Một cơ sở cho đại số qBrauer Luận văn Thạc sĩ Toán học

Equation Chapter 1 Section 1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

BÙI ĐÌNH HẠNH

MỘT CƠ SỞ CHO ĐẠI SỐ q-BRAUER

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NghệAn – 201
1

1


MỤC LỤC
Trang
MỤCLỤC.......................................................................................................1
CÁC KÝ HIỆU...............................................................................................2
MỞ ĐẦU ........................................................................................................3
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1. Nhóm đối xứng Sn................................................................................5
1.2. Đại số Hecke của nhóm đối xứng........................................................6
1.3. Đại số Brauer.......................................................................................8
CHƯƠNG 2.ĐẠI SỐ q-BRAUER
2.1.Các định nghĩa...................................................................................15
2.2.Một số tính chất cơ bản của đại số q-Brauer.....................................20
*

2.3. Mô đun Vk trên đại số Brn (r , q) .......................................................21

CHƯƠNG 3.MỘTCƠ SỞ VÀ MỘT ĐỐI ĐẲNG CẤU CỦA ĐẠI SỐqBRAUER
3.1. Cơ sở của đại số q-Brauer...................................................................23
3.2. Đối đẳng cấu của đại số q-Brauer.......................................................26
3.3. Thuật toán dùng để sản xuất phần tử cơ sở củađại số q-Brauer........36
3.4. So sánh giữa hai cơ sở của đại số q-Brauer........................................41
KẾTLUẬN....................................................................................................45
TÀI LIỆU THAM KHẢO...........................................................................46

2

2


CÁC KÍ HIỆU
Brn ( r , q )

Đại số q-Brauer phiên bản hai tham số r, q

Brn ( N )

Đại số q-Brauer phiên bản một tham số N

Dn ( N )

Đại số Brauer với tham số N

Dn ( x )

Đại số q-Brauer với tham số x

Sn

Nhóm đối xứng của (nhóm hoán vị) trên n phần tử

Hn ( q)

Đại số Hecke của nhóm đối xứng Sn

Vk Không gian vec tơ
Vk*

Không gian vec tơ đối ngẫu

l( d)

Hàm độ dài của một biểu đồ d

¢  q, q −1 

3

Vành đa thức

3


MỞ ĐẦU
Đối ngẫu Schur-Weyl liên hệ lý thuyết biểu diễn của nhóm tuyến tính tổng quát

GLN (£ ) với lý thuyết biểu diễn của nhóm đối xứng S qua các tác động trung tâm
n
N ⊗n
hóa đồng thời của hai nhóm này trên không gian lũy thừa ten xơ (£ ) . Vào năm

1937, R. Brauer [2] đã giới thiệu các đại số, mà ngày nay được gọi là các đại số
Brauer. Những đại số này xuất hiện trong một tình huống tương tự như vai trò của
nhóm đối xứng trong đối ngẫu Schur-Weyl ở trên. Nghĩa là, khi nhóm tuyến tính
tổng quát GLN (£ ) được thay thế bởi hoặc một nhóm SympleticSp(2N) hoặc một
nhóm trực giaoSO(N) thì nhóm đối xứng được thay thế bởi đại số q-Brauer.
Tiếp sau đó, một q-biến thể của đại số Brauer này đã được tìm ra bởi Birman và
Wenzl[1]và độc lập bởi Murakami[6] trong sự kết nối với lý thuyết Knot và các
nhóm lượng tử. Ngày nay đại số này được gọi là đại số BMW.
Vào năm 2012, một đại số mới được giới thiệu bởi Giáo sư Wenzl [10] thông qua
định nghĩa các phần tử sinh và các mối quan hệ trên chúng. Đại số này được đặt tên
là đại số q-Brauer và nó được biết đến như là một q-biến thể khác của đại số Brauer
và chứa đại số Hecke của nhóm đối xứng như một đại số con tự nhiên. Trong [10]
Wenzl đã chứng minh rằng, trên một mở rộng của trường số hữu tỉ với các tham sốr,
q, đại số q-Brauer là nửa đơn và đẳng cấu với đại số Brauer. Một số ứng dụng của
đại số q-Brauer đã được tìm thấy trong những nghiên cứu về vành biểu diễn của
nhóm trực giao hoặc nhóm Sympletic [9] và về các phạm trù mô đun của các phạm
trù liên hợp kiểu A và các thành phần con tương ứng kiểu II 1[11]. Đại số này được
mong chờ sẽ có nhiều ứng dụng trong cơ khí thống kê, lý toán, lý thuyết Knot, lý
thuyết toán tử, lý thuyết biểu diễn… như đại số BMW đã có. Tuy nhiên, hiện nay
trên thế giới cũng như ở Việt Nam chưa có nhiều nghiên cứu sâu sắc về đại số q-

4

4

Brauer nhằm khám phá những tính chất và cấu trúc đại số của nó ngoài nghiên cứu
của TS. Nguyễn Tiến Dũng trong [4], [5].
Do đó, với mong muốn giới thiệu và bước đầu tìm hiểu sâu hơn về đại số qBrauer,chúng tôi chọn đề tài:“Một cơ sở cho đại số q-Brauer”
Đề tài của chúng tôi nhằm mục đích trình bày lại một số tính chất của đại số qBrauer và sau đó giới thiệu một cơ sở cho đại số này dựa trên tài liệu[4].Luận văn
được trình bày trong 3 chương:
Chương 1: Kiến thức cơ sở
Chương này chúng tôi trình bày lại một số kiến thức cơ bản về đại số Brauer.
Những kiến thức này sẽ được sử dụng trong việc xây dựng một cơ sở cho đại số qBrauer trong chương 3.
Chương 2: Đại số q-Brauer
*

Chương này trình bày các định nghĩa, tính chất của đại số q-Brauer và mô đun Vk
trên đại số Brn (r , q ) .
Chương 3: Một cơ sở và một phản tự đẳng cấu của đại số q-Brauer

Chương này trình bày kết quả chính của luận văn. Trong chương này chúng chúng
tôi giới thiệu một cơ sở cho đại số q-Brauer và trình bày một thuật toán để tìm các
phần tử của cơ sở này.
Luận văn này được hoàn thành tại trườngĐại học Vinh dưới sự hướng dẫn của TS.
Nguyễn Tiến Dũng. Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành và sâu sắc tới TS.
Nguyễn Tiến Dũng, người đã dẫn dắt và hướng dẫn tận tình trong quá trình tác giả
làm luận văn. Nhân dịp này tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy, cô giáo ở
khoa sư phạmToán học – Trường Đại học Vinh đã giành thời gian giảng dạy nhiệt
tình, truyền đạt những kiến thức bổ ích cho tôi.
Trong quá trình học tập và nghiên cứu mặc dù đã có nhiều cố gắng, nỗ lực của bản
thân nhưng do thời gian và kiến thức còn nhiều hạn chế nên luận văn không thể
tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong nhận được sự góp ý của các thầy, cô và các
bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.

5

5


CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1. Nhóm đối xứng Sn
1.1.1. Định nghĩa
Nhóm đối xứng S n gồm tất cả các song ánh từ {1, 2, 3,.., n} vào chính nó với phép
toán nhóm là phép hợp thành các ánh xạ. Các phần tử π ∈ Sn được gọi là các hoán
vị.
1.1.2. Kí hiệu
Đối với một hoán vị π bất kỳ, ta thường sử dụng ba cách kí hiệu khác nhau như
sau.
Cách 1: Kí hiệu hai dòng trên một dãy.
π=

1
π (1)

2
π (2)

3
π (3)

...
...

n
π ( n)

Ví dụ 1.Xét với π ∈ S5 ta có: π (1) = 2, π (2) = 3, π (3) = 1, π (4) = 4, π (5) = 5. Thì hai
dòng của nó là.

π=

1
2

2
3

3
1

4
4

5
5

Cách 2: Mô tả hoán vị π bởi một dòng.
Theo cách mô tảnày thì dòng đầu tiên luôn cố định. Do đó cách mô tả thứ hai chỉ
lấy dòng thứ hai trong cách một.
Cách 3: Mô tả một hoán vị π thông qua kí hiệu xích.
2
Với i ∈ {1, 2, 3,.., n} cho trước, các phần tử của dãy i, π ( i ) , π ( i ) ,... hoàn toàn phân
p

biệt. Chọn lũy thừa đầu tiên sao cho π ( i ) = i, ta có một xích.

( i, π ( i ) , ... , π ( i ) ) .
p -1

Một cách tương đương, ta cũng có thể định nghĩa một xích ( i, j, k ,..., l ) có nghĩa là π
biến i thành j, j biến thành k, ..., l biến thành i. Bây giờ chọn một phần tử không

6

6


nằm trong xích chứa i và lặp lại quá trình trên cho đến khi tất cả các số trong

{1, 2, 3,.., n} đều được sử dụng. Ví dụ 1 ở trên trở thành.
π = (1, 2, 3) ( 4 ) ( 5)
theo kí hiệu xích. Chú ý rằng hoán vị vòng tròn các phần tử nằm trong một xích,
hay thay đổi thứ tự các xích với nhau thì không làm ảnh hưởng đến hoán vị. Chẳng
hạn,

(1, 2, 3) ( 4) ( 5) = ( 2, 3, 1) ( 4) ( 5) = ( 4) ( 2, 3, 1) ( 5) = ( 4) ( 5) ( 3, 1, 2).
Một k-xích hay xích với độ dài k, là một xích gồm k phần tử. Hoán vị vừa rồi của
ta gồm một 3-xích và hai 1-xích. Kiểu xích, hay đơn giản chỉ là kiểu của π là một
m
m
m
biểu thức có dạng (1 ,2 ,..., n ) .
1

2

n

Ở đó, mk là số các xích có độ dài k trong π . Hoán vị của ví dụ trên có kiểu xích là

(1 , 2
2

0

)

, 31 , 4 0 , 5 0 .

Một 1-xích của π còn được gọi là một điểm bất động. Các số 4, 5 là các điểm bất
động trong ví dụ trên. Các điểm bất động thường được bỏ đi trong kí hiệu xích nếu
2
không có sự hiểu lầm xảy ra. Một đối hợp là một hoán vị sao cho π = e . Dễ thấy π

là một đối hợp nếu và chỉ nếu tất cả các xích của π có độ dài bằng 1 hoặc 2.
Kí hiệusj = (j, j+1) với 1 < j < n là các chuyển vị cơ bản trong nhóm đối xứng Sn.
Những chuyển vị cơ bản sj là những phần tử sinh của nhóm đối xứng Sn.

1.1.2. Sự diễn tả rút gọn của một hoán vị
s s ...s
Cho một hoán vị π ∈ S n . Nếu π có thể được biểu diễn như một tích j1 j2 jk của
các chuyển vị cơ bản sao cho k là gọi số tự nhiên nhỏ nhất với tính chất này thì kí
s s ...s
hiệul(π) =k, và chúng ta gọi j1 j2 jk là một sự diễn tả thu gọn cho π.

Ví dụ 2 . Sử dụng hoán vị π như trong Ví dụ 1 ở trên thì π = s1 s2 và do đó
l(π) = 2.

1.2. Đại số Hecke của nhóm đối xứng

7

7


1.2.1. Định nghĩa.Cho R là vành giao hoán có đơn vị là 1, và q là phần tử khả
nghịch trên R.Đại số Hecke Hn(q)=HR,q=HR,q(sn) của nhóm đối xứng Sn trên Rđược
định nghĩa như là một R-môđun tự do với cơ sở

{ gω ω ∈ S } . Phép nhân trong H (q)
n

n

thỏa mãn các quan hệ sau:
(i) 1∈ H n (q ) ;
(ii) Nếu

ω = s1s2 ...s j

là một sự diễn tả rút gọn của ω ∈ Sn thì
gω = g s1 .g s2 ...g s j ;

(iii)

g s2j = ( q − 1) g s j + q

cho tất cả các chuyển vị của sj, trong đó
q = q.1∈ H n (q) .

Để thuận lợi cho công việc tiếp theo chúng ta sẽ kí hiệu gjthay cho

gsj

. Đặt

R = ¢  q, q −1 
và chúng ta sử dụng thuật ngữ Hn(q)để ám chỉ đại số Hecke HR,q(sn).
1.2.2. Bổ đề
/
/
/
g .g = gωω / .
1. Nếu ω , ω ∈ S n và l (ωω ) = l (ω ) + l (ω ) , thì ω ω /

2. Với sj là một chuyển vị và ω ∈ S n ,thì
g. g =
và
g.g =
3.Cho ω ∈ Sn thìgωlà phần tử khả nghịch trong Hn(q) với phần tử nghịch
đảo

gω−1 = g −j 1 g −j −11...g 2−1 g1−1 ,

trong đó

ω = s1s2 ...s j

là sự diễn tả thu gọn của

−1
−1
−1
−1
ω, và g j = q g j + ( q − 1) vì thế g j = qg j + (q − 1) với mọi sj.

Trong các tài liệu, đại số HeckeHn(q)được định nghĩa tương đươngbởi các phần tử
sinhgivới 1 ≤ i < n và các mối quan hệ
(H1) gi gi +1 gi = gi +1 gi gi +1 với 1 ≤ i ≤ n − 1 ;

8

8


(H2)

gi g j = g j gi

với

i − j >1

.

1.2.3. Bổ đề
Ánh xạ tuyến tính i:Hn(q)Hn(q)được xác định bởi quy tắc

i ( gω ) = gω −1

, với mỗi

ω ∈ Sn , là một đối đẳng cấu trên đại số Hecke H (q).
n

1.3.Đại số Brauer
Đại số Brauer được giới thiệu đầu tiên bởi Richard Brauer[2] để nghiêncứu lũy thừa
Tenxơ thứ n của biểu diễn định nghĩa của các nhóm trực giao và các nhóm
symplectic. Sau đó, chúng được tập trung khám phá chi tiết bởi các nhà toán học
khác nhau và có nhiều ứng dụng trong lí thuyết Knot, cơ khí, thống kê, lý toán….
1.3.1. Định nghĩa
Đại số Brauer được định nghĩa trên vành ¢ [x ] qua một cơ sở được đưa ra bởi các
biểu đồ. Mỗi biểu đồ gồm có 2n đỉnh được sắp xếp vào hai hàng với mỗi hàng có n
đỉnh. Hai đỉnh bất kỳ trong biểu đồ nối với nhau bởi một đoạn thẳng. Một đoạn
thẳng mà được nối bởi hai đỉnh trong cùng một hàng thì được gọi là “đoạn ngang”,
những đoạn thẳng còn lại được gọi là “đoạn dọc”. Chúng ta kí hiệu Dn(x) cho đại số
Brauer, trong đó các đỉnh của biểu đồ được đánh số từ 1 đến ntheo chiều từ trái sang
phải cho đồng thời cả hai hàng. Hai biểu đồ d1 và d2được nhân bởi một sự liên kết,
nghĩa là: Các đỉnh ở hàng dưới của biểu đồ d1được kết nối các đỉnh tương ứng ở
hàng trên của biểu đồ d2. Từ đó dẫn đến một biểu đồ kết quảd. Sau đótích d1.d2 được
định nghĩa là x

γ ( d1 , d 2 )

d trong đó γ (d1 , d 2 ) là số các vòng được kết nối của sự liên kết

giữad1 và d2mà sẽ không xuất hiện trong biểu đồ d. Chúng tôi minh họa bởi ví dụ
sau. Trong đại số Brauer D7(x),chúng tôi nhân hai biểu đồd1 và d2 như sau

d1
d2

9

9


d2
•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

Biểu đồ của tích d1.d2=x1d là

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•
• .d

Từ giờ về sau để thuận tiện cho việc trình bày, chúng tôi sẽ sử dụng kí hiệu N thay
cho tham số x. Trong (mục 5,[2])R. Brauer đã chỉ ra rằng mỗi biểu đồ cơ sở trên
Dn(N)mà có chính xác 2k đoạn thẳng ngang có thể được biểu diễn thành sự liên kết
có dạng

ω1e( k )ω2

e
, trong đó ω1 và ω2 là các hoán vị của nhóm đối xứng Sn, và ( k ) là

biểu đồ có dạng như sau:
•

• ×××

•

•

•

• ×××

•

•

• ×××

•

•

•

• ×××

•

Trong đó mỗi hàng có k đoạn ngang.
Như một hệ quả, đại số Brauer có thể được xem xét trên vành đa thức

¢ [ x]

và được

định nghĩa qua các phần tử sinhvà các quan hệ: Cho xlà tham số trên vành ¢ ; đặt
R = ¢ [ N ] , đại số Brauer Dn(N) trên vành R nhưlà R-đại số kết hợp có đơn vị được

10

10

sinh bởi các chuyển vị s1,s2,…,sn-1,cùng với các phần tử sinh e(1),e(2),…,e([n/2]), mà thỏa
mãn các mối quan hệđượcđịnh nghĩa như sau:
2
(S0) si = 1với 1 ≤ i < n ;

(S1) si si +1si = si +1si si +1 với 1 ≤ i < n − 1 ;
i− j ≥2

(S2)

si s j = s j si

(1)

e( k )e(i) = e(i) e( k ) = x i e( k )

(2)

e(i) s2 j e( k ) = e( k ) s2 j e(i) = x i −1e( k )

(3)

s2i +1e( k ) = e( k ) s2i +1 = e( k )

(4)

e( k ) si = si e( k )

(5)

s(2i −1) s2i e( k ) = s(2 i +1) s2 i e( k )

(6)
(7)

với

;
1 ≤ i ≤ k ≤ [ n / 2]

với

với

với

;

1 ≤ j ≤ i ≤ k ≤ [ n / 2]

0 ≤ i ≤ k ≤ [ n / 2]

;

;

với 2k < i < n ;

e( k ) s2i s(2i −1) = e( k ) s2i s(2i +1)

với

với

e( k +1) = e(1) s2,2 k +1s1,2 k e( k )

1 ≤ i ≤ k ≤ [ n / 2]

1 ≤ i ≤ k ≤ [ n / 2]

với

;

;

1 ≤ k ≤ [ n / 2] − 1.

Liên quan đến vành của nhóm RSn như là vành con của Dn(N)sinh bởi các chuyển vị
{si = (i, i+1) với 1 ≤ i < n }.
Theo Brown (xem mục 3,[3]) đại số Brauer Dn(N)có sự phân tích thành tổng trực
tiếpSn-Snsong mô đun
[n /2]

Dn ( N ) ≅ ⊕¢ [N]S ne( k ) Sn
k =0

.

Đặt
I(m) = ⊕¢ [N]Sne( k ) S n ,
k ≥m

thì I(m) là iđean hai phía trong

Dn ( N )

với mỗi

m ≤ [ n / 2]

.

*

1.3.2. Môđun Vk và Vk
Trong mục này chúng tôinhắc lại nhữngmôđun cụ thể của các đại số Brauer. Dn(N)
có một sự phân tích vào tổng trực tiếp của các không gian véc tơ

11

11


[n /2]

Dn ( N ) ≅ ⊕ (¢ [N ]Sne( k ) Sn + I (k + 1)) / I (k + 1)).
k =0

Sử dụng lý luận tương tự như trong mục 1 của[10],mỗi môđun thương
(¢ [N ]Sn e( k )ω j + I (k + 1)) / I (k + 1))

các biểu đồ cơ sở của

là Dn(N)-môđun trái với một cơ sở được cho bởi

¢ [N ]S ne( k )ω j

, trong đó

ω j ∈ Sn

là một biểu đồ sao cho

e( k )ω j

là biểu đồ trong Dn(N)mà không có giao điểm nào giữahai đoạn dọc bất kỳ. Trong
trường hợp cụ thể
I (k ) / I (k + 1) ≅

⊕ (¢ [N ]S n e( k )ω j + I (k + 1)) / I ( k + 1)).

j∈P ( n , k )

Trong đó P (n, k ) là tập hợp tất cả cáckhả năngcủa
bởi

ωj

ωj

(1.3.1)

. Như là phép nhân từ bên phải

giao hoán tác động củaDn(N) hạng tử phía bên phảilà một đẳng cấu với

môđun
Vk* = (¢ [N ]S n e( k )ω j + I (k + 1)) / I ( k + 1)).

(1.3.2)

*
Một cách tổ hợp, Vk được mở rộng bởi các biểu đồcơ sở, trong đó mỗibiểu đồcơ

sởcó chính xáck đoạn thẳng ở hàng dưới mà đoạn thẳng thứi có được bằng cách
*

nốicác đỉnh2i-1và 2ivới nhau. Quan sát rằng Vk là một ¢ [N ] môđunhữu hạn sinh, tự
k
dovới ¢ [N ] -hạng n !/ 2 k ! . Một cách tương tự, một Dn(N)-môđun phảiđược định

nghĩa
Vk = (¢ [N ]e( k ) S n + I (k + 1)) / I ( k + 1),

(1.3.3)

*

trong đó biểu đồcơ sởtrong Vk thu được từ biểu đồcơ sở trong Vk thông quamộtđối

đẳng cấu * của Dn(N). Chú ý rằng * là một đối đẳng cấu được xác định bởi việc
*
quay biểu đồ d ∈ Vk xung quanh trục nằm ngang của nó xuống phía dưới.
*

Để biết thêm nhiều chi tiết hơn cho việc thiết lập Vk ta có thể tìm đọc mục 1trong
[10].

12

12


1.3.3.Bổ đề (Wenzl [10], Lemma 1.1 (d)).Đại sốDn(N) được biểu diễn đầy đủtrên
[n /2]

không gian véc tơ

⊕V
k =0

*
k

n /2]

( và trên cả

⊕ VK

k =0

).

1.3.4. Hàm độ dài của đại số BrauerDn(N)
Tổng quát hoá khái niệm độ dài của các phần tử trong các nhóm phản xạ,
Wenzl[10]định nghĩa mộthàm độ dài cho biểu đồ của Dn(N) như sau:
Cho mỗi biểu đồ d ∈ Dn ( N ) với 2k đoạn thẳng ngang, định nghĩa độ dàil(d) được
xác định như sau:

{

l ( d ) = min l (ω1 ) + l (ω2 ) ω1e( k )ω2 = d ; ω1 , ω2 ∈ S n

Chúng ta sẽ gọi biểu đồ của dcó dạng

ωe( k )

}.

trong đó l (ω ) = l (d ) và ω ∈ Sn là cácbiểu

*

đồ cơ sởcủa môđun Vk .
1.3.5.Chú ý
1.Nhắc lại rằng độ dài của mộthoán vị ω ∈ Sn được định nghĩa bởi l (ω ) bằng lực
lượng của tập hợp

{ (i, j ) ( j)ω < (i)ω 1 ≤ i < j ≤ n} . Trong đó nhóm đối xứng hoạt

động trên tập hợp {1,2,….,n} từ phía bên phải.
2.Với biểu đồ d cho trước, ta có thể tìm được nhiều hơn một hoán vị ω sao cho

ωe( k ) = d

và l (ω ) = l ( d ). Ví dụ

s2 j −1s2 j e( k ) = s2 j +1s2 j e( k )

với

2 j + 1 < k . Điều này có nghĩa rằng một sự diễn tả như vậy của dkhông là duy nhất
vớimỗi ω ∈ Sn .Để thuận lợi cho việc sử dụng sau này, nếu si = (i, i + 1) là 1 chuyển vị
của nhóm đối xứng Snvới i,j=1,2,…,kta đặt:
si,j =

si si +1... s j i ≤ j, si si −1... s j i > j.

Một hoán vị ω ∈ Sn có thể được viết duy nhất dưới dạng ω = tn−1tn −2 ...t1 trong đó tj=1
hoặc

13

t j = si j , j

với

1 ≤ ij ≤ j

và 1 ≤ j < n điều này có thể được hiểu như sau: Cho

13


trướcmột hoán vị ω ∈ S n tồn tại duy nhấttn-1sao cho (n)tn −1 = (n)ω. Dẫn đến

ω / = (n)tn−−11ω = n, và chúng ta có thể xem xét ω / như là một phần tử của S n−1 .Lặp lại
qúa trình này sẽ đưa đến một khẳng định tổng quát. Đặt
Bk* = {tn−1tn−2 ...t2 k t2 k − 2t2 k −4 ...t2 } .(1.3.4)
bởi định nghĩa của

tj

được đưa ra ở trên, số các khả năng của

tj

là j + 1 . Một tính

n!
k
toán trực tiếp chứng tỏ rằng B có 2 .k ! phần tử. Trong thực tế, số các phần tử
*
k

*
trong Bk bằng số lượng các biểu đồ d* trong Dn(N)trong đó d*có 2k đoạn thẳng

ngang trên mỗi dòng và có một trong các dòng nhưlà một dòng của

e( k ) .

3. Từ bây giờ trở đi ta coi một hoán vị của mộtnhóm đối xứng được xem như là một
biểu đồ không có bất kỳ đoạn thẳng ngang nào, và tích ω1.ω2 trong Sn coi như là sự
kết nối của hai biểu đồ trong Dn(N).
4. Cho trước một biểu đồ cơ sở

d * = ωe( k )

*
với l (ω ) = l (d ) không dẫn đến rằng

ω ∈ Bk* , nhưng tồn tại ω / ∈ Bk* sao cho d * = ω / e( k ) . Biểu đồ ω / ∈ Bk* sẽ được chỉ ra ở
*

Bổ đề 1.3.7là tồn tại và duy nhất cho mỗi phần tử cơ sở của môđun Vk .Wenzl thậm
*
/
/
chí còn dànhđược l (ω ) = l ( d ) = l (ω ) , trong đó l (ω ) là số lượng các thành phần
*
/
của sự biểu diễn của ω trong Bk .

1.3.6. Ví dụ
Ví dụ này nhằm minh hoạ nhận xét 2, chúng ta chọn j = 1, k = 2 . Một biểu đồ cơ sở
*

d*trong V2 được đưa ra như sau:

d*=

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

14

14


•

=

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

s1s2

e(2)

s3s2

e(2)
•

=

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

Từ sự phân tích ở trên, ta có biểu đồd*có 2 sự biểu diễn phân biệt
d * = s1s2e(2) = s3 s2e(2)

*
thỏa mãn l ( d ) = l ( s1s2 ) = l ( s3 s2 ) =2.

*
*
Dựa vào định nghĩa của B2 ta nhận thấy rằng, tích s1s2thuộc B2 nhưng s3s2thì
*
không. Tổng quát, cho trước biểu đồ cơ sởd*trong Vk thì luôn tồn tại một hoán vị

ω ∈ Bk* sao cho d * = ωe( k ) và l (ω ) = l (d * ).
1.3.7.Bổ đề (Wenzl [10], Bổ đề 1.2)

{

}

*
ων 1 = vωe( k ) , ω ∈ Bk*
l (ω e( k ) ) = l (ω )
V
k
1.Mô đun
có mộtcơ sở
với
.Trong đó l (ω )
là số lượng các thành phần trong sự biểu diễn của ω trong (1.3.4)và

v1 = (e( k ) + I ( k + 1)) / I ( k + 1) ∈ Vk*

.

*
l ( si d * ) − l (d * ) ≤ 1
2. Cho bất kỳ biểu đồ cơ sở d*của Vk , chúng ta có
. Đẳng thức
*
*
của độ dài xảy ra nếu si d = d .

15

15


Với

k ≤ [ n / 2]

, đặt

{

Bk = ω −1 ω ∈ Bk*

} . (1.3.5)

Phát biểu tiếp theo tương tự như Bổ đề 1.3.7
1.3.8. Bổ đề

{ν ω = v
1

1.Mô đun Vk có một cơ sở

e( k )

ω , ω ∈ Bk

}

với

l (e( k )ω ) = l (ω )

. Trong đó l (ω )

là số lượng các thành phần trong sự biểu diễn của ω trong (1.3.3) và
v1 = (e( k ) + I (k + 1)) / I (k + 1) ∈ VK .
(k )
l ( dsi ) − l (d ) ≤ 1
2. Cho bất kỳ biểu đồ cơ sở d của Vn , chúng ta có
. Đẳng thức
*
*
của độ dài xảy ra nếu si d = d .

CHƯƠNG 2: ĐẠI SỐq-BRAUER
Trong chương này chúng tôi sẽ tóm tắt một số kiến thức cơ bản và cần thiết về đại
số q-Brauer. Sau đó chúng tôi giới thiệu một số phiên bản cho đại số này mà cần
thiết cho những nghiên cứu khác nhau.

2.1.Cácđịnh nghĩa
2.1.1.Định nghĩa
1− qN
[N ] =
∈ ¢  q , q −1 
N ∈ ¢ \ { 0}
1− q
Cố định
và cho
.Đại số q-Brauer
¢  q, q −1 
Brn(N) được định nghĩa trên vành
qua các phần tửsinh
g1 , g 2 ,..., g n−1 và e và các quan hệ sau:

( H ) Các phần tử g , g ,..., g
/

1

2

n −1

thỏa mãn các quan hệ của đại số Hecke

Hn(q);

( E ) e = [ N ] e;
( E ) eg = g e với i > 2, eg
/
1

2

/
2

i

(E ) e
/
3

(2)

i

1

= g1e = qe, eg 2e = q N e và eg 2−1e = q −1e;

= g 2 g3 g1−1 g 2−1e(2) = e(2) g 2 g3 g1−1 g 2−1

−1 −1
, trong đó e(2) = e( g 2 g 3 g1 g 2 )e.

Định nghĩa thứ hai của đại sốq-Brauer như sau:

16

16


2.1.2.Định nghĩa.Đại số q-Brauer, kí hiệu Brn(r,q), được định nghĩa trên vành
¢  q ±1 , r ±1 ,( r − 1) / ( q − 1) 
bởi các phần tử sinh g1 , g 2 ,..., g n −1 vàe và các quan hệ sau :

( H ) Các phần tử

g1 , g 2 ,..., g n−1 thỏa mãn các quan hệ của đại số Hecke

Hn(q) ;
r −1
e

q −1 ;

( E1 )

e2 =

( E2 )

egi = g i e với i > 2 , eg1 = g1e = qe, eg 2e = re và eg 2−1e = q −1e;

( E3 )

e(2) = g 2 g3 g1−1 g 2−1e(2) = e(2) g 2 g3 g1−1 g 2−1

−1 −1
, trong đó e(2) = e( g 2 g3 g1 g 2 )e.

2.1.3.Chú ý
1.Một đại số có mối quan hệ gần gũi với đại số q-Brauerđã xuất hiện gần đây trong
công việc của Molev. Năm 2003, Movel [7] đã đưa ra một q-tương tự mới của đại
số Brauerbởi sự xét đến của nhóm con trung tâm bởi tác động tự nhiên trên không
gian lũy thừa tenxơcủa sự biến thể không tiêu chuẩn của đại số Brauer tổng quát
U ( oN ) .

Ông ấy đã định nghĩa các mối quan hệ cho đại số này và đã xây dựng các

biểu diễn của chúng trên các không gian tenxơ. Tuy nhiên trong trường hợp tổng
quát thì những biểu diễn này là không đầy đủ và có rất ít thông tin được biết về
những đại số trừu tượng này ngoài những biểu diễn của chúng. Đại số q-Brauer, sau
đó được giới thiệu bởi Wenzl trong [10] thông qua các phần tử sinh và các mối quan

hệ. Trong trường hợp chi tiết, trên trường

¤ [ r, q]

Wenzl đã chứng minh được đại số

q-Brauer là nửa đơn và đẳng cấu với đại số Brauer. Ta có thể kiểm chứng được rằng
các biểu diễn của các đại số của Molev trong [7]cũng là các biểu diễn của đại sốqBrauer (mục 2.2, [11]). Nhiều hơn nữa các quan hệ được chỉ ra trong đại số của
Molev cũng được thỏa mãn bởi các phần tử sinhcủa đại sốq-Brauer. Tuy nhiên, đại
số trừu tượng được định nghĩa bởiMolev có thể lớn hơn đại số q-Brauer ([8]).

17

17


2.Một cách rõ ràng,bởi thiết lập r = q phiên bản Brn(r,q)trùng với Brn(N). Trên các
N

vành mà cho phép lấy giới hạn khi q → 1 , như là trường số thực hoặc trường số
phức, đại số q-Brauer (đồng thời 2 phiên bản khi q → 1 ) trùng với đại số Brauer cổ
điển Dn(N). Trong trường hợp này phần tử gi trở thành phần tử phản xạ đơn si và
phần tử e(k) có thể được xác định tương ứng với biểu đồ e(k). Tuy nhiên, trên trường
bất kỳ với đặc số nguyên tố mà giới hạn q → 1 không tồn tại, định nghĩa của Wenzl
dường như gặp khó khăn về mặt kỹ thuật để có thể làm việc. Cụ thể, trên trường có
đặc số nguyên tố chúng ta không thể đưa ra một sự so sánhgiữa đại số q-Brauer
vàđại số Brauer cổ điển trong trường hợp q=1 hoặc q → 1 . Một cách đầy đủ, nếu hệ
số [N] = 0và (r-1)/(q-1) = 0 thì chúng ta nhận thấy rằng đối đẳng cấu đượcđịnh
nghĩa bởiWenzl chođại số q-Brauer (xem mục 3.1.2, [10]) là không tồn tại (chứng
minh của nhận xét này có trong Bổ đề 3.2.1 (3)). Để thuận lợi cho việc nghiên cứu

một cách chi tiết vềđại số q-Brauer chúng tôi giới thiệu tiếp theo một số phiên bản
sửa đổi của đại số này. Như một hệ quả, đại số q-Brauer có thể được xem xét trên 1
trường bất kỳ với đặc số p ≥ 0 , cũng như trong trường hợp q = 1 hoặc q → 1 .
2.1.4.Định nghĩa
Cố định

N ∈ ¢ \ { 0}

N −1
và đặt [ N ] = 1 + q + .... + q . Đại sốq-Brauer Brn(N) trên vành

¢  q ±1 ,[N ]±1 
được định nghĩa bởi cùng các phần tử sinh và các quan hệ như trong
Định nghĩa 2.1.1.
2.1.5.Định nghĩa
Cố định

N ∈ ¢ \ { 0}

và choqvà rlà các phần tử khả nghịch. Giả thiết thêm rằngnếu

q = 1 thì r = q N .Đại sốq-BrauerBrn(r,q) trên vành
¢  q ±1 , r ±1 ,(( r − 1) / ( q − 1)) ±1 
được định nghĩa bởi cùng các phần tử sinh và các
quan hệ như trong Định nghĩa 2.1.2.
2.1.6.Định nghĩa

18

18

Giả sử qvà r là các phần tử khả nghịch trên vành
¢  q ±1 , r ±1 , ((r − r −1 ) / ( q − q −1 )) ±1 
.Nếu q = 1 thì giả thiết thêm rằng r = qN với
N ∈ ¢ \ { 0}

. Đại số q-Brauer Brn(r2,q2) trên vành
¢  q ±1 , r ±1 ,(( r − r −1 ) / ( q − q −1 )) ±1 

là đại số được định nghĩa qua các phần tử sinh g1 , g 2 ,..., g n−1 và e và các mối quan hệ
sau :

( H ) Các phần tử g , g ,..., g
//

1

2

n −1

thỏa mãn các quan hệ của đại số Hecke

Hn(q2);

(E )
//
1

r − r −1
e =
e;
q − q −1
2

( E ) eg
//
2

i

= gi e vớii > 2, eg1 = g1e = q 2e, eg 2e = rqe và eg 2−1e = (rq ) −1 e;

(E ) g g g
//
3

2

−1
3 1

g 2−1e(2) = e(2) g 2 g 3 g1−1 g 2−1

−1 −1
, trong đó e(2) = e( g 2 g3 g1 g 2 )e.

2.1.7. Định nghĩa
Cố định

N ∈ ¢ \ { 0}

nghịch trên vành

2
2
2( N −1)
, trong đó q là phần tử khả
và đặt [ N ] = 1 + q + .... + q

¢  q ±1 , r ±1 ,((r − r −1 ) / ( q − q −1 )) ±1 
.Đại số q-Brauer Brn(N2) trên

¢  q ±1 , r ±1 ,(( r − r −1 ) / (q − q −1 )) ±1 
vành 
được định nghĩa bởi các phần tử sinh
g1 , g 2 ,..., g n−1 và e và các quan hệ (H), (E ) như trong Định nghĩa 2.1.6, và
3

(E ) e
/
1

2

( E ) eg
/
2

=  N 2  e;
i

= g i e với i > 2, eg1 = g1e = q 2e, eg 2e = q N +1e và eg 2−1e = ( q) −1− N e.

2.1.8. Chú ý

19

19


1.Trongđại số q-Brauer, phiên bản Brn(r2,q2) đẳng cấu với phiên bản Brn(r,q). Trong
thực tế, phiên bản Brn(r2,q2) có thể thu được từ Brn(r,q) bởi sự thay thế các phần tử
q, r và ecũ trong Brn(r,q)bởi các phần tử q2, r2 và
(q-1r)emới tương ứng.
2.Các phiên bản mới không làm thay đổi các tính chất của đại sốq-Brauermà
được nghiên cứu chi tiết bởi Wenzl. Điều này có nghĩa rằng chúng ta chỉ cần đưa ra
các chứng minh cho các tính chất cho đại số q-Brauer trên một phiên bản. Các phiên
bản khác được chứng minh hoàn toàn tương tự.
3. Trong luận văn này, chúng tôi sẽ làm việc với các phiên bản của đại số
q-Brauer được định nghĩa trong 2.1.4,những phiên bản còn lại được sử dụng để
nghiên cứu phục vụ cho các mục đích khác nhau mà đã được đề cập trong [4].
4. Trong trường hợp q = 1 đại số q-Brauer Brn(N) (tương ứng Brn(N2))
trùng với lớp đại số cổ điểnDn(N). Và trên mộtvành mà giới hạn khiq dần tới 1 tồn
tại, đại số q-Brauer Brn(r,q)(tương ứng Brn(r2,q2)) trở lại đại số Brauer cổ điển. Chú
ý rằng, tất cả cácđịnh nghĩa trên kéo theo các đẳng thứcsau:
eg1−1 = g1−1e = q −1e hoặc eg1−1 = g1−1e = q −2e . (2.1.1)
Đặt

−1 −1
−1
gl+,m gl gl +1... g m l ≤ m; g l gl −1... g m l > m,
g−
=
và l ,m = gl gl +1... g m l ≤ m;

gl−1 gl−−11... g m−1 l > m,
với 1 ≤ l , m ≤ n.
2.1.9. Định nghĩa
Cho k là số nguyên,

1 ≤ k ≤ [ n / 2] .

Phần tử e(k) của đại số q-Brauer được định nghĩa

quy nạp bởi e(1)= e và bởi
+
−
e( k +1) = eg 2,2
k +1 g1,2 k e( k ) .

Chú ý rằng, trong luận văn này chúng tôi lạm dụng việc kí hiệu e(k)cho đồng thời
một biểu đồ cụ thể trong đại số Brauer Dn(N) và 1phần tử trừu tượng trong đại số qBrauerBrn(r,q).Cho trước một biểu đồd,trực giác hình học cho ta thấy rằng các biểu

20

20

đồ e(k)và

ω( d )

giao hoán trên đại số Brauer. Tương tự,tính chất này cũng có trong đại

số q-Brauer.
2.1.10. Bổ đề
Cho k là số nguyên,
(tương ứng

1 ≤ k ≤ [ n / 2] .

H 2 k +1,n ( q 2 )

), thì

Nếu

gω ∈ H 2 k +1,n ( q )

e( k ) gω = gω e( k ) .

Chứng minh
e( k ) g i = g i e( k )

Ta chỉ cần chứng tỏ rằng

với 2k + 1 ≤ i ≤ n − 1 . Điều này sẽ được

chứng minh bằng phép quy nạp trên k. Thật vậy, với k=1ta có
egi = gie với 3 ≤ i ≤ n − 1 dựa trên điều kiện (E2). Giả sử
e( k −1) gi = gi e( k −1)

với 2k − 1 ≤ i ≤ n-1 ,

nên với 2k + 1 ≤ i ≤ n-1 tacó
e( k ) gi

Đ. n 2.1.9

+
−
= (e g 2,2
k −1 g1,2 k −2 e ( k −1) ) g i

( H2 )

+
−
= g i e( g 2,2 k −1 g1,2 k − 2 ) e( k −1)

Đ .n 2.1.9

=

gt quy nap

=

+
−
e( g 2,2
k −1 g1,2 k − 2 ) g i e ( k −1)

g i e( k ) .

2.2. Một số tính chất cơ bản
Xuyên suốt mục này, kí hiệu R là vành giao hoán và chứa các vành cơ sở trong các
định nghĩa 2.1.4 – 2.1.7.
Bổ đề tiếp theo đề cập đến sự mở rộng của các tính chất của đại số Brauer cổ điển
lên cấp độđại số q-Brauer.
2.2.1. Bổ đề (Wenzl [10])
ChoBrn(N) là đại số q-Brauer trên R. Giả thiết thêm rằng[N] và q là các phần tử
khả nghịch trong R.Khi đó các khẳng định sau là đúng.
1. Các phần tử e(k) là các phần tử được định nghĩa tốt.
2.
3.

+
+
g1,2
l e( k ) = g 2 l +1,2 e( k )

và

−
−
g1,2
l e( k ) = g 2 l +1,2 e( k )

g 2 j −1 g 2 j e( k ) = g 2 j +1 g 2 j e( k )

21

và

với l < k .

g 2−1j −1 g 2−1j e( k ) = g 2−1j +1 g 2−1j e( k )

21

với 1 ≤ j < k .


e e = e( k ) e( j ) = [ N ] e( k ) .
4. Với mỗi j ≤ k chúng ta có: ( j ) ( k )
j

N
5. [ ]

j −1

e( k +1) = e( j ) g 2+ j ,2k +1 g 2− j −1,2 k e( k )

e( j ) g 2 j e( k ) = q N [ N ]

6.

j −1

e( k )

với 1 ≤ j < k .

với 1 ≤ j ≤ k .

2.2.2. Bổ đề
Giả sử Brn(N) là đại số q-Brauer trên R. Giả thiết r, q, và (r-1)/(q-1) là các phần tử
khả nghịch trong R. Khi đó các khẳng định sau là đúng.
1. Các phần tử e(k) là các phần tử được định nghĩa tốt.
+
+
g1,2
l e ( k ) = g 2 l +1,2 e( k )

2.

và

−
−
g1,2
l e ( k ) = g 2 l +1,2 e( k )

g 2 j −1 g 2 j e( k ) = g 2 j +1 g 2 j e( k )

3.

và

với l < k .

g 2−1j −1 g 2−1j e( k ) = g 2−1j +1 g 2−1j e( k )

với1 ≤ j < k .
j

4. Với mỗi j ≤ k chúng ta có:

e( j )e( k ) = e( k )e( j )

 r −1 
=
÷ e( k ) .
 q −1 

j −1

 r −1 
+
−

÷ e( k +1) = e( j ) g 2 j ,2 k +1 g 2 j −1,2 k e( k )
5.  q − 1 
với1 ≤ j < k .
j −1

e( j ) g 2 j e( k )

6.

 r −1 
= r
÷ e( k )
 q −1 
với 1 ≤ j ≤ k .

2.2.3. Bổ đề
Chúng ta có:
e( j ) H n (q)e( k ) ⊂ H 2 j +1,n ( q)e( k ) +

∑

m ≥ k +1

H n ( q)e( m) H n ( q),

trong đó j ≤ k .

Hơn nữa, nếu j1 ≥ 2k và j2 ≥ 2k + 1, thì ta có.
1.

eg 2,+ j2 g1,+ j1 e( k ) = e( k +1) g 2+k +1, j2 g 2−k +1, j1 ,

nếu j1 ≥ 2k và j2 ≥ 2k + 1.
k

2.

eg 2,+ j2 g1,+ j1 = e( k +1) g 2+k + 2, j1 g 2+k +1, j2 + q N +1 (q − 1) ∑ q 2l −2 ( g 2l +1 + 1) g 2+l + 2, j2 g 2+l +1, j1 e( k ) .
l =1

2.2.4. Bổ đề

22

22


[ n /2]

Đại số Brn(r,q) được mở rộng bởi

∑H
k =0

n

(q )e( k ) H n (q )

. Trong trường hợp cụ thể, số

chiều của nó lớn nhất bằng số chiều của đại số Brauer.
2.2.5. Định lí
Cho R là trường có đặc số 0. Đại số Brn(r,q) trên trường R là nửa đơn nếur ≠ q k
với|k| ≤ n và nếu e(q)>n(với e(q) được định nghĩa như trong1.3.2). Trong trường
hợp này, đại số q-Brauer có sự phân tích tương tự vào các vành ma trận đơn như

làsự phân tích của đại số Brauer tổng quát, và vết tr là đối sinh.
*

2.3 Brn(r,q)-môđun Vk
2.3.1. Định nghĩa

*
Tác động của các phần tử sinh của đại số q-Brauer trên mô đun Vk được định nghĩa

như sau:
gv =
vàeh

g +2, j2 g1,− j1 v1 g −j2 +1, j1

=

trong đó v1 được định nghĩa như trong bổ đề 1.3.7 và

h ∈ H 3,n

2.3.2. Bổ đề
Tác động của các phần tử

gj

*
với 1 ≤ j < n và e trên Vk như đã giới thiệu ở trên

định nghĩa mộtbiểu diễn của Brn(r,q).

23

23


CHƯƠNG 3: ĐẠI SỐ VÀ ĐỐI ĐẲNG CẤU CỦA ĐẠI SỐq-BRAUER
Trong chương này, chúng ta xây dựngmột cơ sở cụ thể và cung cấp mộtđối đẳng cấu
cho đại số q-Brauer. Tiếp đó chúng tôi đưa ra mộtsự so sánh giữa cơ sở này và một
cơ sở khác được giới thiệu bởi Wenzl. Cơ sở này được sử dụng để chứng minh cấu
trúc cellular chođại số q-Brauer trên vành giao hoán R (xem tài liệu [5]). Trong toàn
bộ mục này chúng tôi sẽ làm việc trên phiên bảnBrn(r,q) của đại số q-Brauer được
Định nghĩa trong 2.1.5. Tuy nhiên các phiên bản khác của đại số này vẫn có những
kết quả hoàn toàn tương tự.

3.1. Cơ sở của Đại số q-Brauer
Trong mục này, chúng tôi chỉ ra một cơ sởchođại số q-Brauer. Cơ sở này được chỉ
số hóa bởi tập hợp của tất cả các biểu đồ của đại số Brauer cổ điểnDn(N), trong đó
tham số

N ∈ ¢ \ { 0} .

3.1.1.Xây dựng
Cho biểu đồ d ∈ Dn ( N ) với chính xác 2k đoạn thẳng ngang, biểu đồ d có thể được
phân tích như là một sự kết nối của ba biểu đồ thành phần

( d ,ω
1

(d )

, d2 )

như sau:

1. d1là biểu đồ trong đó hàng trên giống hàng trên của biểu đồ d, hàng dưới giống
mộthàngcủa biểu đồ e(k)và không có giao điểm nàogiữahai đoạn dọc bất kỳ.

24

24


2. Một cách tương tự, d2 là biểu đồ trong đó hàng dưới giống như hàng dưới của
biểu đồ d, hàng còn lại tương tự với một hàng của biểu đồ e(k), và không có giao
điểm nào giữa hai đoạn dọc bất kỳ.
3. Biểu đồ

ω( d )

được mô tả như sau: Chúng ta đánh số các đỉnh tự do của các đoạn

dọc, trong đó cả hai hàng của d được đánh từ trái qua phải bởi các số: 2k+1,
2k+2, ..., n. Chúng ta cũng đánh số các đỉnh trên từng hàng của

ω( d )

từ trái qua phải

bởi 1, 2..., 2k+1, 2k+2, ..., n. Giả thiết rằng mỗi đoạn dọc trong d được kết nối bởi

đỉnh thứ icủa hàng trên vớiđỉnh thứjcủa hàng dưới với 2k + 1 ≤ i, j ≤ n. Định nghĩa

ω( d )

là mộtbiểu đồ trong đó có 2k đoạn thẳng dọc đầu tiên của nó được tạo thành bởi

viêc nối các đỉnh thứmtrong mỗihàng với nhau ( 1 ≤ m ≤ 2k )và các đoạn dọc còn lại
được xây dựng được bởi việc giữa lại các đoạn thẳng dọc (i, j)của biểu đồ d.

3.1.2. Ví dụ 1. Với n = 7, k = 2 cho biểu đồ

d=

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

Biểu đồ d được biểu diễn qua các biểu đồ sau:
d1
d2

ω(d)
•

•
•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•
•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

25

25