Định lý điểm bất động kanan cho các ánh xạ co trong khoogn gian meetric suy rộng và không gian meetric nón suy rộng

❇é ●✐➳♦ ❞ô❝ ✈➭ ➜➭♦ t➵♦

❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❱✐♥❤

▲➟ ❚❤Þ ❱✐Öt

➜Þ♥❤ ❧ý ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❑❛♥❛♥ ❝ñ❛ ❝➳❝ ➳♥❤
①➵ ❝♦ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ s✉② ré♥❣
✈➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ ♥ã♥ s✉② ré♥❣
▲✉❐♥ ✈➝♥ ❚❤➵❝ sü ❚♦➳♥ ❤ä❝

◆❣❤Ö ❆♥ ✲ ✷✵✶✺


❇é ●✐➳♦ ❞ô❝ ✈➭ ➜➭♦ t➵♦

❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❱✐♥❤

▲➟ ❚❤Þ ❱✐Öt

➜Þ♥❤ ❧ý ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❑❛♥❛♥ ❝❤♦ ❝➳❝ ➳♥❤
①➵ ❝♦ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ s✉② ré♥❣
✈➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ ♥ã♥ s✉② ré♥❣
▲✉❐♥ ✈➝♥ ❚❤➵❝ sü ❚♦➳♥ ❤ä❝
❈❤✉②➟♥ ♥❣➭♥❤✿

❚♦➳♥ ●✐➯✐ tÝ❝❤

▼➲ sè✿ ✻✵✳✹✻✳✵✶✳✵✷

❈➳♥ ❜é ❤➢í♥❣ ❞➱♥ ❦❤♦❛ ❤ä❝

P●❙✳ ❚❙✳ ❚r➬♥ ❱➝♥ ➣♥

◆❣❤Ö ❆♥ ✲ ✷✵✶✺


▼ô❝ ▲ô❝

❚r❛♥❣
▼ô❝ ❧ô❝

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷

▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉

❈❤➢➡♥❣ ■✳

➜Þ♥❤ ❧ý ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❑❛♥❛♥ ❝❤♦ ❝➳❝ ➳♥❤ ①➵ ❝♦ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣

❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ s✉② ré♥❣

✺

✶✳✶✳ ❈➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❝➡ ❜➯♥

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺

✶✳✷✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❑❛♥❛♥ ❝❤♦ ❝➳❝ ➳♥❤ ①➵ ❝♦ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥
♠➟tr✐❝ s✉② ré♥❣
❈❤➢➡♥❣ ■■✳

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✾

➜Þ♥❤ ❧ý ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❑❛♥❛♥ ❝❤♦ ❝➳❝ ➳♥❤ ①➵ ❝♦ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣

❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ ♥ã♥ s✉② ré♥❣

✷✷

✷✳✶✳ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ ♥ã♥ s✉② ré♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✷

✷✳✷✳ ▼ë ré♥❣ ➤Þ♥❤ ❧ý ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❑❛♥❛♥ ❝❤♦ ❝➳❝ ➳♥❤ ①➵ ❝♦ tr♦♥❣
❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ ♥ã♥ s✉② ré♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✼

❑Õt ❧✉❐♥

✸✸

❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦

✸✹

✶


ờ ó
ý tết ể t ộ ột tr ữ ủ ề ứ q
trọ ủ tí ó ó ề ứ ụ tr t ọ ỹ
tt ết q q trọ t ể ế tr ý tết ể t
ộ ý tr tr ủ ủ ợ
ứ ớ ột ì ề ớ ứ ể
t ộ ờ t ò t r ệ tì ể t ộ ủ ột
ề ó ề ứ ụ tr tí t ý tết trì
trì r trì tí ờ t
tì ở rộ ý ề ề

ệt t ớ ở rộ tr
r ệ ề tr ó
t ổ t số tự tr ị ĩ tr ở ột ó ị ớ
tr ị t ũ ự ệ ề
sự ộ tụ ủ tí ủ ủ ị ý ể t ộ ố ớ
t ợ ữ ết q s s tr ớ ồ
tờ ũ t ợ ột số ứ ụ ủ ớ tr ó tr
tí tế tố ét ệ ứ trú ủ
tr ó t út sự q t ủ ột số t ọ tr
ớ
rs ớ tệ ệ tr

s rộ t tế t tứ t ủ ột tr ó ở
t tứ ì ữ t t tì ở rộ ị ý
ể t ộ ủ tr ớ tr ó s rộ
ể t ợt ứ ọ ú t tế ớ ứ
tì ể ết q ề ị ý ể t ộ
tr tr s rộ tr ó s rộ r
sở t ệ t ớ sự ớ ủ P r
ú t tự ệ ề t



ị ý ể t ộ tr
tr s rộ tr ó s rộ
ụ í ủ ứ ị ý ề ể t ộ
ủ tr tr s rộ ị ý ể t ộ
ủ tr tr ó s rộ ứ tết
ệ ề ị ý ệ q tr t ệ t ứ
ứ ò tt r ứ ột ét ết q
ớ ề ể t ộ ủ tr tr ó s
rộ
ớ ề

ị ý ể t ộ

tr tr s rộ

r ụ ú t ớ

tệ q ột số ế tứ sở ệ trì ủ ồ
ộ tr tr s rộ

tr s rộ ủ

T qỹ ủ ỗ d

rì ột số ị ý ề ể t ộ ủ tự
tr tr ù trì ề s ụ
ú t trì ột số ị ý ể t ộ ủ ở rộ ủ
ú tr tr r rộ ứ tết ề ị ý
ó r ò trì ệ q í ụ ọ
ớ ề

ị ý ể t ộ

tr tr ó s rộ

r ụ ú t

ớ tệ q ột số ế tứ sở ệ trì ộ
ồ ệ ó ó t ó í q ố q ệ ữ
ó t ó í q tr ó tr
ó s rộ tí t ủ tr ó tí t ủ
tr ó s rộ ụ ú t tì ở rộ ột số
ị ý ể t ộ tr tr ó
s rộ ứ tết ề ết q ó trì ột số í ụ
ọ
ợ t t rờ ọ ớ sự ớ

❞➱♥ t❐♥ t×♥❤ ❝❤✉ ➤➳♦ ❝ñ❛ t❤➬② ❣✐➳♦ P●❙✳❚❙✳ ❚r➬♥ ❱➝♥ ➣♥✱ t➳❝ ❣✐➯ ①✐♥ ❜➭② tá
sù ❜✐Õt ➡♥ s➞✉ s➽❝ tí✐ ❚❤➬②✳ ◆❤➞♥ ❞Þ♣ ♥➭② ❡♠ ①✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➳♠ ➡♥ ❇❛♥ ❝❤ñ
♥❤✐Ö♠ ❦❤♦❛ ❙➢ ♣❤➵♠ ❚♦➳♥ ❤ä❝✱ P❤ß♥❣ ➤➭♦ t➵♦ ❙❛✉ ➤➵✐ ❤ä❝✱ q✉ý t❤➬②✱ ❝➠ ❣✐➳♦
tr♦♥❣ tæ ●✐➯✐ ❚Ý❝❤ ❦❤♦❛ ❙➢ ♣❤➵♠ ❚♦➳♥ ❤ä❝✱ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❱✐♥❤ ➤➲ t❐♥ t×♥❤
❣✐ó♣ ➤ì ❡♠ tr♦♥❣ q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝ t❐♣ ✈➭ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳ ❈✉è✐ ❝ï♥❣ t➠✐ ①✐♥
❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➳♠ ➡♥ ❇❛♥ ❣✐➳♠ ❤✐Ö✉ tr➢ê♥❣ ❚❍❈❙ ❍♦➺♥❣ P❤♦♥❣✱ ❍♦➺♥❣ ❍ã❛✱
tØ♥❤ ❚❤❛♥❤ ❍ã❛✱ ❝➳❝ ❜➵♥ ❤ä❝ ✈✐➟♥ ❝❛♦ ❤ä❝ ❦❤♦➳ ✷✶ ●✐➯✐ ❚Ý❝❤ t➵✐ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐
❤ä❝ ❱✐♥❤ ✈➭ ❣✐❛ ➤×♥❤✱ ➤å♥❣ ♥❣❤✐Ö♣ ➤➲ t➵♦ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ t❤✉❐♥ ❧î✐ ♥❤✃t ➤Ó ❣✐ó♣
t➠✐ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ tèt ♥❤✐Ö♠ ✈ô tr♦♥❣ q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝ t❐♣✳
▼➷❝ ❞ï ➤➲ tÝ❝❤ ❝ù❝ ➤➬✉ t➢ ✈➭ ❝ã ♥❤✐Ò✉ ❝è ❣➽♥❣ tr♦♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉✱ t❤ù❝
❤✐Ö♥ ➤Ò t➭✐✱ s♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❦❤➠♥❣ tr➳♥❤ ❦❤á✐ ♥❤÷♥❣ s❛✐ sãt✳ ❚➳❝ ❣✐➯ ♠♦♥❣
♥❤❐♥ ➤➢î❝ ♥❤÷♥❣ ý ❦✐Õ♥ ➤ã♥❣ ❣ã♣ ❝ñ❛ q✉ý ❚❤➬②✱ ❈➠ ✈➭ ❜➵♥ ➤ä❝ ➤Ó ❧✉❐♥ ✈➝♥
➤➢î❝ ❤♦➭♥ t❤✐Ö♥✳

❱✐♥❤✱ ♥❣➭② ✸✵ t❤➳♥❣ ✽ ♥➝♠ ✷✵✶✺

▲➟ ❚❤Þ ❱✐Öt

✹




ị ý ể t ộ
tr
tr s rộ
ệ

P ú t ớ tệ ế tứ sở ệ trì
ị ý ề ể t ộ ủ tr
tr ủ



ị ĩ

tr

tr

T qỹ ủ

t ợ

X d : X ì X R ợ ọ ột

X ế tỏ ề ệ



d(x, y) 0 ớ ọ x, y X d(x, y) = 0 ế ỉ ế x = y



d(x, y) = d(y, x) ớ ọ x, y X

d(x, y) d(x, z) + d(z, y) ớ ọ x, y, z X



X ù ớ ột tr d tr ó ợ ọ ột

í ệ

tr

(X, d) X ố d (x, y) ọ từ ể x

ế ể y



ị ĩ

tr

(X, d) (Y, )



f : (X, d) (Y, ) ợ ọ ế tồ t [0, 1) s
[f (x) , f (y)] d (x, y) ,



ị ý

ủ
ể

ý

f :X X

x X

từ

s

X

ớ ọ

sử

x, y X.

(X, d) tr

í ó ó tồ t t

f (x ) = x

ể

x X ó tí t f (x ) = x ợ ọ ể

t ộ

ủ

f
ở rộ ý P tt r t t
ợ ết q s



ị ý





(X, d) ột tr ủ T : X X

ột tự tỏ t tứ

(d (T x, T y)) (d (x, y)) (d (x, y))
tr ó

, : [0, +) [0, +)

ị ĩ

s ớ ọ

x, y X,

tụ ệ

(t) = (t) = 0 ế ỉ ế t ó T



ớ ọ

t ợ

ó ột ể t ộ t

X = d : X ì X [0, +) ột

x, y X ớ ọ ể ệt u, v X \ {x, y} t

ó


d(x, y) = 0 ế ỉ ế x = y



d(x, y) = d(y, x)

d(x, y) d(x, u) + d(u, v) + d(v, y)

ó

(X, d) ợ ọ ột tr s rộ

ề ệ ợ ọ t tứ tứ



ét

sử

(X, d) ột tr s rộ ớ

x X > 0 t ý ệ B(x, ) = {y X : d(x, y) < } ó ọ B = {B(x, r) :
x X, r > 0} t ột sở ủ ột t d tr X
ớ t ỳ


{an } X s an a n t ó d(an , y) d(a, y)

d(x, an ) d(x, a) n

í ụ



(X, d) ột tr ó ễ t r ì d

ột tr ề ệ ủ tr s rộ ợ
tỏ ờ ớ t ỳ

x, y X t ỳ ể ệt z, w X

s ỗ ể ó ề

x y d tr ụ t

tứ t t ó

d(x, y) d(x, z) + d(z, y) d(x, z) + d(z, w) + d(w, y),
ĩ ề ệ ủ tr s rộ ợ tỏ

(X, d) ột tr s rộ



í ụ

ét

X = R số X s = 0 ị d :

X ì X R ở tứ



0 ế x = y,
d(x, y) =

3 ế x, y {1, 2} x = y,


ế x, y ồ tờ tộ{1, 2} x = y.

ó ễ tử t r


(X, d) ột tr s rộ

(X, d) tr ì t ó
d(1, 2) = 3 > + = d(1, 3) + d(3, 2).



ị ĩ



{xn } X ợ ọ

s ớ ọ

ộ tụ

(X, d) ột tr s rộ

ề ể

x X ế ớ ọ > 0 tồ t n0 N

n n0 t ó d (xn , x) < ú ó t í ệ lim xn = x
n+

xn x n +



ị ĩ

(X, d) ột tr s rộ

{xn } X ó r {xn }
tr s rộ



d

tr

(X, d) ế ớ ọ > 0 tồ t n N s ớ ọ

n > m n t ó d(xn , xm ) <



ủ

ị ĩ

tr s rộ

ế ọ tr

(X, d) ợ ọ

(X, d) ề ộ tụ tr ó









ị ĩ

(X, d) ột tr s rộ

T : X X ột từ X í ó ớ ỗ số n N t í ệ
O(x, n) = {x, T x, . . . , T n x} ợ O(x, ) = {x, T x, . . . , T n x, . . .} ợ ọ
qỹ ủ

T

t

x

tr s rộ


X ợ ọ T qỹ ủ ế ỗ

{xn } X {xn } O(x, ) ớ x X tì xn z X

õ r ột tr s rộ ủ t ỳ ột

T qỹ ủ ề ợ ú



ị ý

(X, d) ột tr T : X X

ột

s

(T x, T y) q(x, y),
tr ó

q [0, 1)

ế

X

t ộ t tr



X



ớ ọ

T qỹ

x, y X,

ủ tì

T

ó ột ể


✶✳✷

➜Þ♥❤ ❧ý ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❑❛♥❛♥ ❝❤♦ ❝➳❝ ➳♥❤ ①➵ ❝♦ tr♦♥❣
❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ s✉② ré♥❣

✶✳✷✳✶

❇æ ➤Ò✳

✭❬✾❪✮

❈❤♦

(X, d) ❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ s✉② ré♥❣✱ xi ∈ X, xi−1 =

xi , 1 ≤ i ≤ n, n ≥ 3, x0 = x, xn = y ✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ❤♦➷❝
n

d(x, y) ≤

d(xi−1 , xi ),
i=1

❤♦➷❝

n−2

d(x, y) ≤

d(xi−1 , xi ) + d(xn−2 , y).
i=1

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

q✉② ♥➵♣ t❤❡♦

❇➺♥❣ ❝➳❝❤ sö ❞ô♥❣ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❤×♥❤ ❝❤÷ ♥❤❐t✱ ♥❤ê ♣❤Ð♣

k ✱ ✈í✐ ♠ä✐ k ∈ N ✈➭ ✈í✐ ♠ä✐ ti ∈ X, 0 ≤ i ≤ 2k + 3 ✈í✐ ti = ti+1 ✱ t❛

❝ã

n−2

d(t0 , t2k+3 ) ≤

d(ti−1 , ti )

✭✶✳✶✮

i=1

❇➞② ❣✐ê ❝❤♦

xi ∈ X, xi−1 = xi ✈➭ ✈í✐ ♠ä✐ i = 1, . . . , n, n ≥ 3, x0 = x, xn = y. ◆Õ✉

n − 3 ❧➭ sè ❝❤➼♥✱ t❤× tå♥ t➵✐ k ∈ N s❛♦ ❝❤♦ n = 2k + 3✳ ❉♦ ➤ã✱ ♥❤ê ✭✶✳✶✮ t❛ ❝ã
n

d(x, y) ≤

d(xi−1 , xi )
i=1

◆Õ✉

n − 3 ❧➭ sè ❧❰ t❤× tå♥ t➵✐ k ∈ N s❛♦ ❝❤♦ n − 1 = 2k + 3✳ ❱× t❤Õ ♥❤ê ✭✶✳✶✮ t❛ ❝ã
n−2

d(x, y) ≤

d(xi−1 , xi ) + d(xn−2 , y).
i=1

✶✳✷✳✷

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳

➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭

❈❤♦ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ s✉② ré♥❣

➳♥❤ ①➵ ❝♦

♥Õ✉ tå♥ t➵✐

(X, d)✳ ➳♥❤ ①➵ f : X → X

α ∈ [0, 1) s❛♦ ❝❤♦

d[f (x) , f (y)] ≤ αd (x, y) ,

✈í✐ ♠ä✐

x, y ∈ X.

❑Õt q✉➯ s❛✉ ➤➞② ❝❤Ø r❛ r➺♥❣ ◆❣✉②➟♥ ❧ý ➳♥❤ ①➵ ❝♦ ❇❛♥❛❝❤ ✈➱♥ ❝ß♥ ➤ó♥❣
❝❤♦ tr➢ê♥❣ ❤î♣ ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ s✉② ré♥❣✳

✾


ị ý



XX



(X, d)

ột tr s rộ ủ

ột ó

ứ

T

ể t ỳ

ó ột ể t ộ t tr

T :

X

x X t x0 = x, x1 = T x0 x2 = T x1 , x3 =

T x2 , . . . , xn = T xn1 , . . . t ó tể ự ợ ột
ể tr


X s xn+1 = T xn = T n+1 x, n = 0, 1, ... ế tồ t n0 N s

xn0 +1 = xn0 tì t ó T xn0 = xn0 xn0 ể t ộ ủ T ì tế

t tí tổ qt t ó tể tết r


xn = xn+1 ớ ọ n N

T ớ ỗ n N t ó

d(xn , xn+1 ) = d(T xn1 , T xn ) d(xn1 , xn ) 2 d(xn2 , xn1 ) ã ã ã n d(x, x1 ),
ớ

[0, 1) ó t ổ ề ớ ọ m n + 3 t ó
d(T n x, T m x) d(T n x, T n+1 x) + d(T n+1 x, T n+2 x) + ... + d(T m1 x, T m x),



d(T n x, T m x) d(T n x, T n+1 x) + d(T n+1 x, T n+2 x)
+ ... + d(T m3 x, T m2 x) + d(T m2 x, T m x).
r
m1

d(T n x, T m x)

k d(x, x1 )



k=n


m3
n

k d(x, x1 ) + d(T m2 x, T m x)

m

d(T x, T x)
k=n
m3

k d(x, x1 ) + m2 d(x, x2 ).





k=n

ừ ớ

m n + 3 t ó
m2
n

m

k M,

d(T x, T x)



k=n

tr ó

M = max{d(x, x1 ), d(x, x2 )} ì từ t ó
m1
n

m

k .M

d(T x, T x)
k=n






ớ ọ

m, n N, m n + 3. ì [0, 1) từ t s r {xn } ột

ì


X tr s rộ ủ tồ t u X s

xn u n T ờ ét t s r T

tụ ì tế t ó

u = lim xn = lim T xn1 = T u.
n

ó

n

u ột ể t ộ ủ T

ể ứ tí t t sử r tồ t
ột ể t ộ ủ

w X s w ũ

T ó ì T t ó

d(w, u) = d(T w, T u) d(w, u).
ì

0 < 1 từ t tứ ố ù t s r d(w, u) = 0 w = u
tự t ũ ứ ợ ết q s



ị ý

(X, d)

ột tr s rộ

ột ó ế tồ t

xX

ổ ề

XX



sử

(X, d)

ớ ọ

x, y X.



n N t ó
n

d(T x, T
ớ ọ

T :

(0, 12 ) ó t ó

d(T x, T y) [d(x, T x) + d(y, T y)],
ó ớ ỗ

O(x) qỹ ủ tì T

ột tr s rộ

s ớ ột số



X

ó ột ể t ộ t tr



s

T :X X

n+1


1

x)

n

d(x, T x).



x X

ứ

ứ t tứ tr q ớ

n = 1 từ t y = T x t ó
d(T x, T 2 x) [d(x, T x) + d(T x, T 2 x)].
ừ ó s r

d(T x, T 2 x)


d(x, T x).
1




ờ sử ú ớ
n

d(T x, T

n ĩ
n+1

n


1

x)

d(x, T x).

sẽ ứ r t tứ ú ớ
t



n + 1 t từ

x ở T n x y ở T n+1 x t t ợ
d(T n+1 x, T n+2 x) d(T n x, T n+1 x) + (T n+1 x, T n+2 x).

ừ s r


d(T n x, T n+1 x).
1

d(T n+1 x, T n+2 x)
ử ụ t ợ

d(T

n+1

x, T

n+2


x)
d(T n x, T n+1 x)
1


1

n+1

d(x, T x).

ổ ề ợ ứ

ị ý



X

(X, d) ột tr s rộ T : X

s ớ số

(0, 12 ) ó t ó

d(T x, T y) [d(x, T x) + d(y, T y)],
ế

X

tr



x, y X.



ó ột ể t ộ t

X

ứ



T qỹ ủ tì T

ớ ọ

ứ ứ sử ợ r

T ó ể t ộ tr X ó ớ t ỳ x X t ét



{T n x} ó ớ t ỳ m, n N m = n t ó T m x = T n x t

ế tồ t
t s r

x X số m, n N m = n m > n s T m x = T n x tì

T mn (T n x) = T n x ĩ t ó T k y = y ớ y = T n x k = m n

ó ờ ổ ề t ó
k

d(y, T y) = d(T y, T
ì

0 <


1

k+1

y)


1

k

d(y, T y).

< 1 từ t tứ ố t t ợ d(y, T y) = 0 r

T y = y ề t ớ tết ứ T ó ể t
ộ



❇➞② ❣✐ê t❛ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❤➭♠

ρ(x, y) =

ρ : X × X → R ❝❤♦ ❜ë✐ ❝➠♥❣ t❤ø❝
d(x, T x) + d(y, T y) ♥Õ✉ x = y,
♥Õ✉

0

x = y.

❚õ ❣✐➯ t❤✐Õt d ❧➭ ♠➟tr✐❝ s✉② ré♥❣ ✈➭ T ❦❤➠♥❣ ❝ã ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ♥➭♦ ❝➯ tr♦♥❣

X ✱ t❛ s✉② r❛ ρ(x, y) ≥ 0 ✈í✐ ♠ä✐ x, y ∈ X ✱ ρ(x, y) = 0 ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ x = y ✈➭
ρ(x, y) = ρ(y, x) ✈í✐ ♠ä✐ x, y ∈ X ✳ ▲➵✐ ✈×
ρ(x, y) = d(x, T x) + d(y, T y)
≤ d(x, T x) + 2d(z, T z) + d(y, T y) = ρ(x, z) + ρ(z, y),
✈í✐ ♠ä✐

x, y ∈ X ♠➭ x = y ✳ ❱× t❤Õ ρ ❧➭ ♠ét ♠➟tr✐❝ tr➟♥ X ✳

▼➷t ❦❤➳❝✱ ✈í✐ ❜✃t ❦ú

x, y ∈ X ✱ t❛ ❝ã

ρ(T x, T y) = d(T x, T 2 x) + d(T y, T 2 y)
≤ β[d(x, T x) + d(T x, T 2 x)] + β[d(y, T y) + d(T y, T 2 y)]
= β[d(x, T x) + d(y, T y)] + β[d(T x, T 2 x) + d(T y, T 2 y)]
= βρ(x, y) + βρ(T x, T y).
❚õ ➤➞② t❛ s✉② r❛

ρ(T x, T y) ≤
tr♦♥❣ ➤ã

q=

β
1−β

β
.ρ(x, y) = q.ρ(x, y), ✈í✐ ♠ä✐ x, y ∈ X,
1−β

✭✶✳✶✵✮

∈ (0, 1)✳

❇➞② ❣✐ê t❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣

d(T n x, T m x) ≤ 2ρ(T n x, T m x), ✈í✐ ♠ä✐ m, n ∈ N∗ ♠➭ m ≥ n.
❚❤❐t ✈❐②✱ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♥➭② ❤✐Ó♥ ♥❤✐➟♥ ➤ó♥❣ ♥Õ✉

✭✶✳✶✶✮

m = n✳ ◆Õ✉ m = n + 1✱ t❤×

tõ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ s❛✉

d(T n x, T n+1 x) ≤ d(T n x, T n+1 x) + d(T n+1 x, T n+2 x) = ρ(T n x, T n+1 x),
t❛ s✉② r❛ d(T n x, T n+1 x)

≤ 2.ρ(T n x, T n+1 x)✳ ◆Õ✉ m > n+1✱ t❤× tõ ❣✐➯ t❤✐Õt T ❦❤➠♥❣

❝ã ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ♥➭♦ tr♦♥❣
❜✐Öt tr♦♥❣

X t❛ s✉② r❛ T m x, T m+1 x, T n x, T n+1 x ❧➭ ✹ ➤✐Ó♠ ♣❤➞♥

X ✳ ❑❤✐ ➤ã✱ t❛ ❝ã

d(T n x, T m x) ≤ d(T n x, T n+1 x) + d(T n+1 x, T m+1 x) + d(T m+1 x, T m x)
= [d(T n x, T n+1 x) + d(T m+1 x, T m x)] + d(T n+1 x, T m+1 x)
≤ (1 + β)ρ(T n x, T m x) ≤ 2ρ(T n x, T m x).

✶✸


ế t t ứ r
ì


(X, ) T qỹ ủ t

(X, d) T qỹ ủ tồ t x X s ỗ

d {xn } tr O(x, ) tồ t u X s d(xn , u) 0

n ờ sử {xn } t ỳ tr O(x, ) từ t
tứ t s r
t

{xn } ũ d tr O(x, ) ì tế tồ

u X s d(xn , u) 0 n sử r xn = u ớ số n N

ó ì ế ợ
ó t ó
ớ số

xn = u ớ ọ n N tì {xn } u

(xn , u) = 0 ớ ọ n N ì tế xn u t ừ xn = u

n N ó t s r u, xn , T u, T xn ể ệt ủ X ì ế

ề ú tì từ tết ứ
t s r
ì

T ó ể t ộ

xn = u xn = T u T xn = u T xn = T u

{xn } O(x, ) ề ó é t tồ t số k N ó s T k x = u


ỗ

T k x = T u ừ tứ t s r lim T n u = u t ớ
n

n N từ t ó
d(T n+1 u, T u) [d(T n u, T n+1 u) + d(u, T u)]
d(u, T u) + [d(T n u, u) + d(u, T u) + d(T u, T n+1 u)].

ó n

tr t tứ tr ờ ét

t ợ

d(u, T u) 2d(u, T u).
ì

0 < 2 < 1 từ t tứ ố t s r d(u, T u) = 0 ĩ T u = u

ề t ớ tết ứ
ờ ì ớ ỗ

T ó ể t ộ

n N ó số m > n s xn = xm ó t ó

(u, xn ) = d(u, T u) + d(xn , T xn )
[d(u, xn ) + d(xn , T xn ) + d(T n x, T u)] + d(xn , T xn )
d(u, xn ) + 2d(xn , T xn ) + 2d(xm , T xm )] + (xn , u)
= d(u, xn ) + 2(xn , xm ) + (xn , u).
ề é t

(1 )(xn , u) d(xn , u) + 2(xn , xm ).
ì

{xn } d(xn , u) 0 n từ t tứ ố ù



♥➭② t❛ s✉② r❛

ρ(xn , u) → 0 ❦❤✐ n → ∞✳ ❱× t❤Õ (X, ρ) ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ T ✲q✉ü ➤➵♦

➤➬② ➤ñ✳
❈✉è✐ ❝ï♥❣ ❜➺♥❣ ❝➳❝❤ ➳♣ ❞ô♥❣ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✶✸ t❛ s✉② r❛

T ❝ã ♠ét ➤✐Ó♠ ❜✃t

➤é♥❣✳ ➜✐Ò✉ ♥➭② ❧➵✐ ♠➞✉ t❤✉➱♥ ✈í✐ ❣✐➯ t❤✐Õt ♣❤➯♥ ❝❤ø♥❣ ❧➭

T ❦❤➠♥❣ ❝ã ➤✐Ó♠

❜✃t ➤é♥❣ ♥➭♦ ❝➯✳ ▼➞✉ t❤✉➱♥ ♥➭② ❝❤ø♥❣ tá r➺♥❣ T ♣❤➯✐ ❝ã ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ tr♦♥❣

X✳
❇➞② ❣✐ê ❣✐➯ sö

T ❝ã ✷ ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ x ✈➭ y ✳ ❑❤✐ ➤ã✱ tõ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ✭✶✳✾✮✱ t❛ ❝ã

d(x, y) = d(T x, T y) ≤ β[d(x, T x) + d(y, T y)] = β[d(x, x) + d(y, y)] = 0.
➜✐Ò✉ ♥➭② ❦Ð♦ t❤❡♦

❤é✐ tô tí✐

: R+ → R+ ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ❦❤➠♥❣ ❣✐➯♠ s❛♦ ❝❤♦ ❞➲② {ϕn (t)}

✭❬✾❪✮ ❈❤♦ ϕ

❇æ ➤Ò✳

✶✳✷✳✼

d(x, y) = 0 ✈➭ x = y ✳

0 ✈í✐ ♠ä✐ t > 0✳ ❑❤✐ ➤ã

✭✐✮

ϕ(t) < t ✈í✐ ♠ä✐ t > 0✳

✭✐✐✮

ϕ(0) = 0✳
✭✐✮ ●✐➯ sö ♥❣➢î❝ ❧➵✐ r➺♥❣ tå♥ t➵✐ t0

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

♥➭② ❦Ð♦ t❤❡♦ r➺♥❣
❱× ✈❐②✱ ❞➲②

> 0 s❛♦ ❝❤♦ ϕ(t0 ) ≥ t0 ✳ ➜✐Ò✉

ϕ2 (t0 ) ≥ ϕ(t0 ) ≥ t0 ✈➭ ❞♦ ➤ã t❛ ❝ã ϕn (t0 ) ≥ t0 ✈í✐ ♠ä✐ n ∈ N✳

{ϕn (t0 )} ❦❤➠♥❣ ❤é✐ tô tí✐ 0✱ t❛ ❣➷♣ ♣❤➯✐ ♠➞✉ t❤✉➱♥✳ ▼➞✉ t❤✉➱♥

♥➭② ❝❤ø♥❣ tá

ϕ(t) < t ✈í✐ ♠ä✐ t > 0✳

✭✐✐✮ ●✐➯ sö r➺♥❣

ϕ(0) > 0✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ✈× ϕ ❧➭ ❤➭♠ ❦❤➠♥❣ ❣✐➯♠✱ ♥➟♥ t❛ ❝ã ϕ(0) ≤

ϕ2 (0)✳ ▲➵✐ ♥❤ê ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ ✭✐✮✱ tõ ❧❐♣ ❧✉❐♥ ♥➭② t❛ ❝ã ϕ(0) ≤ ϕ2 (0) = ϕ(ϕ(0)) <
ϕ(0)✳ ➜✐Ò✉ ♥➭② ♠➞✉ t❤✉➱♥✳ ❱× ✈❐② ϕ(0) = 0✳
❇➞② ❣✐ê t❛ ❦ý ❤✐Ö✉ Φ ❧➭ t❐♣ ❤î♣ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ❤➭♠ ♥ö❛ ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ ❦❤➠♥❣ ❣✐➯♠

∞

+

ϕn (t) < ∞ ✈í✐ ♠ä✐ t > 0✳

+

ϕ : R → R s❛♦ ❝❤♦
n=1

✶✳✷✳✽

➜Þ♥❤ ❧ý✳

✭❬✾❪✮

❈❤♦

(X, d)

❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ s✉② ré♥❣✱

T :X→X

❧➭ ♠ét ➳♥❤ ①➵ t❤á❛ ♠➲♥ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥

d(T x, T y) ≤ ϕ(max{d(x, y), d(x, T x), d(y, T y), d(y, T x)}),
tr♦♥❣ ➤ã

ϕ ∈ Φ✳ ◆Õ✉ tå♥ t➵✐ x ∈ X

➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❞✉② ♥❤✃t tr♦♥❣

s❛♦ ❝❤♦

X✳
✶✺

✈í✐ ♠ä✐

x, y ∈ X,

O(x) ❧➭ q✉ü ➤➵♦ ➤➬② ➤ñ✱ t❤× T

✭✶✳✶✷✮

❝ã ♠ét


❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

❚❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt tå♥ t➵✐

➤ã t❛ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➲②

x ∈ X s❛♦ ❝❤♦ O(x) ❧➭ q✉ü ➤➵♦ ➤➬② ➤ñ✳ ❑❤✐

{xn } t❤❡♦ q✉② ♥➵♣ ♥❤➢ s❛✉✿ x0 = x, x1 = T x0 , x2 = T x1 =

T 2 x, xn = T xn−1 = T n x, . . . ✈í✐ ♠ä✐ n ≥ 1✳ ❉♦ ➤ã✱ ♥❤ê ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝♦ ✭✶✳✶✷✮ t❛ ❝ã
d(T n x, T n+1 x) ≤ ϕ(max{d(T n−1 x, T n x), d(T n x, T n+1 x), d(T n x, T n x)}),
➤✐Ò✉ ♥➭② s✉② r❛

d(T n x, T n+1 x) ≤ ϕ(d(T n−1 x, T n x)).
❑❤✐ ➤ã✱ ✈í✐ ♠ä✐

n ∈ N✱ t❛ ❝ã
d(T n x, T n+1 x) ≤ ϕn (d(x, T x)).

◆Õ✉ tå♥ t➵✐
tr♦♥❣ ➤ã

✭✶✳✶✸✮

n < m s❛♦ ❝❤♦ xn = xm ✱ t❤× t❛ ➤➷t y = T n x✳ ❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã T k y = y ✱

k = m − n✳ ❱× k ≥ 1 ♥➟♥ t❛ ❝ã
d(y, T y) = d(T k y, T k+1 y) ≤ ϕk (d(y, T y)).

❉♦

ϕ(t) < t ✈í✐ ♠ä✐ t > 0✱ ♥➟♥ d(y, T y) = 0 ✈➭ ❞♦ ➤ã y ❧➭ ♠ét ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣

❝ñ❛

T✳

●✐➯ sö r➺♥❣

xn = xm ✱ ✈í✐ ♠ä✐ n = m✳ ❑❤✐ ➤ã✱ t❛ ❝ã

d(T x, T 3 x) ≤ ϕ(max{d(x, T 2 x), d(x, T x), d(T 2 x, T 3 x), d(T 2 x, T x)}),
➤✐Ò✉ ♥➭② ❦Ð♦ t❤❡♦

d(T x, T 3 x) ≤ ϕ(M ),
tr♦♥❣ ➤ã

M = max{d(x, T 2 x), d(x, T x)}.

◆ã✐ ❝❤✉♥❣✱ ♥Õ✉

n ❧➭ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣✱ t❤×
d(T n x, T n+2 x) ≤ ϕn (M ).

❑❤✐ ➤ã✱ t❤❡♦ ❇æ ➤Ò ✶✳✷✳✶✱ ✈í✐ ♠ä✐

m ≥ n + 3✱ t❛ ❝ã ❤♦➷❝

d(T n x, T m x) ≤ d(T n x, T n+1 x) + d(T n+1 x, T n+2 x) + ... + d(T m−1 x, T m x),
❤♦➷❝

d(T n x, T m x) ≤ d(T n x, T n+1 x) + d(T n+1 x, T n+2 x) + ... + d(T m−2 x, T m x),
✶✻

✭✶✳✶✹✮


❑❤✐ ➤ã s✉② r❛ ❤♦➷❝ t❛ ❝ã
m−1

n

m

ϕk (d(x, T x)),

✭✶✳✶✺✮

ϕk (d(x, T x)) + ϕm−2 (M ).

✭✶✳✶✻✮

d(T x, T x) ≤
k=n

❤♦➷❝
m−3
n

m

d(T x, T x) ≤
k=n

❱× ✈❐② tõ ✭✶✳✶✸✮✱ ✭✶✳✶✹✮✱ ✭✶✳✶✺✮ ✈➭ ✭✶✳✶✻✮✱ t❛ ❝ã
m−1

d(T n x, T m x) ≤

ϕk (M )

k=n

∞

✈í✐ ♠ä✐

ϕk (M ) −→ 0✱ ❦❤✐ n → ∞✱ t❛ s✉② r❛ ❞➲② {xn } ❧➭

m, n ∈ N, m ≥ n✳ ❱×
k=n

♠ét ❞➲② ❈❛✉❝❤②✱ ♥❤➢♥❣

O(x) ❧➭ T ✲q✉ü ➤➵♦ ➤➬② ➤ñ✱ ❞♦ ➤ã ❞➲② {xn } ❤é✐ tô tí✐

p ∈ X✳
❚❛ sÏ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣ ➤✐Ó♠

p ❧➭ ♠ét ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❝ñ❛ T ✳ ➜Ó t❤✃② ➤✐Ò✉

♥➭②✱ t❛ ①Ðt ❤❛✐ tr➢ê♥❣ ❤î♣ ❞➢í✐ ➤➞②✳
❚r➢ê♥❣ ❤î♣ ✶✳

❉➲②

{xn } ❦❤➠♥❣ ❤é✐ tô tí✐ T p✳ ❑❤✐ ➤ã tå♥ t➵✐ ♠ét ❞➲② ❝♦♥

{xnk } ❝ñ❛ {xn } s❛♦ ❝❤♦ xnk = T p ✈í✐ ♠ä✐ k ∈ N✳ ❑❤✐ ➤ã ♥❤ê ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ tø
❣✐➳❝ t❛ ❝ã

d(p, T p) ≤ d(p, xnk −1 ) + d(xnk −1 , xnk ) + d(xnk , T p).
❉♦ ➤ã ♥Õ✉

k → ∞✱ t❛ ❝ã
d(p, T p) ≤ limk→∞ d(xnk , T p).

✭✶✳✶✼✮

▼➷t ❦❤➳❝ tõ ✭✶✳✶✷✮ t❛ ❝ã

d(xn , T p) = d(T xn−1 , T p)
≤ ϕ(max{d(xn−1 , p), d(xn−1 , xn ), d(p, T p), d(p, xn )}).
❈❤♦

n → ∞ tr♦♥❣ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ tr➟♥✱ t❛ ♥❤❐♥ ➤➢î❝
limk→∞ d(xn , T p) ≤ ϕ(d(p, T p)).

❉♦ ➤ã tõ ✭✶✳✶✼✮ ✈➭ ✭✶✳✶✽✮ t❛ ❝ã

d(p, T p) = 0 ✈➭ p = T p✳
✶✼

✭✶✳✶✽✮


rờ ợ



tồ t ột

{xn } ộ tụ tớ T p ờ t sử r p = T p ó

{xnk } s xnk X {p, T p} ớ ọ k N ó ờ

t tứ tứ t ó

d(p, T p) d(p, xnk ) + d(xnk , xnk+1 ) + d(xnk+1 , T p).


k tr t tứ t ợ T p = p t ì

tr ọ trờ ợ t ề ó

p ột ể t ộ ủ T

ể ứ tí t t sử r
ủ



w ũ ột ể t ộ

T w = p ó từ ề ệ t ó
d(p, w) = d(T p, T w) (max{d(p, w), d(p, T p), d(w, T w), d(w, T p)}).

ừ t tứ t s r


d(p, w) (d(p, w)) ó p = w t

T ó ột ể t ộ t p

ệ q







(X, d)

ột tr s rộ

T :XX

ột tỏ ề ệ

d(T x, T y) q max{d(x, y), d(x, T x), d(y, T y), d(y, T x)}) ớ ọ x, y X,
tr ó

0 q < 1

ế tồ t

xX

ột ể t ộ t tr
ứ

ọ

ị

s

ó

X

: R+ R+ ở tứ (t) = qt ớ

t R+ ễ t r ó t t r tt tết ủ

ị ý ợ tỏ ớ
r

O(x) qỹ ủ tì T

ì tế ụ ị ý t s

T ó ột ể t ộ t tr X
ét r ề ệ tồ t

x X s O(x) qỹ ủ

tết ể t ợ ề t ét í ụ s

í ụ



X = (0, 1] tr s rộ d ở tứ d(x, y) =

|x y| ớ ọ x, y X ét T : X X ở T x =
ó t ó

O(a) =

x
2

ớ ọ

x X

a, a2 , 2a2 , ..., 2an , ... ớ ọ a X ớ ỗ n N t t



a
✱
2n

xn =

❦❤✐ ➤ã

{xn } ❧➭ ♠ét ❞➲② ❈❛✉❝❤② tr♦♥❣ O(a)✱ ♥❤➢♥❣ {xn } ❦❤➠♥❣ ❤é✐ tô

✈Ò ♣❤➬♥ tö ♥➭♦ t❤✉é❝

O(a)✱ ✈× t❤Õ O(a) ❧➭ ❦❤➠♥❣ ➤➬② ➤ñ✳ ❍➡♥ ♥÷❛✱ t❛ t❤✃②

T t❤á❛ ♠➲♥ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ✭✶✳✶✷✮ ✈í✐ ❤➭♠ ϕ ❝❤♦ ❜ë✐ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ϕ(t) = 12 t ✈í✐ ♠ä✐
t ∈ R+ ✱ ✈➭ T ❦❤➠♥❣ ❝ã ♠ét ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ♥➭♦ tr♦♥❣ X ✳
❚r♦♥❣ ♣❤➬♥ t✐Õ♣ t❤❡♦✱ t❛ ❦Ý ❤✐Ö✉
∞

Ψ ❧➭ ❧í♣ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ❤➭♠ ψ : R+ → R+ ❦❤➠♥❣

ψ n (t) < ∞✱ ✈í✐ ♠ä✐ t ≥ 0.

❣✐➯♠ ✈➭
n=1

✶✳✷✳✶✶

➜Þ♥❤ ❧ý✳

✭❬✾❪✮

❈❤♦

(X, d) ❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ s✉② ré♥❣✱ T : X → X

❧➭ ♠ét ➳♥❤ ①➵ ❧✐➟♥ tô❝ t❤á❛ ♠➲♥ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥

d(T x, T 2 x) ≤ ψ(d(x, T x)),
tr♦♥❣ ➤ã

d(T x, T 3 x) ≤ ψ(d(x, T 2 x)),

ψ ∈ Ψ✳ ◆Õ✉ tå♥ t➵✐ x ∈ X

➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ tr♦♥❣
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

t❛ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➲②

s❛♦ ❝❤♦

✈í✐ ♠ä✐

x ∈ X,

O(x) ❧➭ q✉ü ➤➵♦ ➤➬② ➤ñ✱ t❤× T

✭✶✳✷✵✮

❝ã ♠ét

X✳

◆❤ê ❣✐➯ t❤✐Õt tå♥ t➵✐

x ∈ X s❛♦ ❝❤♦ O(x) ❧➭ q✉ü ➤➵♦ ➤➬② ➤ñ✱

{xn } ❜➺♥❣ q✉② ♥➵♣ ♥❤➢ s❛✉✿ x0 = x, x1 = T x0 , x2 = T x1 =

T 2 x, . . . , xn = T xn−1 = T n x, . . . ✈í✐ ♠ä✐ n ≥ 1✳
❑❤✐ ➤ã✱ ♥❤ê ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ✭✶✳✷✵✮ ✈í✐ ♠ä✐

n ∈ N✱ t❛ ❝ã

d(T n x, T n+1 x) ≤ ψ n (d(x, T x)).
◆Õ✉

✭✶✳✷✶✮

xn = xm ✈í✐ m ♥➭♦ ➤ã ♠➭ m > n✱ t❤× ❦❤✐ ➤ã T n x ❧➭ ♠ét ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❝ñ❛

T✳
❇➞② ❣✐ê t❛ ❣✐➯ sö r➺♥❣

xn = xm ✈í✐ ♠ä✐ n = m✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ✈í✐ ♠ä✐ n ∈ N✱ t❛ ❝ã

d(T n x, T n+2 x) ≤ ψ n (d(x, T 2 x)).
▼➷t ❦❤➳❝✱ ♥❤ê ❇æ ➤Ò ✶✳✷✳✶✱ ✈í✐ ♠ä✐

m ≥ n + 3 ❤♦➷❝ t❛ ❝ã

d(T n x, T m x) ≤ d(T n x, T n+1 x) + d(T n+1 x, T n+2 x) + ... + d(T m−1 x, T m x),
❤♦➷❝

d(T n x, T m x) ≤ d(T n x, T n+1 x) + d(T n+1 x, T n+2 x) + ... + d(T m−2 x, T m x).
✶✾

✭✶✳✷✷✮


❑❤✐ ➤ã✱ tõ ✭✶✳✷✶✮ ✈➭ ✭✶✳✷✷✮ t❛ ❝ã
m−1
n

m

ψ k (d(x, T x)),

✭✶✳✷✸✮

ψ k (d(x, T x)) + ψ m−2 (d(x, T 2 x)).

✭✶✳✷✹✮

d(T x, T x) ≤
k=n

❤♦➷❝ t❛ ❝ã
m−3
n

m

d(T x, T x) ≤
k=n

❱× t❤Õ✱ tõ ✭✶✳✷✸✮ ✈➭ ✭✶✳✷✹✮✱ t❛ ❝ã
m−1
n

m

ψ k (R)

d(T x, T x) ≤
k=n

∞

✈í✐ ♠ä✐

ψ n (R) < ∞✱ t❛

2

n, m ∈ N✱ tr♦♥❣ ➤ã R = max{d(x, T x), d(x, T x)}✳ ❱×
n=1

s✉② r❛

{xn } ❧➭ ♠ét ❞➲② ❈❛✉❝❤②✱ ❧➵✐ ✈× O(x) ❧➭ T ✲q✉ü ➤➵♦ ➤➬② ➤ñ✱ ❞♦ ➤ã {xn }

❤é✐ tô tí✐

p ∈ X ✳ ◆❤ê tÝ♥❤ ❧✐➟♥ tô❝ ❝ñ❛ T ✈➭ ❝➳❝❤ ➤➷t ❞➲② {xn }✱ t❛ s✉② r❛ ❞➲②

{xn } ❝ò♥❣ ❤é✐ tô tí✐ T p✳ ❱× t❤Õ p ❧➭ ♠ét ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❝ñ❛ T ✳

✶✳✷✳✶✷

❍Ö q✉➯✳

✭❬✾❪✮

❈❤♦

(X, d) ❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ s✉② ré♥❣✱ T : X → X

❧➭ ♠ét ➳♥❤ ①➵ ❧✐➟♥ tô❝ s❛♦ ❝❤♦

min{d(T x, T y), max{d(x, T x), d(y, T y)}} ≤ ψ(d(x, y)),
d(x, T 2 x) ≤ d(x, T x),
tr♦♥❣ ➤ã

ψ ∈ Ψ✳ ◆Õ✉ tå♥ t➵✐ x ∈ X

➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ tr♦♥❣
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

s❛♦ ❝❤♦

✈➭

✈í✐ ♠ä✐

x, y ∈ X,

O(x) ❧➭ q✉ü ➤➵♦ ➤➬② ➤ñ✱ t❤× T

✭✶✳✷✺✮

❝ã ♠ét

X✳

❇➺♥❣ ❝➳❝❤ ➤➷t

y = T x tr♦♥❣ ✭✶✳✷✺✮✱ t❛ ♥❤❐♥ ➤➢î❝

min{d(T x, T 2 x), max{d(x, T x), d(T x, T 2 x)}} ≤ ψ(d(x, T x)).
❚õ ➤✐Ò✉ ♥➭② t❛ s✉② r❛ r➺♥❣

d(T x, T 2 x) ≤ ψ(d(x, T x)) ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ X.
❚➢➡♥❣ tù✱ ♥Õ✉ t❛ ➤➷t

y = T 2 x tr♦♥❣ ✭✶✳✷✺✮✱ t❤×

min{d(T x, T 3 x), max{d(x, T x), d(T 2 x, T 3 x)}} ≤ ψ(d(x, T 2 x)).
✷✵

✭✶✳✷✻✮


❉♦ ➤ã✱

min{d(T x, T 3 x), d(x, T x)} ≤ ψ(d(x, T 2 x)),

✈í✐ ♠ä✐

x ∈ X ✳ ➜✐Ò✉ ♥➭② ❦Ð♦ t❤❡♦
d(T x, T 3 x) ≤ ψ(d(x, T 2 x)) ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ X.

❚õ ✭✶✳✷✻✮ ✈➭ ✭✶✳✷✼✮✱ ➳♣ ❞ô♥❣ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✷✳✶✶✱ t❛ s✉② r❛
tr♦♥❣

X✳

✷✶

✭✶✳✷✼✮

T ❝ã ♠ét ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣




ị ý ể t ộ
tr
tr ó s rộ
tr ó s rộ



P ú t ớ tệ ột số ế tứ ề tr ó
tr ó s rộ í ụ ọ

ị ĩ

t ủ



E ột tự P ột

E P ợ ọ ột ó ế ỉ ế



P t ó rỗ P = {0}



a, b R, a, b 0, x, y P s r ax + by P ớ ọ x, y X



x P x P s r x = 0

ó tr
ỉ ế

E ét q ệ tứ tự ị ở P s x y ế

y x P ú t q ớ x < y ế x y x = y ò x

y ế

y x intP ớ intP tr ủ P
ó
t ó

0 x y é t x K y , tr ó . tr E

ố
t

P ợ ọ t ế ó ột số K > 0 s ớ ọ x, y E

K ỏ t tỏ ề ệ tr ợ ọ

ủ

số

P

t sử r

E ột P ột ó

tr

E ớ intP = q ệ tứ tự ộ ị ở P

í ụ

ét

R ớ t tờ ó P = {x

R : x 0} ột ó tr R
r ị

R2 t P = {(x, y) R2 : x, y 0} ột

ó





ị ĩ

X ột t rỗ E

d : X ì X E ợ ọ ột

tr ó

ế tỏ ề ệ

s

0 d(x, y) ớ ọ x, y X d(x, y) = 0 ỉ x = y



d(x, y) = d(y, x) ớ ọ x, y X



d(x, y) d(x, z) + d(z, y) ớ ọ x, y, z X

ó

(X, d) ợ ọ tr ó

tr ó sự tổ qt ủ tr í ụ s
ứ tỏ ớ tr ó sự ở rộ tự sự ủ ớ
tr





í ụ



E = R2 P = {(x, y) E : x, y 0} X = R ét

d : X ì X E ị ở

d(x, y) = (|x y|, |x y|) ớ ọ x, y X,

tr ó

số tự trớ ó ễ ể tr ợ (X, d)

tr ó



ị ĩ



X ột t rỗ sử d : X ì X E

tỏ ề ệ


0 < d(x, y) ớ ọ x, y X, x = y d(x, y) = 0 ế x = y



d(x, y) = d(y, x) ớ ọ x, y X



d(x, y) d(x, u) + d(u, v) + d(v, y) ớ ọ x, y X ớ tt ể
ệt

ó

u, v X \ {x, y}

d ợ ọ ột tr ó s rộ tr X (X, d) ột

tr ó s rộ