Khai thác mối liên hệ giữa toán học và thực tiến khi dạy học hệ thức lượng trong tam giác vuông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

BÙI THỊ ANH NGỌC

KHAI THÁC MỐI LIÊN HỆ GIỮA TOÁN HỌC
VÀ THỰC TIỄN KHI DẠY HỌC HỆ THỨC LƯỢNG
TRONG TAM GIÁC VUÔNG

NGHỆ AN - 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

BÙI THỊ ANH NGỌC

KHAI THÁC MỐI LIÊN HỆ GIỮA TOÁN HỌC
VÀ THỰC TIỄN KHI DẠY HỌC HỆ THỨC LƯỢNG
TRONG TAM GIÁC VUÔNG

Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60.14.01.11

ĐỀ CƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Chiến Thắng

NGHỆ AN - 2015

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn TS.
Nguyễn Chiến Thắng đã giúp đỡ và hướng dẫn tận tình để tôi hoàn thành luận
văn này.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn: Phòng Đào tạo Sau đại học Trường Đại
học Vinh và các thầy, cô giáo đã tham gia giảng dạy lớp: Cao học 21 - Chuyên
ngành Lý luận và Phương pháp dạy học Bộ môn Toán.
Cảm ơn gia đình, bạn bè và trường THCS Yên Thanh đã giúp đỡ, động
viên tôi trong quá trình học tập.
Tuy đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không thể tránh khỏi những thiếu
sót, tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy, cô và bạn đọc.
Nghệ An, tháng 9 năm 2015
Tác giả

Bùi Thị Anh Ngọc


NHỮNG TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

Từ viết tắt

Từ đầy đủ

HS

Học sinh

GV

Giáo viên

NXB

Nhà xuất bản

SGK

Sách giáo khoa

THCS

Trung học cơ sở

BTTT

Bài toán thực tiễn

HĐ

Hoạt động


HÌNH VẼ VÀ BẢNG BIỂU


MỤC LỤC
Bảng 1.1. Số lượng giáo viên tham gia thực hiện phiếu điều tra……….. 29
Bảng 1.2. Các yếu tố ảnh hưởng đến kết quả học tập chương Hệ thức
lượng trong tam giác vuông……………………………………… 30
Bảng 1.3. Những khó khăn của HS khi học chương Hệ thức lượng

trong tam giác vuông …………………………………………….. 31
Bảng 1.4. Những khó khăn của GV khi ứng dụng các vấn đề thực tiễn
vào dạy các bài trong chương Hệ thức lượng trong tam giác
vuông………………………………………………………………
32
…
Bảng 1.5. Một số biện pháp giúp HS học tốt chương Hệ Thức Lượng
trong tam giác vuông……………………………………………… 33
Bảng 1.6. Các biện pháp đế tăng hiệu quả dạy học chương Hệ thức
lượng
trong
tam
giác
vuông 34
……………………………………...
Bảng 3.1. Kết quả cụ thể của sự hiệu quả của việc dạy học lồng ghép
thực tiễn ……………………………………………………………. 67
Bảng 3.2. Kết quả kiểm tra lần 1..................................................
69
Bảng 3.3. Xếp loại học tập lần 1 ............................................................. 69
Bảng 3.4. Phân phối tần suất lần 1.......................................................... 70
Bảng 3.5. Kết quả kiểm tra lần 2 ........................................................... 72
Bảng 3.6. Xếp loại học tập lần 2 ............................................................. 72
Bảng 3.7. Phân phối tần suất lần 2 ......................................................... 73
Bảng 3.8. Kết quả kiểm tra lần 3 ............................................................ 74
Bảng 3.9. Xếp loại học tập lần 3 ............................................................. 75
Bảng 3.10. Phân phối tần suất lần 3........................................................ 75
Bảng 3.11. Tổng hợp các tham số thống kê của ba lần kiểm tra............. 77
Hình 3.1. Biểu đồ biểu diễn kết quả kiểm tra lần 1.................................. 70
Hình 3.2. Đồ thị biểu diễn tần suất lần 1.................................................. 71

Hình 3.3. Biểu đồ biểu diễn kết quả kiểm tra lần 2.................................. 72
Hình 3.4. Đồ thị biểu diễn tần suất lần 2.................................................. 73
Hình 3.5. Biểu đồ biểu diễn kết quả kiểm tra lần 3.................................. 75
Hình 3.6. Đồ thị biểu diễn tần suất lần 3.................................................. 76
MỞ ĐẦU....................................................................................................
1.
2.
3.
4.
5.
6.

Lý do chọn đề tài..............................................................................
Mục đích nghiên cứu………………………………………..……..
Đối tượng, khách thể và phạm vi nghiên cứu……………...………
Giả thuyết khoa học ……………………………………...………..
Nhiệm vụ nghiên cứu……………………………………...……….
Phương pháp nghiên cứu…………………………………………...

1
1
3
3
4
4
4


7
7. Đóng góp của luận văn…………………………………………….. 5

8. Cấu trúc của luận văn……………………………………………… 5
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA MỐI LIÊN
HỆ GIỮA TOÁN HỌC VÀ THỰC TIỄN.............................................. 6
1.1. Vai trò của Toán học trong cuộc sống hàng ngày................................ 6
1.2. Vai trò của việc rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức
Toán học vào thực tiễn ..............................................................................
1.2.1. Là phù hợp với xu hướng phát triển chung của thế giới và thực

8

tiễn Việt Nam .............................................................................................
1.2.2. Là một yêu cầu có tính nguyên tắc góp phần phản ánh được tinh

8

thần và sự phát triển theo hướng ứng dụng của toán học hiện đại..

1
0

1.2.3. Là một biện pháp có hiệu quả, nhằm chủ động thực hiện các nhiệm
vụ dạy học......................................................................................................... 11
1.3. Hệ thức lượng trong tam giác vuông………………………………… 13
1.4. Các ứng dụng của hệ thức lượng trong tam giác vuông……….......... 17
1.4.1. Vận dụng các hệ thức lượng trong tam giác để giải các bài toán
trong tam giác………………………………………………………...........……

1
7

1.4.2. Vận dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào giải quyết vấn
đề thực tiễn………………………………………………………………............

2
3

1.5. Tìm hiểu thực tiễn dạy học khai thác mối liên hệ giữa Toán học và
thực tiễn vào dạy học hệ thức lượng trong tam giác vuông………........… 2
8
1.5.1. Mục đích điều tra………………………………………………………… 2
1.5.2. Đối tượng điều tra……………………………………………….……..

8
2
8


1.5.3. Tiến trình và kết quả điều tra………………………………………….. 3
0
Kết luận chương 1………………………………………………...……… 35
CHƯƠNG 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP KHAI THÁC MỐI LIÊN HỆ
GIỮA TOÁN HỌC VÀ THỰC TIỄN VÀO DẠY HỌC HỆ THỨC
LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG………………………………. 36
2.1. Các định hướng đề xuất biện pháp……………………………...….... 36
2.1.1. Vai trò của giáo dục……………………………………………………... 3
6
2.1.2. Xu hướng đổi mới và phát triển phương pháp dạy học theo chiều
hướng thực tiễn…………………………………………………………….……. 37
2.1.3 Lý thuyết kiến tạo trong dạy học………………………………... 37
………

2.2. Một số biện pháp khai thác mối liên hệ giữa Toán học và thực tiễn
……………………………………………………………………….…...

4
0

2.2.1. Biện pháp 1: Sử dụng các tình huống thực tiễn để gợi động cơ hình
thành và củng cố kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác vuông.

4
0

2.2.2. Biện pháp 2: Xây dựng các dạng toán liên quan đến thực tiễn
được giải bằng kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác vuông............

4
5

2.2.3. Biện pháp 3: Thực hiện hoạt động ngoại khoá toán học có nội
dung liên quan đến vận dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để
giải quyết……………………………………………………………................... 5
…..
Kết luận chương 2……………………………………………..….…....
CHƯƠNG 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM…………………….………
3.1. Mục đích thực nghiệm……………………………………………..
3.2. Nội dung thực nghiệm……………………………………………..
3.3. Tổ chức thực nghiệm………………………………………………
3.4. Đánh giá kết quả thực nghiệm……………………………………..
3.5. Kết quả TNSP…………………………………………...…...........
3.5.1. Kết quả quan sát các biểu hiện của tính tích cực của học sinh.

4
64
65
65
65
65
66
67
6

7
3.5.2. Yêu cầu chung về xủ lí định lượng kết quả TNSP………………… 6
8
Kết luận chương 3................................................................................... 7


9
KẾT LUẬN CHUNG.............................................................................
TÀI LIỆU THAM KHẢO..................................................................................

8
79
81


1

MỞ ĐẦU
8. Lý do chọn đề tài

Toán học có thể ứng dụng vào rất nhiều ngành khoa học, nhiều lĩnh vực
khác nhau của đời sống thực tiễn. Thực tiễn là nguồn gốc, động lực, vừa là nơi
kiểm nghiệm tính chân lý của mọi khoa học nói chung và Toán học nói riêng.
Toán học phát triển được là nhờ có mối liên hệ mật thiết với thực tiễn, thông qua
đó để bộc lộ sức mạnh lý thuyết vốn có của nó. Mối quan hệ giữa Toán học và
thực tiễn có tính chất phổ dụng, toàn bộ và nhiều tầng. Vận dụng Toán học vào
thực tiễn luôn là một yêu cầu quan trọng trong dạy học Toán ở trường phổ thông
góp phần thực hiện: Nhiệm vụ môn Toán, trong đó có nhiệm vụ “Truyền thụ tri
thức kĩ năng Toán học và kĩ năng vận dụng Toán học vào thực tiễn”, nguyên tắc
dạy học Toán “kết hợp lí luận với thực tiễn”, nguyên lý giáo dục, làm rõ thêm
mối quan hệ biện chứng giữa Toán học vào thực tiễn, phát triển văn hóa Toán học
cho học sinh. Đảng và Nhà nước ta rất quan tâm, chú trọng tới vấn đề này. Một
trong những nhiệm vụ và giải pháp đề ra trong Hội nghị lần thứ 8, Ban chấp hành
Trung ương khóa XI là: “Đổi mới chương trình nhằm phát triển năng lực và
phẩm chất người học, hài hòa đức, trí, thể, mỹ; người dạy, dạy chữ và dạy nghề.
Đổi mới nội dung giáo dục theo hướng tinh giảm, hiện đại, thiết thực, phù hợp
với lứa tuổi, trình độ và ngành nghề; tăng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực
tiễn”. Do đó, trong dạy học Toán ở bậc phổ thông, để “Làm rõ mối liên hệ giữa
Toán học và thực tiễn”, việc khai thác mối liên hệ giữa Toán học và thực tiễn cho
học sinh là một vấn đề cần thiết.
Toán học có nguồn gốc thực tiễn và là “chìa khóa” trong hầu hết các hoạt
động của con người, nó có mặt khắp nơi. Toán học là kết quả của trừu tượng hóa
các sự vật hiện tượng trong thực tiễn trên những bình diện khác nhau và có vai
trò rất quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung của giáo dục phổ thông.
Mặc dù là ngành khoa học có tính trừu tượng cao nhưng Toán học có mối liên hệ
chặt chẽ với thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi trong nghiều lĩnh vực khác nhau:
là công cụ để học tập các môn học khác trong nhà trường, nghiên cứu nhiều


2

ngành khoa học và là công cụ để hoạt động trong sản xuất và đời sống thực tế.
Mặc dù, việc vận dụng Toán học vào thực tiễn luôn được xác định có vai trò quan
trọng nhưng vì nhiều lí do khác nhau, trong một thời gian dài trước đây và cho
tới nay vấn đề rèn luyện cho học sinh vận dụng Toán học vào thực tiễn chưa
được thể hiện đúng mức, chưa đáp ứng được những yêu cầu của mục tiêu giáo
dục Toán học.
Học sinh bậc Trung học cơ sở ở là những người đang trưởng thành, chuẩn bị
tham gia trực tiếp vào lao động sản xuất, phát triển xã hội, tương lai các em phải
đối mặt với cuộc sống hiện đại đa chiều, đầy biến động. Do đó, việc trang bị cho
học sinh những năng lực thích ứng với thực tiễn khi còn ngồi trên ghế nhà trường
là hết sức cần thiết. Để bồi dưỡng và nâng cao năng lực đó đặc biệt là năng lực
vận dụng Toán học vào thực tiễn thì một trong những biện pháp quan trọng là cần
tăng cường các bài toán thực tiễn trong dạy học toán và biết cách xây dựng, sử
dụng những bài toán ấy như thế nào cho hiệu quả.
Trong nhà trường phổ thông, “nắm vững môn Toán” có nghĩa là hiểu thấu
đáo khối lượng và phương pháp Toán học, là có ý thức và kĩ năng vận dụng
những hiểu biết đó vào thực tiễn. Từ đó cho thấy sự kết hợp giữa lý luận và thực
tiễn vào dạy học toán là vô cùng quan trọng. Nó không chỉ là nguyên tắc dạy học
mà còn là qui luật cơ bản của việc dạy học và giáo dục của chúng ta. Đồng chí
Trường Chinh đã từng nói: “Dạy tốt… là khi giảng bài phải liên hệ với thực tiễn,
làm cho học sinh dễ hiểu, dễ nhớ và có thể áp dụng điều mình đã học vào công
tác thực tiễn được…”. Một giáo viên dạy toán cần giúp học sinh thấy được mối
quan hệ giữa lý luận và thực tiễn, để từ lý thuyết, các em có thể vận dụng vào
thực tế một cách chính xác. Điều đó đòi hỏi người giáo viên phải nắm vững
chuyên môn, phải thấy được những ứng dụng thực tế của các kiến thức Toán học.
Giáo viên phải giúp học sinh nhận ra được các lý thuyết Toán học là gắn liền với
thực tiễn, gắn liền với đời sống. Từ đó sẽ giúp học sinh dễ dàng lĩnh hội, gây
được sự hứng thú, kích thích được hoạt động nhận thức của học sinh.
Chương trình, sách giáo khoa bộ môn Toán ở trường Trung học cơ sở hiện
hành, kế thừa và phát huy truyền thống dạy học Toán ở Việt Nam, tiếp cận trình

3
độ giáo dục Toán học phổ thông của các nước phát triển trong khu vực và trên thế
giới. Nội dung được biên soạn theo tinh thần lựa chọn những kiến thức Toán học
cơ bản, thiết thực, có hệ thống, trình bày tinh giản; thể hiện tính liên môn và tích
hợp các nội dung dạy học; thể hiện vai trò công cụ của môn Toán đồng thời tăng
cường thực hành và vận dụng, thực hiện dạy học toán gắn liền với thực tiễn.
Đã có một số công trình nghiên cứu về mạch ứng dụng Toán học trong dạy
học toán ở trường phổ thông. Điển hình là công trình “Tăng cường khai thác nội
dung thực tế trong dạy số học và đại số nhằm nâng cao năng lực vận dụng Toán
học vào thực tiễn cho học sinh Trung học cơ sở” của tác giả Bùi Huy Ngọc, hay
“Góp phần phát triển năng lực Toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh
Trung học phổ thông qua dạy học Đại số và Giải tích” của tác giả Phan Anh…
Tuy nhiên, đi sâu về vấn đề khai thác mối liên hệ giữa Toán học và thực tiễn
trong dạy học Hệ thức lượng trong tam giác thì vẫn là một vấn đề chưa được
nghiên cứu một cách đầy đủ.
Chính vì những lý do nêu trên chúng tôi đã chọn đề tài “Khai thác mối
liên hệ giữa Toán học và thực tiễn khi dạy học Hệ thức lượng trong tam giác
vuông”.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài là khai thác mối liên hệ giữa Hệ thức
lượng trong tam giác vuông với thực tiễn nhằm hiểu rõ hơn về mối liên hệ giữa lý
luận và thực tiễn trong các kiến thức Toán học để góp phần nâng cao chất lượng
giáo dục Toán học cho học sinh THCS.
Tìm ra những phương hướng vận dụng lý thuyết của việc đảm bảo tính
thống nhất giữa lý luận và thực tiễn vào dạy học môn Toán ở trường THCS.
Nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán thông qua việc dạy thực nghiệm ở
trường THCS Yên Thanh huyện Can Lộc, tỉnh Hà Tĩnh.
3. Đối tượng, khách thể và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu
Mối liên hệ giữa Toán học và thực tiễn khi dạy Hệ thức lượng trong tam
giác vuông.


4
3.2. Khách thể nghiên cứu
Hoạt động dạy của GV và hoạt động học của HS trong chương trình toán
phổ thông qua việc dạy học chương: Hệ thức lượng trong tam giác vuông.
3.3. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu chủ đề Hệ thức lượng trong tam giác vuông thuộc Chương
trình môn Toán lớp 9 hiện hành.
4. Giả thuyết khoa học
Trên cơ sở bám sát vào chương trình và SGK hình học 9 hiện hành, nếu
GV tổ chức cho HS khai thác mối liên hệ giữa Toán học và thực tiễn trong quá
trình học môn Toán nói chung và chủ đề Hệ thức lượng trong tam giác vuông
nói riêng, thì sẽ góp phần giáo dục được thế giới quan duy vật biện chứng cho
HS, trang bị cho học sinh kĩ năng vận dụng các kiến thức đã học vào thực tế cuộc
sống.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
5.1. Hệ thống hóa cơ sở lí luận về mối liên hệ giữa Toán học và thực tiễn
khi dạy Hệ thức lượng trong tam giác vuông ở chương trình môn Hình học lớp 9.
5.2. Điều tra, khảo sát thực trạng việc vận dụng mối liên hệ giữa Toán học
và thực tiễn.
5.3. Đề xuất, áp dụng vận dụng mối liên hệ giữa Toán học và thực tiễn vào
dạy học Hệ thức lượng trong tam giác vuông ở trường THCS.
5.4. Tổ chức thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi của một số biện
pháp nhằm điều chỉnh và rút ra kết luận.
6. Phương pháp nghiên cứu
6.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu về

các vấn đề liên quan đến đề tài luận văn.
6.2. Phương pháp điều tra, quan sát: Điều tra một số khía cạnh về tình hình
vận dụng Toán học vào thực tiễn trong dạy học toán hiện nay và ý kiến một số
giáo viên THCS về một số vấn đề liên quan đến đề tài luận văn, với hình thức tổ
chức điều tra là lấy ý kiến điều tra là lấy ý kiến đóng góp qua phiếu thăm dò.


5
6.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm
dạy học một số biện pháp đã đề xuất để xem xét tính khả thi và hiệu quả cả các
biện pháp đề xuất.
7. Đóng góp của luận văn
7.1. Về mặt lý luận
- Hệ thống hoá và làm rõ mối liên hệ giữa Toán học và thực tiễn khi dạy
học chủ đề Hệ thức lượng trong tam giác vuông.
- Đưa ra được những ứng dụng thực tiễn của Toán học trong quá trình dạy
học.
- Thông qua mối liên hệ giữa Toán học và thực tiễn, học sinh sẽ tìm thấy
hứng thú trong quá trình học tập, góp phần gợi động cơ tìm tòi, gợi tính sáng tạo
cho học sinh.
7.2. Về mặt thực tiễn
Luận văn có thể dùng làm tài liệu tham khảo theo hướng vận dụng Toán
học vào thực tiễn cho GV toán ở trường THCS.
8. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu và kết luận nội dung luận văn gồm 3 chương
Chương 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn của mối liên hệ giữa Toán học và thực
tiễn.
Chương 2. Một số biện pháp khai thác mối liên hệ giữa Toán học và thực
tiễn vào dạy học Hệ thức lượng trong tam giác vuông.
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm

6
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA MỐI LIÊN HỆ
GIỮA TOÁN HỌC VÀ THỰC TIỄN
1.1. Vai trò của Toán học trong cuộc sống hàng ngày
Toán học có vai trò rất to lớn trong đời sống thường ngày nhưng không dễ
nhìn thấy. Nó có mặt trong các thiết bị được sử dụng rộng rãi nhưng thường bị
che lấp bởi công nghệ. Liệu có bao nhiêu khách hàng thuê bao điện thoại biết
được để mạng điện thoại vận hành thông suốt có sự đóng góp không nhỏ của
thuật toán đơn hình - một thuật toán cơ bản của lí thuyết qui hoạch Toán học.
Hàng loạt các thiết bị gia dụng thông minh ngày nay được tích hợp các phương
pháp của logic mờ. Những người làm công ăn lương vẫn nhận tiền qua các máy
ATM nhưng mấy ai biết nếu không có các thuật toán an toàn trong đó thì số tiền
của họ sẽ không cánh mà chui vào túi của đạo chích. Và đó cũng chỉ là một số ví
dụ đơn cử.
Nhiều tri thức Toán học, ngay cả Toán học đơn giản ở bậc phổ thông, có
thể ứng dựng hiệu quả vào đời sống nhưng đòi hỏi những kĩ năng nhất định và
một thói quen nhất định. Trang bị những kĩ năng này là công việc của nhà trường
và sự rèn luyện của bản thân mỗi người. Nhưng trên thực tế, rất ít người, kể cả
những người có học vấn tương đối, thực hiện những kỹ năng này. Không chỉ ở
những nước còn lạc hậu mà ngay tại những nước tiên tiến như Hoa Kỳ, theo nhận
xét của Andrei Okunkov, nhà Toán học Nga đoạt giải Fields, giáo sư Đại học
Princeton, người Mỹ đều mong muốn trở nên giàu có khi về già nhưng không
mấy ai biết vận dụng một số kĩ năng của lí thuyết xác suất khả dĩ có thể giúp họ
đưa ra những quyết định có lợi cho việc thực hiện giấc mơ của mình [4].
Hơn một trăm năm trước Karl Marx đã nói rằng một ngành khoa học chỉ
trở nên hoàn thiện khi nó sử dụng được ngành khoa học định lượng - đó là Toán
học. Lịch sử phát triển các ngành khoa học tự nhiên đã hoàn toàn khẳng định luận
điểm này của Marx. Nhưng luận điểm đó còn đúng cả với nhiều lĩnh vực xã hội.

Được thôi thúc bởi khát vọng tìm kiếm và sáng tạo, các nhà Toán học đã
không dừng lại ở các ngành khoa học tự nhiên mà chuyển sang cả các lĩnh vực xã


7
hội. Trong nửa đầu thế kỷ hai mươi họ đã cho ra đời không ít công cụ Toán học
có thể áp dụng để phân tích bản chất các quá trình xã hội: các phương pháp thống
kê xã hội, lí thuyết Toán học các xung đột và hợp tác (lí thuyết trò chơi), các mô
hình Toán học trong kinh tế, phương pháp phân tích hệ thống, lí thuyết các hệ
động lực. Một số nhà Toán học đã giành được giải Nobel, một giải thưởng khoa
học danh giá vốn không dành cho các nhà Toán học, như Kantorovich - Nhà
Toán học Nga, “vì những đóng góp vào lí thuyết phân bố tối ưu tài nguyên” và
John Nash - nhà Toán học Mỹ, “vì các công trình về lí thuyết trò chơi”.
Từ đầu thập kỷ bảy mươi của thế kỷ trước sự ra đời của máy tính điện tử
đã tạo ra một bước ngoặt mới cho việc áp dụng Toán học vào xã hội, và ở chừng
mực nào có thể nói từ đây Toán học cũng đã trở thành một ngành khoa học thực
nghiệm giống như vật lí, hóa học, sinh học và một số ngành khác. Nghĩa là ban
đầu các quá trình xã hội được mô hình hóa dưới dạng ngôn ngữ Toán học (gọi là
mô hình Toán học - hệ thống các tương quan Toán học mô tả dưới dạng thu gọn
quá trình xã hội), sau đó chúng được chạy trên máy tính điện tử và có thể được
thử đi thử lại nhiều lần. Trên cơ sở đó, người ta đã thu được nhiều kết quả quan
trọng.
Các nhà Toán học còn tiến xa hơn, họ đã không dừng lại ở việc mô phỏng
các quá trình xã hội ở qui mô nhỏ, vừa, mà thậm chí còn mô phỏng cả những vấn
đề ở tầm hành tinh. Từ đây đã ra đời một lĩnh vực liên ngành rộng lớn: mô hình
hóa toàn cầu (global modeling) và nhiều hướng mới trong khoa học: lí thuyết
Toán học về phát triển, lí thuyết các hệ sinh thái, lí thuyết quyết định v.v. Qua đó
con người đã thu được rất nhiều thành tựu cho phép phát hiện ra bản chất của các
quá trình chính trị - xã hội.
Toán học không chỉ góp phần vào phân tích và khám phá những bí mật của

các quá trình xã hội, Toán học còn là bộ phận cấu thành không thể thiếu của
những sản phẩm phục vụ đời sống hằng ngày: các hàm băm Toán học (hash
functions) trong các cấu trúc an ninh của hệ điều hành máy tính, các thuật toán
bảo vệ dữ liệu cá nhân và xác thực danh tính trong các thẻ giao dịch tài chính,
ngân hàng, các thuật toán tạo chữ kí điện tử thay thế chữ kí tay, tổ hợp các thuật


8
toán trong chứng thư điện tử được sử dụng trong giao dịch điện tử, công nghệ
Toán học mờ (Fuzzy Mathematics) trong các thiết bị điều khiển và các thiết bị
gia dụng. Có vô vàn những ví dụ khác mà người ta có thể kể ra.
Quá trình sản xuất và đời sống ngày càng được tự động hóa thì xã hội ngày
càng trở nên nhân tạo và vai trò của Toán học ngày càng lớn. Dĩ nhiên không
phải hiện tượng xã hội nào cũng có thể được mô phỏng qua mô hình Toán học,
nhưng không gì có thể ngăn cản sự tò mò, sáng tạo và khát khao chinh phục
những vùng đất mới của các nhà Toán học. Hàng ngàn năm trước nhà triết học
Socrates đã nói “Hãy đo, hãy đo, dù không phải lúc nào cũng đo được”. Các nhà
Toán học một cách ý thức hay vô thức hình như đang đi theo lời kêu gọi đó. Họ
trở thành một lực lượng đông đảo, có đóng góp lan tỏa rộng khắp trong đời sống.
Toán học ngày nay đã trở thành một nghề nghiệp, đảm bảo việc làm cho hàng
chục vạn người làm toán trên thế giới, góp phần phát triển và ổn định xã hội. Như
vậy, chúng ta có thể nhận thấy vai trò không thể phủ định của Toán học trong xã
hội.
1.2. Vai trò của việc rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến
thức Toán học vào thực tiễn
1.2.1. Là phù hợp với xu hướng phát triển chung của thế giới và thực
tiễn Việt Nam
Thế giới đã bước vào kỷ nguyên kinh tế tri thức và toàn cầu hóa. Với sự
phát triển mạnh mẽ của khoa học công nghệ, người lao động buộc phải chủ động
dám nghĩ, dám làm, linh hoạt trong lao động, hòa nhập với cộng đồng xã hội; đặc

biệt phải luôn học tập, học để có hành và qua hành phát hiện những điều cần phải
học tập tiếp. Chính vì thế, trong giáo dục cần hình thành và phát triển cho học
sinh năng lực thích ứng, năng lực hành động, năng lực cùng sống và làm việc với
tập thể, cộng đồng cũng như năng lực tự học.
Giáo dục, với chức năng chuẩn bị lực lượng lao động cho xã hội, chắc chắn
phải có những sự chuyển biến to lớn, tương ứng với tình hình. Hội đồng quốc tế về
Giáo dục cho thế kỷ 21 được UNESCO thành lập 1993 do Jacques Delors lãnh
đạo, nhằm hỗ trợ các nước trong việc tìm tòi cách thức tốt nhất để kiến tạo lại nền


9
giáo dục của mình vì sự phát triển bền vững của con người. Năm 1996, Hội đồng
đã xuất bản ấn phẩm Học tập: một kho báu tiềm ẩn, trong đó có xác định "Học tập
suốt đời" được dựa trên bốn "trụ cột" là: Học để biết; Học để làm; Học để chung
sống với nhau; Học để làm người. "Học để làm" được coi là "không chỉ liên quan
đến việc nắm được những kỹ năng mà còn đến việc ứng dụng kiến thức", "Học để
làm nhằm làm cho người học nắm được không những một nghề nghiệp mà con có
khả năng đối mặt được với nhiều tình huống và biết làm việc đồng đội" [7],[18].
Để thích ứng với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học công nghệ và nền sản
xuất hiện đại, phong trào cải cách giáo dục Toán học ở trường phổ thông đã được
thực hiện rộng khắp và sâu sắc ở nhiều nước trên thế giới. Tuy có sự khác nhau
đáng kể về mục đích và phương pháp thực hiện ở mỗi nước, nhưng nhìn chung xu
thế của việc cải cách giáo dục Toán học trên thế giới là hiện đại hóa một cách thận
trọng và tăng cường ứng dụng [10]. Giáo sư Hoàng Tụy có ý kiến cho rằng: "Xã
hội công nghệ ngày nay đòi hỏi một lực lượng lao động có trình độ suy luận, biết
so sánh phân tích, ước lượng tính toán, hiểu và vận dụng được những mối quan hệ
định lượng hoặc lôgic, xây dựng và kiểm nghiệm các giả thuyết và mô hình để rút
ra những kết luận có tính lôgic [7]. Đối với yêu cầu về phát triển, ngoài những yêu
cầu về phát triển năng lực trí tuệ như rèn luyện các hoạt động trí tuệ cơ bản, phát
triển trí tưởng tượng không gian, rèn luyện tư duy lôgic và ngôn ngữ chính xác;

rèn luyện các phẩm chất của tư duy như linh hoạt, độc lập, sáng tạo, còn nêu lên
yêu cầu - theo Nguyễn Văn Bàng - đó là "bước đầu có năng lực thích ứng, năng
lực thực hành, hình thành năng lực giao tiếp Toán học" [2]. Những yêu cầu đó
cũng là xuất phát từ đặc điểm của giai đoạn tình hình mới.
Ở Việt Nam, khi chuẩn bị cũng như khi thực hiện và điều chỉnh cải cách
giáo dục - trên cơ sở xuất phát từ yêu cầu cụ thể của nước ta trên con đường công
nghiệp hóa, hiện đại hóa, phù hợp với xu hướng đổi mới môn Toán trong trường
phổ thông trên thế giới, đồng thời có tính đến những điều kiện cụ thể của giáo
dục Việt Nam - Chương trình môn Toán đã có nhiều đổi mới, trong đó đặc biệt
chú ý tới việc tăng cường và làm rõ mạch Toán ứng dụng và ứng dụng Toán học
hơn nữa [4], [13], [10].


10
Trong những quan điểm được đưa ra làm căn cứ xác định mục tiêu môn
Toán, có nêu: "Phải lựa chọn những nội dung kiến thức Toán học cốt lõi, giàu
tính ứng dụng, đặc biệt là ứng dụng vào thực tiễn Việt Nam"
Rõ ràng rằng, việc rèn luyện kỹ năng vận dụng Toán học vào thực tiễn hoàn
toàn phù hợp và có tác dụng tích cực trong hoàn cảnh giáo dục của nước ta.
1.2.2. Là một yêu cầu có tính nguyên tắc góp phần phản ánh được tinh
thần và sự phát triển theo hướng ứng dụng của Toán học hiện đại
Môn Toán trong nhà trường phổ thông bao gồm những nội dung quan
trọng, cơ bản, cần thiết nhất được lựa chọn trong khoa học Toán học xuất phát từ
mục tiêu đào tạo của nhà trường và phải phù hợp với trình độ nhận thức của học
sinh; đồng thời phù hợp với thực tiễn giáo dục - xã hội của đất nước. Những nội
dung đó không những phải phản ánh được tinh thần, quan điểm, phương pháp mà
còn phải phản ánh được xu thế phát triển của khoa học Toán học hiện nay, mà
một trong những hướng chủ yếu của nó là ứng dụng [18].
Một trong những nguyên tắc quan trọng được nhóm tác giả Phạm Văn
Hoàn, Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình đưa ra trong cuốn Giáo dục học môn

Toán là Nguyên tắc "kết hợp lí luận với thực tiễn". Kết hợp lí luận với thực tiễn
không chỉ là Nguyên tắc dạy học mà còn là Quy luật cơ bản của việc dạy học và
giáo dục của chúng ta. Đại hội đại biểu toàn Quốc lần thứ IV của Đảng đã nêu ra
Nguyên lý "Học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, nhà
trường gắn liền với xã hội". Hồ Chủ Tịch đã nhiều lần nhấn mạnh: "Các cháu học
sinh không nên học gạo, không nên học vẹt,. .. Học phải suy nghĩ, phải liên hệ
với thực tế, phải có thí nghiệm và thực hành. Học và hành phải kết hợp với
nhau", "phương châm, phương pháp học tập là lí luận liên hệ với thực tế". Đồng
chí Trường Chinh cũng đã nêu: "Dạy tốt... là khi giảng bài phải liên hệ với thực
tiễn, làm cho học sinh dễ hiểu, dễ nhớ và có thể áp dụng điều mình đã học vào
công tác thực tiễn được. Bằng đồ dùng để dạy, chỉ cho học sinh thấy tận mắt, sờ
tận tay,. ..", "Học tốt... là học sinh phải gắn liền với hành, với lao động".
Để thực hiện Nguyên tắc kết hợp lí luận với thực tiễn trong việc dạy học
Toán, cần:


11
+ Đảm bảo cho học sinh nắm vững kiến thức Toán học để có thể vận dụng
chúng vào thực tiễn;
+ Chú trọng nêu các ứng dụng của Toán học vào thực tiễn;
+ Chú trọng đến các kiến thức Toán học có nhiều ứng dụng trong thực tiễn;
+ Chú trọng rèn luyện cho học sinh có những kỹ năng Toán học vững chắc;
+ Chú trọng công tác thực hành Toán học trong nội khóa cũng như ngoại
khóa [10].
Nhiều công trình nghiên cứu đã chỉ ra rằng, giảng dạy Toán học không nên
xa rời với thực tiễn. "Loại bỏ ứng dụng ra khỏi Toán học cũng có nghĩa là đi tìm
một thực thể sống chỉ còn bộ xương, không có tí thịt, dây thần kinh hoặc mạch
máu nào" [4].
Tăng cường và làm rõ mạch Toán ứng dụng và ứng dụng Toán học là góp
phần thực hiện Nguyên tắc kết hợp lý luận với thực tiễn, học đi đôi với hành, nhà

trường gắn liền với đời sống [25].
Theo Ngô Hữu Dũng: Ứng dụng Toán học vào thực tế là một trong những
năng lực Toán học cơ bản, cần phải rèn luyện cho học sinh [18].
Nói về những yêu cầu đối với Toán học nhà trường nhằm phát triển văn
hóa Toán học, tác giả Trần Kiều cho rằng: "Học Toán trong nhà trường phổ thông
không phải chỉ tiếp nhận hàng loạt các công thức, định lý, phương pháp thuần túy
mang tính lí thuyết..., cái đầu tiên và cái cuối cùng của quá trình học Toán phải
đạt tới là hiểu được nguồn gốc thực tiễn của Toán học và nâng cao khả năng ứng
dụng, hình thành thói quen vận dụng Toán học vào cuộc sống" [2].
V. V. Firsôv khẳng định: "Việc giảng dạy Toán ở trường phổ thông không
thể không chú ý đến sự cần thiết phải phản ánh khía cạnh ứng dụng của khoa học
Toán học, điều đó phải được thực hiện bằng việc dạy cho học sinh ứng dụng
Toán học để giải quyết các bài toán có nội dung thực tế" [4].
1.2.3. Là một biện pháp có hiệu quả, nhằm chủ động thực hiện các nhiệm
vụ dạy học
Tổ chức cho học sinh luyện tập ứng dụng kiến thức (bao gồm cả kỹ năng)
vào những tình huống khác nhau là một khâu quan trọng của quá trình dạy học,


12
không những giúp học sinh lĩnh hội và củng cố kiến thức mà còn là cơ sở quan
trọng chủ yếu để đánh giá chất lượng và hiệu quả học tập. Trên cơ sở đó, người
thầy lựa chọn hoạt động dạy học tiếp theo: tiếp tục củng cố hoàn thiện nội dung
đó hay chuyển sang học nội dung khác. Giai đoạn này - theo G. Pôlya - là giai
đoạn củng cố kiến thức mới được kết hợp, được làm vững chắc, được tổ chức
chặt chẽ, rốt cuộc trở thành kiến thức thực chất. Sự kiện mới cần liên quan tới thế
giới quanh ta, với kiến thức đã có, với kinh nghiệm hàng ngày, dựa vào chúng,
tìm trong chúng sự giải thích, nó phải phù hợp với tính ham hiểu biết tự nhiên của
học sinh.
Trong thực tiễn dạy học ở trường phổ thông, để truyền thụ một tri thức nào

đó, các thầy giáo dạy Toán giàu kinh nghiệm thường cho học sinh thực hiện
những bài tập được xây dựng có tính phân bậc từ những tình huống quen thuộc
đến những tình huống mới lạ, từ chỗ thực hiện có sự giúp đỡ của thầy dần dần tới
hoàn toàn độc lập, từng bước đạt tới các trình độ lĩnh hội, tiến tới hoàn toàn nắm
vững kiến thức. Có thể nói một cách khác, tổ chức cho học sinh luyện tập ứng
dụng kiến thức, kỹ năng, phương pháp Toán học vào những tình huống khác nhau
là một biện pháp nhằm chủ động thực hiện tốt các nhiệm vụ dạy học một cách
toàn diện - theo Nguyễn Gia Cốc, số đông học sinh học kém là do những học sinh
này học mà không hiểu điều mình học, không ứng dụng được kiến thức khi làm
bài tập nói chi ứng dụng vào thực tế, ở họ chỉ có những kiến thức sách vở do
"nhồi nhét'', do ''học vẹt'' mà có, học mà không hiểu nhông ứng dụng được. Chỉ
có tay nghề cao của giáo viên mới chữa trị được chứng bệnh này trong chiếm lĩnh
văn hóa ở người học. Tác giả cho rằng, giải quyết đúng đắn quan hệ giữa lí luận
và thực tiễn, giữa học và hành, với các biện pháp bồi dưỡng cho học sinh ý thức
học tập trong thực tế cuộc sống, ý thức vận dụng các kiến thức vào giải quyết các
vấn đề thực tế, coi trọng củng cố kiến thức kỹ năng mà học sinh đã thu nhận được
là những yếu tố tác động trực tiếp đến chất lượng học vấn của học sinh, đồng thời
là những yếu tố đánh giá trình độ tay nghề của giáo viên.
Như vậy, tăng cường rèn luyện cho học sinh khả năng và thói quen ứng
dụng kiến thức, kỹ năng và phương pháp Toán học vào những tình huống cụ thể


13
khác nhau (trong học tập, lao động sản suất, đời sống...) là một nhiệm vụ quan
trọng của giáo dục Toán học, nhằm đạt được các mục tiêu đào tạo; tổ chức cho học
sinh luyện tập ứng dụng kiến thức để tiếp thu chúng là một khâu quan trọng trong
quá trình dạy học Toán, đồng thời cũng là một biện pháp nhằm chủ động thực hiện
các nhiệm vụ dạy học, có tác động trực tiếp và quyết định tới chất lượng đích thực
của giáo dục phổ thông. Vì thế cần phải tổ chức thực hiện tốt khâu này. Điều đó
phản ánh sự quán triệt tinh thần của Nguyên lý giáo dục. Có thể nói: rèn luyện khả

năng và ý thức ứng dụng Toán học cho học sinh vừa là mục đích vừa là phương
tiện của dạy học Toán ở trường phổ thông.
1.3. Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Hệ thức lượng trong tam giác vuông là chương 1 môn Hình học 9 SGK
hiện hành. Chương này gồm có 5 bài, thực hiện trong 17 tiết và được phân bố
thời gian như sau:
§ 1. Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông: 2 tiết
Luyện tập
§2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn
Luyện tập

1 tiết
2 tiết
1 tiết

§3. Bảng lượng giác

2 tiết

Luyện tập

1 tiết

§4. Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
Luyện tập

2 tiết
1 tiết

§5. Ứng dụng thực tế các tỉ số lượng giác của góc nhọn.

Thực hành ngoài trời

2 tiết

Ôn tập chương I

2 tiết

Kiểm tra

1 tiết

Mục đích của chương này là giải tam giác vuông khi biết hai cạnh hoặc
một cạnh và một góc nhọn. Chính vì vậy, chương này gồm các nội dung sau:
1) Hình thành các công thức về tỉ số lượng giác của góc nhọn. Quan hệ
giữa các tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau.


14
2) Sử dụng bảng số hoặc máy tính bỏ túi để tìm các tỉ số lượng giác của
góc nhọn cho trước và ngược lại, tìm góc nhọn khi biết một trong các tỉ số lượng
giác của nó.
3) Từ định nghĩa các tỉ số lượng giác của góc nhọn, xây dựng các hệ thức
giữa cạnh và góc trong tam giác vuông. Bên cạnh các hệ thức đó, đầu chương còn
xây dựng các hệ thức giữa cạnh và đường cao, cạnh và hình chiếu của cạnh, …
trong tam giác vuông.
4) Áp dụng các nội dung trên để tính chiều cao của vật thể và khoảng cách
giữa hai địa điểm trong thực tế.
Trong tam giác vuông, nếu biết hai cạnh, hoặc một cạnh hoặc một góc
nhọn thì có thể tính được các góc và các cạnh còn lại của tam giác đó.

Xét ∆ABC vuông tại A, cạnh huyền BC = a, các cạnh góc vuông AC = b
và AB = c. Gọi AH = h là đường cao ứng với cạnh huyện và CH = b’, BH = c’
lần lượt là hình chiếu của AC, AB trên cạnh huyền BC (hình 1).
A
b

c

B

h
b'

c'
H

C

a

Hình 1

 Công thức định lý Pitago: a 2 = b 2 + c 2
 Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền
Định lý1: Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông
bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền
Công thức theo ký hiệu ở Hình 1:

b 2 = a.b ';

c 2 = a.c '
 Một số hệ thức liên quan tới đường cao
Định lý 2: Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với
cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.
Công thức theo ký hiệu ở Hình 1:

h 2 = b '.c '


15
Định lý 3: Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích
của cạnh huyền và đường cao tương ứng.
Công thức theo ký hiệu ở Hình 1:

a.h = b.c

Định lý 4: Trong một tam giác vuông, nghịch đảo bình phương đường cao
ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc
vuông

1
1 1
= 2+ 2
2
h
b c

Công thức theo ký hiệu ở Hình 1:
 Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Định nghĩa: Xét một góc nhọn α trong một tam giác vuông:
C¹nh ®èi
C¹nh kÒ
C¹nh ®èi
C¹nh kÒ
sinα = C¹nh huyÒn ; cosα = C¹nh huyÒn ; tanα = C¹nh huyÒn ; cotα C¹nh huyÒn
Ta xét tam giác ABC luôn có:
Ta có: SinB =

AC
BC

* tan B =

AC

* cosB =
* cot B =

AB

AB
BC
AB
AC

Hình 2
Nhận xét: ta luôn có 0 < sinα < 1, 0 < cosα < 1
tanα và cotα là hai giá trị nghịch đảo của nhau. Ta có tanα.cotα = 1
Tỉ số lượng giác của hai góc nhọn phụ nhau

Định lý: Nếu hai góc nhọn phụ nhau thì sin góc này bằng cosin góc kia,
tan góc này bằng cot góc kia.
Tam giác ABC vuông tại A ⇒ Bµ + Cµ = 900 (Hình 2)
AC 
 AB 
* tanB = cot C  =
=
÷
÷
 BC 
 AB 
AB 
AB 
* sin C = cos B  =
* tanC = cotB  =
÷
÷
BCmột
 số góc đặc biệt
 AC 
 Bảng lượng giác của

* sinB = cosC


16

 Các công thức lương giác cơ bản hay dùng
sin2α + cos2α = 1

sin α
cosα
1
1
1 + tan2α =
1 + cot2α =
2
cos α
sin 2α
tanα =

sin α
cosα

tanα. cotα = 1
cotα =

Nhận xét: Khi góc α tăng từ 00 đến 900 thì sinα và tanα tăng còn cosα và
cotα giảm,với hai góc nhọn α, β thì ta có:
α < β th × sin α < sinβ
α < β th × cosα < sinβ
và 

α < β th × cotα < cotβ
α < β th × tanα < tanβ
Hệ thức liên hệ giữa các cạnh và góc của một tam giác vuông
Định lý: Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng :
- Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với cosin góc kề
- Cạnh góc vuông kia nhân với tan góc đối hoặc nhân với cot góc kề
* AB = BC.sinC =BC.cosB

* AC = BC.sinB =BC.cosC

* AB =AC.tanC = AC.cotB
*AC = AB.tanB = AB.cotC

Áp dụng giải tam giác vuông:
- Trong một tam giác vuông, nếu biết trước hai cạnh hoặc một cạnh và một
góc nhọn thì ta sẽ tìm được tất cả các cạnh và góc còn lại của nó. Bài toán đặt ra
như thế gọi là bài toán “Giải tam giác vuông”.
- Để giải một tam giác cần biết: hai cạnh hoặc một góc nhọn và một cạnh
- Để giải một tam giác cần biết ít nhất là 1 cạnh, một góc nhọn
1.4. Các ứng dụng của Hệ thức lượng trong tam giác vuông