Quá trình hình thành và lan truyền xung trong cách tử Bragg phi tuyến tuần hoàn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN HOÀNG ANH

KHẢO SÁT
QUÁ TRÌNH HÌNH THÀNH VÀ LAN TRUYỀN XUNG
TRONG CÁCH TỬ BRAGG PHI TUYẾN TUẦN HOÀN

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

Nghệ An, 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN HOÀNG ANH

KHẢO SÁT
QUÁ TRÌNH HÌNH THÀNH VÀ LAN TRUYỀN XUNG
TRONG CÁCH TỬ BRAGG PHI TUYẾN TUẦN HOÀN

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ
CHUYÊN NGÀNH: QUANG HỌC
MÃ SỐ: 60.44.01.09
Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. NGUYỄN VĂN PHÚ

Nghệ An, 2015

i

LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và kính trọng sâu sắc tới thầy
hướng dẫn, PGS.TS. Nguyễn Văn Phú, thầy đã tận tình định hướng và chỉ bảo
em từ những tiếp thu đầu tiên cũng như trong suốt thời gian hoàn thành luận văn.
Đối với em, được học tập và nghiên cứu dưới sự hướng dẫn của thầy là một niềm
vui lớn.
Em xin gửi lời cám ơn tới tất cả quý thầy cô giáo và các anh/chị học viên
đã tạo điều kiện thuận lợi và giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn này.
Tác giả cảm ơn gia đình, bạn bè đã động viên và ủng hộ trong suốt quá
trình học tập và nghiên cứu.
Long An, tháng 4 năm 2015
Tác giả
Nguyễn Hoàng Anh


ii

MỤC LỤC
Trang
Lời mở đầu

1

Chƣơng I. Cơ bản về cách tử Bragg phi tuyến

3

1.1 Môi trường quang học tuyến tính và phi tuyến

3

1.1.1 Môi trường quang học tuyến tính

4

1.1.2 Môi trường quang học phi tuyến

6

1.2 Cách tử Bragg tuyến tính và phi tuyến tuần hoàn

7

1.2.1 Tính chất phi tuyến của vật liệu quang

7

1.2.2 Cách tử Bragg tuyến tính

10

1.2.3 Cấu trúc phi tuyến tuần hoàn

11

1.3 Kết luận chương I

14

Chƣơng II. Khảo sát quá trình hình thành và lan truyền xung trong
cách tử Bragg phi tuyến tuần hoàn

15

2.1 Gần đúng hàm bao chiết suất

15

2.2 Hệ phương trình liên kết mode dạng vi phân

18

2.3 Sự hình thành và lan truyền xung

21

2.3.1 Sự hình thành xung

21

2.3.2 Sự lan truyền xung trong cách tử Bragg phi tuyến tuần hoàn

24

2.4 Kết luận chương II

31

Kết luận chung

32

Tài liệu tham khảo

33


iii

THUẬT NGỮ VIẾT TẮT

DWDM
FBG
FWHM

GVD
SPM
XPM

Dense Wavelength

Ghép kênh mật độ cao

Division Multiplexing

phân chia theo bước sóng

Fiber Bragg Grating

Cách tử Bragg sợi quang

Full Width at Half

Độ rộng phổ

Maximum

tại nửa cực đại

Group Velocity
Dispersion
Self-Phase Modulation
Cross-Phase
Modulation

Tán sắc vận tốc nhóm
Sự tự điều chế pha
Sự biến điệu chéo pha


1

M Ở ĐẦU
Trải qua một thời gian dài từ khi con người sử dụng ánh sáng của lửa để
làm phương tiện truyền thông tin đến nay, lịch sử của thông tin quang đã qua
những bước phát triển. Với sự phát triển của cuộc sống thì nhu cầu truyền tải
thông tin ngày càng lớn dẫn đến những hệ thống thông tin thông thường không

đáp ứng kịp. Một công nghệ mới có tính cách mạng là truyền dẫn thông tin bằng
ánh sáng đã ra đời. Cùng với công nghệ chế tạo các nguồn phát và thu quang, sợi
dẫn quang đã tạo ra các hệ thống thông tin quang với nhiều ưu điểm trội hơn hẳn
so với các hệ thống thông tin cáp kim loại.
Trước 1960, quang học chỉ là quang học tuyến tính, trong đó cường độ
sáng không ảnh hưởng đến các hiện tượng quang học. Năm 1960 laser ra đời,
quang học phi tuyến đã có những phát triển vượt bậc và có nhiều ứng dụng quan
trọng trong khoa học và công nghệ. Việc nghiên cứu quá trình hình thành và lan
truyền các xung trong môi trường vật chất là quan trọng trong sự phát triển khoa
học - công nghệ hiện nay, đặc biệt là triển vọng ứng dụng của nó trong thông tin
và truyền thông.
Mô hình cách tử Bragg quang được đưa ra và chứng minh các tính chất
của nó vào năm 1978 bởi Hilletal. Đến năm 1989, nó được mô tả một cách rõ
ràng hơn bởi Meltzetal, cách tử Bragg quang được tạo ra bằng cách sử dụng
phép chiếu giao thoa hai luồng tia cực tím. Cùng với sự phát triển của khoa học
và công nghệ, cách tử Bragg có liên quan trực tiếp và chặt chẽ với sự phát triển
của hệ thống thông tin quang, nó có khả năng sử dụng trong việc xây dựng các
bộ lọc dùng để tách ghép kênh trong hệ thống truyền tải dữ liệu đa kênh, chẳng
hạn trong ứng dụng hệ thống DWDM. Sự phát triển nhanh chóng của cách tử


2

Bragg về các ứng dụng trong mạng viễn thông quang và các hệ thống cảm biến
đã nâng cao tốc độ, chất lượng và độ rộng băng tần, những kết quả này đã làm
cải thiện và phát triển chất lượng cũng như các tính năng của các thiết bị quang.
Do đó, hầu hết các thiết bị xử lý tín hiệu toàn quang được thiết kế cho đến
nay đều sử dụng hiệu ứng phi tuyến sợi quang. Nhằm mục đích tìm hiểu và tham
gia đóng góp vào những nghiên cứu nói trên, chúng tôi đặt vấn đề: “Khảo sát
quá trình hình thành và lan truyền xung trong cách tử Bragg phi tuyến tuần

hoàn” làm đề tài luận văn tốt nghiệp của mình.
Cấu trúc luận văn được trình bày như sau: ngoài phần mở đầu, kết luận, và
danh mục các tài liệu tham khảo, nội dung của luận văn được trình bày trong hai
chương.
Ở chương 1, chúng tôi trình bày cơ bản về cách tử Bragg phi tuyến với
môi trường quang học tuyến tính và phi tuyến, tính chất phi tuyến của vật liệu
quang, một số vấn đề về cách tử Bragg tuyến tính và cách tử Bragg phi tuyến với
cấu trúc tuần hoàn.
Ở chương 2, chúng tôi đã dẫn ra hệ phương trình kết hợp mode dạng vi
phân mô tả sự lan truyền của các sóng trong cấu trúc Bragg phi tuyến tuần hoàn.
Bằng phương pháp giải tích và phương pháp số, chúng tôi đã tìm thấy sự xuất
hiện và lan truyền của các xung trong mô hình đề xuất.
Cuối cùng là phần kết luận chung nêu lên những kết quả chính luận văn đã
đạt được.


3

CHƢƠNG I
CƠ BẢN VỀ CÁCH TỬ BRAGG PHI TUYẾN
1.1 Môi trƣờng quang học tuyến tính và phi tuyến
Trải qua lịch sử lâu dài của ngành khoa học quang học, ngay cả đến những
thập niên đầu của thế kỷ 20, chúng ta nghĩ rằng các môi trường quang học có
tính chất tuyến tính. Những tính chất tuyến tính tập trung vào các khẳng định
sau:
+ Các đặc trưng quang học như chiết suất, hệ số hấp thụ không phụ thuộc
vào cường độ sáng;
+ Nguyên lý chồng chất được xem như là nguyên lý cơ bản của quang học
cổ điển;
+ Tần số ánh sáng không thể thay đổi trong quá trình lan truyền trong môi

trường quang học;
+ Ánh sáng không thể tác động tương hỗ lẫn nhau. Hai chùm ánh sáng
trong cùng một vùng nhỏ có thể không tác động lẫn nhau, hay nói cách khác ánh
sáng không thể khống chế ánh sáng.
Sự ra đời của laser trong năm 1960 đã cho phép chúng ta khả năng kiểm
chứng đặc trưng của ánh sáng trong môi trường khi cường độ lớn hơn nhiều so
với trước đây. Nhiều thí nghiệm đã cho thấy môi trường có tính chất phi tuyến
sau :
+ Nguyên lý chồng chất đã bị phá vỡ;
+ Ánh sáng có thể khống chế ánh sáng, các photon tương tác với nhau.
Tính tuyến tính hay phi tuyến tính là của môi trường thể hiện khi ánh sáng truyền
qua chứ không phải của bản thân ánh sáng. Nghĩa là, tính chất phi tuyến sẽ


4

không có khi ánh sáng truyền trong chân không. Chỉ trong môi trường phi tuyến
ánh sáng mới tác dụng với ánh sáng. Như vậy, sự có mặt của ánh sáng mạnh
trong môi trường làm thay đổi tính chất của môi trường, của ánh sáng khác và
của ngay chính bản thân nó. Sau đây, chúng tôi sẽ giới thiệu về các môi trường
này một cách cụ thể hơn.
1.1.1 Môi trƣờng quang học tuyến tính
Xét môi trường điện môi, trong đó đặc trưng của môi trường điện môi khi
có ánh sáng truyền qua được mô tả bởi quan hệ chặt chẽ giữa véctơ mật độ phân




cực P(r , t ) và véctơ điện trường E (r , t ) . Có thể xem véctơ phân cực như là đầu ra
của hệ, trong khi véctơ điện trường là đầu vào. Hệ thức toán học mô tả quan hệ





giữa các hàm véctơ P(r , t ) và E (r , t ) sẽ xác định đặc trưng của môi trường:


P(r , t )   0  E (r , t )

(1.1)

Trong đó  0 là hằng số điện môi trong chân không,  là độ cảm điện của môi


trường. Môi trường tuyến tính được đặc trưng bởi quan hệ tuyến tính giữa P(r , t )


và E (r , t ) như trình bày ở trên hình 1.1.
P

E

Hình 1.1. Quan hệ P-E đối với môi trường tuyến tính


5

Độ lớn mật độ phân cực P  N  là tích của mômen phân cực riêng
(individual dipole moment)  gây ra bởi điện trường ngoài có độ lớn biên độ E
và mật độ mômen lưỡng cực riêng N.

Quan hệ giữa  và E là tuyến tính khi E nhỏ, nhưng sẽ là phi tuyến khi E
đạt giá trị tương đương với điện trường tương tác giữa các nguyên tử. Thông
thường giá trị này nằm trong khoảng từ 105 đến 108 V/m. Hiện tượng này có thể
giải thích nhờ mẫu Lorentz. Trong mẫu này   er , trong đó r độ dịch chuyển vị
trí của điện tử có khối lượng m, mang điện tích e, dưới tác động của lực điện –
eE. Khi lực đàn hồi tỉ lệ thuận với độ chuyển dịch, tức thỏa mãn định luật
Hooke, thì độ chuyển dịch cân bằng r tỉ lệ thuận với E, P tỉ lệ thuận với E và là
môi trường tuyến tính.
1
1
P  a1E  a2 E 2  a3 E 3  ...
2
4

(1.2)

Một bản chất khác của sự đáp ứng của môi trường với ánh sáng là sự phụ
thuộc của mật độ N vào trường quang. Khi điện trường của ánh sáng sử dụng
nhỏ hơn nhiều so với trường tinh thể hoặc trường giữa các nguyên tử, ngay cả
khi hội tụ ánh sáng thì hiệu ứng phi tuyến rất yếu. Khi đó, quan hệ giữa P và E
gần như tuyến tính đối với trường hợp yếu. Trong trường hợp này có thể phân
tích hàm quan hệ giữa P và E theo dãy Taylor xung quanh giá trị E=0, và chỉ sử
dụng một vài số hạng bậc thấp. Các hệ số a1, a2 và a3 là đạo hàm bậc nhất, bậc hai
và bậc ba của P theo E tại E = 0. Các hằng số này là các hằng số đặc trưng của
môi trường. Số hạng thứ nhất tuyến tính gắn với trường yếu. Rõ ràng a1   0  ,
trong đó là độ cảm tuyến tính liên quan đến hằng số điện môi và chiết suất được
xác định bởi hệ thức n2    1   . Số hạng thứ hai mô tả phi tuyến bậc hai, số
0

6

hạng thứ ba mô tả phi tuyến bậc ba và tương tự với các bậc cao hơn tương ứng.
Nếu ánh sáng qua môi trường yếu, hiệu ứng phi tuyến gần như không quan sát
được, khi đó các số hạng phi tuyến bậc cao (từ bậc hai trở lên) được bỏ qua.
Phần lớn các hiện tượng quang học trong đời sống hằng ngày là kết quả phản
ứng tuyến tính của môi trường đối với chùm sáng tới có cường độ thấp. Đặc biệt
lúc đó chiết suất, hệ số hấp thụ, hệ số phản xạ và hệ số truyền qua của môi
trường không phụ thuộc vào cường độ ánh sáng. Các phương trình Maxwell
trong trường hợp này là tuyến tính và nguyên lý chồng chất là đúng.
1.1.2 Môi trƣờng quang học phi tuyến
Như đã trình bày ở phần 1, khi quan hệ giữa  và E là phi tuyến thì các
hiệu ứng quang phi tuyến mới bộc lộ bản chất của mình. Cũng như trên, khi lực
đàn hồi là hàm phi tuyến của độ dịch chuyển thì độ dịch chuyển cân bằng r cũng
như mật độ phân cực P là hàm phi tuyến của E. Ta viết lại (1.2) dưới dạng gọn
hơn:
P   0  E  2dE 2  4 (3) E 3  ...

(1.3)

Trong đó d  a2 và  (3)  a3 là các hệ số mô tả các hiệu ứng phi tuyến bậc hai và
4

16

bậc ba tương ứng. Môi trường lúc này được gọi là môi trường phi tuyến.
P

E

Hình 1.2. Quan hệ P-E đối với môi trường phi tuyến.


7

Môi trường phi tuyến có cấu trúc tạo thành các lớp có chiết suất biến thiên
tuần hoàn được gọi là môi trường có cấu trúc tuần hoàn phi tuyến.
1.2 Cách tử Bragg tuyến tính và phi tuyến tuần hoàn
1.2.1 Tính chất phi tuyến của vật liệu quang
Giao thoa kế phi tuyến là giao thoa kế trong đó môi trường truyền các
sóng ánh sáng là vật liệu phi tuyến, trên cơ sở hiệu ứng phi tuyến Kerr và hiệu
ứng phản hồi ngược. Sợi quang làm từ vật liệu mà ánh sáng truyền qua nó không
gây nên các hiệu ứng phi tuyến còn gọi là sợi quang tuyến tính. Ngược lại, sợi
quang phi tuyến là sợi quang làm từ vật liệu phi tuyến, đó là vật liệu mà khi tín
hiệu quang học có cường độ mạnh (chẳng hạn chùm tia laser) truyền qua sẽ làm
xuất hiện các hiệu ứng phi tuyến, như hiệu ứng Kerr là hiệu ứng trong đó chiết
suất của vật liệu phi tuyến biến đổi theo hàm bậc hai của biên độ tín hiệu quang
(tuyến tính với cường độ tín hiệu quang). Người ta sử dụng sợi quang phi tuyến
để chế tạo giao thoa kế sợi quang phi tuyến. Một giao thoa kế Mach – Zehnder
sợi quang phi tuyến hai cổng gồm: một sợi quang phi tuyến không hấp thụ và sợi
quang tuyến tính không hấp thụ được ghép song song với nhau [3].
Điều khiển ánh sáng
Bộ ghép 3dB

Dữ liệu xung đầu vào

Bộ ghép 3dB

Dữ liệu xung đầu ra

Hình 1.3. Giao thoa kế Mach – Zehnder phi tuyến.
Trong các yếu tố phi tuyến, các tính chất của môi trường phụ thuộc vào cường
độ của trường quang học cung cấp. Nói một cách khác sự hiện diện của các
trường quang biến đổi các thuộc tính của môi trường, do đó làm thay đổi trường


8

quang học. Chỉ số chiết suất n của một vật liệu phi tuyến có thể được thể hiện
như sau:
𝑛 = 𝑛0 + 𝑛2 𝐼,

(1.4)

Với 𝑛0 là phần tuyến tính của chỉ số chiết suất, và 𝑛2 là hệ số vật liệu Kerr.
Trong giao thoa kế Mach - Zehnder, quá trình điều khiển biến đổi các tín hiệu
bằng cách thay đổi giai đoạn chuyển đổi pha của các tín hiệu lan truyền trong
môi trường phi tuyến. Trong trường hợp không có các tín hiệu điều khiển, tín
hiệu dữ liệu điện năng thấp được chia thành hai cổng ở đầu vào và được kết hợp
tại cổng ra nơi hai trường quang học giao thoa. Do đó xung đầu vào được sao
chép ở đầu ra. Nếu hiệu pha của tín hiệu điều khiển bằng 𝜋 thì các trường quang
học kết hợp lại tại cổng ra và giao thoa triệt tiêu, ở đầu ra tín hiệu bị triệt tiêu. Do
đó giao thoa kế Mach – Zehnder có thể hoạt động đóng, mở bằng cách biến đổi
tín hiệu điều khiển. Nếu hai tín hiệu điều khiển được lan truyền trong mỗi cổng
phi tuyến thì giao thoa kế Mach – Zehnder giống như một cổng XOR hai đầu
vào. Một chùm sóng quang lan truyền trong môi trường phi tuyến Kerr trải qua
giai đoạn tự điều chế pha (SPM). Công suất đỉnh lớn của các xung cực ngắn sẽ
tạo ra sự thay đổi phi tuyến của chiết suất. Khi cường độ quang đủ lớn thì chiết
suất phụ thuộc vào cường độ quang tức thời được mô tả trong phương trình
(1.4).

Độ dịch pha của một xung cường độ I(z,t) truyền qua khoảng cách ∆𝑧 do
SPM có dạng: ∆𝜙𝑆𝑃𝑀 =

𝜔
𝑐

∆𝑧𝑛2 𝐼 𝑧, 𝑡 . Sự phụ thuộc độ dịch pha vào tần số dẫn

đến hiện tượng chirp (tức là, phân bố tần số tức thời của các xung thay đổi theo
thời gian).
Sự phụ thuộc của chiết suất vào cường độ trong phương trình (1.4) cũng
có thể dẫn đến một hiện tượng phi tuyến khác có tên gọi là biến điệu chéo pha


9

(XPM). Như chúng ta đã biết, trong hiện tượng SPM, xung gây ra độ dịch pha do
chính cường độ của nó, trong khi đó XPM xuất hiện khi hai hoặc nhiều tín hiệu
tương tác nhau. Do đó, độ dịch pha toàn phần đối với một sóng tín hiệu nhất định
phụ thuộc vào cả cường độ của sóng tín hiệu và cường độ của các sóng khác
truyền đồng thời với nó. Độ dịch pha của sóng tín hiệu thứ j trên khoảng cách ∆𝑧
với M sóng tín hiệu trong môi trường do cả SPM và XPM là:
∆𝜙𝑗𝑁𝐿 = ∆𝜙 𝑗

𝑆𝑃𝑀

+ ∆𝜙 𝑗

𝑋𝑃𝑀

=

𝜔
𝐶

∆𝑧 𝑛2 𝐼𝑗 + 2

𝑀
𝑚 ≠𝑗

𝑛2 𝐼𝑚

[5]

Chúng ta lưu ý rằng sự tán sắc vận tốc nhóm (GVD) phải tính đến trong
quá trình phân tích các tương tác phi tuyến vì nó xác định độ dài đường dẫn mà
xung phi tuyến tương tác ảnh hưởng đến nhau.
Hiện tượng này cũng đóng vai trò quan trọng trong các hệ truyền xung
siêu ngắn vì các xung quang học có độ rộng phổ tương đối lớn. Các thành phần
phổ khác nhau của xung truyền với vận tốc nhóm khác nhau, làm cho các xung
thay đổi độ rộng tức thời trong quá trình lan truyền.
Chẳng hạn, ta khảo sát một sợi quang đơn mode chiều dài L, mỗi thành
phần phổ tần số 𝜔 sẽ tới đầu ra của sợi sau khoảng thời gian 𝑇 = 𝐿 𝑣𝑔 , với 𝑣𝑔 là
vận tốc nhóm, được xác định:
𝑣𝑔 = 𝑑𝛽 𝑑𝜔

−1

Sử dụng công thức 𝛽 = 𝑛𝜔 𝑐 , ta có 𝑣𝑔 = 𝑐 𝑛𝑔 , trong đó 𝑛𝑔 là chiết suất nhóm:
𝑛𝑔 = 𝑛 + 𝜔 𝑑𝑛 𝑑𝜔 . Sự phụ thuộc của vận tốc nhóm vào tần số dẫn tới xung bị

mở rộng. Nếu ∆𝜔 độ rộng phổ của xung, thì sự mở rộng xung sau khi qua sợi có
chiều dài L sẽ là [5]:
𝑑𝑇
𝑑 𝐿
𝑑2𝛽
∆𝑇 =
∆𝜔 =
∆𝜔 = 𝐿
∆𝜔 = 𝐿𝛽2 ∆𝜔
𝑑𝜔
𝑑𝜔 𝑣𝑔
𝑑𝜔 2


10

Tham số 𝛽2 = 𝑑 2 𝛽 𝑑𝜔2 được gọi là tham số GVD. Đại lượng này xác định sự
mở rộng của xung khi truyền bên trong sợi quang. Sự trải rộng tần số ∆𝜔 được
xác định bởi dải bước sóng ∆𝜆 phát ra bởi nguồn quang học. Ta có 𝜔 =
2𝜋𝑐 𝜆 ⟹ ∆𝜔 = −2𝜋𝑐 𝜆2 ∆𝜆. Do đó phương trình trên có thể viết lại là:
∆𝑇 =
với

𝑑 𝐿
∆𝜆 = 𝐷𝐿∆𝜆
𝑑𝜆 𝑣𝑔

𝐷=

𝑑

1

𝑑𝜆

𝑣𝑔

=−

2𝜋𝑐
𝜆2

𝛽2

D được gọi là tham số tán sắc và có đơn vị là ps/(km.nm).
Đối với các xung quang học ngắn, các hiệu ứng tán sắc và phi tuyến cũng
tác động lên xung và dẫn đến những tính chất mới. Đặc biệt, xung có thể duy trì
hình dạng của nó theo thời gian và truyền vô hạn qua môi trường phi tuyến khi
các hiệu ứng SPM và GVD bù nhau hoàn toàn. Đây được gọi là một xung, một
khái niệm mà chúng ta sẽ đề cập đến.
1.2.2 Cách tử Bragg tuyến tính
Dạng đơn giản nhất của cách tử Bragg là một bộ phận điều khiển chiết
suất biến đổi tuần hoàn Hình 1.4.

Hình 1.4. Sơ đồ cách tử Bragg tuyến tính chu kỳ 𝛬 với n01 và n02 là chiết suất
tuyến tính của hai lớp liên tiếp nhau.
Thông qua việc thiết kế môi trường phân tầng thích hợp, chúng ta có thể
thu được hệ số phản xạ rất lớn ở một vùng phổ nhất định, lúc này thiết bị sẽ đóng

11

vai trò là bộ phản xạ đối với sóng phẳng đơn sắc trong vùng phổ này. Trong
trường hợp môi trường tuần hoàn cấu thành từ hai lớp vật liệu có chiết suất tuyến
tính khác nhau, các sóng sẽ tăng cường lẫn nhau trong quá trình phản xạ trong
điều kiện thích hợp, gọi là điều kiện Bragg có dạng như sau: 0 = 2 n.

(1.5)

Ở đây  là chu kỳ cách tử Bragg, n là chiết suất trung bình, và 0 là bước sóng
ánh sáng chiếu tới cấu trúc tuần hoàn. Ở bước sóng lệch xa điều kiện Bragg, ánh
sáng phản xạ qua các chu kỳ kế tiếp nhau lệch pha nhau. Do đó, ánh sáng truyền
qua cấu trúc không bị cản trở, tạo điều kiện cho ánh sáng tới truyền qua mà
không bị phản xạ nhiều. Tuy nhiên, nếu tần số của ánh sáng tới nằm trong
khoảng mà chúng ta hay gọi là bề rộng vùng cấm, sóng sẽ suy biến. Hiện tượng
này được gọi là cộng hưởng Bragg. Băng thông bề rộng vùng cấm của một môi
trường tuần hoàn có dạng [4]:

gap 

2 n
,
 n 0

(1.6)

Trong đó n là độ chênh lệch chiết suất giữa các môi trường vật liệu lân cận
nhau. Chúng ta có thể dễ dàng thấy rằng băng thông của thiết bị có thể được điều
chỉnh thông qua việc điều chỉnh chiết suất của các lớp cạnh nhau.
Đặc tính chọn lọc bước sóng của cách tử Bragg cho phép xử lý tín hiệu

quang trong miền bước sóng, tuyến tính trong lĩnh vực truyền thông quang học,
bao gồm lọc bước sóng và bù tán sắc. Nhiều loại cách tử Bragg sợi quang khác
nhau (các FBG) cũng đã được thương mại hóa trong các hệ thống cảm biến sợi
quang.
1.2.3 Cấu trúc phi tuyến tuần hoàn
Một cấu trúc phi tuyến tuần hoàn bao gồm các lớp vật liệu tuyến tính và
phi tuyến đặt xen kẽ nhau như mô tả trên Hình 1.5.


12

Trong cấu trúc này chùm ánh sáng truyền qua hai lớp liền kề bao gồm một vật
liệu tuyến tính với chiết suất na và một vật liệu phi tuyến tính với chiết suất nb
phụ thuộc vào chính cường độ chùm sáng tới I.
Cấu trúc tuần hoàn, ánh sáng được phản xạ nhiều lần trên các lớp bên
trong cấu trúc. Bằng cách thay đổi chu kỳ các lớp và chiết suất của vật liệu. Do
ảnh hưởng kết hợp từ phi tuyến và tuần hoàn, sự phản xạ có thể xảy ra sao cho
ánh sáng với một bước sóng có thể phản xạ hoàn toàn và bước sóng khác vẫn
còn truyền qua. Ánh sáng với tần số nằm trong bề rộng vùng cấm sẽ bị triệt tiêu
trong quá trình lan truyền.

Hình 1.5. Sơ đồ của một cấu trúc phi tuyến tuần hoàn chu kỳ 𝛬 [4].
Trong thiết bị tuần hoàn phi tuyến, nói chung, vị trí phổ cũng như bề rộng
của vùng cấm phụ thuộc vào cường độ tới. Nếu bây giờ chúng ta đưa thêm vào
tính phi tuyến trong quá trình xét bề rộng vùng cấm trong một cấu trúc Bragg,
tần số Bragg trong phương trình (1.5) và độ rộng vùng cấm trong phương trình
(1.6) có thể được viết lại thông qua việc thay thế chiết suất bằng chiết suất phụ
thuộc cường độ

𝜔0 =

𝜋𝑐
𝑛 𝐼 𝛬

,

∆𝜔𝑔𝑎𝑝 ≅

2 ∆𝑛 𝐼
𝜋 𝑛 (𝐼)

(1.7)

Các phương trình ở trên cho thấy rằng cả kích thước (độ rộng và độ sâu) của
vùng cấm ∆𝜔𝑔𝑎𝑝 và vị trí của tần số trung tâm 𝜔0 có thể thay đổi theo cường độ


13

ánh sáng tới. Do đó, sự truyền ánh sáng qua một chuỗi môi trường phi tuyến tuần
hoàn phụ thuộc vào cả bước sóng và cường độ.
Theo phương trình (1.7) và được minh họa trên ba đường cong trong Hình
1.6, tần số cộng hưởng Bragg 𝜔0 dịch về phía tần số thấp hơn khi cường độ
tăng; trong khi bề rộng vùng cấm mở rộng khi cường độ tăng. Điều này cho thấy
cấu trúc phi tuyến Bragg là phù hợp cho các thiết bị xử lý tín hiệu toàn quang
chẳng hạn như các công tắc hay bộ chuyển quang học. Hình 1.6 cũng minh họa
khả năng chuyển mạch của các cấu trúc như thế.
Các nghiên cứu cho thấy thành phần tần số tại 𝜔1 có thể truyền qua ở
cường độ thấp, nhưng bị phản xạ mạnh ở các cường độ cao; trong khi thành phần
tần số tại 𝜔2 bị phản xạ mạnh ở cường độ thấp, nhưng hiếm khi phản xạ ở các

cường độ cao. Do tác động tổng hợp của tính phi tuyến và tính tuần hoàn, ở
cường độ cao, các sóng ánh sáng tại các tần số 𝜔1 và 𝜔2 sẽ lệch khỏi điều kiện
Bragg, thay đổi đặc tính truyền qua của chúng. Tính chất này có thể được ứng
dụng trong công tắc quang học.
Miền cấm ban đầu.
Miền cấm với I’(I’>I).
Miền cấm với I’’(I’’> I’>I).

Hình 1.6. Đáp ứng theo cường độ của cấu trúc Bragg phi tuyến. Chúng ta thấy
tần số Bragg ω0 dịch chuyển về phía tần số thấp 𝜔0′ và 𝜔0′′ khi cường độ tăng.
Thêm vào đó, kích thước của dải cấm 𝛥𝜔𝑔𝑎𝑝 cũng tăng theo cường độ.


14

1.3. Kết luận chƣơng I
Trong chương này chúng tôi đã trình bày một cách cơ bản các khái niệm
về môi trường tuyến tính và phi tuyến, mô tả tính phi tuyến của vật liệu quang,
giới thiệu mô hình của các cách tử Bragg tuyến tính, cấu trúc phi tuyến tuần
hoàn và những khả năng ứng dụng thực tiễn khi sử dụng cấu trúc tuần hoàn phi
tuyến tính.


15

CHƢƠNG II
KHẢO SÁT QUÁ TRÌNH HÌNH THÀNH VÀ LAN TRUYỀN XUNG
TRONG CÁCH TỬ BRAGG PHI TUYẾN TUẦN HOÀN
2.1 Gần đúng hàm bao chiết suất
Chúng ta xét mô hình cách tử Bragg phi tuyến bao gồm các vật liệu xen kẽ

có hệ số Kerr ngược dấu nhau như được mô tả như trên Hình 1.5. Nếu sự thay
đổi chiết suất do tác dụng tổ hợp của sự chênh lệch chiết suất tuyến tính và phi
tuyến trong các nhóm thành phần lặp đi lặp lại nhỏ hơn nhiều so với chiết suất
trung bình, chúng ta có thể xem chiết suất 𝑛𝛬 𝑧, 𝐸

2

là hàm bao của cấu trúc

tuần hoàn lan truyền không gian, như minh họa trong Hình 2.1.
Chiết suất 𝑛𝛬 𝑧, 𝐸
𝑛01 + 𝑛𝑛𝑙 1 𝐸

−

𝛬
2

−

𝛬
4

0

𝛬

𝛬

4

2

2

2

z

𝑛02 − 𝑛𝑛𝑙 2 𝐸

2

Hình 2.1. Sự phân bố chiết suất của cách tử Bragg dọc theo hướng truyền
không gian.
Dạng giải tích của hàm bao chiết suất 𝑛𝛬 𝑧, 𝐸
𝑛02 − 𝑛𝑛𝑙 2 𝐸 2 , 𝑛ế𝑢 −
𝑛𝛬 𝑧, 𝐸

2

2
= 𝑛01 + 𝑛𝑛𝑙 1 𝐸 , 𝑛ế𝑢 −

𝑛02 − 𝑛𝑛𝑙 2 𝐸 2 , 𝑛ế𝑢

𝑛𝛬
2
𝑛𝛬

𝑛𝛬
4

2

4

có dạng [4]:
<𝑧<−
<𝑧<

<𝑧<

𝑛𝛬
2

𝑛𝛬

𝑛𝛬
4

4

;

;

; 𝑛 = 1,2, …

(2.1)

16

Khai triển chuỗi Fourier hàm này, chúng ta có thể phân tích 𝑛𝛬 𝑧, 𝐸

2

trong phương trình (2.1) thành một tổng vô hạn của các hàm sin và cosin dạng:
∞

𝑛𝛬 𝑧, 𝐸

2

= 𝑎0 + 2

𝑎𝑛 cos 2𝜋𝑛𝑓0 𝑧 + 𝑏𝑛 sin 2𝜋𝑛𝑓0 𝑧 ,

(2.2)

𝑛=1
1

Trong đó f0 là tần số cơ bản: 𝑓0 =

. Các hệ số của an và bn lần lượt biểu diễn

𝛬

biên độ của các số hạng chẵn và lẻ. Đại lượng nf0 biểu diễn hài thứ n của tần số
cơ bản f0. Hệ số a0 là giá trị trung bình của tín hiệu tuần hoàn 𝑛𝛬 𝑧, 𝐸

2

trên

một chu kỳ, tính trung bình theo thời gian:
𝑎0 =

1

Λ

2
𝑛
Λ −Λ 2 𝛬

𝑧, 𝐸

2

𝑑𝑧

(2.3)

Các hệ số an và bn là:
Λ

1

𝑎𝑛 =
Λ

2

−Λ 2

𝑛𝛬 𝑧, 𝐸

Λ

1

2
𝑛𝛬
Λ
−
Λ
2

𝑏𝑛 =

2

𝑧, 𝐸

cos 2𝜋𝑛𝑓0 𝑧 𝑑𝑧,

2

sin 2𝜋𝑛𝑓0 𝑧 𝑑𝑧,

𝑛 = 1,2,3, …
𝑛 = 1,2,3 , …

(2.4)

Đối với hàm chẵn, chúng ta có thể chứng minh rằng bn= 0 và an≠ 0. Khi
thay phương trình (2.1) vào phương trình (2.3), chúng ta được:
𝑎0 =
=
=
=

1

Λ

2
𝑛
Λ
Λ − 2 𝛬

𝑧, 𝐸

2

2

𝛬

𝛬

0

2𝛬

𝑛01 + 𝑛𝑛𝑙 1 𝐸

𝛬4

4

𝑑𝑧

𝑛01 + 𝑛𝑛𝑙 1 𝐸
2

2

𝑑𝑧 +

𝛬
𝛬

2
4

+ 𝑛02 + 𝑛𝑛𝑙 2 𝐸

𝑛01 + 𝑛02 𝑛𝑛𝑙 1 + 𝑛𝑛𝑙 2
+
E
2
2

2

𝑛02 + 𝑛𝑛𝑙 2 𝐸
2

2

𝑑𝑧

(2.5)


17

Tương tự như vậy, khai triển theo chuỗi Fourier ta có được hệ số sau:
1

Λ

2
𝑛
Λ −Λ 2 𝛬

𝑎𝑛 =

𝛬

2

=

𝛬 0

4

𝑧, 𝐸

=

2 𝛬

cos 2𝜋𝑛𝑓0 𝑧 𝑑𝑧

𝑛01 + 𝑛𝑛𝑙 1 𝐸
2
+
𝛬

=

2

𝛬
𝛬

2

cos 2𝜋𝑛𝑓0 𝑧 𝑑𝑧

𝑛02 + 𝑛𝑛𝑙 2 𝐸

2

cos 2𝜋𝑛𝑓0 𝑧 𝑑𝑧

4

𝑛01 + 𝑛𝑛𝑙 1 𝐸

𝛬 2𝜋𝑛

2

2

1
𝑛 − 𝑛02 + 𝑛𝑛𝑙 1 𝐸
𝜋𝑛 01

𝜋𝑛

sin
2

− 𝑛02 + 𝑛𝑛𝑙 2 𝐸

2

− 𝑛𝑛𝑙 2 𝐸

2

sin

𝜋𝑛

(2.6)

2

𝜋𝑛
2

sin

0,

=

2

𝑛ế𝑢 𝑛 𝑙à 𝑠ố 𝑐𝑕ẵ𝑛

1

𝑛01 − 𝑛02 + 𝑛𝑛𝑙 1 𝐸

𝜋𝑛

2

− 𝑛𝑛𝑙 2 𝐸

2

𝜋𝑛

sin

,

2

𝑛ế𝑢 𝑛 𝑙à 𝑠ố 𝑙ẻ

Do đó, chiết suất của phương trình (2.2) có thể viết lại là:
𝑛𝛬 𝑧, 𝐸

2

=

𝑛01 + 𝑛02 𝑛𝑛𝑙 1 + 𝑛𝑛𝑙 2
+

E
2
2

∞

+2
𝑛=1,𝑛𝑙ẻ

≈

1
𝑛 − 𝑛02 + 𝑛𝑛𝑙 1 𝐸
𝜋𝑛 01

𝑛01 + 𝑛02 𝑛𝑛𝑙 1 + 𝑛𝑛𝑙 2
+
E
2
2

2

2

+2

2

− 𝑛𝑛𝑙 2 𝐸

2

sin

𝜋𝑛
cos 2𝜋𝑛𝑓0 𝑧
2

𝑛01 − 𝑛02 𝑛𝑛𝑙 1 − 𝑛𝑛𝑙 2
+
E
π
π

2

2πz
Λ
(2.7)

cos

Để đơn giản hóa phương trình trên, chúng ta đưa vào bốn tham số mới: độ
chênh lệch chiết suất tuyến tính (n0k), hệ số Kerr trung bình (nnl), chiết suất tuyến
tính trung bình (nln), và độ chênh lệch hệ số Kerr (n2k):
𝑛𝑙𝑛 =

𝑛01 + 𝑛02
,

2

𝑛𝑛𝑙 =

𝑛𝑛𝑙 1 + 𝑛𝑛𝑙 2
,
2


18

𝑛0𝑘 =

𝑛01 − 𝑛02
,
𝜋

𝑛2𝑘 =

Khi sử dụng khái niệm số sóng 𝑘 =

2𝜋
𝛬

𝑛𝑛𝑙 1 − 𝑛𝑛𝑙 2
,
𝜋

(2.8)

, chúng ta có thể viết lại phương

trình (2.7) dạng:
𝑛𝛬 𝑧, 𝐸

2

= 𝑛𝑙𝑛 + 𝑛𝑛𝑙 𝐸

2

+ 2𝑛0𝑘 cos 𝑘𝑧 + 2𝑛2𝑘 𝐸 2 cos 𝑘𝑧.

(2.9)

2.2 Hệ phƣơng trình liên kết mode dạng vi phân
Khảo sát một cấu trúc quang học một chiều và giả sử ánh sáng tới là ánh
sáng kết hợp bị phân cực thẳng. Hướng của sự truyền ánh sáng được chọn dọc
theo trục Z. Điện trường vô hướng mô tả bởi phương trình sóng Maxwell tuyến
tính có dạng sau:
𝜕 2 𝐸 𝑛2 𝑧, 𝐸
−
𝜕𝑧 2
𝑐2
Trong đó 𝑐 = 1

2

𝜕2 𝐸
= 0,

𝜕𝑡 2

(2.10)

𝜖0 𝜇0 là vận tốc của ánh sáng.

Điện trường 𝐸 𝑧, 𝑡 có dạng:
𝐸 𝑧, 𝑡 = 𝐴+ 𝑧, 𝑡 𝑒 𝑖

𝑘 0 𝑧−𝜔 0 𝑡

+ 𝐴− 𝑧, 𝑡 𝑒 −𝑖

𝑘 0 𝑧+𝜔 0 𝑡

Ở đây 𝜔0 = 𝑐𝑘0 𝑛𝑙𝑛 là tần số trung tâm, 𝑘0 = 2𝜋 𝑛𝑙𝑛

+ 𝑐. 𝑐.

(2.11)

𝜆0 là số sóng của ánh

sáng. 𝐴+ và 𝐴− là biên độ của các sóng tới và sóng phản xạ.
Phương trình sóng Maxwell sẽ có dạng đơn giản nhất nếu sự biến đổi
trong không gian của cách tử tuyến tính làm cho thành phần phi tuyến là rất nhỏ
so với giá trị chiết suất tuyến tính trung bình 𝑛𝑙𝑛 , điều này có nghĩa là 𝑛0𝑘 ,
𝑛𝑛𝑙 𝐸 2 , 𝑛2𝑘 𝐸

2

≪ 𝑛𝑙𝑛 . Nếu chúng ta cũng giả sử rằng các thành phần 𝐴±

biến đổi chậm trong không gian và thời gian, nghĩa là 𝜕𝐴± 𝜕𝑧 ≪ 𝐴± thì biên
độ 𝐴± 𝑧, 𝑡 thỏa mãn hệ phương trình kết hợp mode trong điều kiện gần tần số
cộng hưởng (nghĩa là khi đó bước sóng 𝜆0 liên hệ với chu kỳ của cách tử theo
dạng 𝜆0 = 2𝑛𝑙𝑛 𝛬). Điều kiện Bragg thỏa mãn khi 𝑘 = 2𝑘0 . Khi đó sử dụng hàm


19

bao biến đổi chậm, bỏ qua khai triển bậc hai khi lấy đạo hàm theo z và theo
phương trình (2.11) ta nhận được:
𝜕2 𝐸
= −𝑘02 𝐴+𝑒 𝑖
2
𝜕𝑧

𝑘 0 𝑧−𝜔 0 𝑡

+ 2𝑖𝑘0

𝜕𝐴− −𝑖
+ 2𝑖𝑘0
𝑒
𝜕𝑧
≈ −𝑘02 𝐴+ + 2𝑖𝑘0

𝜕𝐴 +

𝑒𝑖

𝜕𝑧

𝜕𝐴+ 𝑖
𝑒
𝜕𝑧

𝑘 0 𝑧−𝜔 0 𝑡

− 𝑘02 𝐴−𝑒 −𝑖

𝑘 0 𝑧+𝜔 0 𝑡

𝜕2 𝐸 𝑖
+ 2𝑒
𝜕𝑧

𝑘 0 𝑧−𝜔 0 𝑡

+ −𝑘02 𝐴− + 2𝑖𝑘0

𝑘 0 𝑧+𝜔 0 𝑡

𝜕 2 𝐸 −𝑖
+ 2𝑒
𝜕𝑧

𝑘 0 𝑧−𝜔 0 𝑡

𝜕𝐴 −
𝜕𝑧

𝑒 −𝑖

𝑘 0 𝑧+𝜔 0 𝑡

𝑘 0 𝑧+𝜔 0 𝑡

(2.12)

và số hạng thứ hai trong phương trình (2.10) trở thành
𝑛2 𝑧, 𝐸
𝑐2

2

𝜕2 𝐸
≈
𝜕𝑡 2

𝑘0
𝑛2 + 2𝑛𝑙𝑛 𝑛𝑛𝑙 𝐸
𝜔0 𝑛𝑙𝑛 𝑐 𝑙𝑛
=

𝑘0
𝜔0𝑐

𝑛𝑙𝑛 + 2𝑛𝑛𝑙 𝐸

. −𝜔0 𝜔0 𝐴+ + 2𝑖

𝜕𝐴 +
𝜕𝑡

2

𝑒𝑖

2

+ 2𝑛𝑙𝑛 𝑛0𝑘 + 2𝑛𝑙𝑛 𝑛2𝑘 𝐸

+ 2𝑛𝑙𝑛 𝑛0𝑘 + 2𝑛𝑙𝑛 𝑛2𝑘 𝐸
𝑘 0 𝑧−𝜔 0 𝑡

Số hạng cường độ 𝐸

2

2

2

− 𝜔0 𝜔0 𝐴− + 2𝑖

𝑒

𝑖𝑘𝑧

+𝑒

𝜕2 𝐸
𝜕𝑡 2

−𝑖𝑘𝑧

𝑒 𝑖2𝑘 0 𝑧 + 𝑒 −𝑖2𝑘 0 𝑧

𝜕𝐴 −
𝜕𝑡

𝑒 −𝑖

𝑘 0 𝑧+𝜔 0 𝑡

. (2.13)

trong phương trình trên có thể biểu diễn theo 𝐴+

và 𝐴− là:
𝐸

2

= 𝐸. 𝐸 ∗ = 𝐴+

2

+ 𝐴−

2

+ 𝐴+𝐴∗−𝑒 𝑖2𝑘 0 𝑧 + 𝐴∗+𝐴−𝑒 −𝑖2𝑘 0 𝑧

(2.14)

Khi đó phương trình (2.13) có dạng đơn giản là:
𝑛2 𝑧, 𝐸
𝑐2
−

𝑘0
𝑐

2

𝜕2 𝐸
≈
𝜕𝑡 2

𝑛𝑙𝑛 𝜔0 𝐴+ + 2𝑖𝑛𝑙𝑛

𝜕𝐴 +
𝜕𝑡

+ 2𝑛0𝑘 𝜔0 𝐴− + 2𝑛𝑛𝑙 𝐴+

2𝑛𝑛𝑙 𝐴+𝐴∗−𝜔0 𝐴− + 2𝑛2𝑘 𝐴+

2𝑛2𝑘 𝐴+𝐴∗−𝜔0 𝐴+ . 𝑒 𝑖

𝑘 0 𝑧−𝜔 0 𝑡

2

+ 𝐴−

−

𝑘0
𝑐

2

2

+ 𝐴−

2

𝜔0 𝐴+ +

𝜔0 𝐴− + 2𝑛2𝑘 𝐴∗+𝐴−𝜔0 𝐴+ +

𝑛𝑙𝑛 𝜔0 𝐴− + 2𝑖𝑛𝑙𝑛

𝜕𝐴 −
𝜕𝑡

+ 2𝑛0𝑘 𝜔0 𝐴+ +


20

2𝑛𝑛𝑙 𝐴+

2

2

+ 𝐴−

𝜔0 𝐴− + 2𝑛𝑛𝑙 𝐴∗+𝐴−𝜔0 𝐴+ + 2𝑛2𝑘 𝐴+

2𝑛2𝑘 𝐴+𝐴∗−𝜔0 𝐴− + 2𝑛2𝑘 𝐴∗+𝐴−𝜔0 𝐴− . 𝑒 −𝑖
Nhóm tất cả các số hạng 𝑒 𝑖
−𝑘02 𝐴+ + 2𝑖𝑘0
𝐴−

2

𝜕𝐴 +
𝜕𝑧

+

𝑘0
𝑐

𝑘 0 𝑧−𝜔 0 𝑡

𝑘 0 𝑧+𝜔 0 𝑡

2

+ 𝐴−

2

𝜔0 𝐴+ +

.

(2.15)

, ta được:

𝑛𝑙𝑛 𝜔0 𝐴+ + 2𝑖𝑛𝑙𝑛

𝜕𝐴 +
𝜕𝑡

𝜔0 𝐴+ + 2𝑛𝑛𝑙 𝐴+𝐴∗−𝜔0 𝐴− + 2𝑛2𝑘 𝐴+

2

+ 2𝑛0𝑘 𝜔0 𝐴− + 2𝑛𝑛𝑙 𝐴+
+ 𝐴−

2

2

+

𝜔0 𝐴− +

2𝑛2𝑘 𝐴∗+𝐴−𝜔0 𝐴+ + 2𝑛2𝑘 𝐴+𝐴∗−𝜔0 𝐴+ = 0.

(2.16)

Sử dụng các khai triển tích và đơn giản hóa, phương trình trên trở thành:
𝑖

𝑐 𝜕𝐴+
𝑛𝑙𝑛 𝜕𝐴+
+𝑖
+ 𝑛0𝑘 𝐴− + 𝑛𝑛𝑙 𝐴+
𝜔0 𝜕𝑧
𝜔0 𝜕𝑡
+ 𝑛2𝑘 𝐴+

2

+ 𝐴−

2

2

+ 𝐴−

2

𝐴+ + 𝑛𝑛𝑙 𝐴− 2 𝐴+

𝐴− + 𝑛2𝑘 𝐴+ 2 𝐴− + 𝑛2𝑘 𝐴2+𝐴∗− = 0.

Tương tự, khi nhóm tất cả các số hạng 𝑒 −𝑖

𝑘 0 𝑧+𝜔 0 𝑡

(2.17)

, chúng ta thu được phương

trình kết hợp mode thứ hai:
−𝑖

𝑐 𝜕𝐴−
𝑛𝑙𝑛 𝜕𝐴−
+𝑖
+ 𝑛0𝑘 𝐴+ + 𝑛𝑛𝑙 𝐴+
𝜔0 𝜕𝑧
𝜔0 𝜕𝑡
+ 𝑛2𝑘 𝐴+

2

+ 𝐴−

2

2

+ 𝐴−

2

𝐴− + 𝑛𝑛𝑙 𝐴+ 2 𝐴−

𝐴+ + 𝑛2𝑘 𝐴− 2 𝐴+ + 𝑛2𝑘 𝐴2−𝐴∗+ = 0. (2.18)

Để đơn giản hóa thêm hai phương trình kết hợp mode (2.17) và (2.18), chúng ta
đưa vào tọa độ không gian Z và tham số thời gian T, trong đó 𝑍 = 𝜔0 𝑧 𝑐 và
𝑇 = 𝜔0 𝑡 𝑛𝑙𝑛 . Quá trình chuẩn hóa tham số nhằm đảm bảo các tham số không
gian và thời gian cùng đơn vị; giúp cho các phân tích số dễ dàng hơn. Phương
trình kết hợp mode chuẩn hóa cuối cùng là:
𝑖

𝜕𝐴+ 𝜕𝐴+
+
+ 𝑛0𝑘 𝐴− + 𝑛𝑛𝑙 𝐴+
𝜕𝑍
𝜕𝑇

+ 𝑛2𝑘 2 𝐴+

2

+ 𝐴−

2

2

𝐴− + 𝐴2+𝐴∗− = 0,

+ 2 𝐴−

2

𝐴+
(2.19)