Một số biện pháp giúp học sinh phát hiện và sửa chữa sai lầm trong dạy học phương trình ở môn Toán trung học phổ thông

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM










NGUYỄN QUANG LONG







MỘT SỐ BIỆN PHÁP GIÚP HỌC SINH
PHÁT HIỆN VÀ SỬA CHỮA SAI LẦM TRONG
DẠY HỌC PHƢƠNG TRÌNH Ở MÔN TOÁN
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC












THÁI NGUYÊN, 2014



Thái Nguyên, 2013


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

NGUYỄN QUANG LONG






MỘT SỐ BIỆN PHÁP GIÚP HỌC SINH
PHÁT HIỆN VÀ SỬA CHỮA SAI LẦM TRONG
DẠY HỌC PHƢƠNG TRÌNH Ở MÔN TOÁN
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG


Chuyên ngành: Lý luận và Phƣơng pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60.14.01.11




LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC



NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS_TS. ĐÀO THÁI LAI

THÁI NGUYÊN, 2014



Thái Nguyên, 2013


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ii
LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả
nghiên cứu là trung thực và chƣa đƣợc công bố trong bất kỳ công trình nào
khác.










Tác giả luận văn

Nguyễn Quang Long
















Xác nhận
của Ngƣời hƣớng dẫn khoa học



PGS-TS. Đào Thái Lai



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

iii
LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS-TS. Đào Thái Lai, ngƣời đã tận
tình chỉ bảo, hƣớng dẫn em trong suốt quá trình nghiên cứu đề tài này.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô Trƣờng Đại học sƣ phạm Thái Nguyên, khoa
Toán và khoa Sau đại học đã tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các giáo viên và học sinh các lớp
10A1;10A2 trƣờng THPT Nguyến Huệ - Đại Từ- Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện
giúp đỡ trong suốt quá trình thực nghiệm sƣ phạm.
Xin gửi lời cảm ơn đến tất cả các bạn bè và đồng nghiệp, những ngƣời luôn
động viên, khích lệ tôi hoàn thành luận văn này.
Xin trân trọng cảm ơn!

Thái Nguyên, Tháng 4 năm 2014
Tác giả luận văn



Nguyễn Quang Long


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

iv
MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cam đoan i
Lời cảm ơn ii
Mục lục iii
Danh mục các ký hiệu, chữ viết tắt iv
MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn đề tài 1

2. Mục đích nghiên cứu 3
3. Khách thể và đối tƣợng nghiên cứu 3
4. Giả thuyết khoa học 4
5. Nhiệm vụ nghiên cứu 4
6. Phƣơng pháp nghiên cứu 4
7. Đóng góp của luận văn 5
Chƣơng 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ THỰC TẾ HỌC TOÁN GIẢI PT Ở
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 6
1.1 Nội dung chƣơng trình dạy học PT THPT 6
1.2 Một số công trình liên quan. 8
1.3 Nghiên cứu một số sai lầm phổ biến của HS phổ thông khi giải toán về
chủ đề PT. 9
1.3.1 Sai lầm do tính toán thông thƣờng và hiểu sai kí hiệu logic. 9
1.3.2 Sai lầm liên quan đến điều kiện xác định của PT: 11
1.3.3 Sai lầm liên quan đến sử dụng công thức biến đổi dẫn đến sai nghiệm,
thiếu trƣờng hợp. 16
1.3.4 Sai lầm trong khi HS thực hiện phép biến đổi tƣơng đƣơng và rút ra hệ quả. 25
1.3.5 Sai lầm liên quan đến tƣ duy hàm. 37
1.4 Sự cần thiết phát hiện và sửa chữa sai lầm trong giải toán PT. 43
1.5 Phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm trong giải toán PT 45
Kết luận chƣơng 1 47

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

v
Chƣơng 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP PHÁT HIỆN VÀ SỬA CHỮA SAI LẦM
CỦA HỌC SINH THÔNG QUA PHÂN TÍCH SỬA CHỮA SAI LẦM. 48
2.1. Cơ sở lý luận 48
2.1.1 Một số quan điểm về dạy học sửa chữa sai lầm trong phƣơng pháp dạy học. 48
2.2.1.1. Quan điểm trong phƣơng pháp dạy học theo thuyết hành vi 48

2.2.1.2. Quan điểm trong phƣơng pháp dạy học theo thuyết kiến tạo. 49
2.2.1.3. Quan điểm trong phƣơng pháp dạy học theo Thuyết tình huống 51
2.1.2 Một số quan điểm về bài tập PT. 53
2.2 Một số biện pháp giúp HS phát hiện và sửa chữa sai lầm trong quá trình
dạy học PT ở THPT 54
2.2.1 Biện pháp 1: Hệ thống hóa kiến thức cơ bản để giải PT. 55
2.2.1.1 Phƣơng pháp dạy học sinh nắm vững bản chất, ý nghĩa khái niệm
tạo cơ sở của toàn bộ kiến thức toán học của học sinh . 55
2.2.1.2 Rèn luyện cho HS nắm vững bản chất định lý, quy tắc trong sách
giáo khoa từ đó tạo vận dụng giải bài tập PT. 61
2.2.1.3 Giáo viên cần trang bị cho học HS hiểu các kí hiệu lôgic, thuật ngữ
toán học. 65
2.2.1.4 GV cần trang bị một số kỹ năng cơ bản giải bài tập PT. 66
2.2.2 Biện pháp 2: Ngƣời dạy cần chú ý tới các yêu cầu: tính giáo dục, tính
kịp thời, tính chính xác trong quá trình phát hiện và sửa chữa sai lầm cho
học sinh. 71
2.2.2.1 Kịp thời phát hiện HS mắc sai lầm. 71
2.2.2.2 Hƣớng dẫn sửa chữa, đánh giá sai lầm chính xác 72
2.2.2.3 Vận dụng tình huống sửa chữa sai lầm mang tính giáo dục 74
2.2.3 Biện pháp 3: GV kiến tạo các tình huống dễ dẫn tới sai lầm để HS
đƣợc thử thách với những sai lầm đó. 76
Kết luận chƣơng 2 83
Chƣơng 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 85
3.1. Mục đích thực nghiệm 85

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

vi
3.2. Tổ chức thực nghiệm 85
3.3. Nội dung thực nghiệm 85

3.4. Đánh giá kết quả thực nghiệm. 87
3.4.1. Đánh giá kết quả định tính 87
3.4.2. Đánh giá về mặt định lƣợng 89
KẾT LUẬN 91
TÀI LIỆU THAM KHẢO 92


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

iv

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN


Viết tắt
Viết đầy đủ
GV
Giáo viên
HS
Học sinh
NXB
Nhà xuất bản
PPDH
Phƣơng pháp dạy học
PT
Phƣơng trình
SBT
Sách bài tập
SGK
Sách giáo khoa

THCS
Trung học cơ sở
THPT
Trung học phổ thông

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Giáo dục Việt Nam đang tập trung đổi mới, hƣớng tới một nền giáo dục
tiến bộ, hiện đại ngang tầm với các nƣớc trong khu vực và toàn thế giới. Chính
vì thế chất lƣơng dạy và học dạy và học là mối quan tâm hàng đầu của nền
giáo dục trên thế giới, hầu hết cá
yếu tố quyết định để ngƣời dạy và ngƣời học hoàn thành nhiệm vụ trọng tâm
của mình.
Toán học là bộ môn khoa học quan trọng có nhiều ứng dụng trong thực
tế trong các ngành khoa học kỹ thuật. Cũng nhƣ các môn khoa học khác, học
toán học giúp con ngƣời trong việc rèn luyện tƣ duy suy nghĩ, phƣơng pháp
luận, phƣơng pháp học tập, phƣơng pháp giải quyết vấn đề, rèn luyện trí thông
minh sáng tạo. Ngoài ra còn rèn luyện đức tính nhiều đức tính khác nhƣ cần
cù và nhẫn lại, ý trí vƣợt khó… Dù bạn trong ngành nào thì toán học cũng rất
cần cho công việc của chính bạn. Do vậy GDTHPT hiện nay coi môn toán là
môn học chính, không thể thay thế. Tuy nhiên khảo sát thực tiễn dạy học toán
nhiều năm qua có thể thấy chất lƣợng dạy toán ở trƣờng phổ thông còn chƣa
tốt, thể hiện ở năng lực giải toán của HS còn hạn chế do còn nhiều sai lầm về
kiến thức, và phƣơng pháp.
Hiện nay HS nhiều lỗ hổng kiến thức toán trầm trọng, dẫn đế các em
ngại học môn toán, không có ý trí học tập. Ngƣợc lại nhiều HS khá giỏi, thậm

trí là xuất sắc nhƣng vẵn mắc phải sai lầm khá cơ bản. B.V.Gownhenvenco khi
nêu ra 5 phẩm chất toán học thì có nói 3 phẩm chất liên quan đến tránh sai lầm
trong giải toán.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

2
- Năng lực nhìn thấy đƣợc tính không rõ ràng của suy luận; thấy đƣợc
thiếu mắt xích cần thiết của chứng minh.
- Có thói quen lý giải lôgic một cách đầy đủ.
- Sự chính xác của lý luận.
Tiếp tục chƣơng trình phổ thông là các trƣờng chuyên nghiệp nếu không
phân tích sửa sai trong tƣ duy của ngƣời học dẫn đến sai lầm nối tiếp sai lầm là
hậu quả của ngƣời học.
,
.
Chủ đề PT có vị trí quan trọng trong chƣơng trình môn Toán THPT.
Kiến thức và kỹ năng về chủ đề này có mặt xuyên suốt từ đầu cấp đến cuối
cấp. Những kiến thức về PT còn là chìa khoá để giải quyết nhiều vấn đề thuộc
hầu hết các chủ đề kiến thức về Đại số, Giải tích và Hình học, đặc biệt là Hình
học giải tích. Vì vậy bên cạnh việc giảng dạy các kiến thức lý thuyết về chủ đề
PT một cách đầy đủ theo quy định của chƣơng trình, việc rèn luyện kỹ năng
giải PT cho HS có ý nghĩa quan trọng trong việc nâng cao chất lƣợng dạy học
nhiều nội dung môn Toán ở trƣờng THPT.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

3
C PT rất quen thuộc với HS phổ thông nhƣng
HS

, do đó
, không đi .
Qua khảo sát thực tiễn dạy học ở nƣớc ta trong các năm qua có thể thấy
rằng chất lƣợng dạy học ở THPT còn chƣa tốt, điều đó thể hiện năng lực giải
toán của HS còn hạn chế do HS còn vi phạm nhiều sai lầm về kiến thức,
phƣơng pháp học toán. Trong đó nhiều GV chƣa chú ý đến tạo cho HS khả
năng tự phát hiện sai lầm trong giải toán, đều đó dẫn đến sai lầm không đƣợc
HS nhận thấy kịp thời gây ảnh hƣởng đến năng lực giải toán của HS. Việc tìm
ra những nguyên nhân của sai lầm đó là để có những biện pháp hạn chế, sửa
chửa chúng, giúp cho HS nhận thức đƣợc những sai lầm và khắc phục những
sai lầm này, nhằm rèn luyện năng lực giải toán cho HS đồng thời nâng cao
hiệu quả dạy học toán các trƣờng THPT.
Xuất phát từ vấn đề nêu trên, nên tôi lựa chọn đề tài “Một số biện pháp
giúp HS phát hiện và sửa chữa sai lầm trong dạy học PT ở môn toán THPT ".
2. Mục đích nghiên cứu
PT phát hiện và sửa chữa
sai lầm trong giải toán PT
PT .
3. Khách thể và đối tƣợng nghiên cứu
3.1. Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học môn Toán cho HS
PT.
3.2. Đối tượng nghiên cứu:
PT và biện pháp phát hiện và sửa chữa sai lầm đó.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

4
4. Giả thuyết khoa học
Nếu nhận dạng được những sai lầm của học sinh THPT khi giải toán
phương trình và và

phòng ngừa những sai lầm đó thì sẽ nâng cao hiệu quả dạy học PT ở THPT.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
5.1. Nghiên cứu cơ sở lý luận về tình huống dạy học giải toán, rèn luyện
kỹ năng giải toán, quan điểm khắc phục khó khăn và sai lầm của HS khi giải
toán trong một số PPDH tích cực
HS THPT khi
giải toán chủ đề PT
PT.
PT cho HS THPT.
5.4. Thực
.
6. Phƣơng pháp nghiên cứu
6.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu về
các vấn đề liên quan đến đề tài của luận văn.
6.2 Phương pháp điều tra – quan sát:
PT
.
6.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy thực nghiệm và
xem xét tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp. Kết quả thực nghiệm sƣ phạm
đƣợc xử lý bằng phƣơng pháp thống kê toán học trong khoa học giáo dục.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

5
6.4 Phương pháp thống kê toán học: Xử lí số liệu thu đƣợc sau quá trình
thực nghiệm sƣ phạm.
7. Đóng góp của luận văn.
:
PT.
.

:
PT .
ban đầu
.
8. Cấu trúc của luận văn.
Ngoài phần Mở đầu và Kết luận, nội dung luận văn đƣợc trình bày trong
ba chƣơng:
Chƣơng 1. Một số vấn đề về thực tế sai lầm phổ biến trong dạy và học
toán giải PT ở THPT.
Chƣơng 2. Một số biện pháp sƣ phạm khắc phục những khó khăn và sai lầm
thƣờng gặp trong giải PT cho HS THPT.
Chƣơng 3. Thực nghiệm sƣ phạm.
Luận văn có sử dụng tài liệu tham khảo và có 3 Phụ lục kèm theo.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

6
Chƣơng 1
MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ THỰC TẾ HỌC TOÁN GIẢI PT
Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

1.1 Nội dung chƣơng trình dạy học PT THPT
Một trong các chủ đề lớn xuyên suốt chƣơng trình toán học phổ thông là
chủ đề PT, từ tiểu học đến THPT trong các lớp đều giải toán PT. Tuy nhiên các
lớp tiểu học chỉ làm quen với PT một cách tiềm tàng. Ở lớp 8 HS đã đƣợc học
cấc khái niệm PT, ẩn số nghiệm của PT, tập xác định, hai PT tƣơng đƣơng
nhƣng chƣa đƣợc học về PT hệ quả. Lên lớp 9 HS đƣợc học về PT bậc nhất hai
ẩn, hệ PT bậc nhất 2 ẩn, PT bậc hai và các PT quy về bậc hai.
Bắt đầu lên THPT ngay từ lớp 10 kiến thức về PT HS học ở THCS đƣợc
tổng kết nâng cao, định nghĩa PT và các khái niệm liên quan, một số PT đƣa về

hệ PT. Lớp 11 HS đã học mở rộng về PT là PT lƣợng giác một trong các PT
siêu việt đầu tiên mà HS gặp trong chƣơng trình phổ thông. Lớp 12 HS đã học
về các PT siêu việt nhƣ PT mũ PT lôgarit. Cuối năm học này HS học thêm về
PT bậc nhất bậc hai nhƣng đƣợc mở rộng trên trƣờng số phức.
Cụ thể chƣơng trình dạy học PT của THPT ở các lớp trong phân phối
chƣơng trình:
Lớp 10 nâng cao: Chương 3 học kỳ 1.
Đại cƣơng về PT: (2tiết).
PT bậc nhất và bậc hai một ẩn (4 tiết).
Một số PT quy về bậc nhất bậc hai (4 tiết).
Lớp 10 cơ bản.
Đại cƣơng về PT: (2tiết).
Một số PT quy về bậc nhất, bậc hai(2).
Lớp 11 cơ bản.
PT lƣợng giác cơ bản (6 tiết).
Một số PT lƣợng giác thƣờng gặp (5 tiết).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

7
Lớp 11 Chương trình nâng cao:
PT lƣợng giác cơ bản (6 tiết).
Một số PT lƣợng giác đơn giản (7tiết).
Lớp 12 cơ bản:
PT mũ và PT lôgarit (4 tiết).
PT bậc 2 đối với hệ số thực (2 tiết).
Lớp 12 Chương trình nâng cao:
PT mũ và PT lôgarit (2 tiết).
Căn bậc hai của số phức và PT bậc 2 (3 tiết).
Ngoài những tiết đƣợc nêu trên thì đan xen các bài tập trong các chƣơng

rất nhiều bài toán giải PT cụ thể cho từng loại ví dụ: các dạng PT về Hoán vị-
chỉnh hợp -tổ hợp, cấp số nhân-cấp số cộng
“Dạy học giải PT ở trƣờng phổ thông về nội dung gồm:
a) Dạy học khái niệm PT và những khái niệm có liên quan.
b) Dạy học PT dựa vào hàm mệnh đề: Quan niệm về đẳng thức; hiểu
đúng thực chất của dấu bằng trong PT (hình thức); phân biệt dấu bằng trong
PT và dấu = trong biến đổi đồng nhất; điều kiện xác định và nghiệm của PT.
c) Sử dụng ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp và lôgic toán (biến đổi tƣơng
đƣơng hệ quả, kết hợp nghiệm,…)
d) Dạy học giải PT.
e) Diễn biến của tập nghiệm khi biến đổi PT: Mở rộng thu hẹp tƣơng đƣơng.
f) Giải quyết phƣơng diện ngữ nghĩa (xem xét nội dung của những mệnh
đề toán học và nghĩa của những cách đặt vấn đề toán học).
g) Dạy học các bài toán bằng cách lập PT.
h) Thấy đƣợc ứng dụng của toán học trong thực tế và toán học hóa các
bài toán trong thực tiễn.
i) Phát hiện quan hệ giữa các đại lƣợng.
k) Kỹ năng giải bài toán, trọng tâm là kỹ năng lập và giải PT”. [21, tr18]

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

8
1.2 Một số công trình liên quan.
Trong quá trình tìm hiểu, nghiên cứu đề tài viết về “sai lầm” của HS phổ
thông trong giải Toán, chúng tôi nhận thấy còn tƣơng đối ít. Những công trình
đó phải kể tới Luận án Tiến sĩ của của Lê Thống Nhất: "Rèn luyện năng lực
giải Toán cho HS phổ thông trung học thông qua việc phân tích và sửa chữa
các sai lầm của HS khi giải Toán" (1996). Luận án này đã xem xét các sai lầm
của HS ở nhiều chủ đề kiến thức, chẳng hạn, chủ đề PT, bất PT, giới hạn, hàm
số, Cách phân chia theo kiểu này của tác giả Lê Thống Nhất có ƣu điểm là

giúp cho ngƣời đọc có thể vận dụng ở mức độ nào đó vào thực tiễn giảng dạy,
nghiên cứu. Do số lƣợng chủ đề kiến thức của luận án là rất nhiều không đi sâu
vào từng khía cạnh nhỏ mà gộp chúng lại để thành chủ đề lớn dẫn đến mỗi
khía cạnh xét còn chung chung mà không có điều kiện xem xét hết đặc trƣng
của từng dạng. Trong Luận án của mình, tác giả Lê Thống Nhất đã đƣa ra bốn
biện pháp sƣ phạm và tám dấu hiệu để nhận biết sai lầm nhƣng chƣa thực sự đi
sâu vào một kiểu sai lầm nào và chƣa phân tích một cách bao quát các nguyên
nhân dẫn tới những sai lầm đó, mà một nguyên nhân không kém phần quan
trọng ảnh hƣởng tới chất lƣợng giải bài tập Toán đó là nguyên nhân do ảnh
hƣởng về mặt tâm lí. Nhóm tác giả Trần Phƣơng - Lê Hồng Đức trong Sai lầm
thường gặp và các sáng tạo khi giải Toán (2004) cũng đề cập đến một số sai
lầm của HS ở một số dạng cụ thể. Ngoài ra phải kể tới nhóm tác giả Lê Đình
Thịnh - Trần Hữu Phúc Nguyễn Cảnh Nam trong công trình Mẹo và bẫy trong
các đề thi môn Toán (1992), trong công trình này các tác giả đã đƣa ra thuật
ngữ "bẫy" và phân tích khá nhiều ví dụ và cho rằng, mỗi khi HS mắc sai lầm là
đồng nghĩa với việc sa bẫy, "bẫy" trong các bài toán là các tình huống đƣợc
các tác giả cài đặt mà nếu HS không vững kiến thức cơ bản thì sẽ mắc phải sai
lầm. Với cách sắp xếp sai lầm theo từng chủ đề kiến thức nhƣ các tác giả nói
trên thì không thể giải thích một cách tƣờng minh, dễ hiểu hết tất cả các kiểu
sai lầm cho HS để từ đó họ có ý thức phát hiện phòng tránh các sai lầm này,

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

9
mặt khác chƣa đề cập đƣợc một số kiểu sai lầm thƣờng gặp nhƣ: sai lầm ngôn
ngữ, sai lầm liên quan đến các thao tác tƣ duy, sai lầm liên quan đến phân chia
trƣờng hợp riêng,
Nhƣ vậy trên phƣơng diện lí luận, các vấn đề cơ bản có liên quan đến đề
tài nghiên cứu của chúng tôi cũng đã đƣợc nghiên cứu ở một mức độ nào đó.
Tuy nhiên chƣa có một công trình nào nghiên cứu các sai lầm nhìn từ góc độ

hoạt động giải bài tập PT là một trong các chủ đề lớn ở trƣờng phổ thông. Nói
một cách khác, các công trình nghiên cứu về sai lầm của HS khi giải về chủ đề
kiến thức PT.
Mục tiêu của chúng ta là, một mặt, trang bị cho HS những kiến thức, kỹ
năng toán học cần thiết. Mặt khác, làm cho HS hiểu đƣợc bản chất của toán
học và say mê học toán.
1.3 Nghiên cứu một số sai lầm phổ biến của HS phổ thông khi giải
toán về chủ đề PT.
Theo chủ đề tiếng việt thì sai lầm là “ trái với yêu cầu khách quan hoặc trái
với lẽ phải, đẫn đến hậu quả không hay” [17, tr 844], phổ biến là “có tính chất
chung có thể áp dụng cho cả một tập hợp các hiện tƣợng, sự vật” [17, tr 844]
Sai sót “Khuyết điểm không lớn, do sơ suất” [17, tr 844].
Phổ biến “ có tính chất chung chung, có thể ấp dụng cho một tập hợp
hiện tƣợng, sự vật. [17, tr 785] .
Do vậy theo chúng tôi hiểu sai lầm phổ biến của HS phổ thông khi giải
PT là Điều trái với khách quan (yêu cầu bài toán) hoặc lẽ phải (khái niệm,
định nghĩa, tiên đề, định lý, quy tắc, phƣơng pháp suy luận…), dẫn tới không
đạt đƣợc yêu cầu giải toán mà những điều này xuất hiện với tần số cao trong
lời giải của nhiều HS.
1.3.1 Sai lầm do tính toán thông thường và hiểu sai kí hiệu logic.
Tính toán nhầm. Đối với HS yếu, kém thƣờng tính toán nhầm và
hiểu sai kí hiệu, trình bày không lôgic. Nhân các hệ số sai. Khai triển hằng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

10
đẳng thức sai. Không giải đƣợc PT bậc nhất đơn giản. GV cần rèn luyện lại kỹ
năng tính toán cho HS. Nêu rõ công thức và cách thức giải.
Hiểu nhầm kí hiệu Toán học. Có quan điểm cho rằng HS phạm phải sai
lầm trong các suy luận là vì họ thiếu hoặc không nắm vững kiến thức về Lôgíc

Toán và do đó, để khắc phục cần đƣa vào chƣơng trình các sớm càng tốt nội
dung lôgic Toán và dạy thật kĩ nó. Tuy nhiên, một phản ví dụ là ở Pháp, sau
nhiều thập niên nhấn mạnh đặc biệt đến vai trò của dạy các yếu tố lôgíc, các
chƣơng trình toán THPT sau năm 1990 đều ghi rõ “cấm mọi trình bày về Lôgíc
Toán”. Trong khi mà nhiều nghiên cứu chỉ ra rằng ngƣời Cộng hòa Pháp rất
quan tâm đến khó khăn và sai lầm của HS trong dạy học suy luận và chứng
minh. Nhƣng, thay vì gia tăng dạy học các yếu tố lôgíc thì họ lại loại bỏ nó đi.
Nói cách khác, thể chế dạy học ở Pháp đang cố gắng thoát khỏi những hạn chế
của quan điểm sƣ phạm dựa trên Thuyết Hành vi ngay từ sự lựa chọn và tổ chức
các nội dung toán học cần giảng dạy.
Nhiều HS hiểu sai kí hiệu và hoặc nên sử dụng một cách tùy tiện trong
trình bày. Nên khi kết luận nghiệm sai hoặc thiếu. Không hiểu bản chất của kí
hiệu nhất là HS học lớp 10. Trong hầu hết các lớp HS giải điều kiện và giải PT
thƣờng mắc phải sai lầm trong kí hiệu logic này thể hiện ở ví dụ sau:
Ví dụ 1.3.1.1: Giải PT:
2
3 2 0 (1)xx- + =
.
HS thƣờng nhầm kí hiệu và hoặc
1
(1)
2
x
x
í
=
ï
ï
Û
ì

ï
=
ï
î
. Kết luận PT có hai nghiệm x=1 và x=2.
Bản chất HS không hiểu kí hiệu lẽ ra là “hoặc” nhƣng lại kí hiệu “và”.
Sai lầm này còn thể hiện nhiều trong giải điều kiện nhƣ ví dụ sau:
Ví dụ 1.3 1.2: Giải PT:
2 5 5 3
1 3 5
xx
xx

=
-+

Lời giải sai: Điều kiện
1
10
5
3 5 0
3
x
x
x
x
é
¹
é
-¹

ê
ê
Û
ê
ê
ê
+¹
¹-
ë
ê
ë

Khi đó PT đã cho tƣơng đƣơng với

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

11
( )( ) ( )( )
2
2 5 3 5 5 3 1 3 28 0x x x x x x- + = - - Û + - =

PT này có nghiệm hai nghiệm x=4 và x= 7 cả hai nghiệm này đều thỏa
mãn điều kiện trên nên đều là nghiệm của PT đã cho.
Ví dụ trên thấy rằng HS đọc sách tham khảo nhƣng chƣa hiểu hết các kí hiệu.
Lời giải đúng: Điều kiện
1
10
5
3 5 0
3

x
x
x
x
í
¹
ï
í
ï
-¹
ï
ïï
Û
ìì
ïï
+¹
¹-
ï
î
ï
ï
î

Khi đó PT đã cho tƣơng đƣơng với
( )( ) ( )( )
2
2 5 3 5 5 3 1 3 28 0x x x x x x- + = - - Û + - =

PT này có nghiệm hai nghiệm x = 4 và x = 7 cả hai nghiệm này đều
thỏa mãn điều kiện trên nên đều là nghiệm của PT đã cho.

Hai ví dụ trên ta thấy rằng HS thƣờng kí hiệu bừa kí hiệu mà
không hiểu rõ kí hiệu này.
“Trong sách giáo khoa viết dƣới dạng, chẳng hạn:
,
62
x k k
pp
= + Î ¢

để làm nổi rõ bội nguyên của
2
p
, chứ không viết dƣới dạng
62
k
x
p
p=+
” [1]
1.3.2 Sai lầm liên quan đến điều kiện xác định của PT:
Một trong các nguyên nhân giải PT mắc sai lầm của HS là thiếu điều kiện.
Ví dụ 1.3.2.1 Giải PT:
2 3 4 3x x x

Lời giải sai:
2 3 4 3 2 4 2x x x x x

Kết luận PT có nghiệm x=2
HS giải bỏ bƣớc đặt điều kiện: x≥3 nên x=2 không thỏa mãn điều kiện,
PT đã cho vô nghiệm.

Lời giải đúng: Điều kiện:
3 0 3xx

Với điều kiện đã cho PT tƣơng đƣơng với:
2 3 4 3 2 4 2x x x x x
(Không thỏa mãn điều kiện)
Kết luận PT đã cho vô nghiệm.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

12
Ví dụ 1.3.2.2: Giải PT:
1 2 1
11
x
x
xx

Lời giải sai:
2
1
1 2 1
1 1 2 1 3 2 0
2
11
x
x
x x x x x x
x
xx

Kết luận PT có 2 nghiệm x=1 và x=2
HS giải bỏ bƣớc điều kiện nên thừa nghiệm x=1.
Lời giải đúng: Điều kiện:
1 0 1xx

Trong điều kiện đó PT tƣơng đƣơng với PT.
2
1( )
1 2 1
1 1 2 1 3 2 0
2
11
xl
x
x x x x x x
x
xx

Kết luận PT có 1 nghiệm x=2
Ví dụ 1.3.2.3: Giải PT:
2
2
1
4 3 0
( 4 3) 2 0 3
20
2
x
xx

x x x x
x
x

HS thiếu điều kiện nên thừa nghiệm x=1
Biến đổi sai
( )
( ) 0
( ) ( ) 0
0
fx
g x f x
gx
í
ï
=
ï
=Û
ì
ï
=
ï
î

Trong cách giải trên HS thƣờng hay thiếu điều kiên của PT. Trong
trƣờng hợp này để PT tƣơng đƣơng thì hệ PT cần thêm điều kiện x ≥ 2
Biến đổi đúng
( )
( ) 0
( ) 0

( ) ( ) 0
0
fx
fx
g x f x
gx
í
³
ï
ï
ï
ï
é
=
=Û
ì
ê
ï
ï
ê
=
ï
ë
ï
î

Ví dụ 1.3.2.4 Giải PT:
1 2 3
7
2

x x x
C C C x
.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

13
Lời giải sai: Ta có PT tƣơng đƣơng với
( 1) ( 1)( 1) 7
2! 3! 2
x x x x x
xx

6 3 ( 1) ( 1)( 2) 21x x x x x x x

32
16 0 ( 16) 0 4; 4; 0x x x x x x x

Sai lầm: Lời giải trên còn thiếu điều kiện x N và x 3. Nên PT
trên chỉ có 1 nghiệm là x = 4.
Ví dụ 1.3.2.5 Giải PT:
2 4 8 526x+ + + + =
biết rằng x là một số
hạng của cấp số nhân:
Lời giải sai: Do giả thiết x phải có dạng
*
2,
n
xn=Î¥

PT đã cho trở thành:
21
2 4 2 526 2 256 2 1 263 2 264
21
n
n n n
-
+ + + = Û = Û - = Û =
-

Hồi ẩn
264x =

Vậy PT có nghiệm
264x =

Lời giải đúng: Do giả thiết x phải có dạng
*
2,
n
xn=Î¥

PT đã cho trở thành:
21
2 4 2 526 2 256 2 1 263 2 264
21
n
n n n
-
+ + + = Û = Û - = Û =

-

Không có giá trị của
*
:2 264
n
nÎ=¥

Kết luận PT vô nghiệm.
Ví dụ 1.3.2.6 Giải PT
tan5 tan3xx=
.
Lời giải sai: Ta có:
tan5 tan3 5 3
2
()
k
x x x x k x k
p
p= Û = + Û = Î ¢

Rõ ràng, nếu
1
2
kx
p
= Þ =
lại không phải là nghiệm, bởi vì các giá trị
này không thoả mãn điều kiện
cos5 0,cos3 0xx¹¹

.
Sai lầm ở đây là HS đã quên tìm tập xác định của PT. Để khắc phục sai
lầm này GV cần nhắc nhở HS rằng:

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

14
Nu l mt s tu ý thỡ PT
tan tanx a=
cú nghim
, ()x k kap= + ẻ Â
nh rng õy l s ó xỏc nh i vi hm s tang,
nờn tỡm c x cng xỏc nh tha món iu kin ca
(),
2
x k k
p
p= + ẻ Â

Kt lun ú bao hm c khng nh rng cỏc s
, ()x k kap= + ẻ Â

thoó món iu kin
cos 0x ạ

Li gii ỳng:
tan5 tan3xx=

iu kin:
5

10 5
2
3
( , ) ( ,
26
)
3
k
x
xk
kk
l
x l x
ll
pp
p
p
p p p
p
ớ
ớ
ù
ù
ù
ù
ạ+
ạ+
ù
ù
ù

ù
ùù
ẻẻ
ỡỡ
ùù
ùù
ạ + ạ +
ùù
ùù
ù
ù
ợ
ợ
ÂÂ

Vi iu kin ny thỡ:
tan5 tan3 5 3 ()
2
m
x x x x mk x m
p
p= = + = ẻ Â


2
()
m
xm
p
=ẻÂ

l nghim PT khi v khi tha món ng thi iu kin
(
5
,
10
63
)l
k
x
k
l
x
pp
pp
ớ
ù
ù
ạ+
ù
ù
ù
ẻ
ỡ
ù
ù
ạ+
ù
ù
ù
ợ

Â

;
2 10 5 2 6 3
m k m lp p p p p p
ạ + ạ +
vy m l s chn.
Túm li PT cú nghim
,()x n np=ẻÂ
.
Vớ d 1.3.2.7: Gii PT
sin4
1
cos6
x
x
=
.
Li gii sai:
cos6 sin4 cos6 cos 4
2
x x x x
p
ổử
ữ
ỗ
= = -
ữ
ỗ
ữ

ỗ
ốứ

( )
6 4 2
20 5
2
,
6 4 2
2
4
l
x
x x l
ml
x x l
xm
pp
p
p
p
p
p
p
ộ
ộ
ờ
=+
ờ
= - +

ờ
ờ
ẻ
ờ
ờ
ờ
ờ
= - + +
= - +
ờ
ờ
ở
ở
Â


S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

15
HS quờn iu kin ca PT, i vi dng bi ny ụi khi HS cú ly iu
kin nhng khi c nghim cng hay kt hp loi nghim sai.
Li gii ỳng: iu kin
( )
cos6 0 6
2 12 6
k
x x k x k
p p p
pạ ạ + ạ + ẻ Â

Khi ú ta cú PT:

( )
cos6 sin4 cos6 cos 4
2
6 4 2
20 5
2
,
6 4 2
2
4
x x x x
l
x
x x l
ml
x x l
xm
p
pp
p
p
p
p
p
p
ổử
ữ
ỗ

= = -
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
ộ
ộ
ờ
=+
ờ
= - +
ờ
ờ
ẻ
ờ
ờ
ờ
ờ
= - + +
= - +
ờ
ờ
ở
ở
Â

Vi
4
xm

p
p= - +
thay vo
cos6 cos6 0
4
xm
p
p
ổử
ữ
ỗ
= - + =
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
, vy
4
xm
p
p= - +
khụng phi l nghim.
Vi
20 5
l
x
pp
=+
ta cú:

1 1 1
5 6 1
20 5 12 6 20 5 12 6 5
l k l k l
k l k l
p p p p -
+ = + + = + = - = +

Do
1
, : 5 1
5
l
k l n n l n
-
ẻ ị $ ẻ = = +ÂÂ
suy ra
20 5
l
x
pp
=+
vi
51ln=+
thỡ
cos6 0x =
.
Vy nghin ca PT l:
20 5
l

x
pp
=+
vi
5 1 ( )l n lạ + ẻ Â

Vớ d 1.3.2.8 Gii PT:
2
log 6 7 log 3x x x
.
Li gii sai:
2 2 2
2
log 6 7 log 3 6 7 3 7 10 0
5
x
x x x x x x x x
x


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

16
Suy ra PT đã cho có 2 nghiệm
2x
và
5x

Sai lầm của PT trên là quên điều kiện xác định của phƣơng trình.” [18]
Lời giải đúng:

Điều kiện xác định của PT là:
2
6 7 0 3 0x x x
. Do đó ta có thể
viết:
2
2
2
2
6 7 0
30
log 6 7 log 3 3 0
7 10 0
6 7 3
3
5
2
5
xx
x
x x x x
xx
x x x
x
x
x
x

Ví dụ 1.3.2.9: Giải và biện luận PT
12x x m

.
HS sẽ giải nhƣ sau: với
x1
nghiệm của PT là
1xm
;
với x < 1 nghiệm của PT là
1
3
m
x
.
HS này dù đã nắm đƣợc khái niệm giá trị tuyệt đối nhƣng vẫn chƣa ý
thức đƣợc rằng, tham số đƣợc xem nhƣ là những số đã biết nhƣng chƣa rõ cụ
thể là bao nhiêu, bởi vậy không chắc gì m – 1≥1 ;
1
1
3
m

1.3.3 Sai lầm liên quan đến sử dụng công thức biến đổi dẫn đến sai
nghiệm, thiếu trƣờng hợp.
*) Hiểu nhầm kí hiệu hàm số.
Ví dụ 1.3.3.1: Khi giải các PT lƣợng giác, HS thƣờng nhầm lẫn giữa hai
đơn vị đo là độ và Rađian.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

17
Lời giải sai: Giải PT:

2
cos
32
x
p
æö
÷
ç
-=
÷
ç
÷
ç
èø
nhiều HS giải nhƣ sau:
( ) ( )
0 0 0
00
2
cos 1 cos 1 cos45 1 45 360
2
1 45 360
x x x k
xk
- = Û - = Û - = ± +
Û = ± +


Lời giải đúng:
( ) ( )

2
cos 1 cos 1 cos 1 2
2 4 4
12
4
x x x k
xk
pp
p
p
p
- = Û - = Û - = ± +
Û = ± ± +

HS chƣa hiểu khái niệm hàm số lƣợng giác.
Ví dụ 1.3.3.2: Giải PT sau:
43
34
xx
=
.
Lời giải sai:
( ) ( )
4 3 4 3
81
3 4 3 4 81 64 log 64 0
xx
xx
xx
x x x= Û = Û = Û = Û =

Kết luận PT có nghiệm duy nhất x=0.
Lời giải đúng:
( )
43
3 3 3 3 4 3
3
4
log 3 log 4 4 3 log 4 log 4 log log 4
3
xx
x
xx
x
æö
÷
ç
= Û = Û = Û =
÷
ç
÷
ç
èø

Kết luận PT có nghiệm duy nhất
( )
43
3
log log 4x =

Ví dụ 1.3.3.3 Giải PT
x
x
x2
2 .27 6
.
Lời giải sai:
3
22
2 .27 6 2 .3 6
xx
xx
xx


3x 2x 2
x 1 1 x 1 0 0
x 2 x 2
2 .3 2 .3 2 .3 2 .3
1
22
2
21
31
x
x
x
1x

HS đã mắc phải sai lầm khi cho rằng:

12
1
2

xx
mn
xm
a b a b
xn