Rèn luyện kĩ năng toán học hóa tình huống thực tiến cho học sinh trung học phổ thông dạy học tổ hợp xác suất

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LÊ THỊ KIỀU DIỄM

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TOÁN HỌC HÓA
TÌNH HUỐNG THỰC TIỄN CHO HỌC SINH
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TRONG DẠY HỌC
TỔ HỢP – XÁC SUẤT

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Nghệ An, 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LÊ THỊ KIỀU DIỄM

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TOÁN HỌC HÓA
TÌNH HUỐNG THỰC TIỄN CHO HỌC SINH
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TRONG
DẠY HỌC TỔ HỢP – XÁC SUẤT

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60.14.01.11
Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Thị Châu Giang

Nghệ An, 2015


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Thị Châu Giang,
người cô đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập,
nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo của khoa Toán, Phòng Đào
tạo Sau Đại học – Trường Đại học Vinh đã đóng góp nhiều ý kiến quý báu
giúp đỡ tôi trong quá trình nghiên cứu, hoàn thành luận văn và trân trọng cảm
ơn trường Đại học Kinh tế – Công nghiệp Long An đã tổ chức khóa học Sau
đại học cho chúng tôi.
Tôi xin chân thành cảm ơn các giáo viên thuộc Tổ Toán của trường
trung học phổ thông Nguyễn Trung Trực, huyện Tân Trụ, tỉnh Long An, đồng
nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Do bản thân còn nhiều hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những
thiếu sót, tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo
và các bạn.
Nghệ An, tháng 6 năm 2015
Tác giả

Lê Thị Kiều Diễm


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG
LUẬN VĂN
Viết tắt
GV
HS
SGK

THPT

Viết đầy đủ
Giáo viên
Học sinh
Sách giáo khoa
Trung học phổ thông


MỤC LỤC


6

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong giáo dục, phương pháp dạy học luôn được trong mối quan hệ với
các thành tố của quá trình giáo dục. Do đó, một trong những trọng tâm của
quá trình đổi mới giáo dục phổ thông là tập trung vào đổi mới phương pháp
dạy học. Trong “thuật ngữ giáo dục người lớn” do UNESCO xuất bản năm
1979 bằng ba thứ tiếng Anh, Pháp, Tây Ban Nha đã dùng thuật ngữ “giáo dục
căn cứ vào người học”, “giáo dục tập trung vào người học” với định nghĩa là
“sự giáo dục mà nội dung quá trình học tập và giảng dạy được xác định bởi
nhu cầu, mong muốn của người học và người học tham gia tích cực vào việc
hình thành và kiểm soát, sự giáo dục này huy động những nguồn lực và kinh
nghiệm của người học”. Ở những nền giáo dục hiện đại liên hệ thực tiễn luôn
là “kim chỉ nam” trong quá trình soạn sách giáo khoa bậc phổ thông. Nếu học
sinh tìm được câu trả lời cho câu hỏi: “Tại sao phải học kiến thức này?” thì họ
sẽ chủ động trong quá trình tìm hiểu tri thức nói chung – kiến thức môn Toán
nói riêng.

Thông qua hoạt động toán học hóa tình huống thực tiễn, giáo viên cho
học sinh thấy được vai trò của toán học trong cuộc sống. Toán học hóa tình
huống thực tiễn trong dạy học toán là quá trình giúp học sinh tìm hiểu, khám
phá, giải đáp tình huống thực tiễn bằng công cụ toán học. Các em được rèn
luyện kỹ năng tư duy toán học và khả năng nhìn nhận vấn đề bằng góc độ
toán học. Từ đó học sinh cảm nhận việc học toán có ý nghĩa hơn, tạo động cơ
và niềm đam mê học toán.
Qua nghiên cứu chương trình sách giáo khoa toán trung học phổ thông,
chương Tổ hợp – Xác suất là hoàn toàn mới đối với học sinh. Đó là những
khái niệm rất khó đối với những người mới làm quen. Cần phải hình thành


7

chúng dần dần qua các ví dụ thực tiễn. Chương này cung cấp những kiến thức
cơ bản nhất về Đại số tổ hợp và lí thuyết xác suất, một lĩnh vực quan trọng
của toán học, có nhiều ứng dụng trong đời sống.
Từ những lí do trên, chúng tôi đã chọn đề tài “Rèn luyện kỹ năng toán
học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh trung học phổ thông trong dạy
học Tổ hợp – Xác suất” để làm luận văn tốt nghiệp của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Đề xuất một số biện pháp rèn luyện kỹ năng toán học hóa tình huống
thực tiễn cho học sinh trong dạy học Tổ hợp – Xác suất nhằm góp phần nâng
cao chất lượng dạy học toán hiện nay ở các trường trung học phổ thông.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn của việc rèn luyện kỹ năng toán
học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh trung học phổ thông trong dạy học
môn Toán nói chung và dạy học Tổ hợp – Xác suất nói riêng.
- Làm rõ thực trạng của việc rèn luyện kỹ năng toán học hóa tình huống
thực tiễn cho học sinh trung học phổ thông trong dạy học nội dung Tổ hợp –

Xác suất.
- Đề xuất một số biện pháp rèn luyện kỹ năng toán học hóa tình huống
thực tiễn cho học sinh trong dạy học Tổ hợp – Xác suất.
- Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi, hiệu quả
của các biện pháp được đề xuất.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
4.1. Đối tượng nghiên cứu
Biện pháp rèn luyện kỹ năng toán học hóa tình huống thực tiễn cho học
sinh trong dạy học Tổ hợp – Xác suất.
4.2. Phạm vi nghiên cứu


8

Nghiên cứu rèn luyện kỹ năng toán học hóa tình huống thực tiễn cho
học sinh trung học phổ thông trong dạy học nội dung Tổ hợp – Xác suất (Đại
số và Giải tích 11 chương trình chuẩn), ở trường trung học phổ thông Nguyễn
Trung Trực, huyện Tân Trụ, tỉnh Long An.
5. Phương pháp nghiên cứu
5.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận
- Nghiên cứu các tài liệu về chủ trương của Bộ giáo dục trong công tác
giáo dục, Luật giáo dục và các tài liệu về giáo dục học, tâm lý học, phương
pháp dạy học môn Toán.
- Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, sách bồi dưỡng giáo
viên, các báo, tạp chí về rèn luyện kỹ năng toán học hóa tình huống thực tiễn
cho học sinh trung học phổ thông.
- Nghiên cứu các công trình đã công bố có liên quan đến đề tài.
5.2. Phương pháp chuyên gia
- Trao đổi, tham khảo ý kiến với các chuyên gia trong lĩnh vực mà bản
thân nghiên cứu để có những định hướng cho việc nghiên cứu đề tài.

- Trao đổi với các giáo viên dạy học môn Toán lớp 11 về kỹ năng toán
học hóa tình huống thực tiễn của học sinh trung học phổ thông cũng như yêu
cầu của chương Tổ hợp – Xác suất.
5.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm
Sử dụng một số tình huống thực tiễn liên quan đến Tổ hợp – Xác suất
được toán học hóa đã biên soạn để tiến hành thực nghiệm sư phạm. Qua đó
giúp học sinh rèn luyện kỹ năng toán học hóa, học tốt nội dung Tổ hợp – Xác
suất và thấy được chương này thiết thực nhất cho đời sống. Việc này được
kiểm chứng khi dạy một lớp thực nghiệm và một lớp đối chứng ở trường
trung học phổ thông. Sau đó đánh giá tính hiệu quả của đề tài qua phiếu lấy ý
kiến học sinh, kết quả bài kiểm tra khảo sát sau tiết học.


9

Đây là phương pháp quan trọng để đánh giá tính đúng đắn của cơ sở
giả thuyết khoa học và mức độ đạt được của đề tài.
6. Giả thuyết khoa học
Nếu xác định và thực hiện được một số biện pháp rèn luyện kỹ năng
toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh trong dạy học Tổ hợp – Xác
suất một cách khoa học và có tính khả thi sẽ phát huy tốt hơn tính tích cực
chủ động học tập của học sinh, góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn
Toán ở các trường trung học phổ thông.
7. Những đóng góp của luận văn
- Góp phần hoàn thiện cơ sở lý luận của việc rèn luyện kỹ năng toán
học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh trung học phổ thông.
- Đề xuất một số biện pháp rèn kỹ năng toán học hóa tình huống thực
tiễn cho học sinh trung học phổ thông.
8. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm ba chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2: Một số biện pháp rèn kỹ năng toán học hóa tình huống thực
tiễn cho học sinh trung học phổ thông
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm
Luận văn có sử dụng 33 tài liệu tham khảo và kèm theo 4 Phụ lục.


10

Chương 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Lịch sử vấn đề nghiên cứu
1.1.1. Các nghiên cứu ở nước ngoài
Vấn đề kỹ năng của con người là vấn đề có nhiều ý kiến khác nhau. Qua
một số công trình nghiên cứu tâm lý học, giáo dục học, toán học đã có những
quan niệm khác nhau như:
- Quan niệm chú trọng nghiên cứu kỹ năng trên cơ sở của tâm lý học
hành vi mà đại diện là các nhà tâm lý học như: J. B. Oatsơn; B. F. Skinnơ. Họ
nghiên cứu chủ yếu các hành vi của động vật từ đó suy ra các hành vi kỹ năng
của con người.
- Quan niệm chú trọng nghiên cứu kỹ năng trên cơ sở hoạt động. Khi
đó kỹ năng là một phương tiện thực hiện hành động, chỉ cần nắm được cách
thức hành động là có kỹ năng; cũng có khi coi kỹ năng là năng lực thực hiện
một công việc sáng tạo ra một kết quả với chất lượng cần thiết trong thời gian
nhất định trong điều kiện mới. Đại diện là các nhà tâm lý học Liên Xô. Trong
lịch sử nghiên cứu kỹ năng của các nhà tâm lý học, các nhà giáo dục học Xô
Viết có hai hướng chính như sau:
+ Hướng thứ nhất: Nghiên cứu kỹ năng ở mức độ khái quát, đại cương.
Đại diện cho hướng nghiên cứu này có các tác giả: A. G. Côvaliôv; V. X.
Kyzin; A. V. Pêtrôvxki. Các tác giả này nghiên cứu sâu vào bản chất khái

niệm kỹ năng, các quy luật hình thành và mối liên hệ giữa kỹ năng, kỹ xảo.
+ Hướng thứ hai: Nghiên cứu kỹ năng ở mức độ cụ thể trong các lĩnh
vực khác nhau. Trong lĩnh vực lao động công nghiệp có V. V. Tsebưseva; K.
K. Platônôv. Các tác giả nghiên cứu kỹ năng trong mối quan hệ giữa con
người với máy móc, công cụ và phương tiện lao động.


11

Các nghiên cứu này có những quan điểm trái ngược nhau nhưng đồng
thời cũng bổ sung cho nhau.
- Quan niệm khác lại cho rằng kỹ năng là việc vận dụng những tri thức
và các kỹ xảo đã có vào việc lựa chọn và thực hiện những phương thức hành
động đặt ra. Với quan niệm trên, trong “Từ điển tâm lý học” do A. V.
Pêtrôvxki và M. G. Jarosevxki chủ biên năm 1990 cho rằng: “Kỹ năng là
phương thức hành động dựa trên cơ sở tổ hợp những tri thức và kỹ xảo. Kỹ
năng được hành thành bằng con đường luyện tập. Tạo khả năng cho người
thực hiện hành động không chỉ trong những điều kiện quen thuộc mà cả trong
những điều kiện thay đổi”.
Hay như một số công trình nghiên cứu của các tác giả người Liên Xô
cũ và các nước Đông Âu đã nghiên cứu về năng lực sư phạm của người GV:
- Tác giả N. V. Cudơmina “Hình thành các năng lực sư phạm” đã xác
định các năng lực sư phạm cần có của người GV, việc phát hiện và bồi dưỡng
năng khiếu sư phạm.
- Tác giả X. I. Kixegop trong công trình nghiên cứu “Hình thành các kỹ
năng, kỹ xảo sư phạm trong điều kiện Giáo dục đại học” đã nêu ra hơn 100 kỹ
năng, trong đó có 50 kỹ năng cơ bản và tối thiểu, cần thiết cho hoạt động
nghề nghiệp của GV.
Vấn đề rèn luyện kỹ năng cho người lao động đã có từ lâu, được nhiều
nhà khoa học quan tâm và nghiên cứu.

1.1.2. Các nghiên cứu trong nước
Kỹ năng toán học hóa tình huống thực tiễn được cho trong bài toán hoặc
nảy sinh từ đời sống thực tế nhằm tạo điều kiện cho HS biết vận dụng những
kiến thức toán học trong nhà trường vào cuộc sống, góp phần gây hứng thú học
tập, giúp HS nắm được thực chất vấn đề và tránh hiểu các sự kiện toán học một
cách hình thức. Do đó tác giả V. I. Lênin đã nhấn mạnh: “… Từ buổi còn thơ,


12

học sinh cần được vận dụng lý thuyết vào thực tiễn. Khi trẻ em giúp đỡ các nông
trang viên tính toán hàng ngày mà tính đúng, các em đã làm một việc không phải
tách rời học tập mà chính việc đó đã giúp chúng áp dụng kiến thức vào đời sống.
Khi trẻ em giúp ủy ban xã làm những phép tính thống kê về kinh tế cần thiết thì
điều đó đã giúp vào việc học của chúng, giúp cho việc giáo dục Cộng sản đối với
chúng” [31, tr.437].
Theo V. V. Firsôv khẳng định: “Việc giảng dạy Toán ở trường phổ thông
không thể không chú ý đến sự cần thiết phải phản ánh khía cạnh ứng dụng của
khoa học Toán học, điều đó phải được thể hiện bằng việc dạy cho học sinh ứng
dụng Toán học để giải quyết các bài toán có nội dung thực tế (dẫn theo [29,
tr.34])”.
Trong dạy học toán, để HS tiếp thu tốt rất cần đến sự liên hệ gần gũi bằng
những tình huống, những vấn đề thực tế. Những hoạt động thực tiễn đó vừa có
tác dụng rèn luyện năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn vừa giúp HS tích
cực hóa trong học tập để lĩnh hội kiến thức. Giáo sư Đào Tam cũng rất quan tâm
đến vấn đề này, được thể hiện khá cụ thể trong cuốn Phương pháp dạy học Hình
học ở trường THPT [24].
Trong quá trình tìm hiểu, chúng tôi nhận thấy có rất nhiều công trình
nghiên cứu khoa học liên quan đến việc bồi dưỡng năng lực vận dụng toán học
vào thực tiễn cho HS. Chẳng hạn, một số công trình nghiên cứu sau:

- Nguyễn Viết Dũng, luận án tiến sĩ: “Hình thành và phát triển một số
kỹ năng thích nghi trí tuệ cho học sinh trung học phổ thông qua dạy học hình
học”.
- Phan Anh, luận án tiến sĩ: “Góp phần phát triển năng lực toán học hóa
tình huống thực tiễn cho học sinh trung học phổ thông qua dạy học Đại số và
Giải tích”.


13

- Nguyễn Văn Nam, luận văn thạc sĩ: “Rèn luyện cho học sinh trung
học phổ thông kỹ năng tiến hành các hoạt động trí tuệ trong giải toán Đại số
và Giải tích”.
- Nguyễn Thị Hường, luận văn thạc sĩ: “Bồi dưỡng năng lực vận dụng
toán học vào thực tiễn cho học sinh trong dạy học toán ở trường trung học cơ
sở”.
- Phan Thị Thùy Trang, luận văn thạc sĩ: “Xây dựng và sử dụng kiểu
bài toán của Pisa vào dạy học môn toán ở trường trung học phổ thông theo
định hướng tăng cường các bài toán thực tiễn”.
- Nguyễn Văn Bảo, luận văn thạc sĩ: “Góp phần rèn luyện cho học sinh
năng lực vận dụng kiến thức toán học để giải quyết một số bài toán có nội dung
thực tiễn”.
- Đào Thị Liễu, luận văn thạc sĩ: “Bồi dưỡng năng lực toán học hóa tình
huống thực tiễn cho học sinh thông qua dạy học chủ đề Xác suất – Thống kê”.
- Trần Thị Kim Nhung, luận văn thạc sĩ: “Phát triển năng lực phát hiện và
giải quyết vấn đề cho học sinh thông qua dạy học chủ đề Tổ hợp – Xác suất (Đại
số và Giải tích 11 nâng cao)”.
- Nguyễn Danh Nam: “Nghiên cứu vận dụng phương pháp mô hình hóa
trong dạy học môn toán ở trường phổ thông”, đề tài cấp Bộ.
Phương pháp toán học hóa nói riêng, phương pháp mô hình hóa trong dạy

học nói chung được sử dụng ở các lĩnh vực khác, thể hiện qua các công trình
sau:
- Vũ Trúc Thanh Hoài, luận văn tốt nghiệp đại học: “Sử dụng mô hình
vật lý trong dạy học chương “chất khí” lớp 10 THPT ban nâng cao nhằm tổ
chức hoạt động học tập tích cực, tự lực, sáng tạo cho học sinh”.


14

- Phan Viết Chính, đề tài nghiên cứu khoa học trên tạp chí Đại học
Đông Á: “Ứng dụng mô hình toán đánh giá chất lượng nước hạ lưu sông
Đồng Nai đến năm 2020”.
Việc rèn luyện kỹ năng toán học hóa tình huống thực tiễn cho HS
THPT được nhiều tác giả quan tâm, tuy nhiên còn chưa có đề tài đi sâu vào
nội dung Tổ hợp – Xác suất (Đại số và Giải tích 11 chương trình chuẩn). Do
đó, chúng tôi thấy rằng việc nghiên cứu về kỹ năng toán học hóa tình huống
thực tiễn cho HS THPT trong dạy học Tổ hợp – Xác suất là điều cần thiết.
1.2. Kỹ năng toán học hóa tình huống thực tiễn
1.2.1. Kỹ năng
1.2.1.1. Khái niệm kỹ năng
Nói đến kỹ năng, A. V. Petrovski viết: Năng lực sử dụng các dữ kiện, các
tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc
tính bản chất của các sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lý luận
hay thực hành xác định, được gọi là kỹ năng (A. V. Petrovski (1982), Tâm lí học
lứa tuổi và tâm lí học sư phạm, NXB Giáo dục Hà Nội).
Theo từ điển Tiếng Việt: Kỹ năng – khả năng vận dụng những kiến thức
thu được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế. Còn từ điển Triết học: Kỹ năng
– những động tác đã trở thành máy móc do được lặp lại sau một thời gian dài.
G. Pôlia khẳng định rằng: “Trong toán học, kỹ năng là khả năng giải các
bài toán, thực hiện các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải

và chứng minh nhận được”.
Theo V .A. Cruchetxki: “Năng lực toán học được hiểu là những đặc điểm
tâm lí cá nhân (trước hết là những đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng những
yêu cầu của hoạt động học tập toán học, và trong những điều kiện vững chắc như
nhau thì nguyên nhân của sự hình thành công trong việc nắm vững một cách
sáng tạo toán học với tư cách là một môn học, đặc biệt nắm vững tương đối


15

nhanh, dễ dàng, sâu sắc những kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực toán
học” (dẫn theo [10]).
Theo [20, tr.201]: Kỹ năng là khả năng vận dụng một kiến thức nào đó
vào thực tiễn.
Theo [25, tr.91]: Kỹ năng học tập của HS có thể diễn đạt như sau: kỹ năng
học tập là khả năng vận dụng có kết quả những kiến thức về phương thức thực
hiện các hành động học tập đã được học sinh lĩnh hội để giải quyết nhiệm vụ học
tập mới.
Từ những quan điểm trên, ta có thể hiểu rằng: kỹ năng là khả năng vận
dụng tri thức khoa học vào thực tiễn, trong đó khả năng được hiểu là “sức đã có
(về mặt nào đó) để có thể làm tốt một việc gì”. Mỗi kỹ năng bao gồm một hệ
thống thao tác trí tuệ và thực hành, thực hiện trọn vẹn hệ thống này sẽ đảm bảo
đạt được mục đích đã đặt ra. Kỹ năng bao giờ cũng xuất phát từ kiến thức, dựa
trên kiến thức, kỹ năng chính là kiến thức trong hành động.
1.2.1.2. Đặc điểm của kỹ năng
- Bất cứ kỹ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết, đó là kiến thức,
bởi vì cấu trúc của kỹ năng bao gồm: hiểu mục đích – biết cách thức đi đến kết
quả – hiểu những điều kiện để triển khai các cách thức đó.
- Kiến thức là cơ sở của kỹ năng, khi kiến thức đó phản ánh một cách đầy
đủ các thuộc tính bản chất của đối tượng, được thử nghiệm trong thực tiễn và tồn

tại trong ý thức với tư cách là công cụ của hành động.
1.2.1.3. Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hành thành kỹ năng
- Nội dung của bài tập: nhiệm vụ đặt ra được trừu tượng hóa hay bị che
phủ bởi những yếu tố phụ làm lệch hướng tư duy có ảnh hưởng đến sự hình
thành kỹ năng.


16

- Tâm thế và thói quen cũng ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng, việc
tạo ra tâm thế thuận lợi trong học tập sẽ giúp cho HS dễ dàng trong việc hình
thành kỹ năng.
- Khả năng khái quát nhìn đối tượng một cách toàn thể ở mức độ cao hay
thấp.
1.2.1.4. Sự hình thành kỹ năng
a) Thực chất của sự hình thành kỹ năng là hình thành cho HS khả năng
nắm vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ các
thông tin chứa đựng trong bài tập, trong nhiệm vụ.
b) Khi hình thành kỹ năng cho HS cần tiến hành:
- Giúp HS biết cách tìm tòi để nhận ra yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm và
mối quan hệ giữa chúng.
- Giúp HS hình thành một mô hình khái quát để giải quyết các bài tập, các
đối tượng cùng loại.
- Xác lập được mối liên quan giữa bài tập mô hình khái quát hóa và các
kiến thức tương ứng.
1.2.2. Khái niệm toán học hóa tình huống thực tiễn
Lịch sử toán học gắn liền với sự phát triển của loài người, những khái
niệm được hình thành xuất phát từ đời sống thực tiễn, từ nhu cầu tìm tòi và khám
phá của con người. Toán học đã xâm nhập vào cuộc sống đời thường, trong lao
động sản xuất và trong nghiên cứu của mọi ngành khoa học, đó là quá trình toán

học hóa tình huống thực tiễn. Theo Hans Freudenthal: “Toán học hóa dẫn thế
giới của cuộc sống về thế giới các kí hiệu…”. Ông cũng cho rằng: “Tiên đề hóa,
công thức hóa, sơ đồ hóa được xem là tiền đề của thuật ngữ toán học hóa”; trong
đó tiên đề hóa là thuật ngữ chính đầu tiên xuất hiện trong ngữ cảnh của toán
học”. Thuật ngữ “toán học hóa” được các nhà khoa học dùng trong các cuộc
thảo luận trước khi đưa ra các văn bản chính thức. Thuật ngữ này ra đời một


17

cách tự nhiên, đến nay vẫn chưa xác định được ai đã sử dụng nó lần đầu tiên và
từ thời điểm nào.
Toán học hóa tình huống thực tiễn là chuyển một vấn đề thực tế thành
một bài toán để sử dụng những kiến thức toán học đã biết nhằm nghiên cứu giải
quyết. Đối với người có trình độ phổ thông, hoạt động toán học hóa tình huống
thực tiễn xảy ra khi họ đối mặt với các vấn đề có ảnh hưởng đến bản thân. Họ nỗ
lực chuyển những tình huống này về bài toán phổ thông để giải quyết, phục vụ
cho hoạt động thực tiễn của mình. Đây là việc vận dụng toán học vào các tình
huống phổ biến, thường xảy ra trong cuộc sống. Đối mặt với các tình huống, họ
liên tưởng tới những tri thức toán học phù hợp để xây dựng thành bài toán và tìm
cách giải quyết nhằm đáp ứng nhu cầu của mình. Toán học hóa tình huống thực
tiễn là hoạt động quan trọng cần thiết đối với mỗi chúng ta.
Theo thuật ngữ “toán học
hóa” được giải nghĩa là: đưa về dạng toán học (Mathematization: reduction to
Mathematical). Do đó, có thể hiểu quá trình toán học hóa tình huống thực tiễn là
quá trình đưa vấn đề đó về dạng toán học (xây dựng mô hình toán cho tình
huống thực tiễn). Vì vậy, để thực hiện được hoạt động toán học hóa tình huống
thực tiễn, con người cần được trang bị phương pháp mô hình hóa.
1.2.2.1. Phương pháp mô hình hóa
Phương pháp mô hình hóa là phương pháp nhận thức khoa học mà con

người dùng phương tiện là mô hình để nghiên cứu các tình huống thực tế.
a) Quan điểm về mô hình
Về mô hình, có nhiều quan điểm khác nhau, có thể dẫn ra một vài ví dụ:
- Khách thể M là mô hình của khách thể A đối với hệ thống S các đặc
trưng nào đó, nếu M được xây dựng hoặc được chọn để bắt chước A theo những
đặc trưng đó.


18

- Mô hình là một “vật” hay “hệ thống vật” đóng vai trò đại diện hoặc vật
thay thế cho “vật” hay “hệ thống vật” mà ta quan tâm nghiên cứu.
- Mô hình là một hệ thống được hình dung trong óc hoặc được thực hiện
bằng vật chất phản ánh hay tái tạo lại đối tượng nghiên cứu.
Nói tóm lại, mô hình là vật trung gian dùng để nghiên cứu đối tượng (vật
gốc) mà ta quan tâm.
b) Các đặc trưng của mô hình
Mô hình là vật đại diện, là vật trung gian cho sự nghiên cứu, nên mô hình
phải bảo lưu được các mối quan hệ cơ bản của vật gốc (tính chất nào là cơ bản
do con người quan niệm). Bởi vậy, mô hình phải đồng cấu hay đẳng cấu với vật
gốc. Mô hình đẳng cấu (đồng cấu) với vật gốc theo nghĩa: đồng nhất hoàn toàn
về mặt cấu trúc (đồng nhất những tính chất và những mối quan hệ chủ yếu).
Tính chất này cho phép con người xây dựng những mô hình đơn giản hơn vật
gốc. Xviregiev. Iu. cho rằng: “Mô hình có thể là thô thiển và chưa hoàn thiện,
song nó phải xét đến mọi khía cạnh chính của thực tế, những khía cạnh mà
chúng ta quan tâm tới”. Tuy nhiên không phải bao giờ mô hình cũng đơn giản
hơn vật gốc, ngày nay với sự phát triển của khoa học kỹ thuật, con người sử
dụng nhiều phương tiện hiện đại để mô tả đối tượng nghiên cứu, cho nên nó có
thể phức tạp hơn vật gốc.
Đứng về mặt nhận thức, mô hình là sản phẩm của quá trình tư duy, nó ra

đời nhờ quá trình trừu tượng hóa của ít nhiều các đối tượng cụ thể. Trong quá
trình trừu tượng hóa, con người đã vứt bỏ những dấu hiệu không bản chất, chỉ
giữ lại những thuộc tính bản chất; hay nói cách khác đối tượng nghiên cứu đã
được lý tưởng hóa. Bởi vậy, mô hình mang tính lý tưởng, tính chất này cho phép
con người sáng tạo ra trên đó những yếu tố chưa hề có trong thực tiễn. Điều này
đã làm cho phương pháp mô hình hóa có tính chất cách mạng và phát triển. Do
đó, quá trình xây dựng mô hình là một quá trình nhận thức khoa học tích cực.


19

Mô hình không thể thay thế hoàn toàn vật gốc. Một mô hình chỉ phản ánh
đến một mức độ nào đó, một vài mặt nào đó của vật gốc. Để nghiên cứu các sự
vật, hiện tượng phức tạp, người ta dùng nhiều mô hình để mô tả chúng. Tuy
nhiên việc lắp ráp chúng lại để có một sự đánh giá tổng quát về đối tượng ban
đầu không phải là một việc đơn giản.
Thực tiễn cuộc sống luôn luôn vận động và biến đổi, bởi vậy mô hình
không phải là cái bất biến. Phát triển từ mô hình ở mức độ thấp đến mô hình ở
mức độ cao hơn đòi hỏi phải phát hiện được tính quy luật chung của các nhóm
mô hình của các quy trình cụ thể, trong đó mô hình tổng quát hơn phải tương
thích với các mô hình cụ thể trước đó. Một mô hình có thể là chưa thành công về
nhiều phương diện nhưng nó vẫn có vai trò quan trọng trong việc phán đoán tình
huống thực tiễn.
Đặc điểm quan trọng của mô hình toán học là sử dụng ngôn ngữ toán học
để mô tả hiện thực khách quan; chính điều này đã làm cho nó ưu việt hơn các
mô hình của các khoa học khác. Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn cho rằng: “Mô hình
toán học khác các mô hình trong các khoa học khác ở chỗ nó bỏ qua các thuộc
tính về “chất” mà chỉ cần một ngôn ngữ nào đó chính xác diễn tả đúng những
quan hệ số lượng cơ bản, từ đó có thể suy ra quan hệ số lượng khác”.
c) Quá trình mô hình hóa

Quá trình mô hình hóa một sự kiện nào đó thường xảy ra ba giai đoạn
chính:
- Giai đoạn 1 là giai đoạn tìm “vật” đại diện; thông thường cần sự liên
tưởng đến những vấn đề tương tự. Trong giai đoạn này vai trò của trí tưởng
tượng và trực giác là hết sức quan trọng. Nhờ trí tưởng tượng và trực giác, người
ta loại bỏ những mối quan hệ thứ yếu của đối tượng nghiên cứu thay nó bằng
một “hình mẫu” chỉ mang những tính chất, những mối quan hệ chủ yếu. “Hình
mẫu” chỉ có trong óc và căn cứ vào đó, người ta xây dựng mô hình thật (nếu như


20

người đó sử dụng mô hình vật chất) hoặc liên tưởng tới những mô hình đã có
sẵn.
- Giai đoạn 2 là giai đoạn nghiên cứu trên mô hình. Giai đoạn này, mô
hình trở thành đối tượng nghiên cứu; trên đó, người ta áp dụng các phương pháp
lý thuyết và thực nghiệm khác nhau.
- Giai đoạn 3 là giai đoạn xử lý kết quả và điều chỉnh mô hình. Trong giai
đoạn này, kết quả thu được trên mô hình được chuyển về đối tượng nghiên cứu
để đối chiếu, làm cơ sở cho việc điều chỉnh mô hình.
1.2.2.2. Hoạt động toán học hóa tình huống thực tiễn
Hoạt động toán học hóa tình huống thực tiễn là hoạt động chuyển một vấn
đề thực tế về một vấn đề trong nội tại bản thân toán học để sử dụng các công cụ
của khoa học này nghiên cứu giải quyết. Hoạt động này có thể chia thành hai
dạng: dạng thứ nhất là hoạt động của các nhà khoa học; dạng thứ hai là hoạt
động của những người có học vấn phổ thông.
Đối với các nhà khoa học, người ta quan tâm đến việc mô tả quy luật của
tự nhiên, của xã hội bằng công cụ toán học để mang lại những ứng dụng thiết
thực trong khoa học và đời sống. Quá trình xây dựng mô hình toán học cho các
vấn đề thực tế này là một vấn đề vô cùng phức tạp; nó xuất phát từ thực tiễn

cuộc sống muôn hình muôn vẻ. Mô hình toán học có thể có nhiều cấp độ, có thể
mô tả một lớp rộng rãi các đối tượng của hiện thực khách quan, cũng có thể phân
chia thành nhiều lớp các mô hình riêng biệt và các lớp mô hình này cũng có thể
có nhiều mức độ khác nhau. Cuối cùng là mô hình toán học của các quá trình cụ
thể. Trong sự suy diễn ở trên là đi từ mô hình toán học tổng quát đến mô hình
toán học riêng biệt cụ thể. Tuy nhiên, trên thực tế quá trình xây dựng mô hình đi
ngược lại với sự suy diễn đó. Quá trình xây dựng mô hình toán học không phải
là quá trình hình thức hóa mà nó chứa đựng những giả định (giai đoạn trực giác),
các tính toán dựa trên những giả định và so sánh với thông tin nhận được. Tuy là


21

phức tạp nhưng người ta cũng hình dung ra được các giai đoạn phải thực hiện
trong quá trình này. Theo Viện sĩ Doronhixưn. A. A thì quá trình mô hình hóa
của các nhà khoa học có thể phân thành các giai đoạn sau: 1) nhận biết các dạng
liên hệ (người); 2) xây dựng mô hình toán học (người); 3) giải bài toán trên mô
hình (máy); 4) so sánh kết quả đã giải với thông tin thu được, xác định những
điều kiện không phù hợp (máy); 5) phân tích các nguyên nhân có thể gây nên sự
không phù hợp (người); 6) xây dựng mô hình toán học mới. Sau đó quá trình lặp
lại từ 2 đến 6, số lần lặp lại tùy thuộc vào tư duy sắc bén của con người. Nếu kết
quả phù hợp thì có thể chấp nhận mô hình, ngược lại phải quay về bước 1.
Đối với người có bậc học phổ thông, hoạt động toán học hóa tình huống
thực tiễn xảy ra khi học đối mặt với các tình huống có ảnh hưởng trực tiếp đến
cuộc sống cá nhân. Họ phải nổ lực chuyển những tình huống này về dạng toán
học phổ thông để giải quyết, phục vụ cho hoạt động thực tiễn của bản thân mình.
Hoạt động này thiên về việc vận dụng toán học vào các tình huống đơn giản ,
phổ biến thường xảy ra trong cuộc sống. Tuy nhiên, việc vận dụng đó lại mang
tính chất gián tiếp. Cụ thể là trước tình huống thực tiễn đối mặt trong cuộc sống,
họ phải liên tưởng tới những tri thức toán học phù hợp để từ đó đặt ra được bài

toán và tìm cách giải quyết nhằm thỏa mãn nhu cầu của mình. Không những thế,
người học còn biết nhìn lại quá trình giải quyết một cách nghiêm túc để tìm ra
được lược đồ tối ưu, bổ sung vào vốn kinh nghiệm, phục vụ cho các hoạt động
thực tiễn.
Hoạt động toán học hóa tình huống thực tiễn là một hoạt động quan trọng
cần thiết đối với mọi người lao động. Hoạt động này mang tính phổ biến cho
những người có học vấn phổ thông, giúp cho họ năng động thích ứng với thực
tiễn đời sống. Luận văn của chúng tôi quan tâm tới việc rèn luyện kỹ năng toán
học hóa tình huống thực tiễn cho HS THPT nhằm góp phần đáp ứng các điều
kiện cho hoạt động đó trong tương lai của người học.


22

1.2.3. Kỹ năng toán học hóa tình huống thực tiễn của HS THPT
1.2.3.1. Khái niệm tình huống thực tiễn và bài toán có nội dung thực tiễn
Theo từ điển tiếng Việt thì tình huống là “sự diễn biến của tình hình, có
mặt cần phải đối phó”. Như vậy, theo nghĩa này tình huống bao hàm sự biến
thiên và phụ thuộc. Theo tác giả Nguyễn Bá Kim quan niệm khái niệm này trên
cơ sở của lý thuyết hệ thống, ông cho rằng: Một tình huống là một hệ thống phức
tạp bao gồm chủ thể và khách thể, trong đó chủ thể có thể là con người, còn
khách thể là một hệ thống nào đó. Một tình huống mà khách thể tồn tại ít nhất có
một phần tử chưa biết, được gọi là bài toán tình huống đối với chủ thể. Đứng
trước một tình huống, chủ thể đặt ra mục tiêu tìm phần tử chưa biết, dựa vào các
phần tử khác của khách thể thì có một bài toán đối với chủ thể.
Dựa vào quan điểm trên của tác giả Nguyễn Bá Kim, chúng tôi quan
niệm:
Tình huống thực tiễn là tình huống mà khách thể của nó chứa đựng các
yếu tố mang nội dung thực tiễn (tức là mang nội dung các hoạt động của con
người).

Bài toán có nội dung thực tiễn là bài toán mà khách thể của nó chứa đựng
các yếu tố mang nội dung thực tiễn.
Cần phải xác định một cách rõ ràng: khái niệm “thực tiễn” khác với khái
niệm “thực tế” rất nhiều. “Thực tiễn” là toàn bộ hoạt động của con người, trước
hết là lao động sản xuất; trong khi đó “thực tế” là tổng thể nói chung những gì
đang tồn tại, đang diễn biến trong tự nhiên và xã hội về mặt có liên quan đến đời
sống con người. Luận văn chỉ đề cập đến những tình huống thực tiễn đơn giản,
phổ biến trong cuộc sống mà bằng kiến thức phổ thông, HS có thể nhận thức
được.
Quan niệm về tình huống thực tiễn và bài toán có nội dung thực tiễn như
đã trình bày ở trên sẽ được chúng tôi sử dụng trong luận văn này.


23

1.2.3.2. Mối quan hệ giữa mô hình toán học của tình huống thực tiễn và
mô hình toán học của bài toán có nội dung thực tiễn
Xây dựng mô hình toán học cho tình huống thực tiễn là mô tả các tình
huống đó bằng ngôn ngữ toán học. Giả sử rằng: tình huống thực tiễn đang xét có
mô hình toán học là M và trước tình huống đó chủ thể có nhu cầu N 1 (tìm hiểu
về khách thể). Nhu cầu này chuyển hóa thành mục đích và được diễn tả bởi một
nội dung toán học là A1. Trong [2], mô hình của bài toán có nội dung thực tiễn
vừa xuất hiện là M1, có quan hệ với mô hình của tình huống ban đầu được diễn
tả như sơ đồ 1.1.

THTT

M1

=

M

N1

+

A1

Sơ đồ 1.1
Cần phải lưu ý rằng đứng trước mỗi một tình huống thực tiễn, chủ thể có
thể có nhiều nhu cầu; do đó, ứng với mỗi tình huống có thể xây dựng được nhiều
bài toán. Sự tách bạch giữa các khái niệm tình huống thực tiễn và bài toán có nội
dung thực tiễn cùng việc mô tả mối quan hệ giữa các mô hình của chúng phù
hợp với quan điểm của PISA về vấn đề này.
Về phương diện dạy học, việc tách bạch rạch ròi như trên có những thuận
lợi sau đây: 1) làm cho HS thấy được rằng bài toán có nội dung thực tiễn có
nguồn gốc từ nhu cầu của con người, khi bản thân chứng kiến tình huống đó; 2)
làm cho HS thấy rõ có thể xây dựng mô hình bài toán có nội dung thực tiễn trên
cơ sở mô hình toán học của tình huống thực tiễn; 3) HS thấy được mỗi tình
huống thực tiễn có thể có nhiều bài toán có nội dung thực tiễn. Một điều cần phải
thống nhất ở đây là không phải bao giờ cũng phân biệt các khái niệm trên một


24

cách rạch ròi, chỉ khi nào thấy thực sự là hết sức cần thiết. Bởi vậy, trong luận
văn khi đề cập đến các tình huống thực tiễn trong khi bàn luận đến các bài toán
có nội dung thực tiễn thì ngụ ý muốn nói tình huống thực tiễn hàm chứa trong
bài toán đó.

1.2.3.3. Một số vấn đề xoay quanh bài toán có nội dung thực tiễn
Thứ nhất phải khẳng định rằng bài toán có nội dung thực tiễn trong sách
giáo khoa ở trường phổ thông đã được chính xác hóa và lý tưởng hóa, điều đó
được thể hiện qua những điểm sau: các tình huống ẩn chứa trong các bài toán
này chưa hẳn đã xảy ra cuộc sống thực, chẳng hạn những tình huống diễn tả
chuyển động đều, chuyển động nhanh dần đều,…. Mặt khác, giả thiết của bài
toán không thiếu, không thừa, lời giải bao giờ cũng cho kết quả để trả lời cho câu
hỏi thực tiễn, thậm chí kết quả còn “rất đẹp”. Nói như thế, không có nghĩa các
bài toán trong sách giáo khoa không có tác dụng gì trong dạy học; ngược lại nó
có tác dụng rất lớn trong việc rèn luyện cho HS khả năng vận dụng tri thức toán
học vào đời sống thực tiễn. Những bài toán có nội dung thực tiễn là cầu nối đầu
tiên nối liền toán học với cuộc sống.
Những bài toán có nội dung thực tiễn gần gũi với cuộc sống hơn là các bài
toán mở, đó là những bài toán mà khi làm việc với chúng, HS phải tự mày mò
tìm ra giả thiết hoặc kết luận. Các bài toán có nội dung thực tiễn mở về phía giả
thiết là các bài toán mà khi giải chúng, cần phải tham gia xây dựng giả thiết hay
phải lựa chọn, điều chỉnh thêm về giả thiết. Các bài toán có nội dung thực tiễn
mở về phía kết luận là các bài toán mà khi giải chúng cần phải mày mò biện luận
các trường hợp có thể xảy ra. Trong dạy học, GV nên quan tâm đến các loại bài
toán này, bởi chúng phản ánh thực tiễn một cách sát thực hơn, ngoài ra chúng
còn là công cụ giúp GV hình thành nhiều loại thao tác tư duy và năng lực trí tuệ
quan trọng.


25

Trong dạy học toán cần mô phỏng tình huống thực tiễn. Tuy nhiên cần
chú ý: tình huống xây dựng là mô phỏng tình huống có thực (có thể lý tưởng
hóa), tránh phi thực tiễn. Khi bàn về tình huống thực trong các câu hỏi kiểm tra,
PISA quan tâm đến các vấn đề như: HS có đánh giá bối cảnh (tình huống) đưa ra

câu hỏi là “thực” không? Câu hỏi có yêu cầu HS vận dụng những kiến thức và
kỹ năng vào tình huống đưa ra hay không? Một vấn đề cần được xem xét ở đây
nữa là tình huống có vấn đề theo cả nghĩa “bên trong” lẫn cả “bên ngoài”. Theo
nghĩa “bên ngoài”, được hiểu là tình huống gay cấn trong cuộc sống hoặc có tính
thời sự trong một thời điểm hiện tại; HS cảm thấy hữu ích khi dùng kiến thức, kỹ
năng của mình để giải quyết tình huống đó. Theo nghĩa “bên trong”, được hiểu
là mô hình toán học của tình huống đó là một tình huống có vấn đề trong nội tại
bản thân toán học. Sự xuất hiện tình huống có vấn đề kép này trong bài toán có
nội dung thực tiễn mô phỏng sẽ có sức hấp dẫn gấp bội đối với HS, lôi kéo họ
tham gia giải quyết vấn đề.
1.2.3.4. Hoạt động toán học hóa tình huống thực tiễn của HS phổ thông
trong dạy học toán
Giáo dục toán học phải được kết hợp với thực tiễn, đến gần trải nghiệm
của trẻ em và liên quan đến xã hội để tri thức trở thành có giá trị đối với con
người. Trong giảng dạy toán, điều quan trọng không phải nằm ở chỗ tri thức
khép kín mà nằm trong các hoạt động, trong quá trình toán học hóa. Hai loại
toán học hóa trong ngữ cảnh giáo dục, đó là toán học hóa bề ngang và bề dọc.
Quá trình toán học hóa bề ngang đòi hỏi HS phải tìm ra công cụ toán học để tổ
chức giải quyết vấn đề được đặt ra trong tình huống thực tế. Trong khi đó toán
học hóa bề dọc là quá trình tổ chức lại trong chính hệ thống toán học. Do đó toán
học hóa bề ngang liên quan đến việc đưa thế giới thực về thế giới của các ký
hiệu, còn toán học hóa bề dọc liên quan đến các chuyển hóa bên trong của thế
giới ký hiệu. Hoạt động toán học hóa tình huống thực tiễn của HS trong dạy học