βy ∈ M ⊥ và M ⊥

là không gian vectơ con của E . Để chứng minh M ⊥ đóng, ta lấy tùy ý
dãy xn ⊂ M ⊥ , xn → x ∈ E . Với mọi a ∈ M do tính liên tục của tích vô
hướng ta có xn , a → x, a . Bởi vì xn , a = 0 với mọi n nên x, a = 0
và x ∈ M ⊥ . Vậy M ⊥ đóng.
1.2.6 Định lý. Giả sử F là một không gian Hilbert con của không gian
Hilbert H . Khi đó với mọi x ∈ H tồn tại duy nhất y ∈ F (gọi là hình
chiếu trực giao của x trên F ) sao cho x − y = d(x, F ) = inf x − y .
y∈F

Chứng minh. Đặt α = d(x, F ). Lấy dãy xn ∈ F sao cho x − y → α.
Ta sẽ chứng minh yn là dãy Cauchy.Theo đẳng thức bình hành, áp dụng
cho cặp vectơ x − ym và x − yn ta có
ym − yn
ym − yn

2

2

+ x − yn 2 ), từ đó
2
1
2
+ x − yn ) − 4 x − (ym − yn ) . Bởi vì
2

+ 2x − (ym + yn )

= 2( x − ym

2

2

= 2( x − ym

2


7
2

1
1
(ym + yn ) ∈ F nên x − (ym + yn ) ≥ α2 . Với mọi ε > 0, tồn tại n0
2
2
2
2

sao cho x − yn ≤ α + ε với mọi n ≥ n0 . Do đó, với mọi m, n ≥ n0 ta

có ym − yn

2

≤ 2(α2 + ε + α2 + ε) − 4α2 = 4ε.

Vậy {yn } là dãy Cauchy trong F . Do F đầy đủ nên yn → y ∈ F và
x − y = d(x, F ).Để chứng minh tính duy nhất của y ta giả sử y cũng

có tính chất trên. Theo đẳng thức bình hành
2
1
2
2
y−y
= 4α − 4 x − (y − y ) .
2
1
2
Vì (y + y ) ∈ F nên từ đó suy ra y − y ≤ 0 tức là y = y .
2
Điểm y hình chiếu trực giao của x trên không gian con F thường được
kí hiệu là PF (x). Do tính duy nhất của y nên ta có ánh xạ PF : H → F ,
ánh xạ này gọi là phép chiếu trực giao H lên không gian con Hilbert F .
1.2.7 Định lý. Giả sử F là không gian con Hilbert của không gian
Hilbert H . Khi đó H = F ⊕ F ⊥ và phép chiếu trực giao PF : H → F
là ánh xạ tuyến tính, liên tục.
Chứng minh. Lấy tùy ý x ∈ H, x = 0. Đặt y = PF (x). Ta có x − y =

d(x, F ) = α. Ta sẽ chứng minh z = x − y ∈ F ⊥ . Với mọi v ∈ F và λ ∈ K

ta có y − λv ∈ F . Do đó :
α2 ≤
=

x − (y − λv)
z

2

2

= z + λv

2

= z + λv, z + λv

+ λ z, v + λ z, v + |λ|2 v

2

.

Vì z = α nên với mọi λ ∈ K : λ z, v + λ z, v + |λ|2 v

2

≥ 0. Lấy

λ = t z, v thì với mọi t ∈ K ta có : t| z, v |2 (2 + t v 2 ) ≥ 0.

Đến đây ta kết luận được z, v = 0 vì nếu z, v = 0 thì bất đẳng thức
2
cuối cùng không thể xảy ra khi t ∈ −
, 0 . Bởi vì z, v = 0 với mọi
v 2
v ∈ F nên z ∈ F ⊥ . Như vậy với mọi x ∈ H ta đều có
x = y + (x − y) = y + z ∈ F + F ⊥ . Chú ý rằng F ∩ F ⊥ = 0 nên H là

tổng trực tiếp đại số của F và F ⊥ .Bởi vì PF chính là phép chiếu H lên F


8

trong tổng trực tiếp đại số, do đó PF là ánh xạ tuyến tính. Để hoàn thành
chứng minh chỉ còn phải chỉ ra PF liên tục. Bởi vì PF (x) ⊥ (x − PF (x))
nên theo định lí Pythagore x

2

= PF (x)

2

+ x − PF (x) 2 .

Từ đó PF (x) ≤ x và vì vậy PF liên tục và có PF ≤ 1.
1.2.8 Định nghĩa. Một hệ trực giao A được gọi là hệ trực chuẩn nếu

x = 1 với mọi x ∈ A.
1
x : x ∈ A là hệ trực chuẩn.
x
Hệ B gọi là trực chuẩn hóa của hệ A. Nếu hệ A toàn vẹn thì hệ B toàn

Nếu A là hệ trực giao thì hệ B =

vẹn.
Một hệ trực chuẩn toàn vẹn của không gian Hilbert H được gọi là hệ
trực chuẩn đầy đủ hay là một cơ sở trực chuẩn của H .
1.2.9 Bổ đề. Giả sử {ei } là một dãy trực chuẩn trong không gian
Hilbert H . Khi đó, ta có
∞

| x, ei |2 ≤ x

a)

2

với mọi x ∈ H (Bất đẳng thức Bessel)

i=1

∞

b) Với mọi (λi ) ∈ l2 chuỗi

λi ei hội tụ trong H .

i=1

Chứng minh. a) Đặt x, ei = ci . Với mọi n ∈ N, ta có
2

n

0≤ x−

ci ei

n

=

n

x−

i=1

ci e i , x −
i=1

cj ej
j=1
n

n

=

x, x −

ci x, ei −
i=1
n

=

x

2

n

cj x, ej +
j=1

ci ci
i=1

|ci |2 .

−
i=1

n

Vì vậy

| x, ei |2 ≤ x 2 . Do n tùy ý nên ta có bất đẳng thức Bessel.

i=1

b) Vì không gian H đầy đủ nên ta chỉ cần chứng minh dãy các tổng
∞

n

riêng sn =

λi ei thỏa mãn tiêu chuẩn Cauchy. Vì chuỗi
i=1

i=1

|λi |2 hội tụ


9
n+p

|λi |2 < ε. Theo

nên mọi ε > 0 tồn tại n0 sao cho mọi n ≥ n0 , p ∈ N,
định lí Pythagore, sn+p − sn

2

i=n+1
n+p

2

n+p

=

λi ei

|λi |2 < ε.

=

i=n+1

i=n+1

Vậy ta có điều phải chứng minh.
1.2.10 Định lý. Giả sử không gian Hilbert H có một cơ sở trực chuẩn
đếm được {en }. Khi đó,
∞

x, ei ei với mọi x ∈ H (chuỗi Fourier).

a) x =
i=1

∞

x, ei y, ei với mọi x ∈ H, y ∈ H (Đẳng thức Parse-

b) x, y =
i=1

nal).
∞

Chứng minh. a) Theo Bổ đề 1.2.9 phần (a) chuỗi

| x, ei |2 hội tụ. Do

i=1

∞

(x|ei )ei ∈ H. Ta sẽ chứng minh

đó theo Bổ đề 1.2.9 phần (b) ta có y =
i=1

x = y . Thật vậy, với mọi j , ta có
∞

x − y, ei =

x−

= x, ej − x, ei = 0.

x, ei ei |ej
i=1

Do hệ {ej } đầy đủ nên x − y = 0 hay x = y .
b) Vì tích vô hướng liên tục nên theo a)
∞

x, y

=

∞

x, ei ei ,
i=1

y, ej ej
j=1

n

=

=

n

lim

n→∞

x, ei ei ,
i=1
n

lim

n→∞

y, ej ej
j=1
∞

x, ei y, ei =
i=1

x, ei y, ei .
i=1

1.2.11 Định lý. Nếu {en } là một dãy trực chuẩn trong không gian
Hilbert H thì các điều kiện sau đây là tương đương:


10

a) Dãy {en } đầy đủ;
∞

x, ei ei với mọi x ∈ H ;

b) x =
i=1

∞

x, ei y, ei với mọi x, y ∈ H ;

c) x, y =
d) x

2

i=1
∞

| x, ei |2 với mọi x ∈ H .

=
i=1

Chứng minh. Giả sử {an } là một dãy toàn vẹn, độc lập tuyến tính trong
E . Kí hiệu L là không gian các tổ hợp tuyến tính hữu hạn của tập {an }.

Gọi D là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn với hệ số hữu tỉ (ta
gọi số phức α + iβ là hữu tỉ nếu α và β là hữu tỉ). Ta đã biết D là đếm
được. Để chứng minh D là trù mật trong E ta chỉ cần chứng minh D trù
n

λi ai ∈ L. Khi đó, ta có

mật trong L.Lấy tùy ý x =
i=1

n

(λ1 a1 + ... + λn an ) − (r1 a1 + ... + rn an ) ≤

|λi − ri | ai .
i=1

ε
,
nM
ri ai . Ta có x ∈ D và x − y < ε.

Với mọi ε > 0, chọn các số hữu tỉ ri để |λi − ri | <
n

ở đây M = sup
1≤i≤n

ai . Đặt y =
i=1

Vậy D là trù mật trong L. Bây giờ giả sử E khả li. Giả sử D = {an } là
trù mật trong E . Lấy k1 là chỉ số nhỏ nhất để ak1 = 0. Giả sử đã chọn
được ak1 , ..., akn−1 , ta chọn akn bằng cách sau : kn là số nhỏ nhất lớn hơn
kn−1 sao cho akn không là tổ hợp tuyến tính của ak1 , ..., akn−1 . Ta nhận

được dãy {akn } gồm các phần tử độc lập tuyến tính trong E . Vì tổ hợp
tuyến tính của các phần tử này chứa D, nên dãy {an } là toàn vẹn.
1.2.12 Định lý. Trong một không gian Hilbert H vô hạn chiều, các
điều kiện sau đây là tương đương
a) H là khả li;
b) H có một dãy toàn vẹn độc lập tuyến tính;
c) H có một cơ sở trực chuẩn đếm được;


11

d) H đẳng cấu với l2 .

1.3

Phương trình đạo hàm riêng

Phương trình đạo hàm riêng là phương trình bao gồm một hàm chưa
biết của hai hoặc nhiều biến và các đạo hàm riêng của nó. Cố định một
số nguyên n ≥ 1 và lấy U là một tập con mở của Rn .
Kí hiệu |α| = α1 + ... + αn và
∂ α u(x)
D u(x) = α1
∂x1 ...∂xαnk
α

với x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ U .
1.3.1 Định nghĩa. Một biểu thức có dạng
F (Dk u(x), Dk−1 u(x), ..., Du(x), u(x), x) = 0 (x ∈ U ),

(1.1)

được gọi là một phương trình đạo hàm riêng bậc k , trong đó
k

F : Rn × Rn

k−1

× ... × Rn × R × U → R

đã được cho trước và
u:U →R

là hàm chưa biết.
1.3.2 Định nghĩa. (i) Phương trình đạo hàm riêng (1.1) được gọi là
tuyến tính nếu nó có dạng
aα (x)Dα u = f (x)
|α|≤k

với các hàm cho trước aα , (|α| ≤ k), f . Phương trình đạo hàm riêng tuyến
tính này là thuần nhất nếu f ≡ 0;


12

(ii) Phương trình đạo hàm riêng (1.1) được gọi là nửa tuyến tính nếu
nó có dạng
aα (x)Dα u + a0 (Dk−1 u, ..., Du, u, x) = 0.
|α|=k

(iii) Phương trình đạo hàm riêng (1.1) được gọi là tựa tuyến tính nếu
nó có dạng
aα (Dk−1 u, ..., Du, u, x)Dα u + a0 (Dk−1 u, ..., Du, u, x) = 0.
|α|=k

(iv) Phương trình đạo hàm riêng (1.1) được gọi là phi tuyến hoàn
toàn nếu nó phụ thuộc phi tuyến vào đạo hàm bậc cao nhất.
1.3.3 Định nghĩa. Một biểu thức có dạng
F (Dk u(x), Dk−1 u(x), ..., Du(x), u(x), x) = 0, (x ∈ U )

(1.2)

được gọi là một hệ phương trình đạo hàm riêng bậc k , trong đó
k

F : Rmn × Rmn

k−1

× ... × Rmn × Rm × U → Rm

đã được cho trước và
u : U → Rm , u = (u1 , ..., um )

là chưa biết.
Ví dụ sau đây trình bày một số phương trình quen thuộc trong phương
trình đạo hàm riêng.
1.3.4 Ví dụ. Lấy x ∈ U , trong đó U là một tập con mở của Rn , và
t ≥ 0. Đặt Du = Dx u = (ux1 , ..., uxn ) là građien của u đối với biến

x = (x1 , ..., xn ).

a. Phương trình tuyến tính.


13

1. Phương trình Laplace
n

∆u =

uxi xi = 0.
i=1

2. Phương trình Helmholtz (hay phương trình giá trị riêng)
−∆u = λu.

3. Phương trình vận tải tuyến tính
n

bi uxi = 0.

ut +
i=1

4. Phương trình Liouville
n

(bi u)xi = 0.

ut −
i=1

5. Phương trình nhiệt (hay phương trình khuếch tán)
ut − ∆u = 0.

6. Phương trình Schrõdinger
iut + ∆u = 0.

7. Phương trình Kolmogorov
n

n

bi uxi = 0.

ij

ut −

a uxi xj +
i=1

i,j=1

8. Phương trình Fokker-Planck
n

n

ij

ut −

(bi u)xi = 0.

(a u)xi xj −
i,j=1

i=1

9. Phương trình sóng
utt − ∆u = 0.


14

10. Phương trình điện báo
utt + dut − uxx = 0.

11. Phương trình sóng tổng quát
n

n
ij

utt −

bi uxi = 0.

a uxi xj +
i,j=1

i=1

12. Phương trình Airy
ut + uxxx = 0.

13. Phương trình chùm
ut + uxxxx = 0.

b. Phương trình phi tuyến.
1. Phương trình Eikonal
|Du| = 1.

2. Phương trình Poisson phi tuyến
−∆u = f (u).

3. Phương trình p-Laplace
div(|Du|p−2 Du) = 0.

4. Phương trình bề mặt cực tiểu
div

Du
(1 + |Du|2 )1/2

= 0.

5. Phương trình Monge-Ampère

det(D2 u) = f.

6. Phương trình Hamilton-Jacobi
ut + H(Du, x) = 0.


15

7. Định luật bảo toàn vô hướng
ut + div F (u) = 0.

8. Phương trình Burger không nhớt
ut + uux = 0.

9. Phương trình phản khuếch tán vô hướng
ut − ∆u = f (u).

10. Phương trình môi trường xốp
ut − ∆(uγ ) = 0.

11. Các phương trình sóng phi tuyến
utt − ∆u = f (u),
utt − div a(Du) = 0.

12. Phương trình Korteweg-deVries (KdV)
ut + uux + uxxx = 0.

c. Hệ tuyến tính.
Các phương trình Maxwell


Et = curlB
Bt = −curlE

divB = divE = 0.
b. Hệ phi tuyến.
Các phương trình Navier-Stokes không nén được, dòng chảy nhớt
ut + u.Du − ∆u = −Dp
divu = 0.


16

CHƯƠNG 2
NGHIỆM CHÍNH XÁC VÀ DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA
PHƯƠNG TRÌNH KURAMOTO-SIVASHINSKY

Trong phần này, đầu tiên chúng tôi trình bày cách tìm một nghiệm của
phương trình Kuramoto-Sivashinsky (KS)
ut + uux + uxx + vuxxxx = 0.

(2.1)

Cách tìm nghiệm của phương trình (2.1) được chúng tôi tham khảo trong
bài báo [2]. Sau đó, chúng tôi đề xuất và chứng minh một định lý nói về
kết quả đánh giá ổn định nghiệm cho bài toán ngược của phương trình
này với v = 1.

2.1

Nghiệm chính xác của phương trình KuramotoSivashinsky

Nghiệm của phương trình (2.1) được tìm dưới dạng
∂3
∂
(2.2)
u = 3 f (w) + c f (w) + d,
∂x
∂x
trong đó hàm u được biểu thị theo hàm f (w) của hàm w(x, t), viết tắt là
w, với f , w cũng như các hằng số c và d sẽ được xác định sau. Đánh giá

từng phần tử trong phương trình (2.1) bằng cách sử dụng (2.2), ta được
ut = cf ”(w)wt wx + f (4) (w)wt wx3 + cf (w)wtx
+ 3f (3) (w)wx2 wtx + 3f (3) (w)wt wx wxx
+ 3f ”(w)wtx wxx + 3f ”(w)wx wtxx
+ f ”(w)wt wxxx + f (w)wtxxx .

(2.3)


17

uux = cdf ”(w)wx2 + c2 f (w)f ”(w)wx3
+ df (4) (w)wx4 + cf ”(w)f (3) (w)wx5
+ cf (w)f (4) (w)wx5 + f (3) (w)f (4) (w)wx7
+ cdf (w)wxx + c2 f (w)2 wx wxx
+ 6df (3) (w)wx2 wxx + 3cf ”(w)2 wx3 wxx
+ 7cf (w)f (3) (w)wx3 wxx + 6f (3) (w)2 wx5 wxx
2
+ 3f ”(w)f (4) (w)wx5 wxx + 3df ”(w)wxx

2
2
+ 6cf (w)f ”(w)wx wxx
+ 21f ”(w)f (3) (w)wx3 wxx
3
+ 9f ”(w)2 wx wxx
+ 4df ”(w)wx wxxx

+ 5cf (w)f ”(w)wx2 wxxx + 4f ”(w)f (3) (w)wx4 wxxx
+ f (w)f (4) (w)wx4 wxxx + cf (w)2 wxx wxxx
+ 12f ”(w)2 wx2 wxx wxxx + 6f (w)f (3) (w)wx2 wxx wxxx
2
2
+ 3f (w)f ”(w)wxx
wxxx + 4f (w)f ”(w)wx wxxx

+ df (w)wxxxx + cf (w)2 wx wxxxx
+ f (w)f (3) (w)wx3 wxxxx
+ 3f (w)f ”(w)wx wxx wxxxx + f (w)2 wxxx wxxxx ,

(2.4)

uxx = cf 3 (w)wx3 + f (5) (w)wx5 + 3cf ”(w)wx wxx
2
+ 10f (4) (w)wx3 wxx + 15f (3) (w)wx wxx

+ cf (w)wxxx + 10f (3) (w)wx2 wxxx
+ 10f ”(w)wxx wxxx + 5f ”(w)wx wxxxx
+ f (w)wxxxxx ,

(2.5)


18

vuxxxx = cvf 5 (w)wx5 + vf (7) (w)wx7
+ 10cvf (4) (w)wx3 wxx + 21vf (6) (w)wx5 wxx
2
2
+ 15cvf (3) (w)wx wxx
+ 105vf (5) (w)wx3 wxx
3
+ 105vf (4) (w)wx wxx
+ 10cvf (3) (w)wx2 wxxx

+ 35vf (5) (w)wx4 wxxx + 10cvf ”(w)wxx wxxx
2
+ 210vf (4) (w)wx2 wxx wxxx + 105vf (3) (w)wxx
wxxx
2
+ 70vf (3) (w)wx wxxx
+ 5cvf ”(w)wx wxxxx

+ 35vf (4) (w)wx3 wxxxx + 105vf (3) (w)wx wxx wxxxx
+ 35vf ”(w)wxxx wxxxx + cvf (w)wxxxxx
+ 21vf (3) (w)wx2 wxxxxx + 21vf ”(w)wxx wxxxxx
+ 7vf ”(w)wx wxxxxxx + vf (w)wxxxxxxx .

(2.6)

Thay (2.3)–(2.6) vào (2.1), đồng nhất các số hạng tương ứng ta thu được
phương trình vi phân thường
f (3) (w)f (4) (w) + vf (7) (w) = 0.

(2.7)

Phương trình này có nghiệm là
f = 60v ln w.

(2.8)

Tiếp theo thay thế
f f (2) = −30vf (3)

f f (3) = −20vf (4)

f f (4) = −15vf (5)

f ”f (3) = −5vf (5)

f ”f (4) = −3vf (6)

(f )2 = −60vf ”

(f ”)2 = −10vf (4)

(f (3) )2 = −2vf (6) .

(2.9)

vào phương trình đã đạt được do thay (2.3)-(2.6) vào (2.1), ta đạt được
(1 − 19cv)wx5 = 0,

(2.10)


19
3
dwx4 + 15vwx wxx
− 30vwx2 wxx wxxx + wt wx3 + 10wx3 wxx

− 160cvwx3 wxx + 15vwx3 wxxxx = 0,

(2.11)

2
2
(c − 30c2 v)wx3 + 15vwxx
wxxx + 3wt wx wxx + 15wx wxx
2
2
− 165cvwx wxx
− 50vwx wxxx
+ 15vwx wxx wxxxx + 3wtx wx2

+ 6dwx2 wxx + 10wx2 wxxx − 140cvwx2 wxxx + 21vwx2 wxxxxx = 0,

(2.12)

2

cdwx2 + 3wtx wxx + 3dwxx
+ wt wxxx + 10wxx wxxx

− 50cvwxx wxxx − 25vwxxx wxxxx + 21vwxx wxxxxx cwt wx
+ 3cwx wxx − 60c2 vwx wxx + 3wx wtxx + 4dwx wxxx
+ 5wx wxxxx − 55cvwx wxxxx + 7vwx wxxxxxx = 0,

(2.13)

cwtx + cdwxx + cwxxx + wtxxx + dwxxxx
+ wxxxxx + cvwxxxxx + vwxxxxxxx = 0,

(2.14)

Ta tìm w có dạng
w(x, t) = µ + eαx+βt+γ ,

(2.15)

trong đó α, β, γ được xác định như sau đây và µ là một hằng số tùy ý.
Thay thế cho w trong mỗi phương trình (2.10)-(2.14) và rút gọn, ta thu
được tương ứng
1 − 19cv = 0,

(2.16)

β + αd + α2 (10 − 160cv) = 0,

(2.17)

6β + c + 6αd + α4 v − 30c2 v + α2 (25 − 305cv) = 0,

(2.18)

βc+cdα+(7β +3c−60c2 v)α2 +7dα3 +(15−105cv)α4 +3vα6 = 0, (2.19)
(α2 + c)(α2 + β + αd + α4 v) = 0,

(2.20)

Giải hệ phương trình đại số được cho bởi (2.16)–(2.20), ta được nghiệm:
1
,
19v
−330
β=
∓
361v

c=

α=±
3971
d,
6859v

11
,
19v

(2.21)

20

với d tùy ý.
Với w được xác định như trong (2.15) thỏa mãn (2.10)–(2.14) và f (w)
được cho bởi (2.8) thỏa mãn (2.7) thì u được cho bởi (2.2) là một nghiệm
của (2.1). Từ (2.2) và (2.8) ta thu được nghiệm của phương trình KS như
sau:
30
u=−
19

11
19v

φ
φ
tanh + 1 × 12 − 11 tanh + 1
2
2

2

+ d (2.22)

trong đó
φ=±

11

x−
19v

330
±
361v

3971
d t+γ
6859v

(2.23)

với γ là tùy ý và µ trong phương trình (2.15) được lấy bằng phần tử đơn
vị để thuận tiện cho tính toán.
Tiếp theo, chúng tôi đề xuất và chứng minh kết quả đánh giá ổn định
nghiệm cho bài toán ngược của phương trình (2.1) với v = 1.
Cho L, T là các số dương. Kí hiệu D = {(x, t) : 0 < x < L, 0 < x < T }.
2.1.1 Định lý. Giả sử u1 (x, t) và u2 (x, t) là các nghiệm của phương
trình
ut + uxxxx + uxx + uux = f (x, t),
u(0, t) = u(L, t) = 0,
ux (0, t) = h1 (t),

0

t

(x, t) ∈ D,

(2.25)

T,

ux (L, t) = h2 (t),

(2.24)

0

t

T,

(2.26)

trong đó h1 (t), h2 (t) và f (x, t) là các hàm trơn.
Nếu u1 (x, t) và u2 (x, t) thỏa mãn điều kiện
max |uix |

E, i = 1, 2,

(2.27)

(x,t)∈D

và u1 (·, T ) − u2 (·, T )
u1 (·, t) − u2 (·, t)

L2 (0,L)

L2 (0,L)

δ , thì
k(t)δ µ(t) E 1−µ(t) , ∀t ∈ [0, T ],

(2.28)


21

trong đó
√
k(t) = 2 L exp

3E(T + t) C1 (t − T µ(t))
+
2
2C
39
C1 = 4L2 +
E2
4

1
C = L2 E 2 ,
2

,

và

eCt − 1
µ(t) = CT
, ∀t ∈ [0, T ].
e −1
·

Chứng minh. Để đơn giản, ta ký hiệu

(2.29)

thay cho

·

L2 (0,L) .

Đặt

z = u1 − u2 . Từ (2.24)–(2.26) ta có
zt + zxxxx + zxx + u1 zx + u2x z = 0, (x, t) ∈ D,
z(0, t) = z(L, t) = zx (0, t) = zx (L, t) = 0, 0 t

T.

(2.30)

Giả sử rằng z(·, t) > 0, ∀t ∈ [0, T ]. Ký hiệu
L
2
0 (2u2x − u1x )z dx

,
L 2
0 z dx

1
g(t) =
2

t ∈ [0, T ].

Chú ý rằng giả thiết (2.27) kéo theo
3
E, ∀t ∈ [0, T ].
2

|g(t)|

Đặt v(x, t) = z(x, t) exp −

t
0 g(s)ds

(2.31)

. Khi đó

vt + vxxxx + vxx + u1 vx + u2x vx + gv = 0, (x, t) ∈ D,
v(0, t) = v(L, t) = vx (0, t) = vx (L, t) = 0, t ∈ [0, T ].

Đặt h(t) = v(·, t)

2

=

L 2
0 v dx,

L

∀t ∈ [0, T ]. Ta có

L

vvt dx = −2

h (t) = 2

(2.32)

0

v (vxxxx + vxx + u1 vx + u2x 2vx + gv) dx
0

L
2
vxx
dx

= −2
0
L

L

vx2 dx +

+2
0

L
2

v 2 dx.

(u1x − 2u2x ) v dx + 2g
0

0

(2.33)


22

Mặt khác,
L
2
L

0 (2u2x − u1x )z dx
z 2 exp
L 2
0
0 z dx
L
(2u2x − u1x )v 2 dx.
0

L
2

2g

v dx =
0

=

t

−2

g(s)ds dx
0

(2.34)

Từ (2.33) và (2.34), ta có
L

L
2
vxx
dx + 2

h (t) = −2

vx2 dx.

0

(2.35)

0

Đặt φ = u1 vx + u2x v − gv , ta đạt được
L

h = −4

L

vxx vxxt dx + 4
0

vx vxt dx
0

L

= −4

(vxxxx + vxx )vt dx
0
L

(vxxxx + vxx )(vxxxx + vxx + φ)dx

=4
0
L

2

1
vxxxx + vxx + φ
2

=4
0

L

φ2 dx,

dx −

(2.36)

0

và
L

L

1
u2x − u1x v 2 dx − g
2

vφdx =
0

0

L

v 2 dx.

(2.37)

0

Từ (2.34) và (2.37), ta có
L

vφdx = 0.
0

Mặt khác,
L

L
2
vxx
dx + 2

h = −2
0

vx2 dx
0

L

= −2

(vxxxx + vxx )vdx
0
L

=2
0

1
vxxxx + vxx + φ vdx.
2

(2.38)

23

Từ (2.36) và (2.38) ta có
L

2

1
vxxxx + vxx + φ
2

2

h h − (h ) = 4
0
L

L

dx −

1
vxxxx + vxx + φ vdx
2

−4
0

L
2

v 2 dx

φ dx
0
2

0

(2.39)

.

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có
L

L

1
vxxxx + vxx + φ
2

2

v dx
0

0

L

2

dx

1
vxxxx + vxx + φ vdx
2

−
0

2

0.

(2.40)

Từ (2.39) và (2.40), ta đạt được
L
2

h h − (h )

L
2

−

v 2 dx.

φ dx
0

(2.41)

0

Hơn nữa,
L

L
2

φ dx =

(u1 vx + u2x v − gv)2 dx

0

0

L

u21 vx2 + u22x v 2 + g 2 v 2 dx

3
0
L

27
3E + E 2
4

u21 vx2 dx +

3
0
L

u21 vx2 dx +

=3
0

L

2

39 2
E
4

v 2 dx
0

L

v 2 dx.

(2.42)

0

Mặt khác,
2

x

u21 (x, t)

=

u1s (s, t)ds
0

x

u1s (s, t)2 ds

x
0
2

L E 2.

(2.43)