Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh thông qua việc phát hiện và sửa chữa sai lầm trong dạy học Giải tích 12

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN CÔNG UẨN

RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC
SINH THÔNG QUA VIỆC PHÁT HIỆN VÀ SỬA
CHỮA SAI LẦM TRONG DẠY HỌC GIẢI TÍCH 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGHỆ AN, 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN CÔNG UẨN

RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC
SINH THÔNG QUA VIỆC PHÁT HIỆN VÀ SỬA
CHỮA SAI LẦM TRONG DẠY HỌC GIẢI TÍCH 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60 14 01 11

Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN DƯƠNG HOÀNG

NGHỆ AN, 2015

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan Luận văn “RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI
TOÁN CHO HỌC SINH THÔNG QUA VIỆC PHÁT HIỆN VÀ SỬA
CHỮA SAI LẦM TRONG DẠY HỌC GIẢI TÍCH 12” là công trình
nghiên cứu của riêng tôi, không sao chép của ai, các số liệu và kết quả nghiên
cứu nêu trong luận văn là trung thực. Nội dung Luận văn có tham khảo và sử
dụng các tài liệu, thông tin được đăng tải trên các tác phẩm, tài liệu, Luận văn,
theo danh mục tài liệu tham khảo của luận văn.

Tác giả Luận văn

Nguyễn Công Uẩn


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng chân thành cảm ơn đến Thầy hướng dẫn khoa
học TS. Nguyễn Dương Hoàng đã tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá
trình thực hiện luận văn này.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn quý thầy cô tham gia giảng dạy lớp
cao học – Ngành LL & PPDH Toán – Khóa 21 – Trường Đại Học Vinh
và Trường Đại Học Kinh Tế Công Nghiệp Long An đã tận tình giúp đỡ,
đóng góp những ý kiến quý báu để hoàn thiện luận văn.
Xin cảm ơn phòng Đào tạo sau đại học trường Đại Học Vinh, các
thầy cô, các bạn đồng nghiệp, Ban giám đốc, giáo viên và các em học
sinh ở Trung tâm Giáo Dục Thường Xuyên Thành Phố Trà Vinh đã giúp
đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình hoàn thành luận văn.

Vinh, tháng 8 năm 2015
Tác giả Luận văn

Nguyễn Công Uẩn


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU..........................................................................................................1
1. Lý do chọn đề tài.........................................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu...................................................................................3
3. Nhiệm vụ nghiên cứu..................................................................................3
4. Khách thể và đối tượng nghiên cứu...........................................................4
5. Giả thiết khoa học.......................................................................................4
6. Phương pháp nghiên cứu............................................................................4
7. Đóng góp của luận văn................................................................................5
8. Cấu trúc luận văn........................................................................................5
Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN..........................................6
1.1. Năng lực, năng lực toán học....................................................................6
1.2. Một số biểu hiện năng lực giải toán của học sinh..................................9
1.3. Các dạng sai lầm chủ yếu trong giải toán Giải tích 12........................14
1.4. Thực trạng sai lầm trong giải toán 12 của HS trên địa bàn tỉnh Trà
Vinh................................................................................................................25
1.5. Kết luận chương 1..................................................................................31
Chương 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI
TOÁN CHO HS THÔNG QUA VIỆC PHÁT HIỆN VÀ SỬA CHỮA SAI
LẦM TRONG DẠY HỌC GIẢI TÍCH 12..................................................31
2.1. Nội dung, chương trình chủ đề Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ
.........................................................................................................................31
đồ thị hàm số..................................................................................................31
2.2. Nội dung, chương trình chủ đề Nguyên hàm - Tích phân..................46
2.3. Biện pháp thực hiện...............................................................................56
2.4. Kết luận chương 2..................................................................................58

Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM....................................................59
3.1. Mục đích thực nghiệm...........................................................................59


3.2. Nội dung thực nghiệm............................................................................59
3.3. Tổ chức thực nghiệm..............................................................................60
3.4. Đánh giá thực nghiệm...........................................................................69
3.5. Kết luận chương 3..................................................................................72
KẾT LUẬN....................................................................................................73
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................74
PHỤ LỤC.......................................................................................................78

DANH MỤC VIẾT TẮT
Trong luận văn đã sử dụng một số từ viết tắt được ghi theo bảng sau:


Viết tắt

Viết đầy đủ

ĐC

Đối chứng

GV

Giáo viên

GDTX

Giáo dục thường xuyên

HS

Học sinh

PPDH

Phương pháp dạy học

SGK
TH
THCS
TN

Sách giáo khoa
Toán học
Trung học cơ sở
Thực nghiệm

Tr

Trang


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Xuất phát từ nhu cầu thực tế của thời đại, nhu cầu phát triển kinh tế của

đất nước, giáo dục Việt Nam đang đứng trước bài toán phải đổi mới một cách
toàn diện từ mục tiêu giáo dục, nội dung đến phương pháp, phương tiện dạy
học. Từ các vị lãnh đạo Đảng, Nhà nước, lãnh đạo các cấp của Ngành giáo
dục và Đào tạo đến các nhà nghiên cứu, các nhà giáo điều khẳng định vai trò
quan trọng và sự cần thiết của việc đổi mới phương pháp dạy học nhằm nâng
cao chất lượng giáo dục toàn diện của nhà trường.
Để thực hiện mục tiêu trên, Luật giáo dục đã quy định rõ: “Phương
pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng
tạo của HS, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, từng môn học, bồi dưỡng
nâng lực tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động
đến tình cảm, đem lại niềm vui hứng thú trong học tập cho HS”. (Luật giáo
dục 2005, Chương 2- mục 2, điều 28).
Nghị quyết Đại hội lần thứ XI của Đảng cũng đã khẳng định “Thực
hiện đồng bộ các giải pháp phát triển và nâng cao chất lượng giáo dục, đào
tạo. Đổi mới chương trình, nội dung, phương pháp dạy và học theo hướng
hiện đại; nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, đặc biệt coi trọng giáo dục
lý tưởng, đạo đức, năng lực sáng tạo, kỹ năng thực hành, tác phong công
nghiệp, ý thức trách nhiệm xã hội”.
Vấn đề rèn luyện năng lực TH cho HS đã được nhiều tác giả trong và
ngoài nước quan tâm nghiên cứu. Với tác phẩm “Sáng tạo toán học” nổi
tiếng, nhà toán học kiêm tâm lý học G. Polya đã nghiên cứu bản chất của quá
trình giải toán, quá trình sáng tạo toán học. Đồng thời trong tác phẩm “Tâm lý
năng lực toán học của học sinh”, Crutexki V. A đã nghiên cứu cấu trúc năng
lực TH của HS.


2

Các công trình nghiên cứu đã đề cập đến sai lầm của HS trong giải
Toán như: Phan Văn Do (2013), Phát hiện và sữa chữa sai lầm cho học sinh

trong dạy học phương trình, bất đẳng thức và bất phương trình ở trường
THPT, Luận văn thạc sĩ Giáo dục học, Vinh; Nguyễn Văn Hậu (2006),
Nghiên cứu một số sai lầm của học sinh Trung học phổ thông khi giải toán
Đại số - Giải tích và quan điểm khắc phục, Luận văn thạc sĩ Giáo dục học,
Vinh; Nguyễn Thị Thu Hằng (2008), Một số biện pháp sư phạm khắc phục
tình trạng yếu kém toán cho học sinh trong dạy học Đại số 10 THPT, Luận
văn Thạc sĩ; Lê Thống Nhất (1996) Rèn luyện năng lực giải Toán cho HS THPT thông
qua việc phân tích và sửa chữa các sai lầm của HS khi giải Toán, Luận án phó Tiến sĩ,
Đại học Vinh; Lê Thị Ngọc Thảo (2011), Rèn luyện kỹ năng giải toán thông qua phát
hiện và sữa chữa sai lầm cho học sinh THCS qua dạy học giải toán Đại số. Luận văn
thạc sĩ Giáo dục học, Vinh; Nguyễn Thụy Phương Trâm (2013), Một số biện
pháp sư phạm giúp đỡ học sinh yếu kém toán trong dạy học Nguyên hàm –
Tích phân ở trường THPT, Luận văn thạc sĩ Giáo dục học, Vinh. Các tác giả
Hoàng Chúng, Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Bá Kim, Nguyễn Cảnh Toàn…
Những công trình ở trên là những phát hiện về sai lầm và quan điểm khắc
phục với đối tượng nghiên cứu rất rộng bao gồm các chủ đề của môn Đại số Giải tích. Chúng tôi thấy rằng: Giải tích 12 là phần kiến thức quan trọng trong
nội dung thi tốt nghiệp THPT, cao đẳng và đại học. Những sai lầm của HS khi
học về chủ đề này tương đối đa dạng như: sai lầm về phân chia các trường
hợp riêng, ngôn ngữ diễn đạt, các sai lầm liên quan đến tư duy, suy luận …
Cũng như ở Trà Vinh nói riêng là một tỉnh về điều kiện kinh tế còn nghèo,
văn hóa còn cổ hủ và lạc hậu, cở sở vật chất đến trang thiết bị trường học còn
nhiều thiếu thốn. Đội ngũ GV chưa đồng bộ, GV sau đại học còn rất ít. Đối
tượng HS đến trường đa phần là con em đồng bào dân tộc Khơmer, sự nhận
thức của các em còn nhiều hạn chế vì thế các em buộc phải vào học các Trung
tâm GDTX của các huyện trong tỉnh, cho nên trong quá trình học Toán, rất


3

nhiều HS còn bộc lộ những yếu kém, hạn chế về năng lực giải Toán: Nhìn các

đối tượng TH một cách rời rạc, chưa thấy được mối liên hệ giữa các yếu tố
TH, không linh hoạt trong điều chỉnh hướng suy nghĩ khi gặp trở ngại, quen
với kiểu suy nghĩ rập khuôn, áp dụng một cách máy móc những kinh nghiệm
đã có vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới đã chứa đựng những yếu tố thay đổi,
HS chưa có tính độc đáo khi tìm lời giải bài toán. Nên HS vi phạm nhiều sai
lầm về kiến thức TH. Trong đó, một trong những nguyên nhân quan trọng là
giáo viên còn chưa chú ý một cách đúng mức việc phát hiện, tìm ra nguyên
nhân và sửa chữa các sai lầm cho HS ngay trong giờ học Toán để có nhu cầu
về nhận thức sai lầm, tìm ra những nguyên nhân và biện pháp hạn chế, sửa
chữa kịp thời các sai lầm này.Từ đó dẫn đến một hệ quả là nhiều HS gặp khó
khăn khi giải toán, đặc biệt là các bài toán đòi hỏi phải có sáng tạo trong lời
giải như các bài tập Giải tích 12. Do vậy, việc rèn luyện năng lực tư duy TH
cho HS nói chung là một yêu cầu cấp bách.
Vì những lý do trên, chúng tôi quyết định lựa chọn đề tài nghiên cứu: Rèn
luyện năng lực giải Toán cho HS thông qua việc phát hiện và sửa chữa sai
lầm trong dạy học Giải Tích 12.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu các sai lầm phổ biến của HS GDTX khi giải toán, đồng thời
đề xuất các giải pháp sư phạm để hạn chế và sửa chữa sai lầm này, nhằm rèn
luyện năng lực giải Toán cho HS và góp phần nâng cao chất lượng dạy học
toán trong các Trung tâm GDTX.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài bao gồm:
- Làm sáng tỏ một số vấn đề cơ bản năng lực giải Toán.
- Nghiên cứu những biểu hiện của năng lực giải Toán của HS GDTX và
sự cần thiết phải rèn luyện năng lực giải Toán cho HS thông qua việc phát
hiện và sửa chữa sai lầm trong dạy học Giải Tích 12.


4

- Đề xuất các biện pháp sư phạm với các tình huống điển hình để hạn chế,
sửa chữa các sai lầm của HS GDTX.
- Thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi và tính hiệu quả của các
biện pháp được đề xuất.
4. Khách thể và đối tượng nghiên cứu
Khách thể và đối tượng nghiên cứu của đề tài bao gồm:
- HS GDTX của một số Trung tâm GDTX trên địa bàn tỉnh Trà Vinh.
- Giáo viên dạy toán GDTX trên địa bàn tỉnh Trà Vinh.
- Môi trường sư phạm của một số trung tâm GDTX trên địa bàn tỉnh Trà
Vinh, đặc biệt là trong giờ dạy toán.
5. Giả thiết khoa học
Nếu thường xuyên quan tâm, chú trọng và coi trọng đúng mức: “Rèn
luyện năng lực giải Toán cho HS thông qua việc phát hiện và sửa chữa sai
lầm trong dạy học Giải Tích 12” thì năng lực giải toán của HS sẽ được nâng
cao hơn, từ đó chất lượng giáo dục TH sẽ tốt hơn.
6. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận:
Nghiên cứu, phân tích và tổng hợp các tài liệu về giáo dục học, tâm lý
học, các sách giáo khoa, sách bài tập, các tạp chí, sách, báo, có liên quan tới
logic toán học, tư duy TH, năng lực tư duy TH, các phương pháp nhằm Rèn
luyện năng lực tư duy TH cho HS GDTX thông qua việc phát hiện và sửa
chữa sai lầm của học sinh khi giải toán Giải Tích 12.
- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn:
Bước đầu tìm hiểu tình hình dạy học và rút ra một số nhận xét về việc
“Rèn luyện năng lực giải Toán cho HS thông qua việc phát hiện và sửa chữa
sai lầm trong dạy học Giải Tích 12”
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm:

5

Thể hiện các biện pháp đã đề ra qua một số giờ dạy thực nghiệm ở một số
lớp đã chọn. Trên cơ sở đó kiểm tra, đánh giá, bổ sung và sửa đổi để tăng
thêm tính khả thi của các biện pháp.
7. Đóng góp của luận văn
- Về lý luận:
Góp phần làm sáng tỏ nội dung “Rèn luyện năng lực giải Toán cho HS
thông qua việc phát hiện và sửa chữa sai lầm trong dạy học Giải Tích 12”.
- Về thực tiễn:
Xây dựng một số biện pháp “Rèn luyện năng lực giải Toán cho HS
thông qua việc phát hiện và sửa chữa sai lầm trong dạy học Giải Tích 12”.
Vận dụng các biện pháp trên vào thực tiễn để sửa chữa sai lầm của học
sinh khi giải toán Giải Tích 12.
8. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết thúc và tài liệu tham khảo, luận văn chúng tôi
thực hiện gồm 3 chương:
- Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiển.
- Chương 2: Một số biện pháp rèn luyện năng lực giải Toán cho HS thông
qua việc phát hiện và sửa chữa sai lầm trong dạy học Giải Tích 12.
- Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.


6

Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Năng lực, năng lực toán học
1.1.1. Khái niệm năng lực
Năng lực là một vấn đề khá trừu tượng của tâm lý học. Khái niệm này
cho đến ngày nay vẫn có nhiều cách tiếp cận và cách diễn đạt khác nhau, sau

đây là một số quan điểm của một số tác giả về năng lực:
- X. Roegiers [42, tr. 90]: "Năng lực là sự thích hợp các kỹ năng tác
động một cách tự nhiên lên các nội dung trong loại tình huống cho trước để
giải quyết những vấn đề do tình huống đặt ra".
Phạm Minh Hạc [11, tr. 145] cho rằng: "Năng lực là một tổ hợp đặc
điểm tâm lý của một người, tổ hợp này vận hành theo một mục đích nhất định
tạo ra kết quả của một hoạt động nào đấy".
C. Mác chỉ rõ: “Sự khác nhau về tài năng tự nhiên của các cá nhân
không phải là nguyên nhân mà là kết quả của sự phân công lao động” [17, tr.
167]. Ph. Ăng ghen thì cho rằng: “Lao động đã sáng tạo ra con người” [1, tr.
641].
Trường phái tâm lí học Xôviết với A. G. Côvaliov [5, tr. 84-127], N. X.
Lâytex, …và tiêu biểu là B. M. Chieplôv đã có nhiều công trình nghiên cứu
về NL trí tuệ. B.M. Chieplôv coi NL là những đặc điểm tâm lí cá nhân có liên
quan với kết quả tốt đẹp với việc hoàn thành một hoạt động nào đó. Theo ông
có hai yếu tố cơ bản liên quan đến khái niệm NL:
Thứ nhất, NL là những đặc điểm tâm lí mang tính cá nhân. Mỗi cá thể
khác nhau có NL khác nhau về cùng một lĩnh vực. Không thể nói rằng: Mọi
người đều có năng lực như nhau.
Thứ hai, khi nói đến NL, không chỉ nói tới các đặc điểm tâm lí chung
mà NL còn phải gắn với một hoạt động nào đó và được hoàn thành có kết quả
tốt (tính hướng đích).


7

Ở Việt Nam, nhấn mạnh đến tính mục đích và nhân cách của NL, Phạm
Tất Dong và Phạm Minh Hạc đưa ra định nghĩa: “Năng lực chính là một tổ
hợp các đặc điểm tâm lí của một con người (còn gọi là tổ hợp thuộc tính tâm
lí của một nhân cách), tổ hợp đặc điểm này vận hành theo một mục đích nhất

định tạo ra kết quả của một hoạt động nào đấy” [11, tr.45].
Từ sự nghiên cứu của các tác giả ở trên chúng tôi có thể nhận thấy
rằng: Năng lực là tổ hợp các thuộc tính tâm lý (hoặc kỹ năng) của con người
để thực hiện thành công một hoạt động nào đó. Năng lực gắn với khả năng
hoàn thành một hoạt động cụ thể, chỉ nảy sinh và quan sát được trong giải
quyết những yêu cầu mới mẻ và do đó nó gắn liền với tính sáng tạo tuy khác
nhau về mức độ. Năng lực có thể rèn luyện để phát triển được, với các cá
nhân khác nhau thì năng lực cũng khác nhau (dẫn theo Chung Bích Ngọc
2013).
1.1.2. Khái niệm năng lực toán học
Theo V. A. Krutecxki năng lực toán học được hiểu theo 2 ý nghĩa, 2
mức độ:
Một là, theo ý nghĩa năng lực học tập (tái tạo) tức là năng lực đối với
việc học toán, đối với việc nắm giáo trình toán học ở trường phổ thông, nắm
một cách nhanh và tốt các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tương ứng.
Hai là, theo ý nghĩa năng lực sáng tạo (khoa học), tức là năng lực hoạt
động sáng tạo toán học, tạo ra những kết quả mới, khách quan có giá trị lớn
đối với xã hội loài người.
Giữa hai mức độ hoạt động toán học đó không có một sự ngăn cách
tuyệt đối. Nói đến năng lực học tập toán không phải là không đề cập tới năng
lực sáng tạo. Có nhiều em học sinh có năng lực, đã nắm giáo trình toán học
một cách độc lập và sáng tạo, đã tự đặt và giải các bài toán không phức tạp
lắm; đã tự tìm ra các con đường, các phương pháp sáng tạo để chứng minh
các định lý, độc lập suy ra các công thức, khám phá ra các phương pháp giải


8

độc đáo cho những bài toán không mẫu mực ... Tuy nhiên, đó chỉ chiếm một
tỉ lệ rất nhỏ. Với việc nghiên cứu khái quát, Luận văn chỉ chủ yếu tiếp cận

năng lực toán học theo góc độ thứ nhất:
- Năng lực học tập toán học là các đặc điểm tâm lý cá nhân (trước hết
là các đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêu cầu hoạt động toán học và giúp
cho việc nắm giáo trình toán một cách sáng tạo, giúp cho việc nắm một cách
tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc kiến thức, kỹ năng và kỹ xảo toán học.
- Những năng lực học toán được hiểu là những đặc điểm tâm lý cá
nhân (trước hết là những đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêu cầu của hoạt
động toán học, và trong những điều kiện vững chắc như nhau thì là nguyên
nhân của sự thành công trong việc nắm vững một cách sáng tạo toán học với
tư cách là một môn học, đặc biệt nắm vững tương đối nhanh, dễ dàng và sâu
sắc kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực toán học.
Nói đến học sinh có năng lực toán học là nói đến học sinh có trí thông
minh trong việc học toán. Tất cả mọi học sinh đều có khả năng và phải nắm
được chương trình trung học, nhưng các khả năng đó khác nhau từ học sinh
này qua học sinh khác. Các khả năng này không phải cố định, không thay đổi,
các năng lực này không phải bất biến mà hình thành và phát triển trong quá
trình học tập, luyện tập để nắm được hoạt động tương ứng.
Tuy nhiên, ở mỗi người cũng có khác nhau về mức độ năng lực toán
học. Do vậy, trong dạy học toán, vấn đề quan trọng là chọn lựa nội dung và
phương pháp thích hợp để sao cho mọi đối tượng học sinh đều được nâng cao
dần về mặt năng lực toán học. Về vấn đề này nhà toán học Xôviết, Viện sĩ A.
N. Kôlmôgôrôv cho rằng: “Năng lực bình thường của học sinh trung học đủ
để cho các em đó tiếp thu, nắm được toán học trong trường trung học với sự
hướng dẫn tốt của thầy giáo hay với sách tốt”. (dẫn theo Chung Bích Ngọc
2013).


9

1.2. Một số biểu hiện năng lực giải toán của học sinh

Năng lực góp phần rèn luyện và phát triển nhân cách cũng như các
năng lực trí tuệ cho học sinh; bồi dưỡng hứng thú và nhu cầu học tập, khuyến
khích học sinh say mê tìm tòi, sáng tạo.
Trên cơ sở cho học sinh làm quen với một số hoạt động sáng tạo nhằm
rèn luyện năng lực, giáo viên đưa ra một số bài tập có thể giúp học sinh vận
dụng sáng tạo nội dung kiến thức và phương pháp có được trong quá trình học
tập, mức độ biểu hiện của học sinh được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Đối với
học sinh phổ thông có thể thấy các biểu hiện của năng lực giải toán trong việc
giải bài tập giải tích 12 qua các khả năng sau.
1.2.1. Có khả năng vận dụng những kiến thức, kỹ năng đã biết vào
hoàn cảnh mới
Khả năng này thường được biểu hiện nhiều nhất nên trong quá trình
dạy học giáo viên cần quan tâm phát hiện và bồi dưỡng khả năng này. Khả
năng áp dụng các thuật giải đã có sẵn để giải một bài toán mới, hay vận dụng
trực tiếp các kiến thức, kỹ năng đã có trong một bài toán tương tự hoặc đã biết
là khả năng mà tất cả học sinh đều phải cố gắng đạt đựợc trong học toán. Biểu
hiện năng lực giải toán của học sinh ở khả năng này được thể hiện là: với nội
dung kiến thức và kỹ năng đã được học, học sinh biết biến đổi những bài tập
trong một tình huống cụ thể hoàn toàn mới nào đó về những cái quen thuộc,
những cái đã biết để áp dụng vào giải một cách dễ dàng, từ đó học sinh thể
hiện được năng lực của bản thân khi giải những bài toán đó.
Ví dụ 1: Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:
a/ y = x4 – 2x2 + 1
Giải:
a/ TXĐ: D = ¡

b/ y = x + ex


10

y/ = 4x3 – 4x, cho y/ = 0

x = 0

2
⇔ 4x − 4x = 0 ⇔ x = 1


 x = −1


Bảng biến thiên:
x
y'
y

−∞

–1
0

–
+∞

+

0
0
1

–

0

+∞

1
0

+

+∞

0

Kết luận: - Hàm số đồng biến trong các khoảng (-1; 0); (1; + ∞ ).
- Hàm số nghịch biến trong các khoảng ( − ∞ ; -1); (0; 1).
b/ TXĐ: D = ¡
x
y / = 1 + e x vì e > 0, ∀x ∈ ¡ nên y/ > 0, ∀x ∈ ¡

Kết luận: Hàm số đồng biến trên ¡ .
1.2.2. Có khả năng phát hiện, đề xuất cái mới từ một vấn đề quen
thuộc
Khi đứng trước một bài tập học sinh nhận ra được vấn đề mới trong các
điều kiện, vấn đề quen thuộc; phát hiện ra chức năng mới trong những đối
tượng quen thuộc, tránh được sự rập khuôn máy móc, dễ dàng điều chỉnh
được hướng giải quyết trong điều kiện mới, đây cũng là biểu hiện tạo điều
kiện để học sinh rèn luyện tính mềm dẻo của năng lực giải toán.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng hàm số y = x 3 − x 2 + 3x + 10 tăng trên ¡ .
Giải:
TXĐ: D = ¡
y / = 3x 2 − 2 x + 3
∆ / = −8 < 0 
/
Ta thấy:
 ⇒ y > 0, ∀ x ∈ ¡ . Vậy hàm số tăng trên ¡ .
a = 3 > 0 


11

Trước khi cho HS giải bài tập này GV có thể ra câu hỏi gợi mở, hướng
dẫn HS như: nhìn vào bài tập chuẩn bị giải có gì đặc biệt? Từ đó GV dẫn dắt
HS đi vào giải bài tập này.
1.2.3. Có khả năng nhìn nhận đối tượng dưới các khía cạnh khác
nhau
Mỗi khi học sinh cố gắng làm các bài toán mà lại thất bại, thông thường
học sinh sẽ có cảm giác chán nản chứ không chuyển sang làm theo một hướng
suy nghĩ hay cách nhìn khác. Tuy nhiên, một thất bại mà học sinh đã nếm trải
sẽ chỉ có ý nghĩa nếu như học sinh không quá coi trọng phần kém hiệu quả
của nó. Thay vào đó, học sinh nếu biết phân tích lại toàn bộ quá trình cũng
như các yếu tố liên quan, và cân nhắc xem liệu sẽ thay đổi những yếu tố đó
như thế nào để đạt được kết quả mới. Đừng tự đặt câu hỏi cho bản thân “Tại
sao mình lại thất bại ?” mà hãy hỏi “Mình đã làm được những gì rồi ?”. Nhìn
nhận và đánh giá vấn đề từ các khía cạnh khác nhau, từ đó phát hiện được
những tầm nhìn, cách nhận định mới phù hợp với bài toán. Aristotle cho rằng
ẩn dụ là một dấu hiệu của sự thiên tài. Bởi vậy ông tin rằng nếu một người
không những có năng lực diễn đạt sự tương đồng giữa hai cá thể hoàn toàn

tách biệt mà còn có thể liên kết chúng lại với nhau, thì đó là con người có khả
năng đặc biệt.
Ví dụ 3: Tìm m để hàm số y = f(x) = − x 3 − (2 m-1) x 2 + (m− 5) x + 1 đạt cực
trị tại x = 1.
Giải:
MXĐ: D = ¡ .
y / = −3x 2 − 2(2 m − 1) x + (m − 5)

Thuận: Hàm số đạt cực trị tại x = 1
⇒ f / (x) = 0 ⇔ −3 − 2(2m-1) + (m-5) = 0 ⇔ m = −2
Đảo: m = −2 ⇒ f / (x) = −3x + 10 x − 7


12

x = 1
f(x) = 0 ⇔ −3 x + 10 x − 7 = 0 ⇔ 
x = 7

3
2

Bảng biến thiên:
−∞

x
y/

7
3

1
-

0

+

0
CĐ

+∞

y

+∞

−∞

CT
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.
Kết luận: Với m = - 2 thì hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.

1.2.4. Có khả năng phối hợp nhiều công cụ, phương pháp khác nhau
để giải quyết một vấn đề
Đứng trước một bài tập toán mang tính sáng tạo cao, đòi hỏi học sinh
phải vận dụng rất nhiều kiến thức khác nhau và nhiều phương pháp, cách giải
khác nhau. Đồng thời học sinh cũng phải biết phối hợp các kiến thức và
phương pháp đó, huy động những kỹ năng, kinh nghiệm của bản thân cộng
với sự nỗ lực, phát huy năng lực giải toán của cá nhân để tìm tòi, giải quyết

vấn đề.
Ví dụ 4: Chứng minh e x ≥ 1 + x
Giải:
ex ≥ 1 + x ⇔ e x − x −1 ≥ 0 .
Đặt f(x) = e x − x − 1 ∀ x ∈ ¡ ; f / (x) = e x − 1 ; f / (x) = 0 ⇔ x = 0 .
Bảng biến thiên:
−∞

x
/

f (x)

f(x)

+∞

0
-

0

+∞

Ta thấy: f(x) ≥ 0, ∀ x ∈ ¡ .

+
+∞

0

13

⇒ e x − x − 1 ≥ 0, ∀x ∈ ¡
⇒ e x ≥ x + 1, ∀x ∈ ¡

1.2.5. Có khả năng tìm được nhiều cách giải khác nhau đối với bài
toán đã cho
Đây là biểu hiện của học sinh khi đứng trước những bài toán có những
đối tượng, những quan hệ có thể xem xét dưới nhiều khía cạnh khác nhau.
Đứng trước những bài toán loại này học sinh biểu hiện khả năng, năng lực
chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, thể hiện năng lực
nhìn một đối tượng toán học dưới nhiều khía cạnh khác nhau.
Ví dụ 5: Giải phương trình : x + x − 5 = 5 (1).
Giải :
x ≥ 0

Điều kiện 

x ≥ 5

⇔ x≥5

Ta thấy : x = 5 nghiệm đúng của phương trình (1).
Đặt f(x) = x + x − 5
f / (x) =

1
2 x

+

(x ≥ 5)

1
> 0 (x > 5)
2 x− 5

f(x) tăng khi x ≥ 5
−∞

x

+∞

5

/

f (x)

f(x)

+
+∞

5

Vậy : đồ thị hàm số y = f(x) = x + x − 5 cắt đường thẳng y = 5 tại x = 5

Do đó x = 5 là nghiệm duy nhất.
1.2.6. Có khả năng tìm được cách giải độc đáo đối với bài toán đã
cho
Có những bài toán các yếu tố trong đó hiện lên một cách trực tiếp qua
ngôn ngữ của đề bài nhưng cũng có những bài toán yếu tố được ẩn ngầm dưới


14

cách diễn đạt không dễ phát hiện, thậm chí là một cách đánh lừa khả năng tư
duy của học sinh, khi giải bài toán nếu nhìn ra trọng tâm yêu cầu của bài toán,
phát hiện cái mới, khác lạ, không bình thường trong quá trình làm bài học
sinh sẽ thể hiện ra năng lực giải toán.
Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = f(x) =

x 2 - x+1
.
x 2 + x+1

Giải :
f(x) =

x 2 - x+1
xác định ∀ x ∈ ¡ .
x 2 + x+1

Gọi y0 là một giá trị của hàm số, phương trình y0 =

x 2 - x+1

phải có nghiệm
x 2 + x+1

x 2 - x+1
x ∈ ¡ . Phương trình y0 = 2
x + x+1
⇔ y0 (x 2 + x + 1) = x 2 − x + 1 ⇔ (y0 − 1) x 2 + (y 0 + 1) x + y0 − 1 = 0 (1)

* y0 = 1 thì x = 0
* y0 ≠ 1; ∆ = − 3 y0 2 + 10 y0 − 3
Phương trình (1) luôn luôn có nghiệm x ∈ ¡ ⇔ ∆ ≥ 0
⇔ −3 y0 2 + 10 y0 − 3 ≥ 0
1
⇔ ≤ y0 ≤ 3
3
1 
y0 = 1∈  ,3
3 

Do đó : ∀ x ∈ ¡ thì

1
≤ f(x) ≤ 3 .
3

Vậy f(x) có GTLN là 3 và có GTNN là

1
.
3

1.3. Các dạng sai lầm chủ yếu trong giải toán Giải tích 12


15

1.3.1. Sơ lược về nội dung chương trình toán Giải tích 12 ở trường
THPT hiện nay
1.3.1.1. Mục tiêu dạy học toán Giải tích 12 trường THPT
Nội dung
Về kiến thức
Về kỹ năng
I. ứng dụng đạo hàm Biết mối liên hệ giữa sự Biết cách xét sự đồng
để khảo sát và vẽ đồ

đồng biến, nghịch biến

thị của hàm số

của một hàm số và dấu một hàm số trên một

1. ứng dụng đạo hàm

đạo hàm cấp một của

cấp một để xét tính đơn nó.

biến, nghịch biến của
khoảng dựa vào dấu đạo
hàm cấp một của nó.

điệu của hàm số.
2. Cực trị của hàm số.

- Biết các khái niệm
điểm cực đại, điểm cực

Biết cách tìm điểm cực
trị của hàm số.

tiểu, điểm cực trị của
hàm số.
- Biết các điều kiện đủ
để có điểm cực trị của
hàm số.
3. Giá trị lớn nhất, giá Biết các khái niệm giá Biết cách tìm giá trị lớn
trị nhỏ nhất của hàm số. trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, giá trị nhỏ nhất
nhất của hàm số trên của hàm số trên một
một tập hợp số.
đoạn, một khoảng.
4. Đường tiệm cận của Biết khái niệm đường Biết cách tìm đường
đồ thị hàm số. Định tiệm cận đứng, đường tiệm đứng, tiệm cận
nghĩa và cách tìm các tiệm cận ngang của đồ ngang của đồ thị hàm
đường tiệm cận đứng, thị.

số.

đường tiệm cận ngang.
5. Khảo sát hàm số. Sự - Biết các bước khảo sát - Biết cách khảo sát và
tương giao của hai đồ và vẽ đồ thị hàm số (tìm vẽ đồ thị của các hàm số

16

thị. Cách viết phương tập xác định, xét chiều

y = ax4 + bx2 + c

trình tiếp tuyến của đồ biến thiên, tìm cực trị, (a ≠ 0),
thị hàm số.

tìm tiệm cận, lập bảng

y = ax3 + bx2 + cx + d

biến thiên, vẽ đồ thị).

(a ≠ 0)
và y =

ax + b
(ac ≠ 0),
cx + d

trong đó a, b, c, d là các
số cho trước .
- Biết cách dùng đồ thị
hàm số để biện luận số
nghiệm của một phương
trình.

- Biết cách viết phương
trình tiếp tuyến của đồ
thị hàm số tại một điểm
thuộc đồ thị hàm số.
II. Hàm số luỹ thừa, - Biết các khái niệm luỹ Biết dùng các tính chất
hàm số mũ và hàm số thừa với số mũ nguyên của luỹ thừa để đơn giản
lôgarit

của số thực, luỹ thừa với biểu

thức,

so

sánh

1. Luỹ thừa.

số mũ hữu tỉ và luỹ thừa những biểu thức có chứa

Định nghĩa luỹ thừa với với số mũ thực của số luỹ thừa.
số mũ nguyên, số mũ thực dương.
hữu tỉ, số mũ thực. Các - Biết các tính chất của
tính chất.

luỹ thừa với số mũ
nguyên, luỹ thừa với số
mũ hữu tỉ và luỹ thừa

2. Lôgarit.

với số mũ thực.
- Biết khái niệm lôgarit - Biết vận dụng định


17

Định nghĩa lôgarit cơ số cơ số a (a > 0, a ≠ 1) của nghĩa để tính một số
a (a > 0, a ≠ 1) của một một số dương.

biểu thức chứa lôgarit

số dương. Các tính chất - Biết các tính chất của đơn giản.
cơ

bản

của

lôgarit. lôgarit

(so

sánh

hai - Biết vận dụng các tính

Lôgarit thập phân. Số e lôgarit cùng cơ số, quy chất của lôgarit vào các
và lôgarit tự nhiên.

tắc tính lôgarit, đổi cơ bài tập biến đổi, tính
số của lôgarit).

toán các biểu thức chứa

- Biết các khái niệm lôgarit.
lôgarit thập phân và
lôgarit tự nhiên.
3. Hàm số luỹ thừa. - Biết khái niệm và tính - Biết vận dụng tính chất
Hàm số mũ. Hàm số chất của hàm số luỹ của các hàm số mũ, hàm
lôgarit.

thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit vào việc so

Định nghĩa, tính chất, số lôgarit.
đạo hàm và đồ thị.

sánh hai số, hai biểu

- Biết công thức tính thức chứa mũ và lôgarit.
đạo hàm của các hàm số - Biết vẽ đồ thị các hàm
luỹ thừa, hàm số mũ, số luỹ thừa, hàm số mũ,
hàm số lôgarit.

hàm số lôgarit.

- Biết dạng đồ thị của - Tính được đạo hàm các
các hàm số luỹ thừa, hàm số y = ex,
hàm số mũ, hàm số y = lnx.
lôgarit.

4. Phương trình, bất - Biết trình, bất phương

- Giải được phương

phương trình mũ và trình mũ: phương pháp trình, bất phương trình
lôgarit.

đưa về luỹ thừa cùng cơ mũ: phương pháp đưa
số, phương pháp lôgarit về luỹ thừa cùng cơ số,
hoá, phương pháp dùng phương

pháp

lôgarit

ẩn số phụ, phương pháp hoá, phương pháp dùng


18

sử dụng tính chất của ẩn số phụ, phương pháp
hàm số.

sử dụng tính chất của

- Biết được phưong hàm số.
trình, bất phương trình - Giải được phương
lôgarit:

phương

pháp trình, bất phương trình

đưa về lôgarit cùng cơ lôgarit:

phương

pháp

số, phương pháp mũ đưa về lôgarit cùng cơ
hoá, phương pháp dùng số, phương pháp mũ

1. Nguyên hàm.

ẩn số phụ.

hoá, phương pháp dùng

- Hiểu khái niệm

ẩn số phụ.
- Tìm được nguyên

Định nghĩa và các tính nguyên hàm của một
chất của nguyên hàm. hàm số.

hàm của một số hàm số
tương đối đơn giản dựa

Kí hiệu họ các nguyên - Biết các tính chất cơ vào bảng nguyên hàm

hàm của một hàm số. bản của nguyên hàm.

và cách tính nguyên

Bảng nguyên hàm của

hàm từng phần.

một số hàm số sơ cấp.

- Sử dụng được phương

Phương pháp đổi biến

pháp đổi biến số (khi đã

số. Tính nguyên hàm

chỉ rõ cách đổi biến số

từng phần.

và không đổi biến số
quá một lần) để tính
nguyên hàm

2. Tích phân.

- Biết khái niệm về diện

Diện tích hình thang tích hình thang cong.
cong. Định nghĩa và các - Biết định nghĩa tích
tính chất của tích phân. phân của hàm số liên tục
Phương pháp đổi biến bằng công thức Niu-tơn
số. Phương pháp tính − Lai-bơ-nit.